Вихревые взаимодействия неограниченных потоков и струй со сплошными и проницаемыми телами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Численные и аналитические методы исследования течений около проницаемых тел.

1.1. Основные предположения.

1.2. Полная система граничных условий.

1.3. Аналитическое решение задачи о взаимодействии плоской струи с бесконечным проницаемым экраном.

1.3.1 Введение к разделу 1.3.

1.3.2 Постановка задачи. Система граничных условий.

1.3.3 Построение решения.

1.3.4 Исследование решения. Инфинитность просочившейся струи. Результаты расчетов.

1.3.5 Частный случай, когда струя натекает из бесконечности.

Диссертация посвящена одной из актуальных проблем аэродинамики - численному и аналитическому исследованию дозвуковых течений около тонкостенных сплошных и проницаемых тел. Данная задача при различных упрощающих предположениях относительно свойств среды и относительно структуры обтекаемых тел рассматривалась многими исследователями. В частности, в работах [1-5] учитывалась сжимаемость среды. Однако во многих практических задачах скорость среды далека от местной скорости звука. В этом случае эффектами сжимаемости можно пренебречь. Подобная постановка задачи использовалась в работах [6-10]. Предположение о несжимаемости среды упрощает задачу и позволяет использовать при численном исследовании известные вихревые методы, в частности, метод дискретных вихрей. В диссертации мы также предполагаем, что среда несжимаема, и используем для численного решения нестационарных задач метод дискретных вихрей в различных модификациях. Также используются методы теории функций комплексного переменного для получения нового аналитического решения одной из стационарных задач.

Исследование задач, связанных с обтеканием проницаемых тел неограниченными потоками и струями несжимаемой среды, представляет большой интерес. Расчет подобных течений необходим, в частности, для моделирования движения парашюта и для определения нагрузок, действующих на него. Важное значение имеет также моделирование процессов, возникающих при реализации различных газоструйных технологий, например, процесса сушки мокрой ткани направленной струей воздуха (при этом ткань обладает свойством проницаемости).

Функционирование подобных объектов, изготовленных из проницаемых оболочек, зависит от их степени проницаемости. При этом различают естественную проницаемость тканей (за счет протекания среды через поры между нитями и волокнами ткани) и искусственную (или конструктивную) проницаемость, обусловленную наличием в оболочке специально сделанных отверстий. Во всех этих случаях правильный учет проницаемости тел, обтекаемых потоком жидкости или газа, и адекватное моделирование процессов, возникающих при просачивании, имеет большое значение для корректного решения задачи в целом и для определения аэродинамических характеристик тел.

Отличительная особенность задач аэродинамики проницаемых тел состоит в том, что требуется описывать некоторое крупномасштабное "основное течение" среды, учитывая при этом влияние на него большого числа мелкомасштабных твердых элементов, из которых состоит проницаемое тело [11]. Известен упрощающий подход [12], при ко

Проблема учета проницаемости. тором "основное течение" по обе стороны проницаемого тела считается идеальным, а само тело вместе с окружающим его слоем локального диссипативного течения заменяется поверхностью разрыва. И хотя на самом деле проницаемое тело обладает дискретной структурой, при математическом моделировании предполагается наличие некоторой скорости просачивания в каждой точке проницаемой поверхности, заменяющей это тело (в этом состоит смысл введенного в [12] термина "равномерно проницаемая поверхность"). Состояния среды, протекающей через равномерно проницаемую поверхность, должны быть связаны соотношениями на поверхности разрыва [13].

Однако при таком подходе существует проблема определения полной системы граничных условий на проницаемой поверхности, т.к. общих соотношений, вытекающих из интегральных законов сохранения массы и изменения импульса на разрыве, оказывается недостаточно. Поэтому требуется использовать дополнительные граничные условия, которые зависят от типа пористости проницаемого материала и от свойств локального диссипативного течения. Получение этих условий теоретическими методами связано с необходимостью решения сложных задач о структуре пограничного слоя. При достаточно малой степени проницаемости можно выделить внешний "глобальный" пограничный слой, связанный с масштабом основного невязкого течения, и внутренний подслой, определяемый масштабом элементов структуры проницаемого материала. В этом случае можно говорить о распределенном вдуве (отсосе) среды на дне внешнего пограничного слоя. Структура соответствующего течения исследовалась во многих работах, например, в [14]. Однако анализ течений во внутреннем пограничном подслое, где имеются потери давления и происходит переход от непрерывного распределения расхода к дискретному, проведен лишь при сильных упрощениях [15], касающихся постановки задачи и строения проницаемого материала. К тому же на практике представляет интерес рассмотрение значительно больших расходов при просачивании через проницаемое тело, чем это допустимо при. рассмотренной схематизации локального диссипативного течения.

В силу того, что теоретически описать структуру пограничного слоя достаточно трудно, можно воспользоваться данными экспериментальных исследований просачивания среды через тела с различными типами структуры проницаемости. Наибольшее количество известных экспериментальных данных относится к одномерному установившемуся просачиванию несжимаемого потока в направлении нормали к проницаемому телу [16-18]. Произвольное наклонное просачивание изучено гораздо слабее. Наконец, влияние нестационарности практически не исследовано.

В опытах по исследованию нормального просачивания формируется равномерный поток газа в трубе. Этот поток пропускается через проницаемую перегородку, перекрывающую одно из поперечных сечений трубы. Если перепад давления в трубе не слишком велик, то скорость газа в порах перегородки далека от местной скорости звука, и эффекты сжимаемости несущественны. В этом случае поток в целом можно считать несжимаемым, и имеет смысл понятие единой скорости просачивания.

В результате экспериментов было выявлено, что для тканей справедлива общая линейно-квадратичная связь между перепадом давления и скоростью просачивания. Линейный член обычно связывают с силами вязкости, а квадратичный - с силами инерции [19]. Для технических тканей закон просачивания [12] установлен на основе обработки экспериментальных данных [20].

В работе [21] было исследовано наклонное просачивание. В этом случае линии тока основного течения могут терпеть излом, а проницаемая стенка испытывает нагрузку не только по нормали, но и в касательном направлении. Обнаружено, что угол скоса просочившегося потока приближенно пропорционален углу скоса набегающего потока. Несмотря на эти особенности наклонного просачивания, связь между перепадом давления и нормальной скоростью просачивания в этом случае по-прежнему является линейно-квадратичной.

