Применение рядов с ускоренной сходимостью при решении задач на собственные значения для механических систем пакетной компоновки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

\1> '-'. г

Г,-

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ВОРОНКОВ Владимир Николаевич

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ С УСКОРЕННОЙ СХОДИМОСТЬЮ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПАКЕТНОЙ КОМПОНОВКИ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Центральном научно-исследовательском инстуте машиностроения

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор В.П. Шмаков

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.И. Лиходед доктор технических наук, профессор Г.И. Пшеничнов

Ведущая организация: Институт физико-технических проблем РАН

Защита диссертации состоится " " 199^ г.

в № час. 0$__ мин. на заседании специализированного 'Совета Д 002.32.01 при Вычислительном Центре РАН по адресу: 117967, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН, в конференц - зале.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.И. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физико-математических наук

Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблем. При создании и проектировании современных носителей космических аппаратов и космических транспортных систем важную роль играют проблемы динамики, связанные с обеспечением устойчивости движения и прочностью конструкции. В частности, к таким проблемам относится определение динамических характеристик объектов, т.е. их собственных'частот, форм и приведенных масс.

Анализ динамики пространственных систем представляет сложную задачу, т.к. их устройство и компоновочная схема постоянно усложняется, увеличиваются размеры, уменьшается относительная жесткость конструкции, растут массы жидкости и т.д.

Решение этих задач существующими и широко применяемыми методами такими, как метод конечных элементов или метод начальных параметров, приводит к громоздким расчетам.

В то же время имеется ряд особенностей рассматриваемых конструкций, учет которых может существенно облегчить расчет. В конструировании современных космических систем имеется тенденция компоновать систему из отдельных, конструктивно завершенных блоков. Число физически различных блоков, даже для сложных объектов, обычно невелико, а в их компоновочной схеме имеется симметрия. Поэтому представляется важным создание экономичного метода, учитывающего эти особенности.

Цель работы. Настоящая работа посвящена созданию эффективного метода расчета динамических характеристик механических систем, учитывающих упомянутые выше . особенности рассматриваемых объектов.

В математическом плане это означает создание метода расчета собственных чисел и функций регулярного линейного дифференциального оператора в обыкновенных производных,

описывающего систему, по известным собственным функциям подсистем.

Научная новизна. Разработанный в работе метод объединяет следующие составные части:

представление колебаний блоков в виде комбинации гармонических откликов на единичное воздействие;

синтез динамических характеристик системы, осуществляемый на основе использования соотношений связи между блоками;

способ ускорения сходимости разложений откликов путем введения корректирующих ¿устраняющих .разрывы в производных, вызванных действием связей) функций;

нахождение корректирующих функций путем задания краевых задач и разработка численных методов их решения;

использование свойств симметрии конструкции для разделения собственных колебаний системы на более простые варианты колебаний и максимально возможного понижения порядка решаемых задач.

Совокупность этих составных частей определяет научную новизну.

Практическая ценность. Разработанный метод является достаточно универсальным и может быть применен к широкому кругу задач механики.

Развитые в работе подхода не только решают задачи динамики, но и закладывают основы для решения обратных задач (например, определения параметров системы по значениям форм, заданных в отдельных точках).

Апробация работы. Материалы, изложенные в диссертации , докладывались на IV симпозиуме "Колебания упругих конструкций с жидкостью" ( Новосибирск, 1975) и на VI научно -технической конференции МГТУ им. Баумана (Москва, 1990).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, она изложена на 150 страницах машинописного текста , включая 7 рисунков , 12 таблиц и библиографию 81 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, отмечены трудности, возникавшие при построении метода, пути их преодоления и приведено краткое содержание отдельных глав.

Первая глава посвящена изложению общей схемы метода расчета динамических характеристик составной конструкции по парциальным характеристикам отдельных блоков.

