Проблема определения условий возникновения дискретных составляющих спектра некоторых механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Абрамян, Андрей Карэнович
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ
Н Г 8 ОД Н;| ш>лв;|.\ ¡пкппшп
- 5 ИЮН 1995
Абрамян Андрей Кчрэнпнуч
Проблема определения условий возникновения дискретных составляющих спектра некоторых механических систем.
Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого
тела.
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Санкт-Петепбур! 1995
Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской Академии Наук.
Официальные оппоненты —
доктор технических наук, профессор Петинов С. В. доктор технических наук, профессор Родосский В. А. доктор технических наук, профессор Мельников Б. Е.
Ведущая организация — АООТ "Институт Механобр"
I
Защита состоится " г?* 1995 года в .^УГ^часов на
заседании диссертационного Совета Д. 200. 17. 01 Института Проблем Машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург. В.О.. Большой пр., 01
С диссертацией можно ознакомится в ОНТИ ИПМаш РАН.
Автореферат разослан ___1995 года.
Ученый секретарь Совета
кандидат химических наук Ч^Сго*В.П. Глинин
Общая характеристика работы
-^Актуальность проблемы. Новые требования к ннж- нср-мим ( ооруженпям побудили необх<сш.'.мк'ть |х,ша'п>~"гТ'7а,1;г тп -
]Ш0ДеШ"1В11Я КОЛебЛЮГЦНХСЯ ЭЛСМСНТОВ КОНСТруКЦИИ С < )К{)\ -К. IК >-
щеп ( репой (воздухом, водой). Зачастую. при исследовании. априори обращают внимание на качалось бы основные .моменты процесса. упуская, по мнению исследователя, "второстепенные детали". проходят ми.мо кажущихся "побочными" результатов. На практике это приводит к нежелательным последствиям, невозможности объяснить возппкпше явления.
Такое состояние дел сложилось с явлением возникновения в спектре предсказанных частот, появления дискретных составляющих.
Достаточно убедительного объяснения этому явлению при описании динамических свойств конструкций еще не было дано. В связи с этим представляется акутальным исследовать это явление с позиций как линейного, так и нелинейного подхода к колебаниям
хотя бы некоторых механических систем.
Решение линейной задачи можно искать в области еуше< 1 ио-вания стоячих волн.
С точки зрения нелинейной теории появление тех же дискретных выбросов в спектре мощности конструкции может быть объяснено наличием периодических, субгармонических и квазппери-одпчеекнх режимов колебаний механической системы. Основные свойства нелинейной системы могут быть найдены путем внесения в нее различных возмущений (изменения значений ее иараме-тров. диссипации н т.п.) и исследования откликов на них. Получив с помощью аналитических и компьютерных методов различные сценарии поведения системы, можно заранее оценить динамические свойства конструкции.
На актуальность темы диссертации указывает л то, что она связана с исследованиями Института проблем машиноведения РАН по темам: ''Динамика волновых движений механических систем" (IV г.р.01.9.0044514) и "Создание новых эффективных средств виброгашения" разделов "Механика" и "Машиностроение и технология" программ фундаментальных исследований РАН.
Кроме того, работа была поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований.
Состояние вопроса. Известно, что при исследованпи упругих конструкций и тел конечных размеров основное внимание уделяется определению их дискретных спектров. Для упругих тел, имеющих границы бесконечной протяженности, традиционным является наличие непрерывного спектра. В математической физике хорошо изучены вопросы о спектре оператора Шредингера, связанного с задачами физической теории квантов.' Оказалось, что существует дискретный спектр, находящийся до начала непрерывного. Урсулл Ф. (1951г.) также нашел смешанный спектр частот при решении задач об образовании стоячих волн на безграничной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Дальнейшие исследования задач о возможности существования нераспро-страняющейся, локализованной волны, с экспоненциально спадающей амплитудой, в объемах жидкости, проводились Эвансом Д., Макайвером П., Кузнецовым Н. Г. и др. В механике твердого деформируемого тела наличие дискретного спектра наряду с непрерывным и явление локализации волн было обнаружено Воровичем И.И. и Бабешко В.А. Они обнаружили ряд резонансов (В — резо-нансы) при решении задач о вибрации штампа, контактирующего на конечном участке с упругой полосой. Это явление получило подтверждение и экспериментально. Вещественный дискретный спектр собственных частот для балки Бернули-Эйлера с двумя пружинами-опорами и пластины с упругим набором подкреплений найден Бобровницкпм Ю.И. (1991 г.). В последние годы Индейцев Д.А. исследовал вопросы влияния вида дифференциального оператора, описывающего динамику волновода, а также включений, на возникновение вещественного спектра собственных частот колебаний в упругих телах с одной из границ бесконечной протяженности. Им были сформулированы на основе ряда решенных задач о колебаниях балок и мембран необходимые и достаточные условия существования вещественного дискретного спектра собственных частот до первой граничной частоты. Этими условиями являются:
1. Существование у волновода первой граничной частоты от-
личной от нуля.
2. Знамение этой частот].! должно быть больше чем первая соб----------ственная частота самого включения___________________________________
Необходимо Присутствие 1П1е])ЦПОННЫХ ВКЛЮЧешШ.
В;шяш1>' ни < yiwcruoudinw .нмчш'чных мол колебапнп кц.г- «¡л условии, числа включений, их величины п рассгшюш.и. н"-1у<м о том, как проявится этот эффект в телах конечной upoia.r.vn ностп. о« галпеь не исследованными. Кроме укачавший явления причиной появления дискретных составляющих в спектре составных конструкций, заполненных жидкостью и помещенных л un . может явиться более точный учет поведения жидкости. Как покачано в настоящей работе, учет поведения сжимаемой жидкости приводит к новым дискретным составляющим спектра. В то же время, с точки зрения нелинейной динамики, появление дискретных выбросов объясняется наличием у системы периодических режимов, субгармоник и квазипериодических режимов. Число работ, посвященных нелинейным колебаниям механических систем очень велико. Исследованию подвергались хорошо известные механические модели балок, пластин и оболочек. Болотин В.13. в своих трудах показал возможность существования субгармонических режимов при решении задач о нелинейных колебаниях стержней и арок. Фролов К.В., Алифов A.A., Блехмап И.И., Воль-мир A.C. провели классификацию видов нелинейных колебании п решили большое число задач относящихся к различным типам дискретных механических систем, встречающихся в машши» i роении. Вопросы нелинейных параметрических колебаний упругих тел исследовались также ИЬшднш Г. в своей ичшч ню,, ¿ц»н>>. ,м фпи и Ильгамовьш М.Л.
