Применение метода интегралов движения и квантовых функций распределения в исследовании динамических квантовых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .4

ГЛАВА I. МЕТОД ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (обзор литературы) .11

ГЛАВА П. ФУНКЦИИ ВИГНЕРА КВАДРАТИЧНЫХ СИСТЕМ.21

§ I. Общая квадратичная система . 23

§ 2. Одномерный нестационарный осциллятор и заряженная частица в переменном магнитном поле . 33

§ 3. Средние значения.37

§ 4. Собственные функции квадратичных гамильтонианов. в вигнеровском представлении . 40

§ 5. Производящие функции для вероятностей переходов и новые соотношения для специальных функций . 45

ГЛАВА Ш. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРОПАГАТОР КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ

В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ.56

§ I. Квазиклассическое приближение для пропагатора 57-

§ 2. Свободное движение частицы в полупространстве .60

§ 3. Движение частицы в однородном поле .65

ГЛАВА 1У. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ . И НЕЛИНЕЙНЫЕ ФОРШ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ .79

§ I. Нелинейные формы линейных уравнений .80

§ 2. Общие свойства полученных нелинейных уравне ний .94

§ 3. Лагранжианы и солитоноподобные решения нелинейных уравнений .98

Актуальность проблемы. Одной из главных задач квантовой теории является исследование вопроса временной эволюции физических систем. Построение точных (не по теории возмущения) решений уравнений, описывающих развитие квантовых систем во времени, представляет большой интерес, поскольку позволяет наиболее полно проследить изменение физических величин, характеризующих рассматриваемую систему.

Предложенный Малкиным и Манько метод интегралов движения оказался эффективным и сравнительно простым в получении явных точных результатов при решении физических и математических задач, описываемых уравнениями, типа уравнения Щредингера. Метод интегралов движения эффективен при изучении динамических систем с гамильтонианом в виде квадратичной формы по канонически сопряженным операторам координат и импульсов с произвольно зависящими от времени коэффициентами. Для общей квадратичной системы в явном виде построены в различных представлениях функции Грина, найдены амплитуды переходов, получены выражения для равновесных матриц плотности. Интерес к изучению квадратичных систем объясняется прежде всего тем, что квадратичные системы имеют большое прикладное значение. Различные процессы взаимодействия в квантовой механике, например при обсуждении некоторых схем гравитационно-волнового эксперимента, а также движение заряженных частиц в переменных электрических и магнитных полях, могут быть описаны общеквадратичным гамильтонианом .

В последнее время все более широкое применение в исследовании физических систем находит предложенное Вигнером и Вейлем представление квантовой механики при помощи квантовых функций распределения, представляющих собой совместные распределения вероятностей (точнее квазивероятностей) для координаты и импульса.

Поэтому исследование класса систем с квадратичными гамильтонианами в вигнеровском представлении, получение явных выражений квантовых функций распределения и выявление их связи с интегралами движения представляется интересным и своевременным. Представляет интерес также исследование квазиклассического приближения для изучения систем с квадратичными гамильтонианами, ограниченных в своем движении в пространстве наличием непроницаемых стенок.

Цель работы состоит в исследовании динамики квантовых систем методом интегралов движения и квантовых функций распределения. При этом ставились следующие основные задачи:

1. Исследование динамики квантовых систем методом интегралов движения в вигнеровском представлении.

2. Получение явных выражений душ равновесных функций Вигнера общеквадратичных систем и их важных частных случаев.

3. Изучение собственных функций квадратичного гамильтониана в вигнеровском представлении.

4. Исследование применения интегралов движения для нахождения точных решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего порядка.

5. Рассмотрение эффективности квазиклассического приближения для исследования задач движения квантовых частиц в ограниченных пространствах.

Согласно поставленной задаче к защите выдвигаются следующие основные научные положения:

1. Метод интегралов движения позволяет эффективно вычислять равновесные функции Вигнера квадратичных систем.

2. Анализ структуры и физического содержания общей квадратичной системы в вигнеровском представлении в сочетании с методом интегралов движения позволяет доказать существование для любых нестационарных А/ -мерных квадратичных гамильтонианов решений уравнения Шредингера в виде произведений л/ многочленов Лаггера, аргументами которых являются независимые квадратичные интегралы движения.

