Моделирование пространственной гидродинамики в проницаемых каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Аналитическое исследование

1.1 Основные сведения о баромембранных процессах

1.2 Конструкция мембранных установок

1.3 Математические модели течения жидкости в каналах мембранных установок

1.4 Выводы

2 Пространственная гидродинамика мембранных установок

2.1 Математическая формулировка задачи

2.2 Гидродинамика в мембранных каналах при высоких значениях числа Рейнольдса

2.3 Гидродинамика в мембранных каналах при низких значениях числа Рейнольдса

2.4 Анализ обобщенных решений для каналов мембранных установок

2.4.1 Анализ известных решений двумерных задач

2.4.2 Анализ обобщенных решений задачи пространственного течения в каналах мембранных установок

2.5 Выводы

3 Трехмерные течения в каналах мембранных установок квадратного и прямоугольного поперечного сечения

3.1 Постановка задачи

3.2 Анализ зависимости давления от координат

3.2.1 Случай "исчезающей вязкости

3.2.2 Случай "большой вязкости"

3.3 Анализ структуры течения жидкости для каналов мембранных установок квадратного поперечного сечения

3.3.1 Случай "исчезающей вязкости"

3.3.2 Случай "большой вязкости"

3.4 Исследование гидродинамики мембранных каналов квадратного поперечного сечения

3.4.1 Анализ зависимости кинематики течения от координат

3.4.2 Возможный алгоритм построения общего решения

3.4.3 Пример построения осесимметричного решения

3.5 Моделирование течений в мембранных установках прямоугольного поперечного сечения

3.6 Методика расчета средней скорости, массового расхода и перепада давления среды в мембранном канале

3.7 Пример использования методики расчета средней скорости, массового расхода и перепада давления потока по каналу в аппарате с фильтрующими элементами

3.7 Выводы

Актуальность темы. Процессы разделения жидких систем играют важную роль во многих отраслях народного хозяйства. Для осуществления этих процессов применяют такие методы как перегонку и ректификацию, экстракцию и адсорбцию. Однако наиболее универсальным методом разделения является разделение с использованием полупроницаемых мембран (мембранные методы).

В химической и нефтехимической промышленности мембранные методы применяют для разделения азеотропных смесей, очистки и концентрирования растворов, очистки или выделения высокомолекулярных соединений из растворов, содержащих низкомолекулярные компоненты, и т.п.; в биотехнологии и медицинской промышленности - для выделения и очистки биологически активных веществ, вакцин, ферментов и т.п.; в пищевой промышленности - для концентрирования фруктовых и овощных соков, молока, получения высококачественного сахара и т.п. Наиболее широкое применение мембранные процессы находят при обработке воды и водных растворов, очистке сточных вод.

Расчеты и накопленный большой фактический материал показывают, что применение полупроницаемых мембран дает значительный экономический эффект в сложившихся традиционных производствах, открывает широкие возможности для создания принципиально новых, простых, малоэнергоемких технологических схем.

Таким образом, несомненные достоинства и универсальность методов мембранного разделения (малая энергоемкость, компактность, простота аппаратурного оформления, экологическая чистота) ставят их вне конкуренции при использовании в промышленном производстве для разделения, очистки и концентрирования растворов органических или минеральных веществ.

Разнообразие технологических задач, которые можно решить с использованием полупроницаемых мембран, требует создания широкого спектра аппаратов мембранного разделения оптимальной конструкции.

Физически обоснованные методы расчета процессов разделения в таких аппаратах должны опираться на результаты исследования закономерностей движения жидкой среды и частиц примеси. В ряде случаев надежные сведения о протекании процесса разделения можно получить путем непосредственного измерения. В общем же, в силу достаточно малых поперечных размеров модулей мембранных аппаратов такой метод определения скорости жидкой среды внутри канала трудоемок и не всегда обеспечивает необходимую точность. Поэтому более целесообразно и экономически оправдано математическое моделирование полей гидродинамических переменных в каналах мембранных установок.