В последнее время новым направлением в нелинейной механике стала хаотическая динамика. Изучались детерминированные механические системы, которые могут перейти в хаотическое состояние. Работы Марсдена Д.. Холмса Ф., Смэйла С.. Мула Ф.. Гукенхеймера Д.,Уэдьт И. и Арнольда В.И. заложили основу этого нового направления. Именно хаотические колебания ответ ственны за источник неупорядоченного шума. Развитые этими учеными подходы и методы позволяют в ряде случаев провести
ö
качественный п количественный анализ этого "детерминированного шума" с помощью таких мер, как фрактальная размерность, показатели Ляпунова, функция Мельникова. Анализ большинства систем проводится методами компьютерного моделирования. Нелинейные упругие элементы и пружины, нелинейные гранпчные условия, нелинейное затухание, переносное ускорение, геометрические нелинейности, связанные с сильными деформациями в балках, пластинах и оболочках — ответственны за нелинейные эффекты в излучаемом спектре. Несмотря на большое число работ, вопрос о нелинейных колебаниях стержня, при одновременном двухчастотном параметрическом воздействии п вынуждающей силы на предварительно сжатый стержень, находящийся в контакте с жидкостью, не был рассмотрен. Решение этой задачи позволило бы дать ответ на вопрос о возможном излучении такой механической системы в жидкость.
Целью работы является:
— Определение вещественного дискретного спектра колебаний упругих линейных механических систем полубесконечной протяженности, зависимость дискретного спектра от конструктивных параметров системы.
— Теоретпчесое исследование условий формирования стоячих волн в линейных механических системах конечных размеров.
— Исследование нелинейных двухчастотных параметрических колебаний упругого стержня при действии вынуждающей нагрузки; классификация возможной динамики такой системы, включая возможные типы перехода к хаоетическнм колебаниям.
— Выявление периодических субгармонических и квазиперпо-дпчеекпх режимов нелинейных колебаний, ответственных за дискретные выбросы на частотах, не связанных с частотой вынуждающей силы.
Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:
Исследование спектра собственных значений п собственных функций в задачах о колебании конструкций, опирающихся на ряд проседающих опор (пружин-включений), их зависимости от гео-
метрической симметрии конструкции.
КиПСТрУнроНаНПе ЛОКаЛП (ОцаИНЫХ* < обсТЛПЧШЫХ форм K'u.le-
__________баннй в кож трукш1яэушнечных размеров, получение условии. п])п
которых ловушечные частоты < т ановятся кратными ссюётвёп-" ними частотами системы.
Полное исследование всех типов дпнампчегасого поведения упругого стержня, находящегося под действием двухчаст отных параметрических п вынуждающих сил.
Попам структура в 1 амп.тьтпшшчн системе фракылыше притягивающее множество внутри компакта на фазовой плоскости.
— Исследование различных типов аттракторов в диееипатив-ном случае колебаний стержня (с учетом контакта с жидкостью).
Практическое значение результатов, полученных для балок, оболочек, и их систем, следует из того, что эти механические модели являются основными элементами используемыми на практике в машиностроении п судостроении. Найденные дискретные частоты, значения параметров конструктивных элементов-включений, позволяй« оценить характер возможною иы,\ "..¡шя. и неравномерность распределения вибрации по длине кон< > р\к-ШШ. Нелинейный динамический анализ помогает' выбрать параметры сгерлшевоп системы i акнми ч юоы обеспечить .шшг:-. п.-нос излучение в среду.
Достоверность результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, корректностью математических выкладок.
Апробация работы. Научные результаты и оеновпые разделы диссертации докладывались на: Всесоюзной конференции "Волновые процессы в машиностроении" (Горький, 1989 г.);
Всесоюзной научно-технической конференции "Гпдроупругость и долговечность конструкций энергетического оборудования" (Каунас, 1990 г.); Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций" (Ленинград, 1990 г.); XYI национальном семинаре по динамике механических систем (Варна, 1991 г.);
XXIY KoiirpoiTi- по гидравлическим исследованиям (Мадрид. 1991 i.i: Y1 Международной конференции по теоретической п технической механике (Либерец, 1992 г.); Научно-технической конференции "Современные проблемы экспериментальной гидродинамики. вибрации корпусов и судовых механизмов" (Севастополь. 1991 г.): Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93" (С.-Петербург, 1993 г.); Европейском коллоквиуме "Евромех-316" по структурной акустике и вибрации (Манчестер. 1994 г.); 127 Съезде Акустического общества Америки (Кембридж, 1994 г.); III международной конференции по структурному шуму п впбрацип (Монреаль, 1994); Международной конференции по вычислительной акустике "СОМАС 95" (Саутгем-птон. 1995 г.). а также на семинаре по акустике под руководством проф.Д.П.Коузова (С.-Петербург) и на XXII Всероссийской школе-семинаре "'Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (С.-Петербург, 1994).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 печатных работы.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения. 4 глав и Заключения. Диссертация содержит 22.©с машинописного текста, рисунок. Список литературы включает
к
наименований.
Содержание работы
Во введении дается обзор и постановка задач об отыскании дискретных вещественных спектров частот колебании в упругих конструкциях. Здесь же обсуждены вопросы нелинейной трактовки природы явления, как проявления периодических, субгармонических и квазппсриодичсских режимов. Сформулированы цели и результаты исследований, которые излагаются в четырех главах диссертации. Первые две главы исследуют вопросы возникновения и конструирования ловушечных мод и вещественного дискретного спектра в конструкциях бесконечной и конечной протя-
/ксшюс [ и. В двух других гпучаю (ся «опросы распространения продо. ]|..Ц"11 ипбрашш. а иакжс п.ш^шс на поперечную пибраипю тшп ри'пч-кои ¡кмшпч'ини-тп и л;п 1м>сти. Кроме того, и них ис •
'•лгдуПТО-^^^ГПлшая^пппхгшга-птгпчччш-прп нелинейных иараме--------------------------
грнчес к 11 х мнебаниях с пдновременним дей< 'ншем гармоничен.он вынуж да к >щеп < тт лы.
