Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности в бесконечномерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1.1. Предварительные сведения.

§ 1.2. Теорема о 4 -дифференцируемое™ в точке неявной функции и ее непрерывности в окрестности точки.

§ 1.3. Пространство

§ 1.4. Пространство л / / *ч \

§ 1.5. Пространство

ГЛАВА П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ.

§ 2.1. Существование и единственность решения задачи Коши.

§ 2.2. Резольвента Я (ь,и ее свойства.

ГЛАВА Ш. ТЕОРЕМЫ О СТРОГОЙ 4-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (оду) ПО СОВОКУПНОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПРАВОЙ ЧАСТИ.

§ 3.1. Теорема о строгой ^-дифференцируемое™ решения ОДУ по начальному условию и правой части.

§ 3.2. Теоремы о строгой -/-дифференцируемое™ решения ОДУ по совокупности аргументов.

§ 3.3. Теорема о строгой ^-дифференцируемоети продолженного решения ОДУ по совокупности начальных данных и правой части.

ГЛАВА 1У. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ КРИТИЧНОСТИ И ПРИЛОЖЕНИЕ

К ОПТИМАЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ.

§ 4.1. Необходимое условие критичности.

§ 4.2. Конкретные формулы вариации.

Математическая теория оптимального управления (как важная составная часть современной теории экстремальных задач) возникла во второй половине 50-х годов. Центральным достижением современной теории оптимального управления, занимающейся неклассическими задачами (т.е. задачами минимизации функционалов в случае, когда точка минимума находится на границе рассматриваемой области ) является принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума, сформулированный Л.С.Понтрягиным, был установлен вначале для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений ( ОДУ) Гамкрелидзе Р.В. /24/.

Доказательство принципа максимума для нелинейных систем, как и ряд дальнейших результатов об оптимальных процессах /II/ в общем нелинейном случае, принадлежит Болтянскому В.Г. /9/.

Первоначальный набросок теории оптимального управления был изложен в /8/ и в обзорной статье Понтрягина Л.С. /58/, затем теория оптимального управления для ОДУ составила содержание основополагающей монографии /60/, давшей толчок бурному развитию всего направления исследований, связанных с экстремальными задачами.

Завершенная теория линейных систем была разработана Кра-совским H.H. /43/.

Исследования по необходимым условиям экстремума в последние годы связаны в основном со следующими направлениями:

- разработка абстрактных вариантов теорий принципа максимума и их применение к разным задачам;

- получение необходимых условий экстремума высших порядков, их приложение к дифференциальным уравнениям разных типов;

- дальнейшее распространение теорий и методов оптимального управления на задачи: с ОДУ в бесконечномерных пространствах; с дифференциальными уравнениями в частных производных ( ДУЧП); с интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ); со стохастическими дифференциальными уравнениями ( СДУ ) и т.д.

Остановимся на этих направлениях чуть подробнее.

Одни из первых теорий первого направления, охватывающие разные типы конкретных ситуаций, были построены в работах Гам-крелидзе Р.В. и Харатишвили Г.Л. /89/, /25/, Neustadt l.w. и Haikin н. /94/, /95/, /91/ (см. также /II/, /40/, /64/).

Весьма общий метод получения необходимых условий экстремума был развит в работах Дубовицкого А.Я. и Милютина A.A. /33/, /36/. С помощью этого единого функционально-аналитического подхода в книге Гирсанова И.В. /27/ выводятся необходимые условия экстремума для ряда задач - от принципа максимума Понт-рягина в теории оптимального управления до теории двойственности в линейном программировании. Построению абстрактной теории принципа максимума для задач со смешанными ограничениями была посвящена статья /37/. Она ориентирована на применение к задачам оптимального управления достаточно общего вида, возникающих при исследовании ряда сложных экономических проблем.

Исследования такого же абстрактного и общего характера отражены в работах Якубовича В.А. /82/, /83/, /84/. В них был предложен новый вариант абстрактной теории принципа максимума, а в /52/ была показана плодотворность таких теорий на примере задач из оптимального управления с ДУЧП (см. также /53/).

