Приближение функций полиномами и всплесками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. //^ ^Ск " » " ^ ¿С^ it ^

Обозначения. // яГ ¿С5^

1 Линейные метода^^^мйрЪ^шя рядок ^ /j

1.1 Обобщенные точки JT^ra. . . . . MQ^i/.

1.2 Суммируемость рядов Фуръе%^©^бще1ш5®гл^^говмх множествах. м.

1.3 Рост частичных сумм ряда Фурье.

1.4 Константы Лебега.

1.5 Принцип локализации.

1.6 Суммируемость двойных рядов Фурье в индивидуальной точке.

1.7 Квадратные линейные средние с гиперболическими множителями.

1.8 Расходимость линейных методов суммирования рядов Фурье.

2 Периодические всплески.

2.1 ПКМА и масштабирующая последовательность.

2.2 Порождающая функция.

2.3 Биортогональные базисы сдвигов и пространства всплесков.

2.4 Разложение функций по системам всплесков.

2.5 Прямые и обратные теоремы.

2.6 Нормы полиномов по системам всплесков.

2.7 Многомерные всплески.

3 Приближение функций алгебраическими полиномами и квазиполиномами.

3.1 Полиномиальные базисы Шаудера в пространстве С[— 1,1].

3.2 Приближение квазиполиномами на выпуклых компактных множествах.

3.3 Квазиполиномы Бернштейна.

Работа посвящена исследованию связей между различными аппроксима-ционными и структурными свойствами функций одной и нескольких переменных. В трех главах диссертации изучаются соответственно три аппарата приближения: тригонометрические полиномы, всплески и алгебраические полиномы.

Большая часть первой главы посвящена кратным рядам Фурье. Многие вопросы суммируемости рядов Фурье, хорошо изученные в одномерном случае, остаются открытыми для многомерного. Более того, сами одномерные постановки задач неоднозначно распространяются на кратный случай. Это связано в первую очередь с тем, что понятие суммы кратного ряда зависит от способа образования частичных сумм. Обычно рассматриваются кубические, прямоугольные или сферические суммы. Среди многочисленных математиков, изучавших такие методы суммирования, можно назвать имена: Г. Харди, Л. Тоннели, А. Зигмунд, Й. Марцинке-вич, Е.М. Стейн, С. Фефферман, П. Шолин, А.А.Талалян, Ш.А.Алимов, Л.В.Жижиашвили, К.И.Бабенко, В.А. Ильин, С.В.Конягин, Р.М.Тригуб, Б.И. Голубов, Л.Д.Гоголадзе, М.И.Дьяченко, И.Л.Блошанский. Не менее естественно рассматривать частичные суммы, состоящие из гармоник, с номерами из гомотетов некоторого фиксированного множества. Для широкого класса множеств редко удается получать конкретные результаты, т.к. геометрические свойства границы множества существенно влияют на аппроксимационные свойства соответствующих методов суммирования. В связи с этим представляет интерес изучение многогранников, которые достаточно многообразны, но их границы обладают сходными геометрическими свойствами. Суммирование рядов Фурье по многогранникам мало изучено, хотя рассматривалось в общем и частном случаях рядом авторов (Д. Херриот [5], И.К.Даугавет [15], А.Н.Подкорытов [4], С.П.Байбародов [13], Х.Беренс, И. Шу [6], Г.Травалини [16], А.А.Юдин, В.А.Юдин [17] и др). В первой главе диссертации для таких линейных методов суммирования исследуются вопросы суммируемости почти везде (§ 1.2), вычисления констант Лебега (§ 1.4) и принцип локализации (§ 1.5). С другой стороны, структурные характеристики функций одной переменной тоже неоднозначно распространяются на функции нескольких переменных. Так, например, точки Лебега имеют два естественных обобщения: х является слабой точкой Лебега функции /, если

-М]« х является сильной точкой Лебега функции /, если

11 Ь,^ о'^о га / • ■• ■ / 1/<* + - ><*)! * = (°л> гх зир 1 [ . [ \}(х + I) - !(х)\<И < со. (0.2)

