Приближение быстрых осцилляций в электродинамике и смежных разделах физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

n ' • ■

■Urn n • '

РОССЙСКАЯ ШДЗШI Ш

ИНСТИТУТ ОБЗ£ЕИ ФИШКИ

На.¿разах рукописи y$t 537.BS.23

Нгйяа Олег Николаевич

пршиш шиш осшшия в гштриш и свдш разделах «взвей

01.04.02- коорвВЕчоогая фасзва

АВТ0РЕФЕРА1

диссортацян на соискание ученой степени доктора фазжо-иатегататестпс каук

Москва - 1992

Работа выполнена в НИ1! "Понес" НЕЯ СССР

О^иаиакьню оппоаонга;

хоктор фияако-цаюцагачесних наук Егввдов Александр Михайлович доктор' фзэшсо-ыагецатачееких науж Саыовш Александр Борисович

диктор дизако-цатеншических наук Столяров Сггаислав Николаевич

Бедумая оррааиаадай!

ЕАЭ ем. К.В .Курчатова

8шгии;а.дассар1еция оомомоя ".22." члвня 1992т» в 15 ч, . на заседании спецаалиаированного Совага Д 003 4903 Иясзжгуяа общей ливжш АН СССР ю адресу ' Ш5-'(2 ,ГСП-1, Ко ока а ВЗЗЗ.ул,, Вавилова, 38

' С диссертацией "ногно озЕакомиЕьсй в научной библиотека НС5АЕ

да зп ран. ■•

Авгоре^ара» разослан " 25 " ллал 1992 г.

Учавкй секретарь спвцишшвировЕННого совгаа докгор фзаихо-намиатичаокш: наук профессор

НХйРИСОВА,

Диссертация посвядена применению и развитию методов, озволяоднх разделять быстрые и медленные процессы в колебаниях и элпах, - в рамках электродинамики к некоторых смежных вопросов язики (акустика, магнитооптика частиц со спином, общая теория гносительности, лазерная пфоскопия). Исходным материалом эслужилн работы [1 -28] автора.

Акщш.ъност твяи исследования Как известно, колебания и волны является главным объектом зследовааий в электродинамика и сменных разделах физики акустика,квантовая механика п т.п.), а. асяозяын методом изучения эдебакий и волн является приближение быстрых осцилляций, т.е. зцилляций, происходящее шого быстрее, чем скорость изменения црамзтров осциллятора или среды, в которой распространяется элна. Причем осцилляции могут быть и квазипериодическями, и с лементама хаоса, и полностью случайными. (В диссертации случайные рсцессы не рассматривается).

К методу быстрых осцилляция относятся ЕКБ-приближёниз [29 -4]1я близкие к нему по смыслу метод фазовых интегралов [38,42,45

'Здесь используется традиционное название этого метода; кнахо следует пошить, что методика разложения по степеням длины элны Л (а в случае трехмерной неоднородности среды такге и эуашфоБкп частных производных в обыкновенные производные вдоль пей) била впервые предлогена А.Зоымерфельдом и И.Рунге [29]. в лясах скалярной задачи. (Г.Вентцелю, А.Крамерсу и Л.Бршшзэну [30 32] принадлежит способ квазиклассического учета граничных зловнй в связи с точками поворота, в рашеах одномерной скалярной адачи). В окончательной виде методика группировки частных

- 51] и метод стационарной фазы [52], а также метод усреднена (Боголюбова - Крылова) [53]. С номощыэ перечисленных метода (кроме метода фазовых интегралов! в диссертации рассмотрен ря задач электродинамики - линейной (1-я и 2-я части диссертации) нелинейной (часть 3), а также некоторые близкие к ним задач акустики и квантовой механики (часть 2).

Метод ЕК5 для волн в трехмернонеоднородных средах, вместе приложениями, в диссертации является преимущественным предайте рассмотрения (I и 2 части диссертации). Чтобы уяснить козвфетвд суть обсуждаемых в диссертации задач, расклассифицируем различал, ветви метода ВКБ применительно к стационарным задачам по дву признакам: по степени' неоднородности среды • (однородна! плоскослоистая, трехмернонеоднородная) и. по рангу исследуемо: поля (скаляр или вектор); при этом спинор и тензор да единообразия тоже будем называть вектором. В итоге да геометрооптических задач получаем 9 типов, приводимых в таблице» Таблица типов геоиетрооптических задач

* * Ранг * , поля Степень * , неоднород- * кости среды • * Скалярное воле Векторное поле в изотропной среде Векторное поле в анизотропно! среде

однородная I 2

плоскослоистая 3 4 , 5

трехмерно -неоднородная 6 7 а 9

Первые два типа задач вполне тривиальны и для своего решен не требуют метода ВКБ: более сложный из этих типов, 2-

производных в полные (в скалярной задаче) была сформулирова П.Дебаем [33,34].

еализуется обычно в кристаллооптике и достаточно полно изложен, апример, в [37], гл. А7. Методы решения задач 1-го и 2-го типов оставляют нулевое приближение метода ЕЯБ - как в плоскослоистом лучае, так и в случае трехмернонеоднородной среды.

Типичная задача 3-го типа - это одномерное уравнение рэдингера в стационарном случае ([36], гл. VII). Примечательным вляется то обстоятельство ^ что даже в этих несложных задачах тановится недостаточным нулевого приближения метода ВКБ: для ычисления амплитуды требуется 1-е приближение указанного метода.

4-й и 5-й типы задач - это задачи типа одномерного уравнения аули в стационарном одномерном случае или задача о проховдении лектромагнитной волны через анизотропную плоскослоистув среду при ормальном падении на слой. При этом к более простому 4-му типу цесь отнесены случаи, когда период А пространственных биений эляризационных компонент волны много меньше масштаба ] зоднородности среды, т.е. либо анизотропия среды достаточно алика, либо достаточно мала ее неоднородность. В этих случаях здачи 4-го типа легко сводятся к задачам 2-го и 3-го типов: эляризация определяется из нулевого приближения метода ВКБ эквивалентного случаю однородной анизотропной среды), а амплитуда феделяется из 1-го приближения того же метода, которое в сазанном случае очень аналогично 1-му приближению для задач 3-го та.

Более сложным, чем 4-й, является 5-й тип задач; испючаадий гучаи, когда волна проходит границу мевду двупрел омляишм и ¡двупреломлягаим участками среды, где А _ 1. В этой пограничной !ласти, казалось бы, невозможно в качестве нулевого приближения Ь-метода использовать ни формулы для изотропной среды ( из 3-го [па задач), ни формулы для анизотропной однородной среды ;войственныэ нулевому приблкзегаго в 4-м типе задач). В результате

возникла так называемая "проблема предельной поляризации" [38], т.е.. проблема вычисления поляризации волны, выходящей из двупрелошявдаго участка среды (при каштоши плавного перехода от двупреломллвдего участка к недвупреломлявдевдО.. Выход из проблема нашел в 1952 г. К.Бавден [41,42], фактически выбравший для ЕКБ-асишлотики -задач 5-го типа нулевое приближении!, имеющее общие черты с нулевши приближениями задач 3-го и 4-го типов. С помощью этого приема ему удалось упростить ( в рамках 1-го приближения ВКБ-мвтода) исходную систему двух линейных обыкновешшх дифференциальных уравнений второго порядка до системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядаа (уравнения Бадана).

Впоследствии, в 1968 г., уже в рамках задач с трехмерно! неоднородность», В.А Кравцов обнаружил, что в указанной переходно} области в качестве нулевого приближения БК&- метода для задач 5-гс типа вполне годится нулевое приближенна из задач для изотропно! .среды (3-го типа). Соответственно, первое ЕКБ-приближение давало как и у • Бадцена, . систему двух обыкновенных дифференциальны: уравнений первого порядка Сквазиизотропное приблияениз"), & только более простого и удобного зида, чем уравнения Баддена Правда, это - достижение давалось ценой того, что ь случа однородной анизотропной среды уравнения Краьцова давт( в отличи .от уравнений раддепа, лишь приближенные решения уравнени Максвелла ~ с точностью до параметра анизотропии; более тоге выяснилось [9,17], что в важном для радиофизика случа зевазипоперечного распространения волки в магнитоактивной шхазь квазиизОтропное приближение вообще дает неправильные решения щ частотах волн, сопоставимых с плазменной частотой. Однако оба эй дефекта нвазшэотрошого приближения были устранены автор« [11.173 - за счет уточнения коэффициентов в уравнениях Кравцова,

полным сохранением удобной общей структуры этих уравнений С"улучшенное квазиизотропное приближение"), в диссертации см. гл.III.

Задачи 3-го, 4-го и 5-го типов составляют абсолютное большинство задач, рассматривавшихся в работах по распространению электромагнитных волн в плазме (см., например, работы [38,42,46 -51]), и наиболее слояныз задачи 5-го типа решались достаточно громоздким методом фазовых интегралов.'

. Возможность обойтись без метода фазовых интегралов была продемонстрирована Ю.А Кравцовым и автором в работах [9,17], где метода® квазиизотропного приближения были ■ воспроизведены известные выражения для коэффициентов взаимной линейкой трансформации обыкновенных и необыкновенных волн после прохождения падающей волны через участок квазипоперечного. распространения в магнитоактивной плазме. (Ранее эти выражения были получены В.В.Железияковым и Е.Я.Злотник [54,55] методом фазовых интегралов). При этом удалось получить и ряд новых результатов, недостижима методом фазоЕЫХ интегралов ,сн. гл. III диссертации.

Впоследствии с помощью квазиизотропного приближения были рассчитаны и новые аффекты: В.В.Келезняковьм [56] (линейное взаимодействие электромагнитных волн в нейтральном токовом слое плазмы) и автором [19] ("касательная коническая рефракция").