3. Полученные явные выражения для функции Вигнера общей квадратичной системы, позволяют построить производящую функцию для вероятностей перехода между состояниями дискретного спектра, анализ которой в различных частных случаях приводит к выводу ряда новых соотношений для специальных функций.

4. Использование метода интегралов движения позволяет находить новые точные решения некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных: второго и третьего порядка.

Научная новизна работы. В диссертации впервые рассмотрены явные выражения для равновесных функций Вигнера для самых общих квадратичных систем с независящим от времени гамильтонианом. Разобраны частные случаи: многомерный анизотропный осциллятор и движение частицы в однородных электрических и магнитных полях. Найдены явные формулы для средних значений произвольных степеней координат и импульсов в термодинамически равновесном состоянии для систем с произвольным квадратичным гамильтонианом. В явном виде получено выражение для функции Грина в вигнеровском представлении квантовых систем с нестационарным квадратичным гамильтонианом.

Для произвольного А/ -мерного квадратичного гамильтониана рассмотрены точные решения уравнения Шредингера в вигнеровском представлении в виде произведений Л/ полиномов Лаггера, аргументами которых являются независимые квадратичные интегралы движения. Найдена производящая функция между фоковскими состояниями системы, анализ которой позволил получить новые соотношения для специальных функций.

Рассмотрены квазиклассические выражения для пропагатора уравнения Шредингера и равновесной матрицы плотности квантовой частицы, движущейся под действием однородного поля в полупространстве над идеально отражающей стенкой.

Проанализирован класс нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего порядка, имеющих точные решения, исследован метод получения новых решений из уже известных, используя интегралы движения.

Практическая ценность работы. Результаты по общим квадратичным системам могут быть использованы при изучении эволюции конкретных динамических систем, а также при исследовании квазиклассического поведения некоторых систем. Например, к ним относятся: анализ вибронных спектров многоатомных молекул и восстановление по этим спектрам структуры молекул в электронно-возбужденном состоянии, анализ некоторых схем гравитационных волновых детекторов с учетом конечной добротности (затухание колебаний), анализ и возможности конструирования различных оптических и акустических волноводов с целью минимизации потерь энергии при передаче энергии и информации. Приведённые в работе явные выражения функций Вигнера, функций Грина динамических систем в вигнеровском представлении являются полезными при практических вычислениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном семинаре "Теоретико-групповые методы в физике" (Звенигород, ноябрь 1979г.); на 5-ой Республиканской конференции молодых учёных-физиков, посвященной 60-летию Азербайджана (Баку, май, 1980г.); на Международном семинаре "Теоретико-групповые методы в физике" (Звенигород, ноябрь 1982г.); на сессии Отделения ядерной физики АН СССР (Москва, ИТЭФ, октябрь 1984г.); на научных семинарах ФИАН СССР, ИФАН Азерб.ССР.

По результатам выполненных исследований опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, пяти приложений, выводов и списка литературы.

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы.1. Впервые проанализирована структура общей квадратичной ди намической системы в представлении Вигнера и в явном виде построе на её функция Грина в этом представлении.2. Для самых общих квадратичных систем с независящим от вре мени гамильтонианом получены явные выражения для равновесных фун кций Вигнера. Получены функции Вигнера для многомерного анизотро пного . осциллятора и частицы в однородных электрических и магнитных полях.3. Выведены явные формулы для средних значений произвольных степеней координат и импульсов в термодинамически равновесном сос тоянии, для систем с произвольным квадратичным гаьшльтонианом.4. Для систем с произвольным нестациональным Л/ -мерным квадратичным гамильтонианом доказано существование решений урав нения Шредингера в виде произведений N многочленов Лаггера, аргументами которых являются независтше квадратичные интегралы движения.5. Построена производящая функция дяя вероятностей перехода между состояниягли дискретного спектра, обобщающая формулу Хусими для осциллятора с переменными параметрами на случай произвольных квадратичных гамильтонианов.6. Выведены новые соотношения для специальных функций.7. Исследована применимость метода квазиклассического при ближения для изучения систем с неквадратичными гамильтонианами при рассмотрении движения квантовой частицы в однородном поле в пространстве, ограниченном непроницаемой идеально отражающей стенкой. Построен явный вид пропагатора свободной частицы, а

