Приближение операторами типа Саса-Миракьяна Баскакова с весовыми множителями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО кафедра теории функций и приближений

На правах рукописи УДК 517-51

Гудошникова Елена Валериевна

ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА САСА-МИРАКЬЯНА БАСКАКОВА С ВЕСОВЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ

специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 1996

Диссертационая работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского

Научные руководители — доктор физико-математическ

наук профессор

А.А.ПРИВАЛО

Официальные оппоненты-

Ведущая органзация —

доктор физико-математическ наук профессор А.П.ХРОМ( доктор физико-математическ наук профессор В.А.Баскаь канд. физико-математическ наук С.С.Волосие Математический инстит им. В.А.Стеклова РА

Защита состоится 1996г. в 15.30 на заседай

Диссертационного Совета К.063.74.04 при Саратовском го' дарственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адре 410026, г.Саратов, Астраханская 83.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиот« Саратовского государственного университета. Автореферат разослан 1996г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук доцент П.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе изучается сходимость к кдественном оператору последовательностей линейных по-кительных операторов, являющихся обобщением операто-1 Саса-Миракьяна:

= (1) ' п к\ к—о

>аскакова:

*»(/;*) = £ г&(п + кк~1)Л1 + *)-п-к (2) к = 0 ^ ' Пинейные положительные операторы находят большое при-гение в теории приближения. Например, теорема о возмож-:ти равномерного приближения непрерывных функций по-юмами может быть доказана с использованием хорошо из-тных операторов К.Вейерштрасса(1885):

ь

а

1912г. С.Н.Бернштейном была построена последователь-ть линейных положительных операторов

*.(/;*) = Е/ф(;У(1-.)-»

к=0 4 У

томерно сходящаяся на отрезке [0; 1] к тождественному для акции / £ С[0; 1]. Были построены и другие последователь-ти линейных положительных операторов (суммы Фейера, шномы Джексона и др.)

Важный вопрос об условиях, при которых последовательное операторов сходится к тождественному и, следовательно, ] шает задачу аппроксимации функции, решается наиболее щ сто именно в случае линейных положительных оператор« Впервые эти условия для / £ С[а; Ь] были сформулированы доказаны П.П.Коровкиным [1] после работ которого теориях нейных положительных операторов получила особенно бо/ шое развитие.

Достаточно большое место среди работ этого направлен занимают результаты, касающиеся операторов (1), котор были предложены Г.М. Миракьяном [2] и О.Сасом [3] и опе]: торов (2), которые ввел в рассмотрение В.А.Баскаков [4].

Не один десяток работ посвящен изучению свойств опера: ров Саса-Миракьяна и Баскакова и их модификаций (в рабе приводится литература по этому вопросу).

В настоящей работе рассматриваются не изучавшиеся \ нее обобщения операторов Саса-Миракьяна и Баскакова, п котором каждое слагаемое операторного ряда берется с не] торым неотрицательным весом и, кроме того, ядро оператс Саса-Миракьяна зависит от параметров. А именно, по набо параметров

Л — ~~ матрица неотрицательных чисел,

{рп}™=1 ~ последовательность положительных чисел, {^п}^-] ~ последовательность действительных чисел, для п > 1 строятся операторы

¿>тах{0;рп (1— /хп)}

/; х) = £ г„,*/ф (" + к-г) х\1 + (4)

[ приближения функций на полуоси; и их аналоги, опера->ы

Кши {0; рп (пЬ — ¡1 „ +1)} ^

\ 72 р л /

/с>та.х{0;рп(гга—¿¿п-}-1)}

я таких п для которых < 5) и

„(Д;/;*) = ^ ^/(^(""^¿"^х^И-хГ»-* (6)

па<£<п6

[ приближения функций на [а; Ь] (а > 0).

Очевидно, что И,п, Хп, 5П, 2п - это линейные положитель-

з операторы.

Щель работы. В данной работе находятся условия на па-гетры и функцию, которые обеспечивают сходимость рас-1/триваемых операторов к тождественному, и порядок ап-жсимации.

