Приложение методов поля и теории групп в физике аэрозолей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кудрявцев Андрей Георгиевич

УДК 533.72, 517.953

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ТЕОРИИ ГРУШ В ФИЗИКЕ АЭРОЗОЛЕЙ

01.04.14 Теплофизика и молекулярная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Отделе Теоретических Проблем РАН

Диссертация выполнена без научного руководителя

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гайдуков М.Н., кандидат физико-математических наук, доцент Островский Ю.К.

Ведущая организация: Московский Государственный Технический Университет им. Баумана

Защита состоится " ЛЗ" Ш-СМЛ 1994 г. в "_"

часов на заседании специализированного совета К 113.11.10 гю присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Московском Педагогическом Университете по адресу 107846, Москва, ул. Радио, д. 10-А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека Московского Педагогического -Университета

Автореферат разослан " //" 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

Башлачев (О.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и практическая значимость темы

В настоящее время все большую актуальность приобретают исследования в области физики дисперсных систем. Дисперсной системой называется совокупность дисперсионной среды и распределенной в ней дисперсной фазы (частиц). Взвесь твердых или жидких частиц в газе называется аэрозолем. Примеры дисперсных систем - туман, дым, коллоидный раствор, атмосферный воздух. Дисперсные системы широко распространены в окружающей природе и активно используются в промышленности и хозяйственной деятельности человека, поэтому возникает огромное число важных практических задач метеорологии, химии, -экологии , физики. В свя-зи с возникшими в последние годы новыми проблемами, такими как: передача энергии лазерного излучения через атмосферу, необходимость борьбы с аэрозольным загрязнением окружающей среды, физика аэрозолей получила мощный импульс для расширения и интенсификации исследований. При этом наряду с развитием традиционных в физике аэродисперсных систем методов необходимо искать новые методы для решения поставленных задач.

Область применения существующих методов описания аэродисперсных систем можно очертить опираясь на классификацию частиц по параметру Кнудсена Кп = 1/Ъ, где I - средняя длина свободного пробега молекул среды, Ь - характерный размер частиц. Крупными называют частицы, для которых Кп < 0.01 , умеренно-крупными 0.01 < Еп < 0.3 , мелкими Кп >> При условии Кп 1 частицы называют промежуточными.

Для исследования поведения мелких частиц применяют* методы приближенного решения кинетических уравнений Больц-мана. Вычисление потоков импульса падающих и отраженных молекул дает возможность описать движение аэрозольной частицы.

При построении теории для частиц промежуточных размеров возникают трудности, связанные с невозможностью применить теорию возмущений для решения кинетических уравнений. Построение удовлетворительной теории в этом случае остается •■т-крытой проблемой.

В олучче крупных и умеренна>-кру иных частиц длин* •*•«="

. бодного пробега молекул среды меньше размеров частицы, поэтому окружающие частицу молекулы можно изучать в рамках модели сплошной среды. Применяемый в этом случае гидродинамический метод хорошо описывает поведение системы вне прилегающего к поверхности частицы тонкого кинетического слоя порядка нескольких длин свободного пробега молекул (слоя Кнуд-сена). Граничные условия в уравнениях гидродинамики выбираются с учетом исследования кинетического слоя либо емпири-чески. Хотя исследование кинетического слоя и правильная постановка граничных условий в уравнениях гидродинамики являются сложными проблемами, многие задачи здесь успешно решены, что подтверждает эффективность гидродинамического подхода в физике аэрозолей.

Значительный вклад в построение теории 'физических процессов термофореза и коагуляции в дисперсных системах, рассматриваемых в диссертации, внесли отечественные ученые: Н.А.Фукс, Б.В.Дерягин, Ю.И.Яламов, В.М.Волощук, А.А.Лушников и др.

