Приближенные методы решения задач оценивания для систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

. АКАДЕМИЯ ш-Ж СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

КОСТОУСОВА Елена Кирилловна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЬШЬШ ПАРАМЕТРАМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Свердловск 19Э1

Работа выполнена в Институте математики и механики Уральского отделения АН СССР.

Научный руководитель академик АН СССР

А.Б.ЮТЮШСКИЙ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А.И.ЕГОРОВ

- кандидат физико-математических наук А.И.КОРОТКИЙ

Ведущая организация • - Киевский государственный

университет им. Т.Г.Шевченко

Защита состоится " 'ff " 1991 года в

часов на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики УрО АН СССР (620066, г.Свердловск, ул.С.Ковалевской, 16).

С лисг-"ртацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и /чнизи УрО АН СССР.

Автореферат разослан " ^Ci^y^i-^t-i'^ X99I года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук,

старший научный сотрудник М.И.ГУСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительный раздел теории оптимальных процессов, основы которой заложены в трудах Л.С.Понтрягина,' Н.Н.Красовского, Р.Беллмана, составляют задачи оценивания состояния системы по результатам наблюдена...

Для приложений актуальньм является изучение процессов, в которых присутствуют неопределенные возмущения (помехи в уравнениях движения и изме.'зний, в задании начальных условий). При исследовании таких задач сложилось два основных подхода: сто -хаотическое и гарантированное оценивание. Первый из нтчс предполагает , что описание возмущений носит вероятностный характер. Классическими здесь стали результаты Р.Калмана и Р.Бьюси. Для второго подхода характерно задание областей возможных реализаций помех и решение задач оценивания в минимаксной пос.оновке. Начало исследованиям в этом направлении было положено работами. Н.Н.Красовского^ . Систематическое развитие теория гарантированного оценивания получила в работах А.Б.Куржаяского .Разным аспектам этой теории посвящены исследования Б.Н.Пшеничного, З.Л.Черноусько, Д.Бертсекаса, Х.С.Витсенхаузена, Ф.Ивеппе, Ф.Шлепфера и других авторов.

Задачу, наблюдения и оценивания в системах с распределенными параметрами обладают рядом особенностей, вызванных бесконечномерной природой исследуемых процессов, и поэтому требуют специального исследования. 3 работах4'-7' А.Б.Куржанского и его учеников проведено последовательное развитие . ¿ории гарантированного оценивания для распределенных систем. Различные вопро-

II Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем// Прикл.математика и механ:ча.-1964.- Т.23, вып.1.- С.3-14.

2) Красовский H.H. Теория управления движением,- ¡¿.: Наука, 196Р,- 475 с.

3) Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.- М.: Наука, 1977.- 392 с.

4) Куржанский A.B., Хапалов А.Ю. Об оценивании распрецелепнь'л полей по результатам наблюдений // Диф^еренц.уравнения с частнь-ми производными.-Новосибирск: Наука,1986.-0.102-103.

сы теории оцениваний для систем с ргспределеннкш; параметрами - проблемы наблюдаемости и управляемости, соотношения двойственности, гарантированное оценивании, стохастическая фильтрация, управление наблюдениями и т.д. - изучались в работах Б.Н.Бублика, А.Г.Бутковского, Л.К.Егорова, .".М.Лаврентьева, А.Г.Наконечного, Ю.С.Осипова, С.Долецкого, К.Л.Лионса, В.Дж. миэела, А.Притчарда, Д.Л.Гассела, Ю.Сакавы, Т.И.СейД|.:ана, И. Сейнфелда, Х.С.;тторини и многих других авторов.

Диссертационная работа посвящена вопросам аппроксимации решений задач гарантированного оценивания для распределение систем при помощи решений соответствуюсим образом подоб^^к-*". конечномерных задач. Данная проблематика представляется весьма актуальной в связи с необходимостью моделирования на ЭВМ прикладных задач, мотивирующих рассматриваемые постановки. При этом рассматривается ряд вопросов: от условий слабой наблюдаемости до задач вычисления информационных множеств системы, совместимых с данными измерений, и задач управления процессом наблюдений.

