Ловушечные методы колебаний в упругих телах с включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Индейцев, Дмитрий Анатольевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
______________САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ-ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХ 1-1И ЧЕ С К И Й У H И В ЕР СИ TET
_ ту „
На нравах рукописи
ИННЕИПЕВ Дмитрии Анатольевич
ЛОВУШЕЧНЫЕ МОДЫ КОЛЕБАНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого
тела.
Автореферат
диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург 1995
Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской Академии Наук.
Официальные оппоненты —
доктор физико-ма-
тематических наук, профессор
ПАЛЬМОВ В.А.
доктор физико-ма-
тематических наук, профессор
ВЕСНИЦКИЙ А.И.
доктор физико-ма-
тематических наук, профессор
К0У30В д.п.
Ведущая организация — Военно-Морская академия
им. Кузнецова Н.Г.
Защита состоится;. 1995 года в часов
в на заседании специализированного Совета
Д 063. 38. 21 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 195251, С.-Петербург, Политехническая, 29.
С диссертацией можно ознакомится в фундаментальной библиотеке СПбГТУ.
Автореферат разослан года.
Ученый секретарь специализированного совета Д 063.38.21., к. ф.-м. н., доцент
А.А. ВАСИЛЬЕВ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Интенсивное развитие техники выдвинуло необходимость Полое углубленного изучения волновых процессом и телах, содержащих включения либо н объеме, либо на границе. Причиной тому послужило обнаруженное явление локализации упругих волн в районах, содержащих последнее и приводящее, к примеру, в акустических явлениях к сильно концентрированным полям излучения в окружающую среду, а в задачах с нестационарном воздействии ударных воля с конструкциями к локализованным полям напряжений в районах крепления дополнительных элементов. Такое же явление имеет место и в задачах физики твердого тела, где локализация волновых процессов приводит к перестройке дислокационной структуры материала с последующим изменением его физических свойств. Представляется, что ответственным за локализацию волнового процесса несут стоячие, не распространяющиеся волны. Последние, следуя теории поверхностных воли в жидкости, получили название ло-вушечных мод колебаний. Этого определения будем придерживаться и в настоящей работе. Присутствие таких волн в общем волновом пакете заставляет признать существование смешанного спектра собственных частот колебаний у дифференциальных операторов, описывающих поведение тел с включениями. Именно, спектра, содержащего, как непрерывную, так и дискретную части. Сегодня законченной математиноской теории о распределении собственных значений сингулярных дифференциальных операторов (сингулярность вызвана наличием грапицы бесконечной протяженности) не существует. Практика заставляет восполнить имеющийся' пробел последовалнем указанного выше явления на ряде специально подобранных задач, решение которых позволило бы выделить главные, присущие этому явлению, особенности. С одной стороны это поможет продвинуться в разработке соответствующей математической теории, с другой — - полученные результаты решений можно использовать для разработки новых методов и средств измерения, контроля и диагностики.
На актуальность темы диссертации указывает и то, что она связана с исследованиями Института проблем машиноведения РАН по научному направлению "Динамика волновых движений
механических систем", утвержденному Постановлением Президиума РАН, и выполнялась в соответствии с
— программой фундаментальных исследований РАН "Механика" (Раздел 4, гос.per. 01. 9. 00. 44514);
— программой фундаментальных исследований РАН "Машиностроение и технология".
Научная значимость работы подтверждается ее выполнением при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследовав ний.