В разделе 1.1 сформулирована краевая задача, описывающая собственные колебания системы Ь(и) - \ и = 0 ,

М и |г = 0 , ( 1 )

. Мси |г = 0 ,

с

где Ь(и) - линейное самосопряженное дифференциальное выражение в обыкновенных производных, \ - собственное число задачи, НиМс- граничные условия и условия связи между блоками, Г и Ге - совокупность граничных точек и точек, в которых заданы связи, и - вектор - функция. Ее решение ищется в виде рядов по собственным формам колебаний базовых задач, в качестве которых выбираются колебания отдельных блоков (без учета связей с другими). Колебания каждого блока представляются в виде разложений, в которые вводятся аддитивные добавки, называемые корректирующими функциями.

и^1! + Е 15к1фк , 1 = ГПТ , ( 2 )

к

где N - число блоков. Получены формулы для коэффициентов этих разложений.

В разделе 1.2 изучается- характер сходимости полученных разложений, и дается асимптотическая оценка их сходимости. Для каждого блока, каждой точки крепления связи и каждого вида условий связи формулируются краевые задачи для нахождения корректирующих функций 1 из соображений улучшения сходимости этих разложений.

ЬГ = Е Ак(рк, для всех к, при которых ^ = 0 ,

М Пг = О ,

, х *0 х -О

^ 1хр_0 = 1 ' Г 'хЧ-0 = 0 • < 3 )

Р ч

з * г, ш * п, р * q,

(Г,Фк) = О , для всех к, при которых цк = О , где хр - точки, в которых имеются связи, индексы 8 и ш соответствуют компоненте и виду условий, задаваемых соотношениями связей, с^- собственные функции базовых задач. С помощью формулы Лагранжа получены аналитические выражения для коэффициентов разложения с учетом вида корректирующих функций.

А, ^ (ХР)

^= и: тг^лпр2 • ^"0 • (4 5

где - собственные числа базовой задачи, Н^. - результат вычисления по формуле Лагранжа.

В разделе 1.3 осуществляется синтез собственных частот и форм колебаний системы с использованием соотношений связи. Корректирующая функция для каждого блока представляется в виде линейной комбинации корректирующих функций, каждая из которых соответствует точке, в которой имеются связи и виду воздействия (силе или моменту), которые действуют в этой точке. Колебания блоков удается представить в виде конечных линейных комбинаций величин, называемых гармоническими откликами (представленными рядами). Эти комбинации откликов подставляются в уравнения, описывающие действие связей. Полученная система линейных однородных алгебраических уравнений (точнее, условие ее разрешимости в виде равенства

йег В (А.) = 0 , •( 5 )

где элементы матрицы В1 ^ (М ) относительно

коэффициентов линейных комбинаций в • силу того, что ее элементы являются функциями собственного числа системы, используется как соотношение для нахождения собственных чисел, механической системы, описываемой задачей (1 ).

Используя полученные результаты, в разделе 1.4 строится общая схема метода. В пространстве вектор - функций задается

линейный дифференциальный оператор, описывающий поведение системы. Все пространство представляется в виде прямой суммы подпространств. Предполагается, что оператор системы в каждом из подпространств представляется независимым дифференциальным выражением и краевыми условиями. Объединение в систему осуществляется линейными однородными соотношениями связи.

Общая краевая задача на собственные значения порождает в подпространствах дифференциальные уравнения с параметром, уи,) -Н, = 0 , 1 = Т7Я . ( 6 )

Вводится понятие гармонического отклика как частного линейно независимого решения этого уравнения, удовлетворяющего краевым условиям, но имеющим в точках крепления связей единичные скачки самой функции или ее производных.

\ (Ф) - X Ф = 0 ,

М.Ф |г = 0 ,

1 ' 7 )

х *0 , , X '

Ф3,т'|До = 1 . Ф 1х% = 0 .

Р ч

где т*п, Ф - гармонические отклики, га - порядок производной, в - номер компоненты отклика, 1 = ГЛТ.