Необходимо отметить, что модель равномерно проницаемой поверхности учитывает только суммарную относительную площадь отверстий, но не учитывает размеры и взаимное расположение отверстий. Как указано в [22], в чистом виде подход Х.А. Рахматулина применим лишь в случае мелкоячеистой перфорации. На практике это условие выполняется не всегда. Поэтому результаты расчетов в соответствии с моделью РПП для круглого проницаемого диска плохо соответствуют данным эксперимента, приведенным в [22]. Для уточнения модели в работе [22] было предложено учесть эжекцию в донной области за проницаемым телом при расчете локальной нагрузки на проницаемой поверхности. Также в работе [22] предлагается соответствующая модификация метода дискретных вихрей. Аналогичная модификация используется и в данной диссертации.

Еще одна трудность связана с тем, что после протекания через проницаемое тело поток становится вихревым, что не учитывается в базовой расчетной модели [22]. При этом также не рассматривается граничное условие, связывающее касательные составляющие скорости по обе стороны проницаемого тела, которое вместе с другими граничными условиями с учетом уравнений Эйлера, согласно [11], позволяет определить прирост объемной завихренности при просачивании. Как показано в [11], эта завихренность возрастает тем больше, чем больше влияние нестационарности, а также чем больше градиент потерь полного давления при просачивании. При расчете методом дискретных вихрей это явление было учтено в работе [23].

Для решения этой же проблемы в работе [22] предложена близкая по идее модель отрывного обтекания проницаемых тел с выделением слоя смешения, которая пригодна для случая малой проницаемости. В данной модели для определения циркуляций вихрей в слое смешения используется граничное условие прилипания на проницаемой поверхности либо условие скольжения. Вихревая поверхность, моделирующая слой смешения, может рассматриваться как результат наложения всех вихревых поверхностей, сошедших к данному моменту с подветренной стороны. В отличие от работы [22], в модели из работы [23] объединение этих вихревых поверхностей не производится, и их эволюция рассматривается отдельно для каждой поверхности, что позволяет моделировать течение с развитой донной струей при сравнительно большой степени проницаемости.

В работах [20] и [24] предложена модель, также учитывающая рождение объемной завихренности при просачивании, однако, в отличие от [23], для определения интенсивности родившихся свободных вихрей используется локальное условие сохранения суммарной циркуляции поверхностных и объемных вихрей. Между тем в реальных задачах это условие не выполняется из-за влияния сил вязкости в порах проницаемого тела. Поэтому в общем случае целесообразно учитывать при расчете циркуляций родившихся при просачивании вихрей граничное условие на касательные составляющие скорости, использованное в работе [23].

Как отмечено в [25], в зависимости от типа искомого течения возможны две альтернативные ситуации: либо весь прошедший через проницаемое тело объем среды образует тонкий пограничный слой, стекающий в основной поток с кромок тела, либо пересекающий проницаемое тело поток образует крупномасштабную донную струю. В первом случае (например, при малой проницаемости) можно применять базовую модель [22], так как весь пограничный слой можно включить в структуру разрыва. В результате граничные условия приобретают смысл условий склейки для внешнего потенциального течения, омывающего проницаемое тело вместе с тонким пограничным слоем (аналогично тому, как в теории тонкого крыла граничные условия сносятся на срединную поверхность). В альтернативном случае классическая модель, как правило, теряет физический смысл и не дает полезных решений, и нужно применять модифицированную модель [23].

Аналитическое исследование обтекания проницаемых тел с учетом полной системы граничных условий представляет большой теоретический и практический интерес. Однако это исследование сопряжено со значительными трудностями. В выполненных под руководством Л.И. Седова работах [26] и [27] развит метод малого параметра, позволяющий находить потенциальные течения среды около слабопроницаемых границ. В частности, в работе [26] было показано, что при струйном обтекании пластинки по схеме Кирхгофа увеличение ее проницаемости может приводить к некоторому увеличению сопротивления. В дальнейшем было найдено точное аналитическое решение [28] соответствующей плоской нелинейной задачи о струйном обтекании проницаемой пластинки, обладающей полным направляющим действием, неограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В результате решения выявлен факт немонотонной зависимости коэффициента сопротивления от степени проницаемости, и вычислен абсолютный максимум сопротивления.

Сравнительно простые решения удается получать в задачах о вытекании жидкости из сосудов через щель, затянутую густой сеткой (в случае полного направляющего действия сетки) [29].

Первая глава диссертации содержит точное аналитическое решение плоской задачи о взаимодействии вытекающей из канала стационарной струи идеальной несжимаемой жидкости с бесконечной проницаемой плоскостью со строением пористости, обладающим полным направляющим действием. Задача рассматривается с учетом полной системы граничных условий, как в работах [28] и [29]. По сравнению с [30] дополнительно учтено влияние расстояния между проницаемой плоскостью и выходным сечением канала.

Для численного исследования обтекания проницаемых тел широко используется метод дискретных вихрей [20], [22-25]. Суть этого метода состоит в определении поля скоростей через поле завихренности и в дискретизации имеющихся в потоке вихревых структур по пространству и по времени. При этом в общем случае моделируется как поверхностная, так и объемная завихренность [23].

Во второй главе настоящей диссертации проводится численное моделирование обтекания круглого диска и двумерной плоской пластины, в частности, при наличии проницаемости круглого диска. Расчеты преследуют методические цели и проводятся на основе различных модификаций метода дискретных вихрей, начиная с базовой и кончая модификацией, учитывающей влияние диссипации завихренности с уменьшением циркуляции на поле скоростей в следе. Численное решение данных задач при отсутствии проницаемости производится с целью тестирования расчетных алгоритмов.

При наличии проницаемости учитывается влияние эжекции локальных просочившихся струек в донной области на перепад давления на диске, а также рождение объемной завихренности при просачивании. Показано, что для данной задачи существенную роль играют лишь эжекция и диссипация. Рождением объемной завихренности можно пренебречь, так как интенсивность рождающихся при просачивании свободных вихрей заметна лишь в окрестности кромки. Поэтому данная завихренность может быть включена в структуру тангенциального разрыва, моделирующего свободный вихревой слой, сходящий с кромки диска.

