Предельные теоремы для ветвящихся процессов с иммиграцией, зависящей от состояния тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕлМЯ НА7К РЬЕПГЕШИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТ&ДТКНЙ. вмени В. Й. РСИАЕОВСКОГО

На врагах рукописи ¿'ЭР:,'1ДпЗВА ТАМАРА АБЛТРАЬШЮВНА

ИРЕДЗПЬШЕ ТЕОРЗДЫ ДШ ВЕТЗЯЦКСЯ ПРОЦЕССОВ С Ш-ЮТРАЦИЕЛ, ЗАВИСЯЩЕЙ от состсшия

01.01.05 - Теория вероятностей в математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата фЕзяко-матемзтпчесгах наук

Работа Еылодавна г Кпстягу?«. Мэтскэтеки виске В.И.Роаановского АН Рооцублма: Узбекистан

Еаучзуй руководитель - доктор д^зпкочлзте.татзчвскях наук,

профессор БАДАЛЫЕЗ К.С.

О^едапльные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор НАГАЕЗ А.Б.

кандидат Злзвко-мате.'гатпческпс наук ТУРСУНОВ Г.Т.

Ведущая организация - Киевский Государствс:пгн2

Уииеерситвт пмД.Г.Шсечсшео

^гшта диссертация состоится ■А.-. Х\ (.У кУ^ 1992г. г"!Ч часов на заседают спецпалкзкроЕаттго Соаета К.015.17,01 г Институте »«атеиатакг ии.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташсент-143, ул.Ф.Ходааега, 29.

С диссертацией можно ознакомиться г библиотеке Института ¿Латшдатикз зшени 3.К.Романовского АН Республики Узбеквстан

Автореферат разоелЕН "ЗД" 1992г.

УчвяаЕ секретарь спвдаалЕЗврогашюго Совета / кандидат фаз.-«аг.наук А.Н.СТАРЦЕВ

ОБШЛЯ XAPÄKTEHlCHiKA ВШШ

Актуальность тема. Строгал магемагачас-зая теория эаглякихся случайных процассоз появилась ¡га cjds-23 50-х годол И века a sa ссздзкза связано о зиенаив А.Н. Нолмогороза, S.A. Сгзасгьявоза, A.B. .'iocini, Т. Харрзсз, Р. Балшапа з других ззгестанх мгтематают. В последушем В.П. Частяаоз, С.З. Пзгаез, A.B.-Нага», AJi. Зубкол, Я.С. Еадал-dasa, ü.il. ¿франков, 3.Ä. Батутан а Саветсясм Сосзо, 3. Квс-ган, П. пай, '5. Сшзцзр, 3. Сзна?а, Дз» Зарн-jtnono, А. ЕзЗгс. Дя. Фосгвр за рубззом, обогатила эг? творгв cynacraasEiara ре-зуль?атгмя. 3 эгоЗ тсорзи зяэтатггансз иесто залазит ясслв-дсгашя гетгяшпюа случайных арощсооа е ¡клгатрацд»:!, ялляг-шшя: матадатачзской модальа аногах ргадьшх ямаи! аз od — лас5а фзаяка, популяцпояной гэнатинз, демографа я других отраслей яаукл. Яря этом а <5ольщаистг» psdo? рассматривалась случая, когдй здшиграция чзстяц i лспуляциз происходит яоза-аявзыо о* состояния процесса.

Ц а л ь раб eis . Основной цвлыз яввшгса дэль-язЗааа зсслгдсганза асямптотичаских смйета ярлтачасгах вет— 1ЯШ2ХСН случа&нх процгссоа с нлггаграцааЗ, завасянаЗ от состояния я получение оценок скорости сходзмосга i арадвльстг^ иорвмах хта таких процессов-.

1 з т о д в зсслвдоваяяя. В диссврхацзсн-но¡1 работа ислодвзуэтся преобразования Лапласа я даЗстмтмь-3oü а ясаалзксноЗ облзстях соотавтетвузаях распрвдмзннЗ,. мв-» год зровззодгшх фунацвЗ, таубероги егорзмз, элгмента тзоркя аоссганоыеная.

