Применение метода Ли операторов для расчета движения спина тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера СО РАН

На правах рукописи

ЯКИМЕНКО Витпттттй Епггттг.гпщ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛИ ОПЕРАТОРОВ

ДЛЯ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ СПИНА

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц н ускорительная техника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1995

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН".

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ЭЙДЕЛЬМАН — кандидат физико-математических наук,

Юрий Исаакович старший научный сотрудник,

ГНЦ РФ "Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН", г. Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

КАТКОВ — доктор физико-математических наук,

Валерий Михайлович ГНЦ РФ "Институт ядерной физики

им. Г.И.Будкера СО РАН", г. Новосибирс

ПЕРЕЛЬШТЕЙН — доктор физико-математических наук,

Элкуно Аврумович Объединенный институт ядерных

исследований, г.Дубна.

ВЕДУЩАЯ — Институт физики высоких энергий,

ОРГАНИЗАЦИЯ: г.Протвино.

Защи^. диссертации состоится " 3 " /■¿ОсфС^З^ 1995 г.

часов на заседании специализированного совета Д.002.24. при ГНЦ РФ "Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН".

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, И.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ "ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН".

Автореферат разослан "_ 6 " о кЯОС!>р$ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета академик

Б.В. Чирико!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование движения спинов заряженных частиц, циркулирующих в ускорителе, является актуальной проблемой в современной ускорительной физике. Использование поляризации зучков в накопителе для калибровки их энергии позволило существенно ювысить точность измерения масс элементарных частиц. Различные варианты экспериментов с поляризованными пучками требуют тщатель-юго изучения устойчивости поляризации в накопителях. Со времени lepeon регистрации вертикальной поляризации на накопителях ACO и ЗЭПП-2 в 1970 году был достигнут существенный прогресс как в понимании, так и в подавлении многих факторов, приводящих к разрушению юляризации. По мере возрастания энергии циркулирующих сгустков и 'жесточения элементов магнитной системы существенную роль в деполя-шзации начинают играть нелинейные спиновые резонансы. Схемы спи-ювых ротаторов для создания продольной поляризации в месте встречи •акже усиливают деполяризующие эффекты. Для нахождения оптимальнее путей их подавления важно корректное моделирование спиновой ди-[амики в реальном накопителе.

Целью работы, положенной в основу диссертации, явилась разра-отка метода для исследования задач движения спинов заряженных ча-тиц в ускорителях и накопителях с применением техники Ли операторов его реализация в компьютерной программе SpinLie, которая успешно рименяется для расчета спиновой динамики в электронных и протонных оллайдерах.

Научная новизна работы. Метод Ли операторов впервые применен практически для исследования задач движения спинов заряженных частиц в ускорителях и накопителях. Для этого найдены орбитальные и впервые вычислены все спиновые операторы вплоть до секступольного порядка включительно для практически всех типов элементов (магниты и линзы различных типов, соленоиды, кикеры, резонаторы).

Метод Ли операторов впервые реализован в программе SpinLie для решения разнообразных задач движения спина в ускорителях и определения равновесной степени поляризации в накопителях.

Впервые построен аппарат специальных функций, обеспечивший формализацию вычислений, необходимую для эффективного использования компьютерных аналитических вычислений при определении Ли операторов. Применение этих функций обеспечило также численную сходимость вычислений в программе SpinLie при описании резонансов в орбитальном и спиновом движениях.

Предложен и численно реализован критерий "обрыва" рядов, являющихся разложениями экспоненциальных операторов, что обеспечило сохранение симплектичности преобразований орбитальных и спиновых переменных в процессе вычислений.

Автор выносит на защиту следующие результаты и выводы работы:

1. Предложен аппарат специальных функций, позволивший формализовать процесс вычисления орбитальных и спиновых Ли операторов. Благодаря формализации вычисление этих операторов до нужного порядка по степени орбитальных переменных может произво диться с помощью компьютерной системы REDUCE.

2. Вычислены орбитальные и спиновые операторы вплоть до секступольного порядка включительно для практически всех типов элементов ускорителя.

