Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.988.24

Телятников Илья Вячеславович

ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ТРАЕКТОРИЯХ В РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДИФФУЗИОННЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Специальность 01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003456071

003456071

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Олег Георгиевич Смолянов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Угланов;

кандидат физико-математических наук, доцент Я. А. Бутко

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 12 декабря 2008 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

И. Н. Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию поверхностных мер на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых диффузионными процессами.

Понятие поверхностной меры на бесконечномерном пространстве является естественным обобщением меры Лебега на поверхности в R": по мере ß на бесконечномерном пространстве X строится мера ¡is, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X.

В диссертации для компактного риманова многообразия M и его риманова подмногообразия L строятся поверхностные меры на множестве С([0, t],L) непрерывных функций на [0, í], принимающих значения в L, рассматриваемом как подмногообразие аналогичного бесконечномерного многообразия С([0, í],M), состоящего из непрерывных функций на [О, í], принимающих значения в М. При этом предполагается, что на C([0,í],M) определены борелевские вероятностные меры, порожденные диффузионными процессами в римановом многообразии М, и показано, что поверхностные меры на С([0, t],L) эквивалентны мерам, порождаемым диффузионными процессами в L, соответствующими рассматриваемым диффузионным процессам в М.

В диссертации развивается подход к построению поверхностных мер, разработанный в серии работ О.Г. Смолянова и X. фон Вайцзеккера с их сотрудниками1,2,3, основанный на вложении риманова многообразия в евклидово пространство или другое риманово многообразие.

Следует подчеркнуть принципиальное отличие метода Смолянова-Вайцзеккера построения поверхностных мер от методов, ранее развитых в работах A.B. Скорохода4, A.B. Угланова5, X. Эро и П. Маллявэна6, В.И. Богачева и О.Г.Смолянова7. и др. Дело в том, что названные авторы рассматривали лишь подмногообразие конечной коразмерности, и их техника, основанная на теории гладких мер, совершенно не применима

:Сш>ляноэ О.Г. Гладкие меры на группах петель. ДАН. — 1995 — 345, №4 —455-458

2SmoIyanov O.G., Weizsäcker H.v, Wittich О. Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions. Can. Math. Soc. Conference Proceedings. — 2000. — 29. — 589-602

3Sidorova N. A., Smolyanov O.G., Weizsaecker K. v., Wittich O-, The surface limit of Biwiuan motion in tubular neighborhoods of an embedded Riemannian manifold, Journal of Functional Analysis, —2004 —206 —391-413.

^Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовых простанствах. Наука, Москва — 1974

'Угланов A.B. Поверхностные интегралы в банаховых пространствах. Машем, сборник. — 1979. — 110, .V'2 -189-217

'Airaolt H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l'espace de Wiener. Bull.Sci.Math. —1998. — 2, №112 — 3-52

7Богачеа В.И., Смолянов ОТ. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи математических наук - 1990. - 45, »3 -3-83

в рассматриваемой нами ситуации.

Исследование мер на нелинейных бесконечномерных пространствах и их применение к решению задач математической физики в настоящее время являются одними из центральных направлений бесконечномерного анализа. Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Цель работы

Цель работы заключается в исследовании поверхностных мер на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых невинеровскими диффузионными процессами.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие евклидового пространства, построены поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами в объемлющем евклидовом пространстве с неединичным корреляционным оператором соответствующей переходной вероятности. При этом использованы три различных способа построения поверхностных мер.

2) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие евклидового пространства, показано, что поверхностная мера (порождаемая диффузионным процессом с неединичным корреляционным оператором), полученная ограничением меры процесса на трубчатую е-окрестность многообразия и устремлением е к нулю, эквивалентна предельной мере процесса, в каждой точке разбиения посещающего многообразие, при устремлении к нулю диаметра разбиения. Показано, что в случае корреляционного оператора, не кратного единичному, поверхностные меры, построенные двумя упомянутыми способами, оказываются ортогональными поверхностной мере, порождаемой диффузионным процессом с тем же неединичным корреляционным оператором, но с отражением от трубчатой окрестности многообразия.

В случае единичного корреляционного оператора (так же, как и кратного единичному), как было известно ранее, все три меры эквивалентны.

3) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие компактного риманова многообразия, построены поверхностные меры, порожденные невинеровскими диффузионными процессами в объемлющем римановом многообразии. При этом построении поверхностных мер рассматривается условное распределение диффузионного процесса в объемлющем пространстве при условии, что в точках разбиения отрезка [0,£] он принимает значения во вложенном римановом подмногообразии, а затем диаметр разбиения стремится к нулю.

4) При построении поверхностных мер, когда рассматривается условное распределение диффузионного процесса в объемлющем пространстве при условии, что в точках разбиения отрезка [0,4] он принимает значения во вложенном римановом многообразии, а затем диаметр разбиения стремится к нулю, получены явные плотности Радона-Никодима предельных поверхностных мер относительно некоторых диффузионных процессов на многообразии, выражающиеся через геометрические характеристики многообразия и параметры диффузионного процесса в объемлющем пространстве.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в математической физике для представления решений эволюционных уравнений на многообразии с помощью пределов конечнократных интегралов и с помощью интегралов по траекториям.

Апробация диссертации

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре под руководством д.ф-м.н., профессора Смолянова О.Г. и д.ф-м.н., профессора Шавгулидзе Е.Т. "Бесконечномерный анализ и математическая физика"в 2004-2008 гг.

Также результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на следующих конференциях:

1) XXII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 2007

2) XXVII Конференция молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2005.

3) XXVIII Конференция молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2006.

4) XXIX Конференция молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2007.

5) XXX Конференция молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2008.

Поддержка

Исследования выполнены при поддержке гранта РФФИ № 06-01-00761-а. Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора: [1,2,3]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из четырёх глав и введения. Общий объем диссертации составляет 77 страниц. Список литературы включает 67 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении (глава 1) проводится обзор работ по теме диссертации.

Меры на бесконечномерных пространствах с бесконечной коразмерностью (а именно меры на нелинейных пространствах функций или пространствах петель) изучались Иосидой, Альбеверио, Драйвером, Маллявэном, однако конструкции перечисленных авторов опирались на теорему Колмогорова, а не на понятие поверхностной меры (то есть на сужение меры в объемлющем пространстве на поверхность).

Принципиально новые подходы к построению мер в случае, когда многообразие обладает бесконечными размерностью и коразмерностью, были предложены в работе О.Г. Смолянова1: в этой работе в качестве бесконечномерного многообразия рассматривалось пространство отображений отрезка или окружности в компактную группу Ли, а в качестве меры в объемлющем пространстве - мера Винера на пространстве функций со значениями в пространстве матриц. В дальнейшем, результат этой работы был распространен в работах2,3,8'9 на случай произвольного гладкого компактного риманова подмногообразия евклидового пространства.

