Предельное значение сингулярного интеграла Коши и быстрота сходимости интегралов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РЕСПУБЛИКИ ГАДЯСШСТЛЙ

тадшскш государствшпш- нащяшлышл этшберс'.ггер

дпссертацдоншй сопот Кр 065.01.13

РГ6 од. .

Нэ правах рукописи 2 ^ НПЯ 1ПР7 # УДК 517.5 •

ТШЮШЩИНОВ Д::ж»ол

* •

ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ С13<тЯРНОГО ПГГЕГРМЛ. КОЕ? II БЫСТРОТА СХОДНОСТИ ИНТЕГРАЛОЗ ФУРЬЕ.

Oj.Ol.OI - катэматачосгагЛ анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па сопсканпо учоной стопопи . кандидата флэгасо-мзтематнчоскпх паук'

Дуиацбэ - 1997

РгОота вннолненЙ в Национальном уннворснтоте.

Тадаикиском Государственном

Научные руководители: лектор фазико-цатеиагаческта наук,

профессор |М.Ал;уохвнкудов1. . • доктор физико-мятоматических наук,

! Ц.и.КаришБа. . • »

01адаальш& ошонэнты: доктор физико-матеиатичваар наук,

. Шабозов'м.Ш. • '. кандидат физико-математичесюи наук, доцент Солиев О..

Вэдущая организация

Институт математики Академии наук Республики Тадаикистан.

Зодата состоится *

Л1

лГи ое

1997Г. В

>Ъ час.

на

заседании диссертационного совета Кр 065.01.13 по присуждению ученой степени' кандидата физико-математических наук в Тадапкском госуниверситете (734025, г.ДушвнОе, проспект Рудакп, 17). .

С диссертаций можно ознакомиться в паучноП библиотеке Та^гикского госуниверситете.- .

• Автореферат-разослан " " ^у-ГгТУЛ 1997 г.

Т-

. Ученый секретарь - • •

. диссертационного совета к.ф.м.н. доцент . • ' ¿З&РхЭ- .. О.Х.Хосабеков .

ОЕЦЛЯ XAPAKTSPiICTIîKA РАБОТУ

с

üJilZl'ILl^Iá-lL^'I'j. npcîiic'.'a псслодоллплл лссглптэтлчсс-кпх ошшок, с'кстр'-.за сх<?дг:остл л бкстпота cymmyvocn пр;~ сопоядстсух пнзогрлсз *7р*»з. <1 лла л сстзето-ч ouiio:": из

oaiyivibHvx iic'íúj';:-: тсорая прлб^тл лплл (Хунжпа.* Б CTOiicacotHîe л рлзтллле гзор::г. i!i:rcrp.'ä.ics Gypr.o wisou бель-пол в-пэд , Гг.:<?дь?оа, Д.зб;7г1-?о:'.-'(Н(д, Дзрпхло, Дшп,

лорда а, Гол у Ст.), Ксзсгп.сешсо, С^хслкудсз я другие.

ДэЕ:тя д!'.'сс!}утаи,.,.о«шая рботг. л оглоллтся к :;?cv? лпулу гоарсссв.

Оплоллсл Д'-'лхрчбол; ллзяохся: Иссл'?лсг^г,::з лсслллготллюлого позсдоллл прллого л сспрт лого шхзх'рчдз '"с:л; л лл пролгвсцлг'л, лолулалли xoop-vt ~тл ллтсгрллсз 'Рурл-ч :л;гз Ут±у с олга'голлл'-л "лслрлл; :ï лл лрл.ллл-

J к ('лсхрогл слспл: ;сстп л Рлптро?^ оул.фуомссгл пплулл г: ociíD'i—^Hii-.:: u'r^ лурга, а ::с л ;\зр:Ллл:ролалло~

г;у лрллгд' л сст:;.....'плпо^у niiivrpinv

"'ЛЗД'йЛ.'?ь. 3 i>:ä(3у*с пр:.~:.Ч1Г.'::ся пстод.и тэо-рлл ■'. ул ^рплллолалглсго ллиллса.