Путем введения новых способов локальной аппроксимации множеств конусами, а нелинейных отображений - линейными и сублинейными, работе Сухинина М.Ш./71/ получен принцип Лагранжа для достаточно широкого класса задач в топологических векторных пространствах, позволяющий в то же время охватить некото- • ' рые, не дифференцируемые по Фреше или по Гато ни в одной точке, отображения и, таким образом, в случае банаховых пространств не сводящийся к обычному принципу Лагранжа (а строго обобщающий его) (см. также /69/, /7/).

По-видимому, одними из первых работ, в которых предлагалась общая схема для получения необходимых условий высших порядков в неклассических задачах, были /34/, /35/ (см. /45/).

Работы, посвященные условиям высших порядков,среди которых отметим здесь работы Kelley H.J., Kopp R.E., Moyer H.G. /92/, Габасова Р. и Кирилловой Ф.М. /20/, /22/ (см. /19/), Аграчева A.A. и Гамкрелидзе Р.В. /3/ - /5/, Krener a.j. /93/ восходят к принципу максимума Понтрягина. Аналогично игольчатым вариациям Понтрягина, вариациям первого порядка, вводятся игольчатые вариации высших порядков, так называемые пакеты вариаций, и множеству пакетов вариаций данного порядка соответствует необходимое условие - принцип максимума данного порядка, который доказывается аналогичено принципу максимума Понтрягина.

Отметим еще результаты, полученные в /54/. Они относятся к общей теории условий экстремума высших порядков. С их помощью выводится квадратичное необходимое условие слабого экстремума для гладких задач оптимального управления, не содержащих локальных ограничений типа неравенства.

Большое значение имеют приложения методов и теории экстремальных задач к оптимальному управлению системами, описываемыми дифференциальными уравнениями разного типа: ОДУ, ДУЧП, ИДУ, СДУ и др. По этим вопросам имеется огромная литература.

Особенно хорошо изучены задачи оптимального управления с ОДУ как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах (см. /60/, /43/, /25/, /40/, /26/, /6/, /10/, /46/, /17/, /21/, /18/, /77/, /38/;.

Многие вопросы оптимальных проблем с ДУЧП получили подробное освещение в монографиях Лионса Ж.-Л. /47/, Бутковско-го А.Г. /13/, /14/ (см. /15/) и Лурье К.А, /49/ (см. также /38/). Центральной задачей в этих работах является распространение необходимых условий типа принципа максимума Понтрягина на оптимальные задачи с ДУЧП.

Общий метод, направленный в основном на задачи с частными производными, был предложен в работе Плотникова В.И. /57/. .

В /23/ получены другие результаты по необходимым условиям оптимальности второго порядка для систем ДУЧП (см. также /52/).

Теория и методы решения минимизации в конечномерных пространствах, принцип максимума и динамическое программирование в задачах оптимального управления процессами, описываемыми ОДУ, а также бесконечномерные экстремальные задачи хорошо изложены, например, в монографиях Васильева Ф.П. /17/, /18/.

Численным методам в экстремальных задачах посвящены монографии /17/, /18/, /55/, /61/ и др.

Распространению необходимых условий оптимальности управления на задачи с запаздыванием посвящены работы /73/, /16/, /76/, /56/ и др.

С задачами оптимального управления с СДУ можно ознакомиться, например, в работе /75/.

Важным математическим аппаратом в теории экстремальных задач является выпуклый анализ. К настоящему времени наиболее полно изучены задачи минимизации выпуклых и гладких функций, а также минимаксные задачи /28/.

Достаточно полное изложение конечномерного выпуклого анализа и его применения в задачах на экстремум имеется в книге Рокафеллара /66/.

С бесконечномерным выпуклым анализом и его приложением к экстремальным задачам можно ознакомиться, например, в работах Иоффе А.Д. и Тихомирова B.C. /40/, Алексеева В.М., Тихомирова В. M . и Фомина C.B. /6/, Пшеничного Б.Н. /63/, /64/ и др.

