Условия оптимальности в бесконечномерном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

003431662

Лонгла Мартиал

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание учёной стспеии кандидата физико-математических паук

Москва, 2010

1 1 Ф55 20^0

003491662

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М.Ф. Сухинин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт. (Технический Университет).

Защита диссертации состоится 16 февраля 2010 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы пародов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495^.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо- Маклая, д.6.

Автореферат разослан 13 января 2010 г.

ведуший научный сотрудник лаборатории стохастических моделей экономики центрального

экономико-математического института профессор А.В. Дмитрук

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптимального управления Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова доцент М.М. Потапов

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Рассовский Л.Е.

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы диссертации

Задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и более общих иитегро-функдиональпых уравнений интенсивно исследуются с середины прошлово века ввиду их важности дня техники, экономики, биологии. Наряду с прокладными моментами глубоко исследованы и продолжают разрабатываться теоретические аспекты этой проблематики. В частности, задачи с фазовыми и смешанными ограничениями исследовались Р.В. Гамкрелидзе, А.Я. Дубовицким, A.A. Милютиным, A.B. Дмитруком, Н.П. Осмоловским, A.B. Арутюновым, В.В. Дикусаром, С.М. Асеевым и другими. В диссертации получены необходимые условия оптимальности для некоторых задач с фазовыми и смешанными ограничениями, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с некоторой дополнительной топологией. Теория таких пространств была построена М.Ф. Сухшшным. Она охватывает широкий класс уравнений, в которых правая часть может не быть измеримой по Бохнсру ни на каком отрезке по времени и не быть дифференцируемой по Фреше, а иногда даже и по Гато, ни в одной точке по фазовой переменной, по быть измеримой и соответственно непрерывно дифференцируемой в некоторых более слабых смыслах. Им же выведены необходимые условия оптимальности первого порядка для задачи оптимального управления без фазовых или смешанных 01раничепий. Отсутствие после,'¡.них и ыло побудительным мотивом для постановки данной задачи.

1.2 Цель работы

1. Найти условия квазикритичности некоторого отображения Q, которое переводит начальные и конечные состояния решения некоторого обыкновенного дифференциального уравнения Е". Правая часть которой принадлежит некоторому семейству F, задача определена в бесконечномерном пространств X с дополнительной отделимой локально выпуклой топологией. Разные функциональные ограничения накладываются на решение уравнения.

2. Доказательство принципа максимума Понтрягина для обычных задач оптимального управления с функциональными ограничениями и выпуклым функционалом как частного случая рассматриваемого отображения Q.

1.3 Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми, и обобщают полученные в конечномерных и банаховых пространствах результаты. Главные из них:

1. Условия квазикритичности и принцип максимума Понтрягина дчя линейных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

2. Условия квазикритичности и принцип максимума Понтрягина для нелинейных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

3. Условия квазикритичности и принцип максимума Понтрягина для абстрактных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

1.4 Приложение.

Диссертация носит теоретический характер, но ее результаты могут быть использованы и в обычных задачах оптимального управления.

1.5 Апробация работы

Результаты работы докладывались на международной конференции по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2007г.), на заседании зимней диффеотопической школы (г. Кострома, 2008г), па третьей международной конференции, посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, дважды на Всероссийской конференции но проблемам математики, информатики, физики и химии (г. Москва, РУДЫ, 2007г, 2008г), и на международной конференции, посвященной 100-летию академика JI.C. Понтрягина (г. Москва, МГУ, 2008г). Также были доклады на семинарах кафедры дифференциал],пых уравнений и математической физики РУДН (руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.Л. Скубачевский), и на семинаре кафедры оптимального управления МГУ (руководители: д.ф.-м.н., проф. A.B. Дмитрук; д.ф.-м.н., проф. Н.П. Осмоловский).

1.6 Публикации

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

1.7 Личное участие автора

Все приведенные в диссертации результаты получены самим автором.

1.8 Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, общих сведений, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 130 страницах машинописного текста. Список литературы включает 20 источников. Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

2 Краткое содержание диссертации

Во Введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

В главе Общие сведения приведены определения леммы и теоремы, которые понадобятся в дальнейшем, изложено доказательство теоремы в случае задач без ограничений, обобщающее известные результаты теории.

3 Глава 1

Задачи с регулярными ограничениями

С этой части изложено решение задач с регулярными ограничениями, где необходимые условия критичности отображения ищутся в форме принципа максимума Понтрягина в бесконечномерном нормированном пространстве с дополнительной локально выпуклой топологией, по которой интегрируются соответствующие функции. Рассмотрены 4 случая в качестве наглядной иллюстрации проводимой работы:

3.1 Линейные задачи

Рассмотрим в X задачу:

Доказано, что при выполнении ниже перечисленных условий, имеет имеет' место принцип максимума Понтрягина.

Условие 3.1 А: I —> ((Хв,Х$) — измеримо, иА(.) 6 А1 (1,С(Хо,Хо)), Условие 3.2 В : I -> ¿(КГ,Х0) - измеримо, иВ(.) 6 Л1(/ДМг,Хв)), Условие 3.3 к : I -> ¿(Хе,Е8) - измеримо, и Ц.) е ((, ^,Н8)), Условие 3.4 к-.1-¥ е(&г, К') - измеримо, и к(.) е

Условие 3.5 ¿2 и J - Ь(ХЦ х Ж2)-сЫфференцируемы о точке {хо,Х1,ЬоЛ{) и непрерывны в её окрест>шспш, где (хо,!!,^,^)- оптимальные параметры задачи.

