Идеальнопластическое состояние цилиндрических и призматических тел переменного сечения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Чувашский государственный педагогический РГ6 институт им. И. Я. Яковлева

; о ДЕК 130В

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВА АННА МИХАЙЛОВНА

УДК 539.375

ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

01.02.04— Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Чу! ского государственного педагогического института им. К. Я. I влева.

Научный руководитель - Заслуж. деятель науки и техники I

доктор физико-математических наук, профессор ИВЛЕВ Д. Д.

Официальные оппоненты: Заслуж. деятель науки и техники

доктор физико-математических наук, профессор ТЕРЕГУЛОВ И. Г., кандидат физико-математических на ШИТОВА Л. Б.

Ведущая организация: Воронежский государственный техш ский университет.

Защита состоится 25 декабря 1996 г. в 15 часов 00 минут на седании диссертационного совета Д 113.67.01 в Чувашском госух ственном педагогическом институте им. И. Я. Яковлева по адре

428000, Чебоксары, ул. Карла Маркса, 38, ауд. 404.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чуваше* государственного педагогического института им. И. Я. Яковлев;

Автореферат разослан " и. ." ноября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Г. Е. Чекмарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи определения предельного состояния элементов конструкций при различных условиях нагружения принадлежат к числу актуальных в машиностроении, строительной механике и т.д.

Реферируемая работа посвящена исследованию предельного состояния цилиндрических и призматических тел переменного сечения в рамках модели идеального жесткопластического тела. Согласно имеющимся экспериментальным данным для многих материалов идеальнопла-стическая схема деформирования приводит к приемлемым результатам.

Исходные уравнения теории идеальной пластичности являются нелинейными, их решение представляет значительные математические трудности. Линеаризация уравнений пластичности упрощает аналитическое исследование и дает возможность получить приближенные решения ряда задач, недоступных другим методам.

Линеаризация проводится методом малого параметра, позволяющим получить приближенное аналитическое решение с требуемой точностью. Заметим, что в настоящее время для решения задач теории пластичности также широко применяются различные численные методы.

Цель работы. Целью работы является исследование предельного состояния цилиндрических и призматических тел, ослабленных пологими выточками, из идеального жесткопластического материала при условии пластичности Треска.

На защиту выносится:

- обобщение результатов задачи о растяжении плоского образца, ослабленного пологими выточками, на случай анизотропного материала;

- развитие теории предельного состояния растягиваемого круглого стержня с возмущенной границей;

- исследование предельного состояния полого цилиндра, близкого к круговому, находящегося под действием внутреннего давления и растягивающего усилия;

- исследование предельного состояния призматических тел на примерах растягиваемого изотропного бруса и растягиваемой анизотропной плиты.

Научная новизна заключается в развитии теории предельного состояния цилиндрических и призматических тел переменного сечения. В рассмотренных задачах методом малого параметра в первом приближении определены компоненты возмущенного напряженного состояния тел, ослабленных пологими выточками.

Достоверность подтверждается апробированностыо моделей механики сплошных сред и применяемых математических методов а также следует из сопоставления частных случаев полученных решений с известными результатами.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах жесткопластиче-ских состояний изотропных и анизотропных сред, в теории устойчивости и в теории предельного равновесия.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

- на международной научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии" (Орел, 1995);

- на Всероссийской научной конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами" (Чебоксары, 1996);

- на семинаре по механике деформируемого твердого тела, руководимом профессором Д.Д.Ивлевым (Чебоксары, 1996);

- на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, включающего 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обзор исследований, относящихся к теме диссертации. Определена цель работы, кратко изложено содержание глав диссертации и результатов, выносимых на защиту.

Метод малого параметра для решения задач теории вязкопластической и жесткопластической среды использовали А.А.Илыошин, А.Ю.Ишлинский, Е.Онат, В.Прагер. Дальнейшее развитие метод получил в работах Д.Д.Ивлева и Л.В.Ершова. Они получили общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопластиче-ских деформаций. Различным образом вводится малый параметр в работах А.Н.Гузя, Б.А.Друянова, Л.М.Качанова, Л. А .Толоконникова, И. А. Цурпала.

Задачам теории идеальнопластической анизотропии посвящены исследования Г.И.Быковцева, Г.А.Гениева и других.

В данной работе идеи работ А.Ю.Ишлинского, Д.Д.Ивлева, Л.В.Ершова, Е.Оната и В.Прагера применяются для решения задач идеального жесткопластического анализа.

В 1-й главе рассматривается пластическое течение растягиваемой анизотропной полосы.

Линеаризованные уравнения теории идеальной пластичности были использованы Е.Онатом и В.Прагером для исследования симметричного процесса образования шейки при пластическом течении растягиваемого изотропного

плоского образца. В аналогичной постановке задача другим методом исследована А.Ю.Ишлияским.

В данной работе решение А.Ю.Ишлинского обобщается на случай анизотропного материала.

Уравнения, которыми определяются криволинейные границы полосы, задаются в виде

у = ±{h + 6f{x)), h - const,

6 « 1

(1)

В результате линеаризации условия пластичности для материала, свойства которого не зависят от гидростатического давления

F(ax

try.Txy) = О

имеет место

где

а'х -<г'у + 2кт'1у

О,

(2)

2к =

OF0

дтху д(сгх-<Ту)

- величина, связанная с анизотропией материала.

Из уравнений равновесия и линеаризованного условия пластичности (2) следует

Uy„ - Urr - 2kUxv = О,

(j„

д2и

д2и

д2и

ау дх2

Tj:y дхду'

(3)

(4)

Решение уравнения (3) находится методом разделения переменных

U = Л cos m (к у + х) cos m у/1 -(- к2у. А — con st (5)

Граница полосы задается функцией

/(.г) = Ccos пг(ку + х) cos тл/1 4- к2у. С — const.