П, р^щ ,'лтш посвящена изучению пзгпбных колебании бес конечных балок на упругом основании с упруго-проссдающшш опорами. Чдесь же исследуются вопросы о свободных колебаниях балки, имеющей шарнирное соединение с участком с другим упругим основанием, и балки с поворотными пружпнамп-опорамн.
В п. I. 1. изучены тгибные колебания балки па трех проседающих опорах-пружинах. С целью выяснения зависимости явления ловушечных мод от геометрической и физической симметрии задачи рассматривались случаи опор одинаковой жесткости, расположенных на различном расстоянии друг от друга и случай, когда одна из опор имеет жесткость, отличную от первых двух.
Прп исследовании возможности существования дискретного вещественного спектра выбирались условия требующие конечности интегралов, определяющих кинетическую и потенциальную энергии. Это условие сводится к условию отсутствия бегущих волн за включениями. Кроме того, налагаются условия согласования перемещений балки и проседающих опор-пружпн. Дифференциальное уравнение движения для случая свободных колебаний балки на трех опорах-пружинах одинаковой жесткости после отделения временного множителя ехр(/и.'0 имеет вид:
Ю\У1У 4- (Л' - )1Г -СИ' } + Н* - М +<Ч-<- - М] (1)
где: С — жесткость опоры-пружпны; Б — жесткость балки.
Для отыскания дискретных вещественных частот за частотой отсечки {¿\< = К/т. где К — упругое основание балки, т — погонная масса балки) необходимо поставить условие отсутствия бегущих волн за упругими опорами (пружинами-включениями). Для значений частот > л¡- решение уравнения (1) имеет вид:
IV = -С + - /,) + \У2С(г. - 12)} (2)
(2) G'(.i j фундаментальное решение для балки бесконечной длины, имеющее вид:
L L-'M 4. ,v,-,V|M]
i
Uljj'¿ — К
D
Условия совместности позволяют получить алгебраическую систему однородных уравнений. При исследовании системы возможны два предельных случая: sinа(/2 —1\) ф 0 и sinа(/2 — l\) = 0.
Во втором случае: и:* = + £ (/í^) • При этом значение жестко-стп найдется из условия существования нетривиального решения: С„ = D j 1+(!-,,> • В случае, когда sinа(/2 - 'i) ф 0 решение приводится к системе уравнений вида:
1 + C[G(0) + /мед- ВДМ] = о C[A"1G(/2-/1)+G(/i)-ír2G(0)]-A'2 = 0 A-i+C[A'1G'(0)-7v2G(/2-/1) + G(/2)] - 0 (4)
Из первых двух уравнений системы (4) определяются значения дискретных вещественных частот, а из третьего находим соответствующую этим значениям частот величину жесткости пружины. Необходимо отметить, что выполнение условий отсутствия излучения обеспечивают вещественность соотношений, определяющих выражение для жесткости пружины. В итоге, для определения вещественных дискретных частот получаем следующее соотношение: ;
[ sin2 (ill -sin2a(h¿ ~ /г>] e~"h -sinal2 smahe'"'2 - '
-sinali sinй(/2 - / Je-^-'i) ; 2sina/i sin2a(/2 -/]) (5)
Величина жесткости пружины-включения находится из зависимости:
С =__Kl(üJn)_ (6)
" A"i(wn)G(0,u;n) — A'2(wn)G(/2 — h,un) + G(l2,un) 1 1
Выполненный анализ показывает возможность найти такие значения параметров балки (Л'. Р. т. 1->. 1\). при которых выражение для (.'„ положительная веше< твенная величина.
В рассматривается случай, когда в системе жесткость--------------------
1 ретьен иружнны-опоры отлична ог жесткости первых двух. Ход решения аналогичен выполненному в п. 1. 1.
Выражения для жесткости для случая, когда ни1</1'> ф 0. определяются из соотношений:
a ' bill u(l2 — ¿i)
sin а(/2 _ НУ'~а1х + e~a'2 sin ah
sin íj/l
С ](„) = —---—-;—:-:--~D
C2(nl = =—---
sin a11 + sin a(l'2 - h) - e-^'2-'1' sin al¿
При этих значениях жесткостей будет обеспечено нераспространение бегущих волн за включениями. Будет существовать только стоячая волна экспоненциально затухающая по длине балки.
Случай sin al-¿ — 0 дает для вещественных дискретных частот выражение:
■> К D ......
' .п = 1.2.3.
П 1 í
т ш \ Значения жесткостей имеют вид
С = D(r> IR)
1 1 _ e-ah _ e-"h + e-a{h-h) 1 1
r _ 1 Da'
С -2 =
1 _ е-а/3 + С\ [2 + 2е_а/| - - е-"^-'1'] • [е~а'-' + - с.
Валено отметить, что если жесткости крайних пружин-включений равны, а третья расположена произвольно, на расстоянии не равном расстоянию между первыми двумя, то дискретного вещественного спектра не будет. Не удается обеспечить условия согласования перемещений балки и опоры и найти отвечающие им вещественные положительные жесткости.
В п. 1.2 рассмотрены собственные колебания балки в случае, когда число опор четно и равно четырем. Решена задача, когда
-al, 1
крайние и внутренние опоры имеют попарно рапную жесткость и расположены на равных расстояниях друг от друга. Был найден дискретный вещественный спектр и соответствующий ему спектр значений жесткости.
В п. 1.3. найдено решение задач об определении вещественных дискретных частот для полубесконечной балки на двух пружинах-опорах при свободном конце балки и при жесткой заделке конца балки.
Подводя итоги полученным результатам, отметим, что сделав задачу геометрически несимметричной, изменив условия на концах, мы тем не менее не потеряли возможность конструирования ловушечных мод колебаний и нахождения вещественного дискретного спектра растот. В то же время, нарушив согласованность "источников"' (упругих опор), — поместив пружину другой мощности С'1 несимметрично относительно крайних опор, — мы не можем добиться организации ловушки. Во всех приведенных задачах было выполнено необходимое условие существо- ; ванпя вещественного дискретного спектра за частотой отсечки: вид функции Грина содержал член, отвечающий за неоднородные волны ехр(—ах). В заключении параграфа приведены собственные формы колебаний, отвечающие дискретным частотам.