УГетоды исследования. Доказательства полученных в юте теорем проводятся методами теории функции действи-ьного и комплексного переменного.

Научная новизна. Автором впервые получены следущие j зультаты:

(1) найдены условия, обеспечивающие сходимость nocj довательности обобщенных операторов типа Саса-М ракьяна к тождественному для непрерывной функц на полуоси, и порядок приближения;

(2) найдены условия, обеспечивающие равномерную exoj] мость последовательности обобщенных операторов i па Caca-Миракьяна к тождественному для непрерь ной функции на отрезке, и порядок приближения;

(3) найдены условия, обеспечивающие сходимость nocj довательности обобщенных операторов Баскакова к т ждественному для непрерывной функции на полуоси порядок приближения;

(4) найдены условия, обеспечивающие равномерную cxoí моегь последовательности обобщенных операторов Е скакова к тождественному для непрерывной функц на отрезке, и порядок приближения.

Приложения. Работа носит теоретический характер, результаты и методы могут найти применение в теории n¡ ближения, в вычислительной математике.

Апробация работы. Основные результаты, изложенн в диссертации, докладывались и обсуждались на объединс ном научном семинаре кафедр Саратовского государственнс университета; на Саратовских зимних школах по теории фу! ций и приближений (Саратов 1990г. 1992г. 1994г. 1996г.; Одесской школе по теории функций (Одесса 1991); на между! родной конференции "Теор1я наближения та задач: обчисло] ной математики" Днепропетровск, 26-28 мая 1993; на межд народной математической конференции памяти М.Кравчук

юв 1994);на международной конференции "Теория апрокси-дии и численные методы" (Ровно 1996).

Публикации. Основные результаты диссетации опубли-.аны в работах приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух 1В и списка литературы (37 названий). Общий объем листании 99 страниц машинописного текста.

Глава 1 (§1-§4) посвящена обобщению операторов Саса-Ми-:ьяна (1).

носит вспомогательный характер и содержит общие для й работы предварительные сведения. В нем даются опре-[ения рассматриваемых пространств С[а; Ь] (функций, не-:рывных на [а;Ь]) и С{у) (непрерывных на [0; оо) функцих! I которых функция \у(х)$(х)\) ограничена, норм и модулей срерывности в этих пространствах, отмечаются некоторые юмогательные факты, полезные в дальнейшем, описыва-ся классы Уа,б Э V (множество непрерывных, невозраста-дах на [0; оо) функций, прнимающих значения на [0; 1], для

\2 содержит предварительный результат. В нем рассматри-тся следущая конструкция

ачение оператора 7in (3) на единичной функции в частном чае, когда R - матрица, состоящая из единиц) и доказывая

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

юрых при всех t > х > 0

fc>max{0;pn(l —

ТЕОРЕМА 1. Если последовательности {рп)п=i и {/i^j^Lj таковы, что для некоторого е > О

(1) lim р\п = оо и рп < 1п(п,е)

п—>оо

П£

(2)

то найдется помер По такой, что для всех п > По, для вс , ч , const

х>е Нп(х)-1< -——г

пх mm(l; р2п)

В §3 рассматриваются операторы 7in,(3). Отметим, ча очевидно, если рп ф 1, то даже при гП)к = 1 Hn{R\ /; 0)Рп,м„ /(0), поэтому в общем случае операторы ТСп не приближав функцию в точке х = 0. Условия сходимости на [е; оо) и пор док аппроксимации дает

ТЕОРЕМА 2. Пусть после довательности {pn}^L 1 и {рп}^=1 таковы, что для некоторого е > 0

(1) lim р2пп = оо и рп < ln(ne)

п —>оо

TIS

(2) ßn<TT^

Пусть матрица, R такова, что существует последовател ностъ vn £ N такая, что

(3) lim ^ = оо

it—>оо г/2 п

2 fn —1

(4) lim Мп = 1, где Мп = sup(— гп>к+г

г=0

/ 1

(5) lim тп = 1, гс^е mn = inf (— ) rn k+i

п^оо Ä \ 1/„ ^—4

п ¿=0

гть / 6 C(v), V £ Vati. Если

hn = max ( IMn — 1|; |mn — 1|; —-7=; —7=

V Pny/n yjn

нахадется номер no такой, что для всех п > по, для всех

: е

< {ci+c2y/x)u)v(J-,hn) + c3\\f\\vhn,

ci, С2, сз - константы, зависящие от а и fr, а С3 еще и от г; и || ■ ||„ - модуль непрерывности и норма с весом v.

