Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе

Ровенская, Ольга Игоревна

Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Ровенская, Ольга Игоревна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе»

Автореферат диссертации на тему "Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе"

На правах рукописи УДК 533.6.011.8

Ровенская Ольга Игоревна

ПРИМЕНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ И НАВЬЕ-СТОКСА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ И НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ииа4Ь8213

Москва-2008

003458213

Работа выполнена на кафедре компьютерного моделирования Московского физико- технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хлопков Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Аристов Владимир Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Тирский Григорий Александрович

Ведущая организация:

Московский энергетический (технический университет)

институт

Защита состоится 26 декабря 2008 года в часов на заседании диссертационного совета Д212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан /4

2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.125.14, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Гидаспов В.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Существует множество процессов связанных с газовой динамикой: испарение, разнообразные газодинамические неустойчивости, акустика газовых потоков, генерация звука и т.д. Каждая тема имеет немалое практическое применение: при разработке и создании авиадвигателей, в вопросах экологии, в авиастроении и машиностроении (проблемы возникновения и подавления шума). Поэтому задачи, связанные с исследованием нестационарных течений сжимаемого газа важны и актуальны для различных инженерных приложений, промышленности и экологии.

Численное моделирование занимает все более значимое место в теоретических и прикладных исследованиях нестационарных течений. Появление все более мощной высокопроизводительной вычислительной техники, в первую очередь параллельных вычислительных машин, и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики и механики создали объективные предпосылки для расширения области исследований сложных течений жидкости и газа, в том числе и турбулентности, с использованием результатов численного эксперимента. Численный эксперимент в сочетании с физическим открывает новые возможности в познании явлений природы и установлении роли в них различных факторов, а также позволяет определить границы применимости используемых математических моделей.

Система континуальных уравнений Навье-Стокса (в высшем приближении Барнетта) для вязкого сжимаемого теплопроводного газа используется в качестве математической модели. Иные возможности для описания явлений дает кинетическое уравнение Больцмана, которое можно интерпретировать как физическую модель, описывающую течения вязкого газа. В областях, где состояние газа близко к равновесному, т.е. характерные размеры и времена значительно больше кинетических, описание течений вполне удовлетворительно может быть проведено в рамках континуальных уравнений, учитывающих помимо движения процессы теплопроводности и вязкости. Однако использование данных уравнений не корректно в областях, примыкающих к границам с твердыми телами либо в областях внутри течения с большими градиентами газодинамических параметров. В связи с этим, актуальной проблемой является определение границ применимости континуальных уравнений и установление круга физических явлений, которые в целом могут быть удовлетворительно описаны этой более простой моделью. Необходимо отметить, что в рамках кинетического подхода существует принципиальная возможность описания движения среды во всех областях течения. Таким образом, представляется актуальным применение кинетического подхода к нестационарным задачам, рассматривающим сложные переходные движения среды, включая турбулентность и неустойчивость, в сжимаемых течениях. А также сопоставление получаемых результатов с данными из континуального подхода. Главным образом, актуальность проведенных с помощью методов прямого численного

сл

моделирования исследований обусловлена ценностью полученной информации о сложных течениях газа.

Дели и задачи диссертационной работы:

Во - первых, исследование с помощью численного моделирования нелинейной динамики индуцированных акустических волн в кинетической и континуальной постановках. Изучение механизмов развития неустойчивости и возникновения акустической турбулентности. Определение границ применимости континуальных уравнений.

Во - вторых, анализ численных методов решения многомерного кинетического уравнения Больцмана для разработки на их основе эффективных программ численного моделирования и исследование характера движения газа для ряда задач механики разреженных газов имеющих теоретическое и прикладное значение:

• Одномерной задачи о нестационарном испарении в вакуум с плоской поверхности. Исследование пространственно-временной эволюции течения.

• Двумерной задачи Тейлора - Грина в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Моделирование эволюции вихревого каскада. Выяснение влияния различных факторов на характер эволюции заданной системы вихрей.

• Задачи Рэлея - Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Исследование механизмов возникновения неустойчивости и процессов самопроизвольного возникновения упорядоченных структур.

Метод исследования. Применяются методы механики разреженных газов и сплошных сред, а также методы вычислительной математики: метод прямого статистического моделирования (ПСМ) Монте-Карло, консервативный метод дискретных ординат (ДО) для уравнения Больцмана Ф.Г. Черемисина, псевдоспектральный метод.

Научная новизна:

1. Сформулирована и решена задача об индуцированной динамике акустических волн:

Обнаружено, что малые возмущения, со временем приводят к возникновению ряда нелинейных эффектов. При этом образующаяся со временем нелинейность колебаний макровеличин обусловлена возникновением нестационарных разрывов - ударных волн периодически движущихся от центра интервала к его концам и обратно. Вместе с тем диссипация малой подводимой энергии со временем начинает происходить в ударных волнах, а не только за счет механизма вязкости, что приводит к появлению квазинепрерывного спектра кинетической энергии.

Установлено, что при уменьшении амплитуды внешних возмущений, начиная с некоторой малой амплитуды, ударные волны не возникают и в поле течения распространяются только звуковые волны. Наоборот, увеличение амплитуды, приводит к заметному усложнению движения газа,

выражающегося в том, что колебания становятся ангармоническими даже при небольшом интервале периодичности.

Обнаружено, что толщина возникающих слабых ударных волн подчиняется зависимости 1 /Ар, т.е. изменяется обратно пропорционально разности давлений Ар на фронте ударной волны. Можно ввести новое понятие - перемежаемости по неравновесности. Появляется еще один масштаб 6 = Кп/Ар, характеризующий нелокальность системы. При этом размер области неравновесности уменьшается с увеличением градиентов макропараметров.

Получена система уравнений Барнетта для интеграла столкновений в виде БГК модели. Обнаружено, что навье - стоксовская и барнеттовская поправки к функции распределения растут с увеличением интервала периодичности.

Проведенное сравнение показало, что вне переходной области ударной волны отклонение функции распределения по скоростям в навье-стоксовском приближении от «модельной» кинетической функции приблизительно равно ошибке вычисления, а в этой области становится значительным, и растет с увеличением интервала периодичности.

Обнаруженное отличие функций распределения в переходной зоне ударной волны проявляется в расхождении макропараметров, полученных на основе кинетического (в рамках модельного уравнения) и континуального (в рамках уравнений Навье - Стокса и Барнетта) подходов, в областях неравновесности. Вне этих областей макровеличины совпадают.

а. Нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности. Установлена газодинамическая структура течения, дающая представление о его пространственно - временной эволюции.

б. Двумерной задачи с начальными условиями Тейлора - Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе для чисел Кнудсена 0.0025 < Кп < 0.01. Демонстрируется особенность турбулентных течений образование вихревого каскада - процесс разрушения крупных вихрей на мелкие. Обнаружено, что с уменьшением числа Кнудсена происходит увеличение наклона и инерционного интервала графика распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, представленного в логарифмических координатах. Установлено, что увеличение интенсивности начальных условий (увеличение числа Маха) приводит к появлению в поле течения слабых ударных волн.

в. Одномерной и двумерной задачи Релея - Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. В одномерной постановке выявлен эффект влияния числа Фруда и отношения температур г на поведение течения газа при фиксированном числе Кнудсена. В рамках двумерной задачи установлено,

что только при числах Кнудсена Кп< 0.028 и фиксированном г = 0.1 возможно возникновение конвекции. Обнаружено, что при увеличении отношения продольного и поперечного размеров области возникает больше неустойчивостей и следовательно большее число вихревых структур в конвекционном течении.

Достоверность результатов обоснована тем, что в работе используются апробированные численные методы. Выполнено сравнение полученных результатов с точными решениями соответствующих задач, с данными других авторов, с результатами расчетов, выполненных по другим методам. Кроме того, основные результаты работы физически не противоречивы и качественно согласуются с известными представлениями о природе неустойчивости и турбулентности.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные в данной работе программы применимы для расчета течений разреженного газа и сплошной среды в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Они позволяют получить решения уже известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затруднительно. Созданные алгоритмы были преобразованы для расчета на многопроцессорных системах, что дает возможность эффективного их использования при выполнении научных исследований и прикладных расчетов.

На рассматриваемых задачах проведен анализ ряда теоретических положений. Так моделирование эволюции вихревого каскада позволяет проследить, как на кинетическом уровне происходит эволюция начальной вихревой системы и передача энергии в более мелкие масштабы. Моделирование динамики акустических волн позволяет исследовать неустойчивость и акустическую турбулентность с учетом сжимаемости среды. Моделирование конвекции Релея - Бенара дает возможности для исследования процессов самопроизвольного возникновения упорядоченных структур и содержит в себе существенные черты, характерные для многих явлений гидродинамической неустойчивости. Получаемые результаты ценны с точки зрения качественного и количественного изучения механизмов возникновения неустойчивости, турбулентности, а также процессов происходящих в вязком, сжимаемом газе при турбулентном движении.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Результаты численного моделирования нелинейной динамики акустических волн, возбуждаемых малой внешней нестационарной силой в вязком сжимаемом газе в рамках континуального и кинетического подходов.

2. Расчет нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности для всех режимов течения.

3. Результаты численного моделирования нестационарной двумерной задачи с начальными условиями Тейлора - Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

4. Результаты моделирования течения вязкого сжимаемого газа в плоском

горизонтальном слое, подогреваемом снизу - задача Релея - Бенара.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

XLVIII, XLIX и L научных конференциях МФТИ, Жуковский, 2005, 2006 и 2007 г.; II Международной научно - технической конференции «Авиадвигатели XXI века», Москва, 6-9 декабря 2005 г.; XXV Международном симпозиуме по динамике разреженного газа, Санкт -Петербург, 21-28 июля 2006 г. (25th International symposium on Rarefied Gas Dynamics); XX Международной конференции по теории переноса, Обнинск, 22-28 июля 2007 г. (20th International Conference on Transport Theory); Семинаре НИО-8 ЦАГИ (Жуковский, 2008); Семинаре Института механики МГУ (Москва, 2008); XIV Международной конференции по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 30 июня - 6 июля 2008 г. (14th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR)).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем составляет 200 машинописных страниц, текст содержит 71 рисунок и 6 таблиц, литература содержит 235 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы, перечислены полученные результаты, и обсуждается их практическая значимость. Представлены положения выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В главе 1 кратко излагаются математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Описываются некоторые математические модели газодинамических процессов. Приведен обзор численных методов решения кинетического уравнения Больцмана.

В главе 2 приводятся используемые в работе численные методы. В п. 2.1 описывается консервативный проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина, основанный на дискретной аппроксимации уравнения Больцмана и искомого решения на фиксированной сетке в фазовом пространстве и вычислении интеграла столкновения в узлах этой сетки. Метод обеспечивает строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также равенство интеграла столкновений нулю в условиях термодинамического равновесия. Раздельно вычисляется изменение функции распределения за счет столкновений и за счет переноса. Для аппроксимации конвективной части применяется конечно-разностный метод (п. 2.4). Описывается процесс распараллеливания алгоритма по физическому пространству (применяется библиотека MPI).

В качестве альтернативы конечно - разностным методам для аппроксимации производных применяется псевдоспектральный метод, использующий стандартную процедуру быстрого преобразования Фурье (п. 2.2). Метод обладает точностью высокого порядка и малыми

дисперсионной и диссипативной ошибками. Это позволяет ему быть чувствительным к выявлению малых масштабов и хорошо моделировать тонкие физические явления.

В п. 2.3 излагается метод прямого статистического моделирования Монте-Карло. Процесс однородной релаксации в ячейках реализуется на основе схемы «мажорантной частоты», которая является точной схемой для основного кинетического уравнения, описывающего этап пространственно-однородной релаксации. Данный алгоритм был модифицирован для расчета на многопроцессорной системе. В п. 2.4 описывается схема типа Годунова, основанная на ТУБ принципе.

Глава 3 посвящена исследованию нелинейной динамики акустических волн, возбуждаемых малой внешней нестационарной силой, в одномерном периодическом пространстве вязкого сжимаемого газа на основе континуального и кинетического подходов. Для численного решения задачи в обоих подходах используется комбинация псевдоспектрального метода и явной схемы Рунге-Кутта 2 - 4 - го порядка точности для интегрирования по времени.

Пункт 3.1 посвящен решению задачи в рамках кинетического подхода. В п. 3.1.1-3.1.2 формулируется постановка задачи, и определяются параметры моделирования. Исследование течения ведется на основе численного решения БГК модели кинетического уравнения для редуцированной функции распределения (/1),/2)):

+00+® +00+03

которое в безразмерных переменных записывается в виде: д/ дх й д( дх Бг 8с,х

к,-)

fe-)2

где (f0(,),f0m) - редуцированная локально - максвелловская функция

распределения, (fm,f(2)) - редуцированная функция распределения,

Е, = £,у, У - вектор скорости частиц, и - средняя скорость, п - плотность, F(х, t) - безразмерная массовая внешняя сила, действующая на частицы, Fr = mc /Фт0 - число Фруда, величина 1 /Fr полагается амплитудой внешней силы. С периодическими граничными и начальными условиями:

Плотность и температура отнесены к и0, Т0 - плотности и температуре невозмущенного газа, скорость к с - ^2RT0 - тепловой скорости; х к I - длине свободного пробега, время к т0 = Не -времени между столкновениями, внешняя сила к Ф - характерной внешней силе, действующей на частицы.

