Моделирование течений в мембранных каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ.

1.1 Основные сведения о баромембранных процессах.

1.2 Физическая модель процессов мембранного разделения.

1.2.1 Основные явления массопереноса в мембранном канале.

1.2.2. Явления на поверхности мембраны.

1.2.3. Явления вторичного переноса.

1.3 Математическая модель течения в мембранном канале.

1.4 Выводы.

2 ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В СМЕЖНЫХ КАНАЛАХ С ОБЩЕЙ ПРОНИЦАЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ ПРИ НЕПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ПРОНИЦАНИЯ ЧЕРЕЗ НЕЕ.

2.1 Кинематика течения жидкости в смежных каналах с общей проницаемой границей.

2.2 Степень скоростной неравновесности течения.

2.2.1 Распределение функции тока.

2.2.2 Движение одиночной частицы примеси.

2.3 Выводы.

3 ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ГИДРОДИНАМИКЕ МЕМБРАННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ.

3.1 Роль численного эксперимента при моделировании гидродинамических процессов в мембранных установках.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Конечно-разностная аппроксимация задачи.

3.4 Алгоритм и его реализация.

3.5 Расчет процессов в трубчатых мембранных каналах.

3.6 Расчет процессов в напорном канале типа зазора.

3.7 Выводы.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ МЕМБРАННЫХ КАНАЛОВ С ВОЛНИСТОЙ ФОРМОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ.

4.1 Площадь рабочей поверхности мембраны как фактор, влияющий на эффективность процессов мембранного разделения.

4.2 Математическое моделирование гидродинамических процессов в каналах с волнистой образующей.

4.3 Влияние формы проницаемой границы на структуру течения в напорном и дренажном каналах.

4.4 Выводы.

В течение последнего десятилетия в наиболее развитых странах мира происходит стремительное внедрение мембранных технологий в различные отрасли промышленного производства. Несомненные достоинства мембранных процессов обеспечивают им значительные преимущества по сравнению с традиционными процессами разделения (перегонка, ректификация, экстракция, адсорбция) как в отношении энергоемкости, компактности и простоты аппаратурного оформления, так и в отношении экологических требований [1-5].

Сфера использования мембран при решении разнообразных технологических задач постоянно расширяется. В настоящее время она охватывает десятки отраслей промышленности, включая электронную, металлургическую, пищевую, фармацевтическую, мембранные методы являются перспективными практически для всех отраслей промышленности, в которых возникает необходимость разделения, очистки и концентрирования растворов органических или минеральных веществ. Так, в химической и нефтехимической промышленности мембранные методы применяют для разделения азеотропных смесей, очистки и концентрирования растворов, выделения высокомолекулярных соединений из растворов, содержащих низкомолекулярные компоненты. В пищевой промышленности - для концентрирования фруктовых и овощных соков, молока, получения высококачественного сахара. Наиболее широкое применение баромембранные процессы находят при обработке воды и водных растворов, очистке сточных вод. Особенно перспективно применение мембран в биотехнологии: при производстве биологически активных веществ, при концентрировании белков, отделении вирусов и макромолекул, клеточной массы от ферментной среды, удалении из готовых продуктов солей, коллоидов и частиц. При этом, процессы разделения на мембранах могут служить универсальным технологическом приемом на всех стадиях биологических производств, в том числе, при подготовке исходных компонентов, биосинтезе, выделении и очистке готового продукта, утилизации отходов производств.

Расчеты и накопленный большой фактический материал показывают, что применение полупроницаемых мембран может дать значительный экономический эффект в сложившихся традиционных производствах, открывает широкие возможности для создания принципиально новых, простых, мало энергоемких и социально оправданных технологических схем.

Успешная разработка мембранных процессов и внедрение их в промышленность связана с решением целого комплекса проблем. Первой в этой связи можно назвать задачу синтеза мембран, в максимальной степени отвечающих конкретным технологическим требованиям и сохраняющих свои свойства в течение длительного времени эксплуатации. Эта задача может быть решена методами физической химии. Решения только лишь задачи создания мембран, обладающих нужными свойствами еще недостаточно для их практического применения. Не менее важны проблемы поиска оптимальных конструкций аппаратов мембранного разделения и определения условий проведения процессов в них, отвечающих решению тех или иных технологических проблем. Эта задача может считаться фактически решенной в том случае, если будут созданы надежные методы расчета процессов в мембранных аппаратах.