Однако подобное упрощение модели допустимо не всегда. В частности, как показано в работе [23] и в разделе 1.4 диссертации, рождение объемной завихренности играет заметную роль в плоской задаче об обтекании проницаемой двумерной пластинки струей конечной ширины, вытекающей из сопла, расположенного на конечном расстоянии от пластинки. В данной задаче объемная завихренность распределена по значительно более толстому слою, занимаемому прошедшей сквозь пластинку струей, и поэтому заменить этот слой поверхностью разрыва уже не представляется возможным. В результате благодаря полному учету процесса генерации завихренности (включая как поверхностную, так и объемную) расчетная картина течения заметно меняется. Кроме того, удается выявить зависимость картины обтекания от направляющего действия пластинки. Оказывается, что изменение соответствующего коэффициента приводит к изменению знака рождающейся объемной завихренности. Для простоты рассматривается линейный закон просачивания.

Модификация метода дискретных вихрей, апробированная во второй главе, используется в третьей главе диссертации при моделировании нестационарного отрывного дозвукового обтекания тандема двух круглых соосных дисков [31]. В частности, рассматривается случай, когда передний диск проницаемый с квадратичным законом просачивания. Благодаря наличию слабой проницаемости переднего диска удается существенно снизить сопротивление спаренной конфигурации по сравнению со случаем, когда передний диск непроницаемый. Подобная задача решалась в работе [32], однако, в отличие от настоящей диссертации, там использовалась базовая модель метода дискретных вихрей, не учитывающая эжекцию в донной области за проницаемым диском и диссипацию свободной завихренности. Кроме того, в работе [32] не были проведены систематические исследования зависимости коэффициентов сопротивления от степени проницаемости переднего диска.

Таким образом, в настоящей работе проведено численное и аналитическое исследование дозвукового обтекания сплошных и проницаемых тел с учетом полной системы граничных условий на примере модельных задач о стационарном взаимодействии плоской струи с проницаемым бесконечным экраном (первая глава), о нестационарном взаимодействии затопленной плоской струи с проницаемой пластиной конечной ширины (первая глава), о нестационарном обтекании неограниченным потоком круглого диска и двумерной плоской пластины с учетом возможной проницаемости диска (вторая глава) и тандема двух круглых дисков с учетом возможной проницаемости переднего (третья глава). В четвертой главе проводится численное моделирование затопленных дозвуковых турбулентных струй с учетом их периодического возбуждения. Включение последней главы в диссертацию обусловлено тем, что получение данных об ос-редненных и пульсационных характеристиках струй необходимо для правильного регулирования степени их динамического воздействия на различные твердые тела, в том числе - проницаемые.

Стационарная задача решается аналитически с помощью известных методов теории функций комплексного переменного [28], а нестационарные задачи решаются численно с помощью метода дискретных вихрей. При этом используются как известные модификации данного метода, учитывающие влияние эжекции в донной области на перепад давления на проницаемом теле и влияние диссипации свободной завихренности на поле скоростей в следе, так и новая модификация, предложенная автором и позволяющая моделировать рождение объемной завихренности при просачивании благодаря учету полной системы граничных условий.

Метод дискретных вихрей

Одним из широко распространенных подходов к моделированию дозвуковых течений является вихревой метод [22], [33-35]. Он основан на идее Гельмгольца о том, что поскольку завихренность в идеальном потоке всегда движется вместе с материальными частицами среды, наиболее удобным для решения задачи является лагранжево описание завихренности (позже выяснилось, что когда среда неидеальная, можно описать диффузию завихренности также в рамках лагранжева подхода [36]). При этом поле скоростей можно выразить через вихревое поле.

Основные подходы вихревого метода, связанные с моделированием обтекаемого тела присоединенными вихрями, были заложены в трудах Н.Е. Жуковского [37] и Л. Прандтля [38]. Дальнейшее развитие метод получил в различных схемах моделирования обтекаемых тел системой подковообразных вихревых шнуров. Современное развитие одного из классических вихревых методов - метода дискретных вихрей (МДВ) -связано с именем С.М. Белоцерковского [39-40], а математическое обоснование многих аспектов МДВ дал И.К. Лифанов [40-41]. Анализ особенностей метода и вопросов его приложения изложены в обзорной статье С.М. Белоцерковского [39] и Фримановской лекции Т. Сарпкайя [34].

Согласно методу дискретных вихрей, производится дискретизация завихренности по времени и по пространству, а также дискретизация граничных условий (для непроницаемых тел это, прежде всего, условие непротекания, для проницаемых - закон просачивания). Интенсивности (циркуляции) движущихся дискретных вихревых элементов в идеальной жидкости остаются постоянными (согласно теоремам Гельмголь-ца), а в вязкой жидкости в общем случае (при наличии твердых границ) могут уменьшаться (см., например, формулу Бобылева из работы [42] для скорости диссипации механической энергии). Следует отметить, что при отсутствии твердых границ в вязкой жидкости, несмотря на имеющуюся диффузию вихрей, справедлива теорема о сохранении полной завихренности, в то время как при наличии твердых границ такая теорема отсутствует, и суммарная завихренность в действительности может уменьшаться. Таким образом, в зависимости от типа рассматриваемого течения в вязкой жидкости возможны два типа диссипации завихренности: с сохранением циркуляции (этот случай будет рассмотрен в 4-ой главе данной диссертации) и без сохранения циркуляции (этот случай будет рассмотрен во 2-ой и в 3-ей главах).

Для вычисления скорости через завихренность используется закон Био-Савара, а для определения изменений поля завихренности в общем случае - уравнение переноса завихренности [34].