В выпуклом анализе существенную роль играет понятие субдифференциала (см. /90/, /64/, /40/^.

Предпринимаются попытки распространить понятие субдифференциала на другие классы негладких функций. Среди этих попыток следует отметить работу Кларка /87/, в которой приведено понятие производной по Кларку, Рокафеллара /96/, Варги Дж. /16/, Кусраева А.Г. /44/.

Введенные ими субдифференциалы позволяют изучить ряд важных свойств липшицевых функций. Однако, не всегда пригодны с точки зрения оптимизации. Верхние выпуклые аппроксимации из /62/ (см. /45/) предназначены для задач минимизации и пригодны для произвольных липшицевых функций.

В /29/, /31/, /64/ было введено понятие квазидифференци-руемой функции и установлен ряд свойств таких функций. Класс квазидифференцируемых функций более узок, чем класс липшицевых функций, но достаточно широк с точки зрения приложения.

В /29/ - /31/ рассматривалось обобщение результатов из /64/ для квазидифференцируемых функций.

Как известно, теорема о неявной функции играет большую роль в теории экстремума. С результатами по необходимым условиям экстремума с использованием теорем о неявной функции можно ознакомиться по исследованиям, проведенным в /II/, /40/, /7/, /32/ и др.

Ряд результатов, и достаточно общих, без использования теорем о неявной функции, был получен в /88/ (см. /85/, /86/).

Интересная область приложений необходимых условий экстремума и, в частности, оптимального управления представляет собой математическая экономика. По-видимому, возможность исследования в этой области далеко не исчерпана. С этой проблематикой можно ознакомиться, например, по работам /74/, /51/ и др.

Диссертация посвящена исследованию необходимых условий оптимального управления (принципа максимума Понтрягина и условий трансверсальности ) системами, описываемыми ОДУ типа

I) и. - управление) в бесконечномерных пространствах.

Основным моментом в доказательстве принципа максимума и условий трансверсальности является теорема о непрерывной и дифференцируемой зависимости решения уравнения (I) от совокупности начальных данных и правой части О , где концы отрезка времени, на котором рассматривается задача; 0С± - эс (Ч.1) - начальное условие; ( - правая

часть.

Следует заметить, что в практических задачах чаще всего приходится иметь дело с разрывными по t ( t - время) функциями (t, х, tt(t>) , поскольку U (t) , как правило, бывает разрывной. Поэтому возникает потребность исследований таких ОДУ в случае измеримых по t. правых частей

Этот вопрос исследовался в разных ситуациях многими авторами. Отметим лишь некоторые из них.

В математической литературе излагаются различные варианты теоремы о дифференцируемой и непрерывной зависимости решения ОДУ от начальных данных и правой части.

В классическом виде она доказана, например, в /59, с.172/, где X е IR , feIR , а Т и л х непрерывны по совокупности аргументов на Сг С. \R х (R. .

В /40, с. 69/, /6, с. 195/ приводятся аналоги этой теоремы в случае, когда f(t}x.) удовлетворяет условию типа Каратеодори на G- С А х U , где

Л с Г, 1/сГ в следующем смысле: почти при каждом "Ь £ А отображение ^ ь ^ непрерывно дифференцируесо на \J , а при каждом ос £.U отображение измеримо на ^ • В /41, с. 160/ излагается вариант теоремы о дифференцируемое™ в случае банаховых пространств, где "f х) и fx ) непрерывны по норме на 6- С (R х X (Х- банахово пространство^.

В /70/ доказана теорема о дифференцируемости решения ОДУ по начальному условию в локально выпуклом пространстве £л.в.п.)

Х^, полученном наделением банахова пространства X подходящей локально выпуклой топологией 6 (л.в.т.), удовлетворяющей некоторым условиям, причем и х ) непрерывны в некотором смысле на открытом множестве &-С 1Л*Х см. также /25/, /26/, /73/).