Экспериментальные и теоретические исследования Ю.И. Дытнерского, И.О. Протодьяконова, Н.А. Марцулевича, Н.Н. Смирнова, Ю.Г. Чеснокова, С.В. Полякова, Е.Д. Максимова и других ученых подтверждают то, что на характеристики процессов разделения особое влияние оказывает гидродинамика в напорных каналах. Это связано с тем, что энергетические характеристики мембранных установок целиком определяются их расходными характеристиками. Значит, физически обоснованные методы расчета указанных процессов должны опираться на результаты исследования закономерностей движения среды. Другим фактором, который необходимо исследовать для нахождения путей улучшения эффективности разделения, является проницаемость мембран по растворенным веществам, которая определяется их концентрациями в напорных мембранных каналах.

В ряде случаев надежные сведения о протекании процесса разделения можно получить путем непосредственного измерения. В общем же, в силу достаточно малых поперечных размеров модулей мембранных аппаратов такой метод определения скорости жидкой среды и концентраций растворенных веществ внутри канала и, в частности, у поверхности мембраны трудоемок и не всегда обеспечивает необходимую точность. Поэтому очевидно, что более целесообразно и экономически оправдано математическое моделирование полей гидродинамических переменных и концентраций растворенных веществ в напорном канале мембранной установки.

К настоящему времени в связи с внедрением в научные исследования ЭВМ сложилась достаточно эффективная методика проведения исследовательского эксперимента. На данном этапе развития науки он представляет собой средство исследования физических явлений в нелинейных средах и позволяет существенно снизить роль натурного эксперимента. Достоинства компьютера как расчетного инструмента создают качественно новые условия ведения научных исследований, давая возможность не только автоматизировать трудоемкие расчеты, но и эффективно анализировать такие математические модели, которые до настоящего времени в силу своей сложности были недоступны количественному изучению ни на аналитическом уровне, ни методами аналогового моделирования [6].

Объектом настоящих исследований являются гидродинамика и массообмен в мембранных каналах разнообразной конфигурации при различных значениях параметров, определяющих физическую обстановку в них.

Целями исследований являются:

1. Разработка моделей и расчетных алгоритмов для описания гидродинамических и массообменных процессов в мембранных каналах.

2. Анализ способов управления гидродинамическими процессами в аппаратах мембранных установок.

3. Поиск методов оптимизации мембранной аппаратуры.

О важности исследуемой проблематики свидетельствует тот факт, что вопросы, затрагиваемые в диссертационной работе, входят в «Перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований в России», по следующим пунктам:

2.2. Информатика;

2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение в фундаментальных исследованиях в различных областях знания.

Данная работа выполнялась в рамках тем госбюджетного финансирования «Математическое моделирование сложных систем в наукоёмких технологиях» (№ Госрегистрации 01.9.700002259) и «Исследование процессов разделения, смешения, сушки гетерогенных сред в производстве продуктов спецхимии» (№ Госрегистрации 01.20.0013399). Перейдем к изложению структуры работы.

Первая глава посвящена особенностям физико-математического моделирования мембранных процессов.

Физические модели процессов двумерного конвективного массопереноса в напорных каналах мембранных аппаратов, основанные на уравнении конвективной диффузии для соответствующего поля скоростей, могут быть описаны следующей системой дифференциальных уравнений: div(pu<!>—r0grad<&) = S0, (В. 1) где Гф и Scd соответственно коэффициент диффузии и источниковый член, их конкретный вид зависит от физического смысла переменной Ф, р -плотность, и - вектор скорости потока, сИу(риФ) - конвективный член, div(T<$>grad<l?)- диффузионный член, Ф - вектор, компоненты которого соответствуют: 1 - уравнению неразрывности, составляющие w и v вектора скорости и - уравнениям переноса импульса вдоль осей z и у декартовой системы координат, концентрация примеси с - уравнению переноса частиц примеси.