В §4 рассматриваются операторы Хп, определенные равен-;ом (5) и для них доказывается теорема 3 - аналог теоремы пространстве С[а\Ь\.

Глава 2 (§5-§6) посвящена обобщению операторов Баскакова

В §5 рассматриваются операторы <!>„, определенные равен-;ом (4). Доказывается

ГЕОРЕМА 4. Пусть матрица R такова, что существу-последователъностъ {ип}^=1> vn Е N такая, что выпол-1Ы условия (4) и (5) теоремы 2 и кроме того lim v\jn = 0.

п—>оо

стъ / Е C(v), и £ Уа,ъ- Тогда найдется номер tiq такой, о для всех п > по, для всех х > £

и(х)|5п(Я; /; х) - f(x)\ < (сг -f c2x)ujv(f; hn) + сз||/||г,/гп,

1 п = max{h*n; h*n+1; h*n+2},

(h*ny = max |M„-1|; \mn - 1|; ~

>n

съ С2, С3 ^ константы, зависящие от а, Ь, б; и ]| • ¡|^ - моду непрерывности и норма с весом v.

Наконец, в §6 рассматриваются операторы Zn, (6), и д них доказывается теорема 5, являющаяся аналогом теоремь: в С[а-Ъ).

Выражаю глубокое уважение памяти моего научного pyi водителя профессора Андрея Андреевича Привалова.

Считаю приятным долгом выразить благодарность проф( сору Августу Петровичу Хромову, руководившему заверп нием работы, за ценные советы по постановке задачи и nj явленное внимание.

ЛИТЕРАТУРА

(1) Коровкин П.П. О сходимости линейных положите пых операторов в пространстве непрерывных фуг ций //Докл. АН СССР, 1953, т.90, №Q, с.961-964.

(2) Миракьян Г.М. Аппроксимирование непрерывных фг

п

кщий с помощью полиномов е~пх //Докл. Р

СССР, 1941, т.31, с.201-205. ¿~°

(3) Szasz О. Generalization of S.Bernstein's polinomials to i infinite interval //J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. 1950, v.45, p.239-245.

(4) Баскаков В.А. Об одной последовательности лиш ных положительных полиномиальных операторов Уч. зап. КГПИ, Калинин 1969, т.59, с.79-99.

ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1) Гудошникова Е.В. Р-преобразовсьнный оператор Саса-Миракъяна в весовых пространствах //Деп. в ВИНИТИ 17.05.90 2702-Б90 ДЕП.

(2) Гудошникова Е.В. Об одном преобразовании сумма-торных операторов //Теория функций и приближений. Труды 5-ой Сарат. зимней школы. 25 янв.-4 фев. 1990, Саратов, изд. СГУ 1993, часть 2, с.40-42.

(3) Гудошникова Е.В. Приближение непрерывных функций последовательностями преобразованных операторов Миракъяна //Теор1я наближения та задач1 обчислова-ной математики. Тезисы межд. конф. Днепропетровск, 26-28 мая 1993, с.64.

(4) Гудошникова Е.В. Об оценке сходимости одной последовательности линейных положительных операторов //Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 8-ой Сарат. зимней школы. 30 янв.-б фев. 1996, Саратов, изд. СГУ 1996, с.38.

(5) Гудошникова Е.В. Приближение непрерывных функций операторами С ас а-Миракъяна //Теория функций и приближений. Труды 7-ой Сарат. зимней школы. 30 янв.-4 фев. 1994, Саратов, изд. СГУ 1995, часть 3, с.3-5.

(6) Гудошникова Е.В. Приближение непрерывных функций обобщенными операторами С аса-Миракъяна // Мат. зам. №7