Заметим, что условие отсутствия излучения за опорами можно получить из условия конечности интегралов / Ш ¿х, } \¥£хйх.
—оо , —оо
Это означает обращение в ноль работы, производимой колеблющимся включением на смещении в виде бегущей волны. Это требование справедливо для любого вида включений, как сосредоточенных. так и распределенных.
В п. 1. 4- рассмотрена задача об определении спектра системы двух балок на упругом основании; соединенных между собой двумя абсолютно жесткими переборками, каждая из которых обладает массой М. В этом случае у системы две частоты-отсечки балок: а.'1 = (Кх/пц)1!2, Ш2 = (Л'г/тг)1/2, (^ < щ)- В системе существует дискретный вещественный спектр до частоты и'2 и вещественный дискретный спектр в диапазоне ш-} < и < В первом диапазоне возможно определение массы М переборок, при которой существует дискретный спектр:
\l
1 _ 1 _ Ь чО.; ± <7: (/.... л + G\(0.1J± (/-.¡/.-I
(0)
Знаки " • " ii соотвстгппкп симметричным п ш'гтй'Щ7!' ным молам. Как показывает расчет, существует предельное значение М! . ниже которого не существует спектр собственных ча-
стот колебаний. В диапазоне колебаний находятся из:
< jj < ^'i собственные частоты
K-j/m-j +
/
ГП2
1,2.... Л'
Число значений N должно удовлетворять неравенству: .V fiibl4 (кх _ /¿M1/4
[Dt^4 \П1] 1112 j
связь между параметрами системы:
(пГ1 ~~ m^)] ^ • При этом существует условие, определяющее
2 Ш)'
■ а
~ -з
In
у/2 , _ain&I . (тг а1п1уД
М
/ ТТ7\
\Т
Eh К2
т-2 ¡П'2
«ьI D]
<>i
Jy/2
(1 + •
и = 1,2.... Л*.
В случае безмассовых связей собственные частоты системы в диапазоне и < ш^г отсутствуют.
В 1. о. изучается смешанный спектр для балки, имеющей шарнирное соединение с участком с другим упругим основанием. Основная часть балки имеет частоту отсечки ^ = 1
вставка имеет частоту отсечки = (Кч/т^)1^- Если и>2 < и.']. то вещественного дискретного спектра в системе нет (нет п (мешанного). При значениях > и>1 удается найти трансцендентное уравнение для нахождения вещественных дискретных частот:
(10)
sin Z + cos ZthZ — 4
¿1
■{-^{-z'fii' ■ z3
cos Z
(n;
1//.1
где Z — aj, ai = A'J " ; ' — длина участка вставки; S2.
61 — толщины балки п вставки. В этом случае спектр конечен,
так как должно выполниться условие: и.'| < < Формы собственных колебаний локализованы в районе включений.
В п. 1. (.>. рассмотрен вопрос о возможности создания дискретного спектра для случая, когда на балку действуют сосредоточенные моменты. Решение задачи о балке на двух поворотных опорах-пружинах указывает на то. что можно определить собственные формы, отвечающие конечной энергии, в случае поворотных опор. Однако, если одновременно в одном месте действуют и сосредоточенные усилия, и моменты, невозможно создать ловушку для обоих воздействий с помощью одного типа опор. Если поставить проседающие опоры и поворотные пружины так. чтобы расстояние между ними подчинялось соотношению:
11 = 2Л1±1 771 = 0,1,2... 71 = 1,2,3.... '. ' 1\ п
то тогда создаются две ловушки для каждого пэ видов воздействий на балку и у системы есть вещественный дискретный спектр.
В главе 2 изучается вопрос о том, как ловушечные частоты, найденные пз рассмотрения систем бесконечной протяженностн проявляют себя в системах конечной длины.
В п. 2. 1 рассмотрена балка на упругом основании с двумя одинаковыми пружинами. Рассмотрены все основные типы возможных краевых условий. Показано, что необходимым условием того, что ловушечная частота может стать собственной частотой системы конечной длины, является выполнение условия отсутствия бегущих волн за включениями-пружинами. Оказывается, что только при шарнирном опиранпп балки выполняется это необходимое условие. Проведенный анализ частотного уравнения показал, что ловушечные частоты бесконечной системы становятся собственными частотами колебаний балки, конечной длины, при условии выполнения соотношения: :
^ = 3 = 1,2. 71 = 1,2,3..., (12)
где 21 — длпна балки; 21\ — расстояние между пружинами. Собственная частота находится пз соотношения:
, _ К П (т\-гЛ2
-----------------------------------------------±7^п1.ш\лГи______________________________________________
Подбор жес ткости пружин делает частоту собственной и кратной двум. Величина жесткости находится из:
(1 + е~тп) • (1 + - 4.е~п{2->+1)с\12~
3 = 1,2,...; п = 1,2,...
Первая форма колебаний имеет узлы в местах постановки проседающих опор, а вторая локализована в районе включения. Ясно, что при возможном излучении этой второй формы оно будет значительно превышать излучение от первой формы. Если учесть, что найденные частоты лежат в том диапазоне частот, в котором обычно не ожидаются дискретные составляющие, то тем важнее знать о возможном их наличии. В п. 2. 2 на примере балки на трех проседающих опорах показана возможность путем подбора параметров пружин-опор и выбора расстояния между ними, в соответствии со сложной зависимостью, добиться того, что лову-шечные частоты станут собственными. Однако, в отличии от случая, рассмотренного в п. 2. 1 найденная частота не является кратной. Невозможно добиться этого никаким подбором параметров.
В п. 2. 3 рассмотрена система двух балок на упругом основании, связанных между собой жесткими безмассовыми переборками, и шарнирно-опертых по концам. Показано, что можно путем подбора расстояний между переборками добиться того, что ловушечная частота станет собственной частотой системы. Значение частот при этом:
о К\ /7гп\4
< = —+ — —
1Щ >щ \ ¿1 У
Спектр конечен, так как должно выполняться соотношение: < и>„ < и>2- Отношение длины балки 21 к расстоянию между переборками 2/1 подчиняется выражению (12).
