Предельное значение сингуляторного интеграла Коши и быстрота сходимости интегралов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РЕСПУБЛИКИ ГАДЯСШСТЛЙ

тадшскш государствшпш- нащяшлышл этшберс'.ггер

дпссертацдоншй сопот Кр 065.01.13

РГ6 од. .

Нэ правах рукописи 2 ^ НПЯ 1ПР7 # УДК 517.5 •

ТШЮШЩИНОВ Д::ж»ол

* •

ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ С13<тЯРНОГО ПГГЕГРМЛ. КОЕ? II БЫСТРОТА СХОДНОСТИ ИНТЕГРАЛОЗ ФУРЬЕ.

Oj.Ol.OI - катэматачосгагЛ анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па сопсканпо учоной стопопи . кандидата флэгасо-мзтематнчоскпх паук'

Дуиацбэ - 1997

РгОота вннолненЙ в Национальном уннворснтоте.

Тадаикиском Государственном

Научные руководители: лектор фазико-цатеиагаческта наук,

профессор |М.Ал;уохвнкудов1. . • доктор физико-мятоматических наук,

! Ц.и.КаришБа. . • »

01адаальш& ошонэнты: доктор физико-матеиатичваар наук,

. Шабозов'м.Ш. • '. кандидат физико-математичесюи наук, доцент Солиев О..

Вэдущая организация

Институт математики Академии наук Республики Тадаикистан.

Зодата состоится *

Л1

лГи ое

1997Г. В

>Ъ час.

на

заседании диссертационного совета Кр 065.01.13 по присуждению ученой степени' кандидата физико-математических наук в Тадапкском госуниверситете (734025, г.ДушвнОе, проспект Рудакп, 17). .

С диссертаций можно ознакомиться в паучноП библиотеке Та^гикского госуниверситете.- .

• Автореферат-разослан " " ^у-ГгТУЛ 1997 г.

Т-

. Ученый секретарь - • •

. диссертационного совета к.ф.м.н. доцент . • ' ¿З&РхЭ- .. О.Х.Хосабеков .

ОЕЦЛЯ XAPAKTSPiICTIîKA РАБОТУ

с

üJilZl'ILl^Iá-lL^'I'j. npcîiic'.'a псслодоллплл лссглптэтлчсс-кпх ошшок, с'кстр'-.за сх<?дг:остл л бкстпота cymmyvocn пр;~ сопоядстсух пнзогрлсз *7р*»з. <1 лла л сстзето-ч ouiio:": из

oaiyivibHvx iic'íúj';:-: тсорая прлб^тл лплл (Хунжпа.* Б CTOiicacotHîe л рлзтллле гзор::г. i!i:rcrp.'ä.ics Gypr.o wisou бель-пол в-пэд , Гг.:<?дь?оа, Д.зб;7г1-?о:'.-'(Н(д, Дзрпхло, Дшп,

лорда а, Гол у Ст.), Ксзсгп.сешсо, С^хслкудсз я другие.

ДэЕ:тя д!'.'сс!}утаи,.,.о«шая рботг. л оглоллтся к :;?cv? лпулу гоарсссв.

Оплоллсл Д'-'лхрчбол; ллзяохся: Иссл'?лсг^г,::з лсслллготллюлого позсдоллл прллого л сспрт лого шхзх'рчдз '"с:л; л лл пролгвсцлг'л, лолулалли xoop-vt ~тл ллтсгрллсз 'Рурл-ч :л;гз Ут±у с олга'голлл'-л "лслрлл; :ï лл лрл.ллл-

J к ('лсхрогл слспл: ;сстп л Рлптро?^ оул.фуомссгл пплулл г: ociíD'i—^Hii-.:: u'r^ лурга, а ::с л ;\зр:Ллл:ролалло~

г;у лрллгд' л сст:;.....'плпо^у niiivrpinv

"'ЛЗД'йЛ.'?ь. 3 i>:ä(3у*с пр:.~:.Ч1Г.'::ся пстод.и тэо-рлл ■'. ул ^рплллолалглсго ллиллса.