При соответствующих краевых условиях система уравнений (В.1) представляет собой различные задачи массопереноса в напорных каналах, встречающиеся на практике мембранного разделения и позволяет определить основные характеристики фильтрационных процессов - удельную производительность и проницаемость мембран.

Определение полей скоростей и давления сводится к решению полной системы гидродинамических уравнений. В настоящее время известно большое количество работ, в которых отражены результаты изучения течений, возникающих вследствие вдува или отсоса через проницаемые стенки каналов. К их числу принадлежат работы отечественных и зарубежных ученых А. Бермана, С.В. Юаня, Дж. Тейлора, М. Мордучова,

A.Б. Финкелыитейна, С.А. Регирера, А.А. Свириденкова, В.Н. Варапаева,

B.И. Ягодкина, Ф.Ф. Спиридонова и др. В подавляющем большинстве эти работы посвящены исследованию потоков с высокими числами Рейнольдса вдува, однако, для микро-, ультрафильтрации и обратного осмоса характерны числа Рейнольдса отсоса, меньшие единицы. Зачастую приближенные решения в упомянутых работах получены в рамках допущения о постоянстве скорости проницания через пористый барьер, что существенно ограничивает применимость имеющихся результатов. Это связано с переменностью градиента давлений, под действием которого происходит разделение. Таким образом, представляется важным создание моделей течений в каналах с проницаемыми стенками с учетом неравномерности отсоса по их длине, и которые были бы эффективны для исследования гидродинамики с низкими числами Рейнольдса.

Во второй главе отражены результаты исследования течения в мембранной установке при непостоянстве скорости проницания через мембрану. Новизна построенной модели заключается в степенной зависимости скорости фильтрации жидкости. Другие допущения заключаются в пренебрежении зависимостью давления от поперечной координаты и бесконечно больших значениях характерного числа Рейнольдса, вычисленного по скорости проницания. При выше указанных условиях был получен класс автомодельных решений уравнений гидродинамики с единственным параметром - показателем степени п. В ходе исследования был определен диапазон изменения параметра п: [0, 1А). При п=0 реализуются известные решения Бермана-Юаня, справедливые в случае равномерного отсоса (вдува) через пористый барьер.

В результате анализа полученных решений была доказана зависимость гидродинамических полей переменных от закона проницаемости мембраны. Установлено, что малому изменению параметра п в окрестности нуля соответствует достаточно сильное изменение градиентности течения.

Для исследования степени скоростной неравновесности движения жидкой и дисперсной фаз в напорном канале была поставлена и численно решена задача Коши. Анализ полученного решения показал умеренное влияние параметра п на величину отклонения скоростей и траекторий частиц жидкости и примеси. Установлено, что при увеличении параметра п в границах диапазона его изменения зона максимального осаждения частиц примеси на пористой стенке приближается к входу в напорный канал, следовательно, здесь наблюдается область наибольшей деформации мембраны. Прогиб мембраны повлечет за собой уменьшение значений средней скорости в напорном канале и ее увеличение в дренажном, что неизбежно приведет к росту перепада давлений на проницаемой стенке. В свою очередь, увеличение перепада давлений на мембране спровоцирует еще больший прогиб и т.д. Значит, при недостаточной прочности мембраны возможен ее разрыв. Если упругие силы будут восстанавливать равновесие системы, то проницаемая поверхность может перейти из статического в колебательный режим. Этот механизм может являться одной из причин наблюдающегося разрушения мембран.

Третья глава посвящена возможностям использования численного эксперимента применительно к гидродинамике мембранных технологий. В процессе математической постановки задачи осуществлен переход от естественных переменных «скорость-давление» к переменным «завихренность-функция тока». Разработана общая структура вычислительных средств на основе модификации метода А.Д. Госмена - Д.Б. Сполдинга на неравномерных сетках. Для стабилизации вычислительного процесса предложено использование методов верхней и нижней релаксации. Расчетный алгоритм реализован на языке среды Matlab в виде вычислительного комплекса, включающего в себя программы подготовки данных, построения сетки, решения системы линейных уравнений, вывода нужной информации в текстовом и графическом режимах.