Параметрами течения являются: число Кнудсена Kn = UL, где L - размер интервала периодичности; число Рейнольдса Re„ =л/2уМ/Кп ; характерное число Маха М = итах/а, a = ^jyT/ 2 - локальная скорость звука, у =5/3 — показатель адиабаты.

В п. 3.1.3 приводятся результаты численного исследования динамики акустических волн в случаях, когда внешняя сила, задается в виде:

1. Fix, t) = sin((2n/Z) *) sin((27i/jL) /)- стоячая волна. Рассматривается диапазон интервала периодичности 100 <¿<4x103 (или числа Кнудсена 2.5х10"4 < Кп < 0.01) при фиксированном числе Фруда Fr= 104. Обнаружено, что при малой амплитуде внешней силы (порядка Кп) для всех L = 1/ Кп > 103 со временем в течении возникают нелинейные колебания макропараметров (см. рис. 1), что связано с появлением нестационарных разрывов - слабых ударных волн, периодически движущихся от центра интервала к его концам и обратно (см. рис. 2). В ударных волнах происходит возрастание энтропии, что означает необратимость движения, т.е. наличие диссипации энергии. Формируется квазинепрерывный спектр кинетической энергии со степенным законом «-5» (см. рис. 3). Малая подводимая энергия не успевает диссипировать за счет вязкости, диссипация энергии происходит в ударных волнах. На рис. 1-3 представлены результаты для Fr = 104 и L = 1.5x103.

Рис. 1. Эволюция (а) Рис.2. Изменение Рис. 3. Спектр кинетической энергии:

плотности, тех же величин в

скорости (6) и пространстве в 1 - спектр, 2 - степенной закон

температуры (с) в момент времени (-5), 3 - частота накачки

/= 16x10

Можно ввести новое понятие - перемежаемости по неравновесности. За период времени Т в некоторой точке пространства (х = -375) функция распределения / является равновесной /ед в течении Т- Аг (здесь справедлив континуальный подход - уравнения Навье-Стокса и Барнетга) и неравновесной /попеч в течении А/ (кинетический подход). Период Т является временем, за которое ударная волна проходит расстояние Ы2 от центра интервала к его концу (или наоборот от конца интервала к центру) (см. рис. 4).

itto'lui x = -375 нскоочтся й нере\одиопзонеyoapwiiсоты , "облаешь нераеноеесности"

от уентрагнинер&па уьоЬнт ударная бол на

уоарная еопнаoocimvivm ^KOHi/a im/iep ema. U1

Рис. 4. Перемежаемость в эволюции плотности при FrBGK = 104, L = 1.5x103 в точке

л: = -375

Перемежаемость по неравновесности равна AtIT и имеет порядок КпМр, где Ар - разность давлений на фронте ударной волны. Поскольку для слабых ударных волн Ар достаточно мала, то перемежаемость по неравновесности может быть весьма заметна. Такое поведение системы можно рассматривать как нелокальную модель континуальности. Возникает еще один масштаб е = Кп/Ар, характеризующий нелокальность системы.

Отметим, что слабость ударной волны при этом не означает близость функции распределения к навье - стоксовской. В этом случае для правильного описания эволюции вязкого сжимаемого газа могут потребоваться отличные от уравнений Навье - Стокса и Барнетта континуальные уравнения, в которых вязкость и теплопроводность будут интегральными величинами.

2. F(x, 0 = sin((2n/L) х) sin( л/2 {2v.IL) t) - частота внешнего возбуждения отличается от частоты акустических волн распространяющихся в газе. Длина интервала полагается фиксированной 1= 102 и число Фруда варьируется от 103 до 102. Макровеличины со временем выходят на квазипериодические колебания, при этом амплитуда колебаний плотности и скорости нарастает, а средняя температура увеличивается.

3. F(x, t) = sin((2n /I) (х - 0) - бегущая волна, распространяющаяся со скоростью звука. При Fr = 10 и 1 = 102 на начальной стадии наблюдается заметная ангармоничность колебаний. Возникают резкие изменения величин на безразмерных временах порядка 30. Со временем колебания становятся более гармоничными, и выходят на некоторый квазистационарный режим при этом возникает средняя скорость движения газа.

Из анализа численных данных (п. 3.1.4) установлено, что толщина слабой ударной подчиняется закономерности 1/Др, т.е. толщина волны изменяется обратно пропорционально ее интенсивности Ар.

В п. 3.2 исследование проводится в рамках континуального подхода. В п. 3.2.1 - 3.2.2 описывается постановка задачи на основе уравнений Навье-Стокса и параметры моделирования. При обезразмеривании системы уравнений плотность и температура отнесены к р0, Т0 - плотности и температуре невозмущенного газа, скорость - к скорости звука а = ^уКТ0 , х -

к вязкой длине I = vja, где v0 = Цо /ро> Ц - коэффициент вязкости, время - к характерному времени т0 = На, внешняя сила к Ф - характерной внешней силе. Для соответствия решениям модельного уравнения при расчетах используется линейная зависимость вязкости от температуры и число Прандтля Рг = 1. Число Рейнольдса Rea = L = Re„/M, где М = итах/а -характерное число Маха, определенное по ишах, а = 4т - локальная скорость звука, 1 /Fr - определяет амплитуду внешней силы.

Для сравнения полученных решений находятся связи между масштабами, используемыми при решении модельного и Навье-Стокса уравнений (п. 3.2.3): /„,=К,лД/2у - соотношение между вязкой длиной 1вяз и длиной свободного пробега 1св „\ Rea=Z//raj=%/2у/Кп - связь между числами Рейнольдса и Кнудсена; Fr[;s=a2//mj =y^/y/2FrBGK - связь между числами Фруда, возникающих в Навье-Стокса и в модельном уравнениях; íNS=¿BGK/y - связь

между временами, и№=ч/2/у «BGK - соотношение между скоростями.

В рамках уравнений Навье-Стокса исследование динамики акустических волн проводится численно при безразмерной длине интервала 102 < L = Rea < 7.3x103 и числе Фруда 10< FrNS < 1.5x107. Для силы заданной в виде стоячей волны, обнаружено, что при L = Rea > 103 и малой внешней силе (порядка 1/ ReJ, также как и в кинетической постановке, со временем развиваются нелинейные установившиеся колебания с резким изменением величин по пространству и времени. Это приводит к появлению квазинепрерывного спектра кинетической энергии со степенным законом «5» (Rea = 2738, FrNs= 1.5х104). Диссипация малой подводимой энергии происходит в ударных волнах.

Для силы заданной с частотой, отличающейся от частоты акустических волн, обнаружено хорошее согласие полученных данных с результатами, приведенными в кинетическом рассмотрении. Для силы в виде бегущей волны результаты отличаются только в области ангармоничности колебаний.

В п. 3.2.5 исследуется влияние интенсивности внешних возмущений (1.5х104< FrNS < 1.5х107) на поведение течения газа. Обнаружено, что начиная с амплитуды внешней силы меньше некоторого критического значения ударные волны перестают возникать и в поле течения распространяются только акустические волны. Величина пороговой амплитуды с ростом интервала периодичности L уменьшается.

На основе задачи о динамике акустических волн проводится сравнение решений получаемых в континуальном и кинетическом подходе (п. 3.3). В п.п. 3.3.1 - 3.3.3 описывается вывод уравнений высших приближений с помощью метода Чепмена-Энскога. Получена система уравнений Барнетта для интеграла столкновений в форме БГК, устойчивая к коротковолновым возмущениям, а также первое (навье - стоксовское) и второе (барнеттовское) приближения к функции распределения и соответствующие им поправки к тензору напряжения и тепловому потоку. Для численного решения уравнений

Барнетта используется тот же подход и параметры, что и для решения уравнений Навье - Стокса.

В п. 3.3.4 представлены результаты сравнения решений уравнений Навье - Стокса и Барнетта с решением модельного кинетического уравнения при внешней силе заданной в виде стоячей волны. Результаты приводятся в масштабах кинетической постановки (см. п. 3.2.3). Сравнение проводится для 103<Х = 1/Кп<4х103 и фиксированном Ргввк= Ю , при этом Кп уменьшается, а Иеа увеличивается. Обнаружено, что с 1> 103 отклонения редуцированных функций распределения в навье-стоксовском приближении от соответствующих «модельных» функций /В(ок,/Вок (решение модельного уравнения) в областях до и после ударной волны порядка ошибки вычисления, а в переходной зоне ударной волны, становятся заметными.

Рис. 5. Отклонение навье - стоксовских /^./да от «модельных» /мж./вис функций: 1 - до (х = 940), 2 - в (х = 962) и 3 - за (х = 990) ударной волной

С увеличением Ь величины отклонений, отнесенные к соответствующему числу Кп, в ударной волне изменяются от 1 до 27. Эти отклонения, представленные на рис.5 для Ь = 2x103 в момент времени / = 8.8х103. Отметим, что отклонения редуцированных функций в барнеттовском приближении от «модельных», отнесенные к Кп, ведут себя аналогичным образом, однако величины отклонений в ударной волне несколько меньше. С ростом Ь навье - стоксовская и барнеттовская поправки к функции распределения увеличиваются.

Таким образом, для Ь > 103 отличие функций распределений в барнеттовском и навье - стоксовском приближении от «модельной» в переходной зоне ударной волны оказывается весьма значительным, что проявляется в расхождении макропараметров, полученных разными подходами, в областях неравновесности. Вне этих областей параметры совпадают с высокой степенью точности (порядка ошибки вычисления 10"5).

Разности пц$,-пвок, -\/у/2~~ивск и ^ - Твск, и аналогичные разности

решений Барнетта и БГК уравнений (обозначены - «О») эволюционируют одинаково (см. рис. 6).

Рис. 6. Разность решений An, Д«, ЛГ при FrBGK = 104 и I = 1/Кп = 2x103 в точке

х = 0.3 L

При этом с ростом L (с ростом градиентов течения) величины разностей Дитах, Аитах, ДГщах в областях неравновесности увеличиваются, а ширина этих областей уменьшается. Отметим, что с увеличением L максимальные значения («Buraett - «BGK)max и т.д. начинают несколько отличаться от аналогичных значений навье - стоксовских разностей («NS - «вок)тахи Т-д-

Глава 4 посвящена численному моделированию одномерных и двумерных задач с помощью кинетического подхода. В п. 4.1 для верификации используемых численных методов рассматривается одномерная задача о распаде разрыва: р£ = 1.2, м£ = 0, pL = \ и рл=1.2, uR = 0, pR=\. Численное моделирование проводится при Кп = 0.01, 0.005 и 0.0025 с помощью проекционного метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина и метода ПСМ Монте-Карло. Также решается модельное уравнения БГК с помощью конечно - разностного метода типа Годунова (TVD подход).

В п. 4.2 решается одномерная задача о нестационарном испарении в вакуум с плоской полубесконечной поверхности (х < 0) в пустое полупространство (х > 0). Наиболее корректно задачи такого типа на всех стадиях истечения и во всем полупространстве решаются, используя только кинетический подход.

Расчетная область представляет собой пространство между поверхностью испарения и внешней границей расположенной на достаточно большом расстоянии L ~\03XW, где Xw - длина свободного пробега, определяемая условиями на поверхности испарения. Испаряющийся газ рассматривается как одноатомный. Для описания взаимодействия атомов используется модель твердых сфер. В начальный момент времени t = 0 в расчетной области нет частиц. Функция распределения по скоростям испаряющихся с поверхности частиц (х - 0) задана постоянной и полумаксвелловской:

/. L

(2nRT„y

гехр

2RT„

где пе - равновесная концентрация испаряющихся частиц, Tw - температура поверхности, - компоненты скорости частиц газа, R - газовая

постоянная. На испаряющей поверхности и внешней границе задается

условие полной конденсации частиц и/[^=£ = 0. Вычисления проводятся до безразмерного времени ?/т0 = 300 достаточного для развития континуального режима. Рассматриваемый тип течения включает как неравновесные, так и равновесные области, поэтому к вычислительному методу предъявляются повышенные требования. Сформулированная задача решается численно с помощью метода дискретных ординат для уравнения Больцмана, причем интеграл столкновений вычисляется консервативным проекционным методом Ф.Г. Черемисина. Конвективная часть аппроксимируется схемой Годунова 1-го и 2-го (ТУБ подход) порядка точности. Для интегрирования по времени используются явные схемы 1 - 2-го порядка точности. Применяется симметричное расщепление, включающее в себя три шага: перенос в течении Д?/2, релаксация на промежутке Дг, и перенос в течении М2.

Исследуются структуры и параметры течения в диапазоне изменения режимов от свободномолекулярного до континуального. Получены распределения безразмерных плотности п, макроскопической скорости и, потока частиц ми, температуры Т и числа Маха М как функций пространственной координаты х; и распределения п, и, ип как функции автомодельной координаты т^ = х в последовательные моменты времени.

Рис. 7. Структура течения в координатах (Г, х) (а) и (1,1]) (6)

С помощью метода наименьших квадратов получены зависимости для границ рассматриваемых режимов и других характеристик течения от времени. На рис. 7 представлена газодинамическая структура потока в координатах (¿, х) (а) и т]) (Ъ), дающая полную информацию о пространственно-временной эволюции рассматриваемого течения. Здесь х^ (Ла) - граница слоя пара толщины хКп (г|кп) - граница кнудсеновского слоя, х„, - минимум поперечной температуры Ту, ху„, (т1/„) - граница свободномолекулярной области; х*(т]*) - координата звуковой точки (М = 1); хс - граница континуальной области; Хф - координата переднего фронта газа; А« - дозвуковая область; Д5 - сверхзвуковая область; Дк„ - кнудсеновский слой; Ас = хс- д^кп - континуальная область; А^=хф-х/т

свободномолекулярная область; Д, = х/т - хс - область переходного режима течения.

