Приведённые модули и теоремы искажения в теории однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1.1. Основные обозначения

§1.2. Определения и известные факты

§1.3. Квадратичные дифференциалы и задачи об экстремальном разбиении '

§1.4. Разделяющее преобразование конденсаторов и областей

Глава 2. Приведённые модули

§2.1. Вспомогательные результаты

§2.2. Основная асимптотическая формула

§2.3. Монотонность приведённого модуля

§2.4. Изменение приведённого модуля при мероморфном отображении

Глава 3. Неравенства для внутренних радиусов

§3.1. Теоремы об экстремальном разбиении

§3.2. Задача Г. П. Бахтиной

§3.3. Задача Е.Г. Емельянова

§3.4. Дифференциальные свойства внутреннего радиуса

Глава 4. Теоремы искажения

§4.1. Оценки производной обратной функции

§4.2. Теоремы искажения и монотонность функции Грина

§4.3. Обобщённые теоремы искажения

Одним из центральных вопросов теории ёмкостей конденсаторов и модулей семейств кривых или поверхностей является изучение асимптотического поведения этих величин при вырождении соответствующих объектов. Важнейшей характеристикой указанной асимптотики является приведённый модуль соответствующей конфигурации. Изучению приведённых модулей и их применению в теории функций посвящены работы JI. Альфорса, А. Бёйрлинга, Дж.А. Дженкинса, И.П. Митюка, Г.В. Кузьминой, А.Ю. Солы-нина, Е.Г. Емельянова, В.Н. Дубинина и других математиков.

В течение последних десятилетий были достигнуты значительные успехи в решении задач об экстремальном разбиении, то есть нахождении точной верхней грани взвешенной суммы приведённых модулей специального вида. В частности. Дж.А. Дженкинс установил связь подобных задач с теорией квадратичных дифференциалов на римановых поверхностях. Также отметим, помимо уже упомянутых авторов, работы М.А. Лаврентьева, П.П. Куфаре-ва, Г.М. Голузина, H.A. Лебедева, Ю.Е. Аленицыпа, 3. Нехари, П.Л. Дюрена, М.М. Шиффера, Г.П. Бахтиной, А.К. Бахтина, В.О. Кузнецова, С.И. Фёдорова.

Приведённый модуль в классическом понимании, восходящем к работам Г. Грёча и О. Тейхмюллера, тесно связан с внутренним радиусом плоской области. Актуальность получения новых неравенств для внутренних радиусов обусловлена их теоретическими и практическими приложениями в различных областях математики и математической физики. Примеры эффективных приложений такого рода можно найти в монографиях В.К. Хеймана [42], Г.В. Кузьминой [28], Г. Полиа и Г. Сегё [37], а также в обзорных статьях Л.Е. Иейна [55], В.Н. Дубинина [10], К. Бэндл и М. Флючера [43].

В теории функций комплексного переменного приведённые модули применяются при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [59], однолистных гармонических отображений [45], многолистных функций [42].

Значительна роль приведённых модулей в теории конформных отображений, где они являются эффективным инструментом при доказательстве теорем искажения, то есть оценок функционалов, включающих модуль меро-морфной функции и её производных. Теоремам искажения для однолистных функций посвящена обширная литература (см., например, [6, 7, 46]). Среди современных исследований на эту тему отметим работы Д. Минды, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, А.Ю. Васильева, Е.Г. Голузиной.

Целью диссертационной работы является развитие техники обобщённых приведённых модулей, получение новых неравенств для внутренних радиусов плоских областей, а также нахождение верхних и нижних граней некоторых функционалов в классах однолистных функций.

Нервая глава диссертации носит вспомогательный характер. Большинство содержащихся в ней результатов в той или иной форме известны специалистам. В §§1.1, 1.2 собраны основные обозначения, определения и некоторые известные результаты теории потенциала на плоскости, необходимые для дальнейшего изложения. В частности, определяется конденсатор как упорядоченная пара (Р | Д), где Р — . . . , Еп) — последовательность непересекающихся непустых замкнутых подмножеств С (пластин), А = (51,., 5П) — последовательность вещественных чисел. Емкость конденсатора равна точной нижней грани интегралов Дирихле от функций, которые: непрерывны на С; локально липшицевы за исключением конечного множества точек; равны 5к на множестве Ек, к = 1., п.