лДГР'ЧлД'^ЛД'Ь. ^сэ рсзультлгн яллястсл

кглслл:

. I. .Лс.;:;:дол:;ло ассллл~олл'тлел ..ог^ллппо сингулярного лл/?гсллл' л1 ос л^лл лшого лл'л-rp '"а Когл л лл пгс.;з20дл:гс, лзгдз Р^ллцлл ¡ь ллслола? л лллсслл /<'.'. ri ;

2-, Полулллл ооотлетстзуллло г-дрллл лл:ч Слту с оста-л л, лллллл; о :лл:лзлул..дл пг"лглл- лл к гслледовгшло Рлстротл ололллолтл л олсгрлтл с;/,,:. .ту-:-лслтл ллх^гр-лол 'Л/рьа для Рул:лл:л, лрлл'лдгзлл'лл лллселл Ну. . 0'5;г л '.-'Лл, :

л гооозт.;« гСГ1;- if,ti;o3Tv. f.: Рота aoc.;7

'ГЗОООТЛЛССК .Ú ЛЭрЛКТЛП. Резрлылтл, ЛОЛЛЛЛПЛ.О в p:iÜOIS. ЛВЛЛ-

лтсл лотлл.л:. Сил легу: сл;ть лопользолзпл рлл члльлгл^лго лз:/~ чоллд задач Члорл:: ярлбллгс'знля.

ДппэОЧ;):гя_ рЗбОТ.Чг ÜCU02UUS рслрльт/м Л ДЛОСе1/ГЛЛЛП дс-"алздггалвсь па ссгмнлрах по теоплм полблллсл ,л цушаял Урлль-скогр Наупого Центра МлРАН (нзул.1, рук. ирся. "j^jpi Су2бот;:н ы.Н. л .Чорллл Н.л.), г.Ктторляйург, J " jO г. , in н гучшлх cu:.¿i-нйрзх лаеед^л :*л:гс:«и;г.зского ^ллл.,:;--. ;'р • ¿'ссуллнзрл.:-

.ли и-: ...'..Горького (па^ча.рук. про£.Ыелеацол A.A.) ,• г.Екате- • pß.'iciyI;ï>3 г., на семикаро кафедри теорий fcymayifi и кате-.'.••j'.'ü1 ого анадп::..;» T1V (научи.рук. профессора С^СЯсикулов ГЛ. ."., i." ■■ -".idcu H .Г:), в 1974-1905 г.г.; fis

i.r.rc:>. -1 ii -xoopai чисел ÏTJ (научк.рук. npoJqccupa Бабаев Г.Б. :: Д.И.), ка научно:.! cct&ttape ка^едо:; жи этического ааал.г.., .'ГПУ (иаучн.рук. д.&.к.к. Кзрк.¡02л U.U.) в li?rS-1937г. ¡■/. -роднен конференций. .??•<", Душшбе, 17-1Э ^ю-

• .\ : ¡¡а ресиублпкшюко^ науино-практпческоп коетерен-

ii.r, г.::бь, 17-19 марта 1357 г.'; на ет.егсдннх апрельски;-:"

;..!5чао-»сор-зтпчаских кохк^оренцпях'Ш1У. ' .

* *

Йубл:<:"щяя. Основные результаты диссертация олублпк'ованн «> ; i-ги р;> »"стазс, список которых приведен в конце рзторе^зрата.

Стиуктупп ляссвптяипг. Диссертация состоит из основных сбозначенпй и определения, вводелкя, чвтнрэх глав и списка цйткоуз.лон литературы. . •

СбщпЧ объем диссертации 103 страницы. Библиография сс?.орнг.т 50 названий.- »

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор полученных резуль-•ха * о*! по теме исследования, метод песледовашы и -излагаются o-JHD^hb'ü результаты диссертация.

Глава первая поевкцона изучению ассп.млтотпческого поведения сингулярных интегралов Кош; к их производных, когаа Суакции принадлежат классам , и

Будем говорить, что (л) g . если она' удовлетворяет с-вдушим условиям:

у«) ¿Г<г,<П и иг.еет модуль !ienpepuVii-cTi: tu T;îv.oi\, что $-}Ъ) я Л , где <(($) - «оцуль непрерыв-

ности, Ч;(о)?о , - не возрастает;

0) в нитгел'лах (-©а ,01) ) Л;.>пт.::я Si^c) nr.szT

(копеч.-шз г»\.еч?чвя) ог::а.?::чу» га : а' , «

V f Сü} < с-о ; \/ß-ao < оо .