Вихревые методы являются эффективным инструментом теоретического исследования концентрированных вихревых структур. Они имеют следующие преимущества по сравнению с традиционными конечно-разностными и конечно-элементными подходами. Во-первых, вычислительные вихревые методы, основанные на лагранжевом описании, требуют размещения контрольных вычислительных узлов (точек, совпадающих с центрами вихревых элементов) только в ограниченной части потока, там, где завихренность не равна нулю. Эта особенность вихревого метода особенно ярко проявляется при исследовании течений в безграничном объеме, который при моделировании может быть существенно усечен. Во-вторых, в вихревом методе непосредственно рассчитывается эволюция завихренности, а скорость получается интегрированием по закону Био-Савара. В результате ошибка вычисления скорости оказывается значительно меньше, чем в конечно-разностных методах того же порядка точности, в которых скорости вычисляются непосредственно. В-третьих, при использовании вихревых методов проблема устойчивости расчетов при высоких числах Рейнольдса не столь остра, как в других методах. Наконец, в-четвертых, при решении задач данным методом граничные условия на бесконечности выполняются точно и автоматически.

Однако вихревые методы обладают и рядом следующих серьезных недостатков. Во-первых, при решении задач этими методами имеет место искусственная диффузия вихрей за счет ошибок при расчете конвективного движения вихревых элементов методом Эйлера. При этом скорость численной диффузии зависит от размеров зоны дискретности свободных вихрей и не всегда соответствует реальной скорости диффузии, наблюдаемой в эксперименте. Кроме того, в традиционных модификациях метода дискретных вихрей не учитывается имеющее место в реальности уменьшение циркуляции, которое, наряду с диффузией, наблюдается при диссипации свободной завихренности. Из-за этого, как показано во второй главе данной диссертации, имеются серьезные расхождения между результатами расчетов при моделировании отрывных течений и данными экспериментов [43-45]. Во-вторых, в ряде вариантов вихревых методов существуют свободные параметры, для выбора которых отсутствуют надежные и универсальные правила. В большинстве случаев, как показано в диссертации, введение свободных параметров необходимо для стабилизации счета или для учета вязкости. В-третьих, существуют трудности в постановке граничных условий на твердых и свободных границах потока, а также на проницаемых границах. В-четвертых, при моделировании нестационарных течений в общем случае необходимо учитывать возможные отклонения потока от симметричного режима, что приводит к значительному увеличению времени счета. В-пятых, существует проблема задания граничных условий на острых кромках.

Рассмотрим первую из вышеуказанных проблем. Согласно закону Био-Савара индуцированные вихревой линией скорости сингулярны: они стремятся к бесконечности по мере приближения к линии. Эта проблема стояла перед каждым поколением исследователей, использующих при решении задач метод дискретных вихрей. В работе [46] было показано, что при замене тонкого слоя сдвигового течения вихревой поверхностью задача Коши для вихревого течения становится некорректной.

Для того, чтобы избавиться от сингулярности, были предложены различные методы сглаживания или устранения особенности, при этом неявно предполагалось, что эти операции не оказывают существенного влияния на динамику крупномасштабной структуры течения. Эти методы включают: введение так называемой зоны дискретности или использование вихрей с ядром или "компактным носителем" [47], слияние многих вихрей в один вихрь [48], введение так называемой "зоны безопасности" в окрестности обтекаемых тел [22], уменьшение циркуляции дискретных вихрей с течением времени [49-50] и, наконец, исключение из рассмотрения наиболее удаленных вихрей.

Известен также оригинальный метод учета диссипации завихренности с помощью стохастического моделирования движения свободных вихрей, предложенный в работе [51] (так называемый метод случайных блужданий). В зависимости от типа решаемой задачи исследователями применялись те или иные из существующих методов регуляризации.

В данной диссертации также применяется традиционный метод введения зоны дискретности. Он заключается в том, что вблизи каждой вихревой линии выделяется цилиндрическая область радиуса 8 (зона дискретности), внутри которой индуцированная этой линией скорость линейно возрастает от нуля на самой линии до максимального значения на границе зоны. Вне этой зоны скорость, не теряя непрерывности на границе, убывает по закону Био-Савара. Величина 8 называется радиусом дискретности. В этом случае поле скоростей всюду будет удовлетворять уравнению неразрывности и условию Липшица, а задача Коши будет корректна (хотя решение неустойчи

К сожалению, для расчета затопленных дозвуковых турбулентных струй, особенно при периодическом изменении расхода, традиционных методов регуляризации оказывается недостаточно. Дело в том, что как отмечается в работе [52], одной из серьезных проблем при использовании метода дискретных вихрей является противоречащая экспериментальным данным сильная неустойчивость дискретной вихревой цепочки, моделирующей свободную вихревую пелену, к мелкомасштабным возмущениям. В связи с этим в работе [52] был предложен интересный вариант вихревого метода, согласно которому рассматриваемый слой в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости заменяется тонким непрерывным вихревым слоем, имеющим переменную толщину. При этом формулы, описывающие взаимное влияние различных участков этого слоя, можно упростить, и расчет оказывается лишь немного более трудоемким, чем при моделировании методом дискретных вихрей. Метод вихревого слоя, в отличие от метода дискретных вихрей, позволяет получить такие характеристики устойчивости этого слоя, которые близки к реальным. В частности, непрерывный вихревой слой обладает устойчивостью к мелкомасштабным возмущениям.

Однако при больших временах счета из-за сильного утолщения и хаотической деформации слоя определить его границы будет трудно. В этом случае упрощенные формулы для расчета скорости через завихренность становятся неприменимыми, и преимущества этого метода теряются. Приходится использовать общие уравнения для течения завихренной жидкости. В то же время метод дискретных вихрей позволяет моделировать объемную завихренность, занимающую область произвольных форм и размево). ров. Для этого нужно разбить данную область на конечное число небольших элементарных объемов и заменить каждый из них одним дискретным вихревым элементом. Это позволит достаточно просто аппроксимировать поле скоростей при наличии объемной завихренности. При моделировании свободной поверхностной завихренности линия, связывающая цепочку дискретных вихревых элементов, быстро теряет гладкость из-за неустойчивости и превращается в ломаную с многочисленными самопересечениями. Этот, на первый взгляд, нежелательный хаотический процесс на самом деле позволяет довольно просто и естественно моделировать утолщение свободного вихревого слоя и превращение поверхностной завихренности в объемную.

