Расширенное дифференцирование и оптимальное управление в нелинейных задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ ШДЕМШ НЙ1К. ЕЕСПУЕШШ КАЗАХОТШ

инстшух' теоретической шпнкдадной МАЗЖШКй

Р Г Б ОД

• ' ;,;0Н 1СП4 На правах рукописи

СЕРОВАЙСКШ ПЯ/ПЗД. ЯКОЗЛЕВМ

РАСШИШИОЬ ДШЕЕШЩРОВШК Й1 ОДШШГЫЮЕ УПРАВЛЕНИЕ; В. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЯЙС МТЙШШЕСКОЙ ШИЗИКИ

01.01^03. Матвйатотеск'гя физика

А.В ц-оир^ьа ан^И' диссертации на соисжанив; ученой степени доктора физико-математических наук

АЛШЖ , 1994

Еабота выполнена на кафедре.прикладной математики Казахского Национального государственного университета им. Аль-Фараби

. Ведущая организация: Московский фияико-техничэски* -

институт

Официальные оппоненты: академик Ш Ж, д,ф.-м.н., проф. ПЬи'.Смагулов д.Л.-м.н., проф. Б.I."Литвинов д.ф.-м.н., проф. ШГ.И'елшргалиеа

Защита состоится - _1994 г. в

на заседании специализированного совета Д 53.04_.0i при. Институте теоретической и. прикладной математики нАН! Ж 4о0021, Алыаты, ул. Пушнина, 12Ь

С. диссертацией мочено ознакомит».?.» 5 Центральной научной, библиотеке- НМЫгК.

Автореферат- ра*6стая "_" ^ал ____1994- г.

Учений сякрегарь. специализированного.совета, и.ф.-м.н.

А .Т^улахмато-ЕЛ,

ОБЩ

АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аннотация. Рассматриваются различные аспекты теории оптимального управления нелинейными системами с распределенными параметрами.

Приводятся примеры нарушения условий теорем о неявной функции и Люстерника, лежащих в основе методов оптимизации. Вводится понятие расширенной производной оператора. Показано, что для нелинейных задач математической физики возможна расширенная дифференциру-емость по параметру при отсутствии классической дафференцируемоо-ти. Доказываются обобщения теорем о неявной функции и Люстерника в терминах расширенных производных, которые могут использоваться при обосновании методов линеаризация.

Устанавливаются различные $ор:,ш условий оптимальности для нелинейных бесконечномерных систем на основе расширенной дафферен-цируекости функции состояния пб управлении. Для приближенного решения задач применяются итерационные и рёгуляризацпонныэ методы.

Предлагается метод эквивалентных систем, связанный с переходом от исследуемой задачи к системе более простой структуры. В качестве приложений рассматриваются управляемость нелинейных сингулярных систем, экстремальные задачи с фазовыми ограничениями и обратные задачи математической физики.

Актуальность. Теория оптимального управления включает в себя обширный комплекс математических задач и находит применения в различных сферах науки и техники. Начиная с классических работ Л.С.По-нтрягина, В.Г.Болтянского, Р.В.Гамкрелндзе, Е.Ф.Мищенко, а также Р.Беллмана она становится объектом глубоких математических исследований, мощным аппаратом решения прикладных: задач. Это в значительной степени относится к теории оптимального управления системами с распределенными . параметрами, более точно описывающими исследуемые процессы, но обладающими весьма сложной структурой и требующими привлечения сильных математических методов. Возникновение этой теории связано с работами А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетданова и др. Дальнейшие результаты в этом направлении получены В.Барбу, М.Гебелем, В.И.Иваненко и В.С.Мельником, А.Д,Искендеровым, Е.-Л.Лионсом, В.Г.Ллтвиновым, В.И.Плотни«'- , ковым, У.Ё.Райтумом, А.В.Фурсиковым, И.Экландом и др.

В процессе решения всё более сложных задач появляется необ-

-ходимость в совершенствовании методов оптимизации. Общие схемы решения экстремальных задач приводятся в работах Б-Г.Болтянского, Р.В.Гамкрелкдзе, А.Я.Дубовйцкого и А.А.Милютина, А.Д.Иоффе и З.М. Тихомирова, Л.Нвйштадта, В.И.Плотникова, Б.Н.Пшеничного, В.А.Якубовича и др. При обосновании отих результатов применяются теоремы об обратной ш неявной функции и теорема I.А.йостерняка об аппроксимации множества нулей оператора. Так, георемы об обратной и неявной функции устанавливают дифференцируемость функции состояния по управления), что является, по словам Ж.-Л.Лионса, наиболее сложным этапом решения нелинейных экстремальных задач. Теорема Люстер-ника обеспечивает аппроксимации ограничений, налагаемых на систему, объекта»,га линейной природы, что позволяет затем применять алгебраический аппарат.