Состояние вопроса. Известное разделение задач математической физики по спектру собственных значений: дискретный для: уравнений, описывающихся колебания упругих тел ограниченных размеров и непрерывный для тел, имеющих границы бесконечной протяженности, — существовало до 1927 г., Шредингер, в связи с физической теорией квантов, натолкнулся на тип задач о собственных значениях, спектр которых обнаружил совершенно иную структуру, чем рассмотренные до сих пор. Для операторов вида — LU + V U = Л U, где V(x) потенциал, был доказан целый класс теорем о существовании дискретного спектра, располагающегося до начала непрерывного. Оператор Шредингера оказался богатейшим источником задач спектральной теории особенно в квантовой механики, где собственные значения — суть возможные значения энергии системы. В классической механике задачи со сметанным спектром были изучены Урсуллом Ф. (1951 г.) при описании явления образования стоячих волн на.безграничной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Полученное им математическое обоснование существования дискретного спектра у оператора Лапласа, при соответствующих краевых условиях на дне канала определенного рельефа, подтверждало существование не распространяющейся волны на поверхности жидкости с амплитудой экспоненциально спадающей на бесконечности, впервые показанное Стоксом Г. (1846 г.). В дальнейшем этот раздел механики развивался Эвансом Д., Макайвером П., Кузнецовым Н.Г., Боннетом А. и др. Дискретный спектр собственных частот колебаний, обнаруженный учеными в объемах жидкости с безграничной поверхностью при различной топографии дна, располагался всегда до граничной частоты, определяющейся нача^
о
ло пол иообразоиги I и я на ншлгрхлостм, был конечен и ему соответствовали собственные формы в виде указанных выше ловунтечных мод колебаний. Рассматриваемый только один и ид дифференциального оператора (оператор Лапласа) не позволяет использовать результаты, полученные вышеуказанными исследователями, для описания локализации волновых процессов в других задачах механики.
Следующей областью классической механики, где было обнаружено явление локализации, является механика твердого деформируемого тела. Впервые наши отечественные ученые Ворович И.И., Бабешко В.Л., изучая резонансные свойства упругой полосы, контактирующей на конечном участке своей границы с вибрирующим массовым штампом,"обнаружили ряд резонансов (В-резонансы), сопровождающихся явлением локализации волновых процессов под штампом и раскачки последнего с безграничной амплитудой. Это, безусловно, вызвало широкое обсуждение в научных кругах и появление колебаний такого вида в безграничной среде, где в общем случае существует унос энергии от источника па бесконечность, было классифицировало как открытие. Первые результаты указывали на существование резонансов на частотах, лежащих только до первой граничной частоты упругой полосы, а в 1985 г. впервые был обнаружен высокочастотный резонанс., т.е. выход вещественного дискретного спектра на ось непрерывного. Большие математические трудности не позволили получить весь дискретный спектр и проанализировать условия, определяющие его существование. Вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний некоторых элементов конструкций (балка Вернули-Эйлера с двумя сосредоточенными упругими включениями, пластина с упругим набором подкреплений)определен в работе Вобровницкого 10.И. (1992 г.) В задаче о колебании пластины в канале, заполненном идеально сжимаемой жидкостью, Белинский Б.П. показал возможность существования дискретного спектра в задачах гидроупругости.
Видно, что число работ, изучающих ловушечные моды колеба--ний в средах с включениями, весьма ограничено. Целый ряд принципиальных вопросов остался практически не исследованным — это вопросы влияния вида дифференциального оператора, описы-
пающего динамику волновода, краевых условий, а также включений на возникновение вещественного спектра собственных частот колебаний в упругих телах с одной из границ бесконечной протяженности. Ни в одной из известных автору работ не ставился вопрос об условиях, определяющих положение этого спектра (последний может располагаться как до начала непрерывного, так и на нем). Осмыслению этих вопросов и в какой-то степени ответу на них и посвящена настоящая теоретическая работа.
Целью работы является:
— теоретическое исследовгшие формирования ловушечных мод колебаний (возникновение вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний) в одномерных и двухмерных упругих телах, имеющих одну из границ бесконечной протяженности и содержащих как сосредоточенные, так и распределение массово-упругие включения;
—- вывод необходимых и достаточных условий, приводящих к возникновению низкочастотного (значения спектра располагаются до начала, непрерывного) и высокочастотного (точечный спектр лежит на оси непрерывного) спектров;
— установление связи между явлениями локализации нестационарных волновых процессов в районах включений и существованием вещественного дискретного спектра в общем спектре оператора, описывающего динамику волновода;
•— исследование формирование ловушечных мод колебаний в телах ограниченных размеров и установление связи этого явления с эффектом образования ловушечных волн в телах с границей бесконечной протяженности.
Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:
— формулировка необходимых и достаточных условий существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний в одномерных и двумерных упругих телах, имеющих одну из границ бескопечной протяженности и содержащих массово-упругие включения;
— исследование спектра собственных значений основных видов дифференциальных операторов, описывающих распространение волн в упругих телах с включениями;
— оценка собственных значение и собственных функций и задачах о колебании элементов конструкций, содержащих как сосредоточенные, так и распределенные- включения;
— метод определения вещественного дискретного спектра на оси непрерывного, позволяющий разделить поиск лонушечных частот и спектра параметров волновода и включений, при которых эти частоты становятся собственными;
— описание формирования лонушечных мод колебаний в упругих телах конечных размеров как явления образования кратных частот при определенных параметрах включения.
Практическое значение полученных результатов непосредственно вытекает из решения конкретных задач о колебании элементов конструкций, содержащих включения. Такие элементы как балки, пластины оболочки, наиболее широко используются на практике в машиностроении и судостроении. Поэтому приведенные в работе значения собственных частот колебаний, а также необходимые для их существования значения параметров включений, позволяют прогнозировать, к примеру, характер акустического излучения, а также неравномерность распределения вибрации по длине конструкции.
Достоверность результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, адекватных p«.viышм объектам, строгостью и корректностью математических выкладок.
Апробация. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции ''Методы расчета прочности судовых конструкций" (Ленинград, 1990 г.), Всесоюзном научном совещании по проблемам прочности (Москва, 1991 г.), Всесоюзной конференции "Волновые процессы в машии'ктроеции" (Горький, 1989 г.), VI Международной конференции по а еоретической механике (Ли-берец, 1992 г.), Международной конференции но ударным волнам в конденсированных средах (Элсевир, 1991 г.), Европейском коллоквиуме Евромех-316' по структурной акустике (Манчестер, 1994 г.), III Международном конгрессе по акустике и вибрации (Монреаль, 1994 г.), Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93" (Петербург, 1993 г.), а также на семинарах по акустике под рук. проф. Д. П. Коузова и семина-
pax кафедры "Механика и процессы управлепия'ПГТУ" под рук. проф. В. Л. Пальмоиа.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав и заключения. Диссертация содержит 291 л машинописного текста., -11 рисунка. Список литературы включает 66 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обзор и постановка спектральных задач механики, приводящих к возникновению ловушечпых мод колебаний. Здесь же формулируются цели и результаты исследований, которые излагаются в двух разделах диссертации. Первый посвящен изучению формирования низкочастотных ловушечных мод колебаний (спектр собственных значений располагается до начала, непрерывного спектра), а второй — соответственно высокочастотным модам, которым сопутствует дискретный спектр, "вкрапленный" в непрерывный.
Первая глава первого раздела посвящена изучению свободных колебаний одномерных элементов конструкций при наличии сосредоточенных массово-упругих включений. Эта. часть работы начинается с обсуждения постановки таких краевых условий на бесконечности, которые позволили бы получить решение, описывающее ловушечную моду колебаний.