11>0,.,/1<г>0 (Ь\. .п<1 3 3

Сильные точки Лебега были введены и изучались Э.С.Белинским [2] . Из его результатов следует, что, как и в одномерном случае, каждая такая точка принадлежит множеству сходимости многомерных сумм Фейера. Однако эти точки не наследуют другого замечательного свойства: лебегово множество любой суммируемой функции одной переменной имеет полную меру. Это свойство распространяется на слабые точки Лебега. Поэтому представляет интерес проинтерполировать эти два понятия и найти точки, для которых имеют место оба свойства. Введению таких обобщенных точек Лебега и изучению полноты меры обобщенного лебегова множества посвящен § 1.1. В § 1.2 и § 1.3 соответственно исследуется суммируемость и рост частичных сумм ряда Фурье на обобщенных лебеговых множествах. В § 1.6 рассматриваются линейные методы суммирования однократного ряда Фурье, "близкие" к частичным суммам. На такие методы распространяется теорема Колмогорова о существовании функции с расходящимся везде рядом Фурье.

В главе 2 мы предлагаем новый подход к периодическим всплескам и изучаем их аппроксимационные свойства. Всплески (wavelets) стали объектом активных исследований около десяти лет назад в связи с эффективностью их приложений и развитием теории, основанной на работах И.Мейера [42] и С.Маллата [36], где было введено понятие кратномас-штабного анализа (multiresolution analysis), посредством которого удалось описать базисы всплесков в и найти методы их построения. Периодические всплески стандартно определяются как периодизированные всплески в L/2 (М). Такой подход к периодическим объектам не очень естественен, тем более, что в литературе расс^дхршгШй^ь^ериодические всплески (например, в работе С.К. Чуи,\\Х.Н^Л^скаюа "[37]), которые не подходят под такое определение. Определение крйтномас'штабного анализа периоди

1\ % \ 5 Й г, \\ ческих функций (далее ПКМА) .предлагалось рядом авторов (С.К. Чуй, \ Л V.

Ж.З.Ванг [38]; В.А.Желудев [39]|\ф.С^ГЬн, ©З'Ли, ЖШен, В.С.Танг [41]; \ % \

А.П.Петухов [40] и др.), но по разным п|шчингф: жа основании этих опреде % \ % U лений не удается построить аналогЫеор|р\вспдес1й>в ВЗ^(Е). Мы предла \ & \ \ гаем альтернативное определение ШйМАзш исвйльвуя оке схему, что и в непериодическом случае, даем описание б^исов^йфиод|йч£ских всплесков и метод их построения (§§ 2.1-2.3). В §§ 2.4, 2:5 изучаются разложения периодических функций по системам всплесков, исследуется сходимость этих разложений, доказываются прямые и обратные теоремы. В § 2.6 изучается свойство квазиматричности для систем всплесков.