Для того, чтобы частота системы стала кратной частотой, параметры системы должны быть связаны зависимостью:
- »,2(С2 + £>2) = Л, \2Dpp + С(р'2 - р2) - А/, (С2 + £>2)] (13)
т, = Пе [С1(/ + /1) + С?1(/-/|)]
С = С?2(0) + С3(2Х)
£ = (?»)О)+С^|(20
Лх = Де[С1(0) + С?1(2/)]
р = -02{1 + к)-С2(1-11)
р = С'2'(0)+С'^2/)
Для первой балки существует локализованная в районе включения собственная форма, ответственная за дискретные выбросы в спектре конструкции. _ ■
Для первой частоты на рис.1. представлена пара собственных форм, ей соответствующих. В п. 2. 4 изучались осе-спммстричные колебания круговой цилиндрической оболочки конечной длины, подкрепленной двумя круговыми шпангоутами, шарнпрно-опертой по концам. Учитывались инерция шпангоутов в продольном и поперечном направлении, а также жесткость на обжатие. В случае оболочки конечной длины точное решение задачи позволяет определить параметры шпангоутов и оболочки. при которых ловушсчная частота бесконечной системы становится собственной частотой конечной системы кратностью два. Для того, чтобы частота: , . '
где:
оболочки 21 должны быть связаны соотношением (12). Параметры оболочки и шпангоутов определяются при этом из соотношения:
гг-с.с_
'ПС% гг 2йЕГ + (\1- - - с[с + Е-С. + и1а
где: //, = ц> = - /'"): Е- С*. V. £\ 6' сложные
функции и: и .¡:, например. для С, имеем:
С = Е,(0) + Ел(21)
Я (I г !..•„) - \щ4 - • мМ^к
х [(¡;п012 + МлОп)ншип | | -г[МпОи - 1>пии) <'<*«„ | !]}
р» = Ь'1 - а2„ + ¡4 - 2и„ь„: М„ = Ц - 2и,,Ь,,\
Пп = (ПгП[): = -п,„: Он = (1п)1У ; гт ,,„ + ,/;„
Я12 - = ап + 1ЬП\ О-п = (1тВ'._>. - </„ +
■ I ,„. </„ + И>,1 корпи ¡НХ)-
Дискретный вещее 1 венный спектр располагается в области ча-«ч от 0 < < С\,/г. [ де С о скорость звука в материале оболочки. На значениях частоты равных ловушечным наблюдаются локализованные формы колебаний такого же типа, как у балки на упругом основании. I
В главе 3 рассматривается распространение продольной волны вибрации и возможность возбуждения поперечных нелинейных параметрических колебаний в балочных конструкциях.>
В п. 3. 1 решена задача о продольной вибрации балкп шарнирно-опертой на упругпе опоры-стержни. Эта ¡задача применима для изучения распространения волны осеспмметричной вибрации в цилиндрической оболочке, подкрепленной упругими ребрами, работающими только на изгиб. Вынуждающая сила приложена к торцу наружной оболочки. Ребра жестко заделаны другим своим концом на неподвижной внутренней оболочке. Уравнения движения имеют вид:
дт А' д2и
— + Г0Ф')^" - £ ЯпА* ~ М = рЬ-др (!4)
Г = ЕН м
1 — ц2 дх
Уравнения (14) записаны без учета нормальных перемещений ТГ(.г, 1), которые мало влияют на определение £). ЯП1 — продольные реакции, приложенные к наружной оболочке в местах соединения со связями, определяются из условий равенства продольных перемещений и упругих ребер: II — ипр (при х = 1п)- В свою очередь Гпр удовлетворяет уравнению движения ребра
&ипр д2ипр
(15)
при соответствующих граничных условиях. Используя принцип предельного поглощения, и применяя к (15) синус — преобразование Фурье, получим для [7:
' 1 . • • '.Ь-/,, .г > /,.
г с
Анализируя случаи к = 1 гг п = 2. можно получить явный вид /?„г. Анализируя полученные выражения, можно пршпп к следующим выводам: При й> = |(2А- + 1) (А- = 0,1.2...) с\щестиую1 такие параметры ребра, при которых оно выполняет роль динамического гасителя. Образуется стоячая волна от точки приложе-нпя нагрузки до места крепления оболочки к ребру. Излучение за ребром отсутствует. Эти частоты являются частотами свободных колебаний конца оболочки, жестко заделанного на бракете. На рис. 2а показано распределение продольной вибрации по длине отсека для этого случая.
При специальном подборе параметров ребер на резонансных частотах может быть сконструирована лопушка, которая локализует продольную вибрацию в районе отсека, как показано на рис. 26. При отстройке от резонанса путем изменения параметров ребра, на этих частотах имеет место затухание амплитуды вибрации по длине оболочки, как показано на рис. 2в.
При частотах и) меньших к/2 амплитуда вибрации практически не изменяется по длине отсека.
В п. 3. 2 рассмотрены вопросы постановки задач о поперечных колебаниях балки с начальной погибью? под действием продольных сил. В результате найдена зависимость между амплитудой поперечных колебаний балки и амплитудой продольного возмущения. ;
В п. 3. 3 рассмотрена задача о нелинейных параметрических колебаниях балки на упругом основании, заделанной с некоторым распором. Задача сводится к решению уравнения:
В\Гп/ + К\¥ -
I
Т(1) + ^Е1г/]У2с1х о
И'" + /;/(И = 0
О)
■ 0.0
-19.5 —рт "гт ТТТ т]п 1 т~ 0.00 1.00
32.5 тз
"ТТ рГ~ГГ "Г 2.00
3.00
6) 32.0 I 31.5 -Ё
31.0
0.00
i i i i i г" 1 i i i 1 i i i м i i i i ■ i " i ! i i i i i i i
1.00
2.00
3.00
I)
0.00
1.00
2.00
3.00
7—11111—I Г I '—г—!—г—I—11/1—1-)-1—7—7—Г
Рис.2 Распределение продольной вибрации по длине конструкции.
к П
о
/-А
Рис:. 3. 'Зависимости "амплитуда - частота" пртт нелинейных параметрических колебаниях стержня.
