Применение двумерных континуумов для моделирования биологических мембран тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Копылова Нагалья Владимировна

ПРИМЕНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ КОНТИНУУМОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ МЕМБРАН

(Специальность 01.02.08 - биомеханика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена в Институте механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Регирер С.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Акимов В.Н.

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Цатурян А.К.

Ведущая организация - Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Защита состоится 1993 г. в часов

на заседании Специализированного совета Д 053.05.02 при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.

/¿-¿У .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ием 1993 Г.

Ученый секретарь

Специализированного совета Д 053.05.02,

профессор В.П. Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Содержимое живой клетки отделено от внешней среда так называемыми биологическими мембранами, толщина которых очень мала: около 100 1 =10_6см. Биологические мембраны разделяют также все внутренние структуры клетки. Основу мембран образуют сравнительно крупные молекулы - липиды и белки. Обычно липиды упорядочены в виде двух плотно прилегающих слоев, а белки либо встроены в один из слоев, либо пронизывают оба слоя, либо образуют цитоскелетную сеть с внутренней сторонй мембраны Биологические мембраны играют важнейшую роль в жизнедеятельности клетки и организма в целом. Основные универсальные функции мембраны:

- поддержание целостности клетки;

- участие в процессе деления клетки;

- образование межклеточных контактов и связей;

- регулирование состава внутриклеточной среды и процессов массопереноса между клеткой и окружающей средой;

- участие в процессе распознавания клеток.

• Ряд клеточных мембран, кроме того, обладает способностью вырабатывать электрический сигнал в ответ на внешнее воздействие (клетки-рецепторы) и передавать этот сигнал (мышечные и нервные клетки). Эти и другие функции мембраны выполняют,обладая сравнительно (по отношению к клетке и ее органеллам) простым и единым принципом строения.

Биологические мембраны - один из главных объектов изучения в современной биофизике. Множество экспериментальных данных получено на существенно надмолекулярном уровне, и необходимым при их истолковании является представление о двумерной сплошной среде. Возникла необходимость развития различных способов моделирования биологических мембран как одним двумерным континуумом, так и системой их, причем, если на основании однолистной модели можно было бы дать общее описание того или иного процесса для мембраны в целом, то многолистное приближение позволило бы при необходимости оценить вклад каждого структурного слоя мембраны в исследуемый процесс.

В рамках такого подхода могут рассматриваться, в частности, следующие вопросы:

- реологические свойства материала мембраны (поверхностные упругость и вязкость, сопротивление изгибу и изменению тол-

щины, прочность);

- поддержание и изменение равновесной формы мембраны клетки;

- формирование искуственных мембран из раствора, расщепление их на монослои (образование "линз");

- массоперенос вдоль мембран и через нее, массообмен между слоями внутри мембраш и между мембранами (при контакте);

- взаимодействие между мембранами, их слияние и разделение; свойства, движение и транспортные функции мембранных микропузырьков (везикул);

Для отдельных мембранных явлений построены феноменологические модели. К наиболее изученным относятся поддержание и изменение формы мембраны эритроцита, процессы массопереноса через поверхность клетки и связь их с химическими реакциями и электрическими явлениями. В первом случае исследование проводится методами равновесной, а во втором - линейной неравновесной термодинамики. Некоторые частные вопросы метаболизма клетки разрешаются в рамках нелинейной термодинамики. Недостаточно изучены механические неравновесные процессы, вопросы поверхностной диффузии и взаимосвязь этих мембранных явлений с остальными важными проявлениями клеточной активности.

Известно, что структурная организация мембраны, включая в себя как латеральную организацию липидного бислоя, так и способ связи двух мембранных подсистем (каркаса и литтидного бислоя), динамична и зависит, кроме того, от осмотического и электрических трансмембранного и поверхностного потенциалов. Существует множество экспериментальных данных о том, что цитоскелет помимо обеспечения механической прочности клетки вовлечен в регуляторные и другие специфические клеточные процессы. Это отражается в изменениях связи бислой-каркас, что, в свою очередь, влияет на деформируемость и жесткость мембраны. Следовательно, твердотельные эффекты, обусловленные существованием каркасной подсистемы, отражают специфику процессов, протекающих в клетке, и позволяют судить о происходящей при этом перестройке в мембранной архитектуре. Отсюда следует необходимость построения общих феноменологических соотношений, связывающих макроскопические механические параметры с различными клеточными процессами.