Целью работы является исследование численных алгоритмов решения задач гарантированного оценивания для распределенных систем.

Метод ::?следования. Математическую основу работы составляют методы и результаты теории оптимальных процессов управления, прежде всего теории гарантированного оценивания?'' . Привлекаются аппарат математической физики и теории разностных схем, методы решения некорректных задач, используются свойства аналитических функций, выпуклый анализ, теория матриц. .

5) Kurzhanski A.B., Khrpalov A.ïu. On the state estimation problems for distributed systems // Lect. Notes Control Inform. Sei.- 1986,- Vol.83.- P.102-1V.

6) Kurzhanski A.B., Khapalov A.Yu Observers for distributed systems // Proo. IFAC Symp. on Distributed Parameter Systems, Perpignan, Dec. 1987.- P.481-484.

' 1 КуржзнскпЯ А.Б., Сквергина И.О. О необратимых эволюционные системах: гарантированное оценивание и задачи регуляризации // Докл. АН СССР.- 1990.- Т.314, ?." 2. - С.292-296.

Научная новиэнд. Изучены разностные и дифференциально-разностные аппроксимации задач гарантированного оценивания состояния и управления наблюдениями для уравнения теплопроводности. Исследованы '«слонике алгоритмы оценивания начальных условий для параболических и гиперболических систем. Получены новые достаточные условия слабой наблюдаемости этих систем.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использован' при построении вычислительных алгоритмов оценивания состояния распределенных систем, функционирую -иих в условиях неопределенности, при планировании прочее а наблюдения в параболических системах. Результаты о наблюдаемости могут быть полезны при исследовании обратных задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Всесоюзной ихоле-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986), на Ш Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов" (Гродно, 1983), на конференции "Современные методы качественной теории дифференциальных уравнений. Глобальный лчализ. ¡многозначные отображения" (Воронеж, д.990), на ЭТ1 Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990?, об .уждались на семинарах отдела оптимального управления Института математики и механики УрО АН СССР.

Публикации. По теме диссертаций опублико^ено 10 ра^от [1-10] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, .трех глав, двух приложений й списка литературы. Объем работы составляет 129 страниц машинописного текста, 19 из них занимают рисунки. Библиография содержит ИЗ наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по тематике диссертации и изложены основные результаты.

Первая глава (§§ 1-3) посвящена задачам оценизакия состояния параболической системы и их конечномерным аппроксимациям. В § I даны постановки задач о гарантированном оценивании и о наблюдаемости. Пусть имеется распределенное поле в области Ф , списываемое первой начально-краевой задачей для уравнения теп-

5 •

лопроводности:

at(x,t)=|aiu.JiX(r>t)+i(x,t)< ХеМ\ feit(QJш

Здесь V I или 2; «О - ^-мерный параллелепипед: $)=(0,t) при t« I и ob={0,et)>(0,tj при 2; а£?0 ( L-l.b) - известные постоянные коэффициенты; решение задачи (I) понимается в обобщенном смы«.; (из энергетического класса). Начальное распределение ue(x) и функция неизвестны, а инфор -нация о решении доставляется в силу уравнения измерений:

y(t) =&(t)u(-,-t)+!(t) при п.в. (2)

Здесь у (t) - данные измерений, уШеЩ4 ; Cr(t) - линейный оператор наблвдения; % (t) - неопределенная помеха; "6: 5 » О -заданные моменты времени. Вся информация о неизвестных фуня$и-ях U0, ß , | исчерпывается заданием включения

(V), }(-,), ?(•)} е ас фКД,,Нг(Т), (3)

где О - выпуюпе множество. Ставится задача о нахоадении решения 1Д',Ф) в конечный момент времени по данным наблюдений teT , и априорной информации (3). Эта задача имеет, вообще говоря, кеединственнсе решение.

Определение 1.1.1^ Информационной областью 1L(Q\ £(•)) состояний U-(',ß) системы (I), совместимой в момент 1> с реализацией , teT , и с априорным ограничением (3), называется множество тех и только тех функций Lt(-) 6 Lä(S)) , для ка-я«ой из которых найдутся такие \ U.*<-)( ->, £ О", что порождаемые и- я в силу уравнений Ш,(2) решение U*(T,i) и сигнал удовлетворяют условиям Т?)=а(')( y*(t)= = уШ при п.в. "t€T . (Здесь и далее нумерация определений и теореу. дается по тексту диссертации).