Наряду с достигнутыми успехами, в физике дисперсных систем есть и важные нерешенные проблемы, что связано со сложным характерам рассматриваемых физических процессов. На поведение аэрозольных частиц в реальной среде оказывают-влияние не только взаимодействие поверхности частицы с ближайшими молекулами окружающего газа, но и объемные эффекты, связанные с неоднородностью распределения гидродинамического, температурного, электромагнитного и концентрационного полей в окрестности данной частицы. Указанные поля, влияя на аэрозольную частицу, сами могут зависеть от характеристик и распределения аэрозольных частиц.

Одной из наиболее важных проблем при исследовании аэрозоля в атмосфере и в промышленных установках является адекватное описание поведения аэрозольных частиц в турбулентном потоке. При теоретическом рассмотрении турбулентности механики в последнее время активно применяют методы, развитые в квантовой теории поля. С помощью полевых методов пытаются изучить возникновение Колмогоровских. спектров турбулентности, а также вычисляют эффективные параметры типа турбулентной вязкости. В настоящей диссертации полевые метода приме-

няются для вычисления эффективных параметров, связанных, с термофорезом и коагуляцией аэрозольных частиц в стохастической среде.

Еще одной проблемой является существенно нелинейный характер многих происходящих в дисперсной среде явлений. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, содержат нелинейные члены, что вызывает математические трудности при их решении. Указанная проблема не является специфической только для физики аэрозолей. Решение нелинейных уравнений - основная задача математической физики. При решении нелинейных дифференциальных уравнений одним из самых перспективных методов является групповой анализ. На данный момент наибольшее число прикладных результатов группового анализа относится к уравнениям механики, однако в последнее время область его применения быстро расширяется. В диссертации методы группового анализа использованы при исследовании уравнений, описывающих аэрозольные частицы.

Целью работы является теоретическое исследование ряда задач, связанных с поведением аэрозольных частиц в неоднородных температурных, электромагнитных и концентрационных полях:

1. Изучение влияния флуктуаций скорости несущей среды на изменение концентрации аэрозольных частиц, находящихся в неоднородном поле температуры.

2. Изучение влияния флуктуаций скорости несущей среды на изменение функции распределения аэрозольных частиц по размерам при их броуновской коагуляции.

3. Получение точных аналитических результатов для нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие неоднородного поля водности аэрозольных частиц и интенсивного электромагнитного импульса.

Научная новизна выносимых на защиту основных результатов работы состоит ь том, что в ней впервые:

1. Получены ныракения для эффективное» ■"•'няора диффузии V эффективной скорости термофореза для ч'нг.«'-.^!>льны,у. частим к стохастической н-и'чптермической среди .

2. Найдено эффективное уравнение броуновской коагуляции аэрозольных частиц в стохастической среде. При етом вычислены выражения для эффективного коэффициента диффузии и эффективного ядра коагуляции.

3. С помощью нового метода вычислена группа локальных точечных симметрия для полученного эффективного уравнения броуновской коагуляции в стохастической среде. Получен вид возможных инвариантных решений и соответствующие редуцированные уравнения для нахождения этих решений. • (Инвариантными решениями называются решения уравнения, инвариантные относительно группы симметрии данного уравнения.)

4. Вычислена группа локальных точечных симметрий для нелинейных уравнений распространения лазерного импульса в движущемся аэрозоле. В качестве приложения найденной группы проведена групповая интерпретация нескольких частных случаев фазового управления лазерным пучком, а также найдены точные решения исследуемых уравнений.

Апробация работы

Основные результаты исследования докладывались: на Международном Аэрозольном Симпозиуме (Москва, 1994), Российской Аэрозольной Конференции (Москва, 1993), 15 Всесоюзной конференции "Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем" (Одесса, 1989), международном семинаре "Современный групповой анализ" (Уфа, 1991), 9 коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения." (Нижний Новгород, 1992), 11 Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и. задачи математического моделирования" (Самара, 1993), конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 1991), семинаре но групповому анализу факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ и Института Математического Моделирования РАН (1993), семинарах Отдела Теоретических Проблем РАН (1983-1994).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы (62 наименования). Общий объем работы 116 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении изложена актуальность темы, описана структура диссертации, содержатся в виде краткой аннотации новые научные результаты, выносимые на защиту.