Разработанный метод применен к расчету течений, схема организации которых наиболее часто встречается на практике мембранной фильтрации. В процессе вычислительного эксперимента были определены оптимальные значения параметров релаксации: значение завихренности со в поле течения вычислялось с коэффициентом релаксации 0,5, а на границах -с ОД. Скорость сходимости итерационного процесса удалось повысить по сравнению с методом Сполдинга за счет организации релаксационного циклического процесса с параметрами Чебышева для функции тока \|/. Полученные в ходе вычислительного эксперимента решения контролировались на соответствие с известными аналитическими решениями, данными экспериментов.

Численное исследование показало, что течение в напорном канале в общем случае состоит из двух зон - регулярного течения и вихревого течения, разделенных сепаратрисой. Обработкой результатов эксперимента была получена зависимость координаты точки отрыва потока от характерного числа Рейнольдса отсоса. Установлено, что наибольшие различия между теоретическими автомодельными и расчетными решениями наблюдаются вблизи непроницаемых стенок канала, наименьшие расхождения - около мембраны. Здесь силы инерции преобладают над силами вязкого трения.

По результатам исследований разработаны рекомендации по аппаратурному оформлению мембранных установок, связанные с исключением влияния нежелательных эффектов движения жидкой среды и частиц примеси в каналах рассмотренных типов.

В четвертой главе предложен вариант оптимизации процессов мембранного разделения на основе применения аппаратов с волнистой образующей проницаемой границы в форме ломаной и синусоиды. Показано, что разработанные в предыдущей главе вычислительные средства в случае реализации определенных мероприятий, обеспечивающих устойчивость метода решения, могут быть применены к расчету течения в мембранной установке с образующей проницаемой границы нерегулярной формы.

Было исследовано влияние формы проницаемой границы на структуру течения в мембранном канале. Замена прямолинейной формы образующей проницаемой границы волнистой с амплитудой h и длиной волны b привело к существенному изменению структуры потока в дренажном и напорном каналах модуля мембранного аппарата. Структурные изменения происходят, в основном, в области, прилегающей к мембране. Наиболее значимо в этой связи влияние параметра h/b. При h/b, не равном нулю, около проницаемой границы возникает возвратное течение, на профиле продольной скорости вблизи мембраны появляется точка перегиба, свидетельствующая о сдвиговом характере течения. При h/b=0 результаты расчетов совпадают с полученными в предыдущей главе решениями.

В процессе вычислений выявлена чувствительность течения в дренажном и напорном каналах вблизи мембраны к изменению характерного числа Рейнольдса вдува, отсоса. Так, при увеличении чисел Рейнольдса

13 вдува, отсоса уменьшается поперечный размер зоны возвратного течения около проницаемой границы вплоть до исчезновения. В данном случае в указанной зоне силы вязкого трения по величине сравнимы с силами инерции.

Проведенные исследования позволяют утверждать, что структура течения в круглых цилиндрических и плоских призматических мембранных установках чувствительна к изменению характерного числа Рейнольдса отсоса (вдува), поскольку в процессе осаждения частиц на мембране ее форма, первоначально являющаяся прямолинейной, постепенно перестает быть такой.

В заключении перечислены основные результаты работы и представлены выводы, следующие из этих результатов.

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Разработана математическая модель течения в мембранной установке при неравномерном вдуве через проницаемую стенку.

2. Получены аналитические выражения для гидродинамических переменных в предположении степенного закона проницания через мембрану.

3. Проведен анализ степени динамической неравновесности жидкой и дисперсной фаз в мембранном канале.

4. Разработан метод расчета квазистационарной гидродинамики и массообмена в мембранных каналах, устойчивый в широком диапазоне изменения значений конструкционных и физических параметров.

5. Разработан комплекс вычислительных мероприятий, направленных на достижение устойчивости метода в случае решения задач на существенно неравномерных сетках и в областях с нерегулярной границей.

6. Получены решения гидродинамической и массообменной задач в мембранных каналах с наиболее часто встречающейся на практике схемой организации потока.