йадгаенская O.A. Краевые задачи математической физики.-;.:.: Наука, 1973.- 40G с.

С>

Таким образом, задача гарантированного оценивания состоит в определении множества Ц1), &(•)).

В работе рассматриваются следующие два типа наблюдений: (А) Пространственно-усредненные наблюдения, когда

СЮич-Л)«! ^я.Ъшх.Ых,

где 9С-.-У € , * (5,- известная функция,

1а) Точечные наблюдения:

&Ша(-,1)=а(Х({)Д), ШеЯ при п.в. ит.

В этом случае измерения производятся вдоль траектории наблюдения, задаваемой измеримой функцией Ш). предполагается, что ВуО , Д)зО ).

Качество выбранного оператора наблюдения С(-) можно характеризовать через понятие наблюдаемости системы. Предположим, что

ц.с<.) е ЦШ, (4)

и, следовательно, измерении доступен ."идеальный" сигнал

уШ=2ф е У , где

г(*)=0ШиД-Д иТ; Ц(х,ЪзО. (б)

Определение 1.1.2. Система (I), (2),(4),(5) (или, что то асе самое, система (1)/6)) называется слабо наблюдаемой на промежутке времени Г , если из равенства 2 2К>0) в У - lj.iT) двух сигналов вида 'б) следует равенство порождав-щнх нх начальных условий: И-0 (•) = и.е (•).

Определение 1.1.3. Система 'I) ,(2)/4) ,(5) ^система (I), (б)) называется непрерывно наблвдаемой на Т з конечны!! момент времени, если существует такая константа С>0 , что для любого резення и(Х,Ь) задачи '1),(4) справедливо неравенство ци^йЛ! _ ^ С «СШаС-. Му. г к)

Определение 1.1.4 . Система (1),(2),(4),(5) называется информационно наблпдаемой, если информационная область '¿¿(0; у(-), С(0) в задаче оценивания С1),(2)/4) с ограничением

7

II И у < 1 при любом наблюдаемом сигнале у (•) ограни-

чена в и 12».

Задача о наблюдаемости состоит в выяснении условий, обеспечивающих требуемый характер наблюдаемости системы. Известкой что слабая наблюдаемость системы не гарантирует ее информационной наблюдаемости, а обеспечивает лишь ограниченность сечений о областей у('), &(•)} афинными многообразиями,

порождаемыми произвольными конечными наборами собственных функций соответствующей спектральной 1адачи (в отличие от аналогичной ситуации в задачах оценивания состояния систем линейных .обыкновенных дифференциальных уравнений2^ '^Ь. Информационная наблюдаемость эквивалентна непрерывной наблюдаемости системы в конечный момент времени^'. Задачи о наблюдаемости и случае точечных наблюдений исследовались в работах Л. Б. Курганского, М.М. Лаврентьева, Л.Ю.Хапалова, С.П.Шишатского, С.Долецкого.Ю.Сакавы.

В 5 2 получены новые достаточные условия слабой наблюдаемости системы (1),(6) при точечных динамических ( г сотЛ ) наблюдениях. В п.2.1 рассмотрено одномерное ( '¿ = 1 ) уравнение теплопроводности.

Теорема 1.2Л. Пусть % = I, функци- ,\(0 , '^Т, - кусочно гладкая, н существует промежуток времени ' \:г ] с Т такой, что либо н 1 (1) >-0 при {£ (1,, ¿.1 , либо

ЯЦ*)2 £ и Ш) < I при 1.с(1к12] . Тогда система (I)', (б) слабо наблюдаема на Т .

Следухгцая теорема блш к критерия, доказанному в' (стр.74).

Теорема 1.2.2. Пусть 7. - I, функция ХЦ), 'ЫТ, допускает аналитическое ..родолхение в некоторую область комплексной плоскости, содержащую действктачьнуи полуось 1> 5 , причем нр полуоси Ь>б продолжение ХО) вещественно (будем его по-прежнему обозначать через Х('0 ). И пусть для каждого натурального числа ¡1 существует такал положительная константа В( и такал последовательность иоыштов времени, i, ы при ^—со ,что

¿>',2.....