В п. I. I из трех видов условий: ограниченность решения на бесконечности, условий излучения, условий, требующих конечность интегралов, определяющих кинетическую и потенциальную энергии, —• выбирается последнее, которое и используется при решении задач о колебании струны и балки Вернули-Эйлера (Б.-Э.) на упругих основаниях. Показано, что вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний имеет место только при условии существования смещенной относительно пуля границы непрерывного спектра. Эта граница в рассматриваемых задачах определяется значением шг — [К/т)1!2, где К — коэффициент жесткости упругого основания, т — погонная масса. Обязательным также является наличие инерционных включений. Дискретный спектр конечен. Число его значений равно числу таких
"ТТключений. К примеру, для двух одинаковых масс М уравнения колебаний вышеуказанных элементов конструкций после отделения временного множителя ед:р(г ш (!) имеют вид
Т Uxx - (К — m ш2) U = -М w2 [LIj S(x) + U, S(,r - £)], D Wxxxx + (К -тnu!)(f = Mu2 [Wo S(x) + Wt S(x - f)].
— CO < T- < CO (l)
Решение уравнений ищется в классе функций, удовлетворяющих условию конечности интегралов
+оо +оо -i-oo +00
jtfdx, J Uldx , J W2 dx , Jw2xdx, (2)
—00 —00 -00 -00
а также условиям совместности: U{0) = Uo , U{t) = ¿Л, И7(0) = l-Ko, W(^) = W/, где Uo, Ui, W0l Wc — смешения массовых включений.
В области частот 0 < w < uj~ решения этих уравнений имеют вид
и =-м to2 • [с/0 с?е(| г |, и) + ut Gc{I .г - е I, w)],
W = МU.-2 [Wu Ge{\ z I, u) + We Ge(\ r, - i |, w)]. (3)
Здесь Gc, Gg — функция Грина соответственно струны и балки. Последние, в этой области частот, имеют вид
г = exptl\х ~ lil = Г]<" " 2 = т
Jc 2 Т 7 ' ' Vi' " m'
(4)
Условия совместности позволяют получить алгебраическую систему однородных уравнений, условием нетривиального решения которой является следующая зависимость массы М от частоты и>.
Рис. 1.
М(и) = • [<3(0',ы) ± С{1,и)}~1. (5)
Здесь функция Грина О в зависимости от рассмотрения того или иного элемента конструкции, принимает вид либо либо С?¿. Знаки "-(-" и "-" соответствуют симметричным и несимметричным формам колебаний.
Качественное поведение зависимости (5) представлено на рис. 1. а.
Как видно из последнего, любому значению М соответствуют два значения собственной частоты колебания. На рис. 1. б показаны собственные формы колебаний струны и балки. Последние существенно локализованы в районе включений.
Результаты, полученные для двух включений, переносятся на случай произвольного их числа. При смене чисто массовых включений на упругие, выражение — Мы'2 заменяется на С (жесткость пружины). В этом случае условия совместимости не выполняются ни при одном вещественном значении и, т.е. искомый спектр отсутствует. Таким образом, низкочастотный, дискретный спектр у одномерных дифференциальных опе-
—раторов~ка,к"гнйсрооличоского для струны, так и смешанного тина, для балки В.-Э , имеет место только при наличии инерционных включений. При одновременном присутствии, как массовых включений, так и упругих, в равенстве (3) появится член Р(ш) — с — Мш1. Условия совместности позволяют получить неравенство, которое определяет положение искомого вещественного дискретного спектра: (С/М)1/<2 < и < ыг. Очевидно, если парциальная частота (С/М)'/2 больше граничной сиг = {К/т)1'2, спектр отсутствует. В этом же параграфе при поиске дискретного спектра на оси непрерывного, т.е. за граничной частотой, на приведенных моделях демонстрируется метод его определения, который используется в дальнейшем при решении более сложных задач. В области частот ш > ыг функция Грина, как струны, так и балки, комплекснозначны и имеют вид
Gc{\ ,г-е I, ш) = -(2 ТУ гГ] ехР[-г7 | s-i; |], 7 = | с2-А' | Т)]'\
(6)
(?о(| х — £ |,w) = —j о.-3 • [iexp(—ia ) х — £ )) + ехр{ — а | х — ц |)] ,
а= {(u,2m- Kj/Df'"1 (7)
Подставляя (7) выражения (3) потребуем обращения в ноль амплитуды бегущей волны (условия отсутствия излучения) при х > I и х < О (■£ — расстояние между включениями). Получим: Uq + Ui exp{i^f.) = 0 или Ui sin^i = 0, Uq+U( cos 7i = 0. Очевидно . для балки эти уравнения имеют такой же вид, только в них необходимо заменить С/о на Wq, a U( на И7; и 7 на а. Эти же выражения молено получить непосредственно из требования конечности интегралов (2). Последние уравнения означают условие ортогональности правых частей уравнений (l) бегущей моде expyi а | х |), или, что тоже, обращение в ноль работы, производимой колеблющимся включением на смещении в виде бегущей волны. Такое требование, определяющее существование дискретного спектра на оси непрерывного, имеет общий характер и справедливо для любого вида включений, как сосредоточенных, так и распределенных.
