Представление целых функций рядами экспонент с показателями на конечном числе лучей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНОЕ БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

§ I. Распределение нулей линейной комбинации функций типа Миттаг-Леф^лера

§ 2. Асимптотика вспомогательной функции

§ 3. Построение и оценка специального бесконечного произведения.

ГЛАВА П. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ

§ I. Доказательство теоремы 2.

§ 2. Формулы разложения в случае fraerpitt'rIftHCpUa

§3. Непрерывность функции Ф^ ("t, L^i вплоть до границы (у.

§4. Непрерывность функций ^ (jW.tj/Mt) иЛ р \

И ( t , ? 1 » I J^ 1) вплоть до границы (у.

§ 5. Основная формула разложения при

LW6E*(f,0 t < >

§ б. Теорема о разложении.

§ 7. Основная теорема

В работе будут изложены результаты, относящиеся к представлению во всей плоскости целых функций (ъ) порядка рядами экспонент V f^)-ак е (1)

К-1 с учетом роста функции \ 2 R?>lJ<xKe к I е> в случае, когда показатели ^к расположены на конечном числе лучей, выходящих из начала координат.

А.Ф.Леонтьевым [II установлены следующие формулы для представления целых функций рядами (I). ос '

Пусть Ск?\К ~ Челая Функция j к=о

СЮ (К-2) К—1

K-l

JU? оо р Vv\-0

Г - замкнутый контур, на котором , а ?\ лежит внутри Г ).

По определению rWL) , если оо

LlCKKlf'^oM+liwf £0M+-+|jMKlfW|)4oo

K=V

Доказано, что если ft&GCflyl) (4(i) имеет порядок или меньше J3 или равный J3 , но тогда тип меньше 6 , а LMGCPtAl , где ±

Pi то f (VigML). При условии имеет место основная(|о£мула:

0\ оо о. ч 1 г ujlWT) е , , V" V А imJ й^ c,Jv|=-2 f co)AM(a.

Также имеет место теорема о разложении. Приведем ее для случая f (2)6 [«Pi^ j LW^tPij&il, при выполнении условий (4).

Будем предполагать, что у функции вее нули простые.

Теоремаор а з л о ж е ни и» Пусть функция удовлетворяет условиям

К-* со ЮкI имеются окружности = с*3 такие, что dim j wii>i|LMl= + <*> (б)

К-юо гк Тогда во всей плоскости

В \l\ установлено также, что любую целую функцию можно представить во всей плоскости рядом (I), причем показатели можно выбрать, лежащими на трех лучах (число лучей уменьшить нельзя).

В последующих работах по представлению целых функций во всей плоскости рядами экспонент А.Ф.Леонтьевым получены результаты о представлении целых функций рядами (I) с учетом роста функции (2). В [21 доказано, что если ^{Ъ) имеет порядок р , и тип 6 , О ^ 6 < 00 , то существуют ft к такие, что имеет место представление (I) и функция (2) имеет порядок JD и тот же тип b . В [Ъ\ (см. также [41 ) исследован следующий воп -рос: Пусть имеет порядок и индикатрису роста

ЫЦтг^) ш г- С*э ТР

Можно ли подобрать так, чтобы имело место разложение (I) и функция (2) имела порядок р и индикатрису роста ^(ф) ? Дан следующий ответ: Положим к-1 предполагается, что ряд сходится во всей плоскости, и ескДML = 0 , Ц(ч>)< со . h-» оо

Пусть Ар - класс функций М , Bp - класс функций ни. Тогда выполняется Bp С Ар , причем имеются функции ^(Ф)^-О , которые не являются функциями ИМ) из класса Bp, и имеет место основнаятеорема. Для данной функции ЬЦЧО^Вр , Н(Ч*)>0 я и данного £>0 существует последовательность Лк со следующим свойством: каждая ^ ("Н) с индикатрисой роста разлагается в ряд оо s С гтгд ) UM > причем

00 X "3

F(-2V^laK е I

- -ir ' urn

Для доказательства этой основной теоремы А.Ф.Леонтьевым были сконструированы новые формулы. Приведем их. оо р—

Пусть LW=2. Ск^ принадлежит классу ГРь it"! к-о ^

Функция ^^(tyJVl) ассоциирована с LM по функции Ьр^(2JW1) (Функция f^^ ("2:JVt") j- это функция типа Миттаг-Леффлера). Она регулярна при lt|> Обозначим индикатрису роста функции L,(h) . Будем предполагать, что при всех Ч* .