Примечательно, что в квантовой механике (в связи с квазиклассически переходом в уравнениях Дирака) метод,' вполне аналогичный квазшзотропному приближению, был предложен В.Паули [57] еще в 1932 г., т.е. задолго до работ не только Ю.А.Кравцова, но и . К.Баддена. Предложенное В.Паули нулевое приближение ВКБ-метода также игнорировало фактор анизотропии, связанный с рангом поля (взаимодействие магнитного момента электрона с полями), а учет этого фактора переносился (как впоследствии у

Ю.А.Кравцова) в парный порядок ВКБ-приблиаегщя. Указанная рас В.Паули получила успешное развитие в работах по квантовой тес [58 - 61] (хотя, очевидно, не получила должной известности cj специалистов - радиофизиков). В связи с этим квазиизотрог приближение, как общий КЕазиклассический метод, - именуется диссертации как метод Паули - Кравцова.

При наличии трехмерной неоднородности среды (задачи 6 -типов) возникает дополнительная проблема - частные производше исходных уравнений необходимо какш-то образом сгрушироват! полные производные вдоль лучэй (что приводило бы к сбштове! дифференциальным уравнениям, локализованным вдоль .лучей). Ki словаш, в задачах отого типа необходимо правде всего перейти частных производных к обыкновенным и лишь затем решать остальные вопросы; в отношении скалярных задач (6-го типа) проблему и решил П.Дебай [33 , 34]. Напомним кратко суть процедуры.

Записывая скалярное волновое уравнение для стадиона] задачи в виде

LA + ш2Г2(г)Л - О, П.Дебай затем подставлял (следуя А.Зоммерфельду и И.Рулге)

Л(г) - а(г)зхр [¡4(т)1, полагая при этом, что амплитуда, air) и волновой вектор к - « изменяются много медленнее, чем ехр(/^). Полагая затем, чтс удовлетворяет уравнении

(пф)г - (fir2, игл к2 и2Г2, он тем самым получал для к(г) обыкновенные дифференциал] уравнения Гамильтона

dk/dt - - su(r;k)/»r, dr/dt - au(r;k)/ak. С другой стороны, для а(г) в первом порядке по (|k|7)"1 он полз уравнение в частных производных

• к7а + \а - О, а котором частные производные Уа уже сгруппировалось в полную производную по длине 5 луча, определяемого указанными вше уравнениями Гамильтона, т.е.

йа/йз + ||к|-1а сНУк - 0; в принципе, моиет Сыть выранено через полные производные вдоль луча с помощью тех же уравнений Гамильтона [62]. Обычно, однако, и этого не делают, а сразу записывают решения в виде

А - Ф071/2ехр(Цкс2г), где к и ёг отвечают тому же лучу (удовлетворяющему указанному уравнению эйконала), а амплитудный мно.татаяь $0 удовлетворяет "закону сохранения" вдоль луча

с!МФ0к/|к|) - 0.

В случае векторных полей (задачи 7-9 типов) реализовать изложенную вдев П.Дебая оказалось сложнее. В.Паули в датированной работе [57] с указанной проблемой группировки частных производных на справился (однако и в случае тр&лмеридйнеоднородности В.Паули удалось все ке получить "закон сохранения" для амплитуд спиноров). Первым указанную проблему, в рамках электродинамики трехмернонеоднородкой изотропной среды (7-й тип задач) решил С.М.Рытов в 1933 г. [35]; позже [63] он и М.Л.Левин перенесли указанный геометрооптический метод на геометрическую акустику трехмернонеоднородной изотропной среда. В 1941 г. А.Д.Галанин [58] довел до конца начатую В.Паули задачу, касавшуюся уравнений Дирака, т.е. решил задачи 8 и 9 типов (разница мезду ними та не, что и между задачам 4 и 5 типов); впоследствии результаты А.Д. Галанина переоткрыли С.Рубинау и Лк.Келлер [60], придав им и более законченный гид (данные этой работы приведены в книге [61] ).

В электродинамике (как указывалось выше) работы [57 - 60] не нашли отклика, и там задача 8-го типа (т.е. относящаяся к случаю

достаточно большого двулучепрелокления или достаточно слабой неоднородности среды) была заново и другим методом регена Р.Курантом и П.Лаксом [64, 65], причем сразу в отношении произвольной исходной линейной системы уравнений с частными производными. Ими было получено два типа асимптотических уравнений: сдан ■ отвечал недвупреломляк^ей среда (как у Рытоса), а второй - дзупреломлявдей среде, причем ьо втором случае бик возможен правильный, предельный переход к случаю однородной анизотропной среды. Однако если среда неоднородна и обладает двулучепреломлеикем, тс при стремлении к нулв параметра двулучепрелокленил уравнения Куранта - Лакса второго из указанных типов не переходят в их же уравнения первого типа, - т.е. • возникает та не проблема предельной поляризации, которая до работ Баддена существовала в рашгах плоскослсистых задач (5 типа). (Напомним, что уже в ранее созданном "квазиизотропном" катоде Паули - -Галанила такой проблемы вообще не существовало, в том числе н в отношении задач 9-го типа; нет ее и в методе Кравцова).

' В принципе, после появления квазиизотропного приближения в электродинамике можно было бы проигнорировать трудности теории Куранта - Лакса и либо вообще ограничиться рассмотрением случаев слабоаккзотропной среда, либо хотя бы предельную поляризацию рассматривать в -раыках квазиизотропного приближения, а затем .полученные уравнения "сшивать" с решениями Куранта - Лакса для среды с большим двулучепраломлекием. (Такой подход детально развивался в рсботах автора [7,8]). Однако определе1шуэ неудовлетворенность продолжали вызывать два обстоятельства: с одной стороны, метод Паули - Кравцова допускает лишь приближенней предельный переход к случав однородной анизотропной среды; с другой стороны, свободный от этого недостатка и очень общий катод Куранта - Лакса останавливается в бессилии перед той самой

проблемой предельной поляризации» пути прзодслекия которой достаточно ясно обозначены работами Едвдэка, Паули, Галашша, Рубинау - Келлера, КравцоЕа. И действительно, были предприняты два независимые попытки по устранению указанного дефекта из метода Куранта - Дакса: в 1976 О.А.Кравцовым с соавторам;! [66] и в 1977 г. автором [11] (в 1976 г, елалог работы [11] был депо:шрован автором совместно с А.Г.Прудковским [10]).

Чтобы точнее сформулировать суть работ [66] и [11], напомним, что метод Куранта - Лакса для среды с двулучепреломлением дает (если не _ ограничиваться нулевым приближение^ метода) пару асимптотических решений, отвечающих двум типам поляризаций": в1 - ССп(г)е1(г;к1) + С12(г)е^(г;к1)] ехрС^Сг)], е, - [С21(г)а1(г;к2) + С22(г)в^(г;к2)] ехр[^2(г)]; здесь /¡>1 и ф2 - эйконалы, отвечает» поляризационным типам волн (з электродинамике - необыкновенной а обыкновенной волнам) и удовлетворяющие в статическом случае уравнениям вида: -

о - П^ги-02(г;7^2), (2)

где, в свою очередь, и - частота рассматриваемой монохроматической волны,а функции Д (г;к) и Й2(г;к) - зависимости собственных частот от волнового вектора - являются решениями характеристического уравнения; в (I) обозначено также: к1 - , к2 « ЧФ2 ;

поляризационные орта е1(г;к)"и е2(г;к) берутся такими, как если бы среда была однородной (с параметрам, отвечающими текущим координатам г), а сами орта е^г;*) и е2(г;к) отвечали бы волновод вектору к, равному в каждом случае обозначенному в (1) значении к! (г) или к2(г). Коэффициенты СаЬ (а,Ь - 1,2) определяются итерационной цепочкой "уравнений переноса™. При этом в нулевом порядке метода Куранта - Лакса полагается С'^'в С2°'в 0; соответственно, в полном решении, получающемся суммированием всех порядков, выполняется оценка:

|С1г/Сп1.|С21/С22| < ш. ■ •

В работах [66] и [11] приведенная вше структура (1) вектороЕ и ег была принята уже за нулевое приближение нового метода, причем в обеих работах коэффициенты С12 и С21 допускали« сопоставимыми с Сп и С22 . При этом в работе [11] автора, I . строгом соответствии с методом Куранта - Лакса, аргумента к1 и к, у ортов е] яб2 брались именно в том порядке, как в пряведеянш формулах (I) для ег и е2. Тогда для четырех коэффициентов С12, С21, С22 автором [11] было получено две незанепляпциеа системы обыкновенных дифференциальных уравнений,' локализований вдоль соответствующих лучей:

+ Р\1СЧ + ^2С12 " <Сгг/«&1 + + ЕЛ^/ЯкГЧ^- + Рг2]С12 - 0;

(3)

йСгх/йэг + ицкуак)-1«^ - ¡V + Р^]С21 + р22с2г - о,

+ Р^С21 + р\гСгг - 0;

здесь функции П^пк) и 02(г;к) - те не, что в (2), а аргумент к П1, йг, З^/Зк, ай2/3к выбирается: в первой из систем (3) равны кг - Чф1 ., а во второй из систем (3) - равны-,; к2 - Чф2; и <¿5 означают элементы длины соответствующих лучей, определяема уравнениями Гамильтона

йг№ - ай/ак, | ёг/сИ - Зй2/ак,

йк/^г - -32/9Г, { <ПгУ<Н - -80/8г;

из уравнений (4) получаются и значения векторов к1 и к2 едо; соответствующих лучей.

При г г 0 уравнения (2) переходят в уравнеш нулевого приближения метода Куранта - Лакса, поскольз фигурирунние в (3) коэффициенты р|3 и р22 совпадают

(4)

соответствующими коэффициентами уравнений переноса Куранта - Лакса

для двупреломляющей среды.. Прочие коэффициенты .....р^ из (3),

не предусмотренные в уравнениях переноса Куранта - Лакса, имеют структуру, схожую с р\1 к р\2- Ир11 стремлении двулучепрелошения к нулю (П1 - ¡1г - 0) в коэффициентах р£ъ уравнений (3) имеет место предельный переход

Раь^аь (а,Ь,с - 1,2),

где р°ь - коэффициенты уравнений переноса Куранта — Лакса для недвупреломлявщей среды. (Напилим, что к этим уравнениям относятся также уравнения Рытова и Левина - Рытова, соответственно для геометрической оптики и геометрической акустики изотропной трехмернонеоднородной среда). В случае плоского слоя- обе системы (3) переходят в уравнения Баддена.