9) Лавронтьев М.й., Романов В.Г., ШкаатскиП С.П. Нек рректныо . эодши математической физики и анализа.- Ы.: Наук**, 1980.286 с. о

Тогда система (I),(б) слабо наблюдаема на Т .

С помощью, теоремы 1.2.2 построены простые классы функций, гарантирующих слабую наблюдаемость.

^ п.2.2 на основе теоремы о единственности аналитического продолжения выведены достаточные условия слабой наблюдаемости для двум-рного уравнения теплопроводности. При этом Св отличие от^®') не делается предположение об однократности собственных чисел соответствующей спектральной задачи.

Б п.2.3 исследуются критерии наблюдаемости для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых при аппроксимации по методу прямых^ системы (1),(6) с точечными наблюдениями в одномерном случае (1 = I). Для таких систем при стационарном наблюдении можно использовать необходимые и достаточные условия (полной) наблюдаемости в терминах ранга некоторой матрицы (критерий Р.Калмана). В п.2.3 доказано Солее удоб мое з данной ситуации необходимое и достаточное условие набля-даемостн в терминах чисел пь (размерность системы) и k (номер наблюдаемой координаты век? ра состояния). Рассмотрен также случай динамического наблюдения. Отмечено, что если для системы (1),(б) удается построить подходящую последовательность ап-ароксимируща.. систем, которые не только наблюдаемы на. Т , но для которых существует равномерная по т оценка решений при 1=0 через норму снгнала на Т , то исходная система непра-ртано наблюдаема на Т в конечный момент времени. Приведен пример, нллпстрирузмвдй сказанное.

В 5 3 рассмотрены приближенные методы ревения двух задач оценивания для одномерного уравнения теплопроводности, основанные на аппроксимациях соотношений з исходной системе по методу прямых кли методу конечных разностей^*^.

В п.3.1 исследуются численные алгоритмы решения задачи гарантированного оценивания состояния U (-,!?) для сисге;щ (!)-(3). Предполагается, что система (I),(2),(4),(5) информационно наблюдаема, а ограничение (3) представляет собой совместное интегральное квадратичное ограничение на | и ^ (априорная информация об U0 отсутствует). Эта задача гарантированного опоним-ния изучалась тдо получено описание инфар&щкоиних оНлаа -

10) Sakawa Y. Observability and related probless for partial

differential equations of part olie .ype // ЗХ/Ш J. Control - 1975.- Vol.13 , HI.- P.14-37.

Э

тей и их эволюции во времени. В данной диссертации ис^лед>лея вопросы численного нахождения И(l?; GO) . Для этого рассматривается последовательность вспомогательных задач гарантированного оценивания для конечно-разностньх или дифференциально-разностных систем. В этих задачах априорное ограничение выделяет ограниченное множество допустимых начальных состояний и помех в уравнениях состояния и измерений. При определенной зависимости параметров априорного ограничения от шагов дискретизации доказана сходимость значений опорных функций информационных областей в аппрсксимирувдн' системах к значениям опорного функционала информационной области в исходной системе.

В п.3.2 исследуются численные алгоритмы для оценивания на-чалы ого состояния и&{-) по результатам наблюдений. Принятая в работе постановка аналогична * '. Предполагается, что состояние системы описывается уравнением (I), где X = I, , и что система (1),(6) слабо наблюдаема на Т . Задача о нахождении начального условия U„{*) по сигналу 2 О , вообще говоря, неустойчива по отношению к погрешности в задании ВО) и, следовательно, относится к классу некорректно поставленных задач • 13),14)_ .. .

Предположим, что вместо "идеального" сигнала £(•) известна функция (•) , npi iавимая в виде

. / уж<гш = Cr,e(t)LU-,i) -v 5,T(i) при п.в. i е Т. • (7)

Здесь в случае точечных наблюдений в (6) Ga (i) = = u(i) , а в случае пространственно-усредненных

11) Самарский А.Л. Введение в численные методы.- М.: Наукг 1937.- 288 с. '

12) Гусев М.И., Курганский Л.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем /У Механика и научно-технический прогресс.