А для того, чтобы скорость утолщения вихревого слоя в расчете соответствовала наблюдаемой в эксперименте и не была чрезмерной, в четвертой главе данной диссертации предлагается дополнительная модификация метода дискретных вихрей. Суть этой модификации заключается в том, что начальный радиус дискретности каждого свободного вихря выбирается пропорциональным расходу среды в сопле в момент его рождения, а при достижении каждым вихрем определенного времени жизни этот радиус начинает возрастать. При этом, в соответствии с рекомендациями из работы [52], удается приближенно учесть влияние переменности толщины свободного вихревого слоя на стабилизацию течения, а также, в дополнение к этому, влияние диссипации свободной завихренности на эту стабилизацию. Согласно вышесказанному, в силу отсутствия твердых границ в поле течения суммарная циркуляция каждого вихря сохраняется.

Для частичного решения этой же проблемы при моделировании отрывных течений во второй и третьей главах данной диссертации используется модификация метода дискретных вихрей, предложенная в работе [49] и позволяющая учесть влияние диссипации свободной завихренности с уменьшением циркуляции на поле скоростей в ближнем следе за обтекаемыми телами. Как указано выше, уменьшение циркуляции вихрей обусловлено наличием твердых границ в поле течения.

Проблема выбора свободных параметров при моделировании течений с помощью метода дискретных вихрей в настоящее время еще далека от окончательного разрешения. Во второй главе данной диссертации для выбора коэффициента, характеризующего скорость диссипации свободных вихрей с уменьшением циркуляции [49], проводились тестовые расчеты для простейших модельных задач об отрывном обтекании круглого диска и двумерной пластины. Коэффициент выбирался из условия согласования результатов расчета и данных экспериментов [43-45] по структуре ближнего следа и по распределению локальных аэродинамических нагрузок на диске и на пластине. В четвертой главе аналогичные коэффициенты, определяющие диссипацию вихрей без уменьшения циркуляции, также находились из условия соответствия расчетных и экспериментальных данных для квазистационарных и периодически возбужденных затопленных турбулентных струй.

Проблема постановки граничных условий на проницаемом теле при расчете методом дискретных вихрей также окончательно не решена из-за трудности учета нелокальности закона просачивания и учета влияния эжекции на общую картину отрывного обтекания. Во второй и третьей главах настоящей диссертации используется упрощенная расчетная модель [22], позволяющая учесть в первом приближении влияние эжекции в донной области на перепад давления на рассматриваемом теле. В первой главе диссертации на основе идей [11, 23] автором предложен численный алгоритм, позволяющий впервые корректно учесть рождение объемной завихренности при просачивании благодаря учету граничного условия, связывающего касательные составляющие скорости по обе стороны от поверхности разрыва. В случае, когда влиянием эжекции можно пренебречь, и когда применима модель равномерно проницаемой поверхности [12], предложенный алгоритм позволяет получить корректное численное решение задачи об отрывном обтекании проницаемого тела. Если же влияние эжекции существенно, то для полного и корректного решения задачи необходимо учесть нелокальность закона просачивания на основе идей, предложенных в [22]. Этой проблемой автор предполагает заняться в дальнейшем.

Рассмотрим проблему учета несимметрии течения. В работе [33] предложена расчетная схема в рамках метода дискретных вихрей для моделирования несимметричного обтекания двумерной непроницаемой пластины с образованием вихревой дорожки Кармана. В этом расчете диссипация свободной завихренности не учитывалась, и результаты сильно менялись при переходе от симметричного режима обтекания к несимметричному. Однако и в том, и в другом случаях имелись серьезные отличия расчетного коэффициента сопротивления от измеренного в эксперименте. Во второй главе данной диссертации показано, что при учете влияния диссипации завихренности на поле скоростей результаты расчетов для симметричного и несимметричного режимов обтекания сближаются и становятся значительно ближе к экспериментальным данным. А это значит, что для приближенного воспроизведения картины течения в ближнем следе за пластиной достаточно учитывать диссипацию завихренности (с уменьшением циркуляции) и не учитывать несимметрию. Аналогичный результат имеет место и для круглого диска.

Иначе обстоит дело при моделировании затопленных дозвуковых турбулентных струй. Как показано в работах [36, 53], при расчете истечения круглых квазистационарных струй приближенная осевая симметрия течения сохраняется лишь на ближнем участке в непосредственной окрестности сопла. Ниже по течению симметрия серьезно нарушается, что приводит к существенному падению средней расчетной продольной скорости на оси струи. Подобное падение скорости наблюдается и в экспериментах [54-55], что подтверждает вывод о необходимости учета несимметрии в расчете. Это означает, что результаты численного моделирования круглых турбулентных струй в осе-симметричном приближении [56] нуждаются в уточнении. По этой причине в четвертой главе данной диссертации для моделирования квазистационарных и периодически возбужденных круглых турбулентных струй был выбран метод вихревых рамок [57], т.е. модификация метода дискретных вихрей, позволяющая рассчитывать пространственные течения с отклонениями от осевой симметрии. Следует отметить, что в задаче об истечении плоских затопленных турбулентных струй влияние несимметрии также существенно [36, 58-59].

Для задания граничного условия на острой кромке при моделировании отрывных течений в данной диссертации использовалось предположение [60] о непрерывности потока завихренности при сходе вихревой пелены с острых кромок обтекаемых тел. При этом во второй главе условие на кромке задавалось как на твердой поверхности, а в третьей главе - как в свободном потоке. Последний способ задания граничного условия позволил уточнить результаты расчетов в окрестности кромок.

Таким образом, практической целью данной диссертации было выявление на примере простейших модельных задач тех модификаций метода дискретных вихрей, которые целесообразно использовать для уточнения расчета нестационарных дозвуковых течений. В качестве таких течений рассматривалось как отрывное обтекание сплошных и проницаемых тел (первая и вторая главы), так и истечение в затопленное пространство свободных турбулентных струй (четвертая глава), моделирование которых является первым шагом в решении задач о взаимодействии струй со сплошными и проницаемыми преградами. Выявленные модификации метода использовались в третьей главе для расчета отрывного обтекания тандема двух круглых соосных дисков с учетом возможной проницаемости переднего диска. Эта задача имеет большое практическое значение, так как согласно экспериментальной работе [61], за счет расположения пары плохообтекаемых тел в потоке друг за другом, их суммарное сопротивление удается снизить в несколько раз даже в том случае, когда оба тела непроницаемые. Для этого, согласно [61], необходимо экспериментальным путем выбрать геометрические характеристики компоновки. Между тем численное моделирование на основе метода дискретных вихрей позволяет без больших материальных затрат также выявить оптимальные по сопротивлению конфигурации как при отсутствии проницаемости (в этом случае результаты расчета можно сравнить с данными эксперимента), так и при наличии проницаемости переднего тела.