Целью работы является математическое описание пространственных течений жидкости в мембранных каналах прямоугольного поперечного сечения. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

- Разработать модели и алгоритмы для описания гидродинамических процессов в мембранных каналах.

- Аналитически и численно исследовать гидродинамические характеристик течений в модулях мембранных аппаратов.

- Разработать методику расчета скорости жидкости в каналах мембранных элементов, а также массового расхода и перепада давления потока по каналу.

О важности исследуемой проблематики свидетельствует тот факт, что вопросы, затрагиваемые в диссертационной работе, входят в "Перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований в России", по следующим пунктам:

2.2. Информатика;

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение в фундаментальных исследованиях в различных областях знания.

Данная работа выполнялась в рамках темы госбюджетного финансирования "Математическое моделирование сложных систем в наукоёмких технологиях" (№ Государственной регистрации 01970002259).

Работа состоит из трех глав, в каждой из которых решается отдельная часть поставленной задачи.

В первой главе рассматриваются различные математические модели, описывающие течения жидкости в каналах мембранных установок, которые представляют собой каналы со вдувом, а также способы получения дискретного аналога исходного дифференциального уравнения и методы его решения. Данная глава содержит обзор работ, посвященных исследуемой проблеме.

Течения жидкости описываются системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса.

По используемому математическому аппарату методы ее решения делят на две группы: аналитические и численные. Аналитические методы решения дифференциальных уравнений, описывающих задачи гидродинамики приведены в работах Дж. Бэтчелора, С. Бермана, С. Юаня, А.Б. Финкельштейна, Г.Ф. Теленина, Л.Д. Шитовой, В.М. Ерошенко, Л.И. Зайчика, И.Л. Краснова, Х.С.Карслоу и ряде других. С помощью численных методов могут быть получены решения гораздо более сложных и важных задач. Различные численные методы решения задач гидродинамики описаны в работах С. Патанкара, Р.Д. Рихтмайера, X. Мортона, Р.В. Мак-Кормака, A.A. Самарского, Ю.Т. Попова, Д. Коннора, К. Бреббиа, Д. Каханера, К. Моулера, С. Нэша, А. Моулта, Д. Сполдинга, Н. Маркатоса, К. Флетчера, В.В. Русанова и др. Примеры численного исследования приведены в работах Б. Салветата, Б.Я. Бендерского, Ф.Ф. Спиридонова, В.А. Тененева, A.C. Лебедева и ряде других. Однако в большинстве случаев рассмотренные методы применимы к решению одно- и двухмерных задач. Самыми универсальными, дающими наиболее полную информацию о параметрах течения являются трехмерные модели, однако, ввиду высокой сложности их практической реализации, а также больших временных затрат и вычислительных ресурсов, необходимых для проведения расчетов, их применение до настоящего времени является ограниченным. Число публикаций, посвященных применению аналитических методов расчета трехмерных течений в мембранных каналах также невелико, по сравнению с работами, описывающими те или иные упрощенные двумерные модели. Таким образом, представляется важным создание трехмерных моделей течений, которые были бы эффективны для исследования гидродинамики в каналах мембранных установок.

Во второй главе рассмотрены особенности решения пространственных задач гидродинамики каналов мембранных установок.

Для случая предельно высоких значений числа Рейнольдса >оо) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных, записанная в дивергентном виде. Эта система может решаться численными методами.

Сформулирована задача определения характерного неизвестного параметра с. Получено интегрально-дифференциальное уравнение, описывающее поведение обобщенного решения. Это уравнение сведено к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению, интегрирование которого позволило получить выражение для отыскания значения с в общем случае.

В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Яе —»0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что кинематика движения {и, V, 1¥) не зависит от вязкости ¡л, а динамика - зависит.