В основе упомянутых теорем лежат ограничения ликеаризацпонной природы. В теоремах о неявной и обратной функции требуется обратимость производной оператора, т.е. однозначная разрешимость линеаризованного уравнения в соответствующем смысле. В теореме Люстер-ника предполагается сарьективность производной оператора. В популярном в последнее время методе штрафа наиболее существенным моменте?,!, по оленем 2.—Л.Лпсцсс., л2ляотся доказательство разрешимости сопряженного уравнения, что соответствует условиям теоремы об обратной функции. Эти требования нарушаэтея для широкого класса нелинейных задач математической физики. Возникает необходимость в разработке более эффективных методов оптимизации.

Поль тиботц. Привести примеры нарушения условий теорем о неявной функции и Люстерника в задачах математической фязккд. Дать обобщения этих теорем и обосновать их эф- . фектизиость. Разработать общую охему решения нелинейных оатишза- ■ ционяых задач,'основанную.на понятии расширенной производной. Применить ее для решения широкого класса экстремальных задач для систем с распределенными параметрами.Для исследования вопросов управляемостн и решения обратных и оптимизационных задач для нелинейных бесконечномерных сингулярных систем воспользоваться свойствами эквивалентности.

Научная новизна. Предлагается новые методы исследования

задач оптимального управления для неляней-нше систем с распределенными параметрами и методы линеаризации бесконечномерных систем.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Приведены примеры нарушения условий теорем о неявной, функции и Яюстернака, что препятствует применении известных методов оптимизации для решения соответствующих экстр емалышх задач.

2. Вводится понятие расширенной производной оператора, с помощью которого доказали новые варианты теорем о неявкой функции и Люстерккка, йффективность которых подтверждается примерами.

3. Установлено неизвестное райее явление ухудшения степени дифференцируемое^® решения уравнения йо параметру по мере роста показателя нелинейности и размерности области.,

4. Разработана общая схе?.:а исследования оптимизационных задач для нелинейных систем с распределенными параметрами, основанная на понятии расширенной дафференцируемости. С её помощью установлены условия оптимальности для ряда нерешейных ранее задач.

5. Для приближенного решения оптимизационных задач предлагаются новые итерационные и регулярнаационные методы.

6. Вводится понятие эквивалентности систем управления, с помощью которого установлены новые результаты для нелинейных бесконечномерных систем - управляемость сингулярных систем, условия экстремума для сингулярных уравнений с фазовыми ограничениями, методы решения некоторых классов обратных задач "мате:аатнческой

.физики. i

Практическая денность. Разработанные методы оптимизации

позволяют решить широкий класс прикладных задач для систем с распределенными параметрами(нелинейные процессы тепло- и массопереноса, нелинейные колебания и др.) Предложенные алгоритмы могут быть использованы для практического решения оптимизационных и обратных задач достаточно общего вида. Метод эквивалентных систем может применяться для исследования уп-тэавляемости динамических систем, анализа сингулярных распределенных систем, для решения задач идентификации математических моделей.

Установленные методы линеаризации бесконечномерных систем могут быть использованы в теории экстремума, в теории устойчивости динамических систем, в теории нелинейных уравнений, в обратных задачах математической физики, в методах приближенных вычислений, нелинейном функциональном анализе, дифференциальной топологии, теории групп Ли,- • " _ 5 _

_____Отдельные результаты работы использовалась некоторыми специалистами в области оптимального управления системами с распреде-. ленным, параметрами и внедрены в учебный процесс Казахского государственного университета им. Аль~Фарабя.