В §1.3 приведена формальная постановка задачи об экстремальном разбиении, а также теоремы, связывающие эту задачу с квадратичными дифференциалами, заданными на подмножествах комплексной сферы. В заключительном параграфе первой главы излагаются некоторые результаты метода разделяющего преобразования для обобщённых конденсаторов и областей.

Во второй главе диссертации изучается приведённый модуль комплексной сферы относительно конечного множества точек, с каждой из которых ассоциированы три вещественных параметра. При дополнительном условии, являющемся необходимым для существования приведённого модуля, вычисляется его значение.

Параграф 2.1 посвящён изучению общих семейств конденсаторов, зависящих от одного вещественного параметра. Рассматриваются условия, при которых малое изменение формы пластин конденсатора не влияет на асимптотическое поведение его ёмкости. Результаты этого параграфа приводят к построению приведённого модуля комплексной сферы.

Пусть при к = 1,. ,т £ С — различные точки; 5к — произвольные вещественные числа, не все равные между собой, и пусть ¡лк, ик — произвольные положительные числа. При г 6 С положим г) = {СеС : |С-г| и(оо,Г) ={СеС : ¡(1 > 1/г}. сЫ сЫ'

Введём следующие обозначения:

Z = (г1, . , гт), А = (¿1, . . . , 5т), Ф = (^1, ■ ■ ■ , Фт), где фк(г) = цкг"к, Ек(г) = и (г/,, V/.; (г))> А; = 1,. . , ш;

К1 , С(г; Д, Ф) =' (ОВД, ■ ■ •, Е,п(г)) | А).

Если существует конечный предел

М{г, А, Ф) Нт (|С(г; г, А, Ф)| + ^ 1ое г) , г —>•0 \ /7г / то он называется приведённым модулем С относительно А и Ф. Основным результатом §2.2 является

Теорема 2.9. Для любых последовательностей

2 = (г1,.,гт), А = ($!,.,6т), Ф = Оъ - - -, фт), т где 1р1(г) = Щ'гМ1, I = 1,., ттг, удовлетворяющих условиям ^ = О,

1=1 т

2 ф- 0; приведённый модуль комплексной сферы существует и справедлива

1=1 формула

М (г, Д, Ф) =(- Е £ 108№ - Е Е' ^ - ^

1=1 1 1=1 к=1

9 / гп с-9 т т Г Г 5 \ ^ ^ т

2,-1

2тт \ ^ ' ^ ^ щик

-1 где и — I ^

V/ ! ' /

Здесь и ниже символы и Л' обозначают суммирование и произведение только по тем значениям индекса, при которых слагаемое конечно (соответственно множитель конечен и отличен от нуля).

В третьем параграфе второй главы приведённый модуль С сравнивается с приведённым модулем открытого подмножества С, введённым ранее В.Н. Дубининым [12]. Найдены необходимые и достаточные условия сохранения приведённого модуля при расширении открытого множества. Результаты этого параграфа позволяют получать полные описания экстремальных конфигураций как в ранее исследованных задачах [12, 14, 17], так и в новых, рассматриваемых в третьей главе диссертации. В §2.4 устанавливается связь между величинами приведённых модулей открытых множеств и производными ме-роморфных функций, область определения либо область значений которых лежит в этих множествах. Эти результаты лежат в русле направления, разработка которого была инициирована статьёй В.К. Хеймапа [48], показавшего связь метрических характеристик дополнения к области значений мероморф-ной функции с аналитическими характеристиками этой функции.

В третьей главе с применением результатов предыдущих глав и метода разделяющего преобразования изучаются экстремальные и дифференциальные свойства внутреннего радиуса плоской области, который связан с приведённым модулем равенством r(B, z) = ехр{2ттМ(В, (z), (1), (г ^ г))}. (0.1)

Ввиду последнего соотношения неравенства для внутренних радиусов могут быть сформулированы в терминах приведённых модулей, что дополнительно сближает третью главу со второй.

Параграфы §§3.1, 3.2 посвящёны задачам об экстремальном разбиении, при этом мы обращаемся к известным нерешённым проблемам. Задачи о максимуме произведения внутренних радиусов непересекающихся областей относительно точек, лежащих на окружности, рассматривались в статьях [1]-[3], [9], [31] и других. Возможности традиционных методов, в частности вариационного, при решении подобных задач ограничены. Полное решение методом вариаций удаётся получить лишь при малом числе областей. При использовании метода разделяющего преобразования в сочетании с симметризацией вдоль траекторий квадратичных дифференциалов также возникают значительные трудности. В сжатом виде проблемы развития упомянутых методов отражают нерешённые задачи об экстремальном разбиении.