В отличие от работы [11] автора, в работе [66] (более ранней) вместо систем уравнений, содержащих дифференцирование вдоль одного и того ке луча для каждого уравнения одной и той не системы, получилась система из двух уравнений с дифференцированием вдоль разных лучей (квазивырозвденное приближение); эта система, по своему замыслу аналогичная первой из систем (3), имела в [66] ввд (с небольшими изменениями в обозначениях):

I ас.

с?з,

+ РггС1 + Р12Сг -

«2 зп2

+ * А +

Зк

-1

зп2 зГ

(5)

(к1 " V + Ргг

0.

Несмотря на кажущийся "геометрооптический" вид, уравнения (5) не образуют системы обыкновенных дифференциальных уравнений, что гправедливо отмечалось и в [66]. Тем не менее, в работе [66] правильно указывалось, что дифференцирование ¿/й5г можно заменить

ка й/с1г1 и это, действительно, привело бы к система обыкновенных тдайереыдаальшх уравнений, если бы все функции от к в уравнениях (5) были с подстановкой к - к1 Сно не к - к2), как это и имеет кесто, например, в первой из систем (3). Дело в тем. что уравнзния метода ВКБ, напршер, уравнения (3) или уравнения перешеа Куранта - Лакее, сами по себе ке образуют полной езюгеш уравнений» потолу что коэффициенты р®ь явно или неявно содерЕат ьелновой вектор к и его частоте производные, которые тоге иадо вычислять вдоль луча; а зте коьио сделать только с помесью уравнений Гашльтона (4) [62]. И если дайерешироваше амплитуд поля в "уравнениях переноса" производится по , то и коэффициенты этих уравнений доляны зависеть только от к^а не от к2, потому что уравнения Гамильтона (4) ( с П « 01> могут определять значение лишь векгора но не к2. Между тем, уравнения (5) сидерзаг еектор кг, и даже в явном виде, что неприемлемо.

Таким образом, можно констатировать, что хотя работа [66] вплотную подошла . к получению позой улучшенной системы ' гэоыетрооптичаских уравнений (т.е..' обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль луча), но колиостъю справиться с проблемой группировки частных производных в ползала производные вдоль луча в работа [66] на удалось ( подобно талу, как 44 годами раньше этого кз удалось в работе [57] В.Паули), хотя, конечно, работа [66] (как и работа [57]) принесла большул пользу в понимании основ геометрической олгаки,

В работах автора [10 - 12] удалось избежать указанных просчетов.2Попутно выяснилось [11], что полученный метод содержит

2 Доказательство всех математических теорем в работах [10е

в себе, как частный случай, метод Куранта -Лакса, в плосхослоистом случае переходит в метод Баддена, а в случае слабой анизотропии -в улучшенное квазиизотрошое приближение (т е содеджиг в себе, как предельный частный случай, и метод Паули - Кравцова). В связи с такой универсальностью метода, автор счел для ' него правильным название "синтетический" метод.

"Синтетический" метод .был получен в [ИЗ применительно к системе линейных уравнений достаточно общего вида (такого из, который рассматривался в книге [39] Р. Куранта). Там же метод был проиллюстрирован на примере уравнений Максвелла, а в последствии, в работах автора [13 - 15], метод был развит применительно к уравнениям акустики и к уравнениям Паули (для нейтральной частицы спина 1/2). Попутно в рамках геометрической акустики был развит и мзтод Паули - Кравцова: оказалось, что уравнения геометрической акустики в рамках указанной асимптотики идентичны уравнениям Кравцова из электродинамики; следовательно, в акустике поперечных волн существуют те не эффекты, что и в электродинамике, например, аналог упоминавшегося двулучепреломления на участке квазипоперечного распространения или "касательная коническая рефракция"; в диссертации см. ч.2, гл./Я.

.Аналогичны",! образом "синтетический метод" применяется и к уравнениям Паули, что и было выполнено в работе автора [15]. При этом выяснилось, что эффект Штерна - Герлаха можно рассматривать как двойное лучепреломление спинорной волновой функции внешним магнитным полем, которое здесь играет роль анизотропной среды. . В результате получено то самое последовательное квантовомеханическое

И] принадлежит А.Г.Прудковскому. как и обобщение метода на случай наличия каустик.

описание эффекта Штерна - Герлаха, вопрос о необходимости которого ставил еще де Бройль [59] (упоминавшийся метод Паули такого описания не дает из-за пренебрежения поляризационным расщеплением лучей - траекторий).

В диссертации (в ч.З) рассмотрены и некоторые другие приложения метода быстрых осцилляций (или медленных амплитуд) к задачам, не связанным с проблемой предельной поляризации.' Одна из этих задач - установление, методами геометрической оптики, связи мезду принципом'эквивалентности (обедая теория относительности, ОТО) и данными поляриметрических наблюдений отражательных туманностей Галактики и ее ближних окрестностей, по работам автора [1,2,18]; в итоге получился очень чувствительный тест, подтверждавший ОТО ( в диссертации см. ч.З, гл.1).

Вторая задача связана с лазерными гироскопами - аналитическое вычисление нелинейностей их частотных характеристик, существенно уяудшагэдкх точность этих гироскопов; такого рода расчеты принадлежат к нелинейной электродинамике, учитывающей в параметрах нелинейности конкретную квантовую природу прибора [67 , 68]. Е итоге выполненных автором расчетов' получился набор аналитических формул, позволяющих, как минимум, оптимизировать выбор средств, уменьшающих нелинейность (так называемых частотных подставок), £ как максимум - развивать алгоритмическую компенсации нелинейностей,с перспективой их подавления на порядок. Вывод этш формул производился с гкроким применением метода Боголюбова .Крылова (метода усреднения) и метода стационарной фазы Практически впервые аналитически рассчитаны эффекты, хоро® известные в лазерной гироскопки (мелкомасштабная крупномасштабная нелинейности выходной характеристики [67, 6В]) но ранее не поддававшиеся аналитическому описанию в той мере, какой это важно для современных технических приложений. Этс

бел удалось, в основном, ликвидировать в работах автора [20 -; в диссертации см ч.З» гл.Л.

Тагам образом, диссертация содэраит теоретические гадования различного характера - от разработки новых готических методов для иирохого класса физических задач до чэта вполне конкретных эффектов, в том число а связанных с кретной техникой (превдэ всего, лазерной). Однако вез эти яедования объединены общей темой - они относятся, главным азом, к линейной и нелинейной электродинаюгке достаточно опсих электромагнитных волн, которые в некоторых случаях вергнуты еще и достаточно быстро осциллирувдей модуляции. В ельных случаях рассматривается волны и другой (не ктромагнитной) природы, ко лишь постольку, поскольку они логичны электромагнитным волнам.

Целью диссертационной работ явлжшея: 1

1. Дчя волновых задач с трехмерной неоднородность!) и лучепреломлением создать геометрооптический метод, объединяющий : язвестнкх метода: Куранта - Лакса, Баддена и Пзули - Кравцова, ем, чтобы объединить достоинства указанных методов - общность, ность. наглядность и хорощую приспособленность к практическим четам коэффициентов трансформации, амплитуд и фаз яризационных компонент волны.

2. Геометрооптический метод, разработанный автором, а гакзв ученные автором усовершенствования и обобщения метода Паули -вцова (квазиязотропного приближения) применить для расчета ений (а) электродинамики слабоанизотротшх сред, (б) акустики боакизотропных сред, (в) магнитной оптики электронейтральных тиц со спином.

3. Установить связь иеаду оптической изотропией пространства

б присутствии гравитационного поля и принципом эквивалентности для электромагнитного поля; с учетом этой связи разработать высокочувствительный тест, проверяющий принцип эквивалентности на основании поляризационных наблюдений отражательных туманностей.

4. С помощью асимптотических методов, основанных на учете быстрых нелинейных осцилляций электромагнитного поля в лазерном гироскопе (ЛГ)',- существенно модернизировать методы' расчета частотной характеристики ЛГ с периодической частотной подставкой; на базе . этого довести общность и точность расчета частотной характеристики ЛГ до уровня, допускавшего осуществлять оптимизацию и алгоритмическую компенсацию нелинейностей характеристики, что, в свою очередь, позволило бы существенно понизить погрешности ЛГ, обусловленные этими нелинейностями.

' Научная новизна работы:'

I. Впервые получена гесметрооптическая система уравнений, которая является полной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (подобно уравнениям Куранта - Лакса, Бадцена и Паули -Кравцова); объединяет достоинства перечисленных трех методов и в отлцчие от каждого-из них обладает следующими свойствами:

(а) в отличие от метода Куранта - Лакса - позволяет описывать взаимодействие различных поляризационных мод (подобно уравнениям Баддена и Паули - Кравцова);

(б) в отличие от метода Баддена - приспособлена к случаю трехмерной неоднородности параметров задачи (подобно уравнениям Куранта - Лакса и Паули - Кравцова);

(в) в отличие от метода Паули - Кравцова - описывает в явном вцде расщепление лучей в двупрелоклянцей среде и дает правильный предельный переход к случал однородной среды ( подобно уравнениям Куранта - Лакса).

2. Впервые в уравнёния квазиизотропного приближения внесена изменения, позволяющие расширить область применимости приближения на случай квазипоперечного распространения (в магнитоактивной плазме) волн, частота которых соизмерима с плазменной частотой.

3. Впервые предсказан и рассчитан в оптическом диапазоне эффект взаимной линейной трансформации обыкновенной и необыкновенной волн в анизотропной среде с непрерывно меняющимися параметрами ("касательная коническая рефракция").

4. Впервые разработана геометрическая акустика трехмернонеоднородаых слабоанизотропных сред, . в том числе первоначально изотропных, но неоднородно - напряженных сред; установлена полная идентичность' этой геометрической акустики с геометрической оптикой трехмернонеоднородаых слабсанизохропшх сред, а потому и полная идентичность мевду процессами взаимной линейной трансформации различных поперечных акустических попутных мод и попутных обыкновенной и необыкновенных волн.