Ащпробадня работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на П Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Казань, IS77), Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем е аэродинамике-• (Москва, 1978), Ш Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Киев, 1979), Всесоюзном семинаре "Вычислительные методы газовой динамики и тепломассообмена (Алма-Ата, 1980), П конференции по дифференциальным уравнениям и их применении (Руса, Болгария, 1981), Научно -техническом семинаре "Эффективность машинного решения краевых задач" (Куйбышев, 1982), УП Межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1984), Ш конференция по дифференциальным уравнениям и их применению (Руса, Болгария, 1985), 7 Всесоюзной конференции по управлении в механических системах (Казань, IS85), У Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, Болгария, 1985), УП Всесоюзной конференции ^Проблемы тео~ Р ex¿ Чей кий .кибернетики" (Иркутск, 1уьэ), Ii F есцубликанской конфе-- ренцни "Проблемы вычислительной математика и автоматизации научных исследований (Алма-Ата, 1988), 17 конференции по дифференциальным уравнениям и их применении (Русз, Болгария, 1989), Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи, математической физика" (Алма-Ата, 1989), Всесоюзной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задач?" (Суздаль, 1990), Международной конференция "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Moс-» ква, 1991), а также на научных семинарах профессора С«,А.АДса?ада^ ева (Казахский государственный университет, г. Алматы), члена« корреспондента АШ В.Г .Болтянского (НИИ системных исследований, г. Москва), профессора Ф.П.Васильева (Московский государственный университет, г, Москва), профессора А.И.Егорова (Днепропетровский институт инженеров транспорта, г. Днепропетровск), академика РАН О,А.Ладыженской и профессора Н.Н.Уральдевой (Санкт-Петербургское отделение ЖАН, г. Санкт-Петербург), профессора В.Г.Литвинова (Институт механики АН Украины, г. Киев), члена-корреспондента HAH PK А.ТДукьянова (Казахский государственный университет,г.Ал-кзты), члена-корресдондечта HAH PK М.О.Отелбаева и академика ЙА

- 6 -

?К Ш.С.Смагулоза (Казахский государственный университет, г.Ал-ыаты), профессора Н.Т.Темиргалкева (Казахский государственный университет, г. Алматы), профессора В.М.Тихомирова (Московский государственный университет, г. Москва), профессора Д.У.Умбетжа-нова и профессора М.И.Рахимбердиева (институт теоретической и прикладной математики ЕАН РК, г. Алматы), профессора С.Н.Харина (институт теоретической л прикладной математика НАН РК, г. Алма-ты), члена-корреспондента РАН В.А.Якубовича (Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 36 работах.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя

введение, четыре главы, выводы з список литературы из 184 наименований. Работа изложена на 244 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Зо введение обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель а методы исследования,дается краткий обзор литературы, характеризуются основные результаты заботы.

Первая глава, посвящена методам линеаризации бесконечномерных систем. При решении задач оптимального управления нелинейными системами о распределенными параметрами для построения градиента функционала и сопряженной системы и аппроксимации множества допустимых управлений применяются теоремы о неявной (обратной) функции и Дюстсрнака, Однако их условия нарушаются для широкого класса задач математической физика.

Рассматривается однородная задача Дирихле для уравнения + в * ш в открытой ограниченной области из ^ . Определим про-

странства У « Н«(Д)П V = У' - пространство,со-

пряженное о И , Для любого 1Г« V уравнения (I) имеет единственное решение у^уО!) яз класса 2/ . Для решения оптимизационных задач в соответствии с классическими методами-для нахождения производной минимизируемого функционала требуется дифференцируемооть функции состояния по управлению, т.е.

- 7 -

-отображения : V -—> У . Это свойство устанавливается с шмо<дыо теоремы об обратной функции.

Определи1« оператор Л У V , выбирая в качестве Л £ левую чеоть равенства (I). Яля дифференцируемости отображения и(-): У —> У в точке г^ достаточно установить обратимость производной -Я С$0) оператора Л в точке ~ Это означает, что линеаризованное уравнение

- Д£- + (5> + 1) =. и (2)

для любого ц с V имеет единственное решение а «У.

При с С (52.) Для любого з 1. У левая часть равенства (2) принимает значения из пространства ~ И (Я), кото-ров при достаточно бояышзх р а п. будет собственным подпространством V « Тогда оператор {$«) не обратим, т.е. нарушены условия теореиы об обратной функции. Если теперь оператор 1Д>) дифференцируем по Гато в точке т?0 , то для лзбого

и £ у при сг-» 0 шзег место сходимость а у 1 [ уссга + <ги) -у0]/сг -»-¿/'(и^ц.В результате получаем равенство

~ + |^0!Я[и'(1?0)и] а и. .