Для выявления основных особенностей поведения системы в районе главного параметрического резонанса линейной системы решение разыскивалось методом Бубнова-Галеркина в двухмодовоп аппроксимации по координате х.
Были получены амплитудно-частотные характеристики системы, приведенные на рис. 3. Их анализ привел к следующим выводам: Колебания системы могут изменить свой характер став из "мягких" — "жесткими". При этом возможно явление перескока с изменением амплитуды колебаний. Наличие упругого основания сближает ветви характеристики и делает возможным явление скачка. Выражение для амплитуд первой и второй форм имеют вид:
1
Ki = - — L'o: K-i = 6¡ = 7г\: b2 = IGtt'v
Olí] \l-¿
где: ti-, - первые две безразмерные собственные частоты системы: Uq — амплитуда параметрической силы (безразмерная); \ - коэффициент распора.
В п. 3. 4 выводятся точные нелинейные уравнения колебании стержня для случаев продольного п поперечного возбуждения. На основе общей нелинейной теории стержней, предложенной Жилиным П.А., получены следующие уравнения для случая продольного возбуждения вибрации предварительно сжатого стержня:
(Т eos в-Q sin 9)' = PF{a + U) (TsinO + Qcose)' = pFW С2в" = -Q 1 + U' = (1 + e)cos# W = (l+-e)sin0,
(17)
где: Т = ЕРе — продольное усилие; Е — модуль Юнга; (¡) — поперечное усилие; Р — площадь поперечного сечения стержня; .0 — угол поворота; а — продольное возбуждение; — жесткость на пзгпб стержня.
Преобразовывая систему з'равнений (17), можно получить систему уравнении в перемещениях:
С
W
VI -И"'2
\У" -
W"U" VI - W12 W' £'
1 + е " ' EF \1 + U' l + U' l + £
1 + U>
+
Ci
Sb-
EF W"
-i*
= §(5 + t/), (18)
где С' — константа, определяемая из краевых условий. Из первого уравнения спстемы (18) сразу следует, что нелинейные члены находятся не при старшей производной, а при И7" и \У". Кроме того,
в знаменагеле стоит величина 1 — И"'-', которая убывает по мерс возрастания изгиба, гго не обрашае [ся в ноль. т.к. это означало бы. что ■ копий" балки пяраллсльны.стенкамп заделки. Поэтому
роль продольной силы в ¡нгпбе р!чы» возрасти«'! . ГГуравнеигтя'х'.'------------------
полученных по теории Кпрхшфа-Клебша. нелпнсГшост'ь появляется у члена со старшей производной.
Случай поперечной вибрации отличается от рассмотренного лишь тем. что вынуждающее воздействие появляется в правой части первого уравнения системы (17). а не второго.
В зло с-с .{ рассмотрены вопрос ы влияния жидкости на вибрацию некоторых механических систем.
В п. 4- 1 рассмотрены оссснмметрпчные колебания системы двух бесконечных коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих жидкость в междуцилиндровом пространстве, и помещенных в идеальную сжимаемую жидкость. Изучается распространение волны вибрации, вызванной кинематическим возмущением внутренней оболочки. Передаточная функция, определяющая влияние наружной оболочки на давление излучения в окружающей жидкости имеет вид:
| ЬНР/ро^Н [Ч - 1 - $ (а) (1 +«8-,Я)] ]-' .. < _■/<
___ ______(19)
где: 7 = - а2; 71 = ^а2 /Со; Р, ро плотности обо-
лочки и воды; 6 -— толщина оболочки: а — волновое чпело; и — круговая частота кинематического возбуждения: Н -- расстояние между оболочками; О — собственная частота колебаний наружной оболочки.
Исследование зависимости (19) показало, что использование гипотезы сжимаемой жидкости позволяет обнаружить резонансы за частотой отсечки ¡м = аСу. Ясно, что отказ от учеы < жн-маемой жидкости приводит к невозможности обнаружения дискретного спектра собственных колебаний. Поэтому шумоизлуче-ние такой системы необходимо определять с учетом сжимаемости жидкости, находящейся между оболочками.
1 23
Вн. 4- 2 рассмотрено влияние жидкости на ловушечные моды колебаний. Учет жидкости проводился с помощью гипотезы плоского отражения. Рассмотрен случай вынужденных колебаний балки на упругом основании с двумя проседающими опорами-пружинами в случае, когда две сосредоточенные силы действуют в местах постановки пружин. Наличие жидкости приводит к возникновению волны вибрации за опорами. Можно найти частоту и!л такую, что волна вибрации будет значительно уменьшена:
рйС'1 - 2тК
+
т*
(роС'о - 2тЧхУ К - ("/2(2; + 1))«
?гг т"
где: р0 — плотность воды; Со — скорость звука в воде. При этом должно выполняться равенство:
1/4
^ тгл
р0с0 < —Б
{V +1)
¿ = 0,1,2...
В п. 4■ 3 изучались нелинейные параметрические колебания балки, контактирующей с каналом бесконечной сжимаемой жидкости. Решение задачи в районе главного параметрического резонанса линейной системы позволило найти, аналогично тому как это делалось для балки без учета воды, амплитудно-частотные характеристики в двухмодовом Галеркинском приближении^ Необходимо отметить, что колебания по обоим формам возможны только начиная с определенных амплитуд параметрических сил. Влияние воды на амплитуды форм колебаний различно в различных диапазонах частот: превалирует либо одна, либо другая форма, что в свою очередь обуславливает различное излучение балки в канал на различных диапазонах частот. Зависимости для амплитуд имеют вид:
А\л =
В\л
0, 7562Мл -0,2551
3<5]
2№
1 л.
1 + 9т3рЛ
0,5 ¿1 ¿2
26162
2^62
0,56162
^ -
=,0,8^'. —--------:______ (20)
¡i С h
где / длина балки; h - толщина балки; li\, А'а - коэффициенты при амплитуде параметрического возбуждения; Ь\ — ~1\. Ь2 — 1Стг1 \; \ коэффициент распора.