7. Получена зависимость координаты точки отрыва потока в мембранном канале от характерного числа Рейнольдса отсоса.

8. Сформулированы рекомендации, направленные на исключение нежелательных эффектов движения жидкой среды в мембранном канале.

9. Получены решения гидродинамической задачи при рассмотрении течения в мембранной установке с волнистой формой образующей проницаемой границы.

113

Ю.Проведен анализ чувствительности кинематики течения в мембранных каналах с различной формой образующей проницаемой границы к изменению характерного числа Рейнольдса отсоса-вдува. Достоверность результатов расчета подтверждена путем сравнения с известными экспериментальными данными, аналитическими решениями и приведенными в литературе результатами численных расчетов. Результаты теоретических исследований, алгоритмы, расчетные соотношения и разработанный комплекс программ могут быть использованы для качественного и наглядного моделирования гидродинамических и массообменных процессов в модулях мембранных аппаратов, при проектировании мембранной аппаратуры с целью оптимизации рассматриваемых технологических процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Дытнерский Ю.И. Мембранные процессы разделения жидких смесей. -М.: Химия, 1975.-230 с.

2. Дытнерский Ю.И. Обратный осмос и ультрафильтрация. М.: Химия, 1978.-352 с.

3. Дытнерский Ю.И. Баромембранные процессы. Теория и расчет. М.: Химия, 1986.-272 с.

4. Хванг С.-Т., Камермейер К. Мембранные процессы разделения./ Пер. с англ.; Под ред. Ю.И. Дытнерского. М.: Химия, 1981. - 464 с.

5. Брок Т. Мембранная фильтрация. М.: Мир, 1987. - 464 с.

6. Штенгелов Р.С., Веселова В.Л., Гриневский С.О. и др. Гидрогеодинамические расчеты на ЭВМ. М: Изд-во Московского ун-та,1994.-335 с.

7. Поляков Ю.С., Максимов Е.Д, Поляков B.C. К расчету микрофильтров// Теор. основы хим. технологий. 1999. Т.ЗЗ. №1. С.70-78.

8. Святченко В.В., Бельдюкович А.В. Методика определения пористой структуры ультрафильтрационных мембран// Жур. приклад, химии. 1991. №1.- С. 103-107.

9. Святченко В.В., Бельдюкович А.В. Пористая структура промышленных и экспериментальных ультрафильтрационных мембран// Жур. приклад, химии. 1991. №7. С. 1571-1575.

10. Ю.Поляков С.В., Максимов Е.Д., Поляков B.C. Об одномерной модели микрофильтрации// Теор. основы хим. технологий. 1995. Т. 29. №4. С. 357-361.

11. П.Поляков B.C., Максимов Е.Д., Поляков С.В. К вопросу моделирования процесса проточной микрофильтрации//Теор. основы хим. технологий.1995. Т.29. №3. С. 300.

12. Поляков B.C. О расчете микрофильтров объемного действия// Теор. основы хим. технологий. 1998. Т.32. №1. С. 22-27.

13. Ван Чжань, Марцулевнч Н.А., Флнсюк О.М. Об оценке относительной проницаемости осадка при разделении суспензий на мембранах// Жур. приклад, химии. 1992. Т. 65. №9. С. 2155-2158.

14. Shulz G., Riperger S. Concentration polarization model in cross microfiltration//J.Membr. Sci. 1989. V.40. P. 173.

15. Zidney A.L., Colton S.K. A concentration polarization model for the filtrate flux in crossflow microfiltration of particulate suspensions// Chem. Eng. Commun. 1986. V. 47.-P. 1.

16. Davis R.H., Sherwood J.D. A similarity solution for steady-state crossflow microfiltration// Chem. Eng. Sci. 1990. V. 45. P. 3204.

17. Romero C.A. Davis R.N. Trancient model of crossflow microfiltration// Chem. Eng. Sci. 1990. V. 45.-P. 13.

18. Belfort G. Fluid mechanics in membrane filtration: recent developments// J.Membr. Sci. 1989. V.40. P.123.

19. Davis R.H., Birdsell S.A. Hydrodynamic model and experiments for crossflow microfiltration// Chem. Eng. Commun. 1987. V. 49. P.217.

