Позиционное управление и задачи оптимизации форм областей в системах с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

м /- Российская Академия Наук

; и ' -I ' „

5 Уральское отделение «

Институт ыатеыагики и иаханики

УДК 531,36,519.95 На правах рукописи

ОХЕЗИН СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ

Позиционное управление И задачи оптныиведии форм областей в системах о'распределенными параметрами

Специальность: 01.01,02 - дифференциальные уравнения

в

Автореферат диссертации на ооиекание ученой степени доктора фиэико-ыамыаткчеокнх наук

\

Екатеринбург 1994

Работа выполнена на кафедре математической физики Уральского государственного университета и«. А.М.Горького

Официальные оппоненты:

1. ВасидъеБ 2>.П. - доктор фив.-ьаг.нзук, профессор

2. Максимов В.М. - доктор фив.-мат.нзук

3. Ра&хеЕич £.В. - доктор фив.-мат.наук, профессор

Ведущая организация - Институт гидродинамики

и«. М.А.Д&врентьева СО РАН &алщта состоится * " ССАЛУТлЯ^ 1994г. ® " М " часов на 8&седании специализированного совета Д С02.07.01 по задите диссертаций на соискание ученой степе доктора фнэико-катвматичее.ккк наук в Институте математики и

и

УрО РАН по адресу: 620066 г.Екатеринбург» уя.С.Ковд

левской 16.

С диссертацией можно оенахомиться в научной библиотеке Института ыатеыагики и механики УрО РАН.

Лвторефера® равоелан 1994г.

Утк>ныб се^етарь специалиеированнс к.ф.-ы.н. у-"Л/ Гусев М.И

специааиеированного совета, ^

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОШ

Актуальность темы, Работа посвяаека изучению задач оптимального управления в динамических системах с распределенном .шраметрами, описываемьи ди<£ререншальньл<и уравнениями с частными производными.

Последние 15-20 дет интенсивно изучаются задачи оптимального управления в системах, описываемых дифференциальным уравнениями с частными производными. В качества управляющих параметров в таких системах выступает:

1. неоднородные слагаемые в дифференциальных операторахj

2. коэффициенты дифференциальных операторов?

3. граничные условия;

4. начальные условия;

5. пространственные и вреыендае области иэм-знения аргументов иско.,злс функций.

Отметим, что как правило, в ситуациях считается, что области изменения аргументов неизвестных функций состояния зафиксированы и не изменяются в течение всего процесса управления.

В диссертационной работе изучается задачи управления систем иами, описываемыми уравнениями с чостнуми производили, в которых управляющие параметры входят в неоднородна' слагаете Д) или в коэффициенты дифференциального оператора (2), или р граненные условия (3), а также задачи управления формой области ,(5).

Среди мнокества раа.чичкых постановок задач оптимизации в случаях 1,2,3 выделяются задачи позиционного управления^ р которых требуется построить решение на основании информации о текущей позиции системы в каздыА ыомент времени. При зто;* под позицией может пониматься, вообще говоря, объект более широкой природы, чем, например, состояние системы в дагашй ь'омент времени.

Значительный вклад в становление и развитие теории позиционного управления внесли Л.С.Пснтрягин, К.Н.Красовехий, Х),С.Осипов, А.Б.Куржанский, Б.Н.Пше.чичний» А.М.Субботин, А.Б.Кркжшс-кий, А.Г.Ченцов, Л.А.Петросян, М.С.Никольский, А.Жридаан, Ж.-Д^ Лионе, А.Венсусан и многие другие.

Основным объектом исследования в теории позиционных дифференциальных игр является проблема сближения-уклонения, а одним из основных методов построения разрешающих стратегий -принцип экстремального прицеливания, предложенный Н.Н.Красовсюш.

Ка базе-этого принципа о последние года были построены новые катематкч'-окие кодели, огнсскаисск к теории некорректных задач. В работах 1).С.0сипова и А.В.Крязшмского были заложены основы теории динамической регуляризации.

Кссдедотние структур задач позиционного управления в ,, шнеНа&х динашческюс системах, описываемых уравнениями с частными производили, показало, что при построении разрешающих стратегия важно правильно выбрать подходящее функциональное пространство состояний и аналог правила экстремального прицеливания, позволяющие полунить нужные оценки между траекториями

■ управляемой системы»

Таким образом, для систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в б&нахошх пространствах, актуальной является задача построений аналога принципа экстремального прицеливания и Рябова подходящего функционального пространства состояний .

В более общей постановке возникает задача изучения абстрактна динамических управляемых систем и построения для них , аналога принципа экстремального прицеливания»

Stkm актуальным задачам лосвяшена первая глава диссертационной работа.

Следующий круг вопросов, изучаемых в работе, связан с теорией управления формой "пространственной" области, в которой протекает процесс, описышемый дифференциальными уравнениями с частными производными (случай 5).

Приблекы управления формой области являются ооьектоы ыа»е-ыатическюс исследована!'!, последние 15-20 лет. В развитие этой тематики большой вклад внесли 5K.-J!.Лионе, А.Фридман. Я.Гаслин-

■ гер, П.йейгаанмяки, й.-Б.Золезио, 10,0.Осипов, А.В.Баничук, К.А.йурье, В.Г.Литвинов и многие другие. *

В работах этих авторов предлагаются различные подходы к исследованию и.формализации задач управления формой области.

Отыетнм, что первые обйематеыатичеекче постановки задач оптимального управления формой области были сделаны в работах Н4-ЛДконса С1-2].

Обстоятельное исследование вопросов существования оптиыаль них областей для эллиптических управляемых систем было проведено в работах Ю.С.Осипова и А.П.Суетова ГЗ-41.

В монографии Й.Гаслингера и Р.Нейтаанмяки [5] рассматри-

ваются разлившие типы атрекснмацкошой задает управлении формой области, приводящие к исследованию довольно сложных конечномерных задач нелинейного программирования,

В диссертационной работе предлагается использовать мепд штрафа по форме области для исследования задач управления формой области с параболических, эллиптических и гиперболическ;« управляемых системах второго порядка с однородными граничными условиями Дирихле.

В последнее время, в основном благодаря работам А.Фридмана и его школы, значительно возрос интерес к матаматичиским мемел.тк задач со с во б одними граница).™. Ряд таких задач можзт быть исследован методами таории оптимального управления формой области.