В п. 4- 4 изучается с помощью метода компьютерного моделирования задача о нелинейных поперечных колебаниях балки, находящейся под действием двухчастотного параметрического воздействия с учетом контакта балкп с жидкостью при наличии вынуждающей силы. Уравнения, описывающие задачу в двухмодовом Галеркннском приближении имеют вид, без учета жидкости:
Wx -f Qj [1 - Л',(сояы1* -f cosu-it)] Wx + CiWf + ft2HW22 = >h cos ay Щ + Cll ■ [1 - Zif2(cos uit + cos cj2t)] W2 + CiW| + C2W2Wf = ¡\ cos u>0i
(21)
В зависимости от конкретного физического содержания полный анализ системы (21) требует рассмотрения следующих случаев:
1. Чисто Гамильтонова система;
2. Основное состояние — Гамильтоново, возмущение также Гамильтоново. При этом выделяются случаи постоянных коэффициентов и периодических коэффициентов.
3. Основное состояние - Гамильтоново, возмущение — не Гамильтоново.
В случае, когда будет описана вся возможная динамика системы (21), для целей практики останется только необходимость вычисления коэффициентов системы (21), н, нахождения соответствующих картин ее поведения из составленного каталога. Так как в нелинейных системах возможны появления периодических, субгармонических п кваэиперподпческнх режимов, то необходимо нахождение их, как ответственных за дискретные выбросы в спектре.
Переход к хаотическому состоянию также был исследован. На перлом этапе, для определения параметров, от которых нужно стартовать для нахождения хаотических п квазипериодических режимов, было проведено построение функции Мельникова одно-модового приближения. Далее методом компьютерного моделирования были исследованы все перечисленные выше режимы. Вычисления проводимые для анализа:
1. Зависимостей от времени компонент динамической системы;
2. Фазовых портретов;
3. Сечений Пуанкаре и для ряда случаев Фурье спектров.
Пример периодического режима в Гамильтоновой системе приведен на рис. 4. При воздействии на систему параметрических сил с частотами ы\ и о»2, возможно образование субгармонического режима, приведенного на рис. 5, и квазипериодического. Под квазипериодическим режимом понимаем режим, при котором возникают две и более частоты с нерациональных их отношением. Для субгармоник имеем условие рациональной соизмеримости собственных нелинейных колебаний Гамильтоновой системы и внешнего воздействия. Квазиперподические режимы приведены на рис. б. При увеличении амплитуды возмущающей силы появляются хаотические колебания, приведенные на рис. 7.
Известно, что в зависимости от области параметров система может приобретать черты хаотического или стохастического поведения. Показанный на рис. 8 хаотический режим приводит к появлению фрактального притягивающего множества внутри компакта. Полученный результат является новым. При переходе к хаотическому состоянию система проходит через квазипериодический режим. Если в квазипериодическом режиме появляется много частот, то энергия, которая может излучаться системой,, должна быть распределена между каждой частотой. То есть выброс энергии, по сравнению с излучением на периодическом режиме падает. При нахождение системы в хаотическом состоянии энергия излучения резко падает, в спектре Фурье мы наблюдаем сплошную полосу без выбросов.
\
XI Пке:
м.зшеа
: А Й ( ( 1 J II I 1 1\ 1 1 1 || I 1, Ц А * г г 11 ! а а а ! ! 11 •: •; !' 1 П П м ; 4 т £ С : г : , .
II ! 1 > 'к ■ : . ; . . 1 1 Г 1 1 1 П 1 1 ( 1 ¡1 р >! ¡1 ! II И ' ! '. ! 1 ! 1 1? !< 1( и
1.1 и
к [>
! и
П { !
Л * &
' .-I VI
(( !!
М I! М
| |
-+4-
! !
: I ( ! П И
! п г, И
\ I 11
-т-11)
1! ¡1
II п
.. НИ V -.1 У V ^
и
I:
I < !
! 1
Рис.4 Периодический режим в нелинейной Гамильыовой системе.
Рис.5 Субгармонический режим.
-'4.3B0388
Рис.6 Кваишерподическпй режим.
I У 5- .• 11 '
И .233383
- 1 й ЙЙЛЙЛЙ
Рис.7 Хаотические колебания в Гамильтоновой системе.
! г
! I
| 1
$——(— (—^—-<—^—_¡^ууУ^г^*..
| 1
I
I
Рис.8 Фрактальное притягивающее множество внутри компакта.
В п. ',. 4 при решении задачи с учетом ЖИДКо< "I ¡1. учет ее прОГН)-дилея по гипотезе плоского отражения. Нелинейныенараметрпче-1 кие ко. [еоашгя балки при одновременном действии вынуждающей силы п диссипации имеют ряд особенностей. В эз ом случае, в первой част (21) появятся члены пропорциональные И", и Иг Было проведено предварительное исследование с целью обнаружения и системе квазнпернодическнх п хаотических режимов с помощью функции Мельникова. После этого было проведено компьютерно«1 моделирование. Внесение диссппативного возмущения привело при его увеличении к появлению в системе аттрактора (две несвязанные части пространства). Необходимо отметить, что наличие диссипации требует наблюдения на больших временах. В противном случае, можно неправильно определить режим, на который выходит динамика системы. Найден также другой тип аттрактора — сложная фрактальная структура в фазовом пространстве. не локализованная структура, но и не стохастическая, так как она не заполняет всю область. Резюмируя, хотелось бы отметить. что с точкп зрения минимизации излучения в окружающую среду необходимо было бы добиться перевода системы именно в хаотическое состояние, когда она отдает во вне минимум энергии.
В заключении изложены основные результаты работы.
Основные выводы и результаты диссертации
1. Исследования системы бесконечной длины (балка на упругом основании; двух балок, соединенных массовыми связями) позволили установить, что существование вещественного дискретного спектра возможно лишь при определенных з'сло-виях.
2. Для балочной конструкции с опорами одинаковой жесткости всегда можно найти вещественный дискретный спектр; подбирая расстояния между опорами, соответствующими определенной величине жесткости.
•3. Нарушение геометрической симметрии не влечет невозможности существования вещественного дискретного спектра.
4. Для палочных коне I ]>) кппй г различными жесткостямп опор
______н<*..нуегда уда с г!'я по.чобра п, параметры сш темы, обегппн-
пакшшс наличие Ъешественттых диекретных_< оба пенных частот. Гак для спсчемы < тремя опорами. ei.ni ..кесч коГттг крайних опор равны. а третья, другой же< ¡кппп. ра< множена произвол!,но между ии.мн. дискретною тчпественного спектра не будет.