Рассмотрим кривую <Р L

При большом она лежит в области Itl^ Ot . Будем уменьшать величину (X до тех пор, когда кривая не соприкоснется с особенностями функции ^(t,^ . Пусть соприкосновение про -изошло, когда 61"&0-. Показывается (см. [5 стр. 335] ), что если рЦ-ЧЬ^О , то К(Ч>о") = Й. Функция KW) назы -вается опорной функцией, а кривая

- опорной кривой. При нашем предположении всегда

KW = • При изменении У область З^у , ограниченная кривой (7) (области принадлежит отрезок луча = ^ от точки с 00 ) заметет внешность некоторой замкнутой конечной области оО . Область оО - наименьшая - выпуклая область, содержащая все особенности функции . Кривая (7) - опорная кривая области с£) ; - опорная функция области . Заметим, что при условии всегда .

Пусть также

ОО

W1 т=о ^ т~ о

Введем функции со

-т-о оо к + 1 к=о ^ Ак (В) взяты из формулы (3) ).

Функции и регулярны вне множества cL). Обозначим через класс целых функций ^ таких, что ФШ регулярна на ^ .

Для функций из класса f (i) положим где С - замкнутый контур, охватывающий Д , на котором и внутри которого аналитическая функция.

Для функций из класса ЕГ(1Л имеет место основная где - замкнутый контур, на котором Ц^ФО и С - замкну -тый контур, охватывающий 5) , на котором и внутри которого <£>(t1 аналитическая функция, итео£емао£азложении: Пусть у функции все нули (Ч - простые и она удовлетворяет условиям (5) и

6). Тогда для функций из класса E(L) в0 всей плоскости имеет место представление оо

Это представление и позволяет доказать основную теорему, которая была сформулирована выше.

Замечание. В [3] при условии 00 » гДе ftrgg-^' (y=i/'2,3) -лучи, удовлетворяющие условию: углы между соседними лучами меньше ТГ , установлено неравенство

2 1Йк1 е <Ае 7 а < со , а < оо и отмечено, что если^^! , то на основании этого неравенства получаем, что все , начиная с некоторого, равны нулю. Этот случай неинтересен. Поэтому мы также,как в [3\ будем считать, 4toJ)>1 .

Приведем теперь основные результаты, содержащиеся в данной работе. Эти результаты, как отмечено ранее, относятся к представлению целых функций во всей плоскости рядами (I) с учетом роста функции (2) в случае, когда показатели расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат.

В первой главе сначала будет построено специальное беско -нечное произведение, все нули которого простые и расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат» Эти нули будут являться показателями в представлении (I). Для специального бесконечного произведения будут доказаны точные оценки сверху и снизу. Построение и оценка специального бесконечного произведения будут основаны на сравнении с линейной комбинацией функций типа Миттаг-Леффлера, для которых будет установлено распределе -ние ее нулей и доказаны точные оценки сверху и снизу.

Напомним, что под функцией типа Миттаг-Леффлера понимается функция

Ео —*—

А fco Г^) где Д>0 , ji/| - вообще комплексный параметр (см. [5 , стр. 117] ).

Распределение нулей функции fp (H;Ji/0 в случае jv|=l впервые исследовал Виман [6] ; случай —О рассмотрели

М.М.Джрбашян и А.Б.Нерсесян [7] (см. также [5] ).

Уточним, какую линейную комбинацию мы имеем в виду. Для этого введем понятие р^ - выпуклого многоугольника. Под Д - выпуклым многоугольником будем понимать замкнутое ограниченное множество (у , являющееся пересечением конечного числа множеств 6"к • k=I где (у - замкнутое множество, ограниченное кривой Ск : i J5 т-(-йк-1 | jr ^ (8)

CoifrW-*^ , Kl 2ft (Kl,t. причем отрезок [ О , (Zk^I принадлежит (ук . lVk n

Точка = (0£4/i< % ■ 2^) является вершиной (у , если она принадлежит двум различным кривым Ск и Ск+1 (К= 1,2,., р; Cp+i'Ci) . Необходимо должно выполняться условие

Vi"4/K<J Ск=1Д,., р ; Ч>р+1=Ч>1 + 2?0 .

Пусть fK^l.V-.P') -вершины J^ выпуклого многоугольника (у . Речь пойдет о распределении нулей функции

M(i)=Y АкЕр (ЯкЗ;^ ,AK+0, W

В случае р = 3 j дк = 1 , ^ Pi 4 г РаспРе ~ деление нулей установлено А.Ф.Леонтьевым (см., например, [I, стр.

506-512] ). ПриД = 1 , JM=1 функция М[{~£\ представляет собой квазиполином

Ак е

K=t

Этот случай также исследован А.Ф.Леонтьевым (см. [I, CTp.5I-57j ), Относительно распределения нулей функции (9) в § I первой главы будет доказана следующая теорема.