Первая теорема §3.1 частично решает задачу, поставленную в обзорной статье [10]. Вторая теорема этого параграфа отличается от большинства аналогов отсутствием требования неналегания областей — она сформулирована в терминах их объединения. Пусть В — открытое множество, z £ В, D — связная компонента В, содержащая 2, до — функция Грина области D. Положим r(B, z) =f r(D, z), дв((, z) =' ¿/d((> z) пРи С £ D, дв{(, z) = 0 в противном случае. Множество Е С С полярно, если для любой конечной борелев-ской меры /х / 0 на С с компактным носителем, лежащим в Е) выполняется ff log \z — w\ d^{z)djji(vj) = —oo.

Теорема 3.3. Пусть z& = exp(i6k), где 0 = Q\ < ■ ■ • < 6>2n < #2n+i = 27г. Пусть В С С — открытое множество с неполярным дополнением. Если Zk £ В, к = 1,. . •, 2п, то выполняется, неравенство

2/1. \ 2n 'In

II " > П П ехР < (2 /г)2". к =1 / к.=1 ¿=1

Равенство достигается тогда и только тогда, когда = п(к — 1 )/п,

2 п к = 1,. . . , 2п, и множество В \ (J {z : arg z = п(2к — 1)/(2ri;} полярно. k=i

Этот результат обобщает некоторые ранее известные теоремы об экстремальном разбиении (10, 12]. Параграф §3.2 посвящён задаче 9.3 из перечня открытых проблем в [10], восходящей к работе Г.П. Бахтинон [2]. Обозначим Е* {г 6 С : 1 /z £ Е]. Решением задачи Г.П. Бахтиной является

Теорема 3.5. Пусть п ^ 3, = 0, ад: = ехр(г#/,:); к = 1,.,?г. где О = 6\ < в'2 < • • ■ < 9п+\ — 27г. Для любых попарно непересекающихся областей В^, удовлетворяющих условиям £ Вр;, к = 0, . . . , Вк = В*., к = 1,., п, справедливо неравенство

Равенство достигается тогда и только тогда, когда а/;; = ох:.>(27гг(А; — 1 )/п), k = 1, . . . , п, и при к = 0, . . . , п имеет место равенство В^ — С/, \Е, где G'/. —

•) , г2'" {2п~ — 2)z"' + 1 " 2 круговая область квадратичного дифференциала------—-az , содержащая точку ak. Е — полярное множество.

Представляют интерес свойства приведённого модуля отн ^сительно п точек isaK функции, заданной на подмножестве С". В случае п = ввиду (0.1), эта задача сводится к изучению дифференциальных свойств внутреннего радиуса, котором)' посвящены §§3.3, 3.4. На этом пути в §3.3 найдено новое решение следующей экстремальной задачи: среди всех односв чзных областей D с фиксированным внутренним радиусом r(D,0) найти область с наибольшим значением r(D.l). Оно значительно проще первоначального решения, найденного в 1996 г. Е.Г. Емельяновым, в котором использовались недавние результаты в теории задач об экстремальном разбиении.

В параграфе §3.4 устанавливаются условия, при которых внутренний рас1п диус является выпуклой функцией точки. Пусть <9™/(ги) = -^¡{ии + Ье1'-?) Как показали Д. Минда и Д.Дж. Райт [54], для выпуклой области О ф С, С имеет место неравенство д'^г(0,а) ^ 0, а £ у? £ Е. Нахождение условий, при которых выполняется противоположное неравенство, значительно сложнее, и доказательство [54] не распространяется на этот случай. Тем не менее, в §3.4 доказана

Теорема 3.9. (а) Если И — область с выпуклым дополнением, содержащим более одной точки, то при всех а £ 1)\{оо} и <р> £ М выполняется неравенство ^(Да)^О. б) Если В — регулярная область для задачи Дирихле, и при всех а £ Б \ {со} и (р £ М выполняется д^ 0, то С\В — выпуклое множество.

В четвёртой главе с привлечением теорем об экстремальном разбиении и результатов второй главы решаются задачи по экстремизации некоторых функционалов от однолистных функций. В отличие от классических постановок, рассматриваются функции, обратные элементам известных классов однолистных отображений, в частности множества Б регулярных и однолистных в единичном круге функций /, нормированных условиями /(0) = 0, /'(0) = 1, и множества Бм =£ {/ £ Б : \/(г)\ < М при \г\ < 1}.