5. Заключение.

Получено и исследовано точное аналитическое решение задачи о стационарном взаимодействии плоской струи идеальной несжимаемой жидкости, вытекающей из канала, с проницаемой бесконечной плоскостью, на которой задается полная система граничных условий. Выявлена зависимость характеристик течения от степени проницаемости экрана и от расстояния между каналом и экраном. Полученные формулы допускают предельные переходы для случаев, когда расстояние между каналом и экраном стремится к нулю и к бесконечности, а также для непроницаемого экрана и для экрана, обладающего абсолютной проницаемостью. Показано, что за исключением вырожденного случая абсолютной проницаемости, наряду с просачиванием части первичной струи, всегда происходит неограниченное растекание оставшейся части струи перед преградой в поперечных направлениях.

Осуществлено численное моделирование нестационарного взаимодействия затопленной плоской струи несжимаемой жидкости с проницаемой пластиной конечной ширины на основе метода дискретных вихрей в модификации, предложенной автором. Предложенная модификация метода дает возможность моделировать рождение объемной завихренности при просачивании среды сквозь проницаемые тела, что позволяет правильно определять поле скоростей в спутном течении и аэродинамические нагрузки на тела, расположенные в следе за проницаемыми экранами. С помощью предложенного метода впервые удалось смоделировать влияние направляющего действия структуры пористости проницаемого тела на распределения параметров в спутном течении за этим телом.

Рассмотрено дозвуковое отрывное обтекание круглого диска и двумерной плоской пластины неограниченным потоком среды с учетом возможной проницаемости диска в рамках модели несжимаемой среды с поверхностями разрыва. Проведено сравнение результатов численного моделирования, выполненного в рамках нестационарной постановки задачи на основе базового метода дискретных вихрей и на основе различных уточнений метода. Обнаружено, что при использовании базового метода дискретных вихрей возникают серьезные расхождения между результатами расчетов и данными экспериментов даже в случае, когда диск и пластина непроницаемые. Для выявления причин этого несоответствия и для улучшения расчетной модели рассмотрены модификации МДВ, позволяющие учитывать:

1) несимметрию течения;

2) влияние диссипации свободной завихренности на поле скоростей;

3) влияние эжекции просочившихся через перфорацию струек в донной области

4) рождение объемной завихренности при просачивании.

Показано, что при рассмотрении дозвукового отрывного обтекания непроницаемых тел с острыми кромками неограниченным потоком основным фактором, определяющим течение в ближнем следе, является диссипация свободной завихренности с уменьшением циркуляции, которая приводит к ослаблению рециркуляционного течения за телом. В случае, когда тела проницаемые, становится существенным также учет эжекции просочившихся локальных струек в донной области, которая приводит к уменьшению перепада давления на перфорированных поверхностях в реальных течениях. Это главные факторы, которые необходимо учитывать при моделировании.

Исследовано дозвуковое отрывное обтекание неограниченным потоком несжимаемой среды компоновок из двух плохообтекаемых тел, находящихся друг за другом, на примере задачи о тандеме двух круглых различных по размеру соосных дисков, расположенных нормально к потоку. Отдельно исследован случай, когда передний диск непроницаемый, и отдельно - когда он проницаемый с квадратичным законом просачивания. Задний диск в обоих случаях считался непроницаемым. Проведено численное моделирование в рамках нестационарной постановки задачи на основе метода дискретных вихрей с учетом влияния диссипации свободной завихренности с уменьшением циркуляции на поле скоростей в следе. Удалось воспроизвести экспериментальные зависимости суммарного сопротивления тандема от относительного размера переднего диска и от величины зазора между дисками. Подтверждено, что благодаря наличию второго диска суммарное сопротивление спаренной конфигурации может быть значительно меньше, чем сопротивление изолированного одиночного диска, что имеет большое значение для практики и позволяет уменьшать сопротивление плохообтекаемых тел при дозвуковых скоростях. Выявлено, что снижение суммарного сопротивления тандема обусловлено влиянием на задний диск вихревого слоя, сошедшего с кромок переднего диска, и формированием между дисками интенсивного уловленного вихря, понижающего давление в зазоре.

Получены расчетные зависимости суммарного сопротивления тандема при наличии проницаемости переднего диска от радиуса этого диска, от его степени проницаемости и от величины зазора между дисками. Показано, что при слабой проницаемости переднего диска почти во всем диапазоне изменения его радиуса происходит дополнительное снижение сопротивления тандема по сравнению со случаем отсутствия проницаемости. Обнаружено, что минимальное из полученных в расчете значение суммарнона перепад давления, го сопротивления за счет наличия слабой проницаемости оказывается заметно меньше, чем минимальное из полученных в расчете значение сопротивления тандема при отсутствии проницаемости, причем это значение достигается при меньшем относительном размере переднего диска.

Дополнительное снижение сопротивления при слабой проницаемости, по-видимому, объясняется появлением за передним диском просочившейся струи и сохранением мощного уловленного вихря в зазоре между дисками, взаимодействие которых приводит к нескомпенсированному уменьшению сопротивления переднего диска.

Проведено численное моделирование влияния периодического возбуждения на процесс истечения круглых дозвуковых турбулентных струй в затопленное пространство. Показана принципиальная возможность качественного моделирования трансформации когерентных вихревых структур при периодическом возбуждении турбулентных струй на основе модели несжимаемой среды в нестационарной постановке с учетом несимметрии течения с помощью метода вихревых рамок (с некоторыми модификациями). Благодаря учету диссипации свободной завихренности (без уменьшения циркуляции) удалось в рамках данной постановки качественно воспроизвести реально наблюдаемые эффекты усиления турбулентного перемешивания на определенных участках струи при низкочастотном возбуждении и ослабления турбулентного перемешивания при высокочастотном возбуждении, от которых зависит способность турбулентной струи оказывать динамическое воздействие на различные твердые тела, в том числе -проницаемые.