В главе 3 рассматривается задача, поставленная П. JI. Ульяновым [54] в 1961 г.: какой можно сделать минимальный рост степеней многочленов, образующих базис (или ортогональный базис) Шаудера в пространстве С[а, &]? Исследования многих авторов посвящены этой проблеме. В 1914 г. Г. Фабер [56] доказал, что не существует последовательности алгебраических многочленов Рп степени го, образующих базис Шаудера в С[а,Ь], В [57] Ал. А. Привалов усилил этот результат, показав, что если Рп образуют базис Шаудера в С[а, 6], то существует такое е > 0, что степень Рп не меньше го(1 -f-s) для п > по- А в [58] он установил окончательность этой оценки, построив пример полиномиального базиса Шаудера, степени которого растут не быстрее, чем п(1 + е). Однако этот базис не был ортогональным. Параллельно рассматривалась аналогичная задача для тригонометрических полиномов. Ее удалось решить благодаря использованию всплесков. Д. Оффин, К. Осколков [47] заметили, что незначительная модификация всплесков Мейера дает ортогональный базис Шаудера, в котором степень полиномов лишь в два раза превышает минимальную. Заменив обычное всплеск-разложение на пакет всплесков, Р. А. Лоренц, А. А. Саакян [59] окончательно решили задачу для тригонометрических полиномов. Перенести этот результат на отрезок с помощью стандартного метода индуцированных функций не удается. В работе Т. Килгоре, Я. Престина, К. Селиж [60] задача решена для алгебраических многочленов, ортогональных с весом Чебышёва первого рода. Для многочленов, ортогональных без веса вопрос оставался открытым. Бе решению посвящен § 3.1. Идея построения базиса заимствована из [59]. Реализацию этой идеи осложняли следующие обстоятельства. Определение базисов всплесков (пакетов всплесков) связано с конструкцией кратномасштабного анализа, состоящего из пространств, инвариантных относительно сдвига. При обычном понимании оператора сдвига его нельзя рассматривать на пространствах функций, заданных на отрезке, т.к. сдвиг выводит за пределы пространства. Мы вводим обобщенные операторы сдвига так, что сохраняются все необходимые свойства сдвига, в частности, сдвиг алгебраического многочлена есть многочлен той же степени. Кроме того, используется подход к периодическому кратномасштаб-ному анализу, изложенный в § 2.1, вместо стандартного (периодизации кратномасштабного анализа в Ь2(Щ). При таком подходе понятия кратно-масштабного анализа и всплесков естественным образом распространяются на произвольное гильбертово пространство.

В §§ 3.2, 3.3 изучается аппроксимации функций, непрерывных на компакте. Хорошо известно, что функции, непрерывные на отрезке, могут быть приближены алгебраическими многочленами так, что вблизи концов отрезка имеет место улучшение сходимости. Этот эффект, замеченный С.М.Никольским [64], исследовался многими математиками. В современном варианте (Х.Дальгауз [65]) он формулируется так: существует последовательность линейных операторов Тп, действующих из 1,1] в множество полиномов порядка те, п > Зг + 3 такая, что и-тпП*)\ < С(г) (0.3) при всех 5 = 0,1,. , гшп(г, г — + 2) и ж £ [—1,1]. В качестве обобщения этого утверждения на функции нескольких переменных, заданные на компакте, естественно ожидать соотношения типа (0.3) с улучшением сходимости вблизи всей границы компакта. Для этой цели не годятся алгебраические многочлены. Мы получили несколько результатов такого рода, используя в качестве аппарата приближения квазиполиномы. Переходим к обзору содержания диссертации по главам. Введем основные обозначения: Zd - соответственно d-мерные евклидово пространство, единичный тор и целочисленная решетка, Т - множество линейных невырожденных преобразований пространства Rd. Если / Е L(Rd) или / G L2(Md), то / ~ преобразование Фурье функции /, если / Е L(Td) то /(/г) - коэффициент Фурье функции / с номером к Е Zd. Если / G С(Л), то u(f,h) = sup|f(y) - f(x)|, где супремум берется по всем х,у Е Л, \х - у\ < h.

1. Gusman М. Differantiation of integrals in Rn. 1975. Springer-Verlag.

2. Белинский E.C. Суммирование кратных рядов Фурье в точках Лебега. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения" 1975. N 23. С. 3-12.

3. Saks S. On the strong derivatives of functions of intervals. Fund. Mat. 1935. V. 25. P.245-252.

4. Подкорытов A.H. Суммирование кратных рядов Фурье по полиэдрам. Вестник Ленингр. ун-та. 1980. N 1. С. 51-58.

5. Herriot J. G. Norlund summability of multiple Fourier series. Duke Math. J. 1944. V. 11. P. 735-754.

6. Berens H., Xu Y. Fejer Means for Multivariate Fourier series. Math. Z. (to appear)

7. Marcinkiewicz J. Sur une methode remarque se sommation des Fourier series in the Lebesgue points. Scuola Norm, up di Pisa. 1939. V. 8. N 2. P.149-169.

8. Жижиашвили Л. В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича. Изв. АН СССР, сер. мат. 1968. Т. 32. N 3. С. 1112-1122.