±(<) = л(«)х(0 + в(4)и((), и е и, х£Х, х^о) = х0, х(Ь) = XI, Ы^хЦ) + Щ)и({) <0, » = М, Я(х0,х1,и,и) = 0, J(xo,Xl,to,tl) -> тт.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Теорема 2.2.1

Пусть {г*, и", ¿5 < 4 < <1}— измеримое оптимальное решение данной задачи. Пусть х*{Ь) 6 \¥{(1,Х0) и гг*(<) е Ьх(1,КГ). Пусть выполнены условия 3.1 - 3.5, гапд(к(Ь))=з и для некоторого ¿о, {<2™ ¿1)1 -7x1 (жЗ, ¿3,¿1)} линейно независима. Тогда Эф(Ь) 6 ¿([^.^.¿.(Яв.К)), и д(0 е

Li(I,R'), для которых: VueU ЭП(и) : Д(П(и)) = t{-f0 и Vt S П(и),

x'(t) = H^(t),u'{t)) + A(t)x'(t) = A{t)x,(t) + B{t)u,(t), (3.6)

j>{t) = -№)A{t) + МО о h(t), (3.7)

H(t)<H'(t), ii(t)ch(t)x'(.t) + ii{t)ok{t)u' =0, (3.8) где fi(t) находится из условия максимума;

^(tS)(A(«S)i5 + B(<5K(t;)) = -mQt0 - nJt0, v(t,*,) = mQXo + nJxa, (3.9)

Wl)(A(t*1)xl+B(tl)u'(f1))=inQti+nJtl, ip(tl) = -mQXl-nJxl. (3.10)

3.2 Особые задачи

В этом случае, рассматриваем только ограничения, явно содержащие управление и(0, откуда и название пункта, которое не имеет ничего общего с регулярностью решения системы. Будем рассматривать класс задач вида:

г

¿(0 = £ ъфмг, г(0) + В(4, и( 0)х(0. (3-11)

¡=1

и(0 6 С/ = {«£ Лг : К1 < а}, (3.12)

К&,и({))х + ЩЬ,х)и(£)<0, г = 17во, (3.13)

ХО = я(«о), X! = х(М, (3.14)

(2(хо,Х1,1о,11) = 0, где ¿о, ¿1 - не фиксированы, (3.15)

гЧ

J= / (Д)(4,г(0М0 + 5о(<,«(0Ж0)^ + <Зо(1о,11.*о>41) —> тт. (3.16) Jto

Определим С0(0 = {г € X : + К$,х)и({) < 0,г = 1,«о}. Точку х е X назовем регулярной относительно точки щ 6 С/, если выполняются условия :

1. ^(4, ихМО + х(г))щ <0 » = 17^,

2. + ¿ = Мо,

3. если и 1 - граничная точка множества V и ?;(и), 3 = 1,т, - функции определяющие и в окрестности точки «1, то система векторов щ)х(() + 0), г = 1,бта^зДих), ^ = 1,т} линейно независима.

Условие 3.0 Л,{Ь,.)— линейный секвенциально непрерывный (в, || ||) - тейлоровская функция первого порядка в X при фиксированном £ Л1 (1,(у(Хо,Хо)) - измеримое отображение при

фиксированном х(£).

Условие 3.7 Б(£,и(£)) е ¿у(Хц,Хв) при фиксированных Ь и и(4), В(.,.) £ Л1(1,((Х,Х)) - измеримое отображение, дифференцируемое по и.

Условие 3.8 А0(.,х(1)) £ полутейлоровская функция первого порядка из X в Кг.

Условие 3.9 Во(-,и(£)) £ А1(1 ,С1(&Г, ((Хо,Ш)))-заданный функционал при фиксированном значении 1£1, измеримое отображение при фиксированном х.

Условие 3.10 и <20 - Ь(Хд х 9.2)-дифференцируелш в точке (хо,XI,¿о, ¿1) и непрерывны в её окрестности, где {'¿п. Х\АцЛ\)- оптилтлъные параметры задачи.

Условие 3.11 Щг,и(1)) £ \lf\l х 1/.£(Хо,Ж)) - измеримое отображение, определяющее линейный секвенциально непрерывный функционал при фиксированных £ и и; е х в, ({и, Ж.)) -

полутейлоровское снизу первого порядка по х.

Теорема 2.3.1

Пусть {х,-и*,£о,¿1} регулярное оптималыше решение системы уравнений (3.11) - (3.16). Пусть выполняются условия 3.6-3.11. Пусть х(1) £ Хв) и и*(£) € Ь^Ц, Нг). Пусть отобри-жепие

Ь(Х$) х Ь(М2)-дифференцируемо и точке (хо-, Хъ £о, ¿1)- Пусть <2 : 0(хо) х ^(11) х -(З(^о) х $(£1) непрерывно в , ))» " го,пд\\К^и(1,и* (Ь))х(Ь) + К,(1, ¡|=во. Пусть для некоторого ¿о, линейно независима. ТогдаЗф^) £ 1¥}(1,((1,(1(Хо,'К))), ир.(Ь) £ ¿1(1, К"0), для которых выполняется на I: V« £1} ЗП(и) : Д(П(и)) =и -