Общее решение каждого уравнения является линейной комбинацией откликов с неопределенными коэффициентами

и. (х) = Е 'СГ Ха.х) , ( 8 )

р, г р р

где индекс р отвечает точкам крепления связи, г - всем возможным видам откликов.

Синтез собственных чисел и собственных функций оператора, описывающего систему, производится подстановкой этих комбинаций в соотношения связи. Собственные числа определяются из условия равенства нулю определителя 15) получаемой линейной однородной системы алгебраических уравнений. При каждом найденном значении собственного числа эта система определяет п - г (где п - порядок системы , г -ее ранг) наборов значений коэффициентов линейной комбинации откликов (8) и, соответственно, п - г собственных функций

оператора системы (1), отвечающих рассматриваемому собственному числу.

Для нахождения гармонических откликов (7)

дополнительно предполагается, что пространство вектор функций является гильбертовым, а оператор системы и порождаемые им операторы Ь1 (без учета связей) в подпространствах - регулярные самосопряженные операторы. Вводятся корректирующие функции 1 такие, что Ф - I принадлежат областям самосопряженности операторов в подпространствах, где Ф - гармонические отклики. Эти разности представляются равномерно сходящимися рядами. Для нахождения корректирующих функций формулируются краевые задачи (3). По формуле Лагранжа с учетом этих краевых задач получены формулы для коэффициентов рядов (2) и улучшена их сходимость. Отдельно рассмотрены собственные числа системы, являющиеся собственными числами блоков. Для нахождения таких собственных чисел отдельно сформулированы краевые задачи. В заключение получены формулы, позволяющие находить квадраты норм собственных функций через коэффициенты разложения в ряды и коэффициенты линейных комбинаций.

Вторая и третья главы посвящены наиболее важному моменту метода - нахождению корректирующих функций.

Во второй главе рассматривается нахождение корректирующих функций для очень важного случая - для независимых отдельных видов колебаний. В этом случае разложения для каждого вида колебаний строятся отдельно, соответственно, коэффициенты разложений и сходимость этих рядов различна.

В разделе 2.1 рассмотрено нахождение корректирующих функций для продольных колебаний. Сформулирована краевая задача о собственных продольных колебаниях стержня без осцилляторов, приведена формулировка базовой задачи, по собственным функциям которой разложены колебания стержня. Формулируется краевая- .задача для нахождения корректирующих функций, определено значение константы, входящей в ее формулировку

А = 1 / || Ф0Ц2. ( 9 )

где ф0 отвечает значению ц = 0 базовой задачи. Получены формулы для коэффициентов разложения, рассмотрены различные варианты граничных условий.

В разделе 2.2 рассмотрен случай продольных колебаний

стержня с осцилляторами (но не с осцилляторами общего вида,

которые расположены от оси стержня на некотором расстоянии).

Скалярное произведение в этом случае имеет вид 1

(и,у) = /тиус1х + М(и+ йи)|х(7 + ( 10 )

О зз

где хз- точка крепления, М , z - масса и относительное смещение осциллятора. Выписаны уравнения колебаний, условия ортогональности форм базовых задач, получены формулы для коэффициентов разложения и сформулирована краевая задача для. нахождения корректирующих функций.

Скорость сходимости разложений для различных видов колебаний различна. Чтобы в соотношении для определения собственных частот системы были ряды с одинаковой скоростью сходимости, в разделе 2.3 рассмотрен способ многократного ускорения сходимости рядов. Для этого корректирующая функция представляется в виде отрезка ряда по степеням собственных чисел системы с коэффициентами в виде функций, обеспечивающих многократное улучшение сходимости.

Г = Г0 + Л, + Ь212. ( 11 )

где Г4 - корректирующие функции для обеспечения 1 - кратной сходимости. Формулируются краевые задачи для нахождения этих функций, рекуррентно определяющие функции Г1 через Г4_1. Получены формулы для коэффициентов разложений.