Один из способов построения поверхностных мер на множестве функций со значением в компактном римановом многообразием, предложенный О. Г. Смоляновым, X. фон Вайцзеккером и О. Виттихом, состоит в следующем. Пусть М изометрически вложено в Rn (по теореме Нэша). Для каждого разбиения тг отрезка [0, t}: 0 = to < ij • • • < ~ t рассматривается условное распределение стандартного броуновского движения в 1" с неединичным корреляционным оператором при условии, что в моменты он принимает значения в гладком компактном римановом многообразии М. а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В работах2,8 доказываются существование предельных поверхностных мер и эквивалентность полученных мер мере Винера на М, причем найдены соответствующие плотности Радона-Никодима, выражающиеся через скалярную и векторную кривизну многообразия, для £ € С([0, t], М) с

"Smolyanov О. GM Weizsäcker H.v, Wittich О. Cheraoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds. — 2005. - http : //arxiv/<rrg/PS_coche/math/p<lf/0i09/04091SS.pdf

9Sidorova N.A. The Smoiyanov surface measure od trajectories in a Riemannian manifold. Infinite Dimensional АпЫузй, Quantum Probability and Related Topics. —2004. — 7, №3 —461-471

/Щ(г ))<1т

г

¡о(сШт,

J е° с(М,м)

где

(2)

Зса1(у)- скалярная кривизна многообразия в т. у € М, |^Iд/ квадрат нормы поля трения т при изометрическом вложении ¿ : (М, д) —> (К", 5) (М^19Ь(к„)г)(у) = й х к(у), где к{у)- векторная кривизна многообразия в т. у € М).

В работах3'9 описывается другой способ построения поверхностных мер. В данных работах рассматривается нормированное ограничение меры стандартного броуновского движения М" на пространстве С1о([0, £],КП) путей в Мп) на множество путей, не покидающих трубчатую е-окрестность многообразия М вплоть до t. Тогда семейство слабо сходится к поверхностной мере ¿¡г, которая абсолютно непрерывна относительно меры Винера Шх на С1о([0, £], М), соответствующей броуновскому движению на многообразии, причем плотность Радона- Никодима совпадает с (1).

В работе10 приведено третье естественное определение поверхностной меры. В указанной работе рассматривалось броуновское движение в Еп с отражением от границы трубчатой е-окрестности гладкого компактного риманова многообразия М без края размерности й, изометрически вложенного в Ж". Было доказано, что предельная поверхностная мера при стремлении е к 0 существует и совпадает с мерой Винера на многообразии.

В работе8 были получены поверхностные меры, порождаемые броуновским движением в объемлющем пространстве, в случае, если риманово многообразие Ь вложено не в евклидово пространство, а в произвольное риманово многообразие М.

10Сидорова Н.А. Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях. Математические Заметки. — 2003. —78, №6 -947-950

В главе 2 результаты работ2'8 распространяются на случай, когда вместо меры Винера на С([0, ¿], К") (она описывает стандартное броуновское движение в К") берутся меры диффузионных процессов в объемлющем пространстве с неединичными корреляционными операторами. Для каждого разбиения 7Г отрезка [0,4]: 0 = ¿о < ^ • • • < ¿лт = £ рассматривается условное распределение диффузионного процесса в К" с неединичным корреляционным оператором при условии, что в моменты ^ он принимает значения в гладком компактном римановом многообразии М (изометрически вложенном в М"), а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В этой главе доказываются существование предельных поверхностных мер и эквивалентность полученных мер мере некоторого диффузионного процесса на М, причем найдены соответствующие плотности Радона-Никодима, выражающиеся через тензорное поле диффузии и геометрические характеристики многообразия.

Пусть (М,д)- компактное замкнутое гладкое риманово многообразие размерности в, с метрикой д, Ь(х) - положительно определенное симметрическое тензорное поле типа (0,2) (поле Ь(х) задает другую риманову метрику на многообразии М, отличную от д, а поле Ь~1(х) типа (2,0) задает тензорное поле диффузии), - ковариантные

производные вдоль базисного вектора касательного пространства, задаваемые римановой связанностью многообразий (М,д) и (М. Ь) соответственно. При фиксированном наборе локальных координат будем обозначать ^/д = у/ЗёГд^ (соответственно, \/Ь = -у/ЗёГЬ^).

Пусть ь : М —► К" - изометрическое вложение многообразия МвК" для некоторого п, V - окрестность нуля в и гру : V -и► и - отображение, задающее нормальные координаты в окрестности (7 точки у, ■фу{0) = у. Обозначим софу(х) = (г1 (ж), г2(х),... гп{х)). Без ограничения общности будем полагать ¿(г/) — 0.

Пусть также и Г^ - символы Кристоффеля-Шварца многообразий (М,д) и (М, Ь) соответственно, = — Г^ - тензор разницы символов Кристоффеля-Шварца.

Здесь и далее используется правило Эйнштейна суммирования индексов.

Пусть ,у) - квадрат длины минимальной геодезической на М,

соединяющей точки х и у, относительно метрики Ь. Обозначим рц : М х

МхМ-»1:

1 4МЬ)(Х>г)

= ---). (3)

Пусть также р(Ь, х,г)- плотность переходной вероятности винеровского процесса в Ж71 с корреляционным оператором Л-1:

у/\А\ - - г').

= Ш1'ехр(—а—(4)

При построении внешней поверхностной меры будем полагать

д{а д^

Ъ1т(1,у) = ш( (5)

(ограничение тензора аар на ТУМ), при построении внутренней поверхностной меры можно в качестве Ь брать произвольное положительно определенное симметрическое тензорное поле типа (0,2).

Пусть еще Д(м,ь) - оператор Вельтрами - Лапласа многообразия (А/, Ь), Яса^м^) - скалярная кривизна многообразия (М,Ь), б)-»(к»0) " кваДРат нормы относительно поля трения т при отображении с: (М, Ь) —> (Мп, а), компоненты которого задаются следующей формулой:

я2,а я :а

т« = Ък>—__ЬкЧ\-— (6)

дхкдх> к>дх1 ()

Теорема 1.1) Пусть 0 = ¿о < Ч • • • ¿лг = ^ " разбиение 7г отрезка [0, ([, ¿(-к)

- диаметр разбиения. Для каждой ограниченной непрерывной функции / на

С([0,£],М) определим измеримую функцию

= /(*£лл.....г")

где ^ад.«.-.** е С([0, ¿],М), = го = ^ и еС7Ш

я е (^,^+1), то у^'г1'22|"''2лг(я) = 7(5), где 7 - функция на такая что - какая-либо минимальная геодезическая

соединяющая и и ||7'(в)|| = 1 для 5 е

Для любого х € М существует такал вероятностная мера на С([0, ¿],М), что Лиг любой ограниченной непрерывной функции f на С([0, ¿],М) имеем:

( = № [

] (¿(?г)-»0 у -

сфДм) мх-хм

xp(ti,x, 2i)p(t2 - il, Zi, z2).. .p{tN - tw-1,zN)dzidz2 ...dzN

где

cN{x,t)=z J p(tux,zi)p{t2~tuzhz2) x ...