В рамках кинетического подхода в п. 4.3 решается двумерная задача с начальными условиями Тейлора - Грина и с периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Моделируется эволюция вихревого каскада, качественно демонстрирующая процессы, происходящие в турбулентных течениях при малых конечных значениях числа Кнудсена, что позволяет исследовать режимы, близкие к сплошной среде, но с учетом более общего диссипативного механизма.

В момент времени t = 0 задаются распределения безразмерных плотности, компонент скорости и температуры (п - число вихрей в начальном поле): р^оОс^) = 1 + Сsm(ratx)sin(racy), Tls0(x,y) = 1 + Dcos(ratx)cos(roty), ul=0(x,y) = As'm(mvc)cos(tmy), v^Q(x,y) = 5cos(mct)sin(raiy), в области с периодическими граничными условиями: F(x + L, у+ L)~ F(x, у), 0<x<L, 0 <y<L (см. рис.8). Начальное число Рейнольдса Rt=k^2y!n Mmax/Kn,, где к= 8/5, Mam=U/JyTl=0 - максимальное значение

числа Маха (и=^г+Вг), Кп/ = Кп /р - локальное число Кнудсена для невозмущенного газа, у = 5/3 — показатель адиабаты. Основными масштабами являются: v = vjJl. где vT- тепловая скорость и L - размер области.

Рис. 8. Изолинии поля плотности при ^ = 0: а - 2x2 вихря, б - 5x5 вихрей

Динамику вихревой системы можно описать следующим образом: при развитии начального поля течения во времени происходит возникновение вихрей меньшего размера, с передачей им кинетической энергии и последующей ее диссипацией в тепло. При этом в сжимаемом течении наряду с вихревыми структурами могут присутствовать и ударные волны.

В п. 4.3.2 описаны параметры моделирования. Поставленная задача решается методом симметричного расщепления на этапы столкновительной релаксации и свободномолекулярного течения. Для вычисления интеграла столкновений Больцмана применяется проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина. Дифференциальная часть аппроксимируется схемой Годунова (ТУБ подход) 2-го порядка точности. Для интегрирования по времени используется явная двухшаговая схема Рунге-Кутта 2-го порядка точности. Для повышения эффективности алгоритма проводится распараллеливание по физическому пространству с помощью библиотеки

MPI. Расчеты выполнены на многопроцессорной системе МВС - 1000/16.

В п. 4.3.3 для проверки надежности результатов выполняется сопоставление полученных распределений плотности с результатами, полученными на основе метода ПСМ Монте - Карло в последовательные моменты времени. Сравнение показало (см. рис. 9), что картины распределений плотности, полученные различными методами, достаточно близки как качественно, так и количественно. Некоторое отличие результатов полученных на основе уравнения БГК, возможно, объясняется выбранной релаксационной моделью. Проводится сравнение с данными, полученными в рамках уравнения Эйлера. На начальном этапе времени (/ = 0.2) обнаружено сходство в динамике крупных масштабов и некоторое различие в динамике мелких масштабов.

Рис. 9. Изолиний поля плотности в I = 0.1, 0.2: а, Ь - метод ДО; с, с! - метод ПСМ Монте - Карло; g,h- решения уравнений Эйлера

Следовательно, в сжимаемом газе динамика крупных вихревых структур на начальном этапе может описываться уравнениями Эйлера, т.е. новые вихри могут формироваться за счет механизма небаротропности. Кроме того, из проведенного сравнения, можно заключить, что механизм дробления вихрей не связан со спецификой уравнения Больцман. Вероятно, привлечение

уравнения Больцмана окажется нужным только на заключительной стадии вырождения турбулентности, что требует счета на большие интервалы времени.

В представленных течениях есть некоторая анизотропия в силу малости, как начального диапазона масштабов вихрей, так и числа Рейнольдса. Чтобы оценить развитие вихревого каскада строятся распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, которые получены после тщательного анализа распределений по всем волновым числам и отбора из них наиболее представительных (п. 4.3.4).

Коэффициенты разложения Фурье одномерного пространственного распределения кинетической энергии по заданному набору функций находятся по методу наименьших квадратов. Тогда амплитуды спектра энергии Еь, соответствующие волновым числам к:

£=JTaisiri(kx)+ bkcos(kx),Ek=^jal+b* ,a~ — +v CQs(kx)dx,b = — J" +V sm(kx)dx ,

к Я0 2 7C0 2

где диапазон изменения волнового числа к = 1,..., N, N - размерность расчетной сетки. Более полная картина может быть получена при условиях моделирования, соответствующих большим числам Рейнольдса и требует существенных вычислительных затрат.

В п. 4.3.5 исследуется влияния интенсивности начальных условий (см. табл. 1) на эволюцию системы при фиксированном начальном числе Кнудсена Кп = 0.01. В области малых волновых чисел (в крупных вихрях) сосредоточена основная часть энергии и с увеличением начальной интенсивности величина этой энергии растет. При этом диапазон волновых чисел, в котором график спектра имеет наклон «-3.6» на момент времени / = 0.6, с ростом интенсивности все менее развит: 2 < log(<t) < 2.85 для N= 1, 2.125 < log {к) < 2.85 для N= 2 и 2.25 < log(fc) < 2.85 для N= 3 (рис. 10).

Таблица 1

N Начальные условия и па раметры

А В C = D Кп Мтах Re

1 0.75 -0.6 0.15 0.0096 0.58 98

2 1 -0.8 0.2 0.01 0.77 128

3 1.25 -1 0.25 0.0104 0.968 163

Таблица 2

Начальные параметры

Кп М Re

0.01 0.387 64

0.005 0.387 128

0.0025 0.387 255

По — видимому, это связанно с тем, что для диссипации все более значительных начальных возмущений (энергии) требуется все большее время и увеличением анизотропии течения. Кроме того, с ростом интенсивности или с увеличением начального Мтах, изменения макропараметров со временем начинают происходить во все более узких областях поля течения. Образуются слабые ударные волны, внутри которых происходит возрастание энтропии, т.е. диссипация энергии. Возникновение в поле течения ударных волн наряду с вихревыми структурами характерно для сжимаемой турбулентности. При дальнейшем росте времени происходит постепенное вырождение течения вследствие диссипации энергии.

Рис. 10. Спектральная плотность кинетической энергии в момент времени /=0.6: а, 6, в - N = 1,2, 3; 1 - спектр , 2 - степенной закон (к'3 6)

В п. 4.3.6 изучается влияние на эволюцию вихревой системы уменьшения числа Кнудсена от 0.01 до 0.0025 для начальных условий А = 0.5, В = - 0.4, С = £> = 0.1 и параметрах указанных в табл.2. С уменьшением Кп качественная картина изолиний плотности мало менялась (см. рис. 10). Однако, представленные на рис. 11 графики зависимости спектральной плотности кинетической энергии от волнового числа в логарифмических координатах показывают уширение инерционного интервала с уменьшением числа Кнудсена: для Кп = 0.01 2 < к^(А:) <2.85; для Кп = 0.005 -2.1 < 1оё(А:) <3.1; для Кп = 0.0025 - 2 < к^(Ус) с 3.25. При этом наклон графиков становится все более крутым от «-3.6» до «-3.8».

Рис. 11. Спектральная плотность кинетической энергии в(= 0.2: а, б, е- Кп = 0.01, 0.005, 0.0025; 1 - спектр, 2 - 4 - степенные законы (ка)

В п. 4.3.7 приводятся результаты для задачи при числе Маха М> 1. Со временем в поле течения наряду с вихревыми структурами возникают слабые ударные волны. При дальнейшем увеличении времени из-за диссипации энергии происходит вырождение течения.

Для получения более изотропного конечного состояния в п. 4.3.8 моделировалась эволюция системы, на начальном этапе состоящая из 5x5 вихрей (см. рис. 86). При этом Л = 1, В = -0.8 и С = £) = 0.2, начальные условия соответствуют сжимаемому дозвуковому течению: Мтах = 0.774, Кп = 0.004 (Кп/= Кп/р = 0.0033) и 11е = 322.3. Время эволюции вихревой

системы (рис. 12, 13) г = 0.6.

Рис. 12. Изолинии поля плотности в Рис. 13. Изолинии поля кинетической

моменты / = 0.1 - 0.6 с шагом 0.1 энергии в те же моменты

График кинетической энергии в логарифмических координатах в интервале волновых чисел 2.37 < 1о§(£) < 3.1 в момент времени / = 0.6 имеет наклон «— 4».

В п. 4.4 исследуется процесс формирования и развития конвекционного течения в вязком сжимаемом газе, находящегося под действием силы тяжести с постоянным ускорением в = -(?, между двумя горизонтальными параллельными пластинами, нижняя из которых нагревается. Данная задача известна как задача Рэлея - Бенара (РБ) и содержит в себе существенные черты, характерные для многих явлений газодинамической неустойчивости. Исследования, проводимые на основе кинетического подхода, актуальны и важны особенно для понимания фундаментальных причин такого явления как неустойчивость и процесса самоорганизации течения. Использование кинетического подхода позволяет рассматривать поведение системы с учетом эффектов разреженности газа.

В п. 4.4.1 приводится постановки одномерной и двумерной задачи РБ. В двумерной постановке область моделирования представляет собой пространство 0 <у < 0 < г < Ьг, с отношением продольного и поперечного размеров А= Ьу/ Ьг, сверху и снизу ограниченное поверхностями. Диффузные граничные условия на нижней поверхности при 2 = 0:

0,5)= Р(,(2лЛГй) ехр

2ЯТи

5..<о

и верхней поверхности при г Д1,уЛгЛ') = Рс(2пЯТсГтехр

2ЯТ

где рл, рс - плотность потока частиц отраженных от горячей и холодной стены соответственно, f; = (Е^, Е,у, - вектор скорости частиц, R - газовая постоянная. На боковых границах задаются зеркальные граничные условия:

> fit,Lr,z&,li,A,)=f{tJ.y,z&,-liyA,Uy<0• Процесс моделирования начинается с однородных начальных условий для газа, находящегося в равновесии с горячей стеной:

T(0,y,z) = Th, p(0,_y,z) = р0, v(0,y,z) = 0, w(0,y,z) = 0.

При обезразмеривании плотность и температура были отнесены к параметрам невозмущенного газа р0 и Г/, находящегося в равновесии с горячей стеной; х,у - к длине свободного пробега к, скорость - к и время - к т0 = 7Jv0.

При определенных условиях система РБ может проявлять несколько конечных состояний: перенос, устойчивая вихревая конвекция или осцилляция течения (периодическая или хаотическая) со сложными пространственно - временными структурами. На процесс перехода системы из одного состояния в другое могут влиять: отношение холодной Тс и горячей температур Ту, - r= TJTb, аспектное отношение А = LyJLz-, степень разреженности газа (или число Кнудсена Кп = УЬг) и гравитация G (или число Фруда Fr = v2/GЬг). Исследуется влияния некоторых из этих факторов на поведение системы РБ при фиксированном г = 0.1. Расчет длится до тех пор, пока система не приходит в некоторое устойчивое состояние.

В п. 4.4.2-4.4.3 исследуется одномерная и двумерная задачи РБ на основе решения уравнения Больцмана. Для решения задач используется симметричная схема расщепления и метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина, для аппроксимации конвективной части применяется метод типа Годунова 2-го порядка точности (TVD подход), для интегрирования по времени - явная двухшаговая схема Рунге-Кутта 2-го порядка точности.

В рамках одномерной задачи (п. 4.4.2) установлено, что возникновение неустойчивости и переход системы в новое устойчивое состояние возможен только при достаточно небольшом г. Вместе с тем, обнаружено, что для малых чисел Фруда (Fr = 0.5) профиль плотности возрастает по направлению к горячей стене и неустойчивость возникнуть не может. При увеличении Fr (Fr= 1) около холодной стены образуется минимум профиля плотности, и неустойчивость может возникнуть при достаточно малом Кп. С увеличением Fr минимум исчезает, и профиль меняет наклон на противоположный, т.е. плотность растет по направлению к холодной стене (Fr = 25).

На рис. 14 показаны числа Кп и Fr при которых проводится исследование поведения системы РБ в двумерной постановке (п. 4.4.3). Система РБ, начиная с однородных начальных условий, может прийти к двум устойчивым состояниям: переносу или конвекции. В рамках метода возмущений для уравнения Обербека - Буссинеска установлено, что критическое число Рэлея, при котором возникает неустойчивость Rac= 1708. Выражение Ra„, = 1708 (Ram - модификация числа Рэлея предложена Голштейном и Эльперином) задает кривую в плоскости (Кп, Fr) определяющую аналитическую границу

области неустойчивости.

0.02 ■

0 01

2048 (1-г) 75л (1 + г)2РгКп2

- = 1708

Л о л с-

0.1 1 10 100 Рис. 14. Область конвекции: 1 - 81еГапоу Б., и др. (О - метод ПСМ Монте - Карло, О -решения уравнений Навье - Стокса); 2 - метод дискретных ординат; сплошная линия -аналитическая оценка Яат = 1708

Исследуется влияния аспектного отношения А = Ьу /Ьг на поведение системы РБ при фиксированных Бг, Кп и г = 0.1. Обнаружено, что рост А при фиксированных Кп = 0.02, Рг =200 и г = 0.1 приводит к увеличению количества вихрей в возникающей конвекции. Для .,4 = 1 — 1 вихрь, для А = 1.5 - 2 вихря и А =2 - 3 вихря (рис.15). Соответствующие распределения тепловых потоков между горячей и холодной пластиной показаны на рис. 16.