Таким образом, практическая 'значимость обсуждаемого круга вопросов и трудности, езяЕадаке с математическими моделями,стимулируют развитие теории оптимального управления формой области в системах с распределенными параметрами. Зтим актуальным проблемам посещены три главы диссертации.

Цель работы. Цель» диссерташокной работа являете.". разработка и обоснование оелкх мэтодоа исследования задач позиционного управления, опирающихся на аналог принципа экстремального прицеливания в банаховых пространствах. Изучение гадчч оптимального управления формой области в системах с распред! ленккми ларач!ет-рами и применение подобных моделей к задачам со свободными границами.

Общая методика исследований. 3 основе развиваемые в работе методов исследования лежат результата теории позиционных дифференциальных игр, опирающиеся на обобщенный принцип экстремального прицеливания, теории сиобаешшх решений краевых задач математической физики, современной теории оптимизации в функциональных пространствах и теории елучайнкх процессов.

Научная ь'овизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми» Среди них отмзт;:м следулцио.

1. Предложено обобщение принципа экстремального прицеливания для нелинейных дифференциальных уравнений в банахова пространствах.

2. Вкделен класс абстрактных динамических систем, непрерывных по управлявшим параметрам, для которых возможно построение аналога принципа экстремального прицеливания и стратегий, решающих абстрактную проблему сближения-укло-

кекия.

3. Прогудело систематическое исследование задач управления формой области специальным ;.,етодсм штрафа для уравнений параболического, од.'оптического и гиперболического типа.

4. Впервые предложены оптимизационные модели задач со свободными рраниоаии, в которых роль управляющих параметров играет форма пространственной области.

Теоретическая к прг-ятичоская ценность работы. Полученные в работе результате еиосят кг.^д с теорию позиционного управления дикамкчееккыи систсмами с р?.¿кредеодшьаш параметрами. Предложенное обойае.чие- принципа экстремального прицеливания позволяет строить алгоритм:, "отсдсживр_чк;;и5" двикения динамических управляемых систем к ленащие б основе методов динамической регуляризации,

Зоказш^ы возмоглссти применения метода штрафа по форме области для решения задач оптимального управления формой области.

Исследован ряд классических задач (типа Стефана) со свободными .'раницамк, дслускадаих новые математические модели в виде задач оптимального управления форме;! области. На базе'Метода штрафа по (¡торне области могут быть предложены новые алгоритмы численного моделирования задач со свободными границами.

Предложенные б работе метода исследования могут найти приложение в теоретических нее;: дованкях задач оптимального управления в слсжлэ: динамических системах, спискваекьж, например, вариационными и кваэиваркациенными неравенствами. Зги методы и полученные к реботе результата кигут быть использованы при проведении теоретически исследований*в Уральском государственном университете, Институте математики и механики УрО РАК и других научных учреждениях.

Апробашя работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

1. Всесоюзная конференция "Динамическое управление", Свердловск, 19? 9. .

2. Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений", Рига, 1569.

3. ^кола-семинар "Разрывные динамические системы", Киев, 198Р

4. Научная конференция 'Разрывные динамические системы", . йваново-Франковск, 1950, *

5. УП Всесоюзная конференция "Управление в механических системах", Свердловск, 1990.

6. Международная конференция "Задачи со свободными границами в механике сплошной среда", Новосибирск, 1991,

7. Международная конференция "Некорректные задачи в науке и . технике", Москва, 1991.

Ö. Научная конференция "Разрывные динамические с.исте.'.га",

Ужгород, 1991. . ^

9. Fifst WcrU Ccna*-r.s% of Кслйпеаг ЛплЦ^ч , Ю/пра, ÇtorlAx USA.A^a- «-26,499?...

10. gik. IMEKO Cri Tt'c'irJ.co.1

DUyuw-tic«, DmJen. , ^»pW^r 2.3-2S , 1QOÜ.

11. -40^ï. Confefen«. on. ргЛ1е.гг\ъ ani. frutliccU ьи та&чтя--ticai pUySici; t Clte.nai-ta , GermAny. t

Структура ь объем диссертация. Диссертация состоит из Введения, списка обозначений, четырех глаз, двух Приложений,заключения и списка литературы. Объем составляет 215 страниц машинописного текста, 23 рисунка. Библиографу,я включает 112 наименований работ отечественных и зарубекни математиков.

СЗДЬРШИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации приводится обосноьание актуальности выбранной темы исследований и дается краткой изложение основных результатов.

Глава I. Позиционное управлеш;о с динамических системах с распраделешдлли параметрами. §§1-6.

В этой главе рассматриваются заднвд позиционного управления в условиях "конфликта" или "неопределенности" для систем, описываемых нелинейным« дифференциальными уравнениями с частными производными. Эти задаад моделируются как позиционные двфференциаль-ные игры в подходящих функциональных пространствах. В качестве основной задачи, квлявдейся объектом исследования, выступает, проблема сближения-уклонения, к которой могут быть сведены мно-" гиа задачи оптимального управления, не имеющие в своих оригинальных постановках игрового содержания.

В первом параграфе рассматривался управляемые системы, описываемые дифференциальными уравнениями вида

+М « ^с4,и,о (1,3)

СЛкЪ- СУ'У , (1.4)

Здесь Е - линейный ограниченный самосопряженный строго по-гокитеяький оператор, определенный на гильбертовом пространстве И, А - неллнекгсл'! (вообще говоря) оператор, действующий из Л7" ~*ЛГ* УсК с-Л/ * - тройка оснащенных

пространств. А ~ хеминепрерившй ограниченный строго монотонной и коордативннй оператор.

В (1.4) Ъсс Я , Е - квадратный корень из оператора Е . Отображение и^^иНиХНу- —т V*, где

Н ч, Н - заданные сепарибелыше вещественные гильбертовы пространства.

Пусть ^с Н^Ф^Н^- выпуклые замкнутые и ограниченные ккожестЕЬ. Введем следующие обозначения

= (поб Геи.ЛгУ, Н^ I „1 тгсЬ €С1Ь

Под ревенпе система (1.3),£1.4), отвечаищш выбранным управление Ъ£0)<= 1 ) 1/Т>>£ , подается элемент »З-ЛО , {>>*.' такой,* что

- + С^4'^ ^ -

с)> ¿± * <ЕУчс <1-5

4-ь

для всех ^ Ф -ЛО \ ^ е

и) , д.С^>о]г .