В /48/ доказана соответствующая теорема для того случая, когда { компактно дифференцируема по х" (см. /48/,

2/) и непрерывна на & С 1Ц х X при наделении пространства линейных непрерывных отображений X в X топологией равномерной сходимости на компактных множествах из X .

В данной работе получены необходимые условия оптимальности управления (принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности ) системами, описываемыми ОДУ с измеримой по ^ правой частью ^ в бесконечномерных пространствах (см. Главу 1У, ср. с /25/, /77/).

Эти результаты были получены на основе доказанных в данной работе новых теорем о дифференцируемой зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров ( правой части, начальных данных и т.д.).

По сравнению с известными ранее анлогичными результатами в диссертации ослаблены требования на дифференцируемую зависимость правой части f от фазовыз переменных X , а именно, дифференцируемость здесь принимается не по Фреше, а в более слабом смысле.

Другая особенность данной работы заключается в постановке задачи оптимального управления. Хотя фазовое пространство бесконечномерно, на переменные системы налагается лишь конечное число склярных ограничений типа равенства. Это дает возможность применить конечномерное правило множителей Лагранжа.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава состоит из пяти параграфов, вторая глава состоит, из двух параграфов, третья глава содержит три параграфа и четвертая глава состоит из трех параграфов.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем. .

1. Доказаны новые теоремы о дифференцируемое™ решения ОДУ по начальным данным и правой части, взятым в разных сочетаниях в случае измеримой по и дифференцируемой по в более слабом смысле, чем по Фреше, правой части {-(Ь^х) в бесконечномерных пространствах.

2. Изучены свойства введенных в диссертации функциональных пространств ^ (&& 9 Х$) > (6} И'И*-);

3. На основе этих результатов получены необходимые условия оптимальности управления (принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности) системами, описываемыми ОДУ с правой частью 6 в бесконечномерных пространствах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Перейдем к краткому описанию какодой главы. Первая

2. Известно (см. /67/), что строго -дифференцируемость f на /2. эквивалентна непрерывности отображения -непрерывности f) на Л при условии слабой дифференцируемоети fcM. /2/) f на -О., 1.1.3. З а м е ч а н и е Основные понятия, связанные с линейными топологическими пространствами и использованные в данной работе,можно найти, например, в монографиях /78/, /81/, /65/. §.1.

3. Следовательно, A G (Ьд-, Хе) Предложение. Имеет место включение

4. Теорема. севенциально полно. Пространство <\.В> Хэ) Доказательство. Пусть Пу последовательность Коши в \В>,Л\, Заметим, что тогда для каждого ?С X п/, последовательность А© Поскольку является последовательностью Коши в

5. Предложение. е J Х образует алгебру. Д о к а з а т е л ь с т в о Требуется доказать, что линейное пространство оС (В Хв)

7. Пространство С С fL, 1.4.

8. Пусть откуда X. открытое множество в банаховом пространстве X Обозначим через руемых на -О. i C-OXQ) множество Х$ /-дифференцидля которых отображений f SL где у J7. ZCSjXd) непрерывное отобршкение. Для {Q,C\CSb,X9) шложш \\f\\-=f(lf{x)ll-tllff:,)ll) XeSl нормированное пространпревратив тем самым ство. 1.4.

9. Теорема. Ci С-/Хе) Пространство \f Х$) r//i полно. Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть Ти (.-Хе) сируем L>D последовательность Коши. Фикчто при У],1 и, следовательно, Тогда существует такое Л/ выполняется неравенство }}Гу, fi//± для каждого X будет

10. Существование и единственность решения задачи Коши, 2.1.

11. Лемма. -суммиЕ л f\ е L, (I rJB.M си непрерывно, то к(г)/\(т f\(z)(z) flI- i(l ,j.j (S Х0) Z„JB,Х&, Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству леммы 2.1.2. 2.1.4. Л е м м а Пусть X I X X О абсолютно непрерывная функция, почти всюду и X. (-hiO О Тогда X О

12. Поскольку произведение абсолютно непрерывных функций снова является абсолютно непрерывной (см. /50/) то функция -t 2 Tt) -р (т) с[т абсолютно непрерывна и, следова- тельно, дифференцируема почти всюду, причем в силу (2.1.3) почти всюду выполняется неравенство Таким образом, е i ф(т)о[т Ve> и, следовательно, ti. а поскольку Тогда О W л -е<с (т) с/т получим Аналогично рассуждая в случае ь t± почти всюду и, следовательно, (Ь> р}-[<р(т)с{т1 it Но (-ti.)— Д Тогда

14. Резольвента R. t ii_) И ее свойства. (ср. с /41/, /70/}.