также получено и проанализировано явное выражение для равновесной функции Вигнера системы.8. Показано, что квазиклассическое выражение для пропагатора и равновесной штрицы плотности квантовой частицы, движущейся в однородном поле в полупространстве, справедливо только при усло вии слабых полей. Для диагональных элементов матрицы плотности получено выражение, являющееся обобщением классической функции распределения Больщлана для частицы в однородном поле, приншлая во внимание условие исчезновения матрицы плотности на стенке.9. Проанализирован класс нелинейных дифференциальных уравне ний в частных производных второго и третьего порядка пожномиаль ного вида; указаны некоторые нелинейные уравнения в частных про изводных второго порядка, которые могут быть решены методом вяз кости.10. Исследован метод получения новых решений нелинейных урав нений из уже известных, используя интегралы движения.В заключение приношу самую сердечную благодарность своим руководителям - доктору физшш-математических наук Манько В.И. и кандидату физико-математических наук Додонову В.В. за руководство работой, постоянную поддержку и помощь. Я очень благодарна руко водству ИФАН Азерб.ССР, предоставившему мне возможность ведения совместных работ с моими руководителями. Хочу поблагодарить кан дидата физико-математических наук Дадашева I.A. за ценные советы и полезные обсуждения. Считаю приятныА1 долгом поблагодарить докто ра физико-математических наук Вердиева Й.А. за постоянную поддерж ку и внимание к работе.

1. Kemiard E.H. Zur Quantenmechanic einfacher Bewegunstypen,© Ztschr. Phys., 1927, 44, N 4/5, S. 326-352. 3. SchY;inp;er J« On quage invariance and vacuum polarization. -Phys. Eev., 1951, vol.82, П 5, p.664-679. 2. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965, 236 с.

3. Dodonov V.V.. Malkin 1.А., Manko V.I. Coherent states, thermodynamical properties of quantum systems with arbitrary quadratic Hamiltonians and the Bloch therem, Moscow, 197» 75 P« (Prepr/P.N. Lebeder Phys. Inst.; N 106). 4. Dodonov V.V., Malkin I.A.. Manko V.I.The Green function and theormodynamical properties of quadratic system. J.Phys,, 1975» V0I.A8, I 2, p.. 19- 22. T

5. Додонов B.B.. Малкин И.А.. Манько В.И Инварианты, функция Грина и когерентные состояния динамических систем. ТМФ, 1975, т.24, J 2, с.164-176.

6. Dodonov V.V.. Malkin I.А.. Manko V.I. Integrals of the motion, Green functions and coherent states of dynamical systems, -Intern. J. Theor, Phys., 1975, vol.14, I 1, p.37-5. T

7. Dodonov V.V., Malkin I.A., Manко V.I, Green functions for relativistic particles in nonuniform exbernar fields. J.Math. 1976, V0I.A9, П 10, p.1791-1796.

8. Додонов В.В. Некоторые вопросы применения метода когерентных состояний в квантовой механике и статистике. Дисоерт канд.физ.-мат.наук. М.: МФТИ, 1976, 124 с.

9. Малкин И.А.. Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные

10. Додонов В.В.. Манъко В.И. Интегралы движения и динамика не-. стационарных квадратичных Ферми-Бозе-систем общего вида. В кн.: Квантование, гравитация и групповые,методы в физике (Труды МИАН, т.162). М.: Наука, 1983, с.145-193.

11. Манько В.И. Интегралы движения и симметрия квантовых систем. В кн.: Теоретико-групповые,методы в физике (Труды международного семинара, Звенигород, 1982. М.: Наука,.1983, т.1, с.405-419.

12. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974, 576 с.

13. Amaud J «А, Beam and fiber optiCB.-lT,Y*Acad»Press,1976,-447p« 14. Манько В.И. Возможности применения метода когерентных состояний и интегралов движения для рассмотрения динаш1ческих систем. В кн.: Квантовая электродинамика с внешним полем. Томск, ТГУ, 1977, C.I0I-II9. I" Сисакян И.Н. Формирование волновых фронтов когерентного элект-. ромагнитного излучения в продольно и поперечно-неоднородных средах. Диссерт докт. физ.-мат.наук. М.: ФИАН СССР, 1982, 60 с,

15. Кривошлыков Г. Исследование распространения света в продольнонеоднородных средах с квадратичным поперечным распределением показателя преломления методом когерентных состояний: Дис физ.-мат.наук, М.: ФИАН, 1980, 142 с.