Тем самьм для лвбого и £ V -урявненяа (2) имр.йт р«леяи® ? - ч из у , что противоречат установленному ранее свойству. Таким образом, справедливо утверждение:•

Теорема I. При достаточно больших значениях параметров р в п оператор не дифференцируем по Гато.

Приводятся таете примеры наруиения условий и утверждений теорем о неявной функции а Люстерника» что свидетельствует о наличии принципиальных трудностей при решении соответствующих оптимизационных задач известными методами.

Отметим, однако, что уравнение (2) обладает некоторыми положительными свойствами, Определим пространства

н;т), е уа)], У<«У«Ж£

Для любого Ц.« УЧ^о) уравнение (2) имеет единственное решение 2 с У('Оа) , что можно понимать как ослабленную форму условий теорема об обратной функции - при свободных членах из более узкого класса уравнение (2) оказывается разрешимым в более

слабом смысле. Полно опадать, что в этой связи оператор ус) ■ будет обладать некоторыми свойства*®, которые коглп бы быть использованы на практике. В результате просодии к следующему определенна:

Определение I. Пусть - банаховы простран-

ства. Оператор L'-V"^ У назовем расширенно дифференцируемыы( точнее, ( V0, Уа % V*, У»)- расширенно диффзренцаруешш по Гато) в точке i70 , если существуют банаховы пространства V0, Ув, V* , У*. , удовлетворяющие непрерывным и плотным влокевиям У^Уо^ » е оператор <2> € ¿t(Vo,. такие, что при сг \ О для любого и. eVt? имеет место сходимость

Шо+О-и) _ в э

сг ■

Область определения расширенной производной уно, а область значений - пире, чем у классической производной, а предельный . переход устанавливается в более слабой топологии и для более узкого класса направлений. При = V, имеем обыч-

нуз цроизводнув Гато.

Пусть пространства , и У(&о) для уравнения

(I) "имеет тот ге енд, что и ранее. Справедлива .

Теорема 2. Оператор (

- расширенно дифференцируем в лпбой точке so « у.

При малых значениях показателя нелинейности J> и размерности области а в условиях влоаения Но (Л) <= (&■) справедливы равенства V®. e V, У#~У . и оператор оказывается даф$зренцаруемш"в .классическом смысле. Если параметры

J3 и п> столь велики, что указанное влогензе не игле от места, то оператор уже не будет дифференцирует® по Гато, оставаясь тем не менее распиренно дифференцируемым. Чем больше значения показателя нелинейности и размерности области, характеризующие степень сложности уравнения, теа сильнее пространства, входящие в определение расширенной производной, будут отличаться от V и У , Таким образом, наблвдается постепенное ухудшение характера зависимости решения уравнения от свободного члена по мере возрастания степени сложности задачи. Тем самым вместо альтернативы (производная Гато существует при малых значениях J> и п

9 —

-и не существует при больших значениях этих параметров), мы получаем более точкув картину: расширенная производная существует всегда, но кавдоыу конкретному значению параметров р, и v0 соответствует свой тип расширенной производной.

Полученные результаты наводят на мысль о том, что б терминах расширенных производных можно установить некоторые варианты теорем о неявной (обратной) шункшш и Люстерника. Пусть даны банаховы пространства V , у , точки U"c s V и оператор

У —*- V , дифференцируемый по Гато в 01фестности 0 точки . Предположим, что при -»Те в существует такое

значение е Ъ , что Jl y(V) = V . Будем полагать,

что для любого тТе0 существует банаховы пространства V^, У^, Ч№), ЪйЗ) . удовлетворяюще непрерывным и плотным вложениям

VA в V(O)« V, У У№ *= У* , и оператор

i _

S Л' [^о + г [ум - у0)] ir

имеет непрерывное продолжение & (V) на . Предполоким,

что для всех veQ , е 5/{гт)' уравнение

fiivfp = ya __ ш

имеет единственное решение р = Pj«. (UJ из , причем

при С 0 имеет место сходимость f»^(г5"в + cru) -*•

* - слабо в Для всех Це^, равномерно по ju из

множества £ ju € J II ju f| = £ у - Имеет место

Теорема 3. При сделанных предположениях оператор (V^o), ; V*, Ул) - расширенно дифференцируем в

точке гГ0 .

Соотношение между теоремой 3 к классической теоремой об обратной функции дают следующие утверждения:

Теорема 4. При выполнении условий теоремы об обратной функции справедливы условия теоремы 3,

Теорема 5. Для уравнения (I) выполнены условия теоремы 3.