Теорема 1,1. Для функции (9) при Р^ 1 ( о £ Q ) справедливы следующие утверждения:

1) вдали от начала координат все нули ~ простые;

К-)

2) вдали от начала координат нули Л! (2) , обозначим их имеют вид б (тгМ; к= 1,2,.,р) где (Х^ - ось симметрии кривой С к , проходящей через вершины m ) - + ck + 0[e 1 j po, о jijf -ift^ чп

J5k=---e >0 , Л

С - L /?„/ AK 3K AKtl ^

1 , A LPt«KK

Vt = e ;

3) имеет место оценка

М(ге1Ф)|< s v'lT" , Г>Г0 где

ШЧfCoW i

4) при некотором кружки K^f '. I"?-( < о(

•<-i,2r., рVA^fif) не пересекаются и вне кружкоз выпол няется оценка р те^ЬЪт^ гШт1 ■ г,г. .

• Ю

5) в нулях - I £ m выполняется

Г)>С1?Г! ехр[М)СП . р ; А/)

Как видно из теоремы I.I нули функции (9) располагаются с томностью до Ск + 0(6 ' на р - лучах, выходящих из начала координат, В теореме 1.3, доказанной в § 3 первой главы, у построенного специального бесконечного произведения все нули ■ простые и лежат на р ~ лучах, выходящих из начала координат. Приведем конструкцию специального бесконечного произведения и теорему 1.3. -ц/р

Пусть

- вершины некоторого j)^ - выпуклого многоугольника^ С >^0 . Введем точки 1 к) /2fTi<(m + cK)) fl Л. у ft ft-ft ' (к-1,2,. p w-1,2,.) где CK>0 ( , P) р

Г Ск-С ? при р - четном; к=1 р Ск~С + 4- при Р - нечетном К=1 точки W^ лежат на лучах ^-l.-.-.P j о(кось симметрии кривой (8), проходящей через вершины и Положим ^ i

Z TlwSf) mid-^er , (I0) ft1=1-к=1 ш где iPt - любой многочлен степени , если р - четное и степени , если р - нечетное; - некоторый много член степени, не превышающей [ $ = .

Положим также 9 ^ 1 I

Теорема 1.3. При подходящем многочлене ft) функция (10) удовлетворяет условиям:

Л -с

I) |jWАг е ,г>т0;

2) вне непересекающихся при малом d>0 кружков К^ lU-WSfkollwD1^1 (K-1.2L, — Р-, m^iAr-)

К) ^

3) в точках I £ выполняется оценка

Отметим, что при L и С~0 специальное бесконечное произведение с простыми нулями на р - лучах построено А.Ф.Леонтьевым (см. fl , стр.

57-621 ).

Отметим, что И.С.Шрайфелем [8] для любой наперед заданной

ТГ системы лучей, угол раствора между которыми меньше -q , постро

01 ена целая функция с положительной индикатрисой и правильно рас -пределенным множеством нулей, расположенных на этих лучах и ле -жащих вне заданного множества нулей относительно меры. При этом оценки модуля роста функции сверху и снизу и модуля производной в нулях у этой функции, более грубые, чем у построенного нами специального бесконечного произведения.

Перейдем теперь к разложению целых функций в ряды экспо -нент. Результаты по разложению будут доказаны во второй главе. Отметим (см. [з! ), что если все показатели Лк расположены на луче (ЗГСр = (~Ро и

Ш—-р-, Г(г)=У ldK е

Г-*- со Т : к-1 то ш-р-- = 60 ч>6). у-> со Т"^ п

Таким образом Н(Ф)= До Со$ £ Dp .

Сформулируем теорему, которая определяет класс целых функ ций, разложением которых в ряды (I) с учетом роста функции (2) мы будем заниматься. Эта теорема будет доказана в § I второй главы.

2Л (прямая). Пусть целая функция и

Zvv\ fi /V» 2 порядка Р > 1 представляется во всей плоскости рядом р СТО dm 6 } (II) где расположены на конечном числе лучей (ЗГ^З-^к f0 64»t<4»4-£. ^ 4>р< 27Г к=1,г,. pi ) причем jl 1 и выполняется оценка л™ г, . . C^caV^V со

К) г I л сА - - аЛе 1<Аг е , «з)

Тогда все особенности функции

•Wfl-f л t »

ИИ-О ассоциированной с ^(2) по функции Ер ( ^ i ^ лежат в замкнутой области , ограниченной дугами кривых I к 1 r= <iK (wS($>t(4,-4W)'Pl (K=i,2,.,P) ; (14) вблизи границы при функция непрерывна вплоть до границы <Э ).