16. Krivoshlykov S.G.. Sissalcian I.IU Optimal beam and pulse proканд. pagation inhomogeneous media. Application to multimode parabolic -index waveguides. Opt. Quant, elect., 1980, vol,12, N 6, p. 463-475. 20. КРИВОШЛЫКОВ Г.. Сисакян И.Н. Когерентные состояния и непараксиальное распространение света в градиентных средах. Квантовая электроника, 1983, т.10, !h 4, с.735-741.

17. Кривошлыков Г.. Петров Н.И.. Сисакян И.Н. Когерентгше свойства оптических полей в неоднородных средах, В кн.: Теоретике18. Докторов Е.В. Некоторые вопросы применения метода когерентных состояний и динамических симметрии к проблемам квантовой теории: Дис. канд. физ.-мат.наук, Минск, БГУ, 1975 г. 116 с.

19. Малкин И.А. Функция Грина нестационарной системы, обладающей группой динамической симметрии. Труды МФТИ, 1976, !h 8, с.206-217. 24. ДОКТОРОВ Е.В.. Мадкин И.А.. Манько В.И. Динамические симметрии и принцип Франка-Кондона для многоатомных молекул. В кн.: Квантование, гравитация и групповые методы в физике (Труды ФИАН, т.152). М.: Наука, 1983, с.202-238.

20. Doctorov Б«У«, Malkin 1«А., Мап*ко V.I. Dynamical synmetry of vibronic transitions in polyatomic molecules and the Pranck-Condon principle. II. J. Mol, Spectrosc, 1977, vol.64, p.502326.

21. Doctorov Е Л Malkin I.A.. Manko V.I, The Dushinsky effect and s i rules for vibroic transitions in polyatomic molecules. \m J. Mol. Spectrosc, 1979, vol.77, p. 178-19.

22. Додонов B.B.. Манько В.И.. Руденко В.Н. Невозмущащее измерение в гравитационно-волновом эксперименте. ЖЭТФ, 1980, т.78, 1 3, с.881-896.

23. Додонов В.В.. Манько В.И.. Руденко В.Н. О квантовых свойствах высокодобротных макроскопических резонаторов. Квантовая электроника, 1980, т.7, }Ь 10, C.2I24-2I34.

24. Додонов В.В.. Манько В.И.. Руденко В.Н. Квантовый осциллятор в задаче регистрации слабых сил в гравитационно-волновом эксперименте. В кн.: Квантование, гравитация и групповые методы в физике (труды МЙАН, т.152). М.: Наука, 1983, с.12-

25. Weyl Н« Quantenmechanik and Gruppentheorie. Ztschr. Phys., 1928, 46, H 1/2, S. 1-46.

26. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики. УФН, 1983, т.139, вып.4, с.587-619. 33. OConnel R.E. a e Wigner distribution function 50-tli birth?i day Pound. Phys., 1985, vol.13, N 1, p.83-92.

27. Климентович Ю.Д.. Силин В.П. О спектрах систем взаигаодействующих частиц и коллективных потерях при прохождении заряженных частиц через вещество. УФН, I960, т.70, с.247-256.

28. Гуров К.П. Основания кинетической теории. М.; Наука, 1966, 356 с.

30. Климентович Ю.Д. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: Наука, 1975, 352 с.

31. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. T.I. М.: Мир, 1978, 405 с.

32. Korsch H.J., Беггу M.V. Evolution of Wigner* s phase space density under a nonintegrable quantum map. Physica, 1981, V0I.3B, К 3, p.627-636.

33. Коробкин В.В.. Сазонов В.Н. О точном решении нелинейного интегрально-дифференциального уравнения, описывающего распространение волновых пучков в нелинейной среде. ЖЭТФ, I98I, т.81 выл.4 /10, C.II95-I20I. 41 Широков Ю.М. Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства. ЭЧАЯ, 1979, Т.10, вып.1, с.5-50.

34. Balazs IT.L. 7/eyls association, Wigner function and affine geometry. Physica, 1980, vol.102A, N 2, p.236-254.

35. Snyp:p; John. Use of operator wave functions to construct a refined correspondence principle via the quantum mecjianics of

36. Prosser Eeese T. On the correspondence betveen classical and quantum meclianics. J. Math. Phhs., 1983, col.24, Ы 3, p.58-352.

37. Широков Ю.М. Теория возмущений по постоянной Еланка. ТМФ, 1977, т.31, В 3, с.327-332.