Здесь < > - отношение двойственности ыевду V и V. Известно, что существует единственное обобщенное решение У, при этом функция Е4/гч> € С •_> Н И

■ Для управляемой система (1.3),(1.4) вводятся два объекта, именуеьие "первым" и "вторым" игроком соответственно. Каждый из игроков формирует управляющее воздействие, прилагаемое к системе

на основании той или иной информации о состоянии системы (позиции) в каждый момент времени. Правило построения такого управления называется стратегией. В функциональном пространство состояний систекы задается множество, называемое целевым ьл девством.

Для "первого" игрока (распоряжающегося управлением 1С ) ставится задача построения стратегии, приведшей весь "пучок" движений, выходяаих из начальной позиции (независимо от характера действий "второго" игрока) в сколь угодно малую окрестность целевого множества на заданном интервале времени Ио,тЗ . Эта задача называется задачей сближения.

Для "второго" игрока ставится задача построения стратегии, уклоняющей весь "пучок" движений, вкходазнх из начальной позиции (независимо от характера действий "первого" игрока), от некоторой окрестности целевого множества па заданном интервале времени [ОД1 . Эта задача называется задачей уклонении.

Предлагается следующая математическая формализация этих задач для управляемой ы.стеш (1.3),(1.4).

Определение. 1Л.

1°. Д - разбиение отрезка - шюгеетво \.ГС«Л,

= топе {.^-^ч I ¿=0, Л ,..., тСА1-( } . 2°. Стратегия "первого игрока" - отображение

IX: и^.к1»

Аналогично определяется стратегия "второго игрока". 3°. Движение системы (1.3),(1.4) кз начальной позиции

} отвечающее разбиении Д и стратегии XI

- это функция Е 'чТ- ]д - Е Ь,*.,4«., и 1 и = •

,и,тгЗ , где иСО € Беи,т1+н, Е^ у ^ при о) е ^

•\rtoe . Здесь д -

решение (в сшслв 1.5)), отвечающее выбранным 1С и V.

Чз. -г т

Аналогично определяется движение Е V1 Л .

В пространство Я? - ,¿>1 к Н задаются два множества М я N . Б & будем рассматривать две нормы;

42-

(1.6) (1.7)

Всюду в дальнейшем

Задача I (задача сближения). Построить стратегию ие со свойством:,

(ш

Здесь Яр - замкг'тая

£ -окрестность мноаества й в ^ метрике.

Задача 2 (задача уклонения). Построить стратегии

СО СВОЙСТВО!.!

1Е>ОЗГ0>О УЛО^ДЛ V Лп^

не выполняется условие (1.8).

В этом же параграфе определяется основоное свойство пространства состояний системы (1.3),(1.4), которое позволяет определить конструкции, обобшадаке известное в теории дифференциальных :тр правило экстремального прицеливания и получить достаточные для решения задач I, 2 оценки между изучаемыми движениями и специальными множествами (мостами, по терминологии , принятой в теории дифференциальных игр).

Определение 1.2. Банахово пространство V ^удем называть - пространством, если существуют непрерывная функция

и отображение

Р : Л/^-*-^* такие, что:

СО = 0 тогда и только тогда, когда ОС-О •

СИ) Я'Сык} $ <Р(?оЛ> +

для всех К , принадлежащих ограниченному множеству 2 в "V" » причем

при (1V! Ц -> 0 равномерно по С5С€ 2. ^

Отметим, что все гильбертовы пространства являются *ЗР пространствами.

Здесь же приводится основное ограничение (Условие Р2> ), накладываемое на (функцию г^гт*) позволяшее пос>грои*ь

стратегии, решайте задачи 1,2 при помощи обобщенного принципа экстремального прицеливания, ^

Пусть имеется непрерывное вложение

V сХ , где

' X - пространство.

Условие П. УиНсУоХ

гаи1 тл/с

тм тХл , £<А> -и

ТбО и£р

В §2 приведены результаты, относящиеся к задачам 1,2. По аналогии с теорией позиционных дифференциальных игр вводится понятие И -стабильности одного множества относительно другого (Определение 2.1) и дается описание стратегии первого игрока, решающей задачу сближения. Основное свойство экстремальной стратегии Це содержится в Лемме 2.2.

. УЕ:>0.'3$>0 3|>о>О Уг0еН

IIEyW]a - E'ztViJI^ < 0 .

V'-

Через E aCtT л обозначено специально сконструированное движение (движение систсмы-поводе-ря по терминологии из теории дифференциалшых игр).

По аналогии с теорией позиционных дифференциальных игр вводится понятие множества позиционного поглощения для системы (1.3),(1.4) и доказывается его U - стабильность (Лемма 2.3).

Основной результат содорхится в теорема 2.1, утверздакщей, что для тобой начальной позиции <4с, для системы (1.3),

- (J.4) ьсегда разрешима либо задача сближения, либо задача уклонения. Задача сближения (уклонения) разрешима тогда и только тогда когда

Ev4 С Wdo") <k ^'Ч '4- WCV) ") . Здесь W(AoV

сечение множества позициошого поглощения в момент времени i-"t0.

В v3 приведены примеры нелинейных управляемых сйстеы с частккии производив' и примерь' соотьетствушцсх ST3-пространств. ,

Четвертый параграф поевкцен изучению задач сближения-укло-ненил в абстрактных днна>.лческих системах. Предложенные во втором параграфе обоидения правила экстремального прицеливания были привязаны к метрическим свойствам фазового Sp- пространства. Е ого» параграфе аксиоматически выделяется класс абстрактных динамических систем, для которых удается построить обобщение правила экстремального прицеливания.

Опиаеы кратко постановку задачи.

Пусть {X0j j*o ^ - метрическое пространство, Х-^Х^ -сепарабельные рефлексивные банаховы пространства. Заданы два

семейства множеств Pel") с Хц, Qc4')c:Xir , -t€tte>JO.

Pct> ; Q. (X) - выпуклые замкнутые и измеримые (по Лебегу) и равноограничекные по -t t юю-кества. Определим

следугещие семейства допустимых управлений первого Си'} и (г/0 второго игроков соответственно

/^^^{-ueL'ci^iXOl nl.-teU^.V исЪс-РсЬ}

[Га^у/х^!.. е. -ихь £ йс-Ь У..