лДГР'ЧлД'^ЛД'Ь. ^сэ рсзультлгн яллястсл

кглслл:

. I. .Лс.;:;:дол:;ло ассллл~олл'тлел ..ог^ллппо сингулярного лл/?гсллл' л1 ос л^лл лшого лл'л-rp '"а Когл л лл пгс.;з20дл:гс, лзгдз Р^ллцлл ¡ь ллслола? л лллсслл /<'.'. ri ;

2-, Полулллл ооотлетстзуллло г-дрллл лл:ч Слту с оста-л л, лллллл; о :лл:лзлул..дл пг"лглл- лл к гслледовгшло Рлстротл ололллолтл л олсгрлтл с;/,,:. .ту-:-лслтл ллх^гр-лол 'Л/рьа для Рул:лл:л, лрлл'лдгзлл'лл лллселл Ну. . 0'5;г л '.-'Лл, :

л гооозт.;« гСГ1;- if,ti;o3Tv. f.: Рота aoc.;7

'ГЗОООТЛЛССК .Ú ЛЭрЛКТЛП. Резрлылтл, ЛОЛЛЛЛПЛ.О в p:iÜOIS. ЛВЛЛ-

лтсл лотлл.л:. Сил легу: сл;ть лопользолзпл рлл члльлгл^лго лз:/~ чоллд задач Члорл:: ярлбллгс'знля.

ДппэОЧ;):гя_ рЗбОТ.Чг ÜCU02UUS рслрльт/м Л ДЛОСе1/ГЛЛЛП дс-"алздггалвсь па ссгмнлрах по теоплм полблллсл ,л цушаял Урлль-скогр Наупого Центра МлРАН (нзул.1, рук. ирся. "j^jpi Су2бот;:н ы.Н. л .Чорллл Н.л.), г.Ктторляйург, J " jO г. , in н гучшлх cu:.¿i-нйрзх лаеед^л :*л:гс:«и;г.зского ^ллл.,:;--. ;'р • ¿'ссуллнзрл.:-

.ли и-: ...'..Горького (па^ча.рук. про£.Ыелеацол A.A.) ,• г.Екате- • pß.'iciyI;ï>3 г., на семикаро кафедри теорий fcymayifi и кате-.'.••j'.'ü1 ого анадп::..;» T1V (научи.рук. профессора С^СЯсикулов ГЛ. ."., i." ■■ -".idcu H .Г:), в 1974-1905 г.г.; fis

i.r.rc:>. -1 ii -xoopai чисел ÏTJ (научк.рук. npoJqccupa Бабаев Г.Б. :: Д.И.), ка научно:.! cct&ttape ка^едо:; жи этического ааал.г.., .'ГПУ (иаучн.рук. д.&.к.к. Кзрк.¡02л U.U.) в li?rS-1937г. ¡■/. -роднен конференций. .??•<", Душшбе, 17-1Э ^ю-

• .\ : ¡¡а ресиублпкшюко^ науино-практпческоп коетерен-

ii.r, г.::бь, 17-19 марта 1357 г.'; на ет.егсдннх апрельски;-:"

;..!5чао-»сор-зтпчаских кохк^оренцпях'Ш1У. ' .

* *

Йубл:<:"щяя. Основные результаты диссертация олублпк'ованн «> ; i-ги р;> »"стазс, список которых приведен в конце рзторе^зрата.

Стиуктупп ляссвптяипг. Диссертация состоит из основных сбозначенпй и определения, вводелкя, чвтнрэх глав и списка цйткоуз.лон литературы. . •

СбщпЧ объем диссертации 103 страницы. Библиография сс?.орнг.т 50 названий.- »

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор полученных резуль-•ха * о*! по теме исследования, метод песледовашы и -излагаются o-JHD^hb'ü результаты диссертация.

Глава первая поевкцона изучению ассп.млтотпческого поведения сингулярных интегралов Кош; к их производных, когаа Суакции принадлежат классам , и

Будем говорить, что (л) g . если она' удовлетворяет с-вдушим условиям:

у«) ¿Г<г,<П и иг.еет модуль !ienpepuVii-cTi: tu T;îv.oi\, что $-}Ъ) я Л , где <(($) - «оцуль непрерыв-

ности, Ч;(о)?о , - не возрастает;

0) в нитгел'лах (-©а ,01) ) Л;.>пт.::я Si^c) nr.szT

(копеч.-шз г»\.еч?чвя) ог::а.?::чу» га : а' , «

V f Сü} < с-о ; \/ß-ao < оо .