20. Leonard E.G., Vassilieff C.S. The deposition of rejected matter in membrane separation processes// Chem. Eng. Commun. 1984. V. 30. P.209.

21. Stamatakis K., Tien C. A simple model of crossflow filtration based on particle adhesion// AIChE J. 1993. V. 39. P. 1293.

22. Sherwood J.D. The force on a sphere pulled away from a permeable half-space//Physicochem/Hydrodyn. 1988. V. 10. P. 3.

23. Song L., Elimelech M. Particle deposition onto a permeable surface in laminar flow//J. Colloid Interface Sci. 1995. V. 173. P. 165.

24. Belfort G., Pimbley J.M. Greiner A., Chung K.-Y. Diagnosis of membrane fouling using rotating annular filter// J.Membr. Sci. 1993. V.77. P.l.

25. Chandavarkar A.S. Dynamics of fouling of microporous membranes by proteins. Ph. D. Thesis, Cambridge (MA): Massachusetts Inst. Technol., 1990.

26. Bowen W.R., Gan Q. Properties of microfiltration membranes: flux loss during constant pressure permeation of bovine serum albumin// Biotechnol. Bioeng. 1991. V. 491.

27. Bowen W.R., Calvo J.I., Hernandez A. Steps of membrane blocking in flux decline during protein microfiltration// J. Membr. Sci. 1995. V. 101. P. 153.

28. Suki A., Fane A.G., Fell C.J.D. Flux decline in protein ultrafiltration// J. Membr. Sci. 1984. V. 21. P.269.

29. Suki A., Fane A.G., Fell C.J.D. Modelling fouling mechanisms in protein ultrafiltration// J. Membr. Sci. 1988. V. 27. P.181.

30. Вегтап A.S. Laminar flow in channels with porous walls// J. Appl. Phys. 1953. V.24, N9. P.1232-1235.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -. M.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. лит., 1988. 512 с.

32. Oseen С.W. Arkiv for Mat., №22, 1927.

33. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow in channels with porous walls//J. of applied physics/ 1956. V. 27. № 3. P. 267.

34. Yuan S.W., Finkelstein A.B. Laminar pipe flow in channels with injection and suction through a porous wall//Transactions of the ASME. 1956. V. 78.- P. 719.

35. Berman A.S. Laminar flow in annulus with porous walls// J. Appl. Phys. 1958.V.29, N9.- P.71-75.

36. Вегтап A.S. Effects of porous boundaries on the flow of fluids in systems with various geometries//Proc. of the international Conference on the peaceful uses of atomic energy. 1958. V.4.- P.351-358.

37. Berman A.S. Concerning Laminar Flow in Channels with Porous Walls// J. Appl. Phys. 1956. V.27, N12. P.1557-1558.

38. Регирер С.А.О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с проницаемыми стенками// Журнал технической физики. 1960. Т. 30. № 6. С. 639-643.

39. Регирер С.А.// Изв. вузов. Математика. 1962. №5,- С. 65-74.

40. Terrill R.M. Flow trough a porous annulus// Appl. Sci. Res. 1967. V.17, N3.-P.204-222.

41. Taylor G. Fluid flow in regions bounded by porous surfaces// Proc. Roy. Soc., Ser. A. 1956. V. 234. N 1199. P. 456-475.

42. Sellars J.R. Laminar flow in channels with porous walls at high suction Reynolds numbers// J. Appl. Phys. 1955. V. 26. P. 489.

43. Morduchow M. On laminar flow through a channels on tube with injection: application of method of averages// Quarterly J. of Appl. Phys. Math. 1957. V. 14.-P. 361.

44. Wageman W.E., Guevara F.A. Fluid flow through a porous channels// Physics Fluids. 1960. V. 3. P. 878 - 881 .

45. Никитин H.B., Павельев А.А. Турбулентные течения в канале с проницаемыми стенками. Результаты прямого численного моделирования и трехпараметрической модели// Механика жидкости и газа. 1998. №6. С. 18-25.