1. № = ф(10) - 4 Щ(з)с1з - /,0 Е,=11к{в){К,(»,«'(«)) + Аив,а:(«))и'(з)}&,

2. \/£ 6 П(ц) Н(ф(1), х(£), «(£)) < Я(1/>(£), х(£), и*(£)), где ^(Ь) определяются из правила множителей Лаг^хтжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к £ и По 6 К \ {0} :

a.) 1/)(г0)(.4(4о,и*(4о))хо + В(£о,х0)и*(£0)) =-" - "0<?01о,

b.) 1/;(«1)(-4(41,и*(г1))11 + В(<1,з;1)и*(£о)) = к13,1 +п0<Эо(1) ^о(<) =

c.,) = (х0, Xbfo.ii) + noQo.ro(2:0,^1, io.ii),

е.) г1-"(г))а;(г) + АГД(,х(«))и*(«)} = 0.

3.3 Случай нелинейной регулярной задачи

В отличие от предыдущего случая, здесь управление также принадлежит Ьос(1,Ш.г), но правая часть дифференциального уравнения не выполняет описанных требований специальной линейности слагаемых. Ограничения также явно содержат управление и функционал является выпуклой функцией своих аргументов. Будем рассматривать класс задач:

х(<) = А{Ь,х(г),и(Ь)), (3.17)

и(<) & и — {и € Я,г : \щ\ < а}, (3.1В)

х({) £ <?!(*) = {х£Х: А;(г,хй,и(4)) < 0, г = 17зд}, (3.19)

Х0=х(Ь0), I! =!(«!), (3.20)

<Э(хо, XI, £о, ¿1) = 0, где 4о, — не фиксированы, (3-21)

J= I Л0(<,х(£),и(г))(Й + <30(хо,Х1,£о,£1) -4 тгп. (3.22)

Ло

Выделим на соответствующие функции следующие условия:

Условие 3.12 Л(£,.,.)— линейный секвенциально непрерывный (0,ЦЦ) - тейлоровская функция первого порядка в X при фиксированном А(., х(£), ч(£)) 6 Л1 (1,Су(Хд,Хд)) - измеримое отображение при фиксированном х{1).

Условие 3.13 Л0(., х(<), «(£)) 6 АД Г, С^Хд, КГ))- полутейлоровская функция первого порядка из X в Кг.

Условие 3.14 ф и (¡о - Ь(Х$ х Л2)-дифференцируемы в т.очке (хо,Х1,Ьо,и) и непрерывны в сё окрестности, где (хо,Х1,£о,£1)- оптимальные параметры задачи.

Условие 3.15 .¡и^)) е Т17(/,С7(Хс,К)) - измерилюе отображение при фиксированном и; полутейлоровское снизу первого порядка по х и дифференцируемое по и.

Теорема 2.4.1

Пусть {х,и*,г0,£1} регулярное оптимальное решение системы уравнений (3.п)-(3.22). Пусть выполняются условия 3.12- 3.15. Пусть х(£) £ ]У}(1,Х$) и г»*(£) € Ьос(/,Мг). Пусть <2 : ??(хо) х 1?(х[) х 1?(го) х ^(<1) -> непрерывно в й((хо,Х1)), и гап</||Л;и|[=Ьбо. Пусть для некоторого ¿о, {(Э^.°1(хо,х1,£о,£1),13о11(хо,х1,£о,£1)} линейно независима. Тогда Э-,/>(() 6 №/(/,/(/./-ДХ^, К))), и р{£) 6 Е*°), для которых выполняется на I: Уи £ С/ ЗП(и) : Д(П(и)) = £1 - £о,

1. Щ = *Ца) - /1о ЩШз - ¡1о М*Ш*,х(з),и-(з))4з,

2. \/£ € Н(и) Н{{) < Я*(£), где /«;(£) определяются из обобщенного правила множителей Лагранжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к 6 К" и по е 1 \ {0}:

a.) il>(to)A(to,xo,u*(to)) = -nQto - n0Qot„,

b.) V(tiM(ti,a;i,u*(ti)) = KQtl+n0Qoit, M*) = <?stc, e.) V>(ío) = «Qi0(io,a:i.to,íi) + noQo*„(a:o, xi, t0, íi),

d.) i/>(ii) = —K,Qxl(xo,xi,to,tí) - noQox^xotXutoyti),

e.) fn(t)A,(t,x(t),u*(t)) = 0.

3.4 Абстрактная задача с регулярными ограничениями

После проведенных исследований, пришли к выводу, что можно абстрагировать задачу, и решать более абстрактный случай, который при конкретных условиях (не добавляющих ничего к требованиям к рассматриваемым функциям) превращаются в предыдущие рассмотренные случаи. Дня этого, мы берем в качестве управления правую часть дифференциального уравнения и функции и 6 LX{I, Вг). Предполагается, что лишь ограничения и минимизируемый функционал зависят от и. При сделанных предположениях, рассмотрим систему:

Г

3 = / + Яо{хо,Х1,¡о^О -утпгп. (3.28)

Ло

Условие 3.16 I >-* А(1,.) е ЛЦ/. секвенциально непрерывный (#,[! ¡1) - тейлоровский

оператор первого порядка.

Условие 3.17 i Ао^, .,и(0) £ <?7(Хо,К))- измеримо. Ло(<, -,и)- полутейлоровский снизу

функционал первого порядка, и Ао(1, х, .)-дифференцируемо.