5. Впервые получено последовательное . кваатовомеханическое описание эффекта Штерна - Герлаха как двулученреломлеяия слинорной волновой функции в магнитном поле.

6. Впервые, установлена связь оптической изотропии пространртва с принципом эквивалентности (ОТО) и на этой базе построен чувствительный тест по проверке ОТО. .

7. Впервые получены аналитические выражения для частотной характеристики лазерного гироскопа при формах частотной подставки, отличных от прямоугольного меандра; на этой базе впервые показаны преимущества подставок с остроконечной формой огибающей.

Практическая ценность рзбст

Результаты, полученные в диссертации (теория линейной трансформации волн, новый оптический эффект, теория частотной

характеристики лазерного гироскопа) позволяет: учитывать влияние наведенной (например, термоупругой) анизотропии на оптические свойства активных сред лазеров; точнее рассчитывать свойства ахустоопткческих элементов лазеров; развивать новые методы яеразрушаидего оптического и акустического контроля твердых тел, а также метода волновой диагностики плазмы; осуществлять оптимизация частотных подставок ЛГ по линейности его частотной характеристики, а в перспективе - строить метода алгоритмической компенсации нелинейяостей частотной характеристики ЛГ с целью понижения на

порядок соответствующих погрешностей.

Раззшгая в диссертации геория распространения волн в неоднородных средах создаёг цельную' картину явления линейного взаимодействия поляризованных попутных волн з трзхмзрно-плавно-неоднородной анизотропной срздэ, объединяющую и дополняющую ранее существовавши .концепции этого явления.

Апробация робот ■ Основные результаты работы докладывались в ЙАЭ (семинар Я.А;Смородинского), в ШН"е (семинар В.Л.Гинзбурга), в ШЗ (семинар- С.М.Рытова), в ЙРЭ, в ИЗМИРАН"е, ЫГУ (семинар В.А.Ильина), МЙЗМ (семинар В.П.&слова) и в НИИ "Полюс", а также на заседании секции Совета АН СССР по прсблеулм управления к навигации.

¡¡убликаиул. Основные положения и результаты диссертация опубликованы в 28 печатных работах, перечисленных з копц; автореферата, а начале списка литературы,

Сжруюпура и. объел диссертации. Равота состоит кз Введения, одиннадцати глав '(сгруппированных в три части), заключения i

*ска литературы- Обдай объем диссертации 377 страниц, из которых I страницы основного текста.. Диссертация содержит 26 рисунков на страницах, приложения на 15 страницах, список литературы на 14 заницах и оглавление на 7 страницах.

Содержание работ.

Во Введении обоснована актуальность выбранной теш, эрмулированз цель работа, изложены . защищаете положения н {водится аннотация работы по главам.

Первая часть диссертации (.1-17 главы) посвящена вопросам *ейной электродинамики, а именно - геометрической оптике ибоашзотрспных сред. Вторая часть (V - IX главы) содержит поженив "синтетического" метода и его приложений к негродивашка, акустике и квантовой механике; в этих двух частях 1утно рассмзтрягартся и модернизации метода Паули - Кравцова, эдлагадЕиеея автором. В третьей части (X, XI главы) осматриваются некоторые электродинамические вопросы, возникающие збщей теории относительности (ОТО) и лазерной гироскопии и ;бупдиз для своего решения учета различных быстрых осцилляций.

Первая глава. На примере относительно простых плоскослоистых ;ач иллострируются основные обозначения, проблемы, идеи и метода 1зиизотропного н улучшенного квазиизотропного приближений, а яе элементов "синтетического" метода. В качестве эталона иости для сопоставления различных методов используется метод йена.

Вторая глава. Содержат вывод предложенного автором [11,17] 'ЧшенцЬго квазиизотропного приближения Структура форг<ул этого [ближения точно такая же, ■ какая 0нда определена для .анизотропного приближения Ю.А.Кравцовым и сотому сохраняет все ¡имущества метода Кравцова А именно, решения уравнений

Максвелла давтся зйконалъной формулой

с - Ф0с"1/4(£лв + ^Ыехри/с1'2^); (6)

здесь с(г> - изотропная составлявшая тензора c(r); 'eis - элемеи длины луча, отвечающего (по уравнениям Гаашлона) скаляру c(r); i ab- нормаль и бинормаль к лучу; î0 - функция, удовлетворять вдоль луча "закону сохранения" aiv(^t) - 0, где I - касательная : лучу; коэффициенты- Еп и Еъ удовлетворяет системе уравнений ввда <ШМв - {ikt^lnrEn +i£j!b) - Г% - 0. (?)

äE^ds - {ikz-^£bEn + T~lEn - 0,

где Г"1 - кручение луча (Г"1 = tda/ds) , и к « w/cj в первоначаль ном (по X). А. Кравцову) кваэииэотрогтои приближении

а в улучшенной варианте (предложенном автором fil, 17])

Л£с„ в -се-Д} ÛEî8= e-s'f/б,

причем к в формулах (8), ив формулах (9) нижние индексы отвечах нормали п к бинормали Ь:

cim ~ с^ - (n,Êb>..... с'* - (Ъ,с_1п), е^ - (Ь,с"1Ь).

Нетрудно убедиться, что формулы (8) и (9) различаются лишь i втором порядке по величинам |~ (i,k - 1,2,3

максимальная из которых и является параметром Ас среды. Переход i формул (8) к формулам (9) и обеспечивает правильное (во ес диапазоне частот) ошеение уравнениями (7) распространен электромагнитной волны в плазме на участке квазипоперечнос магнитного поля, см. работу автора [17]. В диссертации э обстоятельство обсуждается дзежда - в гл./, на относитель простом примере плоскослоииой среда, и в гл.III, в общем случае В гл.II показано, что если в формулах (7), (9) (улучшение квазиизотропного приближения) перейти от ортов п,Ъ к собствен^

двумерным ортам дпумэрнЬго тензора (сс,$ = 1,2), то тогда уравнения (V) приобретем вид, аналогичный уравнениям (3), а потоку н уравнениям Еаддена. Чтобы совпадение со структурой уравнений Взддега било точнео, щшсдогш 1>азл11Чшэ модернизации формул (6), (9), позволжшз применять 117. ' но только с "гхазкизогрокпм" эйкогалои (как в формуле (6))с но и с более тсшшя вйхоналаш ^ и ф2 кеобыкнозсшшх н о^бкиовекнкх воли (соответственно-, вдоль лучей, отЕочапцих тсееы ггачениям тензора с, как у Пурзита - Лаяеа и в "синтетическом® методе литера). Это позволяет добиться с пенощьп бапзз простых н удобстве фрцул того г.о, что и в "синтегичесхсм" метода - одковреметюго описания и поляризационного расщепления лучей, п полей вдоль всех лучзй, а том чката на переходах от двуирзлокляилпе участков ерэды к иэдаупролошипиим (т.е. с, реагниек проблемы предельной поляризации). Поэтому 1-2.М з?.е, в гл. II, из различных типичных примерах изложен алгоритм построения полного геоиэтрооптнческсго ргзеняя уравнений Ыахсвелла, . учкткзагзгего .раеррплати® ©-чей э результата двулучепролсмления (т.е. взаимной трзяефорианяа обыкновенной и необыкновенной воли).

Ррзхья глада. Иллюстрирует хгаэикэотррйнсе и улучшенное квззиизотропное приближение на хороно известной задача о всеггт.ой линейной трансфсртгации обыкновенной и необыкновенной воля га участке квазипоперечного распространения в гагжтсахтивной пяазие (так называется участок, где гневнее ¡«элитное поло становится ортогон&льнш или почти ортогональным к лучу). В точке ортогональности луча и внешнего глгшггного поля поляризации обеих нормальных волн линейны, в соответствии с эффектом Котто:» -Мутона, а на достаточном расстоянии от этой точки эта поляризации круговые, в соответствии с эффектом Фарадея. Относительно быстрая перестройка поляризаций нормальных воля, в совокупности со

сблииотием ia ^аКаздиатов преломления, и является причиной возникновения взаимной линейной трансфорштш воле. Коэффициент ©той трансфоршшш. при условии полного прохокдензи волной указанного участка, бш ранее рассчитан 3..В.Пелозняхсвна и Е.Я.Злстшгхс катодом фазовых интегралов [54,55,50].

, Уравиешш-(7) позволяй1 рассмотреть тише случай, когда источник поля находится внутри участка квазишшерочяосгеи', а ■ текге учесть роль кцивцзщ и кручения лучей. Последнее и было бншшяю: в работа [9] В.А.Кравцова в автора для частоу, шого болыш плазменной (s páistax квазиизотрошого приближения) и в работе £17] автора дхя произвольных частот <в рамкам улучшенного кгазшгаотюпяого ирийшдаяшя). Б обоих случаю: были пдтаерядшш результата рабе® [54,55,50], что сто т себэ бшо samo, потоку что метод фазовых интегралов в то вре&уз но считался достаточно нздшшаи [55]. .Сверх того,' в работах [9,17] 'были получена поите выражения для полей вдоль всего ''квазяязотрэпного" луча. а такиэ обсувдекы возысшюстя применения аффекта для диагностики пдазш,

' íessespsm глаза.. Содержит расчет нового оптического эффекта, цредаоиешого а рассчитанного 'автором в работе [19]: "касе.теяъшй конической редакции". Как известно, обдашя коническая рефракция [37] возникает в том случае, когда волновой вектор в однородной еиизоярошай вредо параллелен так называемой оптической оси -направленно, в котором коэффициенты преломления обыкновенной к необыкновенной еолй совпадая!- (има®тся в виду, что тензор с ЁЕщзствешпй и симметричный). Если среда ещз и неоднородна» с непрерывной зависимость» с(г), тс тогда направление оптической со*,, вообще гоборя, меняется от точки к точке, к на некоторых группах, лучей uoiyr оказаться точки, в которых текуздз направления оптической оси и 'волнового вектора совпадают. В этих, а также блазлешдих точках происходят тесное сближение коэффициентов

ярэлсшевдя обыкновенной и необыкновенной волн и сЪзттоо изменение направления поляризации (лзшейнсй) у каздой из ккх. А ото, как упоианалось шга, приводит к. возрастали» (иногда очень резкому) линейной трансфориагсм обоих типов воля, что в свои очередь иожет, например, дать на экране янтерферешдеоняуп лшш. Вывод коэффициентов трансфсркащп, по работе аптора [193, и содержится в гл.77. Кромз того, там приведена . схеиа опыта, допусю-вдая иаблздепБе эффекта и колнчествёянуа проверку теории.