- о -

ri

Бчдом считать, что фшстя $

селя OÎÏ3 улозлатзоряо? ' слбдугцям услов'иям:- . '

а) cí Ca /з п имзог разно карнуа пол оцзнку

о J

где - нзпрзсыЕяая возрастающая £злясия, <¿>fy)<M » такая, что ¥(t?)s<? , - пз возрастает;.

б) з «iirifpnryrax (-W, а. ) i ( ) <1упкц:щ имеет ¿i со ■

V :?•<"*> -i <?*» -, ) ' -

— to ' "£/

Говоря?,что _*РС-с) б V/'Цм .:слп с:э удовлетворяет

следукаим услсз.ьч:::

a) i:a dcí'.-íV Тушжя ясздсгяз:^:з '

зцдо

ГЧ-О- J -J V.

гд-э v: л по р.чв::о:.'.зр.чуо

оцолг::,' . ' , " " '

э

Ö* 3 :!.ЧГ0рг,.;Л5 , -t } Т ( i* , ) [у-'МЖЯ F (К) "M';ÛI npt,:-.!.;V,H}r> (ко-итш :í3-i3.io;»-:n) ^'рлн;пз'::1оЛ mp:ia-

ci \ / . .,

y Fb<! ¿ ^ ( X. '

iecîx) (I)

Чзрзз

ü сощьхзяаоо ядро.

б C^j-c-i) ~ 4- S p Кл ( cfx-t Wi, (4)

i?v сef) я ^r 1 )<• <e)^ _ 15)

—

I

ооо^л ::.;;,' соответственно прямой и сопряхешшй сшшуляршЛ! «лег^я з модс^ицяровашшыа ядрами:

■г^. 4.1 j. / 1 /у SL

к с г/х-о + c-uic^z (cfx-o, (6)

. (cjfx-O = К С¿fx-O - (/-¿К ^'(¿fx-i). • (7)

С^ласгь_ R .означает криволинейный четырехугольник

a«rc'4<;c<i., 1Т1<с, - постоянная, z 5 q? ,

C'io. ■ 1 • . • '

xapaktcpfiilvi: результатами этой глави яелязтся следующие • теэпеш: ' - •. ■

Тсорзма 1.1.1. Пусть фуякцпя e/f.^ м} к пусть

{¡с>:у с /-/v iüui у . Тогда в области ft !j:cbt ,\:ес?о расно-

моршгз по х' и оценки:

* + - <%(,,,],,„.,.

с v

2. Jctf-f) = +■

s-Jt^)»°ijsssu,

где А* ¿otj ? -J(x+v)+$ix-v)-. - модуль непрерыв-

ности,,

^ (Г тгг •» • \г

'«Г ,тг ^

- пепел:::-;! сопртоипая к £ {'<}

Тсорг;:а 1.3.1. Пусть.функция Р(-■:'> с м.^.) п агелг

Тогда '3 облает А л::"эг Г-:л ' Л

по г; л О-1 о::: или:

I. "-/^(¿'Г ) о! с., ,

^ • .о-г • x. v - '

^гсФУ-ОГ^],-.....■

с-

-I <r~J> -Э.у! - - ^ ? с-г

Га - .-V <*•/>•»• р'(.«- ';-л ¡-'V.'\ , <с С'Л) - модуль непре-

рп'.\ю.г:;1, <л*х} . С?-*') ~ опр.?'-'.Тбрмуламя (•?.) л

л), а

г",- 1 I \ Р (XIV)- Р: г • '■

¿¿Ку'---------V .....••......--V ' О)

/ '

пезогия сспрллзлллд к Г ( -')

Г.ллга лтег-ля'пелплллла ггсул:-;;;-..,-. '• л:гл "ату о

таточллл. плзпем дят кдто'градоэ Л вилле. з ' с:-, »л:-. тл прль:ся>'

г. лееллдолллпр й::строти сходлмоггл ={ лй-

тггрпхз 11упье л сспрял'.елпого ::агегрз;:а ("ул:-::,;,", пллллдле::::'л'\-:с спзлл'цил; классам. Пусть .