Условие 3.18 С^иС^ о - Ь(Х$ х М.2)-да([ференцируемы, в (хо, хь ¿о, ¿1) и непрерывны в т9((ха,х1, ¿о, ¿1)), где 'д{{х1)., гг„ /])) обозначает окрестность точки.

Условие 3.19 Ь A¡(t,x(t),u(t)) 6 ^¡(1, СУ(Х^,М)) - измеримое отображение по Ь,

полутейлоровское снизу первого порядка по х, и дифферепцируелше по и.

Предложение 3.1 Выпуклость множества (7о гарантирует существование ретенция системы в окрестности любой точки I.

x(í) =A(t,x(t)), Vt,A(t,.) е F с Lipb(G,Xe,7), F-выпукло, x(t) e G0 = {x 6 X : Aj(t,x{t),u(t)) < O,;' = V¡o},

(3.23)

(3.24)

(3.25)

x0 = x(t0), X-L =x(tl), Q(xo, xít t0, íi) = 0, где ío, ti — не фиксированы,

(3.26)

(3.27)

Выделим на Г следующие условия, гарантирующие корректность действий с вариациями решений системы:

a. ¥сА1(1,Ырь(С,Х1>,Ь(Х))),

b. V/' е ¥ УШЙ! С ¥ ¿0 < «г < • • • < зм <

м

Зш > 0, \/{<тЛ^] С Н+, У^ <т; < ш, и < шт{ тт - 3;), Ь\ - ем} :

' 1 <г<М ¿=1 --

Теорема 2.5.1

Пусть {х({), А', и*, Хо, Х\, £о, ¿1} регулярное оптимальное решение системы (3.23) — (3.26). Пусть выполняются условия 3.16 — 3.19. Пусть х(<) Е \УЦ1,Хд) и и"(Ь) 6 Х00(/,МГ), I/-выпукло. Пусть гаодЦД,«*(<))¡|=яо- Пусть для некоторого {о, {(¿¡Р^фохг} линейно независима в (хо,Хъ ¿о, ¿1)-Тогда 3ф(£) 6 И^1 (/, 1(1,1~,(Хв, К))), и д({) 6 Ь\(1, К1*0), для которых выполняется на I следующее: Уиеи УЛ е Р ЗП(и, А): Д(П(и, Л)) = ¿1 - ¿о,

1 ,/>(() = - ¡!оН,{ф(з),х(з),и'(з))дз - М,Ш;х(з,х(з),и-(з))с1з, МО -

2. £ П(и) Н(ф(1),х(Ь),А,и({)) < М(£,х(4)), где /¿¡(¿) определяются из обобщенного правила множителей Лагранжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к 6 К" и по 6 Е ч {0}:

a.) ^(£о)А*(го,Хо,и*(го)) = -<<?<„ -Пофш0,

b.) ф{й),А*{и,Х1,и'(11)) = к(Э11 +паЯо1,,

c.) ф{и) = к<Зг„(го,Х1,4о,(1) + пофо^хо.хъ^,^), «г.; ф(и) = -кЯх^Хв, Xbio.il) - По0о*|(яо, XI, to.il), е.; /¿¿ЙЛ<(£,х(0,и*(£)) = 0.

4 Глава 3

Задачи с нерегулярными ограничениями

Рассматриваем задачу нахождения необходимых условия существования "оптимальной траектории "(на самом деле траектории, предоставляющей критическое значение соответствующих функций). Показано, что задачи оптимального управления сводятся к нахождению критических точек некоторого отображения, и доказаны соответствующие теоремы, напоминающие принцип максимума Понтрягина. Здесь, мы рассматриваем некоторое обобщение теорем из, и выводим теоремы, конечномерный случай которых соответствует данным теоремам, но доказываются по другому.

4.1 Линейные задачи

Рассмотрим в X задачу (3.1)-(3.5), в которой вместо уравнения (3.3) стоит следующее уравнение:

z(f) EG = [х е X : Ai(t)x(t) + Bi(t) < 0, t = Mo}- (4.1)

Допустим, что решение системы достаточно гладко, и существует такие ка, что существуют производные до порядка ка для каждой функции да, и ка минимальный показатель для которого dk"

r^(Aa(t)x(t) + Ba(t)) = Aa(t)x(i) + Ba(t)u(t) + Ba(t), Ba(t) ф 0,

Пусть rang(B(t)) = s, к = max{fcc<}. Доказано, что при выполнении ниже перечисленных условий, имеет имеет место принцип максимума Понтрягина.

Условие 4.1 А : I -> е(Хв,Х0) - измеримо, иА{.) £ W^~l{I,t(Xo,Xe)),

Условие 4.2 В : I ¿(ИГ,Х0) - измеримо, иВ(.) € Ai(/,^(Mr,X„)),

Условие 4.3 V г 0, Ai : I -> ((Хд, R) -измеримо, и

Условие 4.4 V г ^ 0 ,B;:i->l -измеримо, и В{{.) е

Условие 4.5 h: I l(X9, Rs) - измеримо, и h(.) £ Li(l, ({, Х9, KJ)),

Условие 4.6 к: I £(КГ,ЕЯ) - измеримо, и к(.) е Li(I,e(RT,R»)),

Условие 4.7 Q и J - Ъ{Хд х Ш.2)-диффере.нцируемы в точке (xo,xi,to,ti) и непрерывны' в её окрестности, где (xo,X\,to,ti)- оптимальные параметры задачи.