38. Широков Ю.М. Етвыж формализм для квантовой и классической теории рассеяния. ТМФ, 1979, т.38, Ш 3, с.213-220.

39. Dodonov V.V.. Manко V.I. Integrals of motion of p\ire and mized quantum systems, Physica, 1978, vol,A94, Ж 3, p.403412.

40. Berry H.V. and Balazs HuL. Evolution of semiclassical quantim states in phase space. J. Phys,, 1979, vol.12A, H 5, p,625-64-2. 49. Ъее H.-W.. Scully M.O. A new approach to molecular collisions: Statistical quasiclassical method. J. Chem. Pliys., I98O, vol.73, N 5, p.2238-2242.

41. Remand В., Hermander _E.S. On the phase-space dynamics of a time-dependent harmonic oscillator at finite temperature. Physica, 1981, V0I.AIO7, H 3, p.533-366.

42. Климонтович Ю.Д. Определение собственных значений физических величин методом квантовой распределения. ДАН СССР, 1956, т.108, J 6, C.I033-I036.

43. Davies E.W., Davies К.Т.Е. On the Wigner distribution function for an oscillator. Ann. Phys. (Ж.У.), 1975, vol,89, W 2, p.261-273.

44. Богданов Е.П., Горшенков B.H.. Коньков В.Д. Об интегриовании

45. Горшенков В.Н.. Денисова Н.А., Коньков В.Д.. Рязанова Д.З. О равновесном распределении систем частиц в квантовой теории. ТМФ, 1973, т.15, 2, с.288-294.

46. Горшенков В.Н. Квантовая функция распределения Вигнера газа электронов в скрещенных электрических и магнитных полях. Изв. ВУЗов, Физика,. 1974, J 5, с. 123-124.

47. Денисова Н.А.. Коньков В.Д. Квантовая функция распределения Вигнера.в цилиндрических координатах. Т Ш 1975, т.22, I, с.64-71.

48. Девинсон И.Б. Трансляционная инвариантность в однородных полях и уравнение для матрицы плотнооти.в вигнеровском представлении. ЖЭТФ, 1969, т.57, 2(8), с.660-672.

49. Jannussis А.Р. Filipakis Р. and Pilipakis ТЪ., Quantum friction in phase space. Pbysica, 1980, vol.102A, Ж 3, p.561-56?.

50. Jannussis A.« Patarp:ias N.. Leodaris A.. Filipakis P.. Filipakie Т.. Streclas A., Papatheou V. Some remarks on the nonnegative quantum-mechanical distribution function. Lett. Nuovo cim,, 1982, vol.34, N 18, p.555-558.

51. Willsohn A. Phase-space distributions which are probabilitydistributions. J. Phys., 1982, V01.15A, N 9, p.2775-2785.

52. Mukunda H» Wigner distribution for angle coordinates in quantum mechanics, Amer. J. Phys,, 1979» vol, 47, N 182-187.

53. Dabl Jens Peder. The Wigner function, Pliysica, 1982, vol, 2, p. 114, H 1-3, pЛЗЭ-i

54. Sprinfiborp; M, Phase-space functions and correspondence rules- J. Phys., 1983, VOL;16A, N 3, p.535-542,

55. Soto P.. Claveric P. When is the Wigner function of multidimensional systems nonaegative? J. Math. Phys., 1983» vol.24, N 1, p.97-100.

56. Moyal J.E,. Quantum mechanics as a statictical theory. Proc. Cambridge Philos. S o c 199, vol.45, N 1, p.99-124.

57. Kubo E. Wigner representation of quantum operators and its applications to electrons in a magnetic field. J. Phys. S o c Jap., 1964, vol.19, H 11, p.2127-213

58. Малкин И.A.. Манъко В.И.. Трифонов Д.А. Когерентные состояния и возбуждение квадратичных квантовых систем. Краткие сообщения по физике, МИАН, I97I, i 5, с.20-27.

59. Mullein I.A«. Manко У.Г:,. (Erifonov D.A. Linear adiabatic invariants and coherent states, J, Math. Phys., 1975, vol.14, p.376-582. 60. Попов М.М. Функция Грина уравнения Шредингера с квадратичным потенциалом. Проблемы математической физики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973, вып.6, C.II9-I25.

61. Marinov M.S. An alternative to the Hamilton-Jacobi approach in classical mechanics. J, Phys., 1979, vol.A12, I 1, p.31T 47.