' Т.1. Общая и прикладная механика.-М. :Наука,1937.-С. 187-195. .'К» Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных , задач.- П.: Наука, 1970.- 285 с.

14) Иванов В.К., Васин В.В., Танала В.П. Теория линейных некор-рэотньа задач а се приложения.- М.: Наука, 1978 - 206 с.

10

\

ILfyiydx. , таичем

it g)

неизвестные функции (Jx , ^ удовлетворяют условиям

IXg(i)~X(t)l*z при п.в. teT; И^-^ио (*>'

I \б)

0 - /звестнь/е числа. Построены два разностных алгоритма, основанных на методе регуляризации А.Н.Тихонова^', позволяющие по значениям (■) находить такие приближения к реализовавшемуся начальному условию U0(-) , которые сходятся к U.0(') в норме Ц(Э) при неограниченном уменьшении уровня помех в измерениях и сгущении сетки. Близкие задачи об оценке входов изучались в работах В.В.Васина, А.В.Кряжимского, Ю.С. Осипова и др.

Глава П посвящена задаче выбора оптимального состава измерения в системе (D-C3). Предполагается, 470 ограничение (3) имеет чид

A Ju^(se)rfx+.flJ &г(х,ШхЛ+ Zj^aUUp1 Ш, t>0). » Ча т Ji

Кал известно 4\ информационная область И'11(0; уО), &(:)) в этом случае представляет собой ограниченный эллипсоид в пространстве Lj(Ю) , который зависит от сигнала, и, в частности, от оператора наблюдения С (•) " от хонпретнкх реализаций помех. Предположим, что на множестве всевозможных информационных областей задан некоторый функционал I(U(l>; ^0), &(•))) , и оператор наблюдения G(-) выбирается из заданного класса Г .

Задача выбора оптимального состава измерения состоит в определял«! такого оператора Q (•) ё Г » что

бар I(U(0; ЦП, G*(0)) = Ц sup 1( 11(0; ij(.), &(•))), (jOey С()еГ

где У - совокупность всевозможных сигналов, коториэ когут рэ-' ализозатьсл в системе Ш-(З) при фиксированно« G(■) .

В работе рассматриваются два «ритерчя качества J . Пер -

IT

вый критерий характеризует величину проекции информационной области 11 на заданное направление ^(3)) :

I- ],1и)«^(Ф(->|иК?(-Фс-)1и')

( у(Ф(-)1Ю - опорный функционал множества И ). Второй является бесконечномерным аналогом суммы квадратов полуосзй эллипсоида в евклидовом пространстве:

(здесь - полная ортонормированная в ЦОЬ) сис -

тема собственных функций в спектральной задаче, соответствую -щей (I)).

Класс Г совпадает с одним из четырех описанных ниже. Классы ^ и Г} вводятся для операторов наблюдения типа (А) и определяются включением С] О,-) € (£ = ¿,2) . Здесь

¿ИЗ| |1 (](-.М^ 1 „ри п.в. иТ},

{5(•.•)6^(0^)1 при п.в. ^еТ}1

где [ " задши.ый конечный набор функций из 1.(<8).

Классы Г- (ь-Д1/) вводите тля точечных наблюдений и определяется принадлежностью , где Х4 - совокупность всех измеримых фунг-уш Х('1) . , принимавших значения в области Я) , а * ■

I Х(-) 1 хаьтгш, хсфХо, ха)А

¿ = 1,1 при Г.в., },

- некоторая заданная точка из области 3) , - про-

извольная измеримая х -вектор-функция, {у - заданные неот-Г'щательныо константы.

Сформулиро 13анная задача при Г=ГУ ис ледовалась в , где были получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Для конечномерных систем вопросы оптимизации "чыере"ий в минимаксной поста ;вкв изучались в работах Ц.И.Гусева, В.Г.Покотило. Б.Н.Пшеничного и др. авторов.