Рис. 15. Векторные поля скорости при А = 1,А = 1.5,А = 2 соответственно

У 1.2 1.С

Рис. 16. Температурные поля при тех же А

В заключении обсуждаются результаты диссертационной работы и сформулированы основные выводы:

1. Рассмотрены актуальные проблемы газовой динамики связанные с

численным моделированием и исследованием нестационарных сложных, переходных течений сжимаемого газа, а также неустойчивостей при различных режимах движения в широком диапазоне изменения параметров течения.

2. Проведенные исследования показали, что используемые в работе численные методы позволяют решать поставленные задачи с высокой степенью точности и хорошо моделировать тонкие физические явления. Проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина обеспечивает строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также равенство интеграла столкновений нулю в случае термодинамического равновесия. Псевдоспектральный метод обладает высокого порядка точностью и малыми дисперсионной и диссипативной ошибками, что позволяет ему быть чувствительным к выявлению малых масштабов и хорошо моделировать тонкие физические явления. Разработанные на основе этих методов алгоритмы преобразованы для счета на многопроцессорных системах, что обеспечило, при выполнении научных исследований, их эффективность и экономичность по затратам вычислительных ресурсов.

3. Поставлена и решена задача о распространении акустических возмущений, возбуждаемых малой внешней силой, в одномерном интервале вязкого сжимаемого газа на основе двух подходов - континуального и кинетического. Обнаружено, что со временем развиваются нелинейные эффекты. Образуются нестационарные ударные волны. Возникшее течение можно рассматривать как нелокальную модель континуальности, т.е. для правильного описания его эволюции требуются более сложные уравнения, чем Навье-Стокса и Барнетта, в которых вязкость и теплопроводность будут интегральными величинами.

4. Продемонстрировано применение кинетического подхода к нестационарным задачам, рассматривающим сложные течения с учетом сжимаемости среды. В рамках данного подхода впервые с помощью проекционного метода дискретных ординат решен ряд задач: о нестационарном испарении с плоской поверхности в вакуум; двумерная задача об эволюции системы вихрей в вязком сжимаемом газе, одномерная и двумерная задача о формировании и развитии конвекции в вязком сжимаемом газе.

5. Исследованы механизмы возникновения неустойчивости, турбулентности, а также процессы, происходящие при турбулентном движении. Так, в задаче о динамики индуцированных акустических волн исследованы нелинейные эффекты, механизмы возникновения неустойчивости и акустической турбулентности в вязком сжимаемом газе в рамках кинетического и континуального подходов. При численном моделировании эволюции вихревого каскада изучено, как на кинетическом уровне происходит эволюция начальной вихревой системы и передача энергии в более мелкие масштабы с последующей диссипацией энергии в тепло. В рамках кинетического рассмотрения конвекции Релея - Бенара исследованы неустойчивость и процессы самопроизвольного возникновения,

упорядоченных структур в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

Список публикации по теме диссертации:

1. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Ровенская О.И., Воронин И.В. Численное моделирование нелинейных эффектов в сжимаемом газе на основе уравнений Навье - Стокса и кинетического уравнения // Авиадвигатели XXI века: Тезисы докладов II Международная науч. - тех. конф. - М.: ЦИАМ, 2005. - С. 146-148.

2. Ровенская О.И. Прямое статистическое моделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Сборник трудов 48-й науч. конф. МФТИ, Жуковский, 2005 г. -Ч. VI.-С. 22-23.

3. Хлопков Ю.И., Воронин И.В., Ровенская О.И. Прямое статистическое моделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Мат. моделирование. - 2007. - Т. 19. № 2. - С. 39-47.

4. Жаров В.А., Ровенская О.И. Одномерная нелинейная индуцированная динамика акустических волн в конечной пространственной области // Изв. РАН МЖГ -2007. - №2. - С.39-45.

5. Rovenskaya O.I., Voronich I. V. Numerical Modeling of the Unsteady Vapor Outflow from a Flat Surface Using Direct Numerical Solution of the Boltzmann Equation // Proceedings of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 304-309.

6. Khlopkov Yu.I., Voronich I.V., Rovenskaya O.I., Young-In Choi. On Evolution of Vortical System in Rarefied Gas Flow // Proceedings of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 462-466.

7. Ровенская О.И. Исследование эволюции вихревой системы на основе решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. - 2007. - Т. 47. № 9. -С. 1642-1648.

8. Rovenskaya O.I. Numerical modeling of the Rayleigh-Benard problem for rarefied gas // Book of Abstract of 20th Intern. Conf. on Transport Theory. - Obninsk, 2007. - P. 83-84.

9. Ровенская О.И. Численное моделирование динамики акустических волн, используя кинетический подход // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Сборник трудов 50-ой науч. конф. МФТИ, Жуковский, 2007 г. -Ч. VI. - С. 36-37.

10. Ровенская О.И. Численное моделирование динамики акустических волн с помощью кинетического подхода // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №4. - С. 172-179.

11. Ровенская О.И. Прямое численное моделирование эволюции двумерной вихревой системы в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №5. - С. 171178.

12. Zharov V.A., Rovenskaya O.I. One - dimensional nonlinear induced dynamics of acoustic waves in finite domain // Book of Abstracts of 14th Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk: Parallel, 2008. - P. 214-215.

13. Rovenskaya O.I. Numerical modeling of the Evolution of an Eddy System Based on the Boltzmann Equation // Book of Abstract of 14th Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk: Parallel, 2008. - P. 196-197.

Отпечатано в типографии «Физтех-Полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9. Тираж 100 экз. Заказ №456.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ровенская, Ольга Игоревна

Содержание.

Обозначения.

Введение.

1 Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики.

1.1 Некоторые математические модели газодинамических процессов.

1.2 Численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики (кинетический подход).

2 Методы исследования.

2.1 Консервативный метод дискретных ординат.

2.2 Псевдоспектральный метод.

2.3 Метод прямого статистического моделирования.

2.3.1 Алгоритм моделирования.

2.4 Схема Годунова.

3 Численное моделирование одномерной динамики индуцированных акустических волн.

3.1 Кинетический подход.

3.1.1 Постановка задачи в рамках кинетического подхода.

3.1.2 Метод решения и параметры моделирования.

3.1.3 Анализ результатов численного эксперимента.

3.1.4 Определение структуры ударной волны.

3.2 Континуальный подход.

3.2.1 Постановка задачи в рамках континуального подхода.

3.2.2 Метод решения.

3.2.3 Связь масштабов.

3.2.4 Анализ результатов численного эксперимента.

3.2.5 Изучение влияния интенсивности внешних возмущений.

3.3 Сравнение решений, полученных в рамках кинетического и континуального подходов.

3.3.1 Уравнения высших приближений метода Чепмена - Энскога.

3.3.2 Первое приближение к функции распределения.

3.3.3 Второе приближение к функции распределения.

3.3.4 Анализ результатов сравнения.

Выводы.

4 Численное решение некоторых задач с помощью кинетического подхода.

4.1 Задача о распаде разрыва.

4.2 Численное моделирование процесса испарения в вакуум с плоской поверхности.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Результаты моделирования.

Выводы.

4.3 Численное моделирование вихревой системы с начальными условиями типа Тейлора-Грина.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Параметры моделирования.

4.3.3 Сравнение с результатами, полученными другими методами.

4.3.4 Спектральные свойства.

4.3.5 Влияние интенсивности начальных условий.

4.3.6 Влияние числа Кнудсена.

4.3.7 Эволюцию вихревой системы при М > 1.

4.3.8 Моделирование эволюции сложной вихревой системы.

Выводы.

4.4 Численное моделирование задачи Рэлея - Бенара в разреженном газе.

4.4.1 Постановка и метод решения задачи.

4.4.2 Моделирование одномерной задачи Релея - Бенара.

4.4.3 Моделирование двумерной задачи Релея - Бенара.

Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Применение кинетических и Навье-Стокса уравнений для описания нелинейных эффектов и неустойчивостей в сжимаемом газе"

Актуальность работы

Для детального исследования таких течений уже недостаточно только проведение натурных экспериментов необходим вычислительный эксперимент или математическое моделирование поставленной задачи. Появление все более мощной высокопроизводительной техники, в первую очередь параллельных вычислительных машин, и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики и механики создали объективные предпосылки для реализации прямого численного моделирования сложных течений жидкости и газа, в том числе и турбулентности. Численный эксперимент в сочетании с физическим открывает новые возможности в познании явлений природы, установлении роли в них различных факторов, а также позволяет определить границы применимости математических моделей. Несомненный интерес представляют исследования различных видов неустойчивости, особенно при расчетах на большие интервалы времени, включая турбулентную стадию.

Основная трудность при рассмотрении таких задач - выработка общей концепции построения конструктивных численных моделей сложных нестационарных течений, турбулентности, развития неустойчивости. В качестве математической модели для изучения этих процессов можно использовать систему континуальны уравнений Навье - Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа, а также уравнения высших приближений — Барнетта, супербарнетта и т.д. Фактически единственным эффективным способом решения этой сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных являются численные методы. Известно, что прямое применение дискретизированных тем или иным способом уравнений Навье - Стокса (так называемое DNS - Direct Numerical Simulation) для расчетов течений имеющих области с большими градиентами газодинамических параметров или узкие области, примыкающие к границам с твердыми телами не всегда корректно. Вне этих областей, где состояние газа близко к равновесному, т.е. характерные размеры и времена значительно больше кинетических и функция распределения близка к локально -равновесной, описание течений вполне удовлетворительно может быть проведено в рамках континуальных уравнений.

Наиболее корректно задачи такого типа во всех областях течения решаются, используя только кинетический подход - на основе решения уравнения Больцмана или его модельных уравнениях. Поэтому в диссертационной работе помимо уравнений Навье — Стокса и Барнетта будет рассматриваться кинетическое уравнение Больцмана (и его модельное уравнение), которое можно интерпретировать как физическую модель, описывающую течения вязкого газа и альтернативную континуальным уравнениям.

Ввиду этого, представляется актуальным изучение численных методов для решения уравнения Больцмана и реализация на их основе программ, в том числе параллельных для решения задач связанных с такими явлениями как турбулентность и неустойчивость в сжимаемых течениях. Иная математическая модель по сравнению с континуальными уравнениями дает иные возможности для описания явлений.

Важным моментом в численном моделировании аэродинамических задач с помощью кинетического подхода является выбор метода для решения уравнения Больцмана, который мог бы одинаково надежно работать в областях с разными типами течений. В этом смысле хорошо зарекомендовал себя консервативный проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина, обеспечивающий строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновения в ноль в условиях термодинамического равновесия. Наиболее популярной альтернативой прямому численному решению уравнения Больцмана является метод Монте-Карло, который направлен на то, чтобы обойти прямое численное решение уравнения Больцмана и моделировать непосредственно движение фиксированного числа частиц в ячейках численной сетки. При этом широкое распространение получили модификации метода, предложенные Бердом, Белоцерковским и Яницким.

Следует отметить, что на сегодняшний день все более широкое распространение получают модельные кинетические уравнения, аппроксимирующие уравнение Больцмана, реализация которых требует существенно меньше вычислительных затрат. Наибольшую популярность имеют так называемое уравнение Крука и модельное уравнение неполного третьего приближения, получившее название модели Шахова, или S-модели, которые, как и уравнение Больцмана является интегро-дифференциальным.

Таким образом, для расчета сложных разномасштабных нестационарных течений, которые характерны для индустриально важных на сегодняшний день задач, актуально использование максимально универсальной модели — уравнения Больцмана, адекватно описывающего возможно большее число типов течения.

В рамках многопланового подхода к изучению нестационарных и нелинейных процессов (в том числе неустойчивости и турбулентности) представляется актуальным исследовать характеристики течения в рамках двух подходов - континуального и кинетического.

Актуальность проведенного исследования обусловлена ценностью информации, полученной с помощью методов прямого моделирования, что стало возможным благодаря появлению многопроцессорных вычислительных систем.

В главе 1 кратко описывается история развития численных методов используемых при моделировании течений разреженного газа. Дан обзор методов решения кинетического уравнений Больцмана. Приводится обзор экспериментальных, теоретических и численных работ, в которых излагаются существующие на сегодняшний день представления о природе возникновения нелинейных процессов, в том числе неустойчивости и турбулентности.

В главе 2 описываются численные методы и схемы, применяемые при решении поставленных задач.

В главе 3 рассматривается задача о динамике акустических возмущений, возбуждаемых малой нестационарной внешней силой. Исследуется одномерное нестационарное течение вязкого сжимаемого газа на конечном пространственном интервале с периодическими граничными условиями на его концах, которое возбуждается малой внешней, нестационарной силой. Эволюция течения описывается с помощью двух подходов: кинетического на основе решения Бхатнагара - Гросса - Крука (БГК) модели кинетического уравнения, и континуального на основе решения уравнений Навье - Стокса и Барнетта. Проводится сопоставление результатов, получаемых в разных подходах.

В главе 4 приводятся результаты численного решения некоторых задач с помощью кинетического подхода. Рассматриваются следующие задачи: нестационарное одномерное испарение в вакуум с плоской поверхности; двумерная эволюция вихревой системы с начальными условиями типа Тейлора - Грина; одномерная и двумерная задача Рэлея - Бенара. Результаты получены с помощью консервативного метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина; метода прямого статистического моделирования Монте-Карло; и на основе решения модельного уравнения (БГК) с помощью конечно -разностного метода типа Годунова.