Теорема 3.2.1

Пусть {х, и*, to < t < ti}— измеримое оптимальное решение данной задачи. Пусть х £ Wf(I,Xg) и u"(t) е Rr). Пусть выполнены условия 4.1 - 4.7, rang(B(t))=so и для некоторого ¿о,

{Q^(xo,xi,ta,ti),jxi(xo,xi,to,t{)} линейно независима. Тогда 3ip{t) £ l([to, ti],(-,(Xe, R)), и p„,i(i) £ W}(I, В), для которых: Vu е U ЗП(и) : Д(П(и)) = tj - t0 и Vi £ П(и),

x(t) = Нф{ip(t), u'(t)) + A(t)x(t) = A(t)x(i) + B{t)u'{t), (4.2)

«0

m = -mMt) + Y,^iMt), (4.3)

30 gp

H(t) - ]ГМпД(t)B(t)u(t) < H'(t) -J2^,i(t)B(ty(t), (4.4)

ft=l n=l

plkf(t)(Aa(t)x(t) + Ba(t)u(t) + Ba(t)) = 0, (4.5)

где iVi(') находятся из правила множителей Лагранжа;

so ka д d?

ф(10)(А(10)х0 + В(Ь0)и*{10)) = -mQt0 - nJio + £ ^(A,(iMt)))|'°,

a—1

ф(и>) =mQX0 +njl0, (4.6)

80 к" Я ji—1

'A(íi) = -mQXl -nJXí - -(^(OaW)!", (4.

' Si dt'-

а=1г—1

V>(íi)(v4(íi)^i + B(í!)u*(íi)) = mQt, +nJtl + + EX>U|í^(0*(í)) - ¿(Aa(tHt))) I", (4.

/<„,.•№ = -M«,mW> Ma,i(ti) =Mn,¿(to) = 0, í = l,fc-l, (4:

и выполняются еле,^ющие условия в точках схода с границы и входа на границу:

«о

я* té») = tf'téj - £ ^,i(t:n)(Áa(t7n)x+ва(<- )«• + s(t-)),

а=1

я*(Сх) = я*(4) - £>«д(£ )х + +

а=1

4.2 Особые задачи

В этом случае, рассматриваем только ограничения, явно содержащие управление u(t) в задаче вида:

г

x(t) =^2m(t)Ai{t,x(t)) + B(t,u(t))x(t), (4.1 ■=i

«(<) S U - {ие Rr : |u¡| < а}, (4.1

x(t) е G = {х е X : Xi(t)x{t) <0,i = м}, (4.1:

хо = x(t о), Xi = x{h), (4.1.

Q(xo, Xi, ío, ti) = 0, где ío, íi — не фиксированы, (4.1

rh

I (A0(t,x)u + B0(t,u)x)dt + Qo(xo,xi,ío,U) -+ rnin. (4.1

Jto

Пусть па — max;n¡, где щ минимальный показатель для которого j¡¿-(xÁt)x(t))\(i.ia) содерж1 явно хотя бы одну компоненту управления u(t).

<f < - -

^Ы<М«))1(4.ю) = Ai(t,x(t))u(t) + Bi(tMt)Ht) = M¡(t,x,u), (4.1

Для корректности соответствующих действий вводятся следующие условия:

Условие 4.8 Ai(t,.)— линейный секвенциально непрерывный (в, || ||) - тейлоровский оператор вс порядков до па включительно вХ при фиксированном t, Ai(.,x(t)) € ИС^(Хо,Хо)) - измерю при фиксированном x(t).

Условие 4.9 B(t,u{t)) 6 е^(Х0,Хв) при фиксированных t и u(t), В(.,.) е измеримое отображение.

Условие 4.10 B0(t,u{t)) 6 ¿^(ХоЛ) при фиксированных t и u(t), В0(.,.) 6 Wl(I,e(X,R')) -измеримое отображение.

Условие 4.11 Ao(t,x(t)) € Ш}(1,С1(Хо,Ж"))-заданпый функциогшл при фиксированном значении t 6 I, измеримое отображение при фиксированном х.

Условие 4.12 Xi(i) G " измеримое отображение, определяющее линейный

непрерывный функционал при фиксированном t.

Условие 4.13 Q и Qo - b(Xg х Ш.2)-дифференцируемы в точке (хо, xi,to, ti) и непрерывны в её окрестности, где (xo,Xi,to,ti)- оптимальные параметры задачи.

Теорема 3.3.1

Пусть {х, u*,t0,ti} регулярное оптимальное решение системы уравнений (4.10)-(4.15). Пусть выполняются условия 4.8-4.13. Пусть x(t) G Wi(I,X0) и u*(t) е Кг). Пусть Q : $(х0) х $(xi) х t?(io) х i3(ii) -+ Ew непрерывно в i?((xo, xi)), и rang(Mu(t, x(t),u(t)))=s, где M(t, x, u) определены из условия регуляризации (4.16). Пусть для некоторого ¿о, {Qi°(zoi£iitoiti)><2oii0EOi£iitoiii)} линейно независима. Тогда Эф(г) £ \У}(1,1(1,1-,(Хе,Ж))), и fi(t) € Li(I,Rs), для которых : Vu € U ЗП(и) : Д(П(и)) = h - to,