Научная зозззна. 3 дзссзртацяя получгщ . ел? дума а результата:

- получены асиаатотвчсокдо анразсншз вгреходшх ЕароятностеЗ а типовых дараятеристик дал кртачасхсх Ееггяшахся слгуча5-штг Ероцзссоа каа доарерагдсго гак 2 дискретного греаащ:

о учгтсы г02^0^1102 вааграцпи, засасязмИ сг состояния ;

- доказана твораа, содераагае оцешсз снвростз сходимости г предельна! Т£орз-.;зг для числа частзц язучдс:.:ых прсцсс-саг

- изучала дгустсронзда а одассторолдао переходниз лг-тсидл для гетдявисл процзссоа с кгатразавЁ, зазяслпаЗ от со-отоадая.

Практическая данность. Работа кошт теоретически.; дарактзр, Результата а исходя ддеа^ргдц;;:: когуг наЗта лракгввнав г гсордз кассогзта обслудлаанял, асди-ягозмчеедш аашазе раагдчиас «одеяеЗ гзтдлгши лрсщсссоа. ргпецдд некоторых дзенрзтадх задач тгорил зсро.-:тяое?од,

Алробацня р а б о з в . Результате ддесоргд-цдз дскладагадась на хен|-ерснции молодых зчиех Ицстзгзха 'Латаиатакв х!.В.Я,Ратолсдого АЗ Росвд&гддп /збегшетан (1504, 1Уь6), БсзсоетаоД.ксл.^р5кцзз зо прздггййЖ! т&ергхги тсордд •зерслтпосггЗ. доедядпко;: аамлтз акада.мпка АН УзСС? С.Х.Спраздняога (1090), ссгдкарох огдодэз ггердл дсрояткосгсй в аатейзтдчзсдоЗ сгатдстддд йцстатута •аагамтаа ем.В.Л. Романовского АЕ Ргспубддгл Узбекистан (1392).

Публикации. Ссногпие розультагд ддееертацпд огранена в яяха работа! [I] - .

С т .р у к I ? р 3 в о.бзФи работа. Ддс-оертацшшал работа состоит гз завдандя, трах гдаз а еддегш латерагурз, содеряаггзго аааагаогсдий. ОблгЗ объги работа

- сгрзкац.

гггамк

5пл» I

I

»ртаци'» *

г ело:: .льоссстгзи, грл> сгсни оскззпгв рг.зульгаг^ " пг ср^тае-кае с сзгсстгжге ргз?я.?2га;л!.

Кгв ггтезтяо, хгя зЛчг-;г ::сркогс"п:; гстг^заол аропсо-с07: еостоянее "О" яг-лг. стоя зеглопккгя?. & бул?а изучат* гстгл™и:сг сроцесс л (г) ( 0 5:с>э ), которого ото со-цгошцк не лглязтел поглстгста, а югекко, когда возмогла г.г.г.тгрзцкт чзст-ц, чг.слгнзость кстороЯ определи стся ярогзгздтееЛ {угаазгв* ос

и.*'

Г-ь и

¿¡я того, чтобн оцргхсгзтх иродгоо более строго, врг«-

«ем :цд гл;^:;кнтсзг.;.п:с,т.1,но:Ч матрицы яроцгсса

р- Pj _ 1 если ] & 1--1 > 1-^-1 — - q. вСтц ¿=о

[_ 0 « ос таль пит случаях

Зхесь р^О (^К р^О, 2р-0 Из приведенного гиха ОЕ- понятно. что веля 0, то за

промежуток времен! (.'¿-'■й) с героятлостьо 5су" + ^-Д-'-г популлцЕЮ иммигрирует ] частиц, которые г пэследгвпзм рэз-ынохяптся но закону обычного «отеяаагося процесса, заданного произгадлшей Функцией- ^

Здесь = о. * о, Боо = I.