В случае фиксированной кинематики движения последних, условия отсутствия излучения позволяют упростить решение исходной спектральной задачи, разделив ее на две. Первая, в настоящем случае это уравнение = 0, ягпа( = 0, позволяет найти значения 7, а, а соответственно и значения частоты и. Они равны, соответственно для струны и балки, — К/т + (тг пс/1)2 и = К/т + И(7г п)А/т£* , п — 1,2,.... Вторая задача следует непосредственно из условий совместности, которым необходимо удовлетворить при условии, связывающим перемещения [То, (7/, Шо , Оно имеет вид: Щ + ( —1)" С/< = 0, п — 1,2,.... Определитель алгебраической системы уравнений, несмотря на комплексный вид функции Грина, вещественен, т.к. он записан при значениях частоты определяющей отсутствие излучения волн на бесконечности (иначе говоря, отсутствия диссипации энергии). Приравнивая определитель нулю, можно найти спектр параметров струны, балки, включений, при которых указанные выше частоты являются собственными частотами колебаний рассматриваемой механической системы. По аналогии с теорией поверхностных волн в работе эти частоты называются ловушечными, т.к. именно на них отсутствуют бегущие волны. Для струны условия совместности приводят к тривиальному равенству М — 0, что указывает на отсутствие вещественного дискретного спектра на оси непрерывного. При внимательном рассмотрении этот результат становится очевидпым ввиду присутствия в выражении для функции Грина только бегущей волны. Ситуация не меняется и при наличии упругих включений (пружин жесткостью С). Противоположный результат имеет место в модели балки Б.-Э. Для последней условие совместности приводит к результату:
С - = ■ , -, п — I '2,... (8)
" \ £ ) (-1)" - е-*"'
Как видно из (8), это равенство не имеет смысла в случае жесткости С = 0, но очевидно справедливо, если и?п < С/М. В частном случае, если М = 0, приходим к непосредственному определению спектра параметра С. Более подробный анализ высокочастотного спектра приводится во втором разделе работы. Здесь же отмечается обязательное условие существования такого спектра, именно,
з (_1)»+2
присутствие в выражении для функции Грина членов, определяющих стоячие волны. Как видно, между гиперболическими дифференциальными операторами и операторами другого вида, описывающими поведение полнопола существует определенное отличие, приводящее к равным результатам при исследовании их спектра собственных значений. Последний вывод определяет содержание второго параграфа этой главы. В п. 1. 2 приводится решение задачи о свободных колебаний балки Тимошенко бесконечной протяженности на упругом основании при наличии сосредоточенных включений. Здесь только массовых, а во втором разделе массово-упругих. Основные уравнения имеют вид
Е J фхх + K'{Wj - ф) AG - J р-фи = О,
р A Wlt - K\WIX - V.) Л G + К W = j(x, t), (9)
/(.г, t) = -М Wtt ■ [<5(.с) + ,Ч(л: - С)} , -оо < .г < оо
Дисперсионное уравнение однородной системы (9) позволяет определить две серии частот ш±(а). Зависимости последних представлены на рис. 2. Три граничных частоты делят область непрерывного спектра на три участка: wjj < ui < и>2г , <*'2г < ы < Wjj < и> < оо. Значения граничных частот соответственно равны:
bJ\t и (К/т)1/2 ■ (1 - К J/EA7)1J2, и,2г и (К/т)1'2
СЗг=(0/р)^-АК'/1 (10)
В работе построены функции Грипа балки '.Гимошенко в каждой из областей. Они имеют достаточно громоздкий вид, поэтому в автореферате не приводятся. В области частот 0 < w < функция Грина вещественна и по своему виду похожа па функцию Грина балки Б.-Э. При устремлении J/A (квадрат радиуса инерции сечения) к нулю, фупкция Грина балки Тимошенко переходит в функцию Грина балки Б.-Э. В области частот wie < и> < и>1г функция Грина содержит два члена, определяющих чисто волновые решения. Такой же вид имеет функция и
Рис. 2.