В §§ 2,3 наст(ляцей диссертации исследуется вопрос об аппроксимации исходной задачи выбора оптимального состава измерения некоторыми задачами оптимального управления для дифференциально-разностных или конечно-разностных систем с -спользованиим, соответственно, метода прямых или метода конечных разностей. В обоих случаях для описанных выие критериев качества и классов до -густимых операторов наблюдения доказаны утверждения о сходимости решений аппроксимирующих задач к решению исходили задачи по функционалу. Приведем соответствующий результат для функционала и класса Гэ в случае конечно разностной аппроксимации в предположении, что все функции Х({) из множества Х1 кусочно непрерывны (при аппроксимации но методу прямых это предположе -нне оказывается излишним). Для простоты записи рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности без возмущений п правой части, считая о-О

Предварительно введем вспомогательные задачи гарантированного оценивания вектора и/(гг) в дискретной системе

1Дг) = Г/ф'х(р^дф, ¡-V.....С4<-)еГ3л; О)

17* /С1*1 »• ^"'Г1 ГП

Здесь и ~ \ С - й( Гг1/1 / , с - единичная ntf.ni -матрица, матрица /|'г является трехдиагонпльной, причем элементы на главной диагонали равны -2/1(„' , а на дчух прилежащих к ней диагоналях равны С ; Гл= ( 2.-'а

й, = 5 (1,0,...,0),(0,1.....0).....(0,0,...,1).(0,0,...р)}с

С (8?"1)Т , Т - знак транспонирования. Символом Д обозначена пара индексов (гп, и.) ; первый из них возникает в результате дискретизации исходной системы по пространственной коор -динате, а второй - по ¡¡¡. мени. Известно, что инфоруационнал область состояний ц/Ог) системы (9), совместимая с сигналом

уЛф ' С '"'п ' " мо"ент п ' есть ЭЛЛИПС0ВД Р ^ртег-

ранстве Я , характеризуем^-! (с точностья до некоторого ст-

2 кк о

лярного множителя (п) ) тчп -матрицей г (п) , которая находится из рекуррентных соотношений:

В аппроксимирующей задаче выора оптимального состава измерения требуется найти функцию £**(■)б Г^ , доставляющую ыи-лимальное значение функционалу

^reVib Г'ТР*(п) .где <Г- ( С С),

dik

Обозначим

lICwJ- (2rufaup L (W; иаШ))'; J ijiJy d

Gear,

В теореме 2.2.1 доказаны следующие утверждения.

I- к* иД-О*0- .

)г_,)1.-» to

V а

л.

2. Если Сь\-> = алдпип { [ &Ч-)3 | &'(•)£ г/}

- номер отличной от нуля компоненты т -строки в*"(Л

{} а 1 и л ; С

(считаем й ф = п , если б ф - стр~*а, состоящая кз од-Ш1Х нулей-, то последовательность функций К (•) :

' а»,■ .

является минимизирующей для функционала Зр в классе Г3 .

- ---- - _

3. Если подпоследовательность ?"нгашй Л (') сходится равномерно ка Т г. функции > то о-чвделяет

оптимальный оператор Go.

Для аплроксимируххцих задач выбора оптимального состава измерения в конечно-разностных системах, возникающих в случае функционала и классов /• ( i = 1,°,3 ) при отсутствии возмущений | в уравнении (I), в п.2.2 получены необходимые условия оптимальности в форме принципа квазимаксимума. Полученные в §5 2, 3 результаты иллюстрируются примерами, в которых оптимальные операторы наблюдения удалось найти в явном виде.

В § 4 исследованы вопросы устойчивости разностных схем определяющих решения в аппроксимирующих задачах оптимального управления.

Результаты численного моделирования решения задачи выбора оптимального состава измерения при точечных наблюдениях приведены в § 5.

Третья глава (§§ 1-3) посвящена исследованию задач оценивания состояний одномерного волнового уравнения

1^(3», 'щх,Ь\^(х)еЦ1» го>

с неизвестным начальны* условием

Ф(х) - Г Via), vex)} €

о J

по результатам измерений вида (G).