На IV главе заканчивается 1-я часть диссертащш.

Прздмег второй тот диссертации - построение Ш5-асЕ2геотакп да жшейннх еолн общего вида в двулучещюлоиюшзкх урехиернонеодаородшх средах (о гладкой зависге/лстьв параметров среды от координат) при наличия достаточно глубоких (в тса число а нулевых) ' ишпщуков разности показателей ■ преломления поляризационных компонент волна,

• При отоа всэду предполагается, что сЛяизавтся гхоффнцнентн преломления у двух попутных поляризационных компонент аолш (в электродинамике - у обыкновенной и .чео&кневенкой золя), ко длина волн у мздой кз этих двух компонент продпояагавтея мяого меньшими, чои характерней масштаб неоднородности орзда (т.е. расстояние, га протягевкя которого сз-ксстаеггио изменяются поляризационный вектор или' длина волны какой-либо . из шыиризацяонних компонент). Тагам образса, здесь , как и в первой части диссертации, не рассматривается случаи, связагашэ с отраяениеи волн, в тем числе случаи, связанные с прохождением участков, где какой-либо из коэффициентов прелошешхя обращается в нуль.

Примером рассматриваемой здесь ситуации может послузасть юсояиетя электромагнитной волны в ¡гапятожтиадув пязаиу через участок с нулевой (илк достаточно голой) концентрацией электронов

на границе и с достаточно еысо&ой концентрацией внутри. Тог будет реализовываться переход болей из недвупрелошшщей обласд двудродсазлящу» (к обратно). Ясно, что луч расцепится на да вопрос' лишь в таг, кг-ковн относительные интенсивности осстааяет лучей и кадсова будет поляризация у пандой из волн, вэргдуегнкгк недзу-тучепредолляЕсув область (второй из оттгх вопросов к назаа иногда проблемой предельной поляризации [20]). Охвата указанные вопросы стали возксшв&и поело пояадазшя ызтода 1Ьул:: Кразцсва, а особенности, после появления кшзшхзотропн пр;:блзгЕгеп2я [433. Ко есть еще к вопрос, по каким, лучам я е как агстлитудшя! пойдут волны посла расщепления, а дяя ответа на с вопрос ц нукны катод Курапто - Лаксг , а еяз лучшз "синтетический" метод.

Извоженная ситуация, связанная со сближенном козф^шциа преломления, в физической' литературе обычно' имеет казв« взаимодействия шш взаимной линейной трансформации волн. В ; терминологий мокко ' сказать, что здесь рассшгрива! взаимодействие, пары попутных волн (с близкими фазоваш скорости к не рассматривается взаимодействие еолн с противополок направлениями распространения (последнее имеет место, например задаче о "тройном отклике" от ионосферы [383).

В математической литературе задача, рассмотренная з ч. называется обычно задачей об асимптотических репе гиперболических систем уравнений с характеристиками перем; кратности [39, 69, 10, 12]. Ранее эту задачу удавалось рс (громоздким путем) лишь 'в случае, когда мал коэффш трансформации одной поляризационной моды в другую [38 , 69.' "синтетическом" метода такого условия не требуется.

По главам материал 2-й части диссертации расположен след образом.

Изття глава. Содержит потерла развития гвшзтрооптнческнх методов, ориентированных ва линейные систеш уравнений (с тастнгая производными) общего.вида, а такнэ достаточно полное перечисление соотаетствузшщх обозначения и тождеств. Рассмотрена катода Курзпта - Лакса, Паули - Крагцова, "кваэявдроздешюе" прябдиаеиив я излонепа «основная идея "синтетического* ызтода.

В ейязи с гем, что все излагаемые в гл.7 иэтеда являются разновидностями БКБ-кзтода, полезно сделать кекоторкэ пояснения. В задачах с трехмерной неоднородность!» ЕКБ-иетад предполагает построение, лучей (вдоль которых распространяется $сш'л), а тккже фаз и векторных■ амплитуд поля вдоль лучей. В огяовеюга лучей, как известно, проблем нет - их траектории . дамся лнвнешиш Гамильтона, достаточно лишь знать дисперсионной уравнение (зависимость частоты от волнового вектора), а ото уравнений легко получается кз исходного дифференциального уравнения вешш [33, 39]. Точно такта нет проблем с вычисленном фазы есляы вдоль луча. Трудности возникают с вычислением амплитуд (вообще говоря» векторных и комплексных).

В отличие от лучей и фаз, векторнуа амшапгуду поля долгое время удавалось находить лишь в рамках одналерннх (обычно -плоскослолстых) задач (см. [38] и цитированную таи литературу). Но даае и в этом случае понижение порядка. исходной систем дифференциальных уравнений3 удавалось (до первого порядка) лзш> вдали от областей, где волновой вектор обращается в нуль, и липа,

1 В.случае уравнений Максвелла для плоскослоистой среды это, как известно, четвертый порядок, и задача геометрооптичееккх методов состоит в гониаензш порядка до первого иди хотя бы до второго.

применительно к сладуэдим двум полярным случаям [38]:

(а) когда даулучепреломлензе отсутствует;

(б) когда деулучепреломление присутствует, и разность . волновых векторов поляризационных компонент достаточно велика

(иного больше обратного масштаба неоднородности среды).

Что же • касается, ' промежуточного случая (слабое двулучепреломление), то лишь Баддену в работе [41] ' удалось понизить порядок линейной систеш до двух.

Впоследствии было обнаружено [46], что ранээ известный метод фазовых щггегралов [45] позволяет в шюскослоистон случае ограничиваться асимптотическим уравнением первого порядка, к не только ъ случае сближения коэффициентов.цреломдания конутньк еолн, но к в случае обращения этих коэффициентов в нуль, т.е. за Пределами непосредственной применимости метода ШБ.

В случае трехмерной (ели хотя бы двумерной) неоднородности среды метода расчета векторных аышштуд поля длительное врэдя развивались очень медленно, хотя качало было вполне оСнадеяиваюпее: как упоминалось вше, в случае электродинамики изотропной среды асиштотичеокая л!шейная система уравнений вдоль луча для компонент векторной аыплзпуды волны была получат С.К.Рытовьы езде в работе [35].4 Однако ' в случае, когда

Полученная в С35] линейная вещественная система второго Порядка сводится к комплексному линейному уравнении первого порядка, ига к паре назацешшицихся вещественных уравнений псртого порядка, одно из которых (для модуля векторной амплитуды) аналогично уравнению (16,18) иг [38] (записанному применительно к плоскослоистому случав), а второе (для поляризации) приведено в [37]. ф. (65,12).-

двулучепрелошгение (достаточно большое) имеется, асимптотическое уравнение для амплитуды волны (в трехмернонесднородной среде) было получено лишь в работах Р.Куранта и П.Лагсса [64 , 65] упоминавшееся вше уравнение переноса (линейное уравнение первого порядка, подобное толу, которое имеет место в случае плсскослокстой среды [33]). При этом объектом исследования работ ■[64, 65] и книги [39] была линейная гиперболическая система уравнений (в частных производных) сбдего вица, - конечно, _ для случая, когда показатели преломления для волн различного поляризационного типа отличаются мевду собой на достаточную величину, как и в плоскоолоистых задачах, изложенных э [33, 42].

Естественно, Курант и Лако в своих работах столкнулись с проблемой характеристик перемеккой кратности, т.е. (на языка физики) с упоминавшейся выше проблемой предельной поляризации. По этому поводу Курант в книге [39] писал (стр. 612): "Несмотря на то, что эти задачи можно решать с помощью специальных методов, несовершенство обпей теории остается вызовом для исследователей".

Когда Р. Курант в цитированном высказывания писал о "вызове для исследователей", он, видимо, не знал о работе [58] А.Д.Галаккна, придавшему методу В.Паули . законченный геоыетрооптический вид; впоследствии этот "вызов" был вторично и аналогичным методом принят В.А.КраЕЦоеым [43] (в рамках электродинамики), предложившим квазиизотропное приближение. Проблема предельной поляризации была решена, однако элемент "вызова" сохрашмся, -лучи в методе Пауля - Кравцова остались нерасщеплекшми, что частично было аагом назад по сравнения с

Курантом и Лахсом. Попытка же принять и этот "пнзсв" в тамках

/

"квазиЕырозэденного" приближения" [66] означала (как упоминалось жге) разрыв с уравнениями Гамильтона, что было бы очень больини патом назад по сравнению с Куранто?г к Лаксогл.

Окончательно "вызов" бьи принят е работе .СИ] автора, а в плане строгой математической теории - в совместных работах [10,12] А.Г„Нрудковского и автора.. Этим ответом на "вызов" и., был "синтетический метод", излагаемый в главе УI диссертации..

Шестая глада. Содержит детальное изложение "синтетического" метода в общем виде, т.е. вывод уравнений (3) и выражений для коэффициентов этих уравнений.

Синтез методов Баддена, Куранта и Паули - Кравцова, достигнутый в работах автора [10 - 12], имеет следующие отличительные черты:

(1) для компонент векторной амплитуда . волны в трехыернонеоднородной двупредомляицей среде, отвечающей (вместе с эйконалом) какой ~ либо из двух поляризационных мод, подучена асимптотическая система двух линейных обыкновенных

■ дифференциальных уравнений 5, имевших в качестве дополнительного малого параметра разность л^ п2 С как в уравнениях Баддена);

(2) оба уравнения каждой из этих систем . полностью локализованы вдоль одного' и того же луча соответствупцего поляризационного типа, удовлетворяющего точным уравнениям Гамильтона для исходной задачи, как в методе Куранта - Лакса (в электродинамике - вдоль обыкновенных и необыкновенных лучей);

(3) наилучшая точность аппроксимации достигается в случае, когда выполнены следующие два условия; (а) решения строятся на отрезках лучей, содержащих не более одного перехода от участка с сильным двулучепреломлением (А < I) к участку с А г. 1\ (б) на

Т.е. тип системы уравнений тот же, что и у уравнений Баддена, и у уравнений квазиизотропного приближения, но не тот, что у уравнений Куранта - Лакса для двупреломлящей среды.