Определение 4.1, 1°. Назовем управляемой системой СС отображение

удовлетворявшее следующим аксиомам: XI. Аксиома полугруппы по ^.

справед"ивы равпства

/СО 0^,-1); 1 в ос< >

Х2. Аксиома непрерывности по*Ь,

\/ас,б Хо Ун £ V V* СигЫ^о-) ^(«а»,«ло

равномерно по и.,

ХЗ. Аксиома непрерывности по Х-

У4,Д» с^^-Ьх^ОУис Уиб

равномерно по ЭС,),Х.<.

Х4. Аксиома непрерывности по И и 1/,

(ики0 , ■толе }} -*- О

Здес£ означает * -слабую сходимость в соответствующих пространствах

Аналогично тому, 1сак сто сдел^о в §1, определяются стратегии "О СО и соответствуйте та движения абстрактной управг-ляемсй системы.

Для управляемой системы X1Г-1 ставятся задачи сближения и уклонения.

3 определении 4.2 дается основное понятие '¿1- стабильности одного качества по стноиешиэ к другому. Оно представляет собой абстрактный слалог аналогичного понятия теории позиционных дифференциальных игр.

Опишем- процедуру построения стратегии IX первого игрока, 'раэрсшавдуа задачу сближения для абстрактной управляемой системы.

Пусть заданы два множества К. ^ С. } >

К, 1С- стабильно относительно и выбраны:

- начальная позиция управляемой системы \ ^г >

- точка К, (Л.Г)

- А - разбиение отрезка 1А*>,с>3 <

У.з позиции 1, Ъа будут "вылущены" дза специальным образом достроенных движения. Одно движение - поводырь (обозначение До, 'и , V 1 ) будет проходить по стабильному мнокеству Кч « другое двикение - псевдоповодырь (обозначение и,1г] ) будет строиться специальным образом.

1 шаг. Построение управлений ' на интервале 1Ти,Т,У Пусть 1)-^- произвольная функция- из . Функцию

•ц.*!.;! £ выберем по тг,т<,г0> г4-?, л из условия

1С- стабильности К, относительно К г.. Пара управлений \ , V" и; } определит движение , и" г. ^ 1 ь

на Ст.,то- ' ^

По определению положим и (ТЧТЧ Ус "> = { ^ 1<о Ь и построй., движение

Z дат. Построение управлений на интервале В момент Т, первш игрок располагает следующей информацией: ■ {Тл, 3 - позиция управляемой системы в момент Ч- Т,

2 [ТчЗ^ - позиция поводыря в момент 4.=-т1 . Начиная с момента 4.= ^ первый игрок фсрмирует еще

одно вспомогательное движение - псевдоповодырь г 3.

Определим множество:

.^г«,г.,чв, -и^ ^ 1 ^ ^ $ . (4.5)

Выберем произвольную функции С Ф^з и построим движение з, чг1о-] -3. Управление У^СО, "5 £ выберем из условия: т*

%

чгеОсО " * (4-б)

В (4.6) , - скалярное проведение в пространстве

Здес{> £ Ху ( X у. - соррпкенноа Ху. пространство) и линейная оболочка иь всюду плотна в Х'г 'О.

Последовательность чисел оС • такова, что

с* ^ л

о<об <1 , ы,- . г: <*■•.<.«> .

- значение функционала с^ на элементе 1Г.

3 иаг. На остальных временных участках ^¿лО * •* —

построение управлений К- ц-] , , и! производится по аналогии с алгоритмом, описанный на втором шаге. Справедлива основная Лейла 4.Г.

\/£»0 "3р»>0 УдО^6^».^ Л/у0)2о € Хо

3 основа доказательства этой ле.мш лежит оценка на приращение функционала ^

SlV}- W.C У, S (Jrts^-v*Co*)ds^2 (4 8)

-to

Эта оценка имеет следующий вид

^ LUT.3 °С°00"> (4.9)

и лежит в основе доказательства Лекш 4.2 о стабильности аналога кнекества позиционного поглощения и Теоремы 4.1 об альтернативе, утверждгшцей, что для управляемой системы СС и для шзбой начальной позиции {"U.^Ccli всегда разреашыа либо задача сближения, либо задача уклонения. Задача сблияения (уклонения) разреглка тогда и юаькс тогда, ксгда

е>Х/(м,Ю С. Ф WOv.N') , ГД0

О

аналог ынозкества позиционного поглощения. ?5 посвязен задаче управляемости для параболической системы. Эта задача возникает при построении множества типа лежа-

щих в основе конструкций экстремальной стратегии "U. Рассматривается управляемая система вида

+ М = 'Utl.oO , (¿.xlcGUCo/rVQ, ' (5Л)

-хеО, • (5.2)

= 0 , С^.х^бХ» OQ (5.3)

Здесь А - дифференциальный оператор вида

АМ.-Х^О^ЪуЪ НИМ , (5.4)

J

где CLjj "= Qji , Л ^ y/ox^ - измерише (по Лебегу)

и ограниченные на функции, удовлетворяющие условию

1 v-t 0 J I i=i > (5.5)

Hei множество Q наложены ограничения обес-

печивающие нуя;.\ые свойства обобщенного решения задачи (5Л)-. -(5.3);, VtZ H1e(Q), -uc-l.^ie L4c«,T3-, rt-1cc>»

Обобщенное решение задачу (5.l)-(5.3) является элементом-'•. . р'остранстза С° Oü,Tl'v иг и будет обозначаться''

символом "У (."Ц* > о, ") , «.") .

ручается основная задача 5.1.

Пусть заданы: СО : система 05.1)-(5.3) ; Cii) функция

XtOfe Н'о CQ")> , С-1 i) множество "U с: I2- (IО ,Т1 Н CQ У). 'Требуется построить управление К.0, решашее задачу перевода системы из состояния 'УсО в момент времени - 0 в состо-;шие ^(О в момент времени I * Т и лекащее в минимальной окрестности множества TJ в пространстве LzC,t%Tl т.е. .

"\J(T,X-, О, ЧвЮ.-и" ") = /с^ , , 15.Ъ)

^(V/U} Ц , (5.7)

Эта задача решается при следующих дополнительных условиях.