1. выполняется всюду f(t) = ip{to) - J\ Hx(tp(l), x(l),u* (l))dl-

- / ¿Mc.,1 (l)oli„(I,i(l),»(l))(il, *0 Q=1

2. Выполняется условие максимума

8 a

H(t) - Ma{t,x(t),u(t)) < H'(t) - fia,iMa(t,x(t), u*(t)),

ft=l 0=1

где находятся из обобщенного правила множителей Лагранжа, и имеет место:

н* (to) = -KQlo-noJtc + izipUjti^tMtM0 Ml,

a=l t=l

Я'(«1) = «Q„ + noJtl + ¿Epi,.(||^(Xc(i)x(i)) - |-(Xa(f)x(i)))!" [c.2],

a=lt=l

1p(to) = + п0^х о [C.3],

s n„ ^

V(ii) = -n0Jxl - EE^âi dFî^W1^))!'1 Ïc-41'

Л 1=1 t —1

s

H*(ti„)-H'(t;n) = -J2^(tIn)Ma(t;„,x(tz,),u-(t:n)) [c.5],

t«=i s

) - Я*(£ ) = -£ )Ma(i+ , I(t+), u*(t+)) [c.6],

o-l

^Ät) = -ßa,i+i(i), i = \,nA-l, n*f(t)(xa(t)x(t)) = 0, [c.7J,

= ~pi,i, i = l,nA~\, а = 17? [c.8j.

4.3 Случай нелинейной регулярной задачи

В отличие от предыдущего случая, здесь управление также принадлежит L0C(I,!R*'), но права часть дифференциального уравнения не выполняет описанных требований специальной линейности слагаемых. Ограничения также явно содержат управление и(t), и (отображение) функционал является выпуклой функцией своих аргументов. Будем рассматривать класс задач следующего вида:

x(t)=A(t,x(t),u(t)), (4.17)

x(t) £ G = {х 6 X : Si(t, х) < 0, i = 171}, (4.18)

x0 = x(i0), X!=x(fi), (4.19)

Q(xo,xi,io,£i) = 0, где ¿о, ¡i - не фиксированы, (4.20)

ги

J= / Ag(t, x(t), u(t))dt + Qo(x o,Xi,to,ii)->min. (4.21)

J <o

Пусть при некоторых П{ £ N имеем:

^-(Si(t,i(i)))|(4.i0) = /ii(i,x(t))A(t,i(t),«(t)) + B,(t,x(t)) = Mi(t,x,u). (4.22)

Условие 4.14 t >-> A(t,.,u) 6 W"' 1(I,C~t(Xg,Xg))-секвенциально непрерывный (в, || [¡) -тейлоровский оператор всех порядков до п,, включительно в X ; где iiq — max^ n,, ni минимальный показатель дм которого ^rrgi(t,x(t))|(4.i7) содержит яхто управление и.(В сил того, что все скорости движения А и их при'илаодиъи: могут лежать в линии уровн производной функции д, не.обходилю требовать существования такого числа, чтобы можно было применять модифткацию метода, изложенного в знаменитей монографии "Математическая теория оптимальных процессов").

Условие 4.15 t и- Ao(t,.,u(t)) £ С7(Хо, К)) - измеримо. Aa(t,.,u)~ полутейлоровский спи.'

фгункциоиал первого порядка, u Ao(t, х,.) -дифференцируема.

Условие 4.16 t >-> р; £ W™'(/, C-^XojR)) - измеримо, и выпукло по х.

Условие 4.17 Q и Qu - Ь{Хд х Ш2)-дифференцируемы в (xq, Xi, £o,ii) и непрерывны в d((xo,Xi,to, t\)), где i?((xo,xi,io,ii)) обозначает окрестность точки.

Теорема 3.4.1

Пусть {2,u*(i),Xo,Xi,£o,ii} регулярное оптимальное решение системы. уравнений (4.17) — (4.21). Пусть выполняются условия ^.Ц-^.П. Пусть х £ W}(1,Хо) и u*(t) £ Loc(/,Rr), U-выпукло. Пусть rang\\hi(t,x)Au\\ = s, и, для некоторого г'о, {<3i,,Qo*i} линейно независима, в (хо,xi,io,ti). Тогда 3ip(t) £ Wl(I,l(I,U(Xg, К))), и fi(t) £ L\(I,M."), для которых выполняется на I: Vu £ U ЗП(и) : /1(П(и)) = h - ta,

l. v(t)--= -0(to)- [ я,М0>*(0,«*('))<«-/ ¿ы1(0^^ц1(г,х(г),г1(!)К(,

Jlo Jh a=i

2. tf (f) - £ lia,iMa(t, x(t), u(t)) < H'{t) - Y, Ha,iMa{t, i(t), «'(£)),

n=l a=l

2t?e (£) находятся из правила множителей Лагранжа, и имеет место: [с.1] И'(to) = -KQto ~ n0Jto +

a=l t=l

« Па q (ft

[c.2] ff'(tl) = + noJ(1 + - —^(t.^Ci)))!'1,

rt=l t=l °

[c.3] = KQXQ + П0Л0»

[c.4] V(ii) = -поЛ, ~ ЕЕ^^^^ММ)!'1,

CV = 1 1=1

[C.5] Я*(£+ ) - Я'(«- ) = ^At7n№a(tln-,x(.t-t),«•((+ )),

0=1 a=l

[c.7] ^.¿(i) = —/i„,i+i(i), « = 1,пл - 1, ^"j\t)ga(t,x(t)) = 0, [c.8] Ma,i(ii) = -pi,i, i = l,nA-l, a=l7S.

