Предельное состояние идеальнопластических тел, ослабленных пологими выточками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГЗ ОЛ

6 К»

Министерство общего и профессионального образования РФ Чувашский государственный педагогический институт им. И. Я. Яковлева

На правах рукописи

МИХАЙЛОВА Марина Васильевна

УДК 539.374

ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ, ОСЛАБЛЕННЫХ ПОЛОГИМИ ВЫТОЧКАММИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического института им. И. Я. Яковлева.

Научный руководитель - Заслуж. деятель науки и техники РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Д. Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

Защита состоится 26 декабря 1996 г. в 12 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 113.67.01 при Чувашском государственном педагогическом институте им. И. Я. Яковлева по адресу:

428000, Чебоксары, ул. Карла Маркса, 38, ауд. 404.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического института им. И. Я. Яковлева.

Автореферат разослан ноября 1996 г.

Ученый секретарь

профессор Сильвестров В. В., кандидат физико-математических наук, доцент Романов А. В.

диссерташ кандидат

Чекмарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Вопросы определения предельных состояний тел, ослабленных выточками, дефектами и т.п. принадлежат к числу актуальных в машиностроении, строительной механике и т.д. В работе предлагается дальнейшее развитие аналитического метода определения напряженного состояния иде-алыюпластических тел, ослабленных пологими выточками. Рассматривается осесимметричные конические и призматические тела, являющиеся составными элементами конструкций. Глубина выточек характеризуется малым параметром, относительно которого происходит линеаризация.

Метод малого параметра получил развитие в работах Л. С. Лейбензона, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, Л. М. Качанова, А. М. Жукова, Г. Каудерера, А. П. Соколова, Е. Оната и В. Прагера, Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова, Л. А. Толоконникова, Б. А. Друянова, А. Н. Гузя, Т. Д. Се-мыкиной, С. А. Вульман, В. В. Кузнецова, Ю. М. Марушкей, А. П. Харченко, И. А. Цурпала и др.

Целью работы является приближенное аналитическое решение статических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра.

Научная новизна полученных результатов.

— приведены приближенные аналитические выражения для определения полей напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформаций для идеальнопластических элементов конструкций в виде круглого стержня и квадратного бруса переменного сечения при условии пластичности Мизеса;

— дано обобщение задачи А. Ю. Ишлинского о растяжении бесконечно длинной идеальнопластической полосы переменного сечения и задачи о кольцевой пластине или о тру-

бе, находящейся под действием внутреннего давления, с во-зущеннымми границами на сферической поверхности;

- определено влияние искривления растягиваемого образца, переходящего в пределе к плоскому (0о < "/2, решение А. Ю. Ишлинского следует при во = "Уг);

- определено поле напряжений для конического элемента, находящегося под действием напряжений, постоянных вдоль образующих, при условии полной пластичности. Задача обобщает результаты А. 10. Ишлинского о вязкопластическом течении круглого прута, боковая поверхность которого имеет возмущение, при коэффициенте вязкости ц — 0.

Практическая ценность. Результаты могут оказаться полезными при определении несущей способности элементов конструкций, ослабленных пологими выточками.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения, а также совпадением полученных решений в частных случаях с известными ранее решениями.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

- на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПИ, 1995-1996);

- на международной научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии" (Орел, 1995);

- на Всероссийской научной конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами" (Чебоксары, 1996);

- на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опу-

бликованы в работах [1-4].

Структура И объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 42 страницы текста с рисунками, заключением, списком использованной литературы, включающем 44 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации.

Работа посвящена линеаризированным задачам идеально-пластического состояния тел. В механике сплошных сред метод малого параметра получил развитие в задачах устойчивости. А. А. Ильюшин в лагранжевых, а затем А. 10. Ишлин-ский в эйлеровых координатах рассмотрели задачи об устойчивости течения вязкопластических тел при малых возмущениях границы.

Отметим, что в 1908 г. Л. С. Лейбензон рассмотрел вопросы об устойчивости сжатой пластины и полого шара (оболочки) под действием равномерного внешнего давления методом математической теории упругости с учетом дополнительного искривления границы.

А. П. Соколов выполнил одну из первых работ по применению метода малого параметра в упругопластических задачах. Им решена в первом приближении задача о распределении напряжений при двуостном растяжении тонкой пластины из упругопластического материала с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

Метод возмущений для решения задач жесткопластиче-ского анализа применили Онат Е. и Прагер В. Они рас-читали поле напряжений и поле скоростей для растягиваемой полосы, ослабленной пологими выточками, получив ре-

шение в виде полиномов. Задача о течении полосы из идеального жестко-пластического материала при малых возмущениях границы следует, как частный случай, из решения А. Ю. Ишлинского о течении вязкопластической полосы при равенстве нулю коэффициента вязкости Позднее А. Ю. Ишлинский дал непосредственное решение этой задачи.