' \ з

Бк= [—] а - цк) и фцД2* к = (12 >

В разделе 2.4 разработан численный метод нахождения корректирующих функций при продольных колебаниях, позволяющий единообразным образом находить корректирующие функции при многократном улучшении сходимости. Метод основан на замене переменных параметров стержня кусочно-постоянными функциями,

- в -

точном решении уравнений на каждом интервале их постоянства, замене краевой задачи на задачу Коши и решения задачи при нулевых условиях, задаваемых на одном конце стержня. Полученное решение нормируется с помощью условия

(Г.%> = О , ( 13 )

содержащегося в формулировке краевой задачи для корректирующей функции. Приводится таблица, позволяющая наглядно представить все действия, необходимые для нахождения корректирующей функции при ускорении сходимости любой кратности.

В разделе 2.5 рассмотрено нахождение корректирующих функций для поперечных колебаний стержня. Сформулирована краевая задача для поперечных колебаний стержня , приведена базовая задача, получены формулы для коэффициентов разложения . Из соображений улучшения сходимости рядов выбираются условия краевых задач для нахождения корректирующих функций , которых в этом случае для каждой точки крепления связей две (для сил и моментов), . определены значения констант, входящих в эти задачи.

В разделе 2.6 разработан численный метод нахождения корректирующих функций при поперечных колебаниях, аналогичный методу, изложенному в разделе 2.4.

Третья глава посвящена нахождению корректирующих функций при наличии осцилляторов общего вида (осцилляторов, расположенных^ на некотором расстоянии от оси стержня). В этом случае все виды колебаний взаимно завязаны и корректирующие функции приобретают векторный характер.

В разделе 3.1 приведены уравнения смещений осцилляторов и соотношения для вызываемых ими скачков в силах и моментах.

В разделе 3.2 приводится система уравнений пространственных колебаний стержня, вводится соответствующее этому случаю скалярное произведение

(П.у) = ]> $ т^Ч1^ +

- , , ~ , , _ ( 14 )

где й - вектор, компоненты которого и1 описывают все виды колебаний стерхня , компоненты а^ все относительные смещения осциллятора, а величины и *(хя) означают перемещения точки подвеса осциллятора, закрепленного в сечении хя стержня. Приводятся собственные функции базовой задачи, отвечающие собственному числу, равному нулю, вычисляются их взаимные скалярные произведения (в этом случае не обязательно равные нулю).

В разделе 3.3 получена формулировка краевой задачи для нахождения корректирующих функций, которых в этом случае для каждой точки крепления связей будет шесть (для продольных, крутильных и по две для поперечных в двух плоскостях колебаний).

В разделе 3.4 константы, входящие в формулировку краевой задачи для корректирующей функции , определяются посредством решения системы линейных алгебраических уравнений шестого порядка с правыми частями. Произведено аналитическое вычисление этих правых частей.

В разделе 3.5 обобщается численный метод , изложенный в главе 3, приводится способ нормировки корректирующей функции путем решения системы линейных алгебраических уравнений шестого порядка с правыми частями, указан экономный способ вычисления правых частей.

В разделе 3.6 , используя результаты разделов 3.1 - 3.5, получены формулы для коэффициентов разложения решения исходной задачи посредством преобразования (интегрированием по частям ) каждой компоненты и их последующего суммирования.

5*=[ Л*^]/*' ^ ^ = (15)

А.

Б. = -— 2 У СГ (зс > . к = Т7=.

где индексом р занумерованы сечения на стержне, в которых имеются связи, индексом т - все виды воздействия, задаваемые связями, А - константы, вычисленные в пункте 3.4, 0 -неопределенные коэффщиенты (вычисляются при решении системы

линейных алгебраических уравнений В(А,) * <3 = 0), м^, (р^ -собственные числа и собственные функции базовых задач,

(хр) - значение одной из компонент <рк или ее

производной <р1к (в зависимости от значения индекса ш ) в точке крепления связи хр. Коэффициенты разложения при этом единые для всех видов колебаний.

Четвертая глава посвящена применению разработанного метода к решению задач механики, в частности, к механическим системам, имеющим в своей конструкции динамическую симметрию.