Из линеаризованных граничных условий, выражений (5), (4) определяются неизвестные А,т и искомое поле напряжений.

При к = 0 полученные результаты совпадают с результатами А.Ю.Ишлинского для изотропной полосы.

Во 2-й главе методом, развитым А.Ю.Ишлинским. рассматривается предельное состояние изотропных цилиндрических тел. ослабленных пологими выточками.

В п.2.1. исследуется напряженное состояние растягиваемого изотропного круглого стержня переменного сечения.

Вводится цилиндрическая система координат рвг. Уравнение поверхности стержня представляется в виде

/;=(« + Ь}\г)), а — радиус стержня, 6 << 1 (6)

Условие пластичности Треска для осесимметричной задачи записывается следующим образом

Линеаризованное условие пластичности имеет вид

— (У;)2 + - Ак2 — О,

- + а, ± 2к] =0, к — соп$1

' > ' ' ' ^ / / I ' I ' \

ор = (Тв = <г. = сг. а - ~{ор + (7в+ а.)

Полагая

<7

дФ

йь'

Трг- дР'

дФ

(8)

13 уравнений равновесия и (7) получим

ф" _ ф" + 1ф' = о.

рр ' р р

Решение уравнения (9) находится методом разделение переменных

Ф = СI0(np) sin nz, (10)

где То(п/£>)-функция Бесселя нулевого порядка, С — const. Полагая

f{z) = A cos ггг, A— const,

из линеаризованных граничных условий, определим неизвестные С,п. Поле напряжений находится из (8), (10).

Из соотношений ассоциированного закона течения следуют выражения

vp = — Drnl\{mp) sin mz

vz — —Dml0(mp) cos mz ,

которые могут быть использованы для определения поля скоростей перемещений.

В п.2.2 рассматривается возмущенное напряженное состояние полой цилиндрической трубы, находящейся под действием растягивающего усилия и внутреннего давления.

Вводится цилиндрическая система координат p9z. Условие пластичности Треска записывается в виде

(*/> ~ а + |*)(<7в - с + = 7-pfi

(ав-а+ 2-k){oz -СГ + ~к) = т£ (11)

{<тг - а + !*)(<г„ - (Г -f = r)z

а также

{сгр-<т± ~к)т0г = трвтрх

(ав - а + -к)трг = тр0т0г (12)

2

(<т2 - сг 4- -£)тра = Трггбг В исходном состоянии полагается

< ф о- = о (13)

Условие пластичности (11), (12) в исходном состоянии (13) может быть удовлетворено в трех случаях:

1) + а°9-а° + ~к = 0, + О

2) *°-<7° + |*: = 0, 0, ^-(гЧ^МО

ООО

3) + = «г?-= О, а°0-аа + \кф 0

В результате линеаризации условия пластичности, соответственно имеет место

1) а'р = ст'$ = сг' = сг',

2) о'р = а'в = а'г = а',

3) сгр = = <т2 = сг,

где сг' = + а'д + сг^).

Для каждого случая в работе исследуется напряженное состояние при определенном возмущении поверхности трубы.

В 3-й главе исследуется предельное состояние призматических тел, ослабленных выточками.

В п.3.1 рассмотрено пространственное течение растягиваемого изотропного бруса переменного прямоугольного поперечного сечения. В первом приближении найдены

т'рв = 0

= 0

= 0

компоненты напряжений. Показано, что произвольно мс жет быть задано уравнение одной боковой выточки, ви. второй выточки определяется из граничного условия.

В задаче, рассмотренной в п.3.2 , используя соотношс ния пластичности, обобщающие условие Треска, опреде ляется поле напряжений для растягиваемой анизотропно] плиты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, приведенные в диссертации:

1. Обобщены результаты задачи о растяжении плоско го образца, ослабленного пологими выточками, на случа) анизотропного материала.

2. Развита теория предельного состояния растягивав мого круглого стержня с возмущенной границей. Получе ны выражения, определяющие кинематику течения.

3. Исследовано предельное состояние полого цилиндра близкого к круговому, находящегося под действием вну треннего давления и растягивающего усилия. Показано что условие пластичности в исходном состоянии може: быть удовлетворено в 3-х случаях, для каждого из кото рых имеет место свое поле напряжений при определеннок возмущении поверхности тела.

4. Исследовано предельное состояние призматически) тел на примерах растягиваемого изотропного бруса и растягиваемой анизотропной плиты.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

¡.Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. О ра стяжении полосы и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеальнопластического материала.-

Деионир. в ВИНИТИ 30.11.95 N 3174 - В95. Чувашгоспед-институт, Чебоксары (в диссертацию включены п.1 и п.2 статьи).

2.Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. Проблема теории пластичности: о растяжении прямоугольного идеальнопластического бруса переменного сечения // Тез. докл. междун. научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии" / Орловский ГТУ, Орел, 1995. (в диссертацию включен п.1).

3.Васильева A.M., Ивлев Д.Д. Об идеальнопластиче-ском состоянии полого кругового цилиндра при произвольном возмущении боковой поверхности // Известия ИТА ЧР, N 1(2), 1996, с.29-36 / Чебоксары.

4.Васильева A.M. О растяжении круглого стержня переменного сечения из идеальнопластического материала // Известия ИТА ЧР, N 1(2), 1996, с.37-40 / Чебоксары.

5.Васильева A.M. О растяжении круглого стержня переменного сечения при условии полной пластичности / Сб. научных трудов студентов и аспирантов.-Чебоксары: ЧГПИ им.И.Я.Яковлева, 1996, с.18-20.

Формат 60x84/16. Объем 0,75 п.л. Тираж 100 экз.