вэдогл таком отрезке луча начальное условие выбирается ка участке * 1 по формулам -метода Куранта-Лакса или по равноценным, но олее простым формулам автора ("затравочная итерация").

Таким образом, "синтетический" метод, развитый автором в аботах [10 - 12], можно рассматривать как обобщение метода аддена на случай трехмерной неоднородности; и как обобщение гтода Куранта-Лакса на случай, когда имеются ' области с зулучепреломлением не нулевым, но и не настолько сильным, чтобы этод Куранта-Лакса был применим; и как обобщение квазиизотропного эиближзния на случай, когда |л1 - л2| < Ас. Естественно, что все зи перечисленные метода содержатся в рассматриваемом методе как юткые или предельные случаи.

Севълая глаза. Иллюстрирует "синтетический" метод на примере эавнений Максвелла - получены геометрооптические уравнения, граведливые такке и при Ае _ 1. Показано, что из "синтетических" равнений получаются, как предельные и частные случаи, уравнения дцена, Рытова, улучшенное квазиизотропное приближение, следовательно, и уравнения Кравцова.

Восьлая злава. Содержит применение "синтетического" метода к аЕнекиям Паули для электронейтральннх частиц со спином 1/2 апример, нейтронов). "Синтетический" метод развит здесь в виде учтенного метода Паули, т.е. с учетом расцепления траекторий :тиц в зависимости от ориентации спинов. Квазиклассические мнения получились с той та обшей структурой, с какой их гдлагал искать (в своей книге [59]) Л. де Бройль - с цельа ¡ледовательного квантовомеханического описания эффекта Штерна -злаха (однако Л. де Бройлп, как и Е.Паули, не удалось полностью >ейти от уравнений с частными производными к обыкновенным ференциаяьнш уравнениям вдоль траекторий). Это удалось в оте [15] автора (совместной с А.Г.Прудковским) - одновременное

квазшслассическое описание ларыоровской прецессии магнитного аог«ента вдоль траекторий (как у А.Д.Галакина) и сверх того -описание расцепления траекторий в магнитном поле.

Лвбюг^я гла&а. Здесь метод Паули - Кравцова и "синтетический" метод применены к акустике трехмернонеодшродных анизотропных сред: метод. Паули - .Кравцова - применительно к поперечным волнам в слабоанизотропных средах - как с собственной анизотропной, так и с наведенной (предварительно - налрякешые среды). Полученные геометроакустические уравнения, в соответствия с работами автора [13, 14], в своя очередь, проиллюстрированы на конкретных примерах деформированных сред (с наведенной акустической анизотропией). Результаты, в принципе, могут быть использованы в сейсыике и при построении методов неразр>Езадего акустического контроля.

Обнаружено, что в случае слабой• анизотропии полученные геометроакустические уравнения ямевт точно такую же структуру (7), как и уравнения Кравцова (конечно, с надлежащей заменой в фор.'$улах типа (8) или (9)). Отсюда следует, что поперечные акустические волны обладает теш sie видами взаимной трансформации, что в б электродинамике - обыкновенные и необыкновенны© волна. В частности, в акустике должны быть эффекты, аналогичные описанным в гл. III и гл. 17: двойное лучепреломление не, участке квазипоперечного распространения по отношению к вектору акустической гирации и "касательная коническая рефракция".

В случае достаточно сильной анизотропии (А < i) получена и реализация (в акустике) метода Куранта - Лакса; показано, каким образом отсюда следует известная формула В.М.Бабича [70] для адалитуд волн.

На IX главе заканчивается 2-я часть диссертации.

В третьей част диссертации, состоящей из двух глав (X и XI), рассматривается некоторые вопросы, связанные с приближением

быстрых осцилляций, но не связанные с проблемой предельной поляризации.

Лесялт глава. Здесь рассматриваете вопрос о распространении света в гравитационном поле и, в связи • с этил, о методе экспериментальной проверки общей теории относительности (ОТО) с помощью астрофизических (оптических) наблюдений над отражательными туманностями, причем наблюдений уже выполненных (безотносительно к ОТО) и хорошо известных в астрофизике. Этот тест хорошо дополняет классические тесты ОТО (красный сдвиг, искривление лучей в поле Солнца и смешение перигелия Меркурия [71]) и .надежно отвергает альтернативные ОТО теории, использующие гипотезу линейного взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей.

Обстоятельством, пороэдаищиы рассматриваемый вопрос, является то, что гравитационное поле (описываемое тензорным потенциалом) формально анизотропно. С другой стороны, это полз является внешней

средой по отношению к распространяющейся в ней электромагнитной волне (подобно тому, как внешнее магнитное поле в опыте Штерт -Герлаха является анизотропной средой по отношению к спинорной волновой функции). Поэтому естественно было бы ожидать, что гравитационное поле оказывало бы двупреломлящее действие на электромагнитное поле. Между тем, в обиходе мы этого не замечаем. В связи с этим и возникает несколько вопросов:

(а) Действительно ли ОТО содержит строгий запрет на двулучепреломление света гравитационным полем?

(б) Если да, то является ли такой запрет следствием физических принципов, лежащих в основе ОТО (или лтаь случайное последствие ее математического аппарата)?

(в) Если дело, действительно, а принципах, то можно ли проиллюстрировать возникновение гравитационного лвулучепреломления света в каких-либо теоретических моделях (пусть несовершенных).

где эти принципы были бы нарушены?

На все три вопроса положительный ответ был получен в работах автора [1,'33, а детально эти вопросы были рассмотрены в работе [18] Я.А.Смородинского и автора, с. учетом работы [23 автора и многочисленных данных по поляриметрии отражательных туманностей.

Математический механизм запрета гравитационного двулучепреломления в ОГО сравнительно прост. Еще Ф.И.Федоров показал [723, что не всякая анизотропная среда двулучепрелонляет: необходимым и достаточны,; условием отсутствия двулучепреломления

А Л

является пропорциональность тензоров с и ц диэлектрической и магнитной проницаемости среда. С другой стороны, И. . Елебаньский показал [733, что уравнения электродинамики в пустоте, но в присутствии гравитационного поля могут быть записаны так, как если бы гравитационного поля не было, а была бы сплошная среда (вообще говоря, движущаяся). Б частности, в системе отсчета, где смешанные компоненты £0л) метрического тензора равны нулю (и - 1,2,3), а поэтому ' эквивалентная "сплошная среда" - покоящаяся. Б работах [1,33 автора было обнаружено, что в этом случае у эквивалентной "сплошной среда" тензоры е и ц совпадают , что и приводит к отсутствию гравитационного двулучепреломления при ¿0т = 0. А поскольку условие £0п = 0 всегда можно обеспечить подходящим выбором координат, то это значит, что гравитационного двулучепреломления в ОТО вообще нет.

Физическая причина указанного вывода тоже несложная. Дело в том, что, в силу общего принципа эквивалентности, в свободно падающем лифте . не должно наблюдаться и гравитационного

6 Впоследствии, в работе [74] Г.С.Скроцкого и соавторов, были опубликованы и явные выражения для этих тензоров е и ц.

юзулучепреломления. Но тогда его на должно быть и вообще, поскольку ■факт наличия -или отсутствия двулучепреломления на зависит от выбора системы отсчета.

Несколько сложнее оказалось с цллвстрацией Полуниных выводов ш примере неэйнштейиовских теорий гравитации. Дело в том, что зполне удовлетворительных теорий такого рода нет. В некоторых геориях (например, Бранса-Дике [75]) основные уравнения ОГО >оспроиз2одятся, в основном, настолько точно, что в значительной !вре теряйтся смысл альтернативы; естественно, что зги теории, как I ОТО, приводят к отсутствии гравитационного двулучепреломления. В сругих теориях (так называемых линейных) отход от ОТО достаточно >эд!жален, но при попытках, в рамках отих теорий, получить (йнатейновское значение для сдвига перигелия Меркурия там обычно [елапт допущения, вызывавдие заслуженную критику [76].

' Тем не менее, в целях иллюстрации принципа эквивалентности з гношении электромагнитного поля, в работе [18] была рассчитана зличика гравитационного двулучепреломления в рамках' одной из шейных теорий гравитаций (принадлежащей А.Капелле [77]). гносительно несложный геомотрооптический анализ уравнений 1ектродикзмики в присутствии гравитационного поля показал, что в и,шах указанной линейной теории разница ¿п коэффициентов зеломления для световой волны в гравитационном поле враэакцейся илктики получает значение Дл „ 10"19. Для того ае, чтобы щественно исказить ¡шещиеся данные по поляризашм отражательных ъанностей, 7достатсчко было бы и значения Дл ,10"26. Таким

Имеется в виду известное обстоятельство, что направления ллризацни совпадают с направлениями на освепизжцуп звезду.

образом, действительно» получен высокочувствительный тест, подтверждающий ОТО.

Одиннадцатая гмЬа. Посвящена одной из проблем нелинейной ■ электродинамики - теории частотной характеристики (ЧХ) лазерного гироскопа (ЛГ). Напомним, что ЧХ - это зависимость скорости счета выходных интерференционных.линий в ЛГ в зависимости от скорости его вращения. Хотя в идеальном пределе, в силу эффекта' Саньяка, эта зависимость долина быть линейной, на самом деле она является нелинейной из-за обратного когерентного рассеяния на зеркалах [67, 68]. Указанное рассеяние приводит к тому, что ЛГ "не замечает" достаточно малых скоростей вращения - отсутствует движение интерференционных полос на выходе К1, по скорости которых и судят о скорости вращения. КЛ. Этот дефект ЛГ (так называемая статическая зона синхронизации) считался главным препятствием в развитии лазерной гироскопам, пока не было предложено [78] подвергать КЛ крутильным вибрациям вокруг оси контура резонатора (частотным подставкам - ЧШ - для того, чтобы . искусственно вывести КЛ из области малых угловых скоростей вращения, а вместе с тем и из зоны нечувствительности.