Дальнейшее развитие метод малого параметра получил в работах Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова. Они получили общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопла-стических деформаций. Был решен ряд конкретных задач: о вдавливании тонкого тела в жесткопластическую среду, о деформировании конической, эллиптической, искривленной труб, находящихся под действием нормального давления, о двуостном растяжении толстой и тонкой пластины с круговым и эллиптическим отверстиями и др.

Решения ряда задач по определению деформированного и напряженного состояний теории плоских, осесимметричных и пространственных упругоиластических тел, полученные методом малого параметра, приводятся в работах Т. Д. Се-мыкиной, С. А. Вульман, В. В. Кузнецова, 10. М. Марушкей, А. П. Харченко.

В настоящей работе малый параметр характеризует возмущение геометрических условий.

В первой главе в постановке А. Ю. Ишлинского рассматривается растяжение круглого цилиндра из идеально-пластического материала при малых возмущениях границы при условии пластичности Мизеса.

Соотношения теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса в цилиндрической системе коорди-

нат примут вид

{аг-ав)2-\-{ag-az)2+ {az-ат)2 + 6гг2г = 6/г2, k-const, (1)

£Г = А(2<тг — ад — az), Л > О,

£0 = \{2<тв -az- аг); (2)

£г = А(2<Тг - <Тт - ад), £гг = ЗЛггг,

где аг,тг2,...; ег, еГ2,... - соответственно компоненты напряжений и скоростей деформации в цилидрической системе координат rOz, к — пластическая постоянная. Уравнения равновесия имеют вид

daT drrz ar- ag drrz daz ттг

-т.--г --1--= U, —--Н -г--1--= U.

or az v or az r

Решение ищется в виде

- a°ij + Wj, = e°tj + öz'ij,

и = u°-f Su', w = w° + Sw', А = A° + 6X, (4)

где

аг° = сг° = т° = 0, <7°- const, af = 3k2, (5)

где индекс штрих приписан компонентам возмущения, а индекс градус — компонентам начального невозмущенного состояния (8 = 0).

Линеаризируя уравнения (1), (2), (3), учитывая (4) и (5) и вводя

10Ф , 1<9Ф

и' = ——, W' = (6)

Г OZ Г OZ

получим уравнение

<94Ф 34Ф 1 <93Ф д4Ф 2 Э3Ф 3 д2Ф 3 дФ

----1----(.-------1------— = 0.

дг4 дг2дг2 г дгдг2 дг4 г дг3 г2 дг2 г3 дг

(7)

Методом разделения переменных определяется решение уравнения (7), компоненты напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации, удовлетворяющие граничным условиям. Полученные результаты могут быть использованы также при определении устойчивости пластических тел.

Во Второй главе исследуется в первом приближении предельное состояние тел, близких к коническим, уравнения границ которых в сферической системе координат имеют вид:

1) 0 = ±(а + 6/((р)) причем а^ = сг^(0, <р); (8)

2) 0 = 0о + 8/(г), причем ст,, = 0); (9)

где 8 малый параметр.

В случае 1) уравнения равновесия примут вид

дав 1 дтв а0 эш 9

1» + + 2г'^в = '' = '/.(".+ (10)

Условие предельного состояния запишется в виде

(ав - + = \к\ (11)

Решение представлено в виде

= +К» (12)

1^1 = 2*:, а° = т°, = 0, (13)

Линеаризируя условия пластичности (10), (11), учитывая (12) и (13) и полагая

< _ ' _ 1 < - 1 /1 < \

Получаем уравнение

02Ф „5Ф 1 дЧ п

^ " ctg"ä* " ¡¡¿W = 0 (1)

В случае 2) уравнения равновесия имеют вид

даг 1 дтгв 1 , , ЛЛ

-ф + + -(2<тг - (ав + av) + TrectgO) = 0,

+ тш + ;(ЗГгб + ((Тб" °")ctg9) = (16)

Используется условие полной пластичности

(оу -<т+2 /3){ав -а+2 /3) = гг2„

(о-в - О" +2 /зЖ - (7 +2 /з) = 0, (17)

К - <Т +2 /з)(<^г - +2 /з) = о,

К - (7 +2 /з)тГ0 = 0. (18)

Решение ищется в виде (12), где

= 2fc, = <7° = г° = 0. (19)

Линеаризируя (16), (17), (18) с учетом (12) и (19) и пола-

гая

' - ' -а - r2 Qr ' Г>-0 - r3 QQ '

получаем уравнение

<92Ф „зф 2а2Ф „ аФ

Находятся решения уравнений (15) и (21) и определяются компоненты напряжения для возмущенного состояния.