Цель диссертационной работы. Работа посвящена моделированию биологических мембран в рамках представлений о двумерных континуумах, в том числе систематизации существующих теоретических исследований.

Основные вопросы, рассмотренные в диссертации:

1. Вывод общего балансового уравнения для произвольной полевой величины на одной из поверхностей, моделирующей слоистое тело (мембрану);

2. Получение общего выражения для производства энтропии в случае моделирования мембраны одним или несколькими двумерными континуумами;

3. Исследование дассипативной функции для транспортных процессов в мембране, находящейся в условиях частичного равновесия;

4. Моделирование латеральной диффузии компонентов, составляющих мембрану;

5. Анализ кабельного приближения в задаче о распространении электрического сигнала по мембране.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Дан вывод дассипативной функции как в случае однолистной модели, так и в случае системы листов, моделирующих мембрану.

2. Предложен конкретный вид дассипативной функции для транспортных процессов в мембране, находящейся в условиях теплового и механического равновесия; выделен случай поверхностной подвижности компонентов мембраны.

3. Рассмотрены новые задачи о распространении электрического сигнала в бесконечных цилиндрическом и плоском слоях; дан анализ применимости кабельных уравнений.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы:

1. Для построения единой модели мембраны, в рамках которой учитывалась бы взаимозависимость различных мембранных процессов и можно было бы выделить вклад, обусловленный структурой и взаимосвязью отдельных мембранных слоев и компонент; такая модель могла бы служить для рациональной обработки опытных данных и, возможно, позволила бы увидеть, что множество различных' эффектов, наблюдаемых экспериментально - суть различные проявления сравнительно узкого набора свойств.

2. Для теоретического исследования переходных процессов в мембране, когда имеется связь между механическими и немеханическими явлениями.

Апробация результатов. Основные результаты проведенных исследований докладывались и получили одобрение на третьей Всесоюзной конференции по проблемам биомеханики (Рига-1983г.) и шестом Все-

союзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент-1985г.), на научных семинарах Института Механики МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа имеет 114 страниц, включает 17 рисунков, библиографический отдел содержит список цитируемой литературы из 170 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дана общая постановка проблемы, связанной с моделированием биологических мембран, сформулированы цели работы, указана новизна и практическая значимость полученных результатов, а также приведена краткая характеристика глав диссертации.

Первая глава посвящена обзору литературы, касающейся проблем моделирования биологических мембран.

В § 1 рассмотрено общее состояние вопроса о конструировании функции свободной энергии биологических мембран. Выделен ряд работ, в которых свободная энергия представлена суммой энергий по слоям, составляющих мембрану, дан анализ условий, при которых мембрана, моделируемая оболочкой, проявляет свойства жидкости или твердого тела.

В § 2 описываются метода, используемые при изучении различных межфазных областей раздела, моделируемых как одной разделяющей поверхностью Гиббса, так и различными пленками: тонкими и толстыми. Обсуждаются результаты работ, в которых мембранные системы рассматриваются в рамках теории межфазных границ. Дается описание альтернативного метода в моделировании мембран: представление ее двумерным материальным континуумом или системой таковых. Обсуждается круг вопросов, решаемых в рамках этих подходов, и отмечается недостаточность равновесных моделей при рассмотрении динамики мембран.

В § 3 обсуждаются общие вопросы моделирования мембраны нестационарной поверхностью. Выписывается общее балансовое уравнение для произвольной поверхностной величины и дается перечень мембранных событий, укладывающихся в рамки основных термодинамических теорий. Отмечается, что параметры, отражающие твердотельное поведение мембраны, необходимо должны входить в число определяющих параметров модели, и что при многолисгном способе моделирования

требуется вывести общее балансовое уравнение для произвольной полевой величины на отдельной моделирующей поверхности.

Вторая глава связана с проблемами моделирования мембраны одной поверхностью.

В § 1 представлены геометрические соотношения для двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Рассмотрены кинематические соотношения для материального двумерного континуума, проведен анализ распределения скоростей бесконечно малой частицы двумерного континуума и дана сводка производных по времени всех основных геометрических характеристик поверхности.