Обозначим к(г) = * И = к"1, км{г) = МИ(1ф)/М), Им = км\

1 — г)" - 2£

Им = ——1/(4М)), 8(Ь) = 1 + Имеет место

Теорема 4.1. Пусть £ Бм, 0 < р < Км- Если 5 ^ ё(Мк(р/М)), то при |гио| = р имеет место неравенство д'Ы\ > и'М(Р)

Равенство достигается только при д(и}) = 1иор'~1Ьм(р'ш0Лъи)

В случае 8 > 8(Мк(р/М)) неравенство справедливо не всегда.

Теорема 4.1 приводит к ряду следствий, в том числе к количественному варианту теоремы об обратной функции.

Следствие 4.8. Пусть ю = ¡(г) — отображение открытого множества А с С е С, дифференцируемое относительно С. Пусть а £ П, Ь = /(а) и / инъективно в и(а, е), е > 0. Тогда при г = е|//(а)|/4 обратное отображение д дифференцируемо в 1](Ь,г), причём

Па)\-Ч ^ И«,)| < \Па)\-Ч (-М) , „ е и(Ь,г).

В параграфе 4.2 доказываются теоремы искажения для функций, обратных элементам мало изученного класса однолистных отображений, покрывающих круг заданного радиуса с центром в нуле. Полученные оценки дополняют теорему А.Р. Прасса о радиальном убывании функции Грина, использованную им для усиления теоремы Бёйрлинга об изменении гармонической меры при радиальном преобразовании Маркуса. Третий параграф четвёртой главы посвящён применению главы 2 к теоремам искажения. Получены обобщения теорем М.А. Лаврентьева, П.П. Куфарева и К. Лёвнера. В четвёртом параграфе намечены приложения результатов диссертации к задачам рациональной интерполяции.

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Введено понятие приведённого модуля комплексной сферы, доказана формула для его вычисления. Получены необходимые и достаточные условия сохранения приведённого модуля при расширении множества.

2. Изучены дифференциальные свойства внутреннего радиуса. Найдены необходимые и достаточные условия выпуклости внутреннего радиуса как функции точки.

3. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении. В частности, решена задача Г.П. Бахтиной о произведении внутренних радиусов симметричных неналегающих областей.

4. Найдены точные оценки модуля производной обратной функции в известных классах однолистных отображений. Доказаны теоремы искажения для однолистных функций, обобщающие классические результаты М.А. Лаврентьева, П.П. Куфарева и К. Лёвнера.

По теме диссертации опубликовано 11 работ [14], [17]-[26].

Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997-1999), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998, 1999), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н. В.Н. Дубинин), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. H.H. Фролов), на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и его Хабаровского отделения (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов).

1. Дубинин В. Н. Приведённые модули открытых множеств в теории аналитических функций. Докл. РАН 363, №6 (1998), с.731-734.

2. Дубинин В. Н., Ковалёв Л. В. Приведённый модуль комплексной сферы. Зап. научн. семин. ПОМИ 254 (1998), с.76-94.

3. Емельянов Е. Г. Некоторые свойства модулей семейств кривых. Зап. научн. семин. ЛОМИ 144 (1985), с.72-82.

4. Емельянов Е. Г. О максимуме конформного радиуса в семействах областей, удовлетворяющих дополнительным условиям. Зап. научн. семин. ПОМИ 226 (1996), с.93-108.

5. Ковалёв Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности. Далвневост. матем. сб. 2 (1996), с.96-98.

6. Ковалёв Л. В. Функции, обратные однолистным в круге. Прим. матем. сб. 1 (1999), с.58-62.

7. Ковалёв Л. В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций. Зап. научн. семин. ПОМИ 263 (2000), с.141-156.

8. Ковалёв Л. В. О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей. Изв. вузов. Математика №6 (2000), с.80-81.

9. Ковалёв Л. В. Я теоремам покрытия в теории регулярных функций. 1-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997). Тезисы докладов, с.28.

10. Ковалёв Л. В. Приведённый модуль сферы и задачи об экстремальном разбиении. 23-я Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998). Тезисы докладов, с.43.

11. Ковалёв Л. В. Задача Бахтиной о неналегающих областях. 2-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998). Тезисы докладов, с.36.

12. Ковалёв Л. В. Неравенства для производной обратной функции. 24-я Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Болотова (Владивосток, 1999). Тезисы докладов, с.46.