- о -

ri

Бчдом считать, что фшстя $

селя OÎÏ3 удозлатзоряо? ' слбдугцям услов'иям:- . '

а) cí Ca /з п имзог разно кзрнуа пол оценку о J

гдо - нзпрзрцЕяая возрастающая £злясия, <¿>fy)<M » такая, что ¥(t?)s<? , - пз возрастает;.

б) з «iirifpnryrax (-W, а. ) i ( ) <1-упкц:щ имеет ¿i со ■

V :?•<"*> -i <?*» -, ) ' -

— to ' "£/

Говоря?,что _*РС-с) б V/'Цм .:слп с:э удовлетворяет

следукаим услсз.ьч:::

a) i:a dcí'.-íV Тушжя ясздсгяз:^:з '

зцдо

ГЧ-О- J -J V.

гд-э v: л по р.чв::о:.'.зр.чуо

оцолгу . ' , " " '

э

Ö* з :!.чгорг,.;л5 С-** , "t } т ( i* , ) Fix) гопег

npt,:-.!.;V,Hyr> F*Ск) (кв'итш :í3-i3.io;»-:n) ^'рлн;пз'::1оЛ mp:ia-

v f'oo -- > i '

iccíx) (I)

Чзрзз

ü соарл^зиаоо ядро.

б C^j-c-i) ~ 4- S p Кл ( cfx-t Wi, (4)

i?v сef) я ^r 1 )<• <e)^ _ 15)

—

I

ооо^л ::.;;,' соотвстствакио прямой и оооряг.бшш& сшшуляршЛ! «лег^я з модс^ицяровашшыа ядрами:

■г^. j . / /_./ 1 /у

К С cfx-o + (cfx-*), (6)

. (cjfx-O = К С¿fx-O - (/-¿K ^'(¿fx-i). • (7)

<Изаоть# R . означает криволинейный четырехугольник 0<с4«:с<1, 171<с, - постоянная, г^с/ , tftC-tfc

i'bo. ■ 1 • . • ■

XapaKTcpfiiLvi: результатами этой главы ягнится следующие

• тсэпеш: ' - •. ■

Тсорзма 1.1.1. Пусть функция ;foo e/^ ) и пусть * d. i iß ßcx>cHv iüiii у . Тогда в области ß лмсит ,\:ес?о расно-

маршгз по jk' и оценки:

с v '

2. Jctf-f) = +:о[¥Ссо]л«г1>*. ■

Jt^)»°ijsssu,

где А* ¿otj ? -J(x+v)+$ix-v)-. - МОДУЛЬ'непрерыв-

ности,,

^ (Г тгг •» • \г

'«Г ,тг ^

- пепел:::-;! сопртоипая к £ {'<}

Тсорг;:1 1.3.1. Пусть.функция Р(-■:'> с м.^.) п агелг

Тогда '3 облает А ;л-:л лЛ

по г; л О-1 о::::па1:

I. "-/^(¿'Г ) ч- о! с., ,

^ • .о-г • x. v - '

^гсФУ-ОГ^],-.....■

с-

-I <r~J> -Э.у! - - ^ ? с-г

Га - .-V ';-л ¡-'V.'\ , <с С'Л) - модуль непре-

ртмоз?:«., <л*х} . С?-*') - опр.?'-'.Тбрмуламя (•?.) л

^), а

г",- 1 I \ Р (XIV)- Р: г • '■

¿¿Ку'---------V .....••......--V ' О)

/ '

пезогия сспрллзллл;: к Г ( -')

Ггпгл тлул;-ллл '• л:гл "эту о -:'■•-•

•:а?оч:г.л: плзпем дят кдто'градоэ Л вилле. з ' с:-, »л:-. тл прль:ся>'

г. лезллдогллпр й::строти сходлмоггл ={ с;. лй-

тггрпхз 11упьа л сспрял-.злпого ::агегрз;:а пглллдлелл'д''-..

:с отз^лчги::.; гллссам. Пусть .