46. Yuan S.W. Turbulent Flow in Channel with Porous Wall// J. Math. Phys. 1959. V. 38. N3.- P. 166-171.

47. Свириденков А.А. Ягодкин В.И. О течении в начальных участках каналов с проницаемыми стенками// Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976. №5. С. 43-48.

48. Ягодкин В.И. Течение газа при горении в трубах с пористыми стенками// Инж. журн. 1961. В. 3. Т. 1. С. 165-169.

49. Titecar V.G. Steady laminar flow with suction or injection and heat transfer through porous pipe// Proc. Indian Acad. Sci. 1970. V. 71. P. 56-68.

50. Verma P.D., Gar Y.N. Laminar swirling flow in an annulus with porous walls// Proc. Indian Acad. Sci. 1974. V. 80. P. 211-222.

51. Hornbeck R.W. et al. Laminar entry problems in porous tubes// Phys. Fluids. 1963. V. 6.-P. 1649-1654.

52. Pimenta M., Moffat R. J. Stability of flow trough porous plates: coalescent jets 1 effect. AIAA Journal. 1974. V. 12, Oct. P. 1438-1440.

53. Beddini R.A. Injection-Induced Flows in Porous-Walled Ducts// AIAA Journal.1986. V. 24.N. 11.-P. 1766-1773.

54. Спиридонов Ф.Ф. О распределении характеристик турбулентности в канале с интенсивным вдувом// Жур. прикл. механики и техн. физйки.1987. №5. С. 79-84.

55. Нестеров Г.Н., Спиридонов Ф.Ф. Течение вязкой жидкости в кольцевом зазоре с интенсивным вдувом со стенок// Механика жидкости и газа. 1987. №1.-С. 21-24.

56. Аксененко В.В., Нестеров Г.Н., Спиридонов Ф.Ф. Исследование неизотермических течений в двухсвязных областях с проницаемыми границами//Журн. прикл. механики и техн. физики. 1988. №1. С. 112115.

57. Жапбасбаев У.К., Исаханова Г.З. Исследование развитого турбулентного течения в плоском канале с одновременном вдувом через одну и отсосом через другую пористую стенку// Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39. № 1. С. 61-67.

58. Huesmann K,, Eckert E.R.G. Untersuchungen tiber die laminare Stromung und den Umschlag zur Turbulenz in porosen Rohren mit gleichmassiger Einblasung durch die Rohrwand// Warme- und Stoffubertragung. 1968. V.l. -P. 1.

59. Olson R.M., Eckert E.R.G. Experimental Studies of Turbulent Flow in a Porous Circular Tube With Uniform Fluid Injection Through the Tube Wall// J. of Appl. Mech. 1966. V. 33. N.4. P. 7-17.

60. Алиев M.P., Р.З. Алиев, A.P. Алиев. Течение жидкости в длинных смежных каналах, разделенных проницаемой перегородкой// Теор. основы хим. технологий. 1999. Т.ЗЗ. №1. С. 23-29.

61. Raptis A.A. Unsteady free convective flow through a porous medium// Int. J. Engng. Sci. 1983. V. 21. N. 4. P. 345-348.

62. Тушкина Т.М., Спиридонов Ф.Ф. Аналитическое моделирование гидродинамики мембранной установки// Вторая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во Алт. Ун-та, 1999 г.-С. 38.

63. Тушкина Т.М. Математическое моделирование процессов мембранного разделения// Наука и образование: проблемы и перспективы: Материалы межвузовской научно-практической конференции 20-21 мая 1999 года. -Бийск: изд-во БТИ АлтГТУ, 1999. С. 70.

64. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. - 816 с.

65. Плановский А.Н., Николаев П.И. Процессы и аппараты химической и нефтехимической технологий: Учебник для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Химия, 1987. - 496 с.

66. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. с англ. М.: Мир, 1998. - 575 с.

67. Седов ЛИ. Механика сплошной среды. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - Т. 2. 560 с.

68. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики М.: Наука, 1989. -608с.

69. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Изд-во СО АН СССР. Новосибирск, 1966.

70. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. - 271 с.

71. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 519 с.