9. Дьяченко М. И. (С, а)-суммируемость кратных тригонометрических рядов Фурье. Сообщ. АН ГССР. 1988. Т.131. N 2. 261-263.

10. Конягин С.В. О расходимости подпоследовательности частных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье. Труды МИАН. 1989. Т. 190. С. 102-116.

11. Golubov B.I. On Abel-Poisson type and Riesz means. Analysis Mathematica. 1981. N 7. C. 161-184.

12. Подкорытов A.H. Порядок роста констант Лебега сумм Фурье по полиэдрам. Вести. Ленингр. ун-та. 1982. N 7. С. 110-111.

13. Байбородов С.П. Константы Лебега многогранников. Матем. заметки. 1982. Т.32. С. 617-822.

14. Подкорытов А.Н. Об асимптотике ядер Дирихле сумм Фурье по многограннику. Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1986. Т.149. Стр. 142-149.

15. Даугавет И.К. О постоянных Лебега для двойных рядов Фурье. Методы вычислений, вып. 6. Изд-во ЛГУ. 1970. С. 8-13.

16. Travaglini G. Fejer kernels for Fourier series on TP and compact Lie groups. Math. Z. 1994. V.216. P. 265-281.

17. Юдин А.А., Юдин В.А. Многоугольные ядра Дирихле и рост констант Лебега Матем. заметки. 1985. Т. 37. N 2. С. 220-236.

18. Tonelly L. Serie Trigonometriche. Bologna. 1928.

19. Goffman G.L., Liu Fon-Che. On the localization property of square partial sums for multiple Fourier series. Stud. Math (PRL) 1972. V.44 N 1. P.61-69.

20. Trigub R.M. Integrability and asymptotic behavior of Fourier transform of radial functions. Metric problems of theory of theory of functions and mappings. Kiev: "Naukova Dumka" 1977. P. 142-143.

21. Hardy G.H. Divergent series. Oxford Univ. Press. London. 1956.

22. Peyerimhoff A. Uber einen Vergleichssats fur Norlundverfarhern. Archiv Math. J. 1967. V 18. N 6.

23. Baron S. Introducyion to the theory of summability of series. Valgus. Tallin. 1977

24. Baron S. Theorems on summability factors for Aa methods. Tartu Ulik. Toimetised. 1970. V 253. P.165-178.

25. Gooke R.G. Infinite Matrices and Sequence Spaces. Dover. New York. 1967.

26. Жук В.В. Сильная аппроксимация периодических функций. Изд-во Jle-нингр. ун-та. 1989.

27. Izumi S., Matsuyama N., Tsuchikura Т. Some negative examples. Tohoku Math. J., 1953, N 5. P. 43-51.

28. Ульянов П.JI. О локальном свойстве сходимости рядов Фурье. Учен. Зап. Москов. Унив. Мат. 1959. Т 9. N 186. С. 71-82.

29. Kivinukk A. A. A certain method for approximation of functions of several variables Mat. zametki. 1976 V. 20. N 4. P. 597-604.

30. Ильин В.А. Обобщенный принцип локализации для риссовских средних, отвечающих произвольному самосопряженному неотрицательному расширению оператора Лапласа. Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. N 7. С.1159-1169.

31. Блошанский И.Л. Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье. ДАН СССР. 1978. Т. 242. N 1. С. 11-13.

32. Блошанский И.Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости пости всюду кратных рядов Фурье функций из Ь\, равныхнулю на данных множествах. Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. Т. 153. N 4. С. 675-707.

33. Белинский Э.С. Поведение констант Лебега для некоторых методов суммирования кратных рядов Фурье. Метрические вопросы теории функций и отображений. Наукова Думка. Киев. 1981. С. 49-70.

34. Стейн И. Вейс. Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир. 1974.

35. Daubechies I. Ten Lectures on wavelets. CBMS-NSR Series in Appl. Math., SIAM. 1992.

36. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets. Trans. Amer. Math. Soc. 1989. 315. P. 69-88.

37. Chui C.K.and Mhaskar H.N. On trigonometric wavelets. Constr. Approx. 1993. V. 9. P 167 190.

38. Chui C.K. and Wang J. A general framework of compact supported splines and wavelets. J. Approx. Th. 1992. V. 71. P. 263 304.