На основании этих результатов заключаем, что теорема 3 является обобщением теоремы об обратной функции. Приводятся такке соответствующие аналоги теорем о неявной функции и Люс-терника. Эти утверждения создают основу для дифференциального

- 10 -

исчисления в банаховых пространствах. Го обстоятельство, что ■ функциональные пространства, связанные с расширенной производной, учитывают особенности кошфетного оператора и меняются от точки к точке, придают определенную гибкость предлагаемому математическому аппарату. Это позволяет надеяться на то,'что расширенные производные оператора смогу? заменить классически® операторные производные во многих приложениях - в нелинейном функционально?.! анализе, теории экстремума, теории устойчивости, вычислительной математике, функциональной топологии, теоши групп Ли и др. Мы ограничимся рассмотрена ем задач оптимального управления для уравнений математической физики.

Во второй глдвй дается общая схёма решения задач оптимального управления нелинейными системами с распределенными параметрами. В зависимости от характера налагаемых на систему ограничений и свойств минимизируемого функционала устанавливается та или иная форма условий оптимальности. При этом используется аппарат расширенного дифференцирования и свойства конкретных нелинейных уравнений математической физика.

Пусть, в частности, требуется минимизировать функционал

1^45 ♦1-5Ля ,

Л • * а

£де у - решение'-уравнения (I), 2 ¡г - известная функция,

> О .В силу недифференцируемости функция состояния по управлению и - недостаточно высокой регулярности функционала применение известных методов для решения данной задачи не представляется возможный. Однако с помощью теоремы 2 нетрудно установить, что ее решение определяется по фор?,?улэ 1Г0 = р/Р » где р есть решение однородной задачи Дирихле для уравнения

-¿Р + (р-К*)/у<»7в1/*р = 'Ж-УФЛ,-

Глава включает в себя следующие разделы:

§ I. Условие стационарности.

§ 2. Вариационные неравенства.

§ 3. Принцип Даграяжа.

§ 4. Принцип максимума.

§ 5. Метод множителей Лагранжа.

§ 6. Метод шатров.

§ 7. Оптимальность по Парето.

- И -

' § 8. Задача -с бесконечномерным ограничением. § 5. Достаточные условия оптимальности. § 10. Приближенные условия оптимальности.

В качестве примеров рассматриваются экстремальные задачи для следующих уравнений:

- нелинейные уравнения эллиптического типа ( §§ I, 3, 9) ;

- нелинейные уравнения параболического типа (§§ 2,7,8,10);

- нелинейные уравнения гиперболического типа (3 5) ;

- стационарные уравнения Навье-Стокса (§ 2) ;

- нестационарное уравнения Невье-Стокса (§■ 4) ;

- Ентегро-дкфференциальные уравнения (§ б);

- уравнения с запаздывапцим аргументом (§7).

Допускаются следующие типы управлений: . _ •

- распределенное управление ( §§ 1,2,6,7,9,10);

- начальное управление ( § 8) ;

- граничное управление С § 5) ;

- сосредоточенное управление ( § 4);

- управление в коэффициентах ( § 3) ; - векторное управление ( §§ 2,4).

Множества допустимых управлений характеризуется следушдими свойствами^

' - ограничения отсутствуют ( § 1,9);

- выпуклое множество (§§ 2,3,7,10);

- поточечные ограничения ( § 4);

- фазовые ограничения ( §§ 5,6) ;

- бесконечномерные терминальные .ограничения (§ 8).

В качестве критериев оптимальности выбираются следующие, типы функционалов:

- распределенный функционал ( §§ 1,2,4-6,9) ;

- терминальный функционал ( § 2) ;

- недифференцируемый функционал {§ 3) ;

- невыпуклый функционал ( § 10) ;

- энергетический функционал ( § 8) ;

- векторный функционал { § 7).

Для всех рассматриваемых примеров доказано существование оптимального управления. т?

Описанные катоды еще на дают средство для практического решения экстремальных задач, обеспечивав лишь переход от их исходной постановки к условиям оптимальности. Дальнейшее иссле-доваше задач оптимального управления осуществляется в главе 3.

Глаза 3 посвящена главным образом .вопросам приближенного рэиенпя задач оптимального управления для аола-яейных метем с распределенными параметрами.