В первом случае, в результате предельного перехода от сферической системы координат к декартовой, получаем решение задачи А. Ю. Ишлинского о растяжении полосы переменного сечения, а при переходе к полярной системе координат — решение задачи о кольцевой пластине или трубе, находящейся под действием внутреннего давления, с возмущенными границами.

Второй случай сводится к задаче А. Ю. Ишлинского о вязкопластическом течении круглого прута переменного сечения при коэффициенте вязкости ц = 0 и условии пластичности Треска.

В третьей главе получены в первом приближении поле напряжений и поле перемещений при растяжении бруса переменного квадратного поперечного сечения при условии пластичности Мизеса.

Соотношения теории идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса записываются в виде

дГ

да.

£г — А [ 2<ТХ — СГу — О а — ) , еху — ЗА тху, А > 0,

е2 — А I 2(т2 — сгх — (Ту — —— 1 , еху — ЗАтху,

+ + = 6/(<т), (23)

<У - + СГу + О"*),

где сгх, тху,...; еху,... — соответственно компонеты напряжений и скоростей деформации в декартовой системе ко-ордйнат хуг.

Решение ищется в виде (4), где

= ^ = = < = £ = = = > о.

(24)

Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Максвелла для компонент напряжений , вводя функции напряжения х».

Решение может быть найдено при предположениях

XI = -Хг = X, Хз = 0. (25)

Из уравнений Максвелла и условия (25) получаем д2\

' ' Г1 Гк

= _сгу = ' = Т*У = и,

г' г' (26)

** дхдг' дуй*' 1 ]

Согласно (26), в плоскости ху для компонент возмущения имеет место напряженное состояние чистого сдвига:

< = т'у = 0. (27)

Линеаризированное условие пластичности, согласно (26), тождественно удовлетворяется.

Пологаем

дФ ЗФ

и'= = ~ V w'= х'= (28)

Согласно (26), (28) и условиям Коши, имеем систему уравнений

«"»—ЗА"??. =

дх2 <9z2' <9ж<9.г дхдх"1

= -ЗЛ0^ ** = 6А°^Х (29)

cty2 <9z2' ctydz

Искомое решение представляется в виде

X = Р cos рх cos руе~^г, fi = л/2р — const,

Ф = Q cos рх cosруе~^г, Q = 6Л°Р - cons*. (20)

Из (20) и граничных условий получаем выражения для определения возмущенных компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Приведены аналитические выражения для определения в первом приближении компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформаций для идеальнопластиче-ских элементов конструкций в виде круглого стержня и квадратного бруса переменного сечения при условии пластичности Мизеса при растяжении.

2. Полученные результаты ммогут быть использованы при определении прочности и устойчивости пластических тел.

3. Дано обобщение задачи АЛО.Ишлинского о растяжении бесконечно длинной идеальнопластической полосы переменного сечения и задачи о кольцевой пластине или о трубе, находящейся под действием внутреннего давления, с возущен-нымми границами на сферической поверхности.

4. Выражено аналитически отличие решения, учитывающего кривизну сферического элемента 0о < ж/2, от решения задачи АЛО.Ишлинского о полосе. Решение А.Ю.Ишлинского следует при в0 = ^/2.

5. Найдено поле напряжений для конического элемента шара из идеальнопластического материала, вдоль образующих которого заданы возмущения, находящегося под действием напряжений, постоянных вдоль образующих, при условии полной пластичности. Эта задача обобщает задачу АЛО.Ишлинского о вязкопластическом течении круглого прута, боковая поверхность которого иммеет возмущение, при коэффициенте вязкости ц = 0.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. Проблемы теории пластичности: о растяжении прямоуголного иде-алыюпластического бруса переменного сечения.- В сб. тезисов докладов международной научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии".- Орел.- 1995.-С. 10.(В диссертацию вошел п. 2 этой работы.)

2. Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. О растяжении полосы и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеальнопластического материала.// Известия ИТА ЧР.- 1995.- N 1.- С. 39-48.- Деп. в ВИНИТИ 30.11.95; N 3174 - В95.(В диссертацию вошел п. 3 этой работы.)

3. Михайлова М.В. О растяжении цилиндра переменного сечения при условии пластичности Мизеса.// Известия ИТА ЧР.- 1996.- N 1.- С. 54-60.

4. Михайлова М.В. Напряженное состояние идеальногша-стических тел близких к коническим.// Известия ИТА ЧР.-1196,- N 2.- С. 25-32.