39. Zheludev V.A. Periodic splines and wavelets. Proc. of the Conference "Math. Analysis and Signal processing", Cairo, Jan. 2-9, 1994.

40. Петухов А.П. Периодические всплески. Математ. Сборник (в печати).

41. Gon S.S., Lee S.Z., Shen Z, Tang W.S. Construction of Schauder decomposition on Banach spaces of periodic functions, (to appear).

42. Meyer Y. Ondelettes. Herman, Paris. 1990.

43. A.P.Calderon, Zygmund A. Local properties of solutions of elliptic partial differential equation. Studia Math. 1961. V.20. P. 171-227.

44. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. T.l. М.: Мир. 1965.

45. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир. 1965.

46. Новиков И.Я., Всплески мейера оптимальный базис в С(0,1). Матем. Заметки. 1992. Т 52. С. 88-92.

47. Offin D., Oskolkov К., A note on orthonormal polynomial bases and wavelets., Constr. Appr. 1993. V9. N 2-3. P.319-325.

48. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982.

49. Lorentz G.G., Approximation of functions. Holt, Rinchart and Winston, Inc., 1966.

50. Кашин B.C., Темляков B.H О наилучших т-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве L1. Матем. заметки. 1994. Т. 56, в.5. С. 57-86

51. Кашин Б.С. О тригонометрических полиномах с коэффициентами по модулю равными нулю или единице. Труды 3-й Саратовской зимней зимней школы, ч.1. 1987. С. 19-30

52. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: "Наука". 1984.

53. Kelly S.E., Коп М.А., Raphael L.A. Local convergence for Wavelet Expansions. Preprint. 1994.

54. Ульянов П.Л. О некоторых решенных и нерешенных проблемах теории ортогональных рядов // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Т.2. Л.: Изд-во АН СССР. 1964. С. 694-704.

55. Ульянов П.JI. О некоторых результатах и задачах из теории базисов // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1989. Т.170. С. 274-284.

56. Faber G. Uber die interpolatorische Darstelung stetiger Functionen // Jahresber Deutsch. Math.-Verein. 1914. V.23. P. 192-210.

57. Привалов Ал. А. О росте степеней полиномиальных базисов. // Матем. заметки. 1990. Т.48. В.4. С. 69-78.

58. Привалов Ал. А. О росте степеней полиномиальных базисов и приближении тригонометрических проекторов // Матем. заметки. 1987. Т.42. В.2. С. 207-214.

59. Lorentz R.A., Sahakian A.A. Orthogonal trigonometric Shauder bases of optimal degree for С(0,2тг) // J. Fourier Anal. Appl. 1994. V. 1. N 1. P. 103-112.

60. Kilgore T., Prestin J., Selig К. Orthogonal algebraic polynomial Shauder bases of optimal degree // J. Fourier Anal. Appl. 1996. V.2. N 6. P. 597-610.

61. Cere Г. Ортогональные многочлены. M.: Физматгиз. 1962.

62. Chanillo Sagun, Muckenhoupt Benjamin. Weak type estimates for Cesero sums of Jaconi Polynomial series // Mem. Amer. Math. Soc. 1993. V.102. N 487. P.l-90.

63. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия, 1968. N 1. С. 11-23.

64. Никольский С.М. О наилучшем приближении многочленами функций; удовлетворяющих условию Липшица. Изв. АН СССР, сер. матем. 1946. Т.10, N 4. С. 295-317.

65. Dalhaus H. Pointwise approximation by algebraic polynomials. J. Approx. Theory. 1989. V.57, N 3. P. 241-245.

66. Брудный Ю.А. Приближение функций, заданных на выпуклом многоугольнике. ДАН СССР. 1970. Т. 195, N 5. С. 1007-1009.

67. Marchaud A. Différences et derivées d'une fonction de deux variables. C.R. Acad. Sci. 1924. V. 178. P. 1467-1470.

68. Брудный Ю.А. Приближение функций п переменных квазимногочленами. Изв. АН СССР. 1970. Т. 34, С. 564-583.