Рассматриваются прямые методы минимизации, причем дая на-хогтлепия градиента функционала применяется расширенные производные, а в качестве примеров решаются экстремальные задачи для эллиптического типа с распределенной и граничной нелинейностью.

Предлагается использование теории неподвижных точек для прямого исследования условий оптимальности. При этом справедливость условий теорем Банаха гарантирует единственность оптимального упеазлекяя, достаточность условий экстремума, ксрроктнссть оптимизационной задачи по Адамару я сходимость метода последовательных праблхгэнд:'. 3 качестве примера рассматривается вариационная задача для яагшайного уравнения теплопроводности из главы 2.

Исследуется принцип Яагршггл

¿.(и, У, р) = гиСп р)

гУбСГ

где I ' - функция Яаграята, и - оптимальное управление, у -оптимальное состояние, р - реаенив сопряженного уравнения, V - множество допустимых управлений. Это соотношение представляет собой варяацасЕяуз задачу, для репеняя которой предлагается использование градиентных методов (методы проекции гтза-даеита а субградиента, метод условного градиента). Показано, что эти алгоритмы сходятся к роседало вариационного неравенства

р)(и-и) 7/0 где ¿ц - производная функционала I. по первому аргументу. В качестве примера рассматривается экстремальная задача для уравнения гиперболического типа из главы 2.

Для задачи перезова системы, описываемой нелинейным уравнением теплопроводности, в заданное состояние с шкимальтш затратами энергии предлагается алгоритм, сочетающий в себе свойства методов последовательных приближений и стрельбы.

Предлагается использование метода Тихонова для регуляриза--13 -

Iда внроэдавдихся условий оптимальности и поиска особого управления. В качестве прилоаетая рассмотрена система, описывазлая нелинейным параболическим уравнзниэм. Доказаны некорректность вариационной задачи в смысле Тихонова и сходимость метода регуляризации.

Описывается алгоритм решения экстремальных задач, предполагающий согласованное снижение итерационной, регуляризационной и аппроксгшационной погрешностей. Это достигается корректировкой сетки в процессе счета параллельно с уменьшением параметра регуляризации и выполнением итерационного процесса. В качестве примера решается задача восстановления коэффициента диффузии газа по результатам измерзши его концентрации. Расчеты свидетельствуют о достаточно высокой эффективности алгоритма по сравнению с аналогичными методами на фиксированной сетке в смысле быстродействия и точности вычислений.

Вводится понятие слабо корректных экстремальны* задач. Показывается, что многие некорректные по Тихонову задача слабо корректны. Для их регуляризада предлагается метод, основанный на теории абстрактных рядов Фурье.

Чотг^сттут обгатшнсгоя' « пратпвйтвташмв продает

исследования и общая концепция - принцип линеаризации для нелинейных бесконечномерных систем управления.. В ней предлагается метод эквивалентности для решения комплекса проблем, связанных с нолинейвышг распределенными системами.

Пусть с;:ст ста управления характеризуется уравнением

Л(гГ> у) = 0 . {3)

Обозначим чьрез V и У проекции множества нулей оператора Л' т.е. шояества допуотшцх управлений и состояний. Для любого уггравлзняя 1/6 V существует состояние уи у » удовлетворяющее равэнству (3). Рассмотрим такяа уравнение-

ВЫ,2) »0 (4)

с соответствупщшс проекция?® множества нулей ^ а 2 .

Определение 2, Састош (3) и (4) назовем эквивалентными при выполнении равенства ~

Рассмотрим пршэр. В области Л Я3 исследует уравнена©

- У* = V-

Для любого ОГе Н"£(Л) оно имеет единственное решение у ~ уа>) из класса Н^ (Л) . Дано такка уравнение Пуассона

да = ц

Л -1

однозначно разрешимое в пространстве Н0(Л) для всех Ц с Н Для любого тТе Н (Л) функция и= & принадлежит классу

Н (ЯЗ . Соответствующее ей решение 2 = 2СМ) уравнения Пуассона совпадает с ^(гт) . Аналогично, для любого и« ,

выбирая тТ = и - 2(и) 5 , уогачовш, что у со) — 2-(и). Таким образом, либое решение рассматриваемого нелинейного уравнения будет удовлетворять уравнении Пуассона для некоторого управления л наоборот. В этом смысле данные системы считаются эквивалентном. Тогда некоторые свойстза нелинейной системы можно установить исходя из соответствующих свойств эквивалентной ей линейной система.