Mx—xM

■■■ x p(tN - ¿Л'-1, zN)dz\dzi ...dzN и dzi- обозначение меры объема на многообразии (M,g)

"м

Кроме того, существует вероятностная мера v^f, определяемая аналогично мере rfff заменой р на рд 2) Пусть для у 6 M

Dx(y) = -l-Scalm)(y) + + lbijSkHSlM (7)

Мера vXff абсолютно непрерывна относительно распределения Рг процесса на многообразии M с генератором В и началом в точке x € M, где

B = l-(-A{M:b) + 2b^SkkjV\l (8)

причем для £ Е С([0,t],M) с £(0) = х плотность Радона-Никодима задается следующим равенством:

diiïr.^ ео

м-(0 =-^-• (9)

smwr

/

eî F(dC)

cm,м). S) Пусть для y g M

D2(y) = -\Scal{M:b](y) + \ь^Ч(8кф)+

•12

(10)

Л/ера г]^ абсолютно непрерывна относительно распределения Рг процесса на многообразии М с генератором В и началом в точке х € М, причем

для £ € С([0, £],М) с £(0) = х плотность Радона-Никодима задается следующим равенством:

, х5 ¡т(т))*г

=-=}-. (И)

* / Г-^'-гт

с№\,м)

Замечание 1. Если при построении меры т?^5 корреляционный оператор взять единичным, то мера х]1^ совпадет с введенной в2,8 внешней поверхностной мерой. Если при построении меры взять Ь — д, то мера совпадет с введенной е?'8 внутренней поверосностной мерой.

В отличие от 2,8 мы вынуждены рассматривать два тензорных поля: метрический тензор многообразия д и тензорное поле Ь, являющиеся ограничением тензорного поля диффузии в объемлющем пространстве (т.е. неединичного постоянного корреляционного оператора) на риманово многообразие.

Последнее поле зависит от корреляционного оператора, и эта зависимость не пропадает при любой замене метрики в объемлющем пространстве. В результате, в формуле плотности Радона-Никодима появляются дополнительные члены, зависящие от тензора разницы символов Кристоффеля-Шварца, соответствующих описанным выше тензорным полям.

В главе 3 рассматривается диффузионный процесс с неединичным корреляционным оператором а с отражением от стенок трубчатой е-окрестности многообразия. В главе показано, что предельная поверхностная мера при стремлении е к 0 существует и совпадает с мерой некоторого процесса на многообразии.

Пусть МЕ = < х е К" : вир р(х, у) < е > - трубчатая е-окрестность гладкого I уем )

компактного риманова многообразия М, где р- обычная метрика в К".

Пусть также 7г : МЕ —► М- естественная проекция на многообразие. Символами ТХМ и МХМ обозначим касательное и ортогональное пространства к многообразию М в точке х £ М. Символом будем

обозначать ортонормированный базие в Кп, такой что первые с1 векторов являются ортонормированным базисом в ТХоМ.

Для каждого х € М пусть Рх : К" ТХМ и (¿х : К" ИХМ -ортогональные проекторы. Далее для х е М и у 6 ТХМ определим

ВД = + ^(г/)^ € В1(п} (12)

Пусть также ргх : К" —» и рг% : М" —> К"-1* - линейные операторы, отображающие каждый вектор из К" в первые его в, и последние п — <1 координат соответственно.

Обозначим (г\) диффузионный процесс в Еп с неединичным постоянным симметричным положительно определенным корреляционным оператором а (в координатах {е^}) с отражением от <ЭМг; к- оператор из Ж" в К", такой что а = Нкт; (Ьг) - тг-мерное стандартное броуновское движение с началом в точке хо-

Пусть щ - матрица стохастического паралельного переноса вдоль М-значного семимартингала юи задаваемая стохастическим дифференциальным уравнением Стратоновича

6щ + - 0 (13)

с ий = / е и1(п).

Далее пусть у"ы — ¡¡(ух,.., уд) при з < п — <1 - локальное представление многообразия М в некоторых ортогональных координатах {и4е,} окрестности точки п{х), где гбМЕ.

Обозначим символом с(х) тензорное поле на многообразии, задаваемое соотношением с(х) = РхаРх для х € М. В координатах {ще^ имеет место равенство для ¿, .7 < й:

с4' = ап\ (14)

где а' = и[ащ, то есть с - верхний блок матрицы оператора а в координатах {ще{}.

Обозначим меру на С1о([0,£],Еп), соответствующую процессу г|, и символом меру на СХо([0, Ь],М), соответствующую диффузионному процессу на М с началом в точке хо £ М, задаваемому в координатах генератором

^=1 к=(1+1 11

для V е с* (М.К1).

Теорема 2. Семейство мер слабо сходится к Р^ при е —► 0.

5 главе ^ рассматривается нормированное ограничение РЕ меры диффузионного процесса = (где НкТ = а) на пространстве

СХо([0, ¿],К") путей в К") на множество путей, не покидающих трубчатую е-окрестность многообразия М вплоть до ¿. Тогда семейство при е —> 0 слабо сходится к мере которая абсолютно непрерывна относительно меры Р1 на С1о([0, ¿], М), соответствующей диффузионному процессу на многообразии с генератором

БДу) = |(-а(аг,ь) + ?{у)ЪЖу), (16)

и началом в точке где - векторное поле сноса на многообразии, а

Ь(х) такое же, как и в формуле 5 главы 2, причем плотность Радона-Никодима выражается через тензорное поле диффузии, геометрические характеристики многообразия и его вложения.

Принципиальным отличием от доказательства в работе4 существования поверхностной меры, порожденной стандартным броуновским движением в К", является то, что проекция диффузионного процесса на многообразие оказывается зависимой от проекции на нормальное пространство к многообразию в точке, в результате при е —» 0 распределение условного случайного процесса (при условии, что он не покидает трубчатую е-окрестность многообразия М вплоть до {) стремится (слабо) не к распределению проекции процесса на многообразие, а к распределению процесса, порожденного (16), мера которого ортогональна мере проекции исходного процесса на многообразие.