В § I дано определение слабой наблюдаемости для системы (10),(6), аналогичное определению I.I.2. Известно**^, что при стационарном операторе G система Э),(С) слабо наблюдаема

на I , если

'■I,2,... , и время г¿блюден«« достаточно велико: D-Sъ 2l(LL . А.В.Хапаловым пока -зано, что данная система при произвольном стационарном операторе наблюдения (любого из двух указанных вьяе типов) не обладает свойством, аналогичным информационной наблюдаемости для уравнения теплопроводности (независимо от выбора промежутка Т ).

В п.1.2 получены достаточные условия слабой наблюдаемости при точечных динамических наблюдениях. Сформулируем для примера один из полученных результатов.

Теосема 3.I.I. Пусть для непрерывной функции I(t) выполнены условия:

tdUa(i-S) при teT;

июль (а* + М)) - гагл(оЛ+

и мера множества нулей функции на) на Т равна нули. Тогда система (10),(б) слабо наблюдаема на Т .

Из этой теоремы следует, в частности, что сущест -уют динамические операторы £(•) точечного типа, обеспечивающие слабую наблюдаемость системы при &-£'= Ьой

В п.1.3 пол чены некоторые достаточные условия слабой наблюдаемости системы (Ю),(б) в случае пространственно-уср -пых наблюдений. В частности, показано, что среди динамических операторов С (•) этого типа существуют такие, которые обеспечивают слабую наблюдаемость системы на сколь угодно малом промежутке времени.

В § 2 рассматриваются численные алгоритмы оценивания начальных условий по данным измерений (75,(8). Постановка задачи и полученные здесь результаты аналогичны сформулированным в'й. 3.2 главы I. Приведем, например, один из результатов, касающийся разностного алгоритма реаения исходной задачи в случае точечных наблвдений (для простоты записи положим 6-О ). Рассмотрим при произвольных тип. систему

где матрица А описыча вше, а т -строка (л ф имеет вид:

а4,(|М при ^Гф-гх^я;1]; ^>0, 14Щ),

(квпдратньмп скобками здесь обозначена операция взятия целой части ч:!сла), Введем пространство И/ элементов (у* <ри|

15) Бугковский Л.Г. Структурная теория распределенных систем.-Наука, 1977.- 220 с.

со скалярным произведением, порождающим норму

I! <Г »w„= С ( 'Г-V"1 - <Г7Г >т

оператор -б*4 , ставящий в соответствие вектору Ф в IV кусочно-постоянную функцию - в силу (II) ,(12):

и оператор восполнения (?"\ переводящий вектор Ф^е IV т в вектор-функцию Ф е IV по следующему правилу:

V'^irc)=vf + (С"Vp V¿С, ¿=о,...,т; С=

c.i,...,ni; vk(x)~o, ¡се 4a.

Приближение к реализовавшемуся начальному условию Ф бу-

/—jHi td Ис(Э!<Г _

дом искать в виде С/ V3 , где ч-1 - решение опти-

мизационной задачи

) «г* ми (^>о),

которая при произвольных Ж,Г,пг п, и <А>0 разрешима единственны.« образом.

Теорема 3.2.2 содержит следующее утверждение. Пусть функция X (') , определяющая оператор Сг(') , - кусочно-гладкая, система (10),(6) слабо наблюдаема и Т , <р(■) - реализовав.-шееся в (10) начальное условие, и функция lJx/f(') удовлетворяет условиям (7),(8). Тогда, если flrj^1 ^ 1-£ ( ь*0 произвольное сколь угодно малое число), то последовательность функций Qn<P сходится к Ф в норме пространства IV

при сЕ,1Т,а-*0 t tn,n-rco И при условии, ЧТО (fl^'-KT+aE^/ei"1—

В § 3 приведены результаты численного моделирования задач;; оценивания начальных условий при точечных наблюдениях. Основ-чге результаты работы:

- получены новые достаточные условия слабой наблпдг.емости для одномерных и двумерных параболических и одномерных глпербо-лических систем;

- предложены алгоритма конечномерной аппроксимации информационных областей состояний одномерной параболической системы в конечный момент времени (в предположении ограниченности этих множеств) при отсутствии информации о начальных условиях; доказана сходимость значений опорных функций информационных оь -ластей в аппроксимирующих задачах оценивания состоянчя конечно-разностных или дифференциально-разностных систем к значениям опорного функционала информационной области в исходной задаче;