4.4 Абстрактная задача с регулярными ограничениями

Вернёмся снова к абстрактной постановке:

х(<) = A(t,x(t)), (4.23)

Vf, A(t,.) e F с Lipb(G, Xo, 7), F - выпукло, (4.24)

xo = x(to), xi = x(ti), (4.25)

x(t) e G = {x e X : gi{t,x) < 0, г = 175}, (4.26)

Q(xo,Xi,to,h) = 0, где to, ti — не фиксированы, (4.27)

J=[ Ao(t, x(t), u(t))dt + Qo(xo, Xi, to, ii) —► min. (4.28)

J la

Допускаем также, что F из предыдущей абстрактной постановки, и

^(ff.(t,z(i)))l( 4.23) = Ы&х)А(г,х) + В{(г,х) = Mi(t,x,A), h(t,x) = (hu... ,h,)T ■

Условие 4.18 f ь~> A(t,.) € Cy(Xg, Хд))-секвенциально непрерывный (в, || ||) - тейлоровский

оператор всех порядков до пд включительно в X ; где ng = щах;{п;}, П; минимальный показатель для которого ^p^g,(t,x(t)) |(4.23) содержит явно управление А. Важность этого условия было объяснено выше.

Условие 4.19 t >-> Ac(t,.,u(t)) S W}(I, C1(X$, К))- измеримо. Ao(t,..u)~ полутейлоровский снизу функционал первого порядка, и Ao(t,x,.) -дифференцируемо.

Условие 4.20 t >-> g¡ £ W"'(I, C7(Xg, M)) - измеримо, и выпукло по х.

Условие 4.21 Q uQo - b(Xg х К2)-дифференцируемы в (хц, Xi,to, ti) и непрерывны в i?((xo, Xi,to, ¿i)), где i9((zo,ii,ío,íi)) обозначает окрестность точки.

Теорема 3.5.1

Пусть {х,А*,и*,х0, Xi, t0, ti} регулярное оптимальное решение системы уравнений (4.23) — (4.28). Пусть выполняются условия 4.18-4.21. Пусть x{t) б W}(I,Xo) и u'(t) £ Хоо(/, Ег), U-выпукло. Пусть rang\\h{t,x)\\ = s и для некоторого ¿o, {<3i°,Qon} линей?ю независима в (xo,Xi,to,ti). Тогда эф(г) е Ш}(1,1(1,ЦХ0,Ш))), и fi(t) € LX(I, К'), для которых: \/и € U УА € F ЭП(и,Л) : p.(Tl(u,A))=t1-t0,

1. = Í Нх(ф(1),х(1),и'(1))<11- [ Тр.аЛ(1)оМп1(1,х(1),и(1))Ш,

Jlo JIo с=1

Я 8

2. H(t) -Y^c,iMa(t,x(t),u{t)) < H'(t) - E/WMa{t,x{t),u'(t)),

a=l a=l

где l¿a¿{t) находятся из правила множителей Лагранжа, и имеет место: [а.1] Я*(¿о) = -«(?,„ - n0Jto +

[а.2] Я*(М = KQtl +поJh + - i(í)))!'1,

[а.З] V(ío) = KQx0 + ncA„,

[а.4] V(íi) = -kQx, - "oJx, - EE^-fo^rT^'^))!'''

a

[o.5] я'(г+) - H'{t~n) = - E/чП^ЖС™-«,(4))>

[о.б] я*(«~) - я*(4) = - E

n=i

[а.7] /l„,i(t) = -/ía,¡+i(í). t = l,n„-l, ii£j\t)ga{t,x(t)) = O,

[a.8] /Xa,¡(ti) = i = 1 ,nA - 1, o = ITs.

5 Глава 4

Задачи со смешанными ограничениями

В этой главе выведены следствия из предыдущих глав для задач, в которых присутствуют одновременно нерегулряные фазовые ограничения и регулярные ограничения. В достаточно общем подходе, задача нахождения условий квазикритичности сводится к некоторой модифицированной системе, с новым отображением, который также исследуется на наличие квазикритичности в

соответствующей точке. Примеры четырех подкласс задач рассмотрены как предыдущих главах.

Основной результат в случае абстрактной задачи следующий:

x(t) = A(t,x(t)), (5.1)

Vf, A(t,.) e F С Lipb(G, Xo, 7), F - выпукло, (5.2)

xo = x(tQ), xi=x(ti), (5.3)

x{t) eG = {xeX : gi(t,x) < 0,t =T7s}, (5.4)

x(t) g Gi (i) = {x e X : Ai (£, x, u(t)) < 0, t = T^}, (5.5)

Q(xo,Xi,to,ti) : X2 x I2 —> Rn — квазикритичпо в (xo,xi,t0,ti) (5.6)

Если F из предыдущих глав, с указанными свойствами, то как следствие из следующей теоремы, имеют место соответствующие теоремы для рассматриваемых класс задач оптимального управления.