г- ^ ч

Я С к,*.)* [ есСи)-Ш(и>3<2,,- . . ¡Ю)

»

где ;

от

- коэффициенты Оурье. . «

Сфораулпруог • соотвзтствуксую результаты? Теораг^а 2.2.1. Пусть иатеграл

■ .

где ¿ = о'■+?•<. , абсолютно сходятся ера £*>о,и п области я удовдетворязт условию • *

<Эг

л пусть

гда Ч5 (, V) - функцгя тша модуля цеярерыикоохд, такая, что • - . ^(о^о » ¥Оо/гг - ае возрастает. Тогда равнолзрао по

имеют место слодущ.й£ оценка.

о

. л«*».

• • •

Теорема-2.2,2. Пусть интеграл .

о . .

где абсолютно сводятся при с~> о ,и в области Д,

удовлетворяет условию ' / ,

• .

и пусть

где Ч» (") - функция типа модуля непрерывности, такая, что ЧЧо>=. о , почти убывают» Тогда для любого <к>-±

кнзе? место следующая оценка:

+ шк) •. '

равномерно по« , где • ' '

а слгз --^'^^^сг^^о^г^^с^^л^ '

т/Л = 1

При.

, лрк -¿¿¿¿о, ♦

Тзоре:га 2.2.34-Пусть интеграл

ф С2) » 5 ЛИ «,Х)

•гдо 2 = <£ , ^ ТЦ-'с с абсолютно сходится при о о , а р области Г* удовлетворяет условию

: ■ ' ■ (12) • • •

л пусть равномерно по ус •

иле«,

гдо Ч>Си) _ удовлетворяет условиям теорегаг 2.2.1.

Тогда равномерно по •и.-.'.еот ггасто следующее*"оценка!

Если условие (12) запенить условпем

- 10 -

т„о , ' »

$ Минеей* Ф С<Л - ^ С ^ +

/¿-И**5 .

'В приведешшх теорег^лх данной главы установлены соотношения, связиваэдяе // -ял чпегпчаий елтеграл от функцяя

= [сМи)-1 С(и)'] . г. /V -из интегральные . средние тяпа Рясса порядка с одной стороны с прэобразованием Лапласа функция с другой стопки:.

Глава третья посвящена ксслодоваяяю быстроты сход.'яюс-тя интеграла я сопряженного 'литограла Сурьс для (ТункцлЕ, принадлежащих классам К^ , и . Через

' /7 '

СVе) = ¿г^ *)>£^ "<■ (х-*)Ж ' < К) '

' о - ,

- сбосначям соответственно частное интеграла £урье л сопряженного I; нему интеграла функция , .

ХЗ'|ориуларус:л соот^тствук-дго резудьт&тп: Таоре:/д 3.1.1. Пусть функцяя ^оос П^ или .

Тогда рйв..од-.ерао по « для всех хсг^'Л , ¿{¿-С п^овт иг сто слодуь^ло оц^яш;: I. - + О { Ц?

тае - определена формулой (8). .

Теорема 3.3.1. Пусть РМ^^») . п пусть рм&г/^р. Тогда равномерно по к. для всех хс. а^ е.<Л<4

пгеят г.:эсго 'следущка йцеякл:

Г. Ъ. = Ж™* + б-Ыр-)^}-,

гдо ^ Р^М- определена формулой (9). ■

Глагз четвертая яоовяденз изучению быстроты (Й. ,<М, • суммируемости интеграла л сопряненного к ним интеграла Фурье для аункцлЗ, принадлежащих классам 1(\ к \vr6p . .Через . „

Р^С*, (17)

о

- соответственно рлссозскпо средние порядка прямого

л сспряззнного интеграла Фурье.

ОсповннгЬ результатами этой главы явллзтОя слодуюдлз теосемц:.

Теорзмз 4.1.1. Пусть функция £ (=с) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1.1. Тогда равномерно по ее' для всех »в место следующие оценки:

I.' Ы л ¿Г К*С0{&сл/Д ,

- о» -.г*

3.

сгЪ

. 4. —^Н^ £/„0 1 0(¿Л,

■ где. ~ определена формула.:п (5) и (7),

а - спрздслеяа ¿ормулоД (II).