Ипсрнне процесс пзупея М.Ямззато. ( YQ.inCti.CLib М,

Ьо ¿5слсн:'.г; сог.ер;с:тгл ургекз» сЗзор егязатзпз с

- б -

Some- 4e.su.-Hs а,п, Con-tinucus -time. 6га-n&hLt\cj. [liocesses u/iih. stcciz- depundenr tmrriCqxaiLcn Jfaih. Soc.

Ь частности, гу показано, что процесс цен* ¡.lapiioia

Судет гозератнел, еслг ■[ 0. Кроглв того она о.^дст полого-

тельно гсзЕоатной, ears

i

-md— ~

Ecjeb же ,

-Iff ^ -»

то цепь Маркова {0<2.<od, %.(0) = 0 ) будет нулевой »озгрйтно?.. В длссергацЕо;шой работе наш г.зучэстся задача о порядка нулиой югвратиостж. Положит

"я ааа считал ^ (О) — О

P0oU)=.P(2(t) = i/Zfo)=o), L*0) Тр = 1Ш12(о)1

T, = Lnf{i;-t>T0j (о)}

Иссхадоааша свойств процесса 2 (^связано с функцгеЭ распределена» '

H(i) - Р( Т, < £)

дай которой, вэспадьго«а*шнсь свойствои строго* «арковости, ыохно ухазать яжнвй щ через "ллотноств"

ззззстло. з тсар,::«. зетгягдхся случа:!лнх процессов уздо-З2я т-зорлз госсгзЕсглгнзя, зоторач лмзат азсто еря

УСЛОЗЛЗ ■ со

j (-I -H(u))du < со

а

зграа? суг-зсгзгнауэ роль (см. Б.А.Синастъ.шоз. йизяшася лрсассса. 'Л., Наука, 1371). Еудггл счататъ, "что О. = 0, т.е. рассгатризад-дгЛ прзцзсс издается кригач^отсга. Тордз, как ио-лапад м.л^аззгэ

i-Hic) - ; i 00

'<1з сдтз-лздогс сдадугл, что кс-псорадстгзндэ прдпенята творли ззгстзк;=.?з:д1л азг ноз:гог.шсх-. Однако рогудлрзаз дствдгкпз "дзоетог'1 ргспр-з^лз^ля Н(-) 2<зззсд.тзг гсзользоззть результата :'1.срддсспз, дсгзркЗ ззучдд задача тзордз зосотззсзлзядя з зл5гсаз Сзгксазчяах'О зсэ^з^агзчзогого озсдаявя (см. к, ¿.

. Sz'lCinC, ' ьгП-i^Qt ikZOZS/vs With, Urfi-nite -mean. Tin A. Amet. Math, Sua,,f5/(fcJ?dj ,¿¿3-393),

Ирл эта-л судзсгазяяуз роль играс? лоавтав пзаосрвдсгзвнкоЗ ззгвгрдру «газета -iyurasiA до Гвиану, азодзкноа а.<£влвером.

uyci'b P*(t) дер-аходпаз гаролсностд сбытого маркозекс-гс ззггдазгсзя процесса, заданного функддазй j-i3^.

а глаз о I дспл.з.дозапу асдалготаческзг croiicxsa ароцас-са 'J.li) пра t~>co. Из джла I.I, артэдснгсЗ г.зтоЗ гдс-следу.?.?, что йучкцКД P¿ j (Ь) пятггркр у aval Егасор^дсгданно по Р^зиу, что сбзсзсчззсзг суг;:ет2с2зк;:-з гедзчяя, гол as-

Зрдз >дсц цехотсрдз р^зулзта^и из ¿"дата I, содразяя Еу-•лордддо тзореч, арзнясгуя з дссс зргацга.