В § 2 получено выражение для производства энтропии на произвольной разделяющей поверхности 2, локализованной внутри мембраны, под которой понимается вся область перехода между объемными фазами. При формулировке замыкающих балансовых уравнений приняты наиболее общие предположения относительно тензора давлений.

Локальная поверхностная функция внутренней энергии иЕ принимается в виде:

uWtc^.l/p2, ss. ааЭ, ьаЭ. Фга, ф2),

У Е

где с - концентрация к-го компонента двумерного континуума, р -

г

его поверхностная плотность, s - энтропия единицы массы поверхности, аа(3, ьа(3- первая и вторая квадратичные формы поверхности, Ф - трансмембранный электрический потенциал, ф2- поверхностный электрический потенциал.

Таким образом, здесь учтены факторы, играющие центральную роль в функционировании мембран:твердотельные деформации, трансмембранный и поверхностный потенциалы.

В § 3 общее выражение функции диссипации рассматривается в частном случае для процессов переноса массы через мембрану в условиях частичного (теплового и механического) равновесия. Этот случай часто встречается в биофизических исследованиях транспорта; функция диссипации az обычно постулируется в виде:

(1)

R

где j^dc^/dt - скорость изменения концентрации к-го компонента в системе за счет химических реакций и переноса заряженных частиц через поверхность; Fcp - электрохимический потенциал,

А к в Ш '

ц - химический потенциал к-го компонента, zi~ заряд к-го компонента, f— число Фарадея, <р - трансмембранный потенциал; член zfeF(pm представляет изменение свободной энергии, связанное с пере-

носом иона сорта к с одной стороны мембраны на другую по градиенту электрического потенциала.

Полученное в диссертации выражение для диссипативной функции имеет вид:

а(8НЗ(3Л (¡¡¿-ф*^ (^»-^^-р^А* (2)

к ЛАГ

В отличие от (1) сюда входит не "сквозной" поток массы через поверхность, а односторонние потоки частиц 3А» ^ в объемных фазах, отражающие изменение массы к-го компонента, обусловленные разницей электрохимических потенциалов только в соответствующем объеме. В (2) (12ь, суть электрохимические потенциалы к-го компонента в прилегающих объемах и на поверхностях мембраны, поток массы к-го компонента вдоль поверхности, стехио-метрический коэффициент к-го компонента в г-той реакции, А^- скорость г-той независимой реакции на поверхности.

Дан краткий анализ полученной формулы и рассмотрены частные случаи, отвечающие различным транспортным процессам. В частности указано, что соответствие между двумя видами диссипативной функции получается в тех случаях, когда односторонние потоки независимы, равны один другому и противоположно направлены, а поверхностное перемещение переносимого компонента можно не рассматривать. Эти условия выполняются для пассивной и некоторых случаев канальной диффузии.

В § 4 рассмотрен частный случай латерального транспорта компонентов, составляющих мембрану. На основании замыкающего соотношения, следующего из общего вида функции диссипации, для потока компонента вдоль мембраны , где у.Ел=(др/д сл), ло-

кальная свободная энергия участка мембраны, вид которой соответствует общему случаю вязкоупругой мембраны, получен закон диффузии, в котором помимо обычных градиентов концентрации присутствуют слагаемые с градиентами различных геометрических параметров.

Третья глава посвящена моделированию мембраны системой поверхностей.

В § 1 приведен перечень геометрических соотношений на отдельной моделирующей поверхности в системе координат, связанной с поверхностью отсчета, локализованной внутри слоистого тела. Приведена сводка необходимых кинематических соотношений для системы материальных континуумов.

В § 2 дан вывод балансового уравнения для произвольной повер-

хностной величины ф5*1 на отдельной моделирующей поверхности 2{. Слоистому телу ставится в соответствие модельная система: каждый реальный объемный слой тела моделируется разделяющей поверхностью Строится элементарный цилиндр V, боковая поверхность которого 5 перпендикулярна "основной" поверхности 2, а основания лежат в окружающих слоистое тело однородных фазах. Криволинейная система координат связывается с поверхностью 3. Объем V поверхностями А разбивается на объемы содержащие поверхности и

отсекающие на этих поверхностях элементы площади йAl=1/a^dr\,¿г\г (рис.1).