Точность ЛГ после введения ЧП значительно повысилась, но из-за конечности амплитуды ЧП остаточные дефекты у ЧХ все-таки сохранились - некоторая непропорциональность между скоростью движения выходных интерференционных полос и скоростью вращения КЛ. Эта непропорциональность называется нелинейностью ЧХ. Точнее, речь может идти о двух типах остаточной нелинейности: (а) мелкомасштабные осцилляции ЧХ (как функции от скорости вращения ЛГ) с частотой, равной частоте периодической компоненты ЧП; (б) крупномасштабная -нелинейность ЧХ - с масштабом, сопоставимым с

амплитудой ЧП.8

Если ЧП чисто периодическая, то . мелкомасштабные неоднородности имеэт вид (яюгочисленных "полочек" (так называемых динамических зон синхронизации), похож* на исходную статическую зону синхронизации„ только значительно меньшего размера. Гладкая лилия, проведенная через середины этих зон, и определяет вид крупномасштабной неоднородности ЧХ. При наличии умеренной шумовой компоненты ЧП углы динамических зон могут быть в значительной мере сглажены , но их центры, определялдие крупномасштабную нелинейность ЧХ, остаются на своих прежних местах [79, 80]. А поскольку случайная кошонекта ЧП привносит • я нежелательное случайное блуждание выходного сигнала ЛГ ( и потому цумовая компонента всегда ограничена), то крупномасштабная нелинейность -это практически неустранимый остаточный дефект ЧХ, зависящий тольхо от форш и амплитуды ЧП.

Путь борьбы с нелинейностью ясен - надо уметь ее хотя бы оценивать, в зависимости от амплитуды и формы ЧП, и на базе этих' оценок оптимизировать форму ЧП по нелинейности выходной ЧХ. Ясен и более радикальный способ борьбы с нелинейностями ЧХ - надо уметь их аналитически вычислять, что позволит их вычитать из выходных данных ЛГ (так называемая алгоритмическая компенсация). Это вычисление оказалось очень непростой математической задачей, и ее решение создавалось поэтапно работами многих авторов. В случае чисто периодической ЧП это бьиш работы [81 - 86]. Однако, поскольку эти работы либо носили пионерский характер, либо были посвящены решети фундаментальных проблем в рассматриваемой

83десь предполагается, что see невзаимности в ЮЗ измеряются в частотах соответствующей расстройки контура резонатора.

задаче, их результаты, как правило, формулировались в вщ неудобном для практических приложений: либо громоздко (например, виде рядов или двойных интегралов сложного - вида), лз недостаточно обао, что исключало применение результатов в р; важных практических случаев. Различные подхода, как правило, доводились до взаимного сопоставления, а иногда имелись и окибы итоговых формулах. (Подробный анализ работ дак в гл. XI).

Перечисленные выше обстоятельства требовали существен; модернизации в теории ЧХ, которая и бша вшолнэка в раба автора [20 - 28] (применительно к случав чисто . периодичеа подставки) и в работе автора [873 (применительно к случав кал>т шумовой компоненты ЧХ). Изложение этой модернизированной теории в части, касавдейса периодической ЧП, и составляет основ: предмет гл .XI. Попутно там излагаются упоминавшиеся выше эффег: обнаруженные в процессе работы над модернизацией теории: влия: острий у огибшодях ЧП, наличие ЧП с повышенной линейностью ЧХ т.д. Удалось получить заметное продвижение в вычислении ЧХ: ряд громоздкие двойные интегралы удалось довести до однократ интегралов сравнительно простого вида, берущихся в элекеггтарг функциях в целом ^адо практически важных случаав.

Указанные продвижения в вычислении ЧХ, излагаемые в гл./ достигнуты в основном за счет использования ьалых параметр* возникающих в реальных задачах лазерной гиросколии в связи с т< что процессы в ЛГ носят характер быстрых осцилляций. Ода получение (с помоаьв этих малых параметров) обозри аналитических формул потребовала большого объема асимптотичес: расчетов, как и в ч.ч. 1,2.

В рсзВем ВИЮМ сфоряулиробаны основные результаты работ

1, Ревела поставленная Р .Курантом проблэиа последователь-

кого описания линейного взаимодействия волновых иод в трёхиерно-плавно-небднородяой среде, включая и описание взаимодействия попутных волновых мод, и описание расщепления лучей (двулучепрело-иления), я описание золя до и после расщепления лучей; представленная теория содержи в себе, как частные или предельные случаи, зсо теория, ранее имевпизся в згой области (Рытоза, Паули - Гала-иш:а, Баддена, Куранта, Кравцова).

2„ Развитая геория конкретизировала в отнопекии уразнений Максвелла в трёхмернояеоднороднкх средах с непрерывным переходом эт изотропии к анизотропии; з частности, применительно к магнито-зктивной плазме получзяы выражения для полей и для коэффициента }заииной линейной трансформации обыкновенной и необыкновенной электромагнитных волн на участке квазипоперзчного распростране-шя, с учётом трёхмерной неоднородности; применительно к трёхмер-ю-плазно-неоднородным анизотропным прозрачны:.! тзёрдим телам предсказан и рассчитан новый оптический эффект - касательная комическая рефракция.

3. Развитая обцая теория применена в отношении акустических сравнений в трёхмерно-плавно-неоднородных анизотропных средах (з

>м число в изотропных, но кеоднородно-напрпкёкннх средах); покато, что в случаеслабои акустической анизотропии взаимодействие юпаречных акустических воли полностью идентично взаимодействуя ■быкновенних и необыкновенных голн в электродинамике, - в частости, в акустике доляны быть аналоги эщректа квазипопервчного аспространзния и касательной конической рефракции.

Развитая общая теория применена в отношении уравнений аули в трёхыерноиаоднородноы цагяигноы поле; з результате этого олучено последовательное кзанговоиехакаческое описание з^екта терна - Герлаха с иллюстрацией на примере нейтронных пучков.

5. Показано, что из существующих астрофизических данных по

поляриметрическим наблюдениям огразательных туманностей следует экспериментальное подтвераденис принципа эквивалентности для электромагнитного поля, во втором порядке по Ньютоновской гравитационном константе.

6. На основе штода Боголюбова - Крылова (метода усреднения) получены простые квадратурные формулы дли частотной характеристики лазерного гироскопа, содераащего периодическую частотную "подставку" с произвольной формой огибающей и амплитудой, много большей частоты коммутации подставки; получены аналитические выражения для частотной характеристики в ряде вакнейших случаев, и на згой основе предложены формы частотной "подставки", оптимизированные как по распределению ширим зон синхронизации, тан и по крупноиаситабкой нелинейности частотной характеристики.

В Приложении приводятся детали математических методов, которые используются в работе.

МТЕ?№?А

1, О.Н.Найда . О возможности проверки принципа эквивалентности (для электромагнитного поля) во втором порядке по Ньютоновской гравитационной константе.- Письма ЖЭТФ, 1968, т. 8, в. 2, стр. 110 - ИЗ.

2. О.Н.Найда. Наблюдаемые эффекты в релятивистских тензорных теориях гравитации в плоском пространстве.- ДАН СССР, 1969, т. 186, КЗ, стр. 560 - 563.

3. О.Н.Найда. О распространении электромагнитных волн в анизотропной неоднородной среде со сферической симметрией. - Изв. ВУЗ"ов: Радиофизика, 1969, т.12, Н. стр.569 - 572.

4. О.Н.Найда. О решениях уравнений "квазиизотропного"

приближения геометрической оптики. - Изв. ВУЗ"ов: Радиофизика* 1970, т.13, 155, стр.751 - 765.

5. О.Е.Найда. О поправках к поляризации нормальных волн. -Изв. ВУЗ"ов: Радиофизика, 1971, т. 14, №12, стр.1843 - 1856.

6. О.Н.Найба. К проблеме предельной поляризации. -- Изв. ВУЗ*03: Радиофизика, 1972, т.15. 1га, стр.751 -765.

7. О.Н.На&да. О ''сшивании* нормальных волн и решений квазгетзотротгсго, приближения.-Изв. ВУЗ'ов, Радиофизика, 1974, т. 17, J?5, стр. 895 - 901.

8. О. Н. Лайда. Метод квазиизогролной асимптотики для электромагнитных ваян в двикутдахся средах. - Изв. ВУЗиоа: Радиофизика, 1974, т.17, стр. 1333 - 1850.

9. З.А.Кравцов, О.Н.Вайда. Линейная трансформация электромагнитных волн на участке квазияопербчяого распространения в трехмернонеоднороднсй кагаитоактивной плазме.- 1ЭТФ, 1976, т. 71, п. 1(7), стр. 237 - 243.

10. О.Н.Яайда, Л.Г.Лрудкобский. Итерационный метод иазтакдеютя аснштотики решения систем (-ih -gj i- А(х, t, - ih —¿у) )U * 0 яря h ■» 0 s'случае характеристик переменной кратности.- ВИНИТИ, I? roc. per. 76022560, Москва, 1976.

11. О.Я.Еаййа. Равномерная геоиетрооптаческая аппроксимация .rjmeihim систем вдоль лучей переменной кратности.- Изв. ВУЗ'йв, Радиофизика, 1977, т. 20, JS3, стр. 333 - 398.

12. О.П.Найда, А.Г.Прудковстй. Кетод ЕКБ дня системы a a

(-ih -^j + A(x,t, - ih -¿у))U = 0 в случае характеристик

переменной кратности.- Дифференциальные уравнения. 1977, т. 13, №, стр. 1673 - 1691.

13. О.Н.Найда. Лучевое приближение в акустика неоднородных анизотропных сред.- ДАН СССР, 1977, т. ¿35, №4, стр. 842 - 845.

14. О.Н.Яайда. Геометрическая акустика трехмернонеоднородных

анизотропных"сред,- Акуст. я., 1978, т. 24, в. 5, стр. 731 - 73?

