Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 ол

2 1 ШОН 1993

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.345

ЗАКЗАК Ахмед

ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ ДИРИХЛЕ В РЕДКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ

01.01.06 — математическая логика алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа механшш-математического факультета Московского государственного университета вмени 1.1.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук Г.И.Архипов

■ Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Н.Г,1.Тимофеев

- кандидат физико-математических наук, доцент О.В.Тырпна

Ведущая организация - Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится "18" нюня 19УЗ г. в 16 час. ОЬ мин. на заседании специализированного совета й 2 по математике (Д.ОЪЗ.ОЬ.ОЬ) при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: ПУУ99, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "2" июня 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.053.05.05 при МГУ, профессор В.НДуоариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ппедмег и актуальность исследования. В диссертации найдена асимптотическая формула для суш делителей, распространенных на последовательность вида Г ^ J , где И - натура-

1 |0ö

льное число, i < с < -—■

87

Актуальность темы. Исследуемая задача относится к кругу проблем теории чисел, посвященных нахождению среднего значения арифметических функций на целочисленных последовательностях, к этим проблемам относится ряд классических задач, таких, как проблема Гаусса о числе целых точек в круте и проблема делителей Дирихле.

В последнее время ряд математиков занимались исследованием проблем, связанных с арифметическими свойствами последовательностей вида [nCJ при С>1 (см. »например, £l] - [У])

1. А.А.КарацуОа oö одной задаче с простыми числами ДАМ СССР, 1981, Т.25У, J5 6.

2. G.Kofasnik .Ffimos of the form CncJ .Pacific journal of Mathematics . \J0\. H8, tf 2, 1985, P.437-447

3. 3ean- Marc Cbch outliers. ^ombres premiers de \й -from? CncJ Acad.Paris ilSZ^ftjarvkr f97i)iserie A.f>. I3I-I33.

4. D.R.Hearth-Brown the Pjaiec<ji - iapiro Rime Komber theoremtj. A/umber theory 1985.

5. Г.И.Архипов и A.H.Житков о проблеме Варинга с нецелым показателем. Изв. АН СССР, серия матем.,1984, Т.48, J5 6,C.II38

6. Гриценко С.А. oö одной задаче И.М.Виноградова. Математические заметки, 1986, Т.39, вып.5, стр. 283-309.

7. Абуд Л.М. Кандидатская диссертация, механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 1989.

Цель исследования. Найти асимптотику для среднего значе-

ООшая методика исследований.В диссертации применяется метод И.Н.Виноградова и другие современные методы оценок трп-' гонометрических сумм, ыетод контурного интегрирования, ыетод Венля-Корпута, метод Оогелса.

Поилодения. Раоота носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика исследования могут оыть использованы в различных задачах теории чисел, связанных с оценками тригонометрических суш, в частности, по простым числам.

Апробация. Результаты диссертации догадывались на семинаре "Избранные главы аналитической теории чисел под руководством Г.И.Архипова и В.Н.Чуоарикова в 1.117.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, объем работы 80 машинописных страниц, список литературы включает 30 названий.

Содержание диссертации.

Проблема делителей Дирихле дал различных редких последовательностей относится к числу важных направлений в аналитической теории чисел.

Например, нахождением асимптотик сумм вида

где ( П) - целозначный многочлен, занимались такие известные математики, как Т.Эстерман , К.Холли, Ю.В.линник.

- 2 -

Последовательность вида Сп при С € 2.) не такая резкая, как многочлен степени выше первой, но с арифметической точки зрения она ведет себя слокнее.

Заметим, что чем Оольше степень С , тем более редкой становится последовательность и тем труднее получить асимптотику для суммы вида

¿Гаг я;

И« X

где Ъ(х) ~ исследуемая арифметическая функция.

5а последние сорок лет большое внимание привлекала к сеое проблема об асимптотике этой суммы в случае, когда д(и^ является характеристической функцией множества простых чисел, то есть она равна 1 для простого числа и нулю для составного.

Б 1У53 году К.И.ПятецкиП-Шапиро методом йогелса свел эту задачу к вопросу об оценке тригонометрических сумм с простыми числа;«] по методу П.М.Виноградова и получил асимптотику при ,.