- s -

Пра xzóou j n t: oo

Из эгол тооре:лг сладу-зг, что usas, üapxoaa -{"х С -ьг < cc"l

.y

янллгтол цулгзсЗ зоззратноЛ пср;д::а . ииюсзая'гз.и.кнд

ляхзр j с пр-гдсгааллс? ряд о сгоЯсэтэз: грэторазозаазя Лапласа ¿уккцзл rf{r), ;;оторпо а согокуаизгтз поаголаа-г догг-зааата тгзр&лг cá асгилтотичсзюх аоаадсяаязс

мад и ад

(тэорглпг 1.4 а 1.5). Несравненно трудноЛ сказалась задача а сксрссга еходгыссти а предельной т горем-; 1.2, При згоа доказательства соогаетстгуыгах тгорс:; лслользуэт тонга:;! аналаз преобразована!' Далласа порохэдгах аорсяпозтай з ясшлгксной обласга. Для вуд•гласи глазного члха елалсзльно изучался асямпхогака дунадв a когшхзасаиЗ сйгасга, гдэ

Е(-2)-= - е*/&Ес(-щ

E¿(-?) - актзгрально пояазагалькая функция, опр<здздл-г:гд

раасзстгса -,

iL dLL

— СО

Scara rnaù: (tfli), ■(•'"upa

öcü j г í-^oj

Ггалл E иасгягша аредеоса« Г2.-г»гспг-2а-гсс.?э £Г-3) с 21-иаграадоЛ, заззатлёЛ ст хспя<шого чгслп состслкш!, Пуоть

ад=5:, Ffi)- i

зрс^зю^л'лзя :[.у11кцгд ц-зпссрадстгенакх псгоыкоа с дне! чэстлцн.

зароят'лсстяце г-роЕзгодягаэ фуккши.

Рассмотри« ознзроднуз цель .¿зркеза со счет-

юи чзсдса сосгояпаЯ, переходам зароягаоста кэтерсЗ

г ; зелз (. ^ m +■ i

au Р;-ч вела O^L^m.

гдз --т - знак кемпозкиза.

Првгздешш садь Уаркоса мезет бнзь лптэрзратаровзна как зрсдссз с а?:/зграцзей, ззаасяввЗ о ?/77+1 сос? слила. А иг изо, еслп а О , то в момент лргменя П. о

аеролгЕостьз Qej з популяции зг^играруят j частиц, которые Оудут р^садогагься по закону процесса Г-В, заданного зроязао-дялоЛ фуцацазаР^ •

Яргзздч:::-ь*Л рроцзес пра m - 0 изучался да.Оостзром (см.

-¿Л hester. J ÎLrnLé ¿¿.госе.ъ /ос a. £cQ.i2ki/?$ iuiih, siotz- ¿гргяЫгъ-i l/k/kîozqétO<7. 'Лп,к Atoih Statist а пез проазвольпем т. Нагага z Саго {.Mtkitgova Т., Sota M J faiis* - WoiSù,? fircces: иш Séo/e ае^а'г^ ifipwjïùtioif. fies, fi&fiés JfcvaoÂ-a. TeabA. g •/(/97^), f 71-/22). ' y

-ПЯ ДЭХОЗ&ЗЗ. ЧТО Zß&jXQSHSSt И достаточна усгОЕЗ«Я ПО£032-

гзгазгл зозграгаоота цгза --аргоаа -{jtn^fl^ùJ пра Î

!лдязгсл сходлтасть 'лптэгралоз

з!

£ Ни.)-и.

Когда г'(£)> 1 • изпь неноззратпа.