, . Теорема 4.3.1. Пусть.функция р ( =0. • удовлетворяет всел ■ условиям теорем 3.3.1. Тогда равномерно по лс для всех • .. хо ¿"<,¿7 » «¿е^р^-й имеют г.есто следующие оценки:

I • КЛ -О * ¿ДГ^ К<. < Щ •+ 0 { КС л/) ^ •

* »ч *

. где •

■ ' I '"У" ■

где - , ЧМ - модуль непре-

рывности, ц^ССГж-^- определены формулаил (б) с (7).

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.м.к. профессору Карлгловой. НЛЛ. за окараннуи помощь при виполнешп: данной работы. Есе.м участишь:.; л руководителям выше укгзаняых паучках сел-шаров*за вппглтельпсс отноше'нле к исследуемой работе 1

РАБОЙ АВТОРА. ПО '-ТЕМЕ 'ДИССЕРТАЦИЙ .

I. Кг:!0лпдд1Ш02 Д.,КраПнога Л.И. О-быстрота сходимости интеграла Фурье и сопряженного интеграла одного класса ьункцни"//' ДАН Тада.ССР, .1974,' т.17, }я 4.-.- С.10-12. Крайнею Л.И., Ка.юлиддинов Д. О быстроте' (Я , ^ ) - су?.<-лируелостн интеграла ФурзЛ и сопряженного интеграла одного класса (Тушптли // ДЭД Та я*.ССР, 1976, т.19,Р 12.С.7-10.

3. Халолид-лнов Д., Крайнопа Л.И. О быстроте сходимости интеграла и сопрял.екпото интеграла Фурье одного класса функций //Тру,н молодых учетах кех.-мат. >р-та ТГУ, нш.1,Душанбе,

• 1976. - П.II-19. '

4. Ксмолпддиков Д. О быстроте сходимости интеграле» Фурье и сопряженного интеграла функции, мера непрерывности которой на отрезке задана п среднем //ДАН Тадч.ССР, 1978, т.21,'5.3.-С.3-7.

5. Кралнотза Л,И., Калолиддинол Д.. О быстрота (Я ,(Л) - суммируй! "Ости интеграла ^урье и сопряженного интеграла одного класса гутгкппл // Сб. "Теория отпаяй я фрнкпионаштй анализ".'ТГ/, Душанбе, 1579. - С.77-37.

3. Кря'Лкова Л.И.', Камолиддпноп Д. Приближение риссовских средних интеграла Зурьо и сопря^ешюго интеграла сингулярными интегралами // ДАН Тадя.ССР, 19ОТ, т.23, 5. - С.291-293.

7. Камолитщпнов Д. О бнетрото сходимости.некоторых продйфйэ-решшровашгнх и сопрякешшх интегралов Фурье // ДАЛ Тали ССР, 1983, 7.96, Г< 9. - С.548-55Я.

Р. Клмолплдлпот! Д., Краснова Л.И. О блстроте (¡1 ^ - су!.ш-руолостл п юд::<"'7-зрачттгро:2снт!х интегралов. "<урье //ДАЛ Тад(.СПР, 19Р5, т.2Г% .'5 3. - 0.133-135''.

9. " г?-е та длин о в Д. Прочельноз значение сингулярного интеграла Ко «г п бнетоотя сходимости интегралов Оурье. - .Теэпси док,-ла'-оп :«е-'"'."-!аро"но:' научной*котТяренпии "Ди-ТДсропцпальнав угнрнпя с спотул.чряшя коР^тшентамя", 17-19 ноября 1ГОз. Сргксм кгг*одрэ математического анализа и теории Фупк-

т-/1 1993 ^ 1

10. Камогилдикон Д. Теорем типа *ат/ с остаточнгм членом для ."лтогд"» -от Дагласа // Г ""'¡а л^е, 1993, 6 стр. Доп. НлИТТентр, "--пуск I, ^ Р (1051) - Та 93.

II. Каримова M .M., Каколпддиноя Д. Об интегральянх те or. о;-эх . типа Фату. Ctí. ' "ДшМюронц. и пнтегральн. уравц., к>: ппп~ лож." Дус.гос.пед. yii-т, IS93 г., iwn'.'4. -

10/Х-Х007 г.Зпкао 31.Ткглж 100 скс Ротапринт ТГШ',Дус.'£шСй,ул.Лахути '2.