3. Предложен алгоритм симплектического тренинга, позволивший ис ключить вычислительные ошибки негамильтонового вида.

4. Улучшена точность вычислений при моделировании ускорительные задач, благодаря применению введенных специальных функций.

5. Написана библиотека подпрограмм для моделирования ускоритель ных задач, включающих расчет орбитального и спинового движе ния с использованием соответствующих Ли операторов.

6. Создана компьютерная программа SpinLie, которая позволяет моделировать различные спиновые задачи.

7. Все результаты используются и могут быть использованы для повышения степени поляризации в коллапдерах и решения разнообразных задач о движении спина в ускорителях и накопителях.

Апробация работы и публикации. Работы, положенные в основу шссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах в ведущих российских и зарубежных центрах, таких как ИЯФ 20 РАН (г.Новосибирск), ИФВЭ (г.Протвино), ОИЯИ (г.Дубна), DESY г.Гамбург) и др. Они также представлены и опубликованы в трудах следующих конференций:

• 1991 IEEE Particle Accelerator Conference (Сан-Франциско, США),

• 1991 IV Int. Workshop on High Energy Spin Physics (Протвино),

• 1993 IEEE Particle Accelerator Conference (Вашингтон, США),

• 1993 V Int. Workshop on High Energy Spin Physics (Протвино),

• 1994 Europe Particle Accelerator Conference (Лондон, Англия),

• 1994 Int. Symp. on High Energy Spin Physics (Блумингтон, США),

• 1995 IEEE Particle Accelerator Conference (Даллас, США) и др.

Io теме диссертации опубликовано 15 статей в препринтах, журналах и грудах конференций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из вве-(ення, пяти глав, заключения и приложения; она содержит 88 страниц [ечатного текста, включая 18 рисунков и список литературы из 54 на-[менований.

В первой главе, носящей характер введения, приводится сравнительный анализ методов, заложенных в компьютерные программы для >асчета равновесной степени поляризации в накопителях. Большинство [рограмм основано на использовании формулы Дербенева-Кондратенко, юзволяющей выразить степень равновесной поляризации через инте-ралы по азимуту и фазовому пространству от периодического решения

п уравнения движения спина и его производной по энергии Различия содержатся в способе нахождения п и, как следствие, в используемых допущениях. Существующие программы, моделирующие нелинейное спиновое движение, учитывают основной (для большинства задач) источник нелинейности, связанный с некоммутативностью последовательных поворотов спина. В SpinLie учитываются дополнительно влияние нели-нейностей собственно орбитального движения, а также частоты спиновой прецессии.

Во второй главе напоминаются необходимые понятия, связанные с Ли операторами, и обсуждается решение уравнения движения спина с применением техники этих операторов. В этой главе также получено разложение вектора частоты спиновой прецессии по компонентам вектора Z включающее члены до секступольного порядка. В дальнейшем это разложение используется для получения спиновых Ли операторов. Далее выводится матричное представление оператора спинового преобразования Завершает главу представление операторной формы правил композиции последовательных преобразований. Полученные правила композиции, совместно с матричным представлением оператора спинового преобразования, дают способ учета влияния возмущений замкнутой орбиты на спиновое движение, который описан ниже. Однако данные правила неудобны для получения однооборотного преобразования путем композиции последовательных преобразований, и в следующей главе выводятся правила используемые в SpinLie.

В третьей главе выводятся формулы композиции последовательных преобразований, которые используются в SpinLie для нахождения однооборотного преобразования. Метод определения периодического решения п уравнения'движения спина через однооборотное преобразовали« и правила его преобразования по азимуту являются принципиальным! для данного подхода, п определяется в виде вектора, компоненты которого являются полиномами нулевой, первой и второй степеней по орбитальным переменным. Рассмотрение способа учета влияния возмущения замкнутой орбиты, которое используется в SpinLie при нахождении однооборотного преобразования, и введение синхротронных декрементов i однооборотное преобразование, используемое при нахождении периодического решения, завершает главу.