Цель работы

Во — первых, исследование с помощью численного моделирования нелинейной динамики индуцированных акустических волн. Изучение механизмов развития неустойчивости и возникновения акустической турбулентности. Сравнение решений получаемых в кинетической и континуальной постановках.

Во — вторых, анализ численных методов решения многомерного кинетического уравнения Больцмана для разработки на их основе эффективных программ численного моделирования и исследование характера движения газа для ряда задач механики разреженных газов имеющих теоретическое и прикладное значение:

• Одномерной задачи о нестационарном испарении в вакуум с плоской поверхности. Исследование пространственно-временной эволюции течения. Определение границ областей континуального и свободномолекулярного режимов течения в пространственно-временных и автомодельных координатах.

• Двумерной задачи Тейлора - Грина в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Моделирование эволюции вихревого каскада. Выяснение влияния разреженности газа и интенсивности начальных условий на характер эволюции заданной системы вихрей.

• Задачи Рэлея - Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Исследование процесса формирования и развития конвекционного течения.

Научная новизна работы

1.В данной работе сформулирована и решена задача об индуцированной динамике акустических волн. В рамках которой:

Обнаружено, что малые возмущения, со временем приводят к возникновению ряда нелинейных эффектов. При этом образующаяся со временем нелинейность колебаний макровеличин обусловлена возникновением нестационарных разрывов — ударных волн периодически движущихся от центра интервала к его концам и обратно. Вместе с тем диссипация малой подводимой энергии со временем начинает происходить в ударных волнах, а не только за счет механизма вязкости, что приводит к появлению квазинепрерывного спектра кинетической энергии.

Установлено, что при уменьшении амплитуды внешних возмущений, начиная с некоторой малой амплитуды, ударные волн не возникают и в поле течения распространяются только звуковые волны. Наоборот, увеличение амплитуды, приводит к заметному усложнению движения газа, выражающегося в том, что колебания становятся ангармоническими даже при небольшом интервале периодичности.

Обнаружено, что толщина возникающих слабых ударных волн подчиняется зависимости 1/Др, т.е. изменяется обратно пропорционально разности давлений Ар на фронте ударной волны.

Можно ввести новое понятие - перемежаемости по неравновесности. В области неравновесности справедлива кинетическая модель, а вне этой области континуальная. Появляется еще один масштаб 5 = Kn/Ар, характеризующий нелокальность системы. При этом размер области неравновесности уменьшается с увеличением градиентов макропараметров.

Проведенное сравнение показало, что вне переходной области ударной волны отклонения функций распределения по скоростям навье-стоксовского и барнеттовского приближений от «модельной» кинетической функции порядка ошибки вычисления, а в этой области становятся значительными, и растут с увеличением интервала периодичности. Обнаруженные отличия функций распределения в переходной зоне ударной волны проявляются в расхождении макропараметров, полученных на основе кинетического (в рамках модельного уравнения) и континуального (в рамках уравнений Навье - Стокса и Барнетта) подходов, в областях неравновесности. Вне этих областей макропарметры из разных подходов хорошо согласуются.

2. Впервые проведено прямое численное моделирование следующих задач в рамках кинетического подхода, на основе численного решения уравнения Больцмана с помощью метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина: а. Нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности. Установлена газодинамическая структура течения, дающая представление о его пространственно - временной эволюции. б. Двумерной задачи с начальными условиями Тейлора - Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе для чисел Кнудсена 0.0025 < Кп < 0.01. Демонстрируется особенность турбулентных течений образование вихревого каскада - процесс разрушения крупных вихрей на мелкие. Обнаружено, что с уменьшением числа Кнудсена происходит увеличение наклона и инерционного интервала графика распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, представленного в логарифмических координатах. Установлено, что увеличение интенсивности начальных условий (увеличение числа Маха) приводит к появлению в поле течения слабых ударных волн. е. Одномерной и двумерной задачи Релея — Бенара в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. В одномерной постановке: выявлен эффект влияния числа Фруда и отношения температур г на поведение течения газа при фиксированном числе Кнудсена. В рамках двумерной задачи установлено, что при числах Кнудсена Кп < 0.028 и фиксированном г = 0.1 возможно возникновение конвекции. Обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области число возникающих вихревых структур в конвекционном течении увеличивается.

Вместе с тем проведенные расчеты показали, что используемые алгоритмы экономичны по затратам вычислительных ресурсов и ими можно эффективно пользоваться для выполнения расчетов с высокой точностью и в широком диапазоне физических параметров.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Результаты численного моделирования нелинейной динамики индуцированных акустических волн, возбуждаемых малой внешней нестационарной силой в вязком сжимаемом газе в рамках континуального и кинетического подходов.

2. Расчет нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности для всех режимов течения.

3. Результаты численного моделирования нестационарной двумерной задачи с начальными условиями Тейлора — Грина и периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

4. Результаты моделирования течения вязкого сжимаемого газа в плоском горизонтальном слое, подогреваемого снизу - задача Релея - Бенара.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: XLYIII, XLIX и L научных конференциях МФТИ, Жуковский, 2005, 2006 и 2007 г.; II Международной научно — технической конференции «Авиадвигатели XXI века», Москва, 6-9 декабря 2005 г.; XXV Международном симпозиуме по динамике разреженного газа, Санкт - Петербург, 21-28 июля 2006 г. (25th International symposium on Rarefied Gas Dynamics); XX Международной конференции по теории переноса, Обнинск, 22-28 июля 2007 г. (20th International Conference on Transport Theoiy); Семинаре НИО-8 ЦАГИ (Жуковский, 2008); Семинаре Института механики МГУ (Москва, 2008); XIV Международной конференции по методам аэрофизических исследований, Новосибирск, 30 июня - 6 июля 2008 г. (14th International Conference on Methods of Aerophysical Research (ICMAR))

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

3. Хлопков Ю.И., ВороничИ.В., Ровенская О.И. Прямое статистическое моделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Мат. моделирование. - 2007. - Т. 19. № 2. - С. 39-47.

5. Rovenskaya O.I., Voronich I.V. Numerical Modeling of the Unsteady Vapor Outflow from a Flat Surface Using Direct Numerical Solution of the Boltzmann Equation // Proceedings of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. -Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 304-309.

7. Ровенская О.И. -Исследование эволюции вихревой системы на основе решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. -2007. - Т. 47. №> 9. - С. 1642 - 1648.

8. Rovenskaya O.I. Numerical modeling of the Rayleigh-Benard problem for rarefied gas // Book of Abstract of 20th Intern. Conf. on Transport Theory. -Obninsk, 2007. - P. 83-84.

10. Ровенская О.И. Численное моделирование динамики акустических волн с помощью кинетического подхода // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №4. - С. 172179.

11. Ровенская О.И. Прямое численное моделирование эволюции двумерной вихревой системы в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - №5. - С. 173-180.

13. O.I. Rovenskaya Numerical modeling of the Evolution of an Eddy System Based on the Boltzmann Equation // Book of Abstract of 14th Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk: Parallel, 2008. - P. 196-197.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы. Общий объем 200 страниц, в том числе 71 рисунк, 6 таблиц. Список литературы содержит 235 наименование.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы

1. Установлено, что при числах Фруда Fr > 1 (и фиксированных Кп = 0.02, 0.01 и отношении температур г = 0.1) и числах Кнудсена Кп < 0.028 (и фиксированных Fr = 3, г = 0.1) возникает неустойчивость и система переходит в состояние стационарной конвекции.

2. В рамках одномерной задачи показано, что возникновение неустойчивости и переход системы в новое устойчивое состояние возможен только при достаточно небольшом отношении температур г. Показано, что для малых чисел Фруда (Fr = 0.5) профиль плотности возрастает по направлению к горячей стене и неустойчивость возникнуть не может. При увеличении числа Фруда (Fr= 1) около холодной стены образуется минимум профиля плотности, и неустойчивость может возникнуть (при достаточно малом Кп). С увеличением Fr минимум профиля исчезает, и плотность растет по направлению к холодной стене (Fr = 25).

3. Установлено, что результаты, полученные в рамках континуального подхода (из решения уравнений Навье-Стокса) согласуются с данными из кинетического подхода (ПСМ Монте-Карло и метод дискретных ординат).

4. В рамках двумерной задачи обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области А число возникающих вихревых структур увеличивается: при А= 1 образуется 1 вихрь, при А= 1.5 - 2 вихря, А = 2-3 вихря; т.е. происходит усложнение картины конвекционного течения.

Заключение

Исследование нестационарных газодинамических процессов, включающих сложные переходные, турбулентные движения, а также неустойчивости с учетом сжимаемости среды, при различных режимах движения в широком диапазоне изменения параметров потока является актуальной проблемой. Большой интерес представляют исследования различных видов неустойчивостей, особенно при расчетах на значительные интервалы времени.

Применение кинетического уравнения Больцмана в качестве физической модели, описывающей течение вязкого газа, дает иные возможности для описания явлений по сравнению с континуальными уравнениями. Необходимо отметить, что использование континуальных уравнений во всей области течения оказывается не корректным. Например, в узких областях, примыкающих к границам с твердыми телами либо в областях внутри течения с большими градиентами газодинамических параметров. Между тем в рамках кинетического подхода возможно наиболее полное описание движения среды во всех областях течения. Следовательно, применения кинетического подхода к нестационарным задачам, рассматривающим сложные переходные, движения среды, включая турбулентность и неустойчивость, в сжимаемых течениях актуально.

В диссертационной работе ставились две цели. Во - первых, с помощью численного моделирования провести исследование нелинейной динамики индуцированных акустических волн. Изучить механизмы развития неустойчивости и возникновения акустической турбулентности. Определение границ применимости континуальных уравнений с помощью сравнения решений получаемых в кинетической и континуальной постановках.

Во - вторых, исследовать возможность применения метода дискретных ординат для решения ряда задач механики разреженных газов имеющих теоретическое и прикладное значение и изучить характер движения газа:

• Одномерной задачи о нестационарном испарении в вакуум с плоской поверхности. Исследовать пространственно-временную эволюцию течения. Определить зависимости, описывающие границы областей возникающих режимов течения (от континуального до свободномолекулярного) в пространственно - временных и автомодельных координатах.

• Двумерной задачи Тейлора - Грина в вязком сжимаемом слаборазреженном газе. Выяснить влияние разреженности газа и интенсивности начальных условий на характер эволюции заданной системы вихрей.

• Двумерной задачи Рэлея - Бенара в вязком, сжимаемом слаборазреженном газе. Исследовать процесс формирования и развития конвекционного течения.

При этом были изучены численные методы решения многомерного кинетического уравнения Больцмана и на их основе разработаны эффективные программы численного моделирования поставленных задач.

Для численного моделирования в диссертационной работе применялись методы механики разреженных газов и вычислительной математики: метод прямого статистического моделирования (ПСМ) Монте-Карло, консервативный проекционный метод дискретных ординат Ф.Г. Черемисина для уравнения Больцмана. В качестве альтернативы конечно - разностным методам применялся псевдоспектральный метод, использующий стандартную процедуру быстрого преобразования Фурье.

Достоверность полученных результатов обосновывается тем, что в работе использовались апробированные методы численного расчета. Было проведено сравнение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, с данными, других авторами, с экспериментальными данными и результатами расчетов, выполненных по другим методикам. Кроме того, основные результаты работы физически не противоречивы и качественно согласуются с известными теоретическими представлениями о природе неустойчивости и турбулентности.

В работе была сформулирована и решена задача об индуцированной динамике акустических волн. Рассмотрена эволюция вязкого сжимаемого газа на конечном одномерном интервале с периодическими граничными условиями, возбуждаемого внешней нестационарной силой, на основе двух подходов континуального и кинетического. Моделирование течения газа проводилось с помощью решения модельного кинетического уравнения для значений

21 3 интервала периодичности 10 < L = 1/Кп <4x10 и решения уравнений Навье —

2 3

Стокса и Барнетта для значений интервала 10 < L = Re„ < 7.3 х 10 .

В рамках данной задачи обнаружено, что малые внешние возмущения (порядка Кп в кинетической постановке и 1/Re в континуальной) со временем, приводили к возникновению ряда нелинейных эффектов. Для внешней силы в виде стоячей волны появляющаяся с ростом времени в эволюции газодинамических величин нелинейность колебаний обусловлена возникновением нестационарных разрывов - ударных волн периодически движущихся от центра интервала к его концам. Выявлен эффект, состоящий в том, что диссипация малой подводимой энергии начинала происходить в ударных волнах, а не только за счет механизма вязкости. Это приводило к появлению частотного спектра близкого к непрерывному.

Было установлено, что при уменьшении амплитуды внешних возмущений, начиная с некоторой малой амплитуды, структуры типа ударных волн не образовывались и в газе распространялись только звуковые волны. Наоборот, увеличение амплитуды, приводило к заметному усложнению движения газа, выражающегося в том, что колебания становились ангармоническими даже при небольшом интервале периодичности.

В кинетической постановке было показано, что толщина возникающих слабых ударных волн подчиняется зависимости 1/Др, т.е. изменялась обратно пропорционально Ар разности давлений на фронте ударной волны.

Выявлен эффект перемежаемости по неравновесности (размер которой At/T~¥j\lAp) в эволюции макропараметров. При этом размер области неравновесности уменьшался с увеличением градиентов макропараметров. Другими словами в области неравновесности размера At справедлива кинетическая модель, а вне этой области континуальная. Такое поведение системы можно рассматривать как нелокальную модель континуальности. Появляется еще один масштаб Кп/Ар, характеризующий нелокальность системы.