62. Черников H.A. Система с гамильтонианом в виде зависящей от времени квадратичной формы от 1Ь 3(9), C.I006-I0I7. и ЖЭТФ, 1967, Т.53,

63. Фейнман Р.П. Статистическая механика. М.: Наука, 1967, 408 с.

64. Takaba.iasi (Г. The formulation of quantum mechanics in terms of ensemble in phase space, Progr. (Theor, Phys., 1954, vol.11, H цз, p.341-375.

65. Lewis H.E«. Eiesenfeld W.B. An exact quantum theory of the time dependent harmonic ascillator and of a changed pajbticle in a time-dependent electromagnetic field. J.Math. Phys., 1969, vol.10, I 8, p.14-58-1473. T

66. Додонов B.B., Малкин И.A.. Малько В.И. О нормальных координатах в фазовом пространстве квантовых систем. Краткие сообщения по физике ФИАН, 1976, i I, с.3-6. e

67. Hiisimi К, Miscellanea in elementary quantum mechanics, II,- Progr. Theor. Phys., I953, vol.9f 4, p.381-402.

68. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, гл.4. 81» Sep;lar Р. On the ?/igner distribution function and its factorization. Phys. Lett., 1976, V0I.59A, I 2, p.87-88. T

69. Dodonov V,V., Malkin I.A.« and Manко V.I. Quantum statistics of quadratic systems. Moscow, 1976, 33 P» (Prepr./P.IT. Lebedev Phys. Inst., N 42)

70. Зильберман Г.Е. Магнитные свойства металлов при низких температурах. ЖЭТФ, I95I, т.21, 1 II, C.I209-I2I7.

71. Бейтмен.Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966. т.2, с.269-271.

72. Бейтман Г.. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966, т.2, с.190-191. 86. OConnel Е.Е.« 7/ip;ner Е.Р. Quantum-mechanical distribution functions: conditions for uniqueness. Phys. Lett,, 1981, 73. Ахундова Э.А., Додонов В.В.. 1у1анько В.И. Функция Грина квадратичных систем в смешанном представлении. Материалы 5-ой республиканской конференции молодых учёных-физиков, посвященной 60-летию Азербайджанской ССР и Компартии Азербайджана Баку: Елм, 1980, с.19.

74. Achundova Е.А, Dodonov У Л Manко V.I.Wipjier functions of quadratic systems. Moscow, 1981, 31 p. (Prepr./P.H, Lebedev Phys. Inst.j N 119)

75. Achundova E.A.. Dodonov V.V.. Manko V,I« V/igner functions of quadratic systems. Physica, vol,115A, p. 21-231.

76. Ахундова Э.А., Додонов В.В., Манько В.И. Собственные функции квадратичных гамильтонианов в вигнеровском представлении. ТМФ, 1984, Т.60, J 3, с.413-422.

77. Klauder J«В. Hew measures for nonrenormalizable quantum field theory. Ann, Phys., 1979, vol.117, H 1, p.19-5592. Kay B.S. On Klauders pseudo-free oscillator. J. Phys.A: Math, and Gen., vol.14, I 1, p. 155-164. T 93. Van Vleck J.H» The correspondence principle in the statistical interpretation of quantum mechanics. Proc. Hat. Acad. Sci*, of USA, 1928, vol.14, I 1, p,178-188, T

78. Schulman L.S. Exact time-dependent Green function for the half-plane harrier. Phys. Eev. Lett., 1982, vol.49, N 9, p. 599-601,

79. Wang M.C.. Unhenheck G.E. On the theory of the Erownian Motion II. Eev. Mod. Phys., 1945, vol.17, N 342.

80. Crandall R.E. Exact propagator for motion confined to a 2-3, p. 3 2

81. Akhundova E.A., Dodonov V.V.. Manko V.I. The quasi-classical propagator of a quantum particle in a uniform field on a half spacer Moscow, 1984, 16 p. (Prepr./P.N,. Lehedev Phys. Inst.; N 175).

82. Akhundova E.A.. Dodonov V.V.. Manko V.I. The quasi-classical propagator of a quantum particle in a uniform field on a half space. J. Phys. A.: Math. Gen., 1985 (B печати).