Естественным приложением метода эквивалентности является теория управляемости,Система управляема тогда и только тогда, когда управляема любая эквивалентная ей система. Рассмотрим сингулярное уравнение гиперболического типа

У* - » Ц (5)

с некоторым краевыми условиями. Ставится вопрос,.будет ля эта система стабилизируема, т.е. существует ли пара , удов-

летворявддя равенству (5) и условиям

- 0 ' А-т -0.

При малых значениях параметра р данная система эквивалента системе, характеризуемой волновым уравнением

л" - Д2 в и.

Тогда стабтшзируемостъ исходной системы следует из соответствующего результата для линейной системы. Прямое доказательство этого результата не представляется возможным, зо-лервых, из-за нелинейности уравнения (5), во-вторых, из-за его сингулярности - не для всякого свободного члена уравнение, имеет глобальное решение. Аналогичным образом доказана управляемость системы, описываемой нелинейным уравнением теплопроводности с граалчным управлением и наблюдения,!.

- 15 -

Пусть теперь в области л! ^ К дано уравнение

АН + у* «= гг + £ (6)

е функционалы

ТЛЪУ) = 5 ^ О,^, ^ , £ = о,

1 л,

Задача состоит в отыскании такой пары (С^у) , которая минимизирует функционал I 0 при выполнении равенства (б) и условий 1с С15» У) £ 0 , £- 4-, ...,«». Рассмотрим уравнение Пуассона

------.. Дг =41-4-^

и функционалы

Ставится задача отыскания функции и , мкнша'.зирувщбй функционал и Э<> 2(и)] при выполнении условий Ги, < О,

в силу линейности уравнения ее решение и0 может бсть найдено с помощь® метода множителей Латравзгл. Тогда решение исходной задачи определено пс формулам гг~ио + щщ0) , у = 2(иа). Ее непосредственное решение затруднительно не только из-за не-лкнейности уравнения (6), но и в силу его, вообще говоря, неоднозначной разрешимости. -.

Теория эквивалентных систем применяется такке для решения обратных задач математической физики. Пусть требуется определить свободный член уравнения

+ !и> + * '

по результатам измерения функции £ « С помощью преобразования ц = гУ+ можно перейти к обратной задаче для линейного уравнения теплопроводности. Аналогичным образом решается обратная-задача для уравнения

Если требуется восстановить функцию ' т!" для системы

= + ид } ,

по результата;« измерения состояния , го соответствующая

эквивалентная задача характеризуется одним линейным уравнением. Задача определения функций ^ , г^ для систшы

у! «и* , г =

моде? быть сведена к двум нопагаст^л обратным уравнениям и одним идентифицируем™ параметром. Результаты чгс-тенного решения рассматриваемых задач свидетельствуют о высокой эффективности метода эквивалентности по сравнению с прямыми методами решения этих задач.

ВЫВОДЫ

1. Введено понятие расширенной производной оператора,обобщающее классические производные. Доказаны аналоги теорем о неявной функции и Люстерника в терминах расширенных производных, обобщающе известные утверждения. Эффективность предлагаемой методики подтверждается примерами нелинейных задач математической Физики. Полученные результаты могут быть использованы для обоснования методов линеаризации бесконечномерных систем.

2. Разработана общая схема исследования нелипейнпх задач оптсдально:о управления, в основе которой лежат свойство расширенной дишфереяцируемоста функции состояния по управлению. В зависимости от характера налагаемых на систему ограничений и свойств минимизируемого функционала устанавливаются различные формы условий оптимальности. В качестве приложения рассматривается широкий класс ранее не исследованных экстре!,тальках задач, связанных с не-лияэ^чкмл уравнениями математической физика.

3. Для практического решения задач оптимального управления предлагаются различные итерэлзошше методы а штоды регуляризация.

4. Предлагается метоъ эквивалентности для исследования вопросов управляемости и рапгаияя оптимизационных задач и обратных зазач математической фазпки. Качественный и количественный анализ подтверждают йго достаточно высокую эффективность.

5. Результаты хобота внедрена в учебный процесо Казахского государственного университета игл, Аль-*6араби. Опубликовав кура z-viiát, учебное пособие, методическая разработка.

ПУБЛИКАЦИЯ. По результатам диссертации опубликованы 26 работ, из которых основными являются следуйте:

I. Серовайский 0,п. Задача оптимального управления для олжп-тичоской система со степенной нелинейяост^ю//Сиб.матем.псурн.-1984.- III.- о. 120-125.