На основе сравнения искомого решения трехмерной задачи с известными двумерными введены обобщенные координаты (&,<!;, г), где а- аналог площади канала, £ - безразмерный периметр - аналог координаты х в плоском случае или угла (р в осесимметричном. В случае предельно больших значений значения числа Рейнольдса (Кг —» со^) получено автомодельное решение. Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса (Ке —> 0) получено нелинейное дифференциальное уравнение, которое может быть исследовано с помощью алгоритма Регирера [37] или методом, изложенным в работе [38].

В третьей главе исследованы трехмерные течения жидкости в каналах мембранных установок прямоугольного и квадратного поперечного сечений на основе уравнений гидродинамики. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Яе-> 0) найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным.

Найдена зависимость для поперечной составляющей давления внутри канала:

Р\ 0> У) = О, У) + Р? (х, у), где Р\(х,у)- давление при малых числах Рейнольдса (Яе 0), р*(х,у) - при больших (Яе->со). Причем Р\(х,у) = 0 при Яе —» оо и р™ (х, у) = 0 при

1/2 + у2 \

Яе-> 0. Показано, что р°(х,у) = —° р?(х,у) = где щ,

Ке 2 V 2 24 у у0- компоненты вектора скорости вдоль осей х, у при Яе 0, ит, ут - при Яе —» со.

С целью анализа кинематической структуры течения рассмотрена его часть в окрестности угла для канала квадратного поперечного сечения. Построенные картины изолиний W=const двух рассмотренных режимов течения при Яе —» <х> и Яе —> 0 качественно похожи. Кроме того, если вблизи начала координат форма изолиний близка к очертаниям угла, то по мере удаления контуры продольной компоненты вектора скорости W=const более напоминают дуги окружностей. Поэтому можно сделать вывод, что вблизи центра канала течение стремиться к осесимметричному.

Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса (Яе —>• 0) на примере круглого канала описан алгоритм получения решения "нулевого приближения" и его последующего уточнения. Работоспособность алгоритма уточнения при получении осесимметричного решения показывает, что с его помощью могут быть получены и соответствующие решения пространственной задачи.

Также в случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Ие -»0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным. Решениями задачи являются функции

V 71 V 71

Л = соб —x, у = соб —v.

2 2

Также найдено приближенное решение в виде: хе[0,1], >>€[0,1].

Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса решена задача движения жидкости в мембранном канале методом последовательных смещений и построены картины изолиний для составляющих вектора скорости. Также исследовано течение жидкости в дренажном канале мембранной установки, образующая которой является прямой линией, а поперечное сечение представляет собой прямоугольник. В ходе эксперимента были проведены расчеты на последовательности сеток, которые показали хорошую аппроксимационную и итерационную сходимость. Выявлено, что линейные размеры дренажного канала мембранной установки прямоугольного поперечного сечения не оказывают влияния на распределение скорости во внешней части мембранного канала и структура течения качественно одинакова.

В заключении перечислены основные результаты работы и представлены выводы, следующие из этих результатов.

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Рассмотрены особенности решения пространственных задач гидродинамики каналов мембранных установок. Исследована трехмерная структура потоков рабочей среды в каналах мембранных установок, позволяющая оптимизировать геометрические и расходные характеристики мембранных каналов.

2. Для случая предельно высоких значений числа Рейнольдса (Re —>а>) сформулирована автомодельная задача и найдено ее решение в аналитическом виде. В процессе решения определен характерный для мембранных каналов параметр, позволяющий установить взаимосвязь между потоками в проницаемых и непроницаемых каналах. Найденное аналитическое решение хорошо согласуется с известными зависимостями для плоского и осесимметричного каналов.

3. С помощью обобщенных координат в случае предельно высоких значений числа Рейнольдса (7?е—»оо) получено автомодельное решение. Показано, что известные решения для плоского и осесимметричного каналов являются частными случаями этого решения.

4. Исследованы трехмерные течения жидкости в каналах мембранных установок прямоугольного и квадратного поперечного сечений на основе уравнений гидродинамики. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re —» 0) найдены решения задачи, используя метод разделения переменных.