ГЛАВА 1. диффузия аэрозольных частиц в стохастической неизотермической среде.

В начале главы отмечено, что в целом ряде задач, таких как управление горением в газовых смесях с помощью присадок и улавливание аэрозольных частиц в разнотемпературных трубах и каналах, при исследовании переноса высокодисперсных аэрозольных частиц в среде со случайным полем скорости необходимо учитывать температурную неоднородность среды. При наличии градиента температуры на аэрозольную частицу действует тер-мофоретическая сила, обусловленная нескомпенсированным импульсом, передаваемым частицам молекулами неоднородно нагретого газа. Многочисленные теоретические расчеты и экспериментальные исследования показали, что дрейф аэрозольных частиц под действием термофоретической силы (термофэрез) может существенно превосходить броуновскую диффузию и быть определяющим механизмом переноса для частиц размером 0.1-! мкм.

Далее обсуждается состояние теоретических исследований рассматриваемой проблемы и проводится математическая постановка задачи. Высокодоспереные аэрозольные частицы характеризуются малыми значениями индекса инерционности, что позволяет рассматривать их диффузию так же, как и распространение тепла, в приближении модели пассивной примеси. Характерное время гидродинамической релаксации для высокодисперсных аэрозольных частиц обычно можно считать малым и термофоретиче-екую скорость вычислять в кьазистэционэрном приближении. Кроме того, предполагалось, что относительный перепад т^адт--ратуры на характерно** мастч'^б"1- рассматриваемой обл^-"ги. [[<\>>-

воляет линеаризовать выражение для скорости термофореза. Данное ограничение, не являясь принципиальным, существенно упрощает проведение вычислений. Полученные при этом результаты могут быть использованы и для случая больших перепадов температуры в качестве оценок.

С учетом вышеизложенного в работе рассматривается следующая система уравнений для полей концентрации частиц 71fr, t) и температуры Т(Т, t) в несжимаемой среде с заданным случайным полем скорости \(T,t) :

dn/dt - DqV^r = - v(vn) - Wn , ( t )

дТ/at - x^2? = - wT , (2)

u = - /Tvr~7vT . (3)

где U - скорость термофореза, - средняя температура рассматриваемой области, /¡р - термофоретичеекий коэффициент, зависящий от теплофизических свойств газа и частиц, а также их радиуса, V - коэффициент кинематической вязкости среды, Dq и % - коэффициенты броуновской диффузии аэрозольных частиц и температуропроводности среды, соответственно.

Гидродинамическую скорость среды представляется в виде суммы регулярной и флуктуирующей компонент:

Vfr ,t) = <V('r,t.)> + ÖY(T,t).

Скобки <...> означают усреднение по ансамблю реализаций стохастического поля V(r,iJ.

Далее в работе проводится усреднение уравнений (1)~(3) по ансамблю реализаций стохастического поля ÖV. При этом полагается, что ансамбль флуктуаций гауссов с нулевым средним и однородным парным коррелятором с параметрами Bq = <Gv~>/3 , Rq к . Где Rq и 1q - характерные пространственный и временной масштабы корреляции ноля скорости среды, величина Вр определяет интенсивность флуктуаций скорости среды.

При проведении вычислений и их интерпретации была развита и использована диаграммная техника и соответствующие уравнения Дайсона.

При выполнении условия

А. = В0 %20 Е02 « 7 (4)

которое справедливо например для малоинтенсивных флуктуаций скорости среды, и ряда условий, имеющих место практически для всех реальных сред, в работе получено эффективное уравнение для средней концентрации аэрозольных частиц:

дпШ + и^дп/дг = (5)

- Т)х(и)(д2/дз? + д2/ду2)п + В (ы)д2п/дг2 .