В четвертой главе описано решение основных проблем, связанных < применением метода в практических расчетах. Полученные правила дл$ вычисления Ли операторов оказались довольно грамоздкими. Поэтом] возникла необходимость использовать систему аналитических вычислений REDUCE для проведения выкладок и проверки результатов. Обсу-

жденне вопросов формализации вычислений выражений для операторов начинает главу. Для их определения была написана специальная программа в системе аналитических вычислений REDUCE. В этой главе содержатся также, как пример, вычисленные Ли операторы для поворотного магнита, выражения для которых относительно просты и наглядны. Далее приводится алгоритм снмплектпческого трекинга, который позволяет сохранять снмплектнчность движения в практических расчетах, другими словами - допускает вычислительные шумы только гамильто-нового вида. Использование предложенного алгоритма исключает влияние вычислительных шумов на сохранение инвариантов движения, например, на характер изменения фазового обьема пучка, т.е. обеспечивает его сохранение в процессе вычислений. Далее обсуждаются алгоритмы, используемые в SpinLie для вычисления равновесной степени поляризации, равновесного разброса спинов в электронном и протонном пучках, спннового трекинга и анализа картины пересечения спиновых резонан-сов электронным и протонным пучками. Завершает главу иллюстрация короткого сеанса работы со SpinLie, которая дает представление о ее входном языке.

В пятой главе приводятся примеры спиновых расчетов для электронных машин ВЭПП-2М, HERA-e, спинового трекинга для протонного коллайдера RHIC и обсуждается вариант создания продольно поляризованных в месте встречи пучков в проекте С-TAU фабрики.

Отметим наиболее принципиальные моменты, обсуждаемые в этой главе.

Для правильного расчета схем с поляризованными пучками очень важно смоделировать реальные возмущения замкнутой орбиты и эмит-тансы пучков. Для этого в програму заложена возможность "разбрасывать" случайные ошибки полей элементов и их выставки. Затем возмущения орбиты компенсируются корректорами по положению орбиты в местах, где установлены мониторы положения пучка. В моделировании также учитываются ошибки измерения орбиты пикапами. Спиновая динамика изучается относительно полученной таким образом возмущенной орбиты.

Вторым важным моментом является правильный учет конечных размеров пучка, который является определяющим при нелинейных резонан-сах, а также в случае компенсации машинных резонансов (например, включением "сибирских змеек"). Для электронных машин бетатронные и энергетический эмиттансы рассчитываются на основании формализма шестимерных собственных векторов. Такой подход не учитывает эффект внутрипучкового рассеяния, который в некоторых ситуациях мо-

жет стать доминирующим. В этом случае, а также в случае протонных коллайдеров возможно внешнее задание нормализованных эмиттансов.

Как известно, при выборе разных типов симметрии магнитной структуры кольца подавляются различные спиновые резонансы. Поэтому расчеты картины этих резонансов для различных видов симметрии структуры накопителя являются хорошей проверкой правильности используемой для расчетов программы. В диссертации приведен пример такого моделирования для накопителя ВЭПП-2М, и полученные численные результаты находятся в полном соответствии с ожидаемыми.

Далее рассматриваются результаты моделирования для НЕ11А-е, включающие так называемую гармоническую спин-орбитальную коррекцию. Найдено хорошее согласие с экспериментальными измерениями поляризации в 1991-1993 г.г. Получено также хорошее соответствие с аналитическими оценками для соотношения вкладов нелинейности орбитального движения и некоммутативности последовательных спиновых поворотов в ширину спиновых резонансов. При этом результаты моделирования указали на возможность существенного сдвига спиновой частоты за счет отклонения орбиты в секступолях при гармонической спин-орбитальной коррекции. Этот результат, полученный впервые при численном моделировании, нашел подтверждение в последующих аналитических оценках.