13. Ковалёв Л. В. Дифференциальные свойства конформного радиуса. 3-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1999). Тезисы докладов, с.31.

14. Ковалёв Л. В. Приложения приведённого модуля в геометрической теории функций. Всероссийская научно-техническая конференция, посвящённая 150-летию со дня рождения С.О. Макарова (Владивосток, 1998). Сборник докладов, т.2, с.102-104.

15. Колбина Л. И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении. Докл. АН СССР 84, №5 (1952), с.865-868.

16. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. Тр. Мат. ин-та АН СССР 139 (1980), с. 1-240.

17. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций I. Алгебра и анализ 9, №3 (1997), с.41-103.

18. Кузьмина Г. В. Методы, геометрической теории функций II. Алгебра и анализ 9, №5 (1997), с.1-50.

19. Кузьмина Г. В. О связи различных задач об экстремальном разбиении. Зап. научн. семин. ПОМИ 254 (1998), с. 116- 131.

20. Куфарев П. П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей. Докл. АН СССР 73 (1950), с.881-884.

21. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений. Тр. физ. мат. инта им. В. А. Стеклова 5 (1934), с.159-245.

22. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М., Наука, 1966. - 516 с.

23. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М., Наука, 1975. — 336 с.

24. Митюк И. П. Обобщённый приведённый модуль и некоторые его применения. Изв. вузов. Математика Л° 2 (1964), с.268-270.

25. Полна Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М., Физматгиз, 1962. — 336 с.

26. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд. М. Наука, 1988. — 333 с.

27. Солынин А. Ю. Зависимость проблемы модуля для семейства нескольких классов кривых от параметров. Зап. научн. семин. ЛОМИ 144 (1985), с.136 -145.

28. Солынин А. Ю. Модули и экстремально-метрические проблемы. Алгебра и анализ 11, №1 (1999), с.3-86.

29. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.2. М., ИЛ, 1962. — 416 с.

30. Хейман В. К. Многолистные функции. М., ИЛ, 1960. — 180 с.

31. Bandle С., Flucher М. Harmonic radius and concentration of energy,J J n + 2hyperbolic radius and Liouville's equations AU = e and AU = Un~2. SIAM Review 38, №2 (1996), c.191-238.

32. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eme schhchte Abbildung des Einheitskreises vcrmitten. Sitzgsber. Preufi. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. (1916), c.940-955.

33. Clunie J., Sheil-Small T. Univalent harmonic mappings. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. 9 (1984), c.3-25.

34. Duren P. L. Univalent functions. Heidelberg and New York, 1983.

35. Goodman A. W. An invitation to the study of univalent and multivalent functions. Internat. J. Math, and Math. Sci. 2, №2 (1979), c.163-186.

36. Hayman W. K. Some applications of the tra,nsfinite diameter to the theory of functions. J. Anal. Math. 1 (1951), c.155-179.

37. Jenkins J. A. A recent note of Kolbina. Duke Math. J. 21 (1954), c. 155-162.

38. Jenkins J. A. On the existence of certain general extremal metrics. Ann. Math. (2) 66 (1957), c.440-453.

39. Kim S.-A., Minda D. The hyperbolic and quasihyperbolic m,etrics in convex regions. Journ. Anal. 1 (1993), c.109-118.

40. Löwner K. Uber Extremumsätze bei der konformen Abbildung des Äußeren des Einheitskreises. Math. Z. 3 (1919), c.65-77.

41. Ma W., Minda D. Two-point distortion theorems for bounded univalent functions. Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. 22 (1997), c.425-444.

42. Minda D., Wright D. J. Univalence criteria and the hyperbolic metric in convex regions. Rocky Mtn. J. Math. 12 (1982), c.471-479.

43. Payne L. E. Isoperimetric inequalities and their applications. SIAM Review 9, №3 (1967), c.453-488.

44. Pick G. Uber die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschränktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien, Math.-Natur. Kl. Abt IIa 126 (1917), c.247-263.

45. Pruss A. R. Symmetrization, Green's functions, harmonic measures and difference equations. Ph.D. Thesis, Univ. of British Columbia, Vancouver, 1996, http: //www. pitt. edu/~pruss .

46. Ransford T. Potential theory in the complex plane. Cambridge Univ. Press, 1995. — 232 c.

47. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings. Lect. Notes. Math. 1319 (1988), c.1-207.

48. Yamashita S. The Pick version of the Schwarz lemma and comparison of the Pomcare densities. Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. 19 (1994), c.291 -322.