69. Gonska H., Jetter К., Jackson type theorems on approximation by trigonometric and algebraic pseudopolynomials. J. Approx. Theory. 1986. V.48. P. 396-406.

70. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: "Мир" 1978.

71. Виденский В.С .Многочлены Бернштейна. JL: Изд-во ленингр. пед инта. 1990.

72. Скопина М.А.Константы Лебега кратных сумм Балле Пуссена. Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1983. Т.125. Стр. 154-165.

73. Скопина М.А.Константах Лебега сопряженных сумм Фурье в кратном случае. Матем. заметки. 1984. Т.36. Стр. 359-368.

74. Скопина Ш.А.06 асимптотическом поведении констант Лебега линейных методов суммирования кратных рядов Фурье. Изв. ВУЗов. Математика. 1986. N 6. Стр. 70-71.

75. Скопина М.А.Константы Лебега линейных методов суммирования по многогранникам. Мат. методы анализа упр. процессов. JL: Изд-во ле-нингр. ун-та. 1986. С.171-180.

76. Скопина М.А. О принципе локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье. Вестн. Ленингр. ун-та. 1988. N 2. Стр. 49-54.

77. Скопина М.А. Принцип локализации для сумм Марцинкевича в двумерном случае. Сибирский математический журнал. 1989. XXX. N 1. Стр. 145-153.

78. Skopina М.А. On the divergence of linear summation methods of Fourier series. Analysis mathematica. 1991. V.17. N2. P.173-182.

79. Скопина M.А. О сходимости почти везде сумм Марцинкевича двойных рядов Фурье. Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1991. Т.190. Стр.140-156.

80. Skopina М.А .The generalized Lebesgue sets of functions of two variables. Proceedings. Colloquia Math. Societ. Janos Bolyai. 58, Conference on Approximation Theory. Hungary. Kecskemet. August 6-11. 1990. P.615-625.

81. Скопина М.А. О порядке роста квадратных частных сумм двойного ряда Фурье. Матем. заметки. 1992. N 51. Стр. 69-79.

82. Скопина М.А. Аппроксимация функций квазиполиномами на выпуклых множествах. Доклады РАН. 1993. Т. 322. N 4. Стр. 422-423.

83. Скопина М.А. Двумерный аналог эффекта улучшения приближения вблизи концов отрезка. Вестн. СПб ун-та. Сер. 1. 1994. В. 3. N 15. Стр.54-59.

84. Baron S., Liflyand E., Skopina M.A. On the summability of double Fourier series at a point. Analysis. 1996. V.16. P. 195-205.

85. Skopina M. Convergence of periodic wavelet expansions. J] Z. Angew. Math. Mech. 76, Suppl. 2, [ISSN 0044-2267]. 1996. P. 679-680.

86. Скопина M.A. О нормах полиномов no системам периодических всплесков. Матем. заметки. 1996. Т.59. N 5. Стр. 780-783.

87. Skopina М. Multiresolution analysis of periodic functions. EJA. 1997. V3. N2. P.203-224.

88. Liflyand E., Skopina M.A. Square linear means with hyperbolic factors. Analysis. 1998. V.18. P.333-343.

89. Skopina M.A.Local convergence of Fourier series with respect to periodized wavelets. J. Approximation Theory. 1998. V. 94 (02). P. 191-202.

90. Skopina M. Localization principle for wavelet expansions Proceedings. International Workshop "Self-similar systems", July 30 Aug. 7, 1998, Dubna, Russia. Стр. 125-130.

91. Скопина M.A. О полиномиальных базисах в пространстве С—1,1] Зап. научн. семинаров ПОМИ. 1999. Т.262. Стр. 223-226.

92. Скопина М.А. Ортогональные полиномиальные, базисы Шаудера в С\—1,1] с оптимальным ростом степеней.)/ Матем. сборник (в печати)

93. Skopina М. Wavelet approximation of periodic functions. J. Approx. Theory, (в печати).q