В этой главе показано, что поверхностная мера эквивалентна мере полученной в главе 2. Следует предположить, что как и в случае со стандартным броуновским движением, поверхностные меры, порожденные указанными двумя способами (различающимися по сути разным порядком взятия пределов мер), совпадают (в диссертации данное утверждение выдвигается только в качестве гипотезы).

Следующая теорема представляет собой основной результат четвертой главы диссертации.

Теорема 3. Пусть Р£ - нормированное ограничение меры диффузионного процесса = на пространстве С1о([0, ,М") путей в Мп

на множество путей, не покидающих трубчатую е-окрестноетъ многообразия М вплоть до Ь. Тогда семейство Ре слабо сходится к мере ¿>1, называемой поверхностной мерой, которая абсолютно непрерывна относительно меры¥х наСХо([0,1],М), соответствующей диффузионному процессу на лтогообразии с генератором

В Ну) = ¿(-д(м,ь) + я\гтм, (17)

и началом в точке хц, где я'(у)Ч1 - векторное поле сноса на многообразии, причем плотность Радона-Никодима и снос диффузии д1(у)У{ зависят от тензорного поля диффузии в объемлющем пространстве, геометрических характеристик многообразия и его вложения.

Следствие 1. Из Теоремы 3 получаем, что поверхностная мера порождаемая диффузионным процессом с неединичным корреляционным

о х 5 /

оператором, эквивалентна поверхностной мере и^ (по теореме Гирсанова).

Следствие 2. Поверхностные меры Бх и , порождаемые диффузионным процессом с неединичным корреляционным оператором, ортогональны поверхностной мере, порождаемой диффузионным процессом с тем же неединичным корреляционным оператором, но с отражением от трубчатой окрестности многообразия, в случае, если а ф XI.

В главе 5 с помощью техники поверхностных мер исследуется связь между диффузионными процессами в компактном римановом многообразии без края М и его римановом подмногообразии без края//, гладко вложенном в М. Именно, строятся поверхностные меры на множествеС([О, I], Ь) непрерывных функций на [ОД принимающих значения в рассматриваемом как подмногообразие аналогичного бесконечномерного многообразия С( [0, £], М), состоящего из непрерывных функций на [0, £], принимающих значения в М.

В главе 5 результат работы8 распространяется на случай, когда вместо меры Винера на С([0,4], (М,д)) (она описывает стандартное броуновское движение в (М, д)) берутся меры диффузионных процессов в объемлющем пространстве с тензорным полем диффузии, отличным от д. Для каждого

разбиения ж отрезка [0, £]: 0 = ¿о < Ь" • = ^ рассматривается условное распределение диффузионного процесса в М, при условии, что в моменты Ц он принимает значения в компактном римановом подмногообразии Ь (изометрически вложенном в М), а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В этой главе доказываются существование предельной поверхностной меры и эквивалентность полученной меры мере некоторого диффузионного процесса на Ь, причем найдена соответствующая плотность Радона-Никодима, выражающаяся через тензорное поле диффузии и геометрические характеристики многообразия.

Пусть (М, дм)- компактное замкнутое риманово многообразие размерности т с метрикой дм, Ьм{х) - положительно определенное симметрическое тензорное поле типа (0,2) (поле Ьм (х) задает другую риманову метрику на многообразии М, отличную от дм, а поле (Ьм)~1{х) типа (2,0) задает тензорное поле диффузии), р*д{1,х,у) - плотность переходной вероятности диффузионного процесса на многообразии М с генератором А — — ¿"Д^^, где —А(му<) - оператор Бельтрами-Лапласа на М, задаваемый метрикой Ьм.

Пусть (Ь, д1) - риманово замкнутое подмногообразие (М, дм) размерности I, гладко вложенное в (М,дм), ь: Ь —» М - изометрическое вложение, V -окрестность нуля в и -фу : V —> V - отображение, задающее нормальные координаты в окрестности II точки у, фу{0) — у. Обозначим I о 1фу(х) —

Из изометричности следует, что

я,а -я,-/3

зШ = (18)

Обозначим через 61 ограничение тензорного поля Ъм на многообразие задаваемое вложением г.

Ь1т(У) = д^т^КШ)- (19)

Пусть и Г^ - символы Кристоффеля-Шварца многообразий {Ь,дь) и (Ь,Ьь) соответственно, = — Г^ - тензор разницы символов Кристоффеля-Шварца, - ковариантная производная вдоль базисного вектора касательного пространства ТХЬ в точке х, задаваемая римановой связанностью многообразия (Ь. Ьь) соответственно. При фиксированном

наборе локальных координат будем обозначать =

(соответственно,

Будем обозначать Д^ь*.) - оператор Бельтрами - Лапласа многообразия (Ь,Ь£), всаЦ^ъь), БсаЦм^) - скалярные кривизны многообразий (Ь,6£) и (.м,ьм) соответственно, \т\2^ ъм) - квадрат нормы относительно ьм поля трения г при отображении ь: (Д ьь) —> (М, 6м). Пусть также

1

Щм.ьму^ь^х)

= е.)^,е.)(2;) (20) У=1

и

!

Щм^у^ьф) = Х>> Ы<+м'ьМ^)(х) (21) ¿=1

- соответственно частичные следы тензора кривизны и тензора Риччи многообразия (Л/, 6м) относительно произвольного ортонормированного базиса {еЛ=1 пространства 1*тх(ь, ь1).

Основной результат главы 5 заключается в следующем:

Теорема 4. 1) Пусть 0 = < ¿1 = разбиение -к отрезка [0, ¿(я-)

- диаметр разбиения. Для каждой ограниченной непрерывной функции / на

С([0,<],£) определим измеримую функцию

= .....

где ^ С([0, X) определяется так же, как в Теореме 1.

Для любого х £ Ь существует такая вероятностная мера на С([0, ¿],Ь), что для любой ограниченной непрерывной функции / на С([0,£],£) имеем:

[ Я0«)= Ит с^СМ) [

3 ¿(тг]-*0 J

С(|0,«),!,) £х-х£

хРл (г 1,1. г1)рА (¿2 - ¿1,22)... Рл (^ - ¿N-1, г^фг ...(Игц (22)

где

См{х, ¿) = J X, гх)Рл{к - 21, 22) х . . .