' Прздсслот^:,:, «о выполнены слгдзголде уелаздл: I) Р'Ц) ^ I , Р"(£) = 23> <со, ^ = ли (-0 <сс, *

(рцГОко

2) для есщ: I, (р%а*0)>д, ПНХк (ро 'р,Ака)< I

Пра усло?2=х I) л 2) даль Маркова ¿лп^^'й} авпрггодг-'ла а аперводячаз. 3 пселгдэганпа эгоЗ цел:; «¿зрзгза (соотггтстзуг-изго врсцсаоа с импгргцгзазвсгжса от состоякаЛ) удобныл оказался "изгод зазреагнепс гарсягЕостта" зз ойпо^ ггорпа .счетных ц-зпеа ¡¿ардога, Счзгэг !?о = 0, солггза

Пусть 0Рсг(гг) з-зроятаость того, что процесс -¿2п, п-^ с'} исходя 23 0, достггаст состсег-сэ Т через п. сагоа, ид разу до этого нз попадая я О,

со

-1-1 л

1=0

(РгМ^ИоРсгЮ*'

из саа;ютз5 нзярг,годности следузт, что

О < - СгЫ) ■< со , Оуху...

Полотзга

о

а — г- / ■-> ~ л о Ь~с— и-, \1 / > - о - • •

Т>;рг";"?'2.1 ¿Гали вызоли йуч ¿скусу.я 1} л 2), го лрз

■Р0, (М) ~ > ~ Ь • • ■

¿П.Л. '

Т?оп»:-д 2.2 При услоск.о: I) г 2)

м ¥ ~ в , п- -> со

Ироме того, если (к.=-0,т), то

Исследована оценка скорости сходемостя н приввдешпас продельных тсор-мах (теорема 2.4). В параграфе 2.3 доказана следующая

Таорвмэ 2.3 Пусть выполнены условия I) л 2). Тогда

-о?**'

Следует заметить, что приведенные результаты по своды формулировкам аналогичны утверждениям. доказанным С.В.Нагаевым л Л.В.Хан для процессов Г-В с иммиграцией а конечно:? Э-'.гяградней. не зависящие от состояний (Нагаев С.Б., Хан Л.В. Предельные теоремы для ветвяпггося процесса Галыона-йатсона с :лн — грацией. Теор.вер. и зе прим. 3(1980), 525-524).

С £ор:лальпой точкп зрения исследованные процессы являгт-ся частными случая?,ш так називае.'.па; -ветвяилхся процессов, введенных Б. А.Севастьяновым и А.Ц,Зубкогш. Но в саду чрезмерной общности последних, из емввеихся для них результатов елесует ляпь сушествовати предельных распредслеш^ЦСеззстьл-ног Б.А., Зубков А.»1. ?егула:руеми« ветвящиеся процессы. Теория ?вр. л ое при^. Х01, 1 (1У?4), 15-2^).

Глава Ш посвявенз переходный яьлепгяц процессов

{¿(т{хп^П-^О^} - Л.Ямазато показал, что г случае СХ> О с г громкостью I

■ \

Хлгги 2 (т) = £ .

где £ - случайная Ееличзка, г.1!сю~аг абсолютно непрсрианс? распределение ка {О,сю ). Причел; р(£ = 0)=-0 тегд^ г тс.-,-ко тогда, когда

Ъ случае» когда О. - О . продельное распределение для ямасг конкретный гад, а именко

¿¡г».

2о аналогий с ооичньща гетЕяс^дкся процесса;/;: яслснгг,, гозке-кэвлле пра О,-{:-*■ со называется переходники. Зсра:од'шь яглвкзу; для обычных гетвлстхея процессог (без какой-лг.бо пм-игграцги) исслсдогани Б.А.СеЕастьяногиц. С.В.Нагаев х ?.И.».у-хаиедханова хзучгли эти яелвцея е процесса! Г-В. Е.С.Бздалба-бе» К.РазгАЮЕ достаточно поляо исследогалз еетелетгся процесс! с неоднородной ««миграцией убывавшей пнтенсг.вностЕ, по псзпее-сязей от состслнхя. Получении» гми результаты могут бить отнесены к переходный лвлеявям специального гвда. (И.С.Ьадалбаег. К.РахЕцог. Критические Еетгязгеся процессы с г.:.ииграцие"; убивавшей интенсивности. Теор.вер. в ее прим. ИДИ, 2(197Ь), 275283).

Следуя Б.А.СеЕастьянову, вроЕзгодясус Зункциг ^(^)отие-сси г классу К(£о,Со), еслв

- 13 - ■ .

