Правила ветвления для линейных и проективных представлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Щиголев Владимир Викторович

ПРАВИЛА ВЕТВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ И ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2013

0055311¿о

005531138

Работа выполнена на кафедре алгебры Московского педагогического государственного университета.

Официальные оппоненты: Зубков Александр Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Омский государственный педагогический университет, заведующий кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии

Сергеев Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, профессор

Скрябин Сергей Маркович, доктор физико-математических наук, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ведущий научный сотрудник Ведущая организация: Институт математики и механики

им. Н.Н.Красовского Уральского отделения РАН

Защита состоится " ^0" ОтгАа'^Л 201Ъг. в ¿¿часов на заседании диссертационного совета Д212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, дом 33-35, аудитория 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат разослан "3О" .л^оЛ 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор '/((> Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория представлений симметрической группы ¿„ занимает совершенно особое место в теории представлений конечных групп. Над полями нулевой характеристики эта теория позволяет получить полную классификацию представлений: каждое представление группы ¿п полупросто, неприводимые представления группы ¿„ соответствуют разбиениям числа п и их размерности вычисляются по формуле крюков [13]. С другой стороны, эта теория в случае положительной характеристики основного поля далека от завершения. Так например, даже размерности неприводимых ¿■„-модулей неизвестны.

Для развития модулярной (то есть над полями положительной характеристики) теории представлений группы ¿„ необходимо понять, чем эта группа выделяется среди конечных групп. Один из ответов на этот вопрос получил И. Шур в своей диссертации [45], в которой он построил теорию представлений полной линейной группы СЬ„(С) на основе открытых до этого Г. Фробениусом комплексных характеров симметрической группы [28]. Позже Дж. А. Грин [30] вернулся к этому вопросу и обратил рассуждения И. Шура, построив неприводимые представления симметрической группы из неприводимых представлений полной линейной группы СЬ„(Р) над произвольным алгебраически замкнутым полем Р. При этом неприводимые ¿„-модули получаются как образы неприводимых рациональных СЬ„(Е)-модулей под действием функтора Шура. Так как последние модули однозначно определяются своими старшими весами, то функтор Шура позволяет получить также параметризацию неприводимых ¿„-модулей: каждый неприводимый 5„-модуль изоморфен ровно одному модулю £>А, где Л — р-регулярное (то есть не содержащее р или более одинаковых частей) разбиение. Такой подход к построению неприводимых ¿„-модулей проще чем подход, изложенный в книге Г. Джеймса [13], который не выходит за рамки представлений группы ¿„, а также позволяет получить некоторые результаты в неё не входящие, например, теорему о удалении столбца и строки из матрицы разложения [33].

На применении функтора Шура основана также модулярная теория ветвления для симметрической группы, развитая А. С. Клещевым [34] и [35]. Напомним, что для основного поля нулевой характеристики, правила ветвления позволяют разложить ограничение Бх неприводимого ¿„-модуля £>а в прямую сумму неприводимых ¿^-подмодулей. Напротив, в случае

основного поля характеристики р > 0 ограничение Dx l не обязательно полупросто: оно распадается в прямую сумму неразложимых 5n_i модулей, цоколь которых изоморфен в точности одному неприводимому Sn-i-модулю [35]. Информация о цоколе оказывается значительно более полезной, чем может сначала показаться. Например, на её основе Б. Фордом и А. С. Клещёвым [27] была доказана гипотеза Муллино [43] о том, как устроена биекция на множестве р-регулярных разбиений Ан/i, где Dр = (gisgn (здесь sgn — знакопеременное представление группы Sn). Кроме того, эти правила ветвления позволяют вычислять Ех^-пространства между некоторыми простыми ¿'„-модулями: А. С. Клещёвым и Дж. Шесом [38], [39] вычислены пространства ExtlSn(Dx,Dtl), где А и ц — разбиения, состоящие не более чем из двух ненулевых частей; Д. Хеммер [31] вычислил Extsn(Dx, £>''), где Dx и — вполне расщепимые модули (то есть такие, что их ограничение на любую подгруппу Юнга полупросто); автор в работах [3] и [4] вычислил Ext5n(Z?A, D'L) для случая, когда Dx — вполне расщепляемый модуль и A ^ fi (А > /х обозначает, что h > J2i=i РЧ Для любого к и хоты бы одно неравенство строгое). При этом утверждение о том, что Dx — вполне расщепляемый модуль, имеет вполне чёткий комбинаторный смысл [37] в терминах разбиения А. В частности, результат работ автора [3] и [4] позволяет утверждать, что радикал модуля Шпехта Sx такого, что Dx = head Sx — вполне расщепляемый модуль (где А — р-регулярное разбиение), либо нулевой либо содержит единственный наибольший подмодуль. В последнем случае фактор Dx по этому подмодулю явно вычислен (см. лемму 4.5 и теорему 4.6 из работы автора [4]). Наконец, упомянутые выше работы [38], [39] и работа автора [6] содержат версии этих результатов для линейных групп. В работе автора [2] показано, что Ех^-пространства между неприводимыми 5п-модулями связаны с правилами умножения наклонных модулей (fusion rules for tilting modules) при помощи дуальности Шура-Вейля. Правила умножения, которые используются в работе [2], содержаться в работах О. Матьё [42] и К. Эрдманн [26]. Информация об упомянутых выше Ех^-пространствах может быть использована в различных приложениях, например, в задаче из работы автора [1] о возможности задать все неприводимые модули множества {Z?A+('") | г G N}, где А — разбиение высоты менее р и п < р, конечным количеством соотношений.

Возможно, ещё более важным следствием модулярных правил ветвления является возможность задать параметризацию неприводимых линей-

пых представлений группы Бп, определив их по сути при помощи этих правил [36]. Известны три способа показать, что последняя параметризация и параметризация, происходящая из функтора Шура, совпадают. Первый способ принадлежит А. С. Клещёву [36]. Второй способ описан в работе С.Арики [18]. Он опирается на теорему категорификации С.Арики [16] и редукцию по модулю р. Третий способ [16] также опирается на теорему категорификации С.Арики, а также на идею экстремального веса [23].