В работе была получена система уравнений Барнетта для интеграла столкновений, заданного в виде БГК модели. Обнаружено, что навье -стоксовская и барнеттовская поправки к функции распределения росли с увеличением интервала периодичности.

Установлено, что вне переходной области ударной волны отклонение функции распределения по скоростям навье — стоксовского приближения от «модельной» кинетической функции приблизительно равнялось ошибке вычисления, а в этой области становилось значительным, и росло с увеличением интервала периодичности. Отклонение функции распределения барнеттовского приближения от «модельной» ведет себя аналогично, но в ударной волне отклонение барнеттовской функции от «модельной» меньше. Это отличие барнеттовской и навье - стоксовской функций распределения от «модельной» в переходной области ударной волны проявляется в расхождении макропараметров полученных на основе кинетического и континуального подходов в областях неравновесности и их хорошее согласие вне этих областей.

Поскольку только в рамках кинетического рассмотрения возможно наиболее полное описание движения среды. Было проведено моделирование некоторых задач на основе кинетического подхода.

Численно моделировался процесс нестационарного испарения в вакуум с плоской поверхности. Получены распределения параметров потока в обычных и автомодельных координатах. Установлена газодинамическая структура течения, дающая представление о его пространственно - временной эволюции. Получены выражения для границ областей с различными режимами течения (от свободномолекулярного до континуального) в пространственно - временных и автомодельных координатах.

С помощью кинетического подхода решалась двумерная задача с начальными условиями Тейлора - Грина и с периодическими граничными условиями в вязком сжимаемом слаборазреженном газе для чисел Кнудсена 0.0025 < Кп < 0.01. Полученные результаты продемонстрировали процессы, происходящие в турбулентных течениях - эволюцию вихревого каскада -процесс разрушения крупных вихрей на мелкие. При этом в процессе дробления крупных вихрей происходила передача кинетической энергии малым вихрям с последующей диссипацией кинетической энергии в тепло.

Проведенные расчеты показали хорошее согласие данных, полученных с помощью метода дискретных ординат Ф.Г. Черемисина с результатами, полученными с помощью метода ПСМ Монте-Карло и БГК модели кинетического уравнения, что говорит о надежности и корректности используемого метода дискретных ординат применительно к решению многомерных нестационарных задач. А также, что спектральная плотность распределения удельной кинетической энергии имела наклон, варьирующийся от «-3.6» до «-4» в некотором интервале волновых чисел.

В сжимаемом газе динамика крупных вихревых структур на начальном этапе оказалась близка к динамике, описываемой уравнениями Эйлера (Re—>со), т.е. новые вихри могут также формироваться за счет механизма небаротропности.

Обнаружено, что уменьшение числа Кнудсена приводило к увеличению наклона и инерционного интервала в графике распределения спектральной плотности кинетической энергии по волновым числам, представленного в логарифмических координатах. А увеличение интенсивности начальных условий или увеличение числа Маха, приводило к появлению в поле течения наряду с вихрями слабых ударных волн, что характерно для сжимаемой турбулентности. Аналогичные структуры, объединяющие вихрь и ударную волну, для сжимаемого течения отмечались в [209-211].

В рамках кинетического подхода выполнено численное моделирование задачи Релея — Бенара в одномерном и двумерном случаях. Исследовался процесс формирования и развития конвекционного течения в вязком сжимаемом слаборазреженном газе между двумя горизонтальными параллельными пластинами, нижняя из которых нагревается.

В рамках одномерной задачи с помощью численного решения уравнения Больцмана было показано, что возникновение неустойчивости и переход системы в новое устойчивое состояние возможно только при достаточно небольшом отношении температур г. Показано, что для малых чисел Фруда Fr профиль плотности возрастал по направлению к горячей стене, и неустойчивость не могла возникнуть. При увеличении Fr около холодной стены образовывался минимум профиля плотности, и при достаточно малом Кп неустойчивость могла возникнуть. С увеличением Fr минимум профиля исчезал и профиль менял наклон, плотность росла по направлению к холодной стене.

Для двумерной задачи было установлено, что для всех чисел Кнудсена Кп < 0.028 и при числах Фруда Fr > 1, и фиксированном отношении температур холодной и горячей стен г = 0.1 возможно возникновение конвекции. Обнаружено, что с ростом отношения продольного и поперечного размеров области число возникающих в поле конвекции вихревых структур увеличивалось, т.е. происходило усложнение картины конвекционного течения.

Заметим, что результаты, полученные в континуальном постановке, хорошо согласовались с данными, полученными в рамках кинетического подхода с помощью методов ПСМ Монте-Карло и дискретных ординат.

Главным образом, разработанные в данной работе программы применимы для расчета течений разреженного газа в широком диапазоне чисел Маха и Кнудсена. Они позволяют получить решения уже известных задач с более высокой точностью, а также строить решения новых задач, получение решений которых обычными методами было бы затруднено. Созданные алгоритмы были преобразованы для расчета на многопроцессорных системах, что дает возможность эффективного их использования при выполнении научных исследований и расчетов.

Более того, полученные результаты ценны с точки зрения качественного и количественного изучения механизмов возникновения неустойчивости, турбулентности, а также происходящих в турбулентном движении процессов в вязком, сжимаемом газе. На рассматриваемых задачах численно изучен ряд теоретических положений. С помощью моделирования динамики индуцированных акустических волн исследованы нелинейные эффекты, механизмы возникновения неустойчивости и акустической турбулентности в вязком сжимаемом газе в рамках кинетического и континуального подходов. При численном исследовании эволюции вихревого каскада изучено как на кинетическом уровне происходит эволюция начальной вихревой системы и передача энергии в более мелкие масштабы с последующей диссипацией энергии в тепло. При моделировании конвекции Релея - Бенара с помощью кинетического рассмотрения исследована неустойчивость и процессы самопроизвольного возникновения упорядоченных структур в вязком сжимаемом слаборазреженном газе.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Ровенская, Ольга Игоревна, Москва

1. Абрамов А.А. Решение задачи о сильном испарении одноатомного газа методом Монте-Карло // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. - № 1. - С. 185.

2. Абрамов А.А., Коган М.Н. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа//Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. -№ 1. - С. 165.

3. Азарова О.А., ЯницкийВ.Е. Моделирование турбулентого потока сжимаемого газа с ударными волнами // Мат. моделирование. 2002. - Т. 14. № 8.-С. 56 -60.

4. Анисимов С.И., ИмасЯ.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. - 272 с.

5. Анисимов С.И., Рахматуллина А.Х. Динамика расширения пара при испарении в вакуум // ЖЭТФ 1973. - Т.64. Вып. 3. - С. 869 - 876.

6. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М.: Изд-во МГУ, 2004. - 71 с.

7. Аристов В.В. Изучение устойчивых и неустойчивых струйных течений на основе уравнения Больцмана // Изв. РАН Механика жидкости и газа. 1998. - № 2.-С. 153- 157.

8. Аристов В.В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей. // Доклады АН СССР. 1985. - Т.283. № 4. - С.831-834.

9. Аристов В.В. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена // Ж. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. Т.44. №6. - С. 1127-1140.

10. Аристов В.В., Забелок С.А. Получение решений для уравнения Больцмана на многопроцессорных компьютерах // Мат. моделирование. 2002. - Т.14.№ 8. - С. 5-9.

11. Аристов В.В., Забелок С.А., Фролова А.А. Структура свободных сверхзвуковых струй, изучаемая с помощью уравнения Больцмана // Мат. моделирование. 2004. - Т. 16. № 6. - С. 31 - 34.

12. Аристов В.В., МамедоваИ.Г. Параллельные алгоритмы для решения кинетического уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики.1996. №2.-С. 138-146.

13. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1980. -Т. 20. № 1.-С. 191-207.

14. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Прямое числ. моделирование течений газа. М.: ВЦ АН СССР, 1978.-С. 164-171.

15. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана // Вычислительная динамика разреженного газа / ВЦ РАН, 1992.- 192 с.

16. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана//Докл. АН СССР.-1976.-Т.231.№ 1.-С. 49 52.

17. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение уравнений Эйлера и Навье -Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272. № 3. - С. 555-559.

18. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982.- № 6.- С. 179-183.

19. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

20. Белоцерковский О.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

21. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. - 286 с.

22. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Прямое численное моделирование течений разреженного газа // Численные методы в динамике разреженных газов ВЦ АН СССР. 1977. - Вып. 3. - С. 81 - 88.

23. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод «частиц вячейках» для решения задач разреженного газа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1975.-Т.15.№5.-С. 6

24. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженного газа. II. // Динамика разреженного газа: Труды IV Всесоюз.науч. конф. Москва, 1975.

25. Бердников B.C., ГетлингА.В., Марков В.А. Экспериментальное подтверждение существования предпочтительного масштаба валиковой конвекции Новосибирск: ИТФ. - 1988. - 22 с.

26. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистическом подходе к турбулентности. Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. 368 с.

27. Бетчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М.: Иностр. лит., 1955.

28. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. - 255 с.

29. Булгакова Н.М., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Исследование разлета продуктов лазерного испарения методом прямого статистического моделирования // Теплофизика и аэромеханика. 1998 - Т. 5. №3. - С. 421 - 429.

30. Булгакова Н.М., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Моделирование стационарного расширения газа с поверхности сферы в вакуум // Изв. РАН Механика жидкости и газа 1997 - № 6 - С. 137-143.

31. Бутковский А.В. Сильная переконденсация газа в пределе малых чисел Кнудсена // Теплофизика высоких температур. — 2007. — Т. 45. №4. С. 575-579.

32. Бутковский А.В. Сильная дозвуковая конденсация многоатомного газа // Теплофизика высоких температур. 2005. - Т.43. № 3. - С. 601.

33. Быков Н.Ю., Горбачев Ю.Е., Лукьянов Г.А. Параллельное прямое моделирование методом Монте-Карло истечения газа в вакуум от импульсного источника // Теплофизика и аэромеханика — 1998. — Т.5. №3. С. 439 - 445.

34. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе // Учен. Зап. / ЦАГИ. 1970. -Т.4. №4. - С. 46-51.

35. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов // Докл. АН СССР. 1966,- Т. 167. №5.

36. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. С.-Пб.: «БХВ-Петербург», 2002. - 608 с.

37. Галкин B.C., Русаков С.В. Барнеттова модель структуры ударной волны в молекулярном газе // Прикладная матем. и мех 2005.-Т. 69. Вып. 3. С. 419-425.

38. Галкин B.C., Шавалиев М.Ш. Газодинамические уравнения высших приближений метода Чепмена Энскога // Изв. РАН МЖГ-1998. -№4. - С. 3-25.

39. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

40. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

41. Гиршфельдер Дж., КертиссЧ., БердР. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во ин. лит., 1961. - 916 с.

42. Горьков Л.П. Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи // ЖЭТФ. -1957. -Т.ЗЗ. С.402-407.

43. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова М.И. К вопросу о решении нелинейных уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло // Численные методы механики сплошной среды / СО АН СССР ВЦ. 1971. - Т.2.

44. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы //Изв. РАН. МЖГ. 2001. - №1. - С.31-45.

45. Ермаков М.К., Мякшина М.Н., Никитин С.А., Яремчук В.П. Компьютерная лаборатория и компьютерный практикум по конвективному тепло- и массообмену // Тр. 3-я Росс. нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 2002. Т. 3. - С. 72-75.

46. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа // Учен. Зап. / ЦАГИ. 1975. -Т.6. №3. - С. 5175.

47. Жаров В.А., Ровенская О.И. Одномерная нелинейная индуцированная динамика акустических волн в конечной пространственной области // Изв. РАН. МЖГ. 2007. - №2. - С.39-45.

48. Забелок С.А. Параллельные вычисления для уравнения Больцмана // Вычисл. динамика разреженного газа/ ВЦ РАН. 2000. - С. 143-160.

49. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

50. Захаров В.Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности // Основы физики плазмы: В 2 т. Т.2 / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1984.

51. Захаров В.Е. Слабая турбулентность в средах с распадным спектром // ПМТФ. 1965. - №4. - С.35-39.

52. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. - № 2. - С.86-94.

53. Иванов М.С. Статистическое моделирование гиперзвуковых течений разреженного газа: Дис. на соискание д-ра физ. мат. наук: 01.02.05/ Рос.АН, Сиб.отд-ние, Ин-т теплофизики. - Новосибирск, 1993. — 200 с.

54. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газ. Новосибирск: Ротапринт ВЦ 49. СО АН СССР, 1988. - 117 с.

55. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 192,. № 4. - С. 753—756.

56. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. - 440 с.

57. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // ДАН СССР. -1941. Т.31. - С. 538-541.

58. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности //ДАН СССР. 1941. - Т.32. С. 19-21.

59. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемойжидкости // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1942. - Т.6. №2 - С. 56 - 58.

60. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М: Наука, 1989.-240 с.

61. Кузнецов Е.А. Спектры турбулентности, порождаемые сингулярностями // Письма в ЖЭТФ. Т.80. Вып.2. - С. 92-98.

62. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

63. Ландау JI.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. 736 с.

64. Ларина И.Н. Обтекание сферы разреженным газом//ПММ.-1969.-Т.ЗЗ. №.5.

65. Ларина И.Н., Рыков В.А. Аэродинамика сферы, газирующей в потоке разреженного газа//Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. - №3. - С.173-176.

66. Ларина И.Н., Рыков В.А. Гиперзвуковое обтекание конических тел потоком разреженного газа // Сообщ. по прикл. матем./ ВЦ АН СССР.- 1990.

67. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод исследования течений двухатомного газа // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1977. -Вып. 3. - С. 99-116.

68. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод численного решения осесимметричных задач для уравнения Больцмана // Математическое моделирование. 2004.Т. 16. №6.-С. 65-68.

69. Ларина И.Н., Рыков В.А. Обтекание сферы двухатомным газом на основе кинетических уравнений // Док. АН СССР. 1976. - Т.227. № 1. - С. 60 - 62.

70. Ларина И.Н., Рыков В.А. О граничных условиях для газов на поверхности тела // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. - №5. - С. 141-148.

71. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П.Физическая кинетика.-М.:Наука,1979.-527с.

72. Лимар Е.Ф. Метод численного решения уравнения Больцмана // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1973. -Вып. 1. - С. 31 -45.

73. Лимар Е.Ф. О численном решении уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. - Т.13. № 6. - С. 1573-1580.

74. Лимар Е.Ф. Решение задачи о релаксации для уравнения Больцмана методом интегральных итераций // Численные методы в динамике разреженных газов /ВЦ АН СССР. 1969. - С. 79-83.

75. Лимар Е.Ф. Численное исследование течения разреженного газа около цилиндра // Численные методы в теории разреженных газов /ВЦ АН СССР. -1975. Вып.2. - С. 95-107.

76. Лукьянов ГА. Нестационарное истечение пара в вакуум от плоской поверхности // Теплофиз. и аэромех. 2004. —Т.11.№11. - С. 63-77.

77. Лукьянов ГА., Ханларов Гр.О. Стационарное расширение паров воды с поверхности сферы в вакуум // Теплофизика и аэромеханика 2000 - Т.7. №4 -С. 1-11.

78. Монин А.С., ЯгломА.М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965.-639 с.

79. Обухов A.M. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование // УМН -1983. Т.38. Вып. 4. - 1983. - С. 101-111.

80. Обухов A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // ДАН СССР. 1941. - Т. 32. № 1. - С. 22-24.

81. Перепухов В.А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильноразреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1967. -Т.7.№2.

82. Перепухов В.А. Применение метода Монте Карло в динамике сильноразреженного газа // Динамика разреж. газа и молекулярная газовая динамика. / ЦАГИ. - 1972. - Вып. 1411.

83. Полежаев В.И., ЯремчукВ.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Изв. РАН. МЖГ. 2001. - №4. - С. 34 - 45.

84. Ровенская О.И. Исследование эволюции вихревой системы на основерешения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2007. -Т. 47. №9.-С. 1642- 1648.

85. Ровенекая О.И. Численное моделирование динамики акустических волн с помощью кинетического подхода // Изв. РАН МЖГ 2008. - №4. - С. 172-179.

86. Ровенекая О.И. Прямое численное моделирование эволюции двумерной вихревой системы в разреженном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2008. - №5. - С. 173180.

87. Рыжов О.С. Численные методы в динамике разреженных газов, развитие и использование в Вычислительном центре АН СССР // Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. 1977. - Вып.З.

88. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1975. - № 6. - С. 107-115.

89. Скоров Ю.В., Королев А.Е. Пространственная структура приповерхностного слоя кометной атмосферы // Астрономический вестник -1998. Т. 32. №4. - С. 370 - 379.

90. Титарев В.А., Шахов Е.М. Расчет донного вакуума за пластиной, обтекаемой гиперзвуковым потоком разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. - Т.41. № 9. - С. 1444 - 1456.

91. Титарев В.А., Шахов Е.М. Численный расчет поперечного обтекания холодной пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа // Изв. РАН. МЖГ. 2005. - № 5. - С. 139-154.

92. Фриш У. Турбулентность. Наследие Колмогорова. М.: Фазис, 1998.-343 с.

93. Фролова А.А., Черемисин Ф.Г. Обтекание цилиндрических тел потоком разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38. № 12. - С. 2096-2102.

94. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения // Учен. Зап./ ЦАГИ. 1973. - Т.4. №4. - С. 108-113,

95. Хлопков Ю.И., Воронин И.В., Ровенекая О.И. Прямое статистическоемоделирование эволюции вихревой системы в разреженном газе // Мат. моделирование. 2007. - Т. 19. № 2. - С. 39-47.

96. Хлопков Ю.И., Горелов C.JI. Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. М.: МФТИ, 1989.

97. Чепмэн Д.Р. Вычислительная аэродинамика: драйденовская лекция // Ракетная техника и космонавтика. — 1980. — Т. 18. № 2. — С. 3-32.

98. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 510 с.

99. Черемисин Ф.Г. Движение разреженного газа между бесконечными плоскопараллельными эмитирующей и поглощающей поверхностями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. - № 2. - С.176 - 178.

100. Черемисин Ф.Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана // Докл. РАН. 1997. - Т. 357. № 1. - С. 1 - 4.

101. Черемисин Ф.Г. Метод численного интегрирования кинетического уравнения Больцмана//Всес. съезд по теор. и прикл. мех.-М.:Наука,1968.-С. 312.

102. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о теплопередаче между параллельными бесконечными стенками в разреженном газе // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1970. - № 5. - С. 190-193.

103. Черемисин Ф.Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана. // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 209. №4.-С. 811-814.

104. Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в простом одноатомном газе //Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184. № 4. - С. 890-793.

105. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцманадля одномерных стационарных движений газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. - Т.10. № з. с. 654-665.

106. Шахов Е.М. Поперечное обтекание пластины разреженным газом // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. - №6. С. 107-113.

107. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974.-208 с.

108. ЩецДж. Турбулентное течение: процессы вдува и перемешивания. М.: Мир, 1984.

109. Яницкий В.Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации переновленного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. -Т. 13.№2. - С. 505 -510.

110. Agarwal R.K., YunK.-Y., Balakrishnan R. Beyond Navier -Stockes: Burnett equation for flows in the continuum transition regime // Phys. Fluids. -2001-Vol. 13. No.10. - P. 3061 - 3085.

111. Amarouchene Y., Kellay H. Batchelor Scaling in Fast-Flowing Soap Films // Phys.Rev. 2004.-Vol. 93. No.21.

112. Aristov V.V., Tcheremissine F.G. The kinetic numerical method for rarefield and continuum gas flows // Rarefied Gas Dynamics: Book of Abstracts 13th Internat. Symposium. Novosibirsk, 1982. - P. 147-149

113. Arter W., Bernoff A., Newell A.C. Wavenumber selection of rolls in a box. // Phys.Fluids. 1987. - Vol. 30. - P. 3840.

114. Arter W., Newell A.C. Numerical simulation of Rayleigh-Benard convection in shallow tanks // Phys. Fluids. 1988. -Vol.31. - P. 2474.

115. Batchelor G.K. The Theory of Homogeneous Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. - 1971.

116. Belmonte A., Martin В., Goldburg W.I. Experimental study of Taylor's hypothesis in a turbulent soap film // Phys. Fluids 2000 - №12 - P. 835-845.

117. Belotserkovskii O.M., Khlopkov Yu.I. Monte Carlo Methods in Applied Mathematics and Computational Aerodynamics // Computational Mathematics and

118. Mathematical Physics. 2006. - Vol.46. No.8 - P. 1418-1441.

119. Benzi R., Paladin G., Vulpiani A. Power spectra in two- dimensional turbulence // Phys.Rev. A 1990.-Vol. 42. No. 6. - P.3654-3656.

120. BenardH. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl.- 1900. Vol.11. - P. 1261-71.

121. Beylich A.E. Solving the kinetic equation for all Knudsen numbers // Phys Fluids. 2000. - Vol. 12. - P. 444

122. Bhathnagor P.D., Goss E.P., KrookM.A. A model for collision processes in gases // Phys.Rev. 1954.-Vol. 94.

123. Bird G.A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows Oxford Clarendon Press, 1994 - 451 p.

124. Bird G.A. The Initiation of Centrifugal Instabilities in an Axially Symmetric Flow // Proceedings of 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1997. P. 149-154.

125. Bird G.A. The Velocity Distribution Function within Shock wave // J.Fluid Mech.- 1967.-Vol.30.

126. Bird G.A. Shock-Wave structure in Rigid Sphere Gas // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press. - 1965.

127. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent development in Rayleigh- Benard convection // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P.709-778.

128. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Berlin etc.: Springer, 1989.-XVI, 798 p.

129. Bruneau Ch.H., Fischer P. Spectra and filtering: a clarification // Int. J. Wavelets, Multiresol. Info. Proc. 2007. - Vol. 5. No 3.

130. Bruneau Ch.H., Fischer P., Kellay H. The structures responsible for the inverse energy and the forward enstrophy cascades in two-dimensional turbulence // Europhys. Let. 2007. - Vol. 78. No 3.

131. Bruneau Ch.H., Fischer P., Peter Z., Yger A. Comparison of numerical methods for the computation of energy spectra in 2D turbulence. Part I: Direct methods Sampl.

132. Theory Signal Image Process. 2005. - No. 4. - P. 169-192.

133. Bruneau Ch.H., Fischer P., Peter Z., Yger A. Comparison of Numerical Methods for the Computation of Energy Spectra in 2D Turbulence. Part II: Adaptative Algorithms Sampl. Theory Signal Image Process. 2005. No. 4. - P. 271-280.

134. Bruneau C.H., Kellay H. Experiments and direct numerical simulations of two-dimensional turbulence // Phys. Rev. E. 2005.- Vol.71. No.4 - P. 046305.1046305.5

135. Burnett D. The distribution of velocities in a slightly non- uniform gas // Proc. Lond. Math. Soc. 1935. - V.39. - P. 385-430.

136. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep.Prog.Phys. -1978. Vol.41. - P. 1929-1967.

137. Busse F.H. Transition to turbulence in Rayleigh-Benard convection // Topics in Appl. Phys. 1981. - Vol. 45. - P. 97-137.

138. Cai W., Gottlieb D., HartenA. Cell-averaging Chebyshev methods for hyperbolic problems // Comput. Math. Appl. 1992 -Vol. 24. - P. 37-49.

139. Cai W., Gottlieb D., Shu C.W. Essentially nonoscillatory spectral Fourier methods for shock wave calculations // Math. Comput. -1989. -Vol. 52 P. 389-410.

140. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

141. Cercignani C. About methods of the Boltzmann equation solution, in Nonequlibrium Phenomena I:Boltzmann equation.-Oxford:North-Holland Pub., 1983.

142. Cha C.Y., McCoy В.J. Third- order constitutive equations for monatomic gas // J. of Chemical Phys. V. 54. № 10. - P. 4369-4372

143. Chapmen S. On the low of distribution of velocities and on the theory of viscosity and thermal conduction in a non uniform simple monatomic gas // Phyl.Trans.Roy.Soc. - 1916. - V.A216. - P. 279.

144. Chen S., EyinkG., Ecke R.E. Physical Mechanism of the two-dimensional enstrophy cascade // Phys. Rev. Letters 2003 - Vol. 91. - P. 214501

145. Elliot D.F, Rao K.R. Fast Transforms: algorithms, analyses, applications.

146. Academic Press, INC, 1982. 488 p.

147. Enskog D. Kinetische theorie der vorgang in massing verdunnten gasen: Diss.-Uppsala, 1917.

148. Erlebacher G, Hussaini MY, Speziale CG, Zang ТА. Toward the large-eddy simulation of compressible turbulent flows // NASA CR-178273. ICASE report No.87-20, 1987

149. Fang Y., Liou W.W., Bird G. Three Dimensional Simulations of Micro Rayleigh - Benard Convection by DSMC // 37th AIAA Thermophysics Conference, 2004 Portland, Oregon.

150. Fedosov D.A., Rogasinsky S.V., Zeifman M.I., IvanovM.S., Alexeenko A.A., Levin D.A. Analysis of Numerical Errors in the DSMC Method // Proceedings of the 24th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 2004.- P. 589-594.

151. Flicks B.L., Yen S.M. Collision integrals for rarefied gas flow problems // Proceedings of 7th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press., -1971.-P. 845-854.

152. FornbergB. A Practical guide to Pseudospectral Methods. Cambridge: Univ. Press, 1996. -231 p.

153. Garcia A. Hydrodynamic fluctuations and the direct simulation Monte-Carlo method in Microscopic Simulation of Complex Flows. N.- Y.: Plenum, 1990.-177 p.

154. Garcia A., Penland C. Fluctuating hydrodynamics and principal oscillation pattern analysis // J. Stat. Phys. 1991 - Vol. 64. - P. 1121

155. Getling A.V. Evolution of two-dimensional disturbances in the Rayleigh-Benard problem and their preferred wavenumbers // J. Fluid Mech. 1983. -Vol. 130.-P.165

156. Gottlieb S., Shu C.-W., Tadmor E. Strong Stability-Preserving High-Order Time Discretization Methods // SIAM Review. 2001. - V. 43 .№ 1. - P. 89-112.

157. Gottlieb D., Chi-Wang Shu, Solomonoff A., VandevenH. On the Gibbs phenomenon I: recovering exponential accuracy from the Fourier partial sum of a nonperiodic analytic function // J. of Сотр. and Appl. Math. -1992. Vol.43 No. 1-2.- P.81-98.

158. Gottlieb D., LustmanL., Orszag S. A. Spectral calculations of one-dimensional inviscid compressible flows // SIAM J. Sci. Stat. Comput.-1981.-Vol. 2. P.296-310.

159. Gottlieb D., Wang Chi-Shu On the Gibbs phenomenon III: Recovering exponentional accuracy in a sub interval from a spectral partial sum of a piecewise analytic function // SIAM Journal on Numerical Analysis. -1996.-Vol. 33. No.l. -P.280-290.