Ьх — хЬ „М/

• • • х Рл - 2лг-1, г^йгхйгг ...<1гц (23)

и йг^ обозначение меры объема на многообразии (Ь,дь). 2) Пусть для у £ Ь

В (У) = -\зса1^ьф) + ^У^Х») +

1 I _ _

(24)

Мера гЦ абсолютно непрерывна относительно распределения Рг процесса на многообразии Ь с генератором В и началом в точке х € Ь, где

В = + (25)

причем для £ € С([0, Ь],Ь) с £(0) = х плотность Радона-Никодима задается следующим равенством:

/Щ( т))йт

-"-■ (»)

/

е° Рг(с(д

Замечание 2. Исследуем связь полученной в главе 5 поверхностной меры с полученными ранее поверхностными мерами Смолянова-Вайцзеккера. Рассмотрим дополнительно две поверхностные меры: поверхностную меру на траекториях в многообразии (Ь^), порожденную

диффузионным процессом в объемлющем пространстве М с генератором А, и поверхностную меру р^9 на траекториях в многообразии (Ь,д1), порожденную диффузионным процессом в объемлющем пространстве М с генератором —

Легко видеть, что интегралы от функций по перечисленным мерам, выраженные через пределы конечнократных интегралов (22), отличаются

друг от друга:

1) для мер Т]1 и - различными мерами объема (задаваемые разными метриками), при этом подынтегральные ядра будут одними и теми же;

2) для мер и ^9 - различными подынтегральными ядрами (переходными вероятностями различных диффузионных процессов), а интегрирование происходит по одним и тем же мерам.

Согласно результатам работъР, мера их£Ь эквивалентна мере диффузионного процесса на Ь с генератором — |Д(£причем производная Радона-Никодима имеет форму (26) с подынтегральным выражением в показателе экспоненты

+ вса^м^у)). (27)

Аналогично, мера эквивалентна мере диффузионного процесса наЬ с генератором причем производная Радона-Никодима имеет форму

(26) с подынтегральным выражением в показателе экспоненты

Жу) = --^са^ф) + +

+Лгс(м,5«)/(1,,.«(у) + БсаЦмдМ^у)). (28)

Согласно теореме Гирсанова меры процессов с генераторами — ^Д^^) и эквивалентны (с плотностью, неравной единице), а следовательно, таковыми являются и поверхностные мерыгЦ и ух£Ь.

В то же время, легко доказать, что меры т]^ и ¡/¿9 ортогональны, поскольку ортогональны меры процессов с генераторами +

Пользуясь предоставленной возможностью, я хочу выразить чувство глубокой признательности моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постоянные поддержку и внимание к моей работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Ilya V.Telyatnikov. Smolyanov-Weizsacker surface measures generated by diffusions on the set of trajectories in Riemannian manifolds. — Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. —2008 —11 —№1, 21-31.

[2] Телятников И.В. Представление решений задачи Коши уравнения теплопроводности на римановых многообразиях с переменным коэффициентом диффузии — Труды XXVIII Конференции молодых ученых мехмата МГУ-2006, т. 2, 212-216

[3] Телятников И.В. Поверхностные меры Смолянова-Вайцзеккера на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами. — Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского, 2007, 314-315.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать /¿Я // ¿?Я, Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,5 Тираж {О О экз. Заказ ¿Г</

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

2 Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами, посещающими многообразие в каждой точке разбиения

2.1 Основные обозначения

2.2 Асимптотические оценки для интегральных операторов

2.3 Построение поверхностных мер, соответствующих диффузионным процессам

3 Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами с отражением в трубчатых окрестностях многообразий

3.1 Основные обозначения

3.2 Построение поверхностной меры

4 Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами, не покидающими трубчатую окрестность многообразия

4.1 Вид плотности меры и генератора диффузии в специальных координатах

4.2 Предельная мера смещенного случайного процесса

4.3 Соотношение между смещенным процессом и мерой диффузионного процесса cut

4.4 Построение поверхностной меры

5 Поверхностные меры на траекториях в подмногообразиях римановых многообразий, порождаемые невинеровскими диффузиями