На основе результатов расчета исследованы реальные вихревые механизмы воздействия периодического возбуждения затопленных дозвуковых струй на процесс турбулентного перемешивания. Анализ показывает, что усиление перемешивания при низких частотах возбуждения связано с укрупнением и регуляризацией мощных периодических вихрей в струе, а ослабление перемешивания при высоких частотах - с измельчением этих вихрей и с выравниванием вихревой структуры струи. Обнаружено, что учет трехмерных несимметричных возмущений играет важную роль при моделировании турбулентных струй и что без учета этих возмущений невозможно корректное описание структуры течения на дальнем участке струи.

1. Гувернюк С.В. Адиабата проницаемой поверхности. В сборнике "Парашюты и проницаемые тела". Москва, Издательство Московского университета, 1987, с. 110-118.

2. Гувернюк С.В.,Савинов К.Г., Ульянов Г.С. Сверхзвуковое обтекание затупленных перфорированных экранов. Известия АН СССР, МЖГ, 1985, № 1, с. 143-149.

3. Гувернюк С.В., Симоненко М.М. Взаимодействие цилиндрической ударной волны с тонкостенным проницаемым экраном. Известия СО АН СССР, ПМТФ, 1985, № 6, с.

4. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Миллер Л.Г. К распаду произвольного разрыва на перфорированной перегородке. ПМТФ, 1981, № 3.

5. Жигалко Е.Ф. Динамика ударных волн. Ленинград, Издательство ЛГУ, 1987, 264 с.

6. Гусейн-Заде М.А. К вопросу об обтекании проницаемого профиля дозвуковым потоком идеальной жидкости. Вестник Московского университета, 1953, № 5.

7. Третьяков М.В. Обтекание проницаемых контуров. ПММ, 1958, т. 22, вып. 2.

8. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, Машиностроение, 1975.

9. Castro I.P. Some problems concerning the production of a linear shear flow using curved wire-gauze screens. Journal Fluid Mechanics, 1976, v. 76, part 4.

10. Koo J.-K., James D.F. Fluid flow around and through a screen. Journal Fluid Mechanics, 1973, v. 60, part 3.

11. Рахматулин X.A., Гувернюк С.В. О постановке задач обтекания проницаемых тел несжимаемой средой. Сборник "Парашюты и проницаемые тела", Москва, издательство МГУ, 1987.

12. Рахматулин Х.А. Обтекание проницаемого тела. Вестник Московского университета, 1950, № 3, вып. 2.

13. Седов Л.И. Механика сплошной среды (2 тома). Москва, Наука, 1983.

14. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками. Научные труды Института механики МГУ. Москва, Издательство Московского университета, 1973, № 30.

15. Бетяев С.К. Структура ламинарного пограничного слоя с распределенным отсосом. ПМТФ, 1984, № 5.

16. Попов С.Г., Палазов С.П. Об определении воздухопроницаемости тканей. Измерительная техника, 1941, № 5.

17. Рысев О.В. Аэродинамические свойства технических тканей. Известия вузов. Технология текстильной промышленности, 1983, № 3.128.131.

18. Дербунович Г.И., Земская А.С., Репик Е.У., Соседко Ю.П. Гидравлическое сопротивление перфорированных решеток. Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV, № 2.

19. Средства спасения экипажа самолета. Москва, Машиностроение, 1975.

20. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ. Под ред. Белоцерковского С.М. Москва, Машиностроение, 1987, 240 с.

21. Taylor G.I., Batchelor G.K. The effect of wire gause on small disturbances in a uniform stream. Quart. J. Mech. Applied Math., 1949, v. 2, № 1.

22. Гоман О.Г., Карплюк В.И., Ништ М.И., Судаков А.Г. Численное моделирование осесимметричных отрывных течений несжимаемой жидкости. Под ред. Ништа М.И. Москва, Машиностроение, 1993.

23. Андронов П.Р. Численное моделирование отрывного обтекания проницаемой пластинки. Проблемы аэрокосмической науки и техники, Российское авиационно-космическое агентство, ЦАГИ, 2000 г., № 1, стр. 34-39.

24. Рысев О.В., Пономарев А.Т., Васильев М.И., Вишняк А.А., Днепров И.В., Мосеев Ю.В. Парашютные системы. Москва, Наука, Физматлит, 1996.

25. Бекулов М.Т. Линеаризованная задача об обтекании проницаемой пластинки с отрывом струй. Труды аспирантов Кабардино-Балкарского госуниверситета, Нальчик, 1965, вып. 1, с.445-452.

26. Бекулов М.Т. Линеаризованная задача об обтекании несжимаемой жидкостью с отрывом струй проницаемого клина. Доклады АН СССР, 1965, т. 162, №3, с. 523-526.

27. Бунин В.А. Решение задачи об обтекании проницаемой пластинки с отрывом струй. Доклады АН СССР, 1983, т. 269, №6, с. 1331-1335.

28. Бунин В.А., Гувернюк С.В., Фещенко С.А. Решение задачи об истечении жидкости из полупространства через частично проницаемую стенку. Известия АН СССР, МЖГ, 1985, №5, с. 174-176.

29. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. Москва, Наука, 1978. 352 стр.

30. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988). Современное машиностроение, серия А, 1989, №10, с.1-60.

31. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск, издательство Сибирского отделения РАН, 2000. 216 с.

32. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. Москва, Физико-математическая литература, 1995.

33. Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях (1906). Избранные сочинения, т. 2, Москва-Ленинград, Гостехиздат, 1948.

34. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. Москва, ИЛ, 1951.

35. Белоцерковский С.М. Основные идеи методов дискретных вихрей и дискретных особенностей. Вопросы кибернетики: Сборник научных трудов, АН СССР, 1986.

36. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. Москва, Наука, 1985.

37. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. Москва, Янус-К, 1995.

38. Ламб Г. Гидродинамика. Под ред. проф. Слезкина Н.А. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Ленинградское отделение, 1947.

39. Кармоди Т. Развитие следа за диском. Труды американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов, 1964, т. 86, № 4, с. 281

40. Уханова Л.Н. Турбулентный след за проницаемым диском. Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 1, с. 108-112.296.

41. Фещенко С.А. Аэродинамические характеристики проницаемых дисков при дозвуковых скоростях набегающего потока. Известия АН СССР, МЖГ, 1986, № 4, с. 123-128.