В разделе 4.1 рассмотрены конструкции пакетной компоновки, состоящие из удлиненных блоков, расположенных параллельно друг другу и соединенных. в отдельных точках боковых поверхностей. Приведена краевая задача для пространственных колебаний свободных блоков, условия подвеса осцилляторов.

В разделе 4.2 приведены сотношения связей (как центральных, так и боковых), связывающих блоки. Действие связей представлено набором пружин, работающих на растяжение - сжатие и на поворот. Каждая центральная связь представлена шестью пружинами, боковая - одной. Приведены выражения для скачков в силах и моментах, вызываемых действием связей.

В разделе 4.3 рассмотрены колебания конструкции, имеющей более двух плоскостей динамической симметрии. Общие соотношения связи разделены на четыре варианта (более простой структуры и с меньшим порядком), соответствующе четырем типам собственных колебаний, возможных - в таких системах. Выписаны отвечающие этим вариантам выражения скачков в силах и моментах через смещения и углы поворота.

В разделе 4.4 рассмотрена симметричная система с независимыми видами колебаний <бес осцилляторов общего вида.. Приведены представления колебаний через комбинации гармонических откликов, аналитические формулы для этих откликов и с их помощью получены системы линейных однородных алгебраических уравнений для нахождения собственных чисел и

форм при описанных выше вариантах колебаний.

В разделе 4.5 приведены формулы , позволяющие заменить действие симметричных (парных) боковых связей действием эквивалентной им центральной связи и тем самым еще понизить порядок решаемых частотных соотношений.

В разделе 4.6 приведен численный расчет симметричной пакетной конструкции, не имеющей осцилляторов общего вида. Рассмотренная конструкция состоит из осевого и трех одинаковых боковых блоков. Боковые блоки расположены по окружности симметрично вокруг центрального через одинаковые угловые расстояния, каждый из них связан с центральным в двух поясах связи. В каждом поясе имеются как центральные , так и боковые связи. Каждый блок имеет полости, частично заполненные жидкостью и упруго подвешенные массы. Жесткостные и массовые характеристики брались кусочно - постоянными.

Расчет производился в диапазоне от 0 до 10 гц. Приведены результаты расчетов собственных чисел для всех четырех вариантов колебаний, произведено их сопоставление с контрольным расчетом, полученным другим методом (методом начальных параметров). Для одного из тонов привоятся расчеты смещений, углов поворота сечений, моментов и сил и производится их сопоставление с расчетами, полученными' по методу начальных параметров. Для этого же тона приводятся коэффициенты разложения по всем видам колебаний для центрального и боковых блоков. Чтобы уравнять скорости сходимости рядов, у продольных колебаний производилось трехкратное ускорение сходимости.

По всем видам колебаний в расчете бралось по пять тонов. Расчет производился с помощью программы на алгоритмическом языке РОКЕШ-П на ЭВМ БЭСМ - 6, ЕС - 1060, ЕС - 1066. Время расчета на ЕС- 1060 - 2,5 мин., на ЕС - 1066 - около 20 сек. Показана высокая степень совпадения результатов расчета с контрольными, вниолношшми по методу началышх параметров.

В разлило 4.7 рассмотрена конструкция, состоящая из двух блоков с осцилляторами общего вида, имеющая одну плоскость

динамической симметрии, проходящую через оси блоков. На одном стержне имеются только обычные осцилляторы, на.другом - два симметрично (относительно плоскости динамической симметрии) расположенных осциллятора общего вида. Поясов связи два, связи как центральные, так и боковые.

Получены два варианта соотношений связи, отвечающих симметричным и антисимметричным колебаниям, выписаны соответствующие системы линейных алгебраических уравнений, определяющих собственные частоты и формы системы.