Теорема 4.4.4

Пусть {х, А*, и*, xo, 21, to, £1} регулярное оптималыше решение системы уравнений (5.1) — (5.5). Пусть выполняются условия 3.12-3.15 и 1.18-4.21. Пусть x(t) € Wl(I.Xn) и u*(t) £ L00(I,RT), U-выпукло. Пусть rang\\h(t, х), Aiu, • ■ ■ , A40.u|| ;; s So, Q к-вазикритичм в точке (xq, Xj, to, £1),. Тогда 36 W}(1,1(1, l7(Xo, К))), и n(t) € Li(/, Ms+*°), для которых: Vu 6 U VigF ЭП(и,Л) :

Д(П(и,Л)) = £1-£0,

1. -0(£) = tf(to) ~ / Нх(ф(1),х(1),и'(1))й1- [ ^1хаЛ(1)аМах(1,х(1),и(1))сИ-

J10 J h a = l

г

- / Т^аЛ(1)А^{1,х(1),и>{1))<11,

s 3

2. Я(£) - ^pa,iAia(£,x(t),ti(i)) < Я*(£) - ^р„дМ0(£,х((),и*М),

а=1 а—1

Hi+s(t)Ai(t,x(t),u*(t)) = 0, гс!е fia,i(t) находятся из обобщенного правила мпоокителей Лагранжа, и имеет место:

[в.1] = -kQ,. +

а=1:=1

[а.2] Я*(<1) + EX>l,(|^U(t,z(i)) " §Яа(«,г(0))1".

[о.З] V"('o) = kQxo,

[а.4] tffo) = -kQ„ - ¿E^i^TS-fc^))!*-

a=li=l

8

[a.5] H-(tt) - Я'(£" ) = - E x(t;n), u*(4)),

a—1

[a.6] H'(t~x)-H'(t+x) =

[a.7] fía¡i(t) = ¡+i(t), i = l,nA~l, ^)(t)ga(t,x{t)) = Q, [a.8] iia,i(ti) = -PÏ,i, , ¿ = 1 ,nA - 1, a — ITs.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, и поясни связь с задачами оптимального управления и принципом максимума Понтрягина.

6 Основные результаты работы

Глава 1. Выведены необходимые условия критичности в задаче с регулярными ограничениями, и доказан теоремы для четерых случаев, от линейных до абстрактных правых частей уравнений.

Глава 2. Выведены необходимые условия критичности в задаче с нерегулярными фазовым ограничениями, и выведены условия критичности соответствующих отображений в четыре рассмотренных случаях. Выведены условия скачка отличающиеся от условий Гамкрелид. Р.В., и приведен пример, приводящий задачу к рассмотренной в знаменитой моно1рафи "Математическая теория оптимальных процессов".

Глава 3. Выведены необходимые условия критичности в задаче со смешанными ограничениями, показано, что с учетом двух предыдущих глав, решение этой задачи является объединение результатов двух предыдущих глав.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

[1| М. Лотла Условия оптимальности в бесконечномерном пространстве. - М., 2008. - 103 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 13.05.2008, № 412-В2008.

[2] M. Lonyla Pontriagin's principle of maximum for linear optimal control problems with phase constraints in infinite dimensional spaces. — Eng. M. 2008. Вестник РУДН, серия Математика. Информатика. Физика. № 4 - с. 3 - 17.

[3] Мартиал Лотла Необходимые услотия оптимальности в задачах с ограничениями в бесконечномерных пространствах. // XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. 23-27 апреля 2007 г. - М.: Изд. РУДН, 2007. - С. 4.

[4] Martial LONGLA Pontriagin's principle of maximum in infinite dimensional spacos. // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. 22-27 июня 2007 г. - Вл.: Суздаль 2007. - С. 78-79.

[5] Лотла М. О принципе максимума в бесконечномерном локально выпуклом пространстве. //Третья международная конференция посвященная 85-лению члена-корреспондента РАН,

профессора Л.Д. Кудрявцева. Тезисы докладов. 25-28 Марта 2008г. - М.: МФТИ, 2008. - С. 290291.

|6] Martial Longla Pontriagin's principle of maximum in infinite dimensional locally convex spaces. // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. 21-25 апреля 2008 г. - М.: Изд. РУДН, 2008. -С. 15.

[7| Лопгла М. О принципе максимума в бесконечномерном локально выпуклом пространстве. //Международная конференция, посвященная 100-летию академика Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. 22-27 Июня 2008г. - М.: МГУ, 2008. - С. 290-291.

Мартиал Лонгла (Камерун)

Условия оптимальности в бесконечномерном пространстве

В работе выведены необходимые условия квазикритичности некоторого отображения достаточно общего вида в задаче с функциональными ограничениями на решения обыкновенпого дифференциального, которые в частном случае дают принцип максимума Поптрягипа дня соответствующих задач оптимального управления.

Martial LONGLA (Cameroon)

Conditions of optimality in infinite dimensional spaces

In this dissertation are proved the conditions of quasi-singularity of a sufficiently general function in problems with functional constraints on the solutions of an ordinary differential equation in infinite dimensional spaces. The necessary conditions of the existence of such points are given, a special case of which gives the Pontriagin's principle of maximum for the corresponding optimal control problems.

Martial LONGLA (Cameroun)

Problème d'optimisation dans les espaces infinis

Dans cette thcse, on examine les questions d'existence des points quasi-singuliers d'une certaine application, définie sur les états initiaux et finaux d'un processus défini par une équation différentielle ordijloire dans un espace infini. Les conditions nécessaires d'existence d'un tel point sont définies sous la forme du principe de Pontriagin, dont le cas particulier recouvre les résultats classiques des problèmes d'optimisation.

Подписано в печать 29 декабря 2009 г. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1248 Отпечатано в Центре оперативной полиграфии ООО «Ол Би Принт» Москва, Ленинский пр-т, д.37