С 1У73 года этот результат неоднократно улучшался. Наконец, в 1984 году Д.Р.Аид-Браун получил асимптотику при

1 < с С ?55

¿6 я. за

а Г.А.Колесник - при 1 <С С <1

Следует отметить, что, начиная с 70-х годов прогресс, достигнутый в проблемах, связанных с арифметическими свойствами последовательностей вида Си J , стимулирован

- 3 -

исследованиями, проводимцми на семинаре профессора Л.А.Ка-рацубы в ИГУ.

Постановка задачи, рассматриваемой в диссертации, предложена В.Н.Чубарировым.

Основной результат диссертации формулируется так. Для величины ACT),

/UT) = Zt(UJ) "hceCi.g)-

Y) -f-T 1 V «7 /

справедлива асимптотическая формула вида

где Со - постоянная Эйлера, Св =

—

Верхнюю тоаницу папаиетпа С , павнуга - , здесь

- - rs-JE

мокно сопоставить с приведенной выше границей Г.Колесника для параметра С » в задаче об асимптотике для количества простых чисел в последовательности вида [ nCJ

т, \оо ^ зЗ

Поскольку - > —— то нал иезультат несколько

87 3 й- "

сложнее, хотя, конечно, задача о простых числах более трудная.

Первая глава диссертации посвящена выделению главного члена проблемы.

Сначала методом Фогенса мы сводим задачу к вопросу о количестве попаданий дробных долей величины (ос у )св интервал малой длины, а затем методом "стаканчиков" И.М.Виноградова выделяем части, содержащие предполагаемый главный член и остаток.

Здесь наш предложена новая, более удобная в

приложениях корма остатка в известной ссормуле

Я И - {- Н =21 ч-

Hai.ni показано, что

ч оа

аЬг Гм X

с е

где

КМ 5--0О

И)

Окончательный вид главного члена определяется в первой главе с использованием метода комплексного интегрирования и оценок дзета-функции Римана в критической полосе. Вторая глава посвящена оценке остатка. Простыми преооразованиями эта задача сводится к исследованию тригонометрической суммы ^ вида

е

С-1 -I

где у\ <: Ф , У* С

Наибольшую трудность вызывает оценка суммы . Для этого мы сначала переходим к сумме Ср вида

ГДе Р^ГС или

К сумме

мы применяем неравенство Вейля-Корпута, а

затем двавды - по х и по И - формулу обращения Виноградова-Корпута для тригонометрических сумм, исключив предварительно выронденные случаи.

По-видимому, здесь впервые обращается внимание на тот факт, что этим приемом мы приходим к двойной тригонометрической сумме от новых переменных суммирования у" / ^ и функции 9 С^/ V) , причем тройка ( < У у - 9 ) является преобразованием Ленандра для тройки ( I), а коэф-

фициентом в новой тригонометрической сумме Ср является величина | & { £ , где Сг - гессиан функции у).

Далее мы существенно опираемся на это свойство.

Следующим шагом является оценка суммы , по

параметру "сдвига" Ь , возникающему после применения неравенства Вейля-Корпуга.

Заметим, что этот прием использовался И.Ы.Виноградовым при выводе наилучшего результата в проблеме шара. Затем мы используем оценки тригонометрической суммы по четвертой производной. Здесь возникают существенные трудности, связанные с определением порядка четвертой производной и проверки условий применения указанной оценки. Причиной их возникновения является то обстоятельство, что функция В зависит от ~Ь неявно, а получить явную зависимость не представляется возыонным.

В диссертации предложен метод, позволяющий преодолеть указанные трудности.

Таким образом окончательный вид асимптотической

формулы получается после несложных преобразований, сводящих воедино полученные ранее результаты, касающиеся главного и остаточного членов задачи.

В заключении автор выранает глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математпчес-ких наук г.П.Архипову за постоянное внимание и помощь в работе.

По теме диссертации будет опубликовано: оакзак Ахмед. О проблеме делителей Дирихле в последовательностях вида • Вестник Московского университета (в печати).