5. В случае наличия у балки проседающих и поворошых оно]), прп определенном расстоянии между ними, у <петемы есть вещественный дпекрешип спектр.
6. В механических конструкциях конечных размеров с пружинами-опорами се собственные частоты могут совпадать с частотами вещественного дискретного спектра бесконечной системы. Этпм частотам отвечают собственные формы колебаний, локализованные в районе пружин-опор. Только при шарнирном оппранхш таких систем, специальным подбором пх параметров п расстановкой опор, можно добиться кратности частот (кратности два).
7. Для круговой цилиндрической оболочки конечной длины, подкрепленной поперечными ребрами (шпангоутами), на частотах равных дискретным вещественным частотам оболотаи бесконечной длины, возможно возбуждение существенных поперечных колебании, вызванных продольными.
8. При распространении продольной вибрации и по ]у'бесконечной балке, шарнирно-опертотт на упругие стержни, работающие на изгиб, существуют такие параметры стержней, прп которых они выполняют роль динамических га<и кмеь.
9. При колебаниях коаксиальных круговых цплиндрическпх оболочек бесконечной длины, помещенных в жидкость, учет сжимаемости жидкости позволил найти дискретный спектр собственных частот. Неучет сжимаемости жидкости не позволяет обнаружить дискретный спектр. Наружная оболочка в зависимости от диапазона частот может играть роль прозрачного экрана, демпфера или усилителя колебаний.
И). Для нелинейных двухчастотных параметрических колебаний стержня выявлены и классифицированы возможные динамические режимы.
11. При нелинейных параметрических колебаниях стержня в Га-мпльтоновоп системе обнаружено фрактальное притягивающее множество — компакт на фазовой плоскости.
12. Для обеспечения минимальной энергии излучения в окружающую среду необходим такой подбор параметров системы, чтобы она не выходила пз состояния хаотических колебаний.
13. Обнаружено, что в рассматриваемой нелинейной системе с диссипацией существуют два типа аттракторов.
Основные публикации
1. "О нелинейных колебаниях балки при продольном возбуждении'. В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Волновые процессы в машиностроении", Горький, 1989, с. 47-55.
2. "Вибрация и щумопзлучение двух соосных цилиндрических оболочек в жидкости". В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций", Ленинград, 1990, с. 121-128.
3. "Вибрация системы двух цилиндрических оболочек в потоке жидкости". В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Аэро-гпдроупругость элементов машин п сооружении", Ленинград, 1989, с. 82-86. Соавтор — Андреев В. Л.
4. ""Явление локализации вибрации в системе двух цилиндрических оболочек, связанных между собой". В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций", Ленинград, 1990, с. 87-95. Соавтор — Индейцев Д. А.
5. "Вибрация подкрепленных оболочек, заполненных жидкостью"— АН Литвы, Энергетика, N 2, 1991, с. 47-57.
fi.-V'ibiiiliijii of supported cylindrical shell system. Proceedings of tin- XXIYIAHR.AM. Madrid. 1991. p. 242-2'jI.
7. Dynamic model of displacement wave-pump.-- ^Proceeding" of file XXIY 1Л1 iR. A' 1. Madrid. J991. p. 2!tb:!;>.
"Особенности колебании динамических систем.'имеющих lie-суп J\l<> КШК трукншо пескптгечноп ЩЮТЯЖеШНХ тп." Р ЛТТ Снб. отделение. Моделирование в мехаштке. т. Ь (23h X 2. 1992. с. 3-12. Соавтор — Индейцев Д. А.
9. "Нелинейные параметрические колебания балки на упру J ом основании.'' — В кн.: Доклады Международной конференции по теоретической п прикладной механике, т. 2, Варна. 1991, с. 30-38.
10. The size of dents in cylinder resulting from .submerged wave. — Shock compression of condensed MATTER, 1991, Elsiver, p. 285-2SS. Соавтор — Индейцев Д. A.
11. Resonance oscillations of infinite beam systems with inclusions.
Proceedings? of t he YI International Conference on the TMM, Liberec. V 2. 1992. p. 5-15.
12. "Нелинейные параметрические колебания балки, контактирующей с каналом жидкости." — В кн.: Доклады Международной конференции по борьбе с шумом п вибрацией "NOISE-93", т. 2, 1993, с. 115-120.
13. "Резонансные колебания упругих тел с включениями." В кн.: Доклады Международной конференции но борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93". i '2. с. 110-11!. • '..,.:jt'>i> Индейцев Д. А.
1-1. Trapping Modes of oscillation in an Elastic System.
Proceedings of the Third hiternaiional Congress on Air- and Structure Borne Sound and Vibration. Montreal. 1994. V 3. p. 1817-1825. Соавтор Андреев В. Л.
15. Resonance oscillations of supported .shells. - int.. J. Engng. S<i. Vol. 31, N 11, 1993, p.1485-1498.
1С. Resonance oscillations of infinite and finite clastic structures with inclussions. The Journal of the Ac. Soc. of America, Vol. 95, N 5, 1994, p. 3007-3015.
17. Nonlinear paramertric oscillation of a beam contacting with ideal compressible liqnid in achannel. —.Journ. of Ac. Soc. of Amer., К 3. 1994, p. 2017-202G.
18. Trapping modes in elastic structures with mass-spring inclussions. - Proceedings of the INTER-NOISE-95, V. 1, p. 8G4-8S2. Соавтор - Индейцев Д. A.
19. Routes to chaos in hydroclastic system. Proceedings of the International Conference on Computational Acoustics, Southampton, 1995, p. 417-425.
20. Stabilization of oscillation amplitude using a varying length pendulum. — ZAMM, (in press), 1995.
21. Non-linear Oscillations and Chaos in Galerkin Approximation. —■ ZAMM, V. 32, N 3, (in press), 1995.
22. Resonance Oscillations of Infinite and Finite Elastic Structures with cluclusions. — Proceedings of International Conference on Computational Acoustics. ■— Southampton, UK, 1995, p. 310318. Соавтор — Андреев В. JI.