72. Липанов A.M., Бобрышев В.П., Алиев А.В., Спиридонов Ф.Ф., Лисица В.Д. Численный эксперимент в теории РДТТ. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1994.-300 с.

73. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости: пер. с англ. -М.: Мир, 1972.-324 с.

74. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: пер. с агл. -М.: Мир, 1980. 616 с.

75. Гуцалюк В.М. Вариационные методы в решениях задач мембранной технологии. К.: Выща школа, 1991. - 59 с.

76. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ.- М.: Энергоатомиздат, 1984 . 152 с.

77. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

78. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: -В 2-х т. М.: ДИАЛОГ - МИФИ, 1999. - 304 с.

79. Чесноков Ю.Г., Марцулевич Н.А. Ламинарное движение жидкостей в мембранных волокнах// Жур. приклад, химии. 1989. №9. С. 1954-1961.

80. Марцулевич Н.А., Чесноков Ю.Г. Моделирование процесса ультрафильтрации в мембранных каналах круглого сечения при гелеобразовании//Жур. приклад, химии. 1989. №9. С. 1950-1954.

81. Марцулевич Н.А., Гомолицкий В.Н., Чесноков Ю.Г., Смирнов Н.Н. Гидродинамика мембранных аппаратов с полыми волокнами// Жур. приклад, химии. 1989. №3. С. 578 - 580.

82. Китавцев Д.Н., Протодьяконов И.О., Чесноков Ю.Г. Исследование стационарного режима ультрафильтрации с образованием гелеобразного осадка// Жур. приклад, химии. 1995. Т. 68.№ 4. С. 658 - 662.

83. Гомолицкий В.Н., Головешкин В.Т., Калинина И.К., Смирнов Н.Н. Применение мембранных методов на различных стадияхбиотехнологического процесса// Жур. приклад, химии. 1990. № 10. С. 2252 -2256.

84. Тушкина Т.М., Овчаренко А.Г., Спиридонов Ф.Ф. Использование ЭВМ при расчете процессов мембранного разделения// Горизонты образования. 2000, вып. 2. htpp://edu.secna.ru. 9 с.

85. Лебедев А.С., Спиридонов Ф.Ф. Течение вязкой жидкости в начальном участке каналов с интенсивным вдувом// Механика жидкости и газа. 1987. №2.-С. 187- 189.

86. Лебедев А.С., Спиридонов Ф.Ф. Течение вязкой жидкости на начальном участке проницаемого канала с поперечной щелью// Инженерно-физический журнал. 1988. Т. 54. №4. С. 561 - 564.

87. Ахмадеев В.Ф., Сидоров А.Ф., Спиридонов Ф.Ф., Хайруллина О.Б. О трех методах расчета дозвуковых течений в осесимметричных каналах сложной формы// Моделирование в механике. Сборник научных трудов. Новосибирск. 1990. С. 15-25.

88. Hunt J.C.R., Abell С. J., Peterka J.A., Woo H. Kinematical studies of the flows around free or surface-mounted obstacles; applying topology to flow visualization// J. Fluid Mech. 1978. V. 86.Pt. 1. P. 179-200.

89. Тушкина T.M., Спиридонов Ф.Ф. Определение поля концентраций частиц в напорном мембранном канале.// Материалы третьей краевой конференции по математике МАК-2000, Барнаул, 2000. - С. 28.

90. Марцулевич Н.А., Гуляренко В.А., Кононов В.П. Использование аппаратов кассетного типа для процессов мембранной фильтрации// Жур. приклад, химии. 1990. №10. С. 2249 - 2252.

91. Марцулевич Н.А., Гуляренко В.А., Кононов В.П. Гидродинамика мембранных аппаратов кассетного типа// Жур. приклад, химии. 1991. №4. -С. 818-822.

92. Овчаренко А.Г., Тушкина Т.М., Спиридонов Ф.Ф. Течение в канале со вдувом и расходным устройством при высоких значениях чисел

93. Тушкина Т.М., Спиридонов Ф.Ф. Влияние формы проницаемой границы на структуру течения в мембранном канале// Четвертая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во Алт. Ун-та, 2001.-С. 28.