5.1 Основные обозначения

5.2 Асимптотические оценки для интегральных операторов

5.3 Построение поверхностных мер, соответствующих диффузионным процессам

Понятие поверхностной меры на бесконечномерном пространстве является естественным обобщением меры Лебега на поверхности в R": по мере ц на бесконечномерном пространстве X строится мера fis, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X.Существует несколько способов построения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый способ для случая, когда поверхность обладает конечной коразмерностью, был исследован А.В. Скороходом [9] и А.В. Углановым [36]. Альтернативный способ для гауссовских мер был предложен X. Эро и П. Маллявэном [37]. Подход, предложенный X. Эро и П. Маллявэном, применим также для более широкого класса гладких мер (см. [58] и [40]).Меры на бесконечномерных пространствах с бесконечной коразмерностью (а именно меры на нелинейных пространствах функций или пространствах петель) изучались Иосидой [62], Альбеверио [26], Драйвером [44], Маллявэном [54], однако конструкции перечисленных авторов опирались на теорему Колмогорова, а не на понятие поверхностной меры (то есть на сужение меры в объемлющем пространстве на поверхность).Принципиально новые подходы к построению мер в случае, когда многообразие обладает бесконечными размерностью и коразмерностью, з были предложены в работе О.Г. Смолянова [12]: в этой работе в качестве бесконечномерного многообразия рассматривалось пространство отображений отрезка или окружности в компактную группу Ли, а в качестве меры в объемлющем пространстве - мера Винера на пространстве функций со значениями в пространстве матриц. В дальнейшем, результат этой работы был распространен в работах [13, 14, 15, 35, 17, 18, 24] на случай произвольного гладкого компактного риманова подмногообразия евклидового пространства.Следует подчеркнуть принципиальное отличие метода СмоляноваВайцзеккера построения поверхностных мер от методов, ранее развитых в работах А.В. Скорохода [9], А.В. Угланова [36], X. Эро и П. Маллявэна [37], В.И. Богачева [40] и др. Дело в том, что названные авторы рассматривали лишь подмногообразие конечной коразмерности, и их техника, основанная на теории гладких мер [1], [5], совершенно не применима в рассматриваемой нами ситуации.Андерсон и Драйвер [38] получили результат, аналогичный работе [17], при помощи методов, принципиально отличных от методов О. Г. Смолянова, X. фон Вайцзеккера и О. Виттиха.Один из способов построения поверхностных мер на множестве функций со значением в компактном римановом многообразием, предложенный О. Г. Смоляновым, X. фон Вайцзеккером и О. Виттихом, состоит в следующем. Пусть М изометрически вложено в W1 (по теореме Нэша).В работе [10] приведено третье естественное определение поверхностной меры. В указанной работе рассматривалось броуновское движение в Шп с отражением от границы трубчатой ^-окрестности гладкого компактного риманова многообразия М без края размерности d, изометрически вложенного в Жп. Было доказано, что предельная поверхностная мера при стремлении е к О существует и совпадает с мерой Винера на многообразии.В работе [18] были получены поверхностные меры, порождаемые броуновским движением в объемлющем пространстве, в случае, если риманово многообразие L вложено не в евклидово пространство, а в произвольное риманово многообразие М. В работах [25], [35] за поверхностными мерами, построенными на нелинейных пространствах функций указанными выше способами, закрепились такие названия, как поверхностные меры Смолянова, или поверхностные меры Смолянова-Вайцзеккера.Геометрические потенциалы, через которые выражаются плотности Радона-Никодима поверхностных мер относительно меры Винера на многообразии (см. формулу 1.1), появляются при изучении квантово-механических голономных связей в [50, с.500].Примечательно, что подобные геометрические потенциалы, возникающие при функциональном интегрировании, впервые были упомянуты в работе Онзагера и Маклупа [57].Поверхностные меры можно использовать для представления решений задачи Коши для уравнений диффузии на многообразии с помощью функциональных интегралов.Функциональные интегралы естественным образом возникают в теории марковских случайных процессов. Это обстоятельство позволило М. Кацу [30] получить представление решения уравнения теплопроводности с потенциалом в виде функционального интеграла по мере Винера, широко, известное ныне как формула Фейнмана-Каца. На произвольные марковские процессы эта формула была обобщена Е. Б. Дынкиным.Доказательство представления решения уравнения теплопроводности по так называемой внутренней поверхностной мере Смолянова-Вайцзеккера (порожденной стандартным броуновским движением) было представлено в работе [56].Кроме того, в работе [25] получены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии с помощью перехода по Доссу [33] и Хренникову к уравнению б теплопроводности на многообразии.Интегралы по траекториям в бесконечномерных многообразиях отображений конечномерного многообразия в риманово многообразие, так и эволюционные уравнения относительно функций на таких многообразиях могут быть использованы в М-теории [49], а также для описания полей в искривленных пространствах.Результат, полученный в настоящей работе, распространяет результат, изложенный в работах [13, 17, 18, 10, 24, 35], на случай, когда вместо меры Винера в объемлющем пространстве (Ш.п или гладком компактном римановом многообразии М) берутся меры невинеровских диффузионных процессов. Доказано существование поверхностных мер, получены соответствующие плотности Радона-Никодима относительно мер некоторых диффузионных процессов на многообразии, выражающиеся через геометрические характеристики и характеристики диффузионного процесса объемлющем пространстве.При этом, результаты работ [13, 17, 18, 10, 24, 35] не возможно получить простой заменой метрики на многообразии, поскольку необходимо рассматривать различные в общем случае тензорные поля на многообразии: метрический тензор многообразия (задаваемый вложением) и тензорное поле, порождаемое тензорным полем диффузии в объемлющем пространстве.Зависимость последнего поля от поля диффузионного процесса в объемлющем пространстве не пропадает при любой замене метрики на многообразии. В результате, в формуле плотности Радона-Никодима предельной поверхностной меры относительно меры некоторого диффузионного процесса на многообразии появляются дополнительные члены, зависящие от тензора разницы символов Кристоффеля-Шварца, соответствующих описанным выше тензорным полям.Цель работы Цель работы заключается в исследовании поверхностных мер на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых невинеровскими диффузионными процессами.Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем: 1) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие евклидового пространства, построены поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами в объемлющем евклидовом пространстве с неединичным корреляционным оператором соответствующей переходной вероятности. При этом использованы три различных способа построения поверхностных мер.2) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие евклидового пространства, показано, что поверхностная мера (порождаемая диффузионным процессом с неединичным корреляционным оператором), полученная ограничением меры процесса на трубчатую е-окрестность многообразия и устремлением е к нулю, эквивалентна предельной мере процесса, в каждой точке разбиения посещающего многообразие, при устремлении к нулю диаметра разбиения.Показано, что в случае корреляционного оператора, не кратного единичному, поверхностные меры, построенные двумя упомянутыми способами, оказываются ортогональными поверхностной мере, порождаемой диффузионным процессом с тем же неединичным корреляционным оператором, но с отражением от трубчатой окрестности многообразия.В случае единичного корреляционного оператора (так же, как и кратного единичному), как было известно ранее, все три меры эквивалентны.3) Для случая, когда риманово многообразие рассматривается как подмногообразие компактного риманова многообразия, построены поверхностные меры, порожденные невинеровскими диффузионными процессами в объемлющем римановом многообразии. При этом построении поверхностных мер рассматривается условное распределение диффузионного процесса в объемлющем пространстве при условии, что в точках разбиения отрезка [0,£] он принимает значения во вложенном римановом подмногообразии, а затем диаметр разбиения стремится к нулю.4) При построении поверхностных мер, когда рассматривается условное распределение диффузионного процесса в объемлющем пространстве при условии, что в точках разбиения отрезка [0, t] он принимает значения во вложенном римановом многообразии, а затем диаметр разбиения стремится к нулю, получены явные плотности Радона-Никодима предельных поверхностных мер относительно некоторых диффузионных процессов на многообразии, выражающиеся через геометрические характеристики многообразия и параметры диффузионного процесса в объемлющем пространстве.Методы исследования В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа и ряд специальных конструкций.Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в математической физике для представления решений эволюционных уравнений на многообразии с помощью пределов конечнократных интегралов и с помощью интегралов по траекториям.Апробация диссертации Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре под руководством д.ф-м.н., профессора Смолянова О.Г. и д.ф-м.н., профессора Шавгулидзе Е.Т. "Бесконечномерный анализ и математическая физика"в 2004-2008 гг.Также результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на следующих конференциях: 1) XXII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 2007 2) XXVII Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2005.3) XXVIII Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2006.4) XXIX Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2007.5) XXX Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2008.Поддержка Исследования выполнены при поддержке гранта РФФИ № 06-01-00761-а.Публикации Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора: [65, 66, 67].Работ, написанных в соавторстве, нет. ю Структура и объём работы Диссертация состоит из четырёх глав и введения.Во введении (Глава 1) проводится обзор работ по теме диссертации.В Главе 2 доказывается существование поверхностных мер первого типа.Для каждого разбиения 7г отрезка времени [0,£]: 0 = Ц < t\ • • • < t& = t рассматривается условное распределение диффузионного процесса в Е п с неединичным корреляционным оператором при условии, что в моменты времени U он принимает значения в гладком компактном римановом многообразии М (изометрически вложенном в Rn), а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В работе доказываются существование предельных поверхностных мер и эквивалентность полученных мер мере некоторого диффузионного процесса на М, причем найдены соответствующие плотности Радона-Никодима, выражающиеся через тензорное поле диффузии и геометрические характеристики многообразия.Аналогичная формула была получена и для выражания плотности РадонаНикодима возникающей естественным образом внутренней поверхностной меры относительно меры Р х того же диффузионного процесса.Последнее поле зависит от корреляционного оператора, и эта зависимость не пропадает при любой замене метрики в объемлющем пространстве.В результате, в формуле плотности Радона-Никодима появляются дополнительные члены, зависящие от тензора разницы символов Кристоффеля-Шварца, соответствующих описанным выше тензорным полям.Для доказательства существования предельных поверхностных мер и их эквивалентности мере некоторого диффузионного процесса на многообразии использована техника, описанная в работе [18].При этом, аналогично работам [35, 24] применена теорема Гирсанова к некоторому смещенному случайному процессу, далее применена техника О (^-приближения для аппроксимации стохастических интегралов при £ —» 0.Принципиальным отличием от доказательства существования поверхностной меры, порожденной стандартным броуновским движением в Rn, является то, что проекция диффузионного процесса на многообразие оказывается зависимой от проекции на нормальное пространство к многообразию в точке, в результате при е —»• 0 распределение смещенного случайного процесса стремится не к проекции на многообразие, а к процессу, порожденному (1.10).В работе показано, что поверхностная мера Si эквивалентна мере v^\ , полученной в Главе 2. Следует предположить, что как и в случае со стандартным броуновским движением, поверхностные меры, порожденные указанными двумя способами (различающимися по сути разным порядком взятия пределов мер), совпадают (в настоящей работе данное утверждение выдвигается только в качестве гипотезы).В Главе 5 с помощью техники поверхностных мер исследуется связь между диффузионными процессами в компактном римановом многообразии М и его римановом подмногообразии L. Именно, строятся поверхностные меры на множестве С([0, t], L) непрерывных функций на [0, t], принимающих значения в L, рассматриваемом как подмногообразие аналогичного бесконечномерного многообразия C([0,t],M), состоящего из непрерывных функций на [0,t], принимающих значения в М Результат, полученный в Главе 5, распространяет результат, изложенный в работе [18], на случай, когда вместо меры Винера на C([0,t],(M,g)) (она описывает стандартное броуновское движение в (М,д)) берутся меры диффузионных процессов в объемлющем пространстве с тензорным полем диффузии, отличным от д. Для каждого разбиения 7Г отрезка времени [0, £]: 0 = to < t\ • • • < t^ = t рассматривается условное распределение диффузионного процесса в М, что в моменты времени £; он принимает значения в гладком компактном римановом подмногообразии L (изометрически вложенном в М), а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В работе доказываются существование предельной поверхностной меры и эквивалентность полученной меры мере некоторого диффузионного процесса на L, причем найдена соответствующая плотность Радона-Никодима, выражающаяся через тензорное поле диффузии и геометрические характеристики многообразия.В отличие от [18] мы вынуждены рассматривать два тензорных поля на римановом многообразии: метрический тензор многообразия (задаваемый вложением) и тензорное поле bL, являющееся ограничением тензорного поля диффузии в объемлющем пространстве на риманово многообразие.Последнее поле на L зависит от поля диффузионного процесса в объемлющем пространстве М и эта зависимость не пропадает при любой замене метрики в L. В результате, в формуле плотности Радона-Никодима предельной поверхностной меры относительно меры некоторого диффузионного процесса на многообразии появляются дополнительные члены, зависящие от тензора разницы символов Кристоффеля-Шварца, соответствующих описанным выше тензорным полям.Пользуясь предоставленной возможностью, я хочу выразить чувство глубокой признательности моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постоянные поддержку и внимание к моей работе.Глава 2 Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузионными процессами, посещающими многообразие в каждой точке разбиения Результат, полученный в настоящей главе, распространяет результат, изложенный в работах [13, 17, 18], на случай, когда вместо меры Винера на C([0,i],R") (она описывает стандартное броуновское движение в Шп) берутся меры диффузионных процессов в объемлющем пространстве с неединичными корреляционными операторами. Для каждого разбиения 7Г отрезка времени [0,i\: 0 = to < ii • • • < £/v = t рассматривается условное распределение диффузионного процесса в Rn с неединичным корреляционным оператором при условии, что в моменты времени ti он принимает значения в гладком компактном римановом многообразии М (изометрически вложенном в Rn), а затем диаметр разбиения стремится к нулю. В работе доказываются существование предельных поверхностных мер и эквивалентность полученных мер мере некоторого диффузионного процесса на М, причем найдены соответствующие плотности Радона-Никодима, выражающиеся через тензорное поле диффузии и геометрические характеристики многообразия.