ёо, О^Со

Дол озим г I

Л параграфе 3.1 доказано

Тпогката 3.1 Разномерно по гссм

М(ё^Со)

А

.-¿л.

3 частяостз дз тсор-г.гы 3.1 слздувт, что пал нерезко по зсет

<£• К ('бо.Со)

Так-з, 2 0сп0л5302£2л:!св тзорс:.:ол 3.1 доказано, что лредзльнса соотносило (т^) сохраняется при переходных явлениях (теорема 3.2).

Л параграфе 3.2 дссл-здопана правосторонние переходные явления для процессов "Направленность" этлх лаленяЗ а лер-зуа очерздь орязана с зржаепгс^аа ыетодаая. С другой сторона, нвегально это зэвезгко затору, предельные сэолстэа ароцоссоз прз (Х<0 зочтз леглучс!", а хсследолзнда переходных. язленгЗ. предполагает нглг.чвэ еяроделгнетх вредглышх теоре;,; пра-£->со Тзорсуа 5.5 Рэгномарнэ по зсс:„- Л- (2с) £ Ко)

с

ыТ/а.

прз г—>оо ,

;!з теорегл: 3.3 следует, что пра О,-» О^., -Ь

маю- ^, ^,

3 параграфа 3.3 изучены аереходез аглеиая д^я продзсссд Г-3 с юм2Грацив2, загвсяЕей от состояния "С (гп. =0). Пусть Л Сз:) - проазеодялал функция члсла частил, шйСЕгрярузшпх г тех ыезкнтзх П, , ддз которых 2/7=0, Считал 2д~£), аслаи

Аналогично процессам непрерывного нре^елл дроазнодтаузз функ-цзэ РС^ отнес ей г классу

зсл2

Путем своеобразно! радукщг к лрсцассаы напреранного гремели доказана

ТеоЬеута 3.5 Пр2Л~>4+, П, —^са

п.

6 п.

2 РооС^ ~ -5Г " в

равномерно по 1сен

Автор зыраааег вр^знательноегь езбему научному руяогсда тела профессору Й.С.Бадааг5аэгу за гшмеазе а поддараку пра работе нгд диссартацией.

Основные результаты дисссртал^;: сдус'дл.чоьг.нЕ 2 сл^дуюдпх

работав:

1. усрианога I.A. Прэдг-мгае гсорсуи для ярптдчоетх в-згея-едхся ароцсссог с ::;".з;градпс:2, яагдсяссц от состояния I. Use. АН УзОСР, сер. йз.-иат. наук, 5(1954), 24-29.

2. Сюрмзксзз T. A. Ирсд&яьвзв тоорсда для крдтдчсскдх взтзя-пшгся вроцсоссг с п:5д:грап:еЛ, зазвсязсЯ от соегсявзя Е. Изв. АН ГзССР, сср. ¿дз.-иат. наук, 3(IS£5), 2G-4I.

3. v3p.\'3:îosa Т.А. Предельно с теорема для крлгн'чсс ккх ватвя-лкхся лроцсссоз Гадьтона-Ваюэна с л.'-ггаграциеД, за5ЕСяг«2 от нескольких состояний. В сб. Нз'за'лзтпческял акатпз к теорх:я герэятиостеЛ. Кзд-во ГаоГТ га. В.К. Лсавна, IS85 , 64-74.

4. »оркакова I.A. Амкгптоткческпе свойе^аз гетвлгпхея процессов с имчЕграгио?., завксяив£ от состояния. дод.ВЗЮТ', 0B.07.SS. Л 4S5Ô-B. 37 стр.

5. йгаркзкова Т.А.-Сходимость к равномерному распределению в ветвяпгхся процессах с плкпгрзднел, завлсяшеЗ от состояния. *1атерпалы XIX научно-технической конференции прсфе-ссорско-праподаватольского состава TAJ31. 1'аикеят, 1991, 29-30.