- исследованы регуляризирующие разностные и дифференци -ально-раэностныч алгоритмы оценивания начальных условий г слабо наблюдаемых одномерных параболических и гиперболических стемах; доказаны теоремы о сходимости построенных приближений к реализовавшимся начальны* условиям п^и неограниченном уменьшении уровня помех в измерениях, шагов дискретизации и согла -сованном с ними уменьшении параметра регуляризации;

- исследован вопрос об аппроксимациях в задаче выбора ч-тимального состава измерений в параболической системе при совместном квадртичном ограничении на все нес тределенности, присутствующие в системе. Построены вспомогательные задачи опти -мального управления конечно-разностными или дифференциально-разностными системами, решения которых сходятся (по функционалу) к решению исХ"ДН"й задачи; при использования конечно-разностных аппроксимаций в ряде случаев получены необходимые условия оптимальности в аппроксимирующих задачах управления в форме причина квазимаксимума; исследованы вопросы устойчивости разностных схем, определяющих решения в аппроксимирующих задачах.

Публикации по теме диссертации

1. Косгоусова Е.К. О наблюдаемости систем.'обыкновенных дифферен-циалъньх уравнений, аппроксимирующих уравнение теплопроводности /7 Гарант!¿ованное оценивание к задачи управления.- Свердлова: УНП АН СССР, 1986,- С.сО-67.

2. Косгс'усева Е.К. Об аппроксимации информационной области для урагаени* теплопроводности при отсутствии информации о на -••'а/.ьном состоянии / АН СССР. УрС. И.'.Х- Свсрдлсвск, 1938.23 Рукопись дес. ъ ВИНИТИ 25.0с.¿9, К 4Э30-Б83.

3. Костоусова Е.К. О разностной аппроксимации задачи выбора оптимального состава измерения в параболической системе при

■ интегральном операторе наблюдения / АН СССР. УрО. ИМ.-Св рдлг-зсх, 1988.- 31 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.05.88, № 4029-В88.

4. Костоугова Е.К. О разностной аппроксимации задачи выбора оптимальной программы измерений в температурном юле II Перспект. методы планиров. и анализа экспериментов при исследовании случ. полей и процессов: Тез.докл. Ш Всесоюэн. конф. (Гродно, 1988). 4.1.- М., 1988.- С.142-143.

5.Костоусова Е.К. О разностной аппроксимации задачи выбора состава измерения в параболической системе // Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности.- Свердловск: УрО АН СССР, 1989.- С.36-54.

6.Костоусоза Е.К. О слабой наблюдаемости распределенных систем и разностных аппроксимациях в задачах наблюдения / -АН СССР. УрО. ИММ.- Свердлове:;, 1990.- 56 е.- Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.04.90, № 2I25-B90. °

7.Косюусова Е.К. Об аппроксимации задачи выбора оптимального состава измерений з параболической системе // Кури, вычисл. математики ч мат.физики.- 1990.- Т.30, JP 9.- C.I294-I306.

8.Костоусова Е.К. О слабой наблюдаемости для одномерного волнового уравнения // Седьмая Всесоюзная конф. "Управление в но -ханических системах", Свердловск, 1990: Тез.докл. - Свердловск, 1990.- С.61.

9.Костоусова Е.К., Хапалов А.Ю. Об аппроксимации задачи вьйора состава измерения параметров теплового поля // Всесоюзная школа-семинар "Мат. моделирование в науке и технике", Пермь, 1986: Тез.докл.- Перл, 1986.- C.I8I.

10.Костоусова Е.К., Хапалов А.Ю. Об аппроксимации задачи выбора состава измерения параметров теплового поля П Оценивание динамики управляемых движений.- Свердловск: УНЦ АН СССР, I9cfl.-

С.65-81.

_

Формат 60x134 Г/16. Объем 1,0 печ.л. Тирах 100 экз. Заказ ЮГ,

Бесплатно.

Ротапринт ¡:нс— и тута магемагкки и механики УрО АЛ СССР

620219, CFep.iroscK, уг.С.Коьалевсг.о?, 1с.