5. Проведен анализ кинематической структуры течения для канала квадратного поперечного сечения. Показано, что вязкие силы действуют вблизи угла канала. Ядро течения является практически осесимметричным.

6. Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса численными методами решена задача движения жидкости в дренажном канале мембранной установки. Изучена структура течения - построены картины изолиний для составляющих вектора скорости.

7. Исследовано течение жидкости в напорном канале мембранной установки, образующая которой является прямой линией, а поперечное сечение представляет собой прямоугольник. Показано, что геометрические размеры канала не влияют на структуру течения.

8. Получена зависимость для распределения давления в мембранных каналах.

9. На основе исследований гидродинамики потоков разработана методика, позволяющая рассчитать среднюю скорость, массовый расход и перепад давления среды в мембранном канале и приведен пример их расчета для реально действующего аппарата.

Результаты теоретических исследований могут быть использованы для моделирования гидродинамических процессов в модулях мембранных аппаратов, при проектировании мембранной аппаратуры с целью оптимизации рассмотренных технологических процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Дытнерский Ю.И. Обратный осмос и ультрафильтрация. М.: Химия, 1978.-352 с.

2. Дытнерский Ю.И. Баромембранные процессы. М.: Химия, 1986 - 272 с.

3. Тимашев С.Ф. Физико-химия мембранных процессов. М.: Химия, 1988. - 240 с.

4. Хванг С., Каммермейер К. Мембранные процессы разделения/ Пер с англ.; под ред. Ю.И. Дытнерского. М.: Химия, 1981.- 464 с.

5. Шапошник В.А. Мембранные методы разделения смесей веществ// Соросовский Образовательный Журнал. 1999. - №9. - С.27-32.

6. Марцулевич Н. А. Гидродинамика потока суспензии в условиях микрофильтрации // ЖПХ. 1992. - Т. 65. - № 6. - С. 1301-1314.

7. Эпштейн С.И. Математическое моделирование процессов микрофильтрации эмульсий// ЖПХ. 1992. - №1. - С. 131-137.

8. Святченко В.В., Бильдюкевич A.B. Пористая структура промышленных и экспериментальных ультрафильтрационных мембран// ЖПХ. 1991. -№7.-С. 1571-1573.

9. Дытнерский Ю.И., Кочаров Р.Г. //Журн. ВХО им. Д.И. Менделеева. -1987,- Т. 32. № 6. - С. 607-614.

10. Дытнерский Ю.И. Мембранные процессы разделения жидких смесей. -М.: Химия, 1975.-230 с.

11. И. Кирш Э.Ю., Тимошев C.B. Физико-химические аспекты функционирования и конструирования мембран для обратного осмоса//Журн. Физ. химии. 1991. - №9. - С.2469-2484.

12. Колзунова Л.Г., Калугина Ю.И., Коварский Н.Я. Возможности синтеза ультрафильтрационных и обратноосматических- мембран методом электрохимического инициирования полимеризации мономеров// ЖПХ. -1996.-Т. 69.-№ 1.-С. 135-141.

13. Брок Т. Мембранная фильтрация/ Пер с англ. М.: Мир, 1987. - 464 с.

14. Дубяга В.П., Перепечкин Л.П., Каталевский Е.Е. Полимерные мембраны. М.: Химия, 1981. 232 с.

15. Марцулевич H.A., Гололицкий В.Н., Чесноков Ю.Г., Смирнов H.H. Гидродинамика мембранных аппаратов с полыми волокнами// ЖПХ. -1989. Т. 62. - № 3. - С. 578-580.

16. Марцулевич H.A., Гуляренко H.A., Кононов В.П. Гидродинамика мембранных аппаратов кассетного типа// ЖПХ. 1991. - №4. - С.818-822.