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В., Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 1. Труды Моск. Мат. Общества, —1971. —24, 133 -174.

2. Альбеверио С., Смолянов О.Г. Представления функциональными интегралами решений некоторых стохастических уравнений типа Шрёдингера-Белавкина. —Доклады Академии Наук. —1999. —364 — №6, -747-751.

3. Альбеверио С., Смолянов О.Г. Бесконечномерные стохастические уравнения Шрёдингера-Белавкина. —Успехи Математических Наук — 52, —Ш -197-198.

4. Альбеверио С., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана-Каца для эволюционных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа белого шума, —Доклады Академии Наук, — 1999 —367, —№1, —26-30.

5. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи математических наук — 1990. — 45, №3 —3-83.

6. Ватанабэ С., Икэда Н., Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. —М.:Наука —1986.

7. Я. Дэвис, О.Г. Смолянов, А. Трумен, Представление функциональными интегралами решений стохастических уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях, Доклады Академии Наук, — 2000 -373, -Ж, —10-14.

8. Маккин Г., Стохастические интегралы, М.: Мир, —1972.

9. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовых простанствах. Наука, Москва — 1974.

10. Сидорова Н.А. Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях. Математические Заметки. — 2003. —73, №6 —947-950.

11. Сидорова Н.А., Предельное поведение поверхностных мер на пространствах траекторий, Матем. заметки —2004. —76 —№2 —258-263.

12. Смолянов О.Г. Гладкие меры на группах петель. ДАН. — 1995. — 345, К»4 -455-458.

13. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О. Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры. ДАН. — 2000. — 371, Ш -442-447.

14. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова Н.А. Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых диффузиями. ДАН. —2001. — 377, №4 —441-446.

15. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова Н.А. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях. ДАН. — 2002. — 383, №4 —458-463.

16. Смолянов О. Г., Тру мен А., Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактным римановых многообразиях, Математические заметки, —2000 — 68, —№5 —789-793.

17. Smolyanov О. G., Weizsacker Н. v, Wittich О. Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions. Can. Math. Soc. Conference Proceedings. — 2000. — 29. — 589-602.

18. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v, Wittich O. Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds. — 2005. — http : //arxiv/org/PScache/math/pdf/0mf0A09155.pdf

19. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Wittich 0., Chernoff's Theorem and the Construction of Semigroups, Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life sciences and Eqonomics EVEQ 2000, M. Ianelli, G. Lumer, Birkhauser (2003), 355-364.

20. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Wittich O., Construction of Diffusions on Sets of Mappings from an Interval to Compact Riemannian Manifolds, Doklady Acad. Nauk, 71 (2005), 391-396.

21. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Wittich O., The Feynman Formula for the Cauchy Problem in Domains with Boundary, Doklady Acad. Nauk, 69 N 2 (2004), 257-262.

22. Smolyanov O.G., Weizsacker H. v., Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations, C.R.Acad.Sci.Paris, 1995, 321, Serie I, 103-108.

23. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2, (1999), 51-78.

24. Sidorova N. A., Smolyanov O.G., Weizsaecker H. v., Wittich O., The surface limit of Brownian motion in tubular neighborhoods of an embedded Riemannian manifold, Journal of Functional Analysis, 206 (2004), 391-413

25. Бутко Я.А. Функциональные интегралы для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии. Математические Заметки. — 2006. 79, № -194-200.

26. S. Albeverio, R. H0egh-Krohn, The energy representation of Sobolev-Lie groups, Compositio Mathematica. 36 (1978) 37-52.

27. Albeverio S., H0egh-Krohn R., Mathematical Theory of Feynman Path Integrals, Lecture Notes in Math., 523 Berlin: Springer, 1976.

28. Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov O., The Probabilistic Feynman-Kac Formula for an Infinite-Dimensional Schroedinger Equation with Exponential and Singular Potentials, Potential Analysis —1999 -11,-157-181.

29. Butko Ya. A. Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals. Russian Journal of Mathematical Physics —2004 —11 №2, 1-9.

30. Kac M., On a distribution of certain Wiener functionals, Trans. Amer. Math. Soc., 65, (1949), 1-13.

31. Chernoff R., A Note on Product Formulas for Operator Semigroups, Journal of Functional Analysis, —1968 —2, 238-242.

32. Chernoff R., Product Formulas, Nonlinear Semigroups and Addition of Unbounded Operators, Mem. Amer. Math. Soc., — 1974 —140.

33. Sidorova N.A. The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. -2004. 7, №3 - 461-471.

34. Угланов A.B. Поверхностные интегралы в банаховых пространствах. Матем. сборник. — 1979. 110, № -189-217.

35. Airault H., Malliavin P. Integration geometrique sur l'espace de Wiener. Bull.Sci.Math. -1998. 2, №112 - 3-52.

36. L. Andersson, B.K. Driver, Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds. —J. Funct. Anal —1999 — 165 -430-498.

37. Bass R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal reflection in Lipschitz domains, Electron. J. Probab., —1996 —1 —Ж11, Paper 11.

38. Bogachev V.I., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite-dimensional spaces, Acta Univ. Carolin.Math. Phys., —1990 — 31, -№2, -9-23.

39. Carmo M.P.do, Riemannian geometry, translated from the Portuguese, Mathematics, Theory & Applications. —Boston, MA etc.: Birkhauser. —1992.

40. M. Hairer, A. M. Stuart, J. Voss, and P. Wiberg. Analysis of SPDEs Arising in Path Sampling Part I: The Gaussian Case. —2005 -—Comm. Math. Sci. — 3 -587-603.

41. Karatzas I. Shreve S.E., Brownian motion and stochstic analysus, 2nd Edition, Springer, New York —1991.

42. B.K. Driver, M. Rockner, Constuction of Diffusions on Path and Loop Spaces of Compact Riemannian Manifolds, С. В. Acad. Sci.Paris. Serie I. —1992 — 315 -603-608.

43. Driver В., A Primer on Riemannian Geometry and Stochastic Analysis on Path Sp&ces,hUp://math, и cs d. edu/driv er/driver/preprints.html^ University of California, San Diego.

44. Bruce K. Driver, Vikram K. Srimurthy. Ann. Probab. —2001 —29 —№2 — 691-723.

45. Elworthy K.D., Stochastic differential equations on manifolds, Cambrige University Press, Cambrige —1982.

46. R.Feynman. Space-Time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics. Rev. Modern Physics, 20, 2, 367-387, 1948.

47. D.J.W.Giulini, C.Kiefer, C.Lammerzahl (Eds.) Quantum Gravity, From Theory to Experimental Search. Lecture Notes in Physics, 631. Springer —2004.

48. Froese R., Herbst I., Realizing holonomic constraints in classical and quantum mechanics,Comm. Math. Phys. —2001 — 220 —489-535.

49. Jost J. Riemannian Geometry and Geometric Analysis, NY.: Springer, — 1998.

50. Karatzas I., Shreve S.E., Brownian motion and stochastic calculus, 2nd Edition, Springer, New York (1991).

51. Lions P.L., Shnitzman A.S. Stochasic Differential Equations with Reflecting Boundary Conditions. Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1984.-37, -511-537.

52. M.-P. Malliavin, P. Malliavin, Integration on loop groop. I. Quasi invariant measures, Quasi invariant integration on loop groups. J. Fund. Anal. — 1990 -93, -207-237.

53. Nash J. F., The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. Math., 63, (1956), 20-63.

54. O.O. Obrezkov, The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 6 (2003), no. 2, 311-320.

55. Onsager L., Machlup S. Fluctations and Irreversible Process.II.Systems with Kinetic Energy, Phys. Rev. -1953. 91 - 1505-1515.

56. О. V. Pugachev, Surface integals in infinite-dimensional spaces, Math. Notes. 63 (1998) 106-114.

57. Revuz D., Yor M., Continuous martingales and Brownian motion, 2nd edit-tion, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlin, Springer-Verlag (1994).

58. Rogers L.C.G., Williams D., Diffusions, Markov processes, and Martingales, Volume 2: Ito calculus, John Wiley к Sons, New York (1987).

59. Trotter H.F., On the Product of Semigroups of Operators,Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959), 545-551.

60. K. Yosida, Functional Analysis. (Springer-Verlag, 1965)

61. Minakshisundaram S., Pleijel A. Some Properties of the Eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian Manifolds. Canad. J. Math. —1949. — 1 242-246

62. Roe J. Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Longman, London, — 1988.Список работ автора по теме диссертации

63. Ilya V.Telyatnikov. Smolyanov-Weizsacker surface measures generated by diffusions on the set of trajectories in Riemannian manifolds. — Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. —2008 —11 —№1 21-31.

64. Телятников И.В. Представление решений задачи Коши уравнения теплопроводности на римановых многообразиях с переменным коэффициентом диффузии — Труды XXVIII Конференции молодых ученых мехмата МГУ—2006, т. 2, 212-216.