в области и>зг < ш < со. В области ш^г < и < о»зг функция Грина представлена как членом, определяющим бегущую волну, так и членом, соответствующим стоячей волне. В отличии от балки Б.-Э. функция Грина балки Тимошенко уже во второй производной содержит дельта-функцию. Качественного различия в существовании низкочастотного дискретного спектра собственных частот колебаний у обеих балок нет. Нахождение его полностью аналогично поиску спектра у балки Б.-Э. Показано, что значения частот располагаются несколько ниже, чем в модели балки Б.-Э. К примеру, для одной массы М зависимость ее от частоты имеет вид
1
(И)
где
С, К \
3-
АС? \
К - рАи7\ ч Л 7Г
Как будет показано далее различие между обеими моделями про-
является в положении спектра па оси непрерывного, и> > и1\г. В п. 1. 3 рассматривается влияние формирования ловушечных мод колебаний на нестационарные пронес«.! в телах с включениями. В качестве примера изучается волновой процесс в полубесконечной струны на упругом основании, содержащей сосредоточенную массу М на своем конце. Показано, что присутствие в общем спектре системы кроме непрерывного также и дискретного спектра частот приводит к явлению "задержки" волны на включение. Основные уравнения имеют вид
ти„- Р ии -ки= Ро о < X < оэ,
Тих Мии |х=0, и 0, их —> 0, г - оо,
1/(0, х) = £/,(0,.г) = 0. (12)
Использование обычных приемов решения задач волновой механики, т.е. интегральных преобразований Фурье по координате х и Лапласа по времени приводит к следующему результату. Если включение отсутствует, т.е. М = 0, смещение конца струны имеет вид
И как видно при £ —♦ оо это смещение стремится к нулю, т.е. волна не задерживается в случае отсутствия массы. Если М ф 0, то решение имеет вид
Щ 0,0 = +
1и - х/ы2 - К, (14)
и
-2 Рй
М ш. Г + 2 АР
1 °Г ■ ,1ы со$Нх,) - МВ1п(-чхЛ - / Б1П Ш £-2- ■ ■ ■■ ■ -
уЗ+МЗи*
U{O, t) -> -2 P0 e~x- -JÍ!±.— sinu. í, t - 00.
1+2 M'wl
Конец струны совершает незатухающие колебания. Таким образом, действительно, часть волны "задерживается" на включения. Чтобы доказать, что этот вид движения соответствует ловушеч-ной моде колебаний, обратимся к другому, классическому способу решения задачи. Именно к разложению по собственным формам колебаний.
Решение спектральной задачи
- (UXI - К U) = и? U, Q < х < со, Ux |i=0= -Мь? ¿7(0), (15)
а U(x) и Ux(x) на бесконечности ограничены, приводит к существованию дискретной частоты w„, определяемой из уравнения
JK - ш1 - A4 и?„ - 0 (16)
и лежащей в области 0 < ш, < (