Замечай ие. Индикатриса роста функции (II) при условии (13) не превосходит

Если функция vpt - имеет в качестве индикатрисы роста функ -цию (15), то особенности функции (t^ , ассоциированной с по функции Ер ® » лежат, как показано в [3] , в замкнутой области » ограниченной дугами кривых (14) и дугами кривых J

ПИ^ . кривая касается кривых и ). Отсюда следует, что если особенности лежат в , и имеются особеннности, которые не лежат в 5), то функцию нельзя представить рядом

II) с условием (13). Следовательно, пользуясь понятием индикат -рисы роста, нельзя описать класс функций, которые можно разложить в рад (II) с условием (13).

ОпределениеI. Пусть J) - SH 6к , Як') - мн0 жество, ограниченное дугами кривых (14) с условием (12). Через Е (<6,00 обозначим класс целых функций порядка , для которых выполняется:

1) все особенности функции , ассоциированной с ^(?) по функции (X) лежат в JD ;

2) вблизи границы

Теперь введем класс функций определяемый по классу Е , который будет нужен для конструирования фор мул разложения целых функций в ряд экспонент, Пусть

- замкнутая область, ограниченная дугами кривых ^ с условием (12). Через EYe.c);

2 ) обозна чим класс целых функций ^(S) порядка J\>t i Для которых выполняется:

1) все особенности функции , J^^O f ассоциированной с по функции , лежат в (у ;

2) если

- индикатриса роста LM » то выполняется уело . л -с

3) все нули Л к функции

ИХ) - простые. Отметим, что в силу условия (12) 0£ (у ] и класс Е ((у, не пуст в силу теоремы 1,3.

Приведем основные формулы разложения. Пусть

Е*((г, с) оо оо vY}=0

Положим

А /4- л, \Л P™ I feo Г( Uw(ju)r( Ти + м) m+i m-o t oo v/f -j г- , \ Ак(г)Г(1+^1)

K-0 взяты из разложения (3) ). t и do

W) И ju,t ,JMt)- И - ая производная функции кЛ

- П - ая производная функции

Yft.H.r.JMO . (1в)

В § 3 второй главы будет доказано, что функция (16) при

1 = [оО, + регулярна в (5" и непрерывна вплоть до границы (J , а в § b будет доказано, что функции (17) и (18) при регулярны вне (у и непрерывны вплоть до границы (у .

Имея это в виду, положим

W.JMt^nft^lWt . (19)

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.2. Пусть j(K)€ Е (S", ^ • • Тогда имеет место формула т -i где C/J^fjU.f) имеет форму (19).

1Leopej<a2.3. Пусть f(^€E(5,t*V,

ШеЕ (g.rt и для функции ш выполняются условия

5) и (б). Тогда во всей плоскости

00 A TL

Теорема 2.2. будет доказана в § 5, а теорема 2.3 - в § б второй главы.

Отметим, что для интерполирующей функции при условии if -■

Е (60 ,о0; LM^ Е ((г, О имеет место оценка, доказан -нал в § б второй главы.

Pt"1

Установлено, что если в качестве функции

LW взять функцию, построенную в теореме 1.3, где + ^^ удовлетворяющую условиям (5) и (б), то получим обратную основ -ную теорему 2.4, доказанную в § 7 второй главы.

Теорема 2Л (обратная). Пусть Тогда для любого Е^О существует последовательность показателей ft^j (К-1,2Г., р, М -1,2,.-. ) ^ расположенных на лучах = 1Д,. р) , такая,что во всей плоскости причем ji = oCpt|p Г>Г„ (к=1,2,. p) .

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях

121 - [Ь] •

Настоящая диссертация выполнена под руководством член-кор -респондента АН СССР А.Ф.Леонтьева, которому автор глубоко признателен за постановку задачи и обсуждение результатов.

1. Тр. МИАН. I98I, т . 157, с . 68-89.\k\ Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами по функциям

2. Миттаг-Леффлера. - ДАН СССР, 1982, т.264, № 5, с . I3I3- I3I5 .

3. Шрайфель И.С. Построение целых функций с положительными индикатором, приложения к представляющим системам и достаточным множеством. Деп. Ростов н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1983, 43 с .

4. Библиогр. 8 назв.(рус) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 29 февраля1984 г . , № II41-84 Деп.)

5. J Иванов М.С. Распределение нулей линейной комбинации функций

6. Миттаг-Леффлера. - В кн . : Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, БФАН СССР, 1982, с . 35-43.

7. Иванов М.С. Построение специального бесконечного произведенияс заданным ростом. В кн. : Вопросы аппроксимации функций ве щественного и комплексного переменных. Уфа, Б$АН СССР, 1983, с . 81-92.

8. Иванов М.С. Специальное бесконечное произведение» Деп.Башк.ун-т, Уфа, 1984, 33 с . Библиогр. 2 назв. (рус.) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 9 апр. 1984 г . , № 2134-84 Деп). 1.j Иванов М.С. Представление целых функций рядами экспонент

9. ДАН СССР, 1984, т . 279, № I , с . il-liO.(Jj6a.ioc^