Условие 5.1. Пусть функция Xl') достижима в момент времени -Ь = Т из некоторой априори неизвестной позиции ?„(•'). Э силу "свободной" системы (5.1)—(5.3), т.е.

-,0,3.0), (О . * (5.8)

Условие 5.2. Множество ТI - выпуклое замкнутое и ограниченное в пространстве L2^_to,T3i

Для решения этой основной задачи 5.1 привлекается метод кв-гзиобрацения Ж.-JiJIионса, позволяющий конструктивно построить последовательность управлен: л 7 аппроксимирующих решений

задачи 5.1.

Приводятся оценки точности, позволяющие сделать выбор нужных параметров аппроксимации. Ввделен класс управляемых систем с управлением вида (.-О "ихЪ, для которого имеется единс-

твенное решение задачи о переводе из одного -состояния в другое.

£6 содержит сводку основных результатов главы I.

Глава П. Аппроксимация методом штрафа в задачах управления формой области в системах с распределенными параметрами. §57-12 ¡-

В этой главе изучаются задачи оптимального управления формой пространственной области, в которой развивается процесс, описываемый уравнениями с частными производными. !

В приложению: довольно часто возникают задачи, при изучении которых приходится сталкиваться с необходимостью решения уравнений с частными пр сиз в одними в областях, форма которых может изменяться, например, во времени.

С математической точки зрения краеше задачи, например, теплопроводности в областях с подвижной границей принципиально отличаются от классических задач математической физики.

В^ледотвие ззииедаости геометрических размеров области от времени к этому типу задаи в оо'цем случае неприменимы классические методы исследований, используемые в математической физике.

Основная сложность, с которой сталкиваются, напримкр, при изучении проблем управления в переменных во времени областях, заключается в том, что приходится иметь дело с функциями состояния \jiCt, х'"), определенными при разных значениях "Ь в разных областях изменения переменной ос , Для преодоления этой трудности в данной главе предлагается использовать метод штрафа по форме области, позволяющий свести задачу с переменной областью к задаче, определенной в заранее заданном фиксированном множестве, Последняя задача по своей структуре отличается от первоначальной только наличием .дополнительного штрафного слагаемого, содержащего всю информацию о форме области, и представляет собой ( в случае линейных систем) аналог управляемой билинейной системы, зависшей от "большого" параметра.

Исследовании свойств таких аппроксимирующих систем и посвящена данная глава.

В §7 дается общая постановка задачи управления формой области.

Имеется семейство областей 0= 1 * . В каждой

области Сс^ может быть решена краевая задача определенного типа для уравнения с частными'производными, например, параболического или гиперболического типа. Соответствующее решение описывается функцией , где -Ь -временная переменная, ос —

' * '

пространствеьмал переменная, хс . На множества решений

(С^/х ") £ О}- за^ал фунгар;онал качества ,, -

Требуется найти такую область ! £ , на которой функционал От принимает,наименьшее значение

ССЧ-- <7.2)

и описать необходимые (или достаточные) условия разрешимости., этой Задачи.

Проблемы такого типа будем назьл,а?л> задачами управления формой области.

Из приведенной выше общей постановки вытекадт следующие основные задачи:

I . Проблема существования оптимальной области. . 2°. Получение необходимых (достаточных) условий, определяющих 3°. Разработка алгоритмов приближенного исследоваяия'таких задач. 4°. Моделирование задач со свободными границами как задач оптимального управления формой области для специально сконструированных функционалов качества. .

В СЭ списывается обаая структура операторов штрафа по форме области.

59 посвяаен аппроксимации методом штрафа по форме области в параболических системах вида:

+ Ау = £ , в . б, (9.1)

> в Ц . <9.3)

Здесь бс нецилиндрическая по -Ь область с " ~'

гладкой "боковой" поверхностью . А — Эллиптический' оператор вида (5.4).

Аппроксимационная система для (9.1)-(9.3) имеет вид

^Ау* + - ^ > в ^ >.' (9Л0)

^СС-Оо, А ' /о ттГ

т 20 -

/n

= 0 x^Q . ( (9Л2)

Здесь Q = C°>"0 * ;— цилиндрическая область,! содер-¡шяая Q . Штрафное слагаемой имеет вид •

где £>0, а Uc^-x) - функция вида

п ) Î 0 ^ cV-oeQ,

Справедлива следующая ^

Теорема 9.1. Пусть фукция 0 ^ £ К 0 тогда существу-

ет обобщенное решение задаче (9.1)-(9.3).

В теореме Э.2 устанавливается единственность обойденного решения.

В ходе доказательства теоремы 9.1 устанавливается, что при e-f 0 имеют место следующие сходимости

у слабо в L4Ci°jl î (â^ (9.33)

и ?ГГ слаб° в L2Cïo,Tl i (9.34)

и выполняется условие

%\д '

Отметим, что сходимость (9.34) установлена при дополнительном ограничении на область Q. , которое сформулировано в Условии 9.1.

"Боковая" поверхность есть гладкое многообразие класса

С'. В кавдой точке С-ЦоО <-. Ь,т1) существует каса-

тельная плоскость, внутренний (по отношению к Û ) вектор нормали которой составляет с положительным направлением оси времени 4 угол ji такой, что 0* ^ ^ <Ua <. \ .

Основной вопрос, изучаемый в этом параграфе, связан со свойствами сходимостей (93М,(9,34) на семействе гладких областей

Эта проблема изучается при дополнительном условии 9.2.

Пусть задано семейство областей

обладающих для каждого «itl свойствами, аналогичными свойствам области Q. . Дополнительно будем считать, что семейство замкнутых множеств Ûjt. , «i б X является компактным в метрике Хаусдорфа

в пространстве Ик+4 . Для изуче1зия характера сходикс 1 вводится функциональное пространство

!

с нормой

Справедлива слодувдая основная теорема 9.3 о равномерной ¡аппроксимации.

Теорема 9.'3. При в слабой топологии

и равномерно на семейстяз {<3.1.1 •* € 1 У-

Здесь следует отметить, что равномерная на семейство областей {О.* \ •< X У аппроксимация (при £->-0 ).подучена

В слабой топологии пространства 0/(с>т"). Я силу непрерывности

/"* 2, ---

влояения

можно-утверждать, что сходимость у£ "У является равномерной на"семействе

\ е X У ив слабой топологии пространства СС^0>Т~}'.>

ТО».

Отсюда, в частности, следует, что при каждом фиксированном значении "Ь * С 1С,Т~\ теет место слабая сходимость

в ^сС^"*,-О^4)-)-(4»-з^равномерная на семействе{¿¡¿^Т}.

Таким образом, если на решениях смстекы (9.1)-(9.3) задан некоторый функционал качества, полунепрерывный снизу в одной из рассмотренных выйе слабкх топологий, то .задача поиска его минимального значения на семействе lQ.il »*• £ Т } может быть аппроксимирована семейством задач минимизации "подобного" же функционала, но уже на решениях алпроксимационной системы (9.10)-(9.12) при подходяще выбранном значении £=-0.

Отметим, что задача минимизации функционала качества на решениях системы (9,10)-(9.12) является стандартной (по структуре) задачей оптимального управления (с управлением и ) в которой управляющий параметр II яв-ляегся коэффициентом при неизвестной функции состояния. Задачи подобного сорта "достаточно хорошо4 изучены. Стандартными приемами для-них могут быть полу- ■ чекы необходимые (достаточные) условия из разрешимости.

Заметим, что условие 9.1 о свойствах касательных плоскостей, '

- £2 -

i

I i

к "боковой" поверхности было использовано только для по-

лучения равномерной по £ > 0 оценки на норму производной

/э! - Если же по условии задачи достаточно сходимости аппроксимаций "Ч, —> "У в * - слабой топологии пространства

- А J , л

1Г(1°,ТЗ > L CQ или слабой топологии Hp(Qj),

то, очевидно, что равномерная сходимость на семействе {GM-ttl^ имеет место в этих топологиях. '

§10 посвящен задачам аппроксимации методом штрафа по форме области гиперболических системах вида:

-v Ау = ^ , в а, (юл)

МС^х") = Ч>0(?0 , в Q0, ■ (Ю.2)

= ? в (10,3)

yd,«о = о , в 's: . iI0*4)

Здесь А - эллиптический оператор вида (Б.4). Для системы (I0.I)-(I0.4) дается понятие обобщенного решения и рассматривается аппроксимация методом штрафа по форме области вида;

= Sr 3 '» (Ю.7)

~ N f ч>оОО, •xgQ», VW^CpO« 4 л ^

I Ö, ОС^Йс 5 в Q, (10.8)

^Cß(x>4= { 0 Q, (10.9)

= о , 2 2:«, (юло)

Решение системы (IO.7MIO.IO) понимается в смысле теории распределений. ^

Доказывается теорема 10.1 о существовании при Ч"0 €

Ч'о £ I- обобщенного решения (ЮЛ)-(10.4) как

предела решений системы (10.7)-(1ОЛО). Отметим, что в ходе доказательства существенно используется условие 9.1, налагаемое на область (2.

Вопрос о единственности обобранного решения для гиперболи-

ческой}системы остается пока открытым. Это связано с тем обстоятельством, что "гэометрия" границы (множества О долина бятр'' "увязала" с геометрией "звукового конуса" в каждой своей точке.^ В связи с этим вопрос о равномерности аппроксимации ставится только для| тех. решений, которые являются пределеми решений соответст-' вуотих аппроксимирующих систе?;. Этот результат отражен в теорё-' ые-10.2. " '

В 511 рассмотрено волновое уравнение с постоянными' коэффициентами пространстве размерности I. Для него доказала теорема о единственности обобщенного решения (теорема 11.1) и получено-' заключение о равномерности аппроксимации на рассматриваемом семейства областей.

В 512 рассматривается аппроксимация методом штрафа по форме области в эллиптических системах. Для эллиптической системы

Ая* О, Й ... (12.1)

• м = О , Гл = (12.2),

предлагается следующая аппроксимация истодом штрафа по форме области ^

= ^ , в (12.5)

V) е О , в ГоО.(12.6)

При выполнении условия 12.1 о компактности семейства

\ * ^ Ь в метрике Хаусдорфа устанавливаете к результат о равномерности аппроксимации на семействе {^а \ * е X } •

Теорема 12.1. При £->-0 "Уе У в слабой топологии

НрС^З равномерно на семействе ■{ I * €-1

Таким образом, в главе П показало, что аппроксимация методом штрафа по форме области является равномерной на определенных семействах областей и может быть использована для прибликеиного решения задач оптимального управления формой области в системах с распределенными параметрами.

Глава Ш. 0 моделировании задач со свободными границами. ~ §">13-15 " " •' •

В этой главе речь идет о моделировании методом штрафа по форме области некоторых задач математической' физики с подвижными

г 24 -

и свободными границами. Как правило в таких задачах неизвестными величина»«] являются не только функции, характеризующие состояние система, но и сами области определения отих функций. Последнее обстоятельство наводит на шсль о привлечении теории оптимального управления формой области для решения этих задач. Отметим, чт> в самой моделируемой задаче, вообще говоря, никакого управления может и не быть.

В 513 рассматривается моделирование одномерной однофазной классической задачи Стефана задачей управления формой области.

Как известно, классическая математическая модель одномерной фронтальной задачи Стефана описывается следующими уравнениями:

(13.1)

(13.2)

(13.3)

(13.4)

(13.5)

эг в

момент времени •Ъ . функция Ч^СО описыв дат начальное распределение температуры в "жидкой" фазе, а К (О описывает изменение формы области, занятой "кидкой" фазой. Условие (13.4) явля-, етоя математической формой записи уравнения теплового баланса,на границе раздела "жидкой" и "твердой" фаз. В этой «одели поло®.енс что температура твердой фазы равна нулю.

Эта задача может быть исследовала различными методами. Она может быть сведена к интегральному нелинейному уравнению или к вариационному неравенству параболического типа.

Здесь предлагается модель задачи Стефана как задачи оптимального управления, в которой рольуправляющего парамзтра играэ1 форма области, занятой "жидкой" фазой. Основанием для такого ыо> делирования служит следующее наблюдение.

В классической задаче Стефана по начальному распределение температуры ^СО ^ 0 можно априорно оценить диапазон изменения величины производной

х Г

на фронте ас^ -ц с4") , а тленно ?

II С-Ц-иА-Г) - - 1с й(Ь , о <-1 ,

ползай

Здесь "У(4,'эО - температура ''кидкой" фазы в точке

Об-'-^/и^-О йЛГ- ™ал {^Ы-и.5 \ТЕо,-ц Л} (ДЗ^б»)

Эта оценка позволяет заменить в ыоДели (13ЛМ13.5) условир (13.4!) на уравнение |

I = ,(13, б')-

и рассматривать в дальнейшем и ТГСО как управляющий параметр.. Вид условия (13.4) определяет выбор функционала качества, например.

3(игС.У) = ^ V:ТГСЬ"^ с]-Ь . (13.-7)

о '

Для исследования этой задачи в ноцилиндричвской области воспользуемся аппроксимацией методом штрафа по форме области, приводящей к изучению семейства параболических управляемых систем, 'зависящих от штрафного параметра £->0 и имеющих стандартную (с точки зрения теории оптимального управления)-структуру. Аппроксимационная модель имеет вид

, эсеСр/Х'),

(13.8)

(13.9)

=0 , € Г = Ю^ОСо/Х") (13.10)

гиЪ «ТГС-Ь , = -ц0 (13,, II)

ЗО.м-с-Л = С СЦсЧ^О^^О^ (13.1Й)

о ■ <•

п Здесь £> О, ЧЛЮ - управление, а ХХ£ определяется

соотношением

Г 0 ; О^тс^ исЬ,

Ц (4,х^ги-)).=:< ея^-О-ч^-ОX*" 1

\7 + ЕС ас ■ (Ш2Г)

-! 26 -

I

Для управляемой системы1 (I3.8MI5.II) любится задача минимизации функционала О, ЛГО на кножес£Ье допустимых управлений 1г(.0) удовлетворяющих ограничению |

тгСЬе 1°,'VI , г,е. -Ье I

Отметим, что ХТ£ есть гладкая регуляризация характеристической функции, а система (13.8) определена в цилиндрической по области (о>"0 -х С0>ЗО,где число X вычисляется в связи с оценкой (13.5').

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 13.1. Функционал Э(е> 1ГбУ) полунепрерывен снизу по изменению ггСО в слабой топологии пространства Ц100 •

Теорема 1о.2. На множестве допустимых управлений ТГО функционал достигает точной нижней гр^ш.

Основной результат содержится в геореме 13.3.

Теорема 13.3 Для любоЧ последовательности Ч^ СЛ->-Т/*.СО В ' С.(Л0>"*"О при £^->0 имеет место сходимость

л и

; \0 >) ~ С^ ; О

в пространстве

Если обозначить через 1/о0^'Уо('> О С^о"^") классическое решение задачи Стефана (13.1М13.5), через "УД-,'*.! ^¿(О^) — решение аппроксимационной системы (13,8)-(13.П) и через ^(»У функции, доставляющую функционалу минимальное значе-

ние, то справедлива

Теорема 13.4 об аппрокоимации, При £->0 имеют место сходимости

В 514 для аппроксимационной модели (13.8)-(13.И) получено необходимое условие экстремума функционала И(е ,1Г(- О- Дано представление градиента функционала 3 С^иЧ-О в пространстве Ц'СД 0 через решение сопряженной системы.

В §15 рассмотрена аналогичная аппроксимационная модель двухфазной задачи Стефана,

гЬава 1У. Задача управления формой неограниченной области ! в гиперболической системе. Ш 6-3.7

В этой главе на модели поперечных колебаний "полубескоиеч^ ной" струны з перемещающейся во времени точкой жесткого закрепления .исследуется задача оптимального управления, в которой роль, управляющего параметра играег,,координата точки закрепления. "Если определить положение точки закрепления в иомент времени--£ ' как ■ -глЫ"), то возникает задача управления границей КС-1т. - 'бесконечной области, в которой задается уравнение гиперболического типа.

Здесь предложена математическая формализация задачи, доказано существование оп\'ииальиого управления и приведены необходимые условия экстремума.

Приложение I §18

Здесь собраны доказательства некоторых утверждений, сформулированных в тексте диссертации.

А именно, докалывается Предложение 18.1 о компактности пучка траекторий нелинейной управляемой системы из 51.

Приведен вывод формулы для градиента функцио'нала ^ЗС^иХ-^ из аппроксимационной модели задачи Стефана, доказано Предлоке.--' кие 18.2 о существовании единственного решения сопряженной системы в аппроксимационнои. недели задачи Стефана.

3 Предложении 18.3 доказывается лклшцевость градиента функционала качества ' з пространстве

Приложение 2 §19

В 519 рассмотрено несколько численных примеров аппроксимации задач;! Степана задачами управления формой области. Приведено большое число рисунков (Рис.1 - Рис.23),-иллюстрирующих возможности предлагаемого метода численного решения задачи Стефана.

Заключение

Заключение содержит основные результаты, полученные в ра-" боте и ближайшие перспективы развития теории. . Основные результаты состоят в следующем.

I. Выделен класс банаховых пространств ( -пространств), в которых возможно обобщение принципа экстремального прицеливания, позволяющего оценить расстОл;шс между траекториями абстрактных дифференциальных уравнений. На базе предложенного метода построена формализация дифференциальной игры сближения-уклонения для абстрактного нелинейного дифференциального уравнения в банаховом 5 Р-пространстве.

2. Для абстрактных управляемых етаамических систег,:,1 непрерывных по управляющим параметрам, предложен позиционный алгоритм сценки расстояния ыекду траекто;.:.\о!и, позволяющий строить стратегии, решавшие задачу сближения-уклонения.

3. Для линейной управляемой параболической системы приведена новая постановка задачи управляемости » дано ее решение. Продемонстрирована возможность построения мнокестч (типа (сы. (4.5))), лзкащих в основе определения экстремальных стратегий в абстрактных динамических системах.

4. Предложена новая формализация задач управления формой области для систем, описываемых уравнениями с частными производными параболического, гиперболического и эллиптического типа.

5. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенна ршений в нецилиндрических по временной переменной областях для уравнений параболического и гиперболического типа.

6. Предложен метод моделирования и исследования задач со свободными границами как задач оптимального управления формой области, Продемонстрированы возможности подобного моделирования на примерах одно- и двухфазной задачи Стефана. Для соответствующей оптимизационной модели получены необходимые условия оптимальности. Приведены результаты численного моделирования однофазной задачи Стефана.

7. Получены результаты о существовании и единственности решений параболических систем с нерегулярными правыми частями,

8. Предложена математическая формализация задачи управления формой неограниченной пространственной области для одномерного волнового уравнения, Получены необходимые условия оптимальности.

I Основные результаты опубликованы в работах:

1. Охёэин С.П. Задачи позиционного управления в нелинейных сис^ темах с распределенными параметрами.. Всесоюзная конференция "Динамическое управление". Свердловск, 1979, ТЬзисы докладов

С. . 1 „...■■"''

2. Кряжимокий A.B., Осипов Ю.С., Охезин С.П. Задачи управлений. • в системах о распределенной параметрами. В кн. "Динакика'-'!

управляемых систем". Новосибирск, "Наука", 1979, çvI99-2№.

3. Ох»эин С.П. К теории позиционного управления в.нелинейных системах с распределенными параметрами. В> кн. "Оптимальное; управление системами с неопределенной информацией". Свердловск, УНЦ АН СССР, 19Ш, с.79-66.

4. Охезин С.П. К теории позиционного управления в абстрактных

эволюционных системах. В кн. "Задачи динамического управления",

Свердловск, УНЦ АН СССР, 1981, с,46-52.

5« Короткий А.Н., Кощеев A.C., Максимов В.Н.,-Охезин С.П., Филиппова Т.Ф. i Хапалов A.D. Задачи управления и. оценивания в сложных динамических системах. Свердловск, Институт математики и механики УНЦ АН СССР, 1982, 190с.

6. Охезин С.П. К теории позиционного управления в параболических системах, В rat. "Задачи позиционного моделирования", Сверд - . ловск, УНЦ AH COUP, 1986: с.94-102.

7. Охезин С.П. Аппроксимация методом штрафа в задаче управления формой области в параболической системе. УП Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений" Тезисы докладов, Рига, 1989, с.176.

8. Охезин С.П, Метод штрафа в задачах уоравления формой области в параболических системах. Школа-семинар "Разрывные динамические системы", Тезисы докладов/Киев, I989,*c.4I. ' <

9. Охезин С.Г1. Об одной аппроксимации в задаче управления формой области для параболической системы. Прикл. матем. и

л механика, 1990, вшиЗ, с.361-365. . " <

10. Охезин С.П. Метод штрафа в задачах управления формой .области в гиперболических системах. Школа-семинар "Разрывные динами-»-ческие системы", Тезисы докладов, Ивано-Франковск, 1990,

с. 28.

11. Охезин С.П. Оптимальное управление формой области в парабо- . лических системах и задача Стефана. УП Всесоюзная конференция "Управление в механичеоких системах", Свердловск, 1990, с.86-87.

ia, OkerniK S.P, Opiim.a£. Skape Dssi^t far fbrcd'oLcjS^sicm omJ Tvo-PWa.se S-le$aA Proltmi. Tntema-tioiaAÍ „

Сол.$егел£а 'Fгы ücuuwúr^. РгъШгт t« (^^t^u^MecUuticf,

1<Э92 , USSß, A^sW-b, Р. i .

* i

IS. Охезяк С.П. Об одной математической модели задачи Стефана. Дкфференц.Уравнения, 1991, т.27, Íf6, с.1042-1048.

14. OWei

in S,P. Tke Method Quasitretfersliili^ си "tíu Go»ctiroC ProiUms PaxaiJUc Suterns. 'The Ih.tdrnA¿íovu»£

ConJercHc«. " Ucsco^,

AßsWis , р. Ш.

15. Охезин С.П, Задачл управления формой области в системах с распределенными параметрами. Вкола-семишр "Разрывные динамические системы". Ужгород 1991, Тезисы докладов, с.44.

16. Охезин 0.0. Управлений формой области и двухфазная задача Стефана. В кн, "Задача моделирования и оптимизации". Свердловск, 1991, УрО АН СССР, с.141-150.

17«, ОКегСп S.P. OpUmaA £rr Pa*"A&o(Lic

Sus4em аигЛ "Two- PWsc. Siefa.«.

ProgU

Series 4 Numcrfce* ÍAuíWOics , VcC. 40C,

Iß, OUeain S.P, TW. Stuxpe Problems Jpf

V*>rU, IbivlrlWceJi ibyameiers . Ttrsi \XiorU CU^ress 0$ Ncb&nea*' AriaJlgsh , "Тсипрл, riorldq USA , hutgusi HS-2G, p €0.

19* OKe^i«. S.R "Tke ^uidle-iy^ соц{.гЛ ил «i^haini-

Caí

ЬЫЫ .IMEfeO

S^tn^¿uva trru

Teekwícai Se^ie^W Dresden., ,

реДеглИ üepujLtic Gurmturv^.,

£Q, Охезин С.П., Калистрато^ B.A, Оптимизационная модель задачи ( Стефана. Прикл, ыатем, «'механика, 1993, т. В?, вш.^чЬНО.

Domain. Coivbrot CLv\d

Fric ßoluidarij. Рго&бмпа. 10| Con-Jerftnc« ол Wclhms Onel MütWi üi tocdtUrncdkoJ. RkjjsiG? . ,

GiWiavi^.. AidrrcKifs, I

Цитированная литература

1. Ж.-ЛЛионс. Оптимальное управление системами, описываемыми у$С.Ьнетгш с частными производными. И,: Наука, 1972.

2. К.-ДЛионе. Об оптимальном управлении распределенными системами Успехи кагем.наук, 1973, т.ХХШ, вып.4, о. 15-46;'

3. Ю.С.Осипов, А.П.Суетов. Об одной задаче &.-ЛЛионса./ ■ Докл. АН СССР, 1984, *.27б, »2, с.288-291.

4. Ю.С.Осилов, Л.П.Суето5. Существование оптимальных форм эллиптических систем. Случай краевых условий. Дирихле. , Препринт ИМИ УрО АН СССР. Свердловск, 1990, 98с. /

5. Has&natr 3. cuvd Ne;-H.aarimatl Р. Fluide E?«.me*ct Appro-Xlmo&on. -fer OpW*i SW^e "besinn.Ttaor^ euU afpiWi&n.

3oW Wi^ & Sw LU. АШ.