42. Moore D.W. The Spontaneous Appearance of a Singularity in the Shape of an Evolving Vortex Sheet. Proc. Roy. Soc., Series A, 1979, vol. 365, pp. 105-119.

43. Rosenhead L. The Spread of Vorticity in the Wake Behind a Cylinder. Proc. Roy. Soc., Series A, 1930, vol. 127, pp. 590-612.

44. Хэм. Аэродинамическая нагрузка на профиль в двумерном потоке при динамическом срыве. Ракетная техника и космонавтика, 1968, №10, с. 127.

45. Kiya М., Arie М. Discrete-vortex simulation of unsteady separated flow behind a nearly normal plate. Bull. JSME, 1980, vol. 23, №183, pp. 1451-1458.

46. Баранов H.A., Белоцерковский Ал.С., Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Расчет турбулентной вязкости в спутном вихревом следе за самолетом. ЦАГИ, препринт №109, 1997, 17 с.

47. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow. Journal Fluid Mechanics, 1973, vol. 57, part 4, pp. 785-788.

48. Дынникова Г.Я. Моделирование свободного сдвигового течения методом непрерывного вихревого слоя. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1999, №1, с. 42-50.

49. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С., Хлапов Н.В. Моделирование круглой турбулентной струи методом дискретных вихрей. Доклады Академии наук, механика, 1995, том 345, №4, с. 479-482.

50. Husain Z.D., Hussain A.K.M.F.// AIAA Journal, 1979, v. 17, №1, pp. 48-55.

51. Hussain A.K.M.F., Husain ZD. Turbulence Structure in the Free Mixing Layer. AIAA Journal, 1980, v. 18, №12, pp. 1462-1469.

52. Acton E. A modelling of large eddies in an axisymmetric jet. Journal Fluid Mechanics, 1980, vol. 98, № 1, pp. 1-31.

53. Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. Москва, "Наука", 1989, 208 с.

54. Белоцерковский С.М., Дворак А.В., Хлапов Н.В. Моделирование на ЭВМ плоских турбулентных струй. Доклады АН СССР, 1985, том 282, № 3, с. 46-54.

55. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. Москва, Наука, 1988.

56. Морель Т., Бон М. Обтекание двух круглых дисков, расположенных друг за другом.

57. Труды американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов, 1980, т. 102, №1, с. 225-234.

58. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. Пер. с англ. Москва, «Мир», 1973.

59. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев В.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений, Москва, «Наука», 1987.

60. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Ленинградское отделение, 1951, 606 с.

61. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд.2, переработанное, Москва, Физико-математическая литература, 1962, 599 с.

62. Гиневский А.С., Уханова Л.Н., Чернова Л.И. Экспериментальное исследование ближнего турбулентного следа за диском. Препринт ЦАГИ №103, Москва, Издательский отдел ЦАГИ, 1996. 20 с.

63. Горлин С.М. Экспериментальная аэромеханика. Москва, Высшая школа, 1970.

64. Медведев Р.Е., Теселкин Д.А. Численное моделирование отрывного пространственного обтекания круглого диска на основе метода дискретных вихрей. Препринт ЦАГИ №89, Москва, Издательский отдел ЦАГИ, 1996. 20 с.

65. Ананьева З.А., Бертынь В.Р., Земцова Г.В. и др. Экспериментальное исследование течения в следе за плоскими телами с тупым кормовым срезом с применением оптических методов. Ученые записки ЦАГИ, 1974, т.5, №1, с. 108-112.

66. Eiffel G. The Resistance of the Air and Aviation, Constable and Co., London, 1913.

67. C.A. Исаев. О влиянии аппроксимационной вязкости при расчете турбулентных течений с циркуляционными зонами. Инженерно-физический журнал, 1985, т. XLVIII, №6, с. 918-921.

68. С.А. Исаев. Численное исследование механизма снижения лобового сопротивления тела с передней срывной зоной. Инженерно-физический журнал, 1995, т. 68, № 6, с. 975-982.

69. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. Москва, Наука, 1979.

70. Бремхорст К., Харч У.Х. Измерения скоростей в ближнем поле полностью пульсирующей дозвуковой воздушной струи. Сборник научных трудов "Турбулентные сдвиговые течения", Москва, Машиностроение, 1982, т.1, с. 41-58.

71. Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Слезингер И.И. и др. Генераторы импульсных дозвуковых струй. Отчет НИИ механики МГУ. Москва, 1988, №3684, 93 с.

72. Веретенцев А.Н., Рудяк В .Я. Об управлении развитием вихревых возмущений в слое смешения. Изв. АН СССР, механика жидкости и газа, 1988, №3, с.78-84.

73. Власов Е.В., Гиневский А.С., Пимштейн В.Г. О воздействии звука большой интенсивности на дозвуковую турбулентную струю. XI Всесоюзная акустическая конференция. Москва, 1991, серия Ж, с.31-34.

74. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1960, 715 с.

75. Гиневский А.С. и др. Аэроакустические взаимодействия. Москва, Машиностроение,

76. Moore C.J. The role of shear-layer instability waves in jet exhaust noise. Journal of Fluid Mechanics, 1977, vol. 80, part 2, pp. 321-368.

77. Crow S.C., Champagne F.H. Orderly structure in jet turbulence. Journal of Fluid Mechanics, 1971, vol. 48, part 3, 547-592.

78. Андронов П.Р. Периодическое возбуждение затопленных турбулентных струй. Отчет № 4588, Институт механики МГУ, Москва, 2001, 37 стр.

79. Герценштейн С Я., Олару И.И., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н. О развитии конечно-амплитудных двумерных и трехмерных возмущений в струйных течениях. Известия АН СССР, механика жидкости и газа, 1985, № 5, с. 8-19.

80. Герценштейн С.Я., Сухоруков А Н. О жестком возбуждении трехмерных конечно-амплитудных режимов в струйных течениях. Доклады РАН, 1998, т. 359, № 5,

81. Gr instein F.F., Oran E.S., Boris J.P. Direct numerical simulation of axisymmetric jets. AIAA journal, 1987, vol. 25, № 4, pp. 92-98.1978.c. 629-631.