Рис.1 Элементарный цилиндр, выделенный в слоистом теле, моделируемом поверхностями ^ ). Боковая поверхность цилиндра перпендикулярна основной поверхности 2(Х=0). Объемные фазы между параллельными поверхностями Л=Д.{=сопзе

заключают поверхности и содержатся в объемах V . Вектора п{-единичные вектора нормали к 2 , А - элементы площади поверхностей

5* 1

Общее уравнение баланса величины <|> на поверхности 2 (имеет

вид:

+фЕ(71 (ф24 • ) ]+

(ЗЪ

{ + 1

п,'[а((р,)]+а5:'((1)Е1)+ 2 А /а. (5 I =0 (3)

I 1 I ' , Ш ( Ш Ш Л —Л

111 = 1 1 Я

где модельная величина ¡[Г , соотвегствущая поверхностной величине ф5"1, может быть задана с помощью ступенчатой функции 0(х)=1, х>0 и 9(х)=0, х$0: ^(=ф'б(Ь1-\)+ф1419(Я-п{), 52((фЕ{)- поток фг* вдоль поверхности 2(, 3(<|>()- поток ф( в объеме,

[34^ )!=(?'(ф'41З-4 (с(1{))'П{- скачок потока величины <р(на поверхности 2{; ковариантное дифференцирование по координате

на поверхности о^'сф14)- производство на поверхности. Как и в случае одной разделяющей поверхности 2 при моделировании межфазной зоны, вводятся поле скоростей V в объемной фазе V. и поле скоростей V на поверхности £ , которые в общем случае различаются. Добавочный член 2 у'сГ/а, (3 -У )-п I, . исчезает в случае

, 771 I 771 171 171 А—Л

т = { 1 т

существования реальной объемной фазы между поверхностями Для тонкого слоистого тела, когда существует взаимодействие поверхностных слоев, этот член зависит от выбора модели и нуждается в каждом конкретном случае в оценке.

Кроме того, получены условия эквивалентности реальной и идеализированной систем и условия согласования величин при различных модельных описаниях. Обсуждается согласие полученных формул с результатами предшествующих работ.

В § 3 получена диссипативная функция для отдельного материального континуума Е .

у л

Функция внутренней энергии и принята в виде:

иЕ{ = и21 (б*1 ,1/рЕ1 ,а{а/5,ь4),

где э5"'- энтропия единицы массы континуума, рЕ4- • поверхностная плотность' массы континуума 2(, поверхностная концентрация

к-го компонента,' а{а)?- первая квадратичная форма поверхности

-расстояние между Е и Е . В отличие от модели в главе 2 сопротивление мембраны изгибу обеспечивается не свойствами отдельных листов (ь(о|3 не входит в число аргументов и*"'), а их взаимодействием.

В конце §2 главы 2 и §3 главы 3 выписаны следующие из анализа диссипативных функций системы обобщенных сил и потоков, которые, с учетом дополнительных соображений, устанавливают допустимый вид определяющих соотношений.

Четвертая глава составлена из решений модельных задач, рассматривающих различные транспортные процессы- в мембране.

В § 1 рассмотрена осесимметричная задача о переносе частиц через плоскую мембрану с диффузией вдоль поверхности к проводящему каналу малого радиуса е. Каналы не взаимодействуют друг с другом, т.е. имеется некоторый характерный размер е*. определяющий границу, через которую нет потока частиц (к*»е). Выписывается традиционное уравнение диффузии с нсточниковнми членами, характеризующими свойства проводящего канала и способность к поглощению (освобождению) частиц в зависимости от их концентрации на обеих

сторонах поверхности. Решение задачи построено в стационарном случае в области г^*. Результат анализируется при различных характеристиках проводящего канала.

В § 2 рассматривается осесимметричная задача о диффузии частиц на сферическом бислое, моделируемом двумя концентрическими сферами (листами), находящимися на малом расстоянии одна от другой. Частицы, диффузия которых изучается, в начальный момент времени ь=0 сосредоточены в области 0<е<9о одного (верхнего) листа. В источниковых членах традиционных уравнений диффузии учитывается возможность обмена между листами, зависящего как от разности концентраций частиц, так и от разности кривизн листов. В результате решения задачи получены величины, характеризующие расплывание меченых частиц во времени. Вводится понятие эффективного коэффициента диффузии для бис-лоя в целом. Обсуждается возможность регистрации обмена, связанного с разностью кривизн.

В § 3 решена задача, связанная с вопросом о проведении электрического сигнала в возбудимых мембранах. Рассматривается мембранный слой, заключенный между заряженными бесконечными коаксиальными цилиндричесними поверхностями. В объемах, окружающих слой, выполняются уравнения- электродинамики в электростатическом приближении. В результате реиенкя задачи выписано общее уравнение для разницы поверхностных потенциалов - трансмембранного потенциала. Полученное уравнение отличается от уравнения кабельной теории и сводится к нему лишь при определенных предположениях, в том числе при пренебрежении емкостными эффектами вне мембраны. Справедливость этого проверена на примере распространения нервного импульса по волокну.

В § 4 рассмотрена аналогичная задача для мембраны в виде плоского слоя, окруженного слоями анизотропно проводящей среда. Анализ показывает, что для такой геометрии приемлемость кабельной теории имеет место при более жестких ограничениях, требующих в частности малой толщины окружающих мембрану объемных слоев и определенной симметрии тензоров проводимости в этих слоях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для модели мембраны в ражах теории межфазных границ получено выражение диссипативной функции для разделяющей поверхности Гиббса внутри мембранного слоя. В число определяющих входят параметры, отражающие твердотельные эффекты, характерные для биологи-

ческих мембран.

2. Приведен частный случай функции диссипации для транспортных процессов через мембрану, моделируемую двумерным материальным континуумом и находящуюся в условиях частичного равновесия (теплового и механического). В отличие от обычно принятого выражения функция содержит члены, отражающие латеральную подвижность компонентов и односторонние потоки частиц.

3. При исследовании латеральной диффузии компонентов мембраны получены уравнения диффузии, в которых поток частиц помимо градиента концентрации управляется градиентами механических параметров.

4. Выведено общее уравнение баланса произвольной полевой величины для одной из разделяющих поверхностей Гиббса, моделирующих слоистое тело. Получена диссипативная функция для одного листа.

5. Решена модельная задача, описывающая перенос массы через каналы на плоской мембране при наличии предшествующей стадии латеральной диффузии. Явное задание свойств канала и кинетики присоединения-отсоединения позволяет описать широкий набор пассивных транспортных процессов.

6. Решена модельная задача о латеральной диффузии молекул на сферическом Сислое при возможности обмена молекулами между слоями под действием разностей концентраций и кривизн. Проведен анализ зависимости эффективного (наблюдаемого) коэффициента диффузии от коэффициентов диффузии на отдельных листах и обменных свойств би-слоя.

7. Для цилиндрического и плоского мембранных слоев в элекро-статическом приближении выведены уравнения для трансмембранного потенциала. В случае бесконечного цилиндра уравнение отличается от уравнения кабельной теории одним добавочным выражением, несущественным при описании процессов распространения нервного импульса. Для плоского случая вид уравнения для трансмембранного потенциала зависит от свойств матриц проводимостей и толщин слоев электролитов вне мембранного слоя. Указаны условия, при которых справедливы уравнения кабельной теории.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Прибылева Т.А., Регирер С.А., Степанова Н.В. Механика и термодинамика биологических мембран: Отчет № 3057. Ин-т механики МГУ.- М., 1983.- 31 с.

2. Степанова Н.В. Поверхностная диффузия в мембранах: Отчет Л 2819. Ин-т механики МГУ.- М., 1983,- 42 с.

3. Прибылева Т.Д., Степанова Н.В. О диффузии в бислойных мембранах // Тез.докл.3-й.Всес.конф. по пробл.биомех. Т.1.- Рига, 1983, С.258-259.

4. Степанова Н.В. Уравнение баланса энтропии и определяющие соотношения для биологической мембраны // 6-й Всес.съезд по теор. и прикл.мех. Аннот.докл.- Ташкент, 1986,-С.582.

Формат 60x84 1/16 Тираж 80 Заказ 98

Подписано к печати 13.05.93 Объем 0,75 пл.

Ротапринт ВНИРО. 107140, Москва, В.Красносельская, 17