15. Замечание. 2.2.5. Из формула (2.2.1) видно, что функция K(t-:l) почти всюду дифференцируема по как отображение I в t почти всюду равна L,,X,X$) 2.2.

16. Предложение. X\i.(\lB>, Ко) Отображение С Ь Л I дифференцируемо почти всюду и Д о к а з а т е л ь с т в о Имеем В iTj;;/ С 5 р А при Т-О Это следует из 2 2 2 из п. 2.2.2 и из п. 2.2.5, т.к. (AT)" [L(/;(-(T+T, Т j п(т) почти для каждого Т

17. Предложение. X непрерывно. Пусть отображение :X Тогда интегральное уравнение Л Xrt) J имеет на X формулой: xCi] /\(T)X(Z) OIT (t) (2.2.5) выражаемое непрерыное решение хСо.Г—>Х -C-t) RU>A(T)(T)CLT:, (2.2.6) Доказательство. Единственность следует из единственности решения соответствующего однородного уравнения. Проверим, что О) из формулы (2.2.6) удовлетворяет уравнению (2.2.5). Прежде всего покажем, что 1\(т)[\.(><г)1\{<г)(<гА<г<1т А(т)!1(т,б-)А((Г ti ti -ti (Г

19. Далее, пусть Ct) единственное решение интегрального уравнения Ь при t ti. Х Т Г (точки it) "t f из п. 3.1.б) (ii\ Если к тому же (1,5:)н> т C-tjOнепрерывна в точке как отобракение из 1/ X l/ в (ti,xif)l—>?(tti?ct. f t )(р отобралюние из множества

21. Следовательно, решение уравнения (3.2.2 строго -дифференцируемо по {{.рс в точке (fi.xi.jO"> для любого t G l i причем 41"?) г (-Ь,,*Д (t>) являются решениями задач Коши, отмеченных в теореме 3.2.3. 3.2.4. С л е д с т в и е Если в теореме 3.2.3 положить Т/ С Е то получим

22. Теорема. как отображение из Пусть выполняются условия теоремы 3.2.

24. Рассмотрим следующее выразкение fc

25. Теорема о строгой -дифференцируемости продолженного решения ОДУ по совокупности начальных данных и правой части 3.3.1. Т е о р е м а Пусть выполняются условия теорем 3.2.3, 3.2.

26. Далее, пусть "tij-beiI T-fccc)!—> fC-tx) непрерывно в точках С"Ь(,ЗС) L= 12- И суш;ествует единственное решение задачи Коши определенное на отрезке Li-ptiJ. Тогда суш;ествуют такие окрестности v.I/r jUc.Uo точек Ьг;ас:1.5 соответственно в пространствах ti IN 1К л С»,. ТЬо что для всех trLGti. ч- "t icl существует единственное решение задачи Коши хил -L определенное на отрезке Ц-:!. ЬгД причем отобразкение

27. Далее, пусть U r jTJr окрестности точек "tj-tz в (к XJx.

28. Лемма. Lnt,x),HU[x:,T,1;j/(3.3.0 tOi) Пусть выполняются условия теоремы 3.3.

29. Тогда единственное решение f("Ь4Д х ЗСУ)) (К) З-З-Зу задачи Коши (3.1.5) (3.1.6) с правой частью согласно теореме 3.3.1 [.-bp-Sj-tp+fll П Г X i которое, (см. п.3.3.3), определено на отрезке -дифференцируемо по совокупности в точке (К?г_,1о) непрерыв- аргументов (-t.tj.pci,