Здесь ось 2 декартовой системы координат параллельна градиенту температуры. Полученные продольный 0 (в направлении, параллельном градиенту температуры) и поперечный 01 коэффициенты диффузии и эффективная скорость термофореза и^ имеют вид:

уч; = и0 + в0%0(1 + зр^Ы)] , (6)

О^ы) = 00 + ВдХ^ы) , (7)

иэф = V - В0%0[%010 + Х~1 ?!(<>»» . (8>

где = 1 + (3/2)ы~3[и - аггЛв(и)(1 + ы2)] ,

Р2(ш.) = -5/4 + (3/4)ьГ3[-Зь) + aгctg(ы)(3 + 4(/ + и4)] ,

Возникающий важный физический параметр (.0 является отношением скорости термофореза в отсутствии флуктуаций и^ к скорости выравнивания температуры молекулярной теплопроводностью на масштабе корреляции .

Для малых относительных перепадов температуры выполняется условие

ы « 1 ,

учет которого позволяет упростить полученные выражения. Опу-екая члены 0(>.и > , для функций, входящих в (б)-(8), имеем:

?,С<о» - (1/-)]<1)г:, Р„п,>) = 1 + ,' ;/5 Ни'. Р^/и,) = /

I ■ У у ' ' ' '

зависимость ктиннот'о кофи! ц1 н т * диффузии от \]'лу}ъ~

метра <о обусловлена флуктуациями скорости термофореза, которые, в свою очередь, связаны с флуктуациями температурного поля. Нетрудно видеть, что функции и моно-

тонно возрастающие, причем продольный коэффициент диффузии растет быстрее поперечного. Из выражения для эффективной скорости термофореза следует, что турбулентные пульсации приводят к уменьшению регулярной скорости термофореза.

ГЛАВА 2. Коагуляция броуновских аэрозольных частиц в стохастической среде.

В начале второй главы диссертации дается краткое введение в рассматриваемую проблему. Изменение спектра размеров частиц за счет их слияния играет доминирующую роль во многих природных и промышленных дисперсных системах. Теоретическое исследование процессов коагуляции высокодисперсных частиц имеет многолетнюю историю, восходящую к классическим работам Смолуховского. Несмотря на имеющиеся в этой области достижения, целый ряд вопросов, важных как с научной, так и с практической точек зрения, остается неисследованным. Одним из малоиследованных вопросов является коагуляция аэрозольных частиц при наличии турбулентных пульсаций скорости несущей среда. Указанная проблема весьма сложна для детального теоретического анализа, поэтому представляет интерес исследовать ее для некоторых упрощенных моделей. Наиболее простой из них является модель пассивной примеси, которая применима для броуновских частиц. Однако даже для этой модели возникают проблемы, которые полностью не решены до настоящего времени. К ним относится вопрос об уравнении на функцию распределения частиц по размерам для коагуляции в турбулентной среде.

Далее в главе отмечена работа В.М.Волощука, в которой обсуждалась возможная структура эффективного уравнения для функции распределений частиц по размерам. В указанной работе, однако, не вычислялись тензор турбулентной диффузии и эффективное ядро коагуляции, эти величины фигурируют как неизвестные константы.

Во второй главе диссертации выводится уравнение для

осредненной функции распределения аэрозольных частиц по размерам и вычисляются все входящие в это уравнение константы, выразив их через статистические характеристики поля скорости несущей среды. Приведены результаты исследования неоднородного кинетического уравнения коагуляции пассивной примеси в стохастической среде для произвольной парной корреляционной функции флуктуаций скорости среды лишь при некоторых ограничениях на ее аналитические' свойства. Кроме этого в исходном уравнении учитывается регулярная поправка, обусловленная объемным стоком аэрозолных частиц (например благодаря вымыванию жидкими каплями в облаках). При проведении конкретных расчетов предполагалось, что турбулентные пульсации среды малоинтенсивны.

В главе 2 для описания коагуляции высокодисперсных аэрозольных частиц в неоднородной среде используется- уравнение

бГ/дг - щчуф + а(7)/ + и^ - {/,/} = О (9)

Где интеграл столкновения {/,/} имеет вид

{/,/} = (1/2) /(-г,Г,7-7') /а,г,у; фт'

00

- /а,г,'/) х бсу/г) /гг.г.у; сг/* , о

f(t,т,V) - неоднородная функция распределения по размерам (объемам V) частиц, и(^,г) - скорость несущей среды, 0(7) -броуновский коэффициент диффузии, коэффициент а(7) описывает объемные стоки частиц в системе, 3(73,т/3) - симметричная

функция, характеризующая процесс слияния частиц и называемая ядром коагуляции.

Также как и в первой главе диссертации, во второй главе гидродинамическая скорость среды представляется в виде суммы регулярной и флуктуационной компонент и изучаются эффекты, связанные с флуктуациями скорости несущей среды.

Исследуемое уравнение о математической точки зрения представляет собой дифференциально- уравнение относительно скалярного поля / со случайным коэффициентом и нел^кяльн'-З квадратичной нелинейностью. 5 диссертации данная зада«*!

переформулируется с помощью понятия производящего функционала и его представления в виде континуального интеграла. Эта процедура формально сводит описание классической стохастической задачи к некоторой квантовой теории поля. Следует отметить, что переформулировку классической задачи в виде квантовой теории поля иногда называют формализмом Мартина -Сиджиа - Роуза. Формулировка задачи в виде квантовой теории поля позволяет развить теорию возмущений и вывести соответствующие уравнения Дайсона и Швингера. В отличие от хорошо разработанного случая уравнения со случайным источником, рассматриваемое в диссертации уравнение содержит случайный коэффициент при полевой функции, поэтому процедура получения производящего функционала в виде континуального интеграла потребовала модификации по сравнению с работами, ссылки на которые приведены в диссертации.

Для гауссова анасамбля реализаций стохастического поля скорости несущей среды с однородным парным коррелятором в диссертации получен производящий функционал корреляторов поля функции распределения частиц по размерам в виде функционального интеграла. Полученный производящий функционал использован для получения точных (вне рамок- теории возмущений) соотношений для различных корреляторов физических полей. С помощью производящего функционала также построена теория возмущений гго параметру X, связанному с интенсивностью флуктуаций скорости несущей среды (этот параметр уже использовался в первой главе диссертации, см. формулу (4) автореферата). Развита соответствующая диаграммная техника. Для случая лх<1 (малоинтенсивные флуктуации) в главе получены аналитические выражения для эффективного коэффициента диффузии и эффективного ядра коагуляции в зависимости от вида парного коррелятора флуктуаций скорости среды.

Преобразование Фурье для парной корреляционной функции поля скорости среды В имеет вид:

Здесь, как и в глави 1 , В- - интенсивность флуктуаций скорости среды, Пд и - характерные пространственный и времен-

ной масштабы корреляции поля скорости среда, (¿^Х^рд и <2=Н(-р - обезразмеренные импульсные переменные, П=р/|р| . Проектор (б^-П^Пр^ как обычно появляется в результате учета условия несжимаемости среды. Конкретный вид коррелятора скорости среды задается безразмерной функцией ФГ|Фс>|,|0|} •

Вычисления были проведены для произвольной функции < удовлетворяющей следующим аналитическим свойствам:

(а) достаточно быстрое убывание при |<3|>7

(б) аналитичность в полосе

(в) Ф(0, ЦЗи/О.

Далее отмечено, что эти свойства выполняются для конкретных корреляторов поля скорости среды, рассматривавшихся в литературе, даны соответствующие ссылки.

Для большинства реальных аородисперсных систем выполняются следующие условия.

1. Радиус и время корреляции турбулентных пульсаций скорости среды соответственно много меньше характерной длины и характерного времени изменения среднего поля:

|Р! - Щ], ¡р0! * %~01 . (Ю)

2. Характерный масштаб пространственной корреляции много больше длины выравнивания концентрации частиц под действием броуновской диффузии за время корреляции Х^:

П0»(В10)1/2. (1!)

Используя условия (10), (11) для малоинтенсивных флук-туаций скорости несущей среды в диссертации получено замкнутое уравнение для средней функции распределения частиц, описывающее неоднородную коагуляцию .частиц в стохастической среде. Входящие ь данное уравнение эффективный коэффициент турбулентной диффузии и эффективное ядро турбулентной коагуляции выражены через функцию Ф, определяющую конкретный вид коррелятора скорости среды. Указанные выражения конкретизированы для нескольких функций парного коррелятора, используемых в литература.

Подученный для эффективного ядра коагуляции перенормирующий множитель % существенно зависит от параметра

Если 1«1, то зависимостью от 0.(У) в перенормирующем множителе можно пренебречь. В этом случае, как и для а(У)=0, имеем:

Здесь - полученный коэффициент турбулентной диффузии.

В противоположном случае ? »1 зависимость от 0.(У) становится существенной и мы имеем:

2ВТ

^ ос -----------

апу *а(Чг)

Последний случай может реализовываться например в ситуации, когда концентрация вымывающих капель достаточно велика или есть сильный электростатический (термодиффузио-форетический) снос частиц к поверхности вымывающих капель.

Особо следует отметить случай, когда характерный масштаб пространственной корреляции много меньше длины выравнивания концентрации частиц броуновской диффузией за характерное время изменения среднего поля, т.е.

й0 * №'|р0|;,/г •

Тогда при отсутствии объемных стоков результатом учета турбулентности несущей среды является замена коэффициентов броуновской диффузии в затравочном ядре броуновской коагуляции на коэффициенты турбулентной диффузии. А именно, вместо уравнения броуновской коагуляции с интегралом столкновения (9) и ядром коагуляции

= 4% (Е.+Нр) IV.)+Ъ{Чр)]

п 3

(й. ,йо - радиусы соответствующих частиц, \'-(4/3)'кН ) в сто-

хаотической среде имеем уравнение

Г dt - (D(V)+DT) VT ]<f(t ,T,V)> =

V

= (1/2) £ { SfV-V'.y; <f(t,T,V-V')> <rf(t,T,V')> +

+ с зт(\'-у,у) ^ яу/а.г.у-у.» у/(£,г,у.)> ) сгг

00

- £ г </а,т,у)> +

Здесь ядро турбулентной коагуляции

Бт(У;,72) = 4% (Я^Нп) , коэффициент турбулентной диффузии

= то%о '

н константы М, С выражаются через функцию парного коррелятора флуктуаций Ф:

С = Н/(6%2М),

N = Гйг :г§(0,х),

00 00

й = lim (!/6irJJctrfdyСФ(у,х)х /(у+ in).

6 — + 0 О -со

Из полученного уравнения коагуляции & стохастической среде видно, что в случае турбулентности с: нр*ютрчнотьенными масштабами, большими расстояния между • .■тде.пьными частицами,

обусловленные турбулентностью коагуляционные аффекты для модели пассивной примеси связаны с неоднородностью средней Функции распределения. В однородном случае 4^=0 турбулентность не изменяет интеграл столкновения. '

Обычно коэффициенты броуновской и турбулентной диффузии связаны соотношением Б(Ч) * Д^, откуда следует Б/З^ « 1, поэтому при достаточно больших градиентах поля функции распределения частиц турбулентная поправка в интеграле столкновения может играть существенную роль.

ГЛАВА 3. Групповой анализ уравнений теплового самовоздействия лазерного излучения в движущемся аэрозоле.

В третьей главе диссертации рассматривается система уравнений, описывающих распространение оптического излучения в условиях теплового самовоздействия в движущейся среде:

и, + А + А + Ш + 1(а, + $У!)А = О

•2 XX УУ 7 7

тг + Тх - (аг + $гЯ)!А1г - 0 (12)

Г + № + В^!А!2 = 0.

t х г3

Где А=рехр( 1<р) - комплексная амплитуда электрического поля световой волны, распространяющейся вдоль оси Z, Т - отклонение температуры среды от равновесной, № - водность среды. Система записана в обезразмерекном виде, ось X совпадает с направлением движения среда (направлением перпендикулярной к оси пучка составляющей ветра при распространении в атмосфере). Константы а;, <Х0 - неотрицательные, р(, (Зр, рэ - положительные, КфО. Эти параметры, используемые в обезразмерен-ных уравнениях, позволяют описывать целый набор физических задач при соответствующем выборе физических констант, через которые они выражаются.

Случай №=0 отвечает распространению излучения в прозрачной среде. При УгйО система (12) моделирует распространение излучения в облачной атмосфере, если длина волны излучения много больше размеров капель. Обращение в нуль констант а.

или ар отвечает различным физическим постановкам задачи. Если поглощение энергии излучения аэрозолем играет доминирующую роль по сравнеию с поглощением молекулярными газами, то полагают ОС¡=0. Если аэрозоль играет доминирующую роль в процессе изменении температуры среды, то полагают ар=0.

Б диссертации получены группы локальных точечных симметрии для всех вышеуказанных интересных с физической точки зрения модификаций системы (12).

Вычисленная группа симметрий оказалась бесконечнопара-метрической, т.е. содержащей произвольные функции в инфини-тезимальных операторах группы. Это позволило использовать полученную группу для моделирования и групповой интерпретации фазового управления оптическим излучением на излучающей апертуре.

Оптимизация параметров лазерного излучения в движущейся среде (осноеной пример - наличие бокового ветра при распространении излучения в атмосфере) является актуальной проблемой нелинейной оптики. Обычно начальную фазу излучения представляют в виде набора полиномов и проводят оптимизацию коэффициентов разложения с помощью численных методов. Однако численная оптимизация в задачах нелинейной оптики позволяет, как правило, найти лишь локальный экстремум оптимизируемого функционала. Кроме того в численных расчетах не удается адекватно отразить многообразие параметров, характеризующих задачу. В связи с этим важно иметь аналитические результаты для уравнений нелинейной оптики.

Группа симметрий системы (12) позволила получить аналитические формулы, описывающие поведение импульса излучения, для нескольких частных случаев управления начальной фазой.

Наиболее используемым применением группы локальных точечных симметрий нелинейного уравнения является поиск точных аналитических решений этого уравнения. Для системы исследуемых уравнений нахождение точных решений является важной задачей в связи с возможностью их использования в качестве тестов для численных методов решения этих уравнений. Кро^е того, точные решения все 1'да важны для понимания процессов, происходящих н нелинейной системе, Нчскплько известно «1 «тору, точны», нетривиальных решений системы уравнений ' л-.-

настоящего времени получено не было.

Группа симметрии системы (12) использована в диссертации для редукции этой системы к системе уравнений, содержащей меньшее, чем исходная система, количество независимых переменных. Путем решения полученных редуцированных уравнений найдены точные, инвариантные относительно группы симметрии, решения исходной системы (12).

ГЛАВА 4, Групповой анализ уравнений коагуляции.

В начале четвертой главы диссертации обсуждаются возможности группового анализа для уравнений коагуляции. Уравнения коагуляции Смолуховского и полученные в главе 2 уравнения неоднородной броуновской коагуляции в стохастической среде содержат интегральные члены, и тем самым относятся к классу нелокальных интегро - дифференциальных уравнений. Используемые в большинстве работ, в том числе и в главе 3 настоящей диссертации, методы вычисления группы симметрии применимы для локальных уравнений. Математические методы группового анализа для нелокальных уравнений находятся в настоящее время в стадии разработки. В диссертации обсуждаются имеющиеся на данный момент подходы к нахождению симметрии нелокальных уравнений. Для приложения к уравнениям коагуляции выбран один новый метод вычисления группы симметрии нелокальных уравнений.

При помощи указанного нового метода в главе 4 вычислены группы симметрий для уравнения коагуляции Смолуховского и полученного в главе 2 уравнения неоднородной броуновской коагуляции в стохастической среде.

С помощью полученных симметрий найден возможный вид инвариантных относительно группы симметрии решений и соответствующие редуцированные уравнения для уравнения коагуляции Смолуховского и для уравнения неоднородной броуновской коагуляции в стохастической среде.

Для уравнения коагуляции Смолуховского полученный в диссертации вид автомодельных решений и соответствующие редуцированные уравнения в интересных с физической точки зрения случаях рассматривались ранее A.A. Лушниковым и другими

авторами. То, что весь набор рассматривавшихся ранее автомодельных решений уравнения коагуляции Смолуховского получен в диссертации единообразно с помощью групповго метода, показывает эффективность группового анализа в приложении к нелокальным уравнениям.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Рассмотрена задача о термофорезе аэрозольных частиц в стохастической среде. Для малоинтенсивных гауссовых флуктуа-ций поля скорости среды вычислены эффективный тензор турбулентной диффузии и эффективная скорость термофэреза. Турбулентная диффузия описывается двумя коэффициентами диффузии -продольным, в направлении параллельном градиенту температуры, и поперечным, в плоскости перпендикулярной градиенту температуры. Продольный коэффициент диффузии больше поперечного. Эффективная скорость термофореза меньше, чем скорость термофэреза в отсутствии фшуктуаций скорости несущей среды.

В рамках модели пассивной примеси изучена коагуляция аэрозольных частиц в стохастической среде. Для гауссовых флуктуаций поля скорости среды с однородным парным коррелятором найдены точные уравнения для корреляторов функции распределения частиц при произвольных, в том числе интенсивных, фдуктуациях скорости среды. В случае малоинтенсивных флуктуаций поля скорости среды получено эффективное уравнение коагуляции. Вычислены выражения эффективного ядра коагуляции и эффективного коэффициента диффузии, обнаружена их связь. В случае турбулентности с пространственными масштабами, большими расстояния между отдельными частицами, обусловленные турбулентностью коагуляционные эффекты для модели пассивной ¡зримеси связаны с неоднородностью по пространственным координатам средней функции распределения частиц. В однородном случае турбулентность не изменяет интеграл столкновения и коагуляция описывается уравнением Смолуховского.

Исследована система уравнений, отесывающих распространение лазерного излучения в облачной атмосфер** при наличии бокового ветра. Вычислена группа ^юка-льных м.'<>чечны>. симм^-— трий указанных уравнений. Группа симметрия я к^ч--<■•<•"— прило-

жения использована для моделирования и групповой интерпретации фазового управления оптическим излучением на излучающей апертуре. Получены редуцированные уравнения для инвариантных относительно группы симметрии решений. Найдены точные решения исследуемой системы уравнений.

Новый метод вычисления группы симметрии нелокальных уравнений применен для группового анализа кинетического уравнения коагуляции Смолуховского и уравнения неоднородной коагуляции аэрозольных частиц в стохастической среде, полученного во второй главе диссертации. Для указанных уравнений вычислены группы локальных точечных симметрий, найден возможный вид инвариантных относительно группы симметрии решений, получены соответствующие редуцированные уравнения для инвариантных решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

!. Кудрявцев А.Г., Трайтак С.Д. Перенос высокодисперсных частиц в турбулентной среде с градиентом температуры. В сб.: Тезисы докладов 15 Всесоюзной конференции "Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем". Одесса, 1989, т.1 , с.91.

Кудрявцев А.Г., Трайтак С.Д. Диффузия аэрозольных частиц в стохастической неизотермической среде. ЖЭТФ, 1989, т.96, вып.5(11), с.1744-1751.

3. Кудрявцев А.Г., Трайтак С.Д. Уравнение броуновской коагуляции аэрозольных частиц в стохастической среде. ЖЭТФ, 1991, т.99, вып.1, с.115-126.

4. Кудрявцев А.Г. Симметрии и инвариантные решения для уравнений лазерного пучка в движущейся среде. Веб.: Тезисы докладов международного семинара "Современный групповой анализ". Уфа, 1991, с.38.

5. Кудрявцев А.Г., Четвериков В.Н. Группа классических симметрий кинетического уравнения коагуляции. В сб.: Тезисы докладов 9 коллоквиума "Современный групповой анализ. Методы и приложения." Нижний Новгород, 199?, о.29.

6. Кудрявцев А.Г. Коагуляция пассивной примеси в случайном