Поскольку для протонов радиационная поляризация практически отсутствует, то поляризованные протонные пучки высокой энергии получаются за счет инжекции в ускоритель уже поляризованных пучков и последующего их ускорения. Возможную деполяризацию пучка при пересечении им в процессе ускорения спиновых резонансов можно изучать как по зависимости среднеквадратичного разброса спинов в пучке от энергии, так и по результатам прямого трекинга. Второй путь хотя и дает более прямые результаты, но требует большего компьютерного времени. В диссертации приведены примеры таких расчетов для протонного кол-лайдера ШПС, основанные на первом подходе. Результаты моделирования подтверждают ожидаемое подавление спиновых резонансов двумя " сибирскими змейками". Другой рассмотренный пример — картина пересечения спиновых резонансов, рассчитанная непосредственно с помощью спинового трекинга. Полученные результаты находятся в полном соответствии с формулой Фруасстар-Стора. Таким образом, доказана применимость программы (и правильность подходов, на которые она опирается) для изучения спиновой динамики в протонных коллайдерах.

Завершает главу обсуждение варианта обеспечения экспериментов с продольно поляризованными в месте встречи пучками в проекте C-TAIJ фабрики.

В приложении обсуждается аппарат специальных V— функций, использование которых позволило:

-упростить и формализовать выкладки и перенести их на систему аналитических вычислений REDUCE;

-улучшить численную точность вычислений;

-избавиться от необходимости работы с комплексными числами.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Список работ, опубликованнь1Х по теме диссертации:

1. Ю.И. Эйдельман, В.Е. Якименко, Расчет движения спина электрона в нелинейной магнитной системе накопителя с использованием техники Ли операторов. Препринт ИЯФ 90-127, Новосибирск,

(1990).

2. Ю.И. Эйдельман, В.Е. Якименко, Расчет орбитального движения в нелинейной магнитной системе накопителя с использованием техники Ли операторов. Препринт ИЯФ 91-6, Новосибирск, (1991).

3. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., The Spin Motion Calculation Using Lie Method in Collider Nonlinear Magnetic Field. Proc. of the 1991 РАС, San Francisco, USA, vol.1, pp.269-271, (1991).

4. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., Code SpinLie - the Code For

Calculation of Polarization in Collider Using Lie Operator Method, Proc. of the IV Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino,

(1991).

5. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., Calculation of the HERA Polarization Using Computer Code SpinLie, Proc. of the V Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, (1993).

6. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., Calculation of the Lie Operators for Beam Transport Elements, CER.N SL/93-52 (AP) Geneva, Switzerland (1993).

7. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., The Applications of Lie Method to the Spin Motion in Nonlinear Collider Fields, Particle Accelerators, 45, pp.17-35 (1994).

8. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., SPIN LIE - New Computer Code For Polarization Calculation, Proc. of the 1993 PAC, Washington, USA, vol.1, pp.450-453, (1994).

9. Eidelman Yu.I., Shatunov Yu.M., Yakimenko V.Ye., Spin Tune Shifts and Closed Orbit Distortions, Proc. of the EPAC-94, London, UK, vol.2, pp.947-949, (1994).

10. Eidelman Yu.I., Shatunov Yu.M., Yakimenko V.Ye., Spin Physics and Lie Algebra Technique, Proc. of the Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Blooniington, (1994).

11. Eidelman Yu.I., Yakimenko V.Ye., Calculation of Orbital and-Spin Lie Operators, Particle Accelerators, (1995).

12. Eidelman Yu.I., Shatunov Yu.M., Yakimenko V.Ye., Spin Tune Shifts in Storage Rings, Nucl. Instr. Meth., A 357, pp. 23-33 (1995).

13. Shatunov Yu.M., Yakimenko V.Ye., Simulation of the Acceleration of Polarized Protons In Circular Accelerators, Proc. of the 1995 PAC and ICHEA, Dallas, Texas (1995).

14. Dikansky N.S., Parkhomchuk V.V., Skrinsky A.N., Yakimenko V.Ye., Novosibirsk Tau-Charm Factory Design Study, Proc. of the 1995 PAC and ICHEA, Dallas, Texas (1995).

15. Yakimenko V.Ye., Magnetic Structure of The Novosibirsk TAUCHARM Factory, Proc. of the VII Adv. ICFA Beam Dynamics Workshop, JINR, DUBNA (1995).