2. Серовайскнй С.Я. Квазисопряжэнные системы л необходимые условия оптимальности в нелинейных бесконечномерных системах//Изв вузов. Матешгияа.-1989.- Jé 4,- c.GI-69.

3. Серовайский С.Я. Метод регуляризапии по А.Н.Тихонову в задаче оптйлалъного управления нелинейной параболической системой // Сиб.-матеы.журк.- I989.-tèI.- с.212-215.

4. Серовайский С.Я. Линеаризуемость бесконечномерных систем управления// Изв.вузов. Математика.-1990.-М2.-с. 9-16.

5. Серовайский С.Я. Метод регуляризации в задаче оптимального управления сильно нелинейной эллиптической систамой // Сиб. матем.журн.-1991,- & 2.-с.207,

6. Серовайский С.Я. Необходимые и достаточные условия оптимальности для системы, описываемой нелинейным уравнением эллиптического типа//Сиб.матем.яурн.-IS9I. -Js3. -с.141-150.

7. Серовайский С.Я, Приблизенные условия оптимальности для системы, описывает,юй нелинейным параболическим уравнекиа\уУйзв. вузов. Математика.-I99I._-Jê II.- с. 52^50.

8. Серовайский С.Я. Расширенная дафференцируемость неявкой функхис в пространствах без нормы // Изв.вузов. Математика.—

1991.- SH2.- П.55-6Я.

9. Серовайский С.Я. Оптимальное управление в нелинейной стационарной системе с немонотонным оператором // Диф. уравнения.-

1992,- № 9.- с.1579-1587.

10. Серовайский С.Я. Необходимые условия оптимальности для " одного класса сингулярных уравнений зллпдтичейкого айда// Сиб. матеы.яурн.-IP92. Jfc 3.-с.206-210.

11. Серовайский С.Я, Устойчивость по линейному приближению в бесконечномерных системах//Изв.вузов.Математика.-1992,- й 8,-с. 57-64.

12. Серовайский С.Я. Метод регуляркзадаи в задаче оптимального управления нелинейной гиперболической системой//Дкф.уравн. -1992.-MI.-с. 2009-2011.

13.Серовайский С.Я. Оптимальность по Парето для системы, описызаемой нелинейным уравнением параболического типа//йзв. вузов.Математика.-1992.- Ж1.-С.55-64.

14. Серовайский С.Я. Дифференцирование обратной функции в ненормированных пространствах//Функц.анализ и его прил.-1993.-

.."•• С- .у. 1-3._____^ ■ ________________

15,. СерозайскийПТН7Оптимизация s нелинейной эллиптической системе с управлением в коэффициентах//-¥атеы. заметки., - 1993.-Т.54, ¡," 2.- с.85-95,

Серовайский Семен Яков уяы

сызл-дж^. Kvisc МАШАТЖШ^ ФИЗИКА ЕСЕШШН ТММДЕ бкщаш

Парамвтрлар1 угестСрияген ж^йедзрд^ raiufli оасг^ару есвп-.•эрСн тану ^uiH сыэд^тау эл1ствр£н г^растырадн. Ctnuiyrm^ jmqo т!ймдСл1к есептэрСн ®5?аруяш\< опора-горда^ туынднсын сэ^ейту ртагыяа нег1зцелгвн *алпы гус^асы бершед^ . Экстре-гальцш^ зсептерп^ щщ пютарудан эрт^ргаль игерациялт$ и не :»ндеэд1а густер усынылаца. Скчтрт^ емэс я^еяэрдь басха-lyuc^ саншщ^р£ сапалкк^ анализа алу упсн л^елард^ явивалентги.тск здесь крлданнлада.

Serovajsk;' Semen Jakovlevtoh-SXIEliTSD DIPyEHEHTIATXOII A3D OPTIMA!. CuNTROL THEQ2Y 1Л SHE BON ИДЕАЛ PHOBLEJiS OS1 1HE ¿ШВЖШСА!, IHYSICS

The linearization aetiiods fox the optiaal eonrtol problems i the distributed parameter systems are oonsidersd. She gene-

principle for the non-■linear optTaai control problems 3ing the notion' of the extended derivative ia proposed. The lias iterative and 'regula.ri^ational. aethodsior the resolution ' the variational problems are- used. She equivalent- systems ithod for the investigation, of the nan linear control ayateaa | proposed.