г- ^ т £к,<:

»

где ;

•беи5=

- коэффициенты Оурье. . «

С£ор;иудпрус:.: соответствующие результаты? Теораг^а 2.2.1. Пусть интеграл

где ¿ = о'■+?•<. , абсолютно сходятся ера £*>о,и п области я удовдетворязт условию • *

<Эг

д пусть

гда Ч5 (, V) - функцгя типа модуля цеярерыикоохд, такая, что • - . ^(о^о » ¥Оо/гг - ае возрастает. Тогда равномерно по

имеют место слодущ.й£ оценка.

о

. л«*».

• • •

Теорема-2.2,2. Пусть интеграл .

*

о . .

где абсолютно сходися при {£\>о ,'« в области Д,

удовлетворяет условию ' / ,

• .

и пусть

где Ч» (") - функция типа модуля непрерывности, такая, что ЧЧо>=. о , ^М/«*- почти убывают» Тогда для любого <к>-± инзет место следующая оценка:

+ шк) •. '

равномерно по« , где • ' '

а слгз --^'^^^сг^^о^г^^с^^л^ '

При.

, лрк -¿¿¿¿о, ♦

Теорема 2.2.34-Пусть интеграл

ф С2) » ^ ЛИ «,х) "г4«*"-,

•где 2 = а , ^ ТЦ-'с с абсолютно сходятся прз о о , а р областа Г* удовлетворяет условию

: ■ ' ■ (12) • • •

л пусть равномерно по ус •

иле«,

где Ч>Си) _ удовлетворяет условиям теорегаг2.2.1.

Тогда равномерно по •н.-.'.оот ггасто следующее*"оценка!

Если условие (12) запенить условпем

- 10 -

т„о , ' »

$ Минеей* Ф С<Л - ^ С ^ +

/¿-И**5 .

'В приведешшх теорег^лх данной глава установлены соотношения, связивакцае г! -ыЯ чпегпчаий едтеграл от с:уш:ц;:::

= [сМи)-1 С(и)'] . г. /V -но гнтегралыше . средние тлпа Рясса порядка с одной сторзнц с ппзобразованием Лапласа с|уцкд:1.! с другой сторон:.

Глава третья посеящзнл г.сслодоваа::ю быстроты сходимости интеграла я сопряженного 'латограла Сурьс для ¡тункцаС, принадлежащих классам К^ , и V/. Через

• // '

СVе) = ¿г ^ ^ ^ 1С^ - < *' < К) '

' о - " ,

- обозначим соотпетстьонпо частное лнтеграл:! йуоье л сопряженного к нему интеграла функщ:;: ? , .

орлулирус:л соот^тствук-дсго резудьт&тп: Теореца 3.1.1. Пусть ¿тунлцля ^аос П~,, илн^ .

Тогда рйв..од-.ерао по « для всех хсг^'Л , <хсе.<Нс-(; и.-овт иг сто оц-лиа;:

I. - + О { Ц?

тае - определена дгорлулой (8). .

Тоорегла 3.3.1. Пусть РМ^^») . п пусть рм&г/^р. Тогда равномерно по к. для всех хс. а^ е.<Л<4

игеят г.:эсго 'следущка йцелкл:

Г. Ъ. = Ж™* + б-Ыр-)^}-,

гдо Р^М- определена формулой (9). ■

Глаза четвертая яоевядеяз пзучелпэ быстроты (Й. , ^), • суггллруог'оотп пптограла я соярянояяого к ним интеграла Фурье для аункцяЗ, принадлежащие классам 1(\ к \vr6p . .Через . „

Р^С*, (17)

о

- соотвегстгепяо рлссозскпо средние порядга Л>-1 прямого я сспряззнного интеграла Фурье.

Огповакгя результатами главы явллзгОя слодуюдлз теоссгм: •

Тсорзмз 4.1.1. Пусть функция £ (зс) Удовлетворяет всем условиям. теоремы 3.1.1. Тогда равномерно по ее' для всех ^с-Се^П ' яе-кЬ С место следующие оцепкп:

I.' Я* С«"»^ 1 ¿г К*С0{&сл/Д,

- о» -.г*

3.

сгЪ

■ гдо. - определена .;ор.\:уяа. :н (5) и (7),

а - спрздслеяа ¿ормулоя (II).