160. Greffier O., Amarouchene Y., Kellay H. Thickness Fluctuations in Turbulent Soap Films // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol.88.No. 19. - P. 194101.

161. Guichard L, VervischL, Domingo P. Numerical study of the interaction between a mixing zone and a pressure discontinuity. AIAA paper 95-0877, Proceedings of AIAA 33rd Aerospace Science Meeting, 1995.

162. Hanley P. A strategy for the efficient simulation of viscous compressible flows using a multidomain pseudospectral approach // J. Comput. Phys. 1993. - Vol.108. -P. 153

163. Hannappel R, Freidrich R. DNS of a M = 2 shock interacting with isotropic turbulence // Proceedings of 1st ERCOFTAC Workshop on DNS and LES 1994.

164. Hasegawa M. Convection Flip in the Rayleigh-B6nard Problem in a Small System // Progress of Theoretical Physics. 2000 - No.138. - P. 604-605.

165. Hasegawa T, Noguchi S, NakamuraT, KuchidaM, Yamaguchi S. Direct numerical simulation of compressible turbulence and its application // Proc. 6th Symp. on Computational Fluid Dynamics. 1992. P. 321- 324.

166. Hasegawa T, Noguchi S. Numerical study on a turbulent flow compressed by a weak shock wave // Int. J. Comput. Fluid Dynamics. 1997. - Vol. 8. - P. 63 -75.

167. Haviland J.K. Determination of the Shock Wave Thickness by the Monte -Carlo Method // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y.: Acad.Press. - 1965.

168. Haviland J.K. The solution of two molecular flow problems by the Monte-Carlo method // Meth. Comput. Phys. 1965. - Vol. 4. - P.109-209.

169. Haviland J.K., LavinM.D. Application of the Monte Carlo Method to Heat Hauster in Rarefied Gas // Phys.Fluids. - 1962. - No.l 1 - P. 1399-1408.

170. Hicks B.L., Yen S.M., Reilly B.J. The internal structures of shock waves // J. Fluid Mech. 1979. - Vol. 53. - P. 85-111.

171. HilbertD. Grandzuge einer allgemeint theorie der linearen integralgleichung. -Leipzig: Teubner, 1912.

172. Holway L.H. Approximation Procedures for Kinetic Theory: Ph.D. Thesis / Harvard. 1963.

173. Huang A.A. Hartley D.K. Kinetic Theory of the Sharp Leady Edge Problem in Supersonic Flow//Phys. Fluids. 1969. - Vol.12. №1. - P. 96-108.

174. Huang A.B., Huangs P.F. Supersonic Leading Edge Problem According to the Ellipsoidal Model // Phys. Fluids. 1970. - Vol.13. No.2. - P.309-317.

175. Huang X., Zhang X. A fourier pseudospectral method for some computational aeroacoustics problems // International Journal of Aeroacoustics. 2006. —Vol.5. No.3. -P. 279 -294.

176. Hussaini MY, Kopriva DA, Salas MD, Zang ТА. Spectral methods for the Euler equations: Part I-Fourier methods and shock capturing // AIAA J. 1985. - Vol. 23. P.64-70.

177. Hyakutake Т., Nishida M. DSMC simulation of normal, parallel and oblique jet impingement on a flat plate // Proceedings of 21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1999. - P. 561-568.

178. Jianping W., Hasegawa T. Numerical simulation on compressible turbulence by spectral method // Chinese Journal of Mechanics -1998. Vol.14. No.3. - P. 193-207.

179. Kellay H., Goldburg W.I. Two-dimensional turbulence: a review of some recent experiments // Rep. Prog. Phys. 2002 - Vol.65. - P.845-894.

180. Kelly R. Gas dynamics of the pulsed emission of a perfect gas with applications to laser sputtering and to nozzle expansion // Phys. Rev. A. 1992.- Vol.46. № 2. -P. 860-874.

181. Kida S., Orszag S.A. Energy and Spectral Dynamics in decaying compressible turbulence // Journal of Scientific Computing -1992 —Vol.7.No.l.

182. KoganM.N. Evaporation. Condensation kinetics // Proceedings 19th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics / Eds. Harvey J., Lord G. Oxford: Univ. Press, 1995. -Vol. 1. P. 253.

183. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge: Cambridge Univ.Press, 1993.-337 p

184. Kraichnan R.H. Inertial ranges transfer in two-dimensional turbulence // Phys. of Fluids 1967.-No.10.-P. 1417-1423.

185. Kraichnan R.H. Inertial-range transfer in two- and three dimensional turbulence // J. Fluid Mech. - 1971 - Vol. 47. P. 525-535.

186. Kraichnan R.H., Montgomery D. Two-dimensional turbulence // Rep. Prog. Phys. -1980 Vol. 43. -P. 547-619.

187. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 1. The transition from two- to three-dimensional flow// J. Fluid Mech.- 1970. Vol. 42. Part 2. - P. 295-307.

188. Larinal.N., Rylcov V.A. Influence of internal molecular degrees of freedom on the hypersonic rarefied gas flow about a conical body // Proceedings of 17th Symposium on Rarefied Gas Dynamics .- 1991. P. 539-545.

189. Lee S, Lele SK, Moin P. Direct numerical simulation of isotropic turbulence interacting with a weak shock wave // J. Fluid. Mech. 1993. - Vol. 251.-P. 533-562.

190. Lilly D.K. Numerical simulation of developing and decaying two dimensional turbulence // J. Fluid Mech. -1971. - Vol. 45. - P. 395-415.

191. Martinez D.O., Matthaeus W.H., ChenS., Montgomery D.С. Comparison of spectral method and lattice Boltzmann simulation of two dimensional hydrodynamics // Phys Fluids. 1994. - V.6. - P. 1285

192. Mathematica 5.0. Users Guide, Wolfram Research, 2003.

193. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans.Roy.Soc.- 1867. -V.157. P. 231.

194. McCoy В J. Second-order constitutive equations for monatomic fluids // Amer. J. Phys. 1969. - V.37. № 8. - P. 785- 789.

195. Meadows K.R., Kumar A., Hussaini M.Y. Computational study on the interaction between a vortex and a shock wave // AIAA J.-1991.-Vol. 29.-P. 174-179.

196. Miura H., Kida S. Acoustic energy exchange in compressible turbulence // Phys. Fluids 1995.- Vol. 7. № 7. - P.1732-1742.

197. Nordsieck A., Hicks B.L. Monte-Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral // Proceedings of 6th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1967 -Vol. 1.

198. Perez C.R., VelarseM.G. On the (nonlinear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid//J. De Phys.-1975.-Т. 36.-P.591-601.

199. Quarteroni A. Domain decomposition methods for systems of conservation laws: Spectral collocation approximations // SIAM J. Sci. Stat. Comput. -1990 -Vol. 11.-P. 1029.

200. Rivera M.K., Daniel W.B., Chen S.Y., Ecke R.E. Energy and enstrophy transfer in decaying two-dimensional turbulence // Phys. Rev. Lett. 2003 - Vol.90. No. 10 -P. 104502.

201. Rivera M.K., VorobieffP., Ecke R.E. A turbulence in flowing soap films: velocity, vorticity and thickness fields // Phys. Rev. Lett. 1998-Vol. 81. - P. 1417.

202. RosenauP. Extending hydrodynamics via the regularization of the Chapman — Enskog expansion//Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 40. No. 12. - P. 7193-7196.

203. Rotman D. Shock wave effects on a turbulent flow // Phys. of Fluids A. 1991. -Vol. 3.-P. 1792-1806.

204. Rovenskaya O.I. Numerical Modeling of the Rayleigh-Benard problem for rarefied gas // Book of Abstract of 20th International Conference on Transport Theory, Obninsk, 2007. P. 83-84.

205. Rovenskaya O.I., Voronich I.V. Numerical Modeling of the Unsteady Vapor

206. Outflow from a Flat Surface Using Direct Numerical Solution of the Boltzmann Equation // Proceedings of 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the RAS, 2007. - P. 304309.

207. Rutgers M.A. Forced 2D Turbulence: experimental evidence of simultaneous inverse energy and forward enstrophy cascades // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 2244-2247.

208. SaffmanP.G., 1971: On the spectrum and decay of random two-dimensional vorticity distributions at large Reynolds number // Stud. Appl. Math. 1971. - Vol. 50. P. 377-383.

209. Saffman P.G. A note on the spectrum and decay of random two-dimensional turbulence // Phys. Rev. Lett. 1971. - Vol.7. No.7.

210. Sanford S.D. Aeroacoustic model for weak shock waves based on Burgers equation//AIAA J. 1995. - Vol. 33. No. l.P. 120-135.

211. Sakurai A., Takayama F. Eddy shocklet in coplanar gas model // Proceedings of 20th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1997. P. 291

212. Sakurai A., Takayama F. Molecular kinetic approach to the problem of compressible turbulence // Phys. of Fluids. 2003. - V. 15. - P. 1282-1294.

213. Sakurai A., Takayama F. Vorticity and shock wave in a compressible turbulent flow of molecular kinetic model // Proceedings, of 21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 1999. - P. 663.

214. Schliiter A., Lortz D., Busse F.H. On the stability of steady finite amplitude convection // J. Fluid Mech. -1965. Vol. 23. - P. 129-144.

215. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially nonoscillatory shock capturing schemes II // J. Comput. Physi. 1989. -Vol. 83. - P.32-78.

216. Shy W, Krishnamurty V.S. Compressibility effects in modeling complex turbulent flows // Prog. Aerospace Sci. 1997- Vol.33. - P. 587-645.

217. Sibold D., Urbassek H.M. Kinetic study of pulsed desorption flows into vacuum // Phys. Rev. A. 1991.- V. 43, № 12. - P. 6722-6734.

218. SiboldD., UrbassekH.M. Monte Carlo study of Knudsen layer in evaporation from elemental an binary media // Phys. Fluids. A. 1993.- V. 5. № 1. - P. 243-255.

219. SoneY., Aoki K., Sugimoto H. The Benard problem for a rarefied gas: Formation of steady flow patterns and stability of array of rolls // Phys. Fluids. -1997.- Vol.9. No. 12. P.3898 - 3914.

220. Stefanov S., Cercignani C. Monte-Carlo simulation of Benard's instability in a rarefied gas // Eur. J. Mech. B/Fluids 1992. - Vol. 11. - P. 543 - 553.

221. Stefanov S., RoussinovV., Cercignani C. Rayleigh-Benard flow of a rarefied gas and its attractors // Phys. Fluids. 2002 - Vol.14. No.7.- P. 2255-2269.

222. Stefanov S., Roussinov V., Cercignani C. Three dimensional Rayleigh — Benard convection of a rarefied gas: DSMC and Navier - Stokes calculations // Proceed, of 24-th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - 2005. P. 529-534.

223. Stork K., MullerU. Convection in boxes: experiments.// J. Fluid Mech.-1972. — Vol. 4. №54.-P. 599-611.

224. Tabeling P. Two-dimensional turbulence: a physicist approach // Phys. Rep. -2002.-№362.-P. 1-62.

225. TadmorE. Convergence of spectral methods for nonlinear conservation laws // SIAM J. Numer.Anal. 1989. - Vol. 26. - P. 30-44.

226. Tadmor E. Shock capturing by the spectral viscosity method // Сотр. Meth. In Appl. Mech. Eng. 1990. -Vol. 80 - P. 197 - 208.

227. TadmorE. Superviscosity and spectral approximations of nonlinear conservation laws in Numerical Methods for Fluid Dynamics IV (M.J. Bainsand K.W. Morton, eds), Oxford University Press, P.69-82

228. Taylor G.I., Green A.E. Mechanism of the production of small eddies from large ones //Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1937. - V. 158. - P. 499.

229. Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving of Boltzmann kinetic equation // Proceedings of 20th Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Beijing: Peking Unj . Press, 1997. - P. 297-302.

230. Tcheremissine F. Direct numerical solution of the Boltzmann equation // Proc.of 24th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. 2004. - P. 677-685.

231. Voronich I., Popov V., Khlopkov Yu. Kinetic Calculation Model for Gas Dynamics// Proc. of the 2nd Seminar on RRDPAE"98./ Warsaw University of Technology. Warsaw, 1998.-P. 167- 171.

232. Wai Sun Don. Numerical study of pseudospectral methods in shock wave applications // J. Comput. Phys. 1994. -Vol. 110. - P. 103-111.

233. Wang JP, Nakamura Y, YasuharaM. A Chebyshev collocation method for the compressible Navier-Stokes equations in generalized coordinates. Transactions of the Japan Society for Aero-nautical and Space Sciences. 1990. - Vol. 101. No. 33. P. 120- 134.

234. Wang JP, Nakamura Y, Yasuhara M. Several improvements of spectral method in compressible flow calculation // Proc. Int. Symp. on Computational Fluid Dynamics, Nagoya. 1989. - P. 1210 - 1215.

235. Willis G.E., Deardorff J.W., Somerville R.C.J. Roll-diameter dependence in Rayleigh convection and its effect upon the heat flux // J. Fluid Mech. 1972. -Vol. 54.-P. 351-357.

236. Zakharov V.E., L'vov V.S., Falkovich G. Kolmogorov Spectra of Turbulence I Wave Turbulence. Springer Verlag.

237. Zienicke E., SeehaferN., FeudelF. Bifurcations in two-dimensional Rayleigh-Benard flow // Phys. Rev. E 1998. - Vol. 57. P.428 - 435.