83. Berry M.V.. Mount K.E. Semiclassical approximations in wave mechanics. Eep. Prog. Phys., 1972, vol.55, p.515"-597.

84. Clark (Т.Е.. Menikoff R., Sharp D.H. Quantum mechanics on the half-line using path integrals. Phys, Eev., 1980, vol.20, I 12, p. 5012-5016. T

85. Brown J.S., Brovm E.G., March K.H. Permi Hole near a metal surface. Phys. Lett., 1974, vol.46A, H 7, p. 465-464.

86. Dodonov V.V.. Malkin O.A.. Manko V.I. Even and odd coherent states and excitations of a singular oscillator. Physica, 1974, vol.72, p. 597-615.

87. Dodonov V.V.. Manko V.I., Shakbmistova O.V. Wigner functions of a particle in a time-dependent uniform field. Phys. Lett., 1984, V01.102A, I 7, p.295-297. T

88. Growley B.J.B. Semiclassical techniques for treating the one-dimensional Schrodinger equation: imifoim approximations and oscillatory integrals. J, Phys. A: Math. Gen,, 1980, vol. 15, N 4, p. 1227-1242.

89. Задачи по квантовой механике. М.: Мир, 1974, т.Х, C.II2-II6.

90. Gardner C.S.. Green J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. Method for solving the Korte-weg-de Vries equation» Phys. Eev. Lett,, 1967, vol.19, N 19, p,1095-1097. n o Фаддеев Д.Д. Обратная задача квантовой теоряи рассеяния П.Современные проблеглы математики, М.: ВИНИТИ, 1974, т.З, с.93-180.

91. Zielke W. А nonlinear system of Euler-Lagrange equations. Reduction to the Kortev/eg-de Vries equation and periodic solutions. J, Math. Phjis,, 1975, vol.16, N 7, p.1573-1579. 112. CalOKero P. Generalized wronskian relations, one-dimensional Schrodinger equation and nonlinear partial differential equations solvable by the inverse-scattering method, Kuovo Cimento, 1976, vol.31B, N 2, p.229-249.

92. Пелиновский Е.Н. Некоторые точные методы в теории нелинейных волн. Изветия ВУЗов, Радиофизика, 1976, т.XIX, i 5-6, с.883l 901.

93. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. УМН, 1977, т.32, В 6, с.183-208.

94. Tagirov E,A. and Todorov I.I. A geometric approach to the solutions of confmrmal invariant field equations. Dubna, J.I1Ш, 1977, E2-11079, 35 p.

95. Eeid J.L. and Burt P.B. Solution of nonlinear partial differential equation from base equations, Joirm. Math, Anal. Appl., 1974, vol.47, N 5, p.520-550.

96. Dodonov V.V.. МапЧсо V.I. Integrals of the motion and nonlinear forms of linear equations. Moscow, 1977, 26 p. (Ргерг./Р.Ж. Lehedev Phys. Inst.; N 209).

97. Андреев В.A. Применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению Gt t ТМФ, 1976, т.29, i 2, с.213-220.

98. Onofri Е. An identity for Т -ordered exponentials with applications to quantum mechanics. Ann, Phys., 1976, vol.102, N 2, p. 371-587.

99. Ames W.P. ITonlineqr partial differential equations in engineering. IT,Y.-London. Academic Press, 1965»

100. Hopf E. The partial differential equation Xi-li1iJ Commun. Pure Appl. Math.,, 1950, vol.3, N 3, p. 201-230. 124. ApoHCOH Е.Б.. Малкин И.А.. Манько В.И. Динамические симметрии,в квантовой теории. ЭЧАЯ, 1974, т.5, вып.1, с.122-171.

101. Santilli Е.М, Necessary and sirCficient conditions for the existence of a lagrangian in field theory. I. Variational approah to self-adointness for tensiorial field equations. x,

102. Achundova E.A., Dodonov V.V.. Maniko V.I. Exactly solvable nonlinear partial differential equations of the third order. Moscow, 1978, 16 p. (Prepr./P.N. Lebedev Phys.Inst.; I 225)". T

103. Ахундова Э.А.. Додонов B.B.. Манько В.И. Точное решение некоторого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Краткие.сообщения по физ.ике, ФИАН:,1979, i 9, с.33-36. s

104. Ахундова Э.А., Додонов В.В.. Манько В.И. Интегралы движения и нелинейные формы линейных уравнений. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике (Труды международного семинара, Звенигород, 1979) М.: Наука, 1980, т.2, с.348-354.