, . Теорема 4.3.1. Пусть.функция р ( =0. • удовлетворяет всел ■ условиям теорем 3.3.1. Тогда равномерно по лс для всех • .. же г«,«¿7 » ««^¿е1*^ ПЕ-еют г.есто следующие оценки:

1. -О * К«. < Щ •+ 0 { КС л/) ^ • * »ч *

2. УН*1 КДё^Х-« М* ]

. где •

■ ' I 'рук .

где - , ЧМ - модуль пепрз-

.рывностп, ц^ССГж-^- определены формулаил (б) с (7).

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.м.к. профессору Карлгловой. НЛЛ. за окаранную помощь при наполнении данной работы. Еое.м участника;.: и руководителям выше укг:заняых паучках сел-шаров*за вшг/лтельнсс "отношение к исследуемой 'работе 1

РАБОТЫ АВТОРА. ПО '-ТЕМЕ 'ДИССЕРТАЦИЙ ■

I. Кг:!0лпдд1Ш02 Д.,КраПнова Л.И. О-быстроте сходимости интеграла Фурье и сопряженного интеграла одного класса йглпэдш •// ДАН Тадз.ССР, .1974,' т.17, }я 4.-.- С.10-12. Крайнева Л.И., Камоллддинов Д. О быстроте' (Я , ^ ) - су?.<-г'ируемостд интеграла ФурзЛ и сопряженного интеграла одного класса функции //ДЭД Тая*.ССР, 1976, т.19,Г/12.С.7-10.

3. Хо:.;олид";шов Д., Крайнова Л.И. О быстроте сходимости интеграла и сопряженного интеграла Фурье одного класса функций //Тру,н молодых учетах кех.-мат. Ф-та ТГУ, вин.I,Душанбе,

• 1976. - С.II-19. '

4. Ксмолиддинов Д. О бнстрото сходимости интеграле» Фурье и сопряженного интеграла функции, мера непрврНЕНости которой на отрезке задана в среднем //Д.® Тадч,ССР, 1978, т.21,'5.3.-С.3-7.

5. Краснова Ка'-юлиддянон Д.. О быстрота (Я ,(Л) - суммируемости интеграла Лурье п сопряженного интеграла одного класса пуш-пи'! // Сб. "Теория отпаяй я функпион&гашй анализ".'ТГ/, Душанбе, 1979. - С.77-37.

3. Кря'Лкова Л.И.', Кат-'олягишоп Д. Приближение риссовскпх средних интеграла Зурьо п сопря^ешюго интеграла сингулярными интегралами // ДАН Тадя.ССР, 19ОТ, т.23, 5. - С.291-293.

7. Камолитщпнов Д. О бнстрото сходимости-некоторых продйфйе-решшровашгнх и сопрягкешшх интегралов Фуръв // ДАЛ Та™'.. ССР, 1983, 7.96, Го 9. - С.548-55Я.

Р. Камолплдпнот! Д., Краснова Л.И. О бнетротв (¡1 ^ - су!.ш-руемости п '.о-тп'^еречттпровснгп'х интегралов.Фурье //ДАЛ Та-(.СПР, 19Р5, т.2Г% .'5 3. - С.1ПЗ-13о'.

9. "а1-о-шт. пи о в Д. Прочельноз значение сингулярного интеграла Ко «г п бнетоота сходимости интегралов Фурье. - .Тезпси яокг ла'-оп международно:' научной*котТяренпии "Ди-ТДерснппальнав угнрнп.т о спнгул.чрятга кор!Т>тшшентамя", 17-19 ноября 1ГОз. Сггксм кг^одра каггр»'Я?1'леского анализа и теория Фупк-

т-/1 1993 ^ 1

10. Камогид-икон Д. Теоре?"« типа *ат/ с остаточнгм членом для ."лтогг"-от Гагл^са // Г;"'!ан^е, 19?-3, 6 стр. Доп. НПИТТентр, "--пуск I, Р (1051) - Та 93.

II. Каримова M .M., Каколпддинол Д. Об иктегралънш: те or. с;-эх . типа Фату. Ctí. ' "ДшМюронц. и пнтегральн. ураиг., к>: ппп~ иге." Дус.гос.пед. ун-т, IS93 г., iwn'.'4. -

10/Х-Х007 г.Зпкао 31.Ткглж 100 скс Ротапринт ТГШ',Дус.'ОпСй,ул.Лахути '2.