Произведен полный расчет этой конструкции. Приведены значения восьми симметричных тонов колебаний, произведено их сравнение с контрольными величинами, полученными по методу начальных параметров, показана высокая степень совпадения результатов. Приведен первый тон симметричных колебаний, произведено его сравнение с контрольным. Для обоих блоков приведены коэффициенты разложения рядов. Для контроля ортогональности получаемых форм приведенна матрица Грама, составленная по восьми симметричным тонам.

Основные результаты, полученные в работе:

1. Разработан метод нахождения динамических характеристик системы блоков по динамическим характеристикам отдельных блоков. Синтез частот и форм системы осуществлен на основе использования соотношений связи. Колебания блоков (без учета их связи с остальными) представлены в виде линейных комбинаций гармонических откликов, отвечающих всем тем видам воздействия, которые задаются соотношениями связи. Гармонические отклики при этом трактуются как линейно независимые решения дифференциального уравнения (описывающего колебания системы ) с параметром, удовлетворяющие краевым условиям, но имеющим единичные скачки в одной какой - либо производной. Для нахождения откликов сформулированы краевые задачи.

2. Разработан метод улучшения сходимости рядов, представляющих собственные колебания системы, с помощью введения в разложения корректирующих функций. Корректирующие функции позволяют выделить особенности' решения задачи и его

производных, вызванные действием связей. Для нахождения корректирующих функций сформулированы краевые задачи и разработаны численные методы их решения. С учетом условий этих задач получены коэффициенты разложения рядов, позволяющие осуществлять многократное улучшение сходимости этих рядов.

3. Метод применен к конструкциям пакетной компоновки, в которых блоки схематизированы стержнями с осцилляторами общего вида. Такая схематизация позволяет охватить широкий круг носителей космических аппаратов и космических транспортных систем. Характерной чертой этих систем является то, что колебания- в таких конструкциях имеют сложную структуру, все виды колебаний взаимосвязаны.

4. При изучении пакетных конструкций систематически используются свойства динамической симметрии рассматриваемых объектов, что позвояет. довести порядки изучаемых частотных соотношений до минимально возможных величин.

5. Метод реализован в виде комплекса программ на алгоритмическом языке FORTRAN - IV . С их помощью проведены расчеты конкретных пакетных конструкций, блоки которых имеют баки с жидкостью, осцилляторы общего вида ,и в компоновочной схеме которых имеются плоскости динамической симметрии. Получены частоты, формы и приведенные массы. Произведено сравнение результатов расчетов с результатами, полученными по методу начальных параметров. На примере этих расчетов продемонстрирована высокая эффективность метода при вычислениях на ЭВМ.

6. Отметим некоторые полезные свойства метода.

Метод и структура реализующих его программ позволяет при изменении части конструкции или отдельных блоков изменять только соответствующую им часть информации, сохраняя остальную неизменной.

Метод позволяет производить расчет конструкции только в наперед заданных точках стершей. При этом знать характеристики блоков необходимо только в этих же точках.

Минимально необходимой информацией являются значения характеристик блоков в точках крепления связей.

Метод позволяет сменить вид рассматриваемых, краевых условий конструкции, не изменяя набора форм и частот блоков. Например, можно определять колебания свободной конструкции по характеристикам блоков, один конец которых закреплен. Такая возможность достигается посредством введения дополнительных корректирующих функций для точек, в которых изменяются граничные условия.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Воронков В.Н. Исследование математической модели процессов тепломассопереноса. // Активируемые процессы технологии микроэлектроники. Таганрог, ТРТИ, 1984, вып. VII.

2. Воронков В.Н. Метод расчета распространения тепла в системе тел, между которыми возможен теплообмен . // Актуальные проблемы микроэлектроники. Таганрог, ТРТИ , 1990, вып. 1.

3. Воронков В.Н. О быстром обращении преобразования Лапласа. Шур. выч. мат. и матем. физ., т. 18, N 4, 1978.

4. Воронков В.Н., Шмаков В.П. О представлении динамических характеристик балки на упругих опорах через характеристики свободной балки. // Колебания упругих конструкций с жидкостью, М.:ЦНТИ "Волна", 1980.