15. О. Н.НаОда, А.Г.ПруВкобский. К квазиклассическо: описании поляризации нейтронов в неоднородном магнитном поле.- $ 1978,. т. 23, в, 6(12), стр. 1560 - 1568.

16. А.Г.Пру&ховкий, О.И.КаШх. Лучевой метод расче1 электромагнитных волн для неоднородной анизотропной ср (учитывавдий. поляризационное вырождение). - Исследования геомагнетизму, аэрономии и физике-Солнца, 1978, в.44, стр.23 -

17. О.Н.Найда. К геометрической оптике трехмернонеоднорода анизотропных сред.- Радиотех. и электрон., 1978,, т. 23, М2, с 2489 - 2493.

18. О.Н.Найда, Я.А.Слюродинский. Оптическая изотро! пространства и ее связь с принципом эквивалентности.- ЙЭТФ, 1? т. 76, в. 4, сгр. 1153 - 1161.

19. О.Н.Найда. "Касательная" коническая рефракция трехмернонеоднородной слабоанизотродной среде.- ЖЭТФ, 1979, т. в. 2(8), с. 471 - 482.

20. О.Н.Найда. О частотной характеристике кольцевого лаз с периодической частотной подставкой трапецеидальной фор Электрон, техника* сер. И, Лазерная техника и олгоэлектрот 1586, в.2(38), стр. 49 - 63.

21. В. Л.Голове, Ю.В.Колбас, О.Н.Найда, Г.И.Телег С.0.Ярелэнко'. Кольцевой интерферометр. Заявка на -' изобрет №4409382 от 11 апреля 1938 г.

22. О.Н.Найда, В.В.Рудэнко. Частотная характерно! кольцевого лазера с частотной подставкой синусоидальной фор« большой амплитуда.- Электрон, техника, сер. 11, Лазерная техга оптоэлектрониха, 1988, №4(48), стр. 68 - 80.

23. О.Н.Найда. К вопросу о положении "полочек синхрониза в кольцевых лазерах с пилообразными колебаниями подста

Радиотехн. и электрон., 1989, т. 34, М, стр. 162 - 168.

24. O.H.RaODa, В.В.РуОвнко. Частотная характеристика кольцевого лазера с периодическими частотными подставками треугольной формы,-Электрон, техника, сер. 11, Лазерная, техника и оптоэлектроника, 1989, »2(50), стр. 21 - 25.

25. О.И.Иаййа* Б.В.Руденко. Частотные характеристики кольцевого лазера при больших амплитудах периодической частотной подставки.- Кв. электрон., 1989, т. 16, W7, стр. 1308 - 1314.

26.' О .Я.Найда, В.В.Рудвнко. Частотная характеристика кольцевого лазера с периодической- частотной подставкой трапецеидальной. формы.- Электрон, техн., сер. 11,- Лазерная техника и оптоэлектроника. 1990, в. 1(53), стр. 83 - 94.

2?. О.Я.Найда, В.В.Рудвнко. Периодическая частотная подставка кольцевого лазера, обеспечивающая максимальную линейность его частотной характеристики.- Электрон, техника, сер. И, Лазерная техника и оптоэлектроника, 1990, в. 4(56), с.75 - 82.

28. О.И.Найда, В.В.Рудвнко. Алгоритмическая компенсация нелинейности частотной характеристики кольцевого лазера.-Электрон, техн., сер. 11, Лазерная техника и оптоэлектроника. 1991, в.1 (57), с.83 - 92.

29. A.Zomerfeld, J.Runge. - Anil. d. Phys., 1911, 35, 277.

30. G. Wentze!, Z. Phys., 1926, 39, 518.

31."X. Brillouin. Compt. Rend., 1926, 183, 24.

32.,A. Kramers. 2. Phys., 1926, 39, B2&.

33. P. Debye. Physics, 1927, 23, 170.

34. P. Debye. Polar molekules. - NY, 1929.

35. С.М.Ртов. ДАН СССР, 1938, т. 18, 263.

36. Л.Л.Ландау, Л.И.Лифшц. .Квантовая механика.- М.; >изматгиз, 1963.

37- Л.Д.Ландау, Е.М.Лцфшм,. Электродинамика сплошных сред.-М.: Физматгиз, 1957.

33. В.Л.Гиявбург. Распространение, электромагнитных волн а плазма.- И. : Наука, 1967.

39. Р.Курта.. Уравнения с частными производными.- М. : Мир,

.1964.

40. В.Ш.Бабич, В.С.Булдырев. Асимптотические метода в задачах дифракции коротких волн.- М.: Наука, 1972,

41. К.С.Bodden. Ргос. Roy. Soc. А., 1952, 215, 215.

42. K.G.Budden. Radio vawes in the ionosphere.- 'Cambrige,

1961.

43. В.Л.Кравцов. - ДАН СССР, 1968, 133, 74.

44. Ю.А.Кравцов, Ю.И.Орлов. . Геометрическая оптика неоднородных сред. - М.: Наука, 1380.

-е. EXStiickelberg. Helv. Phys. Acta, 1932, 5, 369.

46. И.Г.Денисов. - Уч. зап. ГЕУ, сер. физ.,1957, 35, 3.

47. В.В.Хелдзняков. - йзв. БУЗ'ов, Радиофизика, 1958, 1, 32.

48. В.В.Железняков. - Изв. БУЗ'ов, Радиофизика, 1959, 2, 858,

49. В.В.Хвлезшсков. Радиоизлучение Солнца и планет - И.: Наука, 1964.

50. В.В.Желвэняков. Распространение электромагнитных волн i космической плазме. - М. : Наука, 1977.

51. Н.С.Ерохш, С.С.Моисеев. Ш, 1973. 109, 225;

52. М.В.Федорюк. Асимптотика: интегралы и ряды.- М.: Наука,

1987.

53. Я.Н.Боголюбов, Ю.А.Мшротюлъский. Асимптотические метод в теории нелинейных колебаний,- И.: Наука, 1954.

54. В.В.Зелезкгков, Е.Я.Злотих. - Астрон. ж., 1963, 40, 633

55. В.В.Хелезняков, Е.Я.Злоттк. ~ Изв. ВУЗ"ов: Радиофизика 1977, 20, 1444.

66. В.В.Хелвзюков. %Mi, 1977, 73, 560.

57. V.Pauli. - Helv. Phys. Acta, 1932, 5, 179.

58. A.D.Galanin. ~ Journal of Physics of USSSR, 1942, 6, 35.

59. L. de Brouglie. La Theorie der particles de Spin 1/2. -Paris. 1952.

60. S.I.Rubinov, J.B.Keller. - Phys. Rev., 1963, 131, 2789.

61. А.И.Ахиэзвр, В.Б,Бересп$цяий. Квантовая электродинамика.-М.: Наука, 1969.

. 62. Д.С.Лукин, Ю.Г'.Спиридоноб. - В сб.: Лучевое приближенна и вопросы распространения радиоволн. - М.: Наука,. 1971, с.265. 63, Ы.Л.Лебт, С.М.Рьтов. - Акуст. ж.,1956, 2, 173. 64- R.Courant, P.D.Lax. - Proc. Nat. Acad. . U.S., 1956, ,42,

872.

65. P.D.Lax. - Duke. Math. J,, 1957, 24, 627. $6. Л.А.Апресян, В.А.Кравцов, Ю.Я.Ятн, В.А.Яшов. - Изв. ВУЗ'ов, Радиофизика, 1976, 19, 1296.

67. Ф.Ароновиц. Лазерные гироскопы,- а сб. "Применение лазеров", М.: Наука, 1974, стр. 182-269.

68. С.Г.Зойгвр, Ю.Л.Клшюнтович, П.С.Ланда, Е.Г.Ларионцев, Э.Е.Фрадкин. Волновые и флуктуационные процессы в лазерах.- М.: Наука, 1974.

69. В.В.Кучеренко. - Изв. АН СССР, сер. мат., 1974, 39,646.

70. В.U.Бабич. Вопросы динамической теории сейсмических волн, 1961, вып.5, стр.36.

71. Л.Л.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля.- И.: Наука, 1988.

72. Ф. И. Федоров. Оптика анизотропных сред. - Минск: Изд. АН СССР, 1958.

73. J.Plebmski. - Phys. Rev., 1960, 118, 1408.

74> A.M.Волков, А.А.Излвстъев, Г.С.Скроцхий. ЖЭТФ, 1970, 50,

C.Brans, R.B.Dicke. Phys. Rev., 1961., 124, 925.

76. Я,В.Зельдович, %.Д.Яо&ико&. Релятивистская астрофизика. -М.: Наука, 1974.

77. Л.Capaila. - Huovo cimento, 1966, 42, 321.

78. E.J.Mo Cartney. - Kavlgation (USA), 1966, 13, 260.

79. И.К-Хспзвв. - "Радиотехн. и электрон.", 1979, 24, 1141.

80. Н.И.Хошв, - Кв.электрон., 1980, 7, 353.

81. B.S.Кцряпоб-. Й.С.Ланеа, Е.Г.Лариощов. - Изв. ВУЗ'ов, Радиофизика, 196S. И, 1839.

82. Г.С.КруглпКс В.Г.Пеапов, В.Р.Поиро&стЛ, А.А.Куцак. -ШС, 1970, 12, 432; 1970, 13, 913.

83. ИМ.Хатв. - Радиотехн. н электрон., 1977, 22, 135, 313..

84. A.&ambiny,, S.Stenbolm. -Phys.Rev. А, 1985, 31, 329, 3741. (S. Я.А.Ватиюн,.В.Б.Наухоб, А.Ф.Савушких, Е.Н.ТрспшНг - Кв.

электрон. , '1986, 13, 1638. .

• 86. A.M.Хрома. ~ Электрон, техн., сор. 11, Лазерная техника • ©птоздактроника, 1990, в. 1(53), стр.76-83.

87. О.Я.Лайда, А.В.Чцбарь. Частотная характеристика кольцевого . лазера с фильтрованной иумовой ( частотной подставкой,-Электрон, техника, сер. 11г Лазерная тохшкд в одтозлектроника, 1990, в. 3(Б5), стр. ^ 9 .