17. Марцулевич Н. А., Гуляренко В. А., Кононов В. П. Использование аппаратов кассетного типа для процессов мембранной фильтрации // ЖПХ.- 1990. Т. 63. - № 10. - С. 2249 - 2252.

18. Марцулевич H.A., Чесноков Ю.Г. Моделирование процесса ультрафильтрации в мембранных каналах круглого сечения при гелеобразовании// ЖПХ. 1989. - №3. - С. 578-580.

19. Плановский А.Н. Николаев П.И. процессы и аппараты химической и нефтехимической технологий: Учебник для вузов. З.е изд., перераб. и доп., - М.: Химия, 1987. - 496 с.

20. Мембраны и мембранная техника. Каталог. Черкассы: НИИТЭХИМ, 1988.-32 с.

21. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1974. 560 с.

22. Гомолицкий В.Н., Головешкин В.Т., Калинина И.К., Смирнов H.H. Применение мембранных методов на различных стадиях биотехнологического процесса// ЖПХ. 1990. - №10. - С. 225-225.

23. Николаев Н.И. Диффузия в мембранах. М.: Химия, 1980.- 232 с.

24. Ягодкин В. И. Течение газа при горении в трубах с пористыми стенками// Инженерный журнал. 1961. - Т. 1. - №3. - С. 165-169.

25. Бендерский Б.Я. и др. Пространственные течения в каналах сложной формы. Эксперимент и теория// 3-я международная конференция ВКП в установках на твердом топливе. (ICOC-99).- Ижевск, 1999. с. 78-92.

26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. -408 с.

27. Темцев Б.Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1978. -463 с.

28. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. 432 с.

29. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

30. Липанов A.M., Бобрышев В.П., Алиев А.В. Спиридонов Ф.Ф., Лисица В.Д. Численный эксперимент в теории РДТТ. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1994. -300с.

31. Бобрышев В.П., Лисица В.Д., Спиридонов Ф.Ф. Физико-математическое моделирование внутрикамерной газодинамики РДТТ. М.: ЦНИИНТИКПК, 1993. - 127с.

32. Краснов И.Л. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1975. 300 с.

33. Ерошенко В.М., Зайчик Л.И. Гидродинамика и тепломассообмен на проницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984. - 274с.

34. Дж. Бэтчелор Введение в динамику жидкости/ Пер. с англ.; под ред. Степанова Г. Ю. М.: Мир, 1973. - 757с.

35. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow with porous walls// Journal of applied physics. 1956,- V.27, №3.- P. 267.

36. Berman A. Conserning Laminar Flow in Channels with Porous Walls// Journal of applied physics. 1959. Vol. 27, №12.-p.l555.

37. Weissberg H. Laminar Flow in the Entrance Region of a Porous Pipe// J. The Physics of Fluids. 1959. Vol. 2, № 5. P. 510-516.

38. Лебедев А.С., Спиридонов Ф.Ф. Течение вязкой жидкости на начальном участке проницаемого канала с поперечной щелью// ИФЖ. 1988. - Т. 54, №4. - С. 561-564.

39. Калинина C.B., Спиридонов Ф.Ф. Гидродинамика течения в канале, стенки которого проницаемы и имеют проточку// Тр. XXIII Сибирского теплофизического семинара. Новосибирск, 1984. - С. 9-13.

40. Лебедев A.C., Спиридонов Ф.Ф. Течение вязкой жидкости в начальном участке каналов с интенсивным вдувом// Механика жидкости и газа. -1987. -№2. -С.187-189.

41. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками. Труды института механики МГУ, 1973, №30.

42. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками// Аэромеханика и газовая динамика. М.: 1976. - С. 76-123.

43. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками, двумерные каналы произвольной формы// Научные труды института механики. Изд-во Моск. ун-та, 1975, № 41.

44. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1961. - Т. 1, №2. - С. 267-279.

45. Рихтмайер Р.Д., Мортон X. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-217 с.