Всё сказанное выше в равной степени применимо к проективным представлениям симметрической группы, за исключением правил ветвления. Изучение проективных представлений симметрической группы 5„ эквивалентно либо изучению линейных представлений либо в случае, когда п ^ 4 и характеристика основного поля отлична от двух, изучению представлений алгебры Тп, порождённой элементами ¿ь ... и заданной соотношениями

где г,] = 1,..., п - 1 и \г — з\ > 1. Удобно считать, что эта алгебра задана при любом п ^ 1 и является супералгеброй с градуировкой, в которой все порождающие нечётные.

Естественно пытаться задать неприводимые 7^-супермодули установив связь с представлениями некоторого геометрического объекта. В случае линейных представлений таким объектом была группа СЬП(Ж). Для 7^-супер-модулей таким объектом является супергруппа <3(п), которую мы понимаем как следующий функтор из категории коммутативных Р-супералгебр

в категорию групп [32]:

Неприводимые полиномиальные Q(n)-супермодули L(A) степени п с р-ограниченным старшим весом А отображаются при помощи функтора Шура в неприводимые Уп-супермодули D( А), где Уп = Тп®СпкСп — супералгебра Клиффорда [21]. Для получения неприводимых 7^-супермодулсй требуется дополнительное усилие: функторы и 0„ позволяют получить все (с точностью до изоморфизма) неприводимые 7^-супермодули Dx из уже построенных неприводимых Уп-супермодулей D(А), а так же проследить за тем, какие из полученных супермодулей остаются неприводимыми, если забыть про 22-градуировки и рассмотреть их как обычные модули. Аналогичный

£¿ = 1, Uti+iti — íj+iíjíj+i, Utj — tjt¡,

процесс применим к построению супермодулей Шпехта Sx для супералгебры Тп.

Заметим, что в части II работы [36] на основе наперёд заданных правил ветвления построена совершенно другая система неприводимых 7^-супер-модулей Gx. Однако эквивалентность Dx = Gx до последнего времени не была доказана (за исключением случая F = С), и фактически существовала ситуация, в которой некоторые результаты [21], [24] относились к супермодулям Dx, в то время как другие результаты [20], [36], [40], [23], [22], [44], [17] относились к супермодулям Gx (обозначения этих работ не должны вводить в заблуждение: неприводимые 7^-супермодули обычно обозначаются через D{А) во всех этих работах независимо от способа определения).

В отличии от случая полей положительной характеристики, в случае (алгебраически замкнутых) полей нулевой характеристики проблема ветвления для алгебраических групп (и алгебр Ли) напротив изучена очень хорошо. Правила ветвления для ограничений с GL„(C) на GLn_i(C), с Spinn(C) на sPinn-i(c) и с Sp„(C) на Spn_1(C) доказаны в книге Д. П. Желобенко [14]. Элементарное изложение правил ветвления для этих ограничений содержится в книге Н. Р. Гудмана и Р. Уаллаха [29]. Опубликованы обширные таблицы правил ветвления для классических и исключительных алгебр Ли, смотрите работы Ж. Титса [46], М. Р. Бремнера, Р. В. Муди и Дж. Патера [19] и У. МакКей и Дж. Патера [41].

Для полей положительной характеристики можно рассмотреть проблемы ветвления для аналогичных пар подгрупп. Однако в общем виде в настоящее время все они далеки от решения. Более реалистичной представляется задача вычисления цоколя таких ограничений. Наиболее изученной является пара подгрупп GLn_j(F) < GLn(F). A.C. Клещёвым [35] были найдены компоненты цоколя ограничения L{А) 4-GLn_!(F) неприводимого СЬп(?)-модуля со старшим весом А = (Аь ..., А„), имеющие вид L((i), где ß = (Аь..., А,_!, А; — l,...,A„_i) для некоторого г. Фактически этот результат следует из решенной в той же работе проблемы нахождения СЬп_!^)-примитивных векторов в L(А), имеющих вес того же вида. Нахождение именно таких компонент цоколей — это все, что необходимо для нахождения цоколей ограничений линейных неприводимых представлений симметрической группы Sn на подгруппу Sn-1-

Цель работы. Исследование проективных представлений симметрической группы над полями характеристики отличной от 2; получение пра-

вил ветвления для проективных представлений группы Sn при ограничении на 5„_г, доказательство совпадения геометрической и кристаллической параметризаций проективных представлений группы Sn-, вычисление некоторых правил ветвлений для линейных рациональных представлений группы GLn(F) при ограничении на GL„_i(F), относящихся к уровням больше единицы; разработка критерия неравенства нулю элементов модулей Всй-ля и построение при его помощи ненулевых гомоморфизмов между этими модулями. Кроме того, одной из целей диссертации является дальнейшее развитие техники понижающих операторов на случай проективных представлений и на случай старших уровней, а так же развитие комбинаторики, связанной с этими операторами.

Методы исследования. В работе используются методы теории представлений аффинных алгебраических групп и алгебр Ли, коммутативной алгебры и комбинаторики упорядоченных множеств и таблиц Юнга.

Основные результаты. В работе получены следующие результаты:

1. Получен комбинаторный критерий, для каждого доминантного веса А = (Aj,..., Ап), индекса г = 1,...,п - 1 и числа d = 1,...,р- 1 позволяющий выяснить, существует ли ненулевой СЬп_1(Е)-примитивный вектор веса (Аь... Л4_ь Л4 - d, Ai+1,..., A„-i) в неприводимом рациональном СЬ„(Р)-модуле со старшим весом А, где р = charF > 0.

2. Вычислен цоколь ограничения на подгруппу Sn-i неприводимого проективного представления Dx группы 5„, полученного из неприводимого <2(п)-супермодуля со старшим весом А применением функтора Шура. Кроме того, на основание этого результата (точнее его версии для супермодулей) доказана эквивалентность Dx S G\ где Gx - супермодуль полученный при помощи кристаллических графов. Дополнительно, получается интерпретация понятия нормальной клетки в проективном случае с точки зрения теории представлений. Эти результаты получены автором совместно с А. С. Клещёвым.

3. Получен алгоритм, позволяющий выяснить отличен ли от нуля произвольный вектор v веса ц модуля Вейля над группой SL„(F). Этот алгоритм не использует базисов и предполагает пошаговое поднятие пары (u,/i). Аналоги этого алгоритма для полупростых односвязных групп произвольного типа доказаны в одну сторону, позволяющую утверждать отличие от нуля рассматриваемого вектора. Построены примеры,

демонстрирующие применение последнего утверждения для построения ненулевых гомоморфизмов между модулями Вейля.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории представлений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре в институте математики Национальной академии наук Белоруссии, на научно исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на математическом семинаре университета Орегона, на математических семинарах университетов имени Бар-Илана и Еврейского университета в Иерусалиме, на алгебраическом семинаре имени Д.К.Фадцеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А.Стеклова, а также на следующих международных и российских конференциях:

1. Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004).

2. Пятая международная алгебраическая конференция на Украине (Украина, Одесса, 2005).

3. Международная алгебраическая конференция (Екатеринбург, 2005).

4. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

5. Десятая белорусская математическая конференция (Белоруссия, Минск 2008).

6. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию А. Г. Куроша (Москва, 2008).

7. Workshop on Representations and Cohomology (Германия, Кёльн, 2009).

8. Международная алгебраическая конференция "Дискретная математика, алгебра и их приложения" (Белоруссия, Минск, 2009).

9. Международная конференция по алгебре и геометрии (Екатеринбург 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Работы [1]-[11] опубликованы в изданиях, входящих в список, рекомендованный Высшей аттестационной комиссией на момент публикации. В совместной работе [11] В.В.Щиголеву принадлежат все вычисления в гипералгебре [7р(п) супералгебры <3(п), а А.С.Клещёву применение этих результатов к проективным представлениям симметрической группы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Кроме того, имеется список обозначений и предметный указатель. Текст диссертации изложен на 308 страницах. Список литературы содержит 75 наименований.

Содержание работы

Во введении излагается история решаемых задач, обосновывается актуальность темы исследования, кратко описывается содержание работы и формулируются основные результаты.

В разделе обозначения фиксируются некоторые обозначения, общие для всех глав диссертации.

Глава 0 является вводной и не содержит новых результатов. Основными объектами, рассмотренными в этой главе, являются категории Б^р(п) рациональных СЬп(Р)-модулей и категория 1п^(п) целых С/р(п)-модулей, где иг(п) — гипералгебра (алгебры распределений) общей линейной группы СЬП(Р). Основной целью этой главы является доказательство эквивалентности этих категорий путём построения функторов Т : —» Ка^(п) и О '■ —> 1п1р(п). В этой главе доказывается тождественность композиций и ТО. Построение функтора 0 является достаточно стандартным. Для этого используется этого понятия коалгебр и комодулей, а также некоторые 2-формы для перенесения результатов со случая поля комплексных чисел на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. С другой стороны, функтор Т строится на основании комбинаторной проверки определяющих соотношений для группы СЬП(Е). Для этой проверки используются различные преобразования сумм и соотношения между биномиальными коэффициентами (см. определения и тождества из [12]). После того, как введено действие группы СЬП(Р) на данном целом С/цг(7г)-модуле, остаётся проверить рациональность такого действия. Это проделано па основании конструкций, приведённых в [15].

В главе 1 строится двумерный аналог теории нормальных и хороших

клеток, построенной А. С. Клещёвым [35]. Естественным образом, вместо множества целых чисел Z с обычным порядком < возникает целочисленная плоскость Z2 со следующим (строгим) порядком: (а, Ъ) < (х, у) тогда и только тогда, когда а < х и b < у. Отображение ц> : А В, где А, В С Z2, называется строго уменьшающим, если <р{а) < а для любой точки а € А. Возникающей геометрии целочисленной плоскости посвящён раздел 1.4.

Основной результат этой главы состоит в следующем:

Теорема 1.0.2.2. Пусть F алгебраически замкнутое поле характеристики р> О, А — доминантный вес группы GLn(F), l^i<nul^d<p. Неприводимый GLn(F)-модуль L(А) со старшим весом А содержит ненулевой GLn_i(F)-примитивный вектор веса (Аь..., Aj_i, Aj — d, Aj+i,..., An_i) тогда и только тогда, когда для любого подмножества

AC {(t,h) 6 {г+1,...,п} х {l,...,d}\t-i + Xi- Xt-h = 0 (mod р)},

точки которого несравнимы относительно <, существует строго уменьшающее вложение из Д в {(s, 0) | s€Z, г< s<n, s — г + Aj — As= 0(mod p)}.

Доказательство этой теоремы построено на определении соответствующих понижающих операторов Т^м(1), которые являются элементами отрицательной части {/у (п) гипералгебры, описанной в главе 0. Эти операторы в свою очередь строятся сначала в целочисленной версии i/z(n) гипералгебры Uw(n). Этому построению посвящены разделы 1.2, 1.3 и 1.5, в которых вычисляется действие слева порождающих (матричных единиц) положительной части [/¿"(п) гипералгебры i/z(n) на рассматриваемые понижающие операторы по модулю идеала Uz(n)Ei.

Результаты этих вычислений после замены кольца скаляров на поле произвольной характеристики F, позволяют, с одной стороны, построить достаточное для доказательства теоремы 1.0.2.2 множество GLn_i^-примитивных векторов простого СЬ„(Р)-модуля L(А) старшего веса А. Все эти векторы имеют вид T^M(0)v+, где v+ — старший вектор модуля L(А). С другой стороны, эти же операторы Т^м(1) позволяют доказать, что других GL„_i(F)-npHMHTHBiibix векторов веса (Аь ..., Aj_i, Aj — d, Aj+i,..., An-i) в модуле L(А) нет, чем завершается доказательство теоремы 1.0.2.2. Эти конструкции изложены в разделе 1.6.

В главе 2 доказываются правила ветвления для неприводимых проективных представлений симметрической группы над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики отличной от 2. При этом в

разделе 2.1.1 объясняется почему такие представления, не являющиеся проективизацией линейных, сводятся к модулям над скрученной групповой алгеброй Тп с порождающими Ь,..., и соотношениями

А = 1> ии+\и = £¿+^¿£¿+1, = ^¡и, где |г — Л > 1,

а так же почему удобно рассматривать эту алгебру как супералгебру и изучать сначала супермодули над ней.

Параметризация таких супермодулей А н считается происходящий (при помощи функтора Шура) из параметризации неприводимых <5(п)-супермодулей Ь(А) при помощи своего старшего веса А. Основным результатом для таких супермодулей является теорема 2.7.2.1, представляющая собой критерий существования ненулевого <2(п — 1)-примитивного вектора веса вида ц= (Аь ..., А^ь А^ - 1, А{+ь ..., А„_1) в супермодуле Ь(А), и теорема 2.7.3.3, представляющая собой критерий существования неприводимого С}(п — 1)-подсупермодуля Ь(ц) в Ь{А) для д такого же как выше вида.

Как и в главе 1 в главе 2 основные результаты достигаются за счёт построения подходящих понижающих операторов. Этому посвящён раздел 2.2.1. Необходимые для получения основных результатов свойства этих операторов устанавливаются в разделах 2.2 — 2.4.

Проективные нормальные и хорошие клетки, введённые в работе Дж. Брандона и А. С. Клещёва [20] рассматриваются в разделе 2.8.4. Эти понятия имеют аналоги для представлений группы <Э(п), которые мы определяем в разделах 2.6.9. и 2.7.3 соответственно. Лемма 2.7.6.1 показывает, что эти понятия связаны достаточно простым образом. Заметим, что комбинаторика, связанная с понятиями нормальных и хороших клеток и индексов, основана на комбинаторике последовательностей из + и —, которой посвящён раздел 2.5.

Основные результаты для представлений супергруппы <2(п) получены в разделах 2.6 и 2.7.

Заключительный раздел 2.8 посвящён применению полученных результатов для представлений супергруппы <3(п) к проективным представлениям симметрической группы: теорема 2.8.3.7 показывает чему равняется цоколь (без учёта кратности) ограничения неприводимого 7^-супермодуля Вл на подалгебру 7^-1, а так же когда существует ненулевой гомоморфизм из 7^-1-супермодуля Шпехта 5'' в ограничение Бх1Гп_1. Последний результат

представляет собой ответ на вопрос об интерпретации проективных нормальных клеток с точки зрения теории проективных представлений. Результаты этого раздела позволяют установить изоморфизм Бх = <3А неприводимых супермодулей, полученных при помощи функтора Шура и при помощи кристаллических графов.

Наконец, в разделе 2.8.5 получены правила ветвления для неприводимых 7^-модулей из полученных в этой главе правил ветвления для неприводимых 7^-супермодулей путём игнорирования й2-градуировок.

В главе 3 мы формулируем гипотезы о том, как проверить является ли произвольный вектор V модуля Вейля Д(ш) для односвязной полупростой алгебраической группы С ненулевым без использования базисов. В формулировках этих гипотез участвует не сам вектор, а пара в ко-

торой Р такой элемент отрицательной части гипералгебры [/¿Г группы С, что V = Ге+. Здесь е+ обозначает фиксированный ненулевой вектор модуля Вейля А(ш) веса ш. Согласно гипотезе А (гипотезе В), для проверки неравенства V ф 0 требуется привести пару к паре вида (с, 0), где

с — ненулевой элемент поля, следующими преобразованиями (т = 1 для гипотезы В):

(a) (Г, ш) н-»- и>), где а — простой корень и т — натуральное число;

(b) >->• - <5), где веса 5 и ш — 5 доминантные.

В этих преобразованиях г£т(Г) обозначает такой элемент Щ, что Х,[т)Р = г-т(Г) по модулю левого идеала гипералебры группы С, порождённого разделёнными степенями Х^ для простых корней /3 и целых к > 0 вместе со всеми соотношениями, определяющими вес ш. Элемент г£ш(Г) легко вычислить, зная Г, что продемонстрировано примерами. Следствие 3.1.2.2 показывает, что если такое преобразование возможно, то V Ф 0. Более того, теорема 3.2.7.3 доказывает обе гипотезы для случая полной линейной группы.

В целом полученный алгоритм похож на аналогичный алгоритм для неприводимых модулей, который неоднократно использовался в главах 1 и 2, и может быть использован, например, для построения ненулевых гомоморфизмов между модулями Вейля для любых типов групп, а не только для типа Ап как теорема Картера-Пейна [25]. Соответствующие примеры приведены в разделах 3.1.5 и 3.1.6.

Для облегчения чтения диссертация содержит список обозначений (общий и по главам) и предметный указатель.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Shchigolev V.V. On the stabilization problem for submodules of Specht modules // J. Algebra, 251 (2002), n. 2, 790-812.

[2] Щиголев В.В. Конечная базируемость некоторых классов неприводимых представлений симметрических групп // Матем. сб., 194 (2003), п. 3, 149-160

[3] Щиголев В. В. О некоторых расширениях вполне расщепляемых модулей // Известия РАН, Сер. матем., 68 (2004), п. 4, 131-150.

[4] Щиголев В. В. О расширениях и правилах ветвления модулей близких к вполне расщепляемым // Матем. сб., 196 (2005), п. 8, 119-160.

[5] Shchigolev V.V. Iterating lowering operators //J. Pure Appl. Algebra, 206 (2006), 111-122.

[6] Shchigolev V.V. On some extensions of p-restricted completely splittable GL(n)-modules // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 142, No. 2, 2007, 2015-2019.

[7] Shchigolev V.V. Generalization of modular lowering operators for GLn, // Comm. Algebra, 36 (2008), n. 4, 1250-1288.

[8] Shchigolev V.V. Rectangular low level case of modular branching problem for GLn(K) // J. Algebra, 321 (2009), п. 1, 28-85.

[9] Shchigolev V.V. A local criterion for Weyl modules for groups of type A // J. Pure Appl. Algebra, 213 (2009), n. 9, 1681-1701.

[10] Shchigolev V.V. Weyl submodules in restrictions of simple modules // J. Algebra, 321 (2009), 1453-1462.

[11] Kleshchev A., Shchigolev V. Modular Branching Rules for Projective Representations of Symmetric Groups and Lowering Operators for the Supergroup Q(n) // Memoirs of the AMS, 220 (2012), n. 1034.

Цитированная литература

[12] Грсхем P., Кнут Д. Паташник О. Конкретная математика // Мир, М., 1998.

[13] Джеймс Г. Теория представлений симметрической группы // Мир, М., 1980.

[14] Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления // Наука, Москва, 1970.

[15] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле // М., 1975.

[16] Ariki S. On the decomposition numbers of the Hecke algebra of G(m, l,n) // J. Math. Kyoto Univ., 36 (1996), 789-808.

[17] Arisha H., Schaps M. Maximal strings in the crystal graph of spin representations of the symmetric and alternating groups // Comm. Algebra, 37 (2009), 3779-3795.

[18] Ariki S. Proof of the modular branching rule for cyclotomic Hecke algebras //J. Algebra, 306 (2006), 290-300.

[19] Bremner M. R., Moody R. V., Patera J. , Tables of Dominant Weight Multiplicities for Representations of Simple Lie Algebras // Monographs and Textbooks in Pure and Appl. Math. 90, Marcel Dekker, New York, 1985.

(2)

[20] Brundan J., Kleshchev A. Hecke-Clifford superalgebras, crystals of type A2e and modular branching rules for Sn // Represent. Theory, 5 (2001), 317-403.

[21] Brundan J., Kleshchev A. Projective representations of symmetric groups via Sergeev duality // Math. Z., 239 (2002), 27-68.

[22] Brundan J., Kleshchev A. Cartan determinants and Shapovalov forms // Math. Ann., 324 (2002), 431-449.

[23] Brundan J., Kleshchev A. Representation theory of symmetric groups and their double covers // Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 2001), World Sei. Publ., River Edge, NJ, 2003, 31-53.

[24] Brundan J., Kleshchev A. James' regularization theorem for double covers of symmetric groups // J. Algebra, 306 (2006), 128-137.

[25] Carter R. W., Payne M. T. J. On homomorphisms between Weyl modules and Specht modules // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 87 (1980), 419-425.

[26] Erdmann K. Tensor products and dimensions of simple modules for symmetric groups // Manuscripta Math., 88 (1995), n. 3, 357-386.

[27] Ford B., Kleshchev A. S. A proof of the Mullineux conjecture // Math. Z., 226 (1997), n. 2, 267-308.

[28] Frobenius G. Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe, // Sitz. Berlin Akad. Wiss (1900), 516-534.

[29] Goodman R., Wallach N. R. Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics (255)) // Springer, 2009.

[30] Green J. A. Polynomial representations of GLn(K) // Lecture Notes in Mathematics, v. 830, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.

[31] Hemmer D. J. The Ext^quiver for completely splittable representations of the symmetric group // J. Group Theory (2001), n. 4, 401-416.

[32] Jantzen J. C. Representations of algebraic groups, Second Edition (Mathematical Surveys and Monographs 107) // Amer. Math. Soc., 2003.

[33] James G. D. On the Decomposition Matrices of the Symmetric group, III // J. Algebra, 71 (1981), 115-122.

[34] Kleshchev A. S. Branching rules for modular representations of symmetric groups. I // J. Algebra, 178 (1995), n. 2, 493-511.

Kleshchev A. S. Branching rules for modular representations of symmetric groups. II // J. Reine Angew. Math., 459 (1995), 163-212.

Kleshchev A. Linear and Projective Representations of Symmetric Groups // Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

Kleshchev A. S. Completely splittable representations of symmetric groups // J. Algebra, 181 (1996), n. 2, 584-592.

Kleshchev A. S., Sheth J. On extensions of simple modules over symmetric and algebraic groups // J.Algebra, 221 (1999), n. 2, 705-722.

Kleshchev A. S., Sheth J. Corrigendum: "On extensions of simple modules over symmetric and algebraic groups" // J.Algebra, 238 (2001), n. 2, 843-844.

Kleshchev A., Tiep P. H. On restrictions of modular spin representations of symmetric and alternating groups // Trans. Amer. Math. Soc., 356 (2004), 1971-1999. ,

McKay W. G., Patera J. Tables of Dimensions, Indices, and Branching Rules for Representations of Simple Lie Algebras // Lecture Notes in I -re and Appl. Math. 69), Marcel Dekker, New York, 1981.

Mathieu O. On the dimension of some modular irreducible representations of the symmetric group // Lett. Math. Phys., 38 (1996), n. 1, 23-32.

Mullineux G. Bijections of p-regular partitions and p-modular irreducibles of the symmetric groups // J. London Math. Soc. (2), 20 (1979), n. 1, 60-66.

Phillips A. M. Restricting modular spin representations of symmetric and alternating groups to Young-type subgroups // Proc. London Math. Soc. (3), 89 (2004), 623-654.

Schur I. Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen "Matix zuordnen lassen (1901) // Springer, Berlin, 1973, 1-70.

Tits J., Tabellen zu den einfachen Lie Gruppen und ihren Darstellungen // Lecture Notes in Math. 40, Springer-Verlag, Berlin, 1967.

Подписано к печати 29.05.13. Формат 60 ж 84 Vie . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5795._

Отпечатано в Отеле оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Московский педагогический государственный университет

На правах рукописи

05201450041

Щиголев Владимир Викторович

ПРАВИЛА ВЕТВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ И ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2013

Оглавление

Введение 5

Обозначения 13

Глава 0 Гипералгебра группы СЬП(Р) 15

0.1 Основные объекты и понятия ..................................................15

0.1.1 Определяющие соотношения для БЬП(1Р) и СЬП(Е) ..................15

0.1.2 Рациональные представления группы СЬП(Е)........................17

0.1.3 Гипералгебра..............................................................18

0.1.4 Категория Ь%(п)........................................................19

0.2 Функтор Т : 1п^(п) 11аЪ¥{п)..................................................20

0.2.1 Действия группы ................................................20

0.2.2 Рациональность..........................................................28

0.3 Функтор 9 : КаЬ¥(п) -»Ы¥(п)..................................................30

0.3.1 Коалгебры и комодули..................................................30

0.3.2 Случай поля С............................................................32

0.3.3 2-формы..................................................................35

0.3.4 Случай произвольного поля............................................35

0.3.5 Структурное отображение..............................................37

0.4 Тождественность композиций <ЗТ и ТЯ........................................40

0.4.1 Тождественность ЯТ....................................................40

0.4.2 Тождественность ТЯ....................................................40

Глава 1 Правила ветвления старших уровней для полной линейной группы 42

1.1 Обозначения и определения ....................................................43

1.1.1 Общие обозначения......................................................43

1.1.2 Мультимножества........................................................44

1.1.3 Кольца и юГчастные....................................................45

1.1.4 Гипералгебра над Z'......................................................45

1.1.5 Гипералгебры над произвольными полями............................47

1.2 Элементарные выражения......................................................48

1.3 Коэффициенты восстановления................................................57

1.4 Геометрия целочисленной плоскости ..........................................66

1.4.1 Уменьшающие вложения................................................66

1.4.2 Уменьшающие вложения для 7?........................................68

1.4.3 Змейки ....................................................................68

1.4.4 Множество 5..............................................................70

1.4.5 Диаграммы................................................................71

1.5 Формальная факторизация элементарных выражений......................71

1.5.1 Операторы разрезания..................................................71

1.5.2 Факторизация............................................................74

1.5.3 Операторы поднимания..................................................76

1.5.4 Операторы T¿fM{I,J) ..................................................76

1.5.5 Коэффициенты восстановления........................................88

1.5.6 Возвращение в гипералгебру............................................91

1.5.7 Многочлены J))............................................93

1.6 Доказательство теоремы 1.0.2.2 . . .........;.................97

1.6.1 Операторы Т™м(1)......................................................97

1.6.2 Подпространство V\......................................................98

1.6.3 Достаточность для теоремы 1.0.2.2..................102

1.6.4 Некоторые базисные коэффициенты .................103

1.6.5 Критерий несуществования.......................105

1.6.6 Необходимость для теоремы 1.0.2.2..................106

Глава 2 Проективные представления симметрической группы 109

2.1 Введение.....................................109

2.1.1 Проективные представления......................109

2.1.2 Супералгебры, супералгебры Ли и супермодули...........111

2.1.3 Супергруппа Q{n)............................113

2.1.4 Множества и множества со знаком..................117

2.2 Понижающие операторы............................118

2.2.1 Определения...............................118

2.2.2 Свойства операторов и Sfj({j})...............119

2.2.3 Суперкоммутирование Hf и S^M)..................126

2.2.4 Суперкоммутирование Ef и Sf¿(M) при I ^ j............132

2.2.5 Действие Ef на при I ф j - 1 по модулю /г+.........137

2.3 Коммутативные многочлены..........................153

2.3.1 Операторы сг^ и соотношения между ними.............153

2.3.2 Многочлены f?/{S)...........................154

2.3.3 Многочлены g%(S) и g¡%qd(S).....................158

2.3.4 Соотношения...............................159

2.4 Коэффициенты восстановления........................178

2.4.1 Индуктивные формулы.........................179

2.4.2 Случай множества со знаком из чётных элементов......., . 182

2.4.3 Случай множества со знаком с одним нечётным элементом .... 184

2.5 Последовательности из + и —.........................190

2.5.1 Редукция.................................190

2.5.2 Потоки и почти потоки.........................192

2.5.3 Случай простого знака.........................193

2.5.4 Случай двойного знака.........................194

2.6 Построение [/р(п—1)- примитивных векторов ................200

2.6.1 Функция 773(A)..............................201

2.6.2 Построение, случай 1..........................201

2.6.3 Построение, случай 2..........................204

2.6.4 Построение, случай 3..........................210

2.6.5 Вспомогательная лемма.........................214

2.6.6 Достройка, случай 1...........................215

2.6.7 Достройка, случай 2...........................218

2.6.8 Достройка, случай 3...........................221

2.6.9 Нормальные индексы..........................225

2.6.10 Некоторые коэффициенты.......................228

2.7 Основные результаты для Q{n) ........................230

2.7.1 Отсутствие ненулевых U¥(n—1)-примитивных векторов......230

2.7.2 Критерий существования U¥(n — 1)-примитивных векторов .... 231

2.7.3 Цоколь ограничения первого уровня.................234

2.7.4 Переформулировки...........................236

2.7.5 Случай Ап = 0 (mod р).........................237

2.7.6 Удаляемые и добавляемые клетки...................238

2.8 Правила ветвления для проективных представлений............241

2.8.1 Полиномиальные представления....................241

2.8.2 Правила ветвления для З^п-супермодулей...............242

2.8.3 Правила ветвления для 7^-супермодулей...............245

2.8.4 Кристаллические графы........................250

2.8.5 Правила ветвления для 7^-модулей..................259

Глава 3 Локальный критерий для модулей Вейля 262

3.1 Гипотезы и переформулировки.........................264

3.1.1 Гипотезы.................................264

3.1.2 Доказательство гипотез в одну сторону................266

3.1.3 Переформулировки...........................268

3.1.4 Операторы скручивания........................270

3.1.5 Пример для G = В2{¥) и корня 2а + ¡3................271

3.1.6 Пример для G = B2(F) и корня а + р.................272

3.2 Критерий для G = 4/(F).............................272

3.2.1 Потоки ..................................272

3.2.2 Базис гипералгебры.......................—-. . . 27-73.2.3 Действие оператора r]ai.........................278

3.2.4 Таблицы..................................282

3.2.5 Сравнение таблиц............................285

3.2.6 Сравнение потоков............................286

3.2.7 Доказательство утверждения В....................289

Список обозначений 292

Общие..........................................292

Глава 0.........................................292

Глава 1.........................................293

Глава 2.........................................296

Глава 3.........................................299

Предметный указатель 301

Список литературы 304

Введение

Теория представлений симметрической группы ¿"„ занимает совершенно особое место в теории представлений конечных групп. Над полями нулевой характеристики эта теория позволяет получить полную классификацию представлений: каждое представление группы ¿"„ полупросто, неприводимые представления группы ¿"„ соответствуют разбиениям числа п и их размерности вычисляются по формуле крюков (см. §20 из книги Г.Джеймса [1]). С другой стороны, эта теория в случае положительной характеристики основного поля далека от завершения. Так например, даже размерности неприводимых ¿"„-модулей неизвестны.

Для развития модулярной (то есть над полями положительной характеристики) теории представлений группы ¿"„ необходимо понять, чем эта группа выделяется среди конечных групп. Один из ответов на этот вопрос получил И. Шур в своей диссертации [58], в которой он построил теорию представлений полной линейной группы СЬП(С) на основе открытых до этого Г. Фробениусом комплексных характеров симметрической группы [32]. Позже Дж. А. Грин [33] вернулся к этому вопросу и обратил рассуждения И. Шура, построив неприводимые представления симметрической группы из неприводимых представлений полной линейной группы СЬП(Ж) над произвольным алгебраически замкнутым полем Р. При этом неприводимые ¿"„-модули получаются как образы неприводимых рациональных СЬ„(Е)-модулей под действием функтора Шура (см. §6.1 работы [33]). Так как последние модули однозначно определяются своими старшими весами (см. теорему 3.5а из [33], а также теорему 31.3 из [6]), то функтор Шура позволяет получить также параметризацию неприводимых ¿"„-модулей: каждый неприводимый ¿"„-модуль изоморфен ровно одному модулю £>л, где Л — р-регуляриое (то есть не содержащее р или более одинаковых частей) разбиение. Такой подход к построению неприводимых ¿"„-модулей проще чем подход, изложенный в работе [1], который не выходит за рамки представлений группы ¿"п, а также позволяет получить некоторые результаты не входящие в [1], например, теорему о удалении столбца и строки из матрицы разложения [38].

На применении функтора Шура основана также модулярная теория ветвления для симметрической группы, развитая А. С. Клещёвым в работах [42] и [43]. Напомним, что для основного поля нулевой характеристики, правила ветвления (см. теорему 9.2 из [1]) позволяют разложить ограничение Г>л неприводимого ¿"„-модуля в прямую сумму неприводимых ¿"„-1-подмодулей. Напротив, в случае основного поля характеристики р > 0 ограничение Вх |,?п_1 не обязательно полупросто. Как показано в [43], оно распадается в прямую сумму неразложимых ¿"п_1 модулей, цоколь которых изоморфен в точности одному неприводимому ¿"„-1-модулю. Поэтому в этой диссертации проблема ветвления для симметрической группы в модулярном случае понимается именно как нахождение цоколя ограничения _Ол |.5П_1- Информация о цоколе оказывается значительно более полезной, чем может сначала показаться. Например, на её основе в

работе [31] А. С. Клещёв и Б. Форд доказали гипотезу Муллино [55] о том, как устроена биекция на множестве р-регулярных разбиений А >-»• /л, где D^ = Dx <g> sgn (здесь sgn — знакопеременное представление группы Sn). Кроме того, эти правила ветвления позволяют вычислять Ext ^пространства между простыми ¿"„-модулями: в работах А.С.Клещёва и Дж. Шеса [46] и [47] вычислены пространства ExtlSn{Dx,Dti), где А и \i — разбиения, состоящие не более чем из двух ненулевых частей; в работе [36] Д. Хеммер вычислил Ex.t1Sn(Dx, D^), где Dx и D^ — вполне расщепимые модули (то есть такие, что их ограничение на любую подгруппу Юнга полупросто); автор в работах [67] и [68] вычислил Ext5n(DA, D^) для случая, когда Dx — вполне расщепляемый модуль и А $ ¡1 (А > ¡л обозначает, что А; ^ Ак для любого к и хоты бы одно неравенство строгое). При этом утверждение о том, что Dx — вполне расщепляемый модуль, имеет вполне чёткий комбинаторный смысл в терминах разбиения А (см. работу А. С. Клещёва [44]). В частности, результат работ [67] и [68] позволяет утверждать, что радикал модуля Шпехта Sx такого, что Dx = head Sx — вполне расщепляемый модуль (где А — р-регулярное разбиение), либо нулевой либо содержит единственный наибольший подмодуль. В последнем случае фактор Dx по этому подмодулю явно вычислен (см. лемму 4.5 и теорему 4.6 из [68]). Наконец, упомянутые выше работы [46] и [47] и работа автора [70] содержат версии этих результатов для линейных групп. В работе автора [66] показано, что Ех^-пространства между неприводимыми 5п-модулями связаны с правилами умножения наклонных модулей (fusion rules for tilting modules) при помощи дуальности Шура-Вейля. Правила умножения, которые используются в работе [66], содержаться в работах О. Матьё [53] и К. Эрдманн [30]. Информация об упомянутых выше Ext ^пространствах может быть использована в различных приложениях, например, в задаче из работы автора [65] о возможности задать все неприводимые модули множества {£)л+(г") | г 6 N}, где А — разбиение высоты менее р и п < р, конечным количеством соотношений.

Возможно, ещё более важным следствием модулярных правил ветвления является возможность задать параметризацию неприводимых линейных представлений группы Sn, определив их по сути при помощи этих правил, как это сделано в части I работы [45] (см. замечание 11.2.2). Известны три способа показать, что последняя параметризация и параметризация, происходящая из функтора Шура, совпадают. Первый способ принадлежит А. С Клещёву и описан в замечании 11.2.2 его работы [45], в котором автор ссылается на свою работу [43]. Второй способ описан в работе С. Арики [10]. Он опирается на теорему категорификации С. Арики из [9] и редукцию по модулю р. Третий способ [25] также опирается на теорему категорификации С. Арики, а также на идею экстремального веса из работы [22].

Всё сказанное выше в равной степени применимо к проективным представлениям симметрической группы, за исключением правил ветвления. Изучение проективных представлений симметрической группы Sn эквивалентно либо изучению линейных представлений либо в случае, когда я ) 4и характеристика основного поля отлична от двух, изучению представлений алгебры Тп, порождённой элементами ii,..., tn и заданной соотношениями

ij — 1, iiti+\ti = ti+lti^i+lj titj tjti,

где i,j = 1,... ,п — 1 и \i — j\ > 1. Удобно считать, что эта алгебра задана при любом n ^ 1 и является супералгеброй с градуировкой, в которой все порождающие ti,... ,tn нечётные.

Естественно пытаться задать неприводимые 7^-супермодули установив связь с представлениями некоторого геометрического объекта. В случае линейных представлений таким объектом была группа СЬП(Р). Для 7^-супермодулей таким объектом является супергруппа <2(п), которую мы понимаем как следующий функтор из категории за^р коммутативных F-cyпepaлгeбp в категорию групп (см. [39]):

Неприводимые полиномиальные (п)-супермодули Ь(А) степени п с р-ограниченным старшим весом А отображаются при помощи функтора Шура в неприводимые Уп-су-пермодули -О(А), где Уп = Тп ® Сп и Сп — супералгебра Клиффорда (см. [20]). Для получения неприводимых 7^-супермодулей требуется дополнительное усилие: функторы и <бп (см. § 13.2 из [45]) позволяют получить все (с точностью до изоморфизма) неприводимые 7^-супермодули Вх из уже построенных неприводимых 34-супермодулей -О(А), а так же проследить за тем, какие из полученных супермодулей остаются неприводимыми, если забыть про ^-градуировки и рассмотреть их как обычные модули. Аналогичный процесс применим к построению супермодулей Шпехта 5Л для супералгебры Тп.

Заметим, что в части II работы [45] на основе наперёд заданных правил ветвления построена совершенно другая система неприводимых 7^-супермодулей Сл. Однако эквивалентность Их = Сх до последнего времени не была доказана (за исключением случая Е = С), и фактически существовала ситуация, в которой некоторые результаты (см. [20] и [24]) относились к супермодулям £>А, в то время как другие результаты (см. [19], [45], [48], [22], [21], [57] и [И]) относились к супермодулям 0х (обозначения этих работ не должны вводить в заблуждение: неприводимые 7^-супермодули обычно обозначаются через -О(А) во всех этих работах независимо от способа определения).

В отличии от случая полей положительной характеристики, в случае (алгебраически замкнутых) полей нулевой характеристики проблема ветвления для алгебраических групп (и алгебр Ли) напротив изучена очень хорошо. Правила ветвления для ограничений с СЬ„(С) на СЬ„_1(С), с 8ршп(С) на Брт^С) и с 8рп(С) на Эр^С) доказаны в книге Д.П.Желобенко [2], а также в работах Бёрнера [13], Хегерфельд-та [35], Ли [50] и Леповски [51]. Элементарное изложение правил ветвления для этих ограничений содержится в книге Н. Р. Гудмана и Р. Уаллаха [64]. Опубликованы обширные таблицы правил ветвления для классических и исключительных алгебр Ли, см. работы Ж. Титса [63], М. Р Бремера, Р. В. Муди и Дж. Патера [14] и У. МакКей и Дж. Патера [54].

Для полей положительной характеристики можно рассмотреть проблемы ветвления для аналогичных пар подгрупп. Однако в общем виде в настоящее время все они далеки от решения. Более реалистичной представляется задача вычисления цоколя таких ограничений. Наиболее изученной является пара подгрупп СЬП_1(Е) < СЬП(¥). А. С. Клещёвым в [43] были найдены компоненты цоколя ограничения Ь(А) |сьп_1(Р) неприводимого СЬп(Р)-модуля со старшим весом А = (Аь ..., Ап), имеющие вид Ц/х), где (1 = (Ах,..., А*_1, А» — 1,...,АП_1) для некоторого г. Фактически этот результат следует из решенной в той же работе проблемы нахождения СЬп_1(Р)-примитивных векторов в Ь(А), имеющих вес того же вида. Нахождение именно таких компонент цоколей — это все, что необходимо для нахождения цоколей ограничений линейных неприводимых представлений симметрической группы Зп на подгруппу 5П_1.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В главе 1 получен комбинаторный критерий (теорема 1.0.2.2), для каждого доминантного веса Л = (Ах,..., Ап), индекса г = 1,... ,п — 1 и числа d = 1,... ,р — 1 позволяющий выяснить, существует ли ненулевой GLn_i (Р)-примитивный вектор веса (Ai,... Аг-i, Аг—d, Ai+i,..., An_i) в неприводимом рациональном СЬп(Е)-модуле со старшим весом А, где р = char F > 0. Один из главных результатов работы [43] получается как частный случай этого результата при d = 1.

Результат главы 1 содержится в работе автора [72]. Другими работами, в кото- рых вычисляются GLn_i ^-примитивные векторы модуля L(А) являются работы А.С.Клещёва, Дж. Брандона и И.Д.Супруненко [26] и автора [74].

2. В главе 2 вычислен цоколь ограничения на подгруппу £п-1 неприводимого проективного представления группы Sn, полученного из неприводимого <5(п)-супермо-дуля со старшим весом А применением функтора Шура. Кроме того, на основание этого результата (точнее его версии для супермодулей) доказана упомянутая выше эквивалентность Dx = Gx (су