46. Мак-Кормак Р.В. Численный метод решения уравнений вязких сжимаемых течений// Аэрокосм. техн. 1983. - Т. 1, № 4. - С. 114-123.

47. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -219 с.

48. Самарский A.A., Попов Ю.Т. Разностные схемы газовой динамики,- М.: Наука, 1975.-301 с.

49. Коннор Д., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкостей. -Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

50. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 432 с.

51. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. В 2-х т. М.: Мир, 1991, Т. 1 502 е., Т. 2 - 552 с.

52. Заботина Л. Ш., Карачевский M. М. Итерационные методы для смешанных схем конечных элементов решения нелинейных задачтеории оболочек// Вычислительные технологии. 1998,- Т. 3, № 4. - с. 24-35.

53. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике/ Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. М.: Мир, 1978. -242 с.

54. Теллес Д. Ф. К. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987. - 159 с.

55. Ханкель Д., Бреннер Г. Гидромеханика при малых числах Рейнольдса. -М.: Мир, 1986.-630 с.

56. Мак-Кракен А., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. -М.: Мир, 1977. 584 с.

57. Berman A. Laminar Flow in Channels with Porous Walls// Journal of applied physics. 1953. - Vol. 24, №9. - P. 1232-1235.

58. Yuan S.W., Finkelstein A.B. Laminar Pipe Flow with Injection and Suction Through a Porous Walls// Trans. A.S.M.E. J. of heat transfer.- 1956.- V.78, N4,-P. 719-724.

59. Овчаренко А.Г., Спиридонов Ф.Ф., Тушкина T.M. Течение в канале со вдувом и расходным устройством// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Сб. статей под редакцией И.Б. Богоряда. -Томск: ТГУ, 1997.- С.40-43.

60. Овчаренко А.Г., Спиридонов Ф.Ф., Тушкина Т.М. Течение в каналах с проницаемыми перегородками// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Сб. статей под редакцией И.Б. Богоряда. Томск: ТГУ, 1998,- С. 13-16.

61. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. -М.: Энергия, 1972. 560 с.

62. Владимиров В.В. Уравнения математической физики. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.

63. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.-736 с.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Учебник. М.: Наука, 1970. -440с.

65. Слезкин Н. А. Динамка вязкой несжимаемой жидкости. Учебник. М.: Гостехтеоретиздат, 1955. - 519 с.

66. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений.- М.-Л.: Гостехтеориздат, 1951. 420 с.

67. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. - 814 с.

68. Taylor G.I. Fluid flow in regions boundet by porous surfaces// Proc. Roy. Soc, Str. A. 1956. - V. 234, N 1199. - P.456 -275.

69. Свириденков A.A., Ягодкин В.И. О течении в начальных участках в каналах спроницаемыми стенками// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1976.-№5.-С.43-48.

70. Тушкина Т.М. Течение в канале со вдувом и расходным устройством при высоких значениях числа Рейнольдса// Отчет о научно-исследовательской работе по теме "Математическое моделирование сложных систем в наукоемких технологиях".-Бийск.-1997.

71. Бобрышев В.П., Лисица В.Д., Спиридонов Ф.Ф. Физико-математическое моделирование внутрикамерной газодинамики РДТТ.-М.:1ЩИИНТИ КПК, 1993,- 128с.

72. Волков К.Н. Турбулентные течения газовзвеси в каналах со вдувом. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского гос. ун-ста.-1998.-16 с.

73. Лебедев М.Г., Теленин Г.Ф. К расчету пространственных течений в каналах с проницаемыми стенкими// Научные труды института механики МГУ.-1979.-вып.5,-С.41-59.

74. Регирер С.А. О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с проницаемыми стенками// Журнал технической физики.-1960.-Т.ХХХ.-В.6.-с.639-641.

75. Morduchow M. On Laminar Flow Througha Channel or Tube with Injection: Application of Averagts// Quart. Appl. Math. 1956. - V. 14, N 4. - P. 361368.

76. Китаева JI.B., Спиридонов Ф.Ф. Пространственная гидродинамика мембранных установок// Наука и технологии: реконструкция и конверсия предприятий: Материалы региональной научно-практической конференции. Бийск: АлтГТУ, 1999,- С. 261-266.

77. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. О трехмерных течениях в каналах мембранных установок// Третья краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: АТУ, 2000. С.21-22.

78. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. О вязких трехмерных течениях в каналах мембранных установок// Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. Бийск: АлтГТУ, 2000.- С. 60-64.

79. Китаева Л.В. Анализ обобщеных решений для каналов мембранных установок. Отчет о НИР (промежут.)/ БТИ (филиал) АлтГТУ.- № ГР 01970002259; Инв. № 4517,-Бийск, 2001,- 28 с.

80. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. Анализ обобщенных решений для каналов со вдувом// Материалы и технологии XXI века: Материалы докладов I Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых. -Бийск: Москва, ЦЭИ "Химмаш", 2000 г. С. 32-33.

81. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. Пространственная гидромеханика мембранных установок// Горизонты образования. 2000, - №4 -http//edu.secna.ru. - 6 с.

82. Китаева Л.В. Пространственная гидродинамика мембранных установок. Отчет о НИР (промежут.)/ БТИ (филиал) АлтГТУ.- № ГР 01970002259; Инв. № 4393. -Бийск, 1999. 19 с.

83. Тушкина Т.М. Течение в канале со вдувом через проницаемую границу с волнистой формой образующей// Отчет о НИР (промежут.)/ БТИ (филиал) АлтГТУ,- № ГР 01970002259; Инв. № 4392. Бийск.-1999.

84. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. Исследование трехмерных течений в каналах мембранных установок квадратного и прямоугольного поперечного сечения// Четвертая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: АГУ, 2001. - С.20-21.

85. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. Анализ зависимости давления от координат в каналах мембранных установок// Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. Бийск: АлтГТУ, 2001.- С. 158-164.

86. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. О гидродинамике пространственных вязких течений в мембранных каналах// Ресурсосберегающие технологии в машиностроении: Материалы межрегиональной научно-практической конференции. Бийск: АлтГТУ, 2001.- С. 116-118.

87. Несис Е.И. Методы математической физики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение. - 1977. — 199с.

88. Китаева Л.В. О трехмерных течениях в каналах мембранных установок квадратного и прямоугольного поперечного сечений. Отчет о НИР (промежут.)/ БТИ (филиал) АлтГТУ.- № ГР 01970002259; Инв № 4516.-Бийск. 2001.-20 с.

89. Китаева Л.В. О вязких трехмерных течениях в каналах мембранных установок. Отчет о НИР (промежут.)/ БТИ (филиал) АлтГТУ,- № ГР 01970002259; Инв № 4515. Бийск. - 2001. - 15 с.

90. Китаева Л.В., Спиридонов Ф.Ф. Анализ кинематической структуры течения в окрестности проницаемого угла для каналов квадратногопоперечного сечения// Горизонты образования. 2000, - №1 -http//edu.secna.ru. -6 с.

91. Китаева JI.B., Спиридонов Ф.Ф. О гидродинамике трехмерных вязких течений в каналах мембранных установок квадратного поперечного сечения// Пятая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: АГУ, 2002. - С.20-21.

92. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. 3-е изд. - М.: Наука. Физматлит, 1998. -232 с.

93. Белоцерковный О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.-М.: Наука, 1982. 271с.

94. Гщсмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости: пер. с англ.-М.: Мир, 1972.-324 с.

95. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ.-М.: Мир, 1980.-616 с.

96. Гуцалюк В.М. Вариационные методы в решениях задач мембранной технологии. К.: Выща школа, 1991.-59 с.

97. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. -М.:Солон, 1998.-400 с.

98. Манзон Б.И. Maple V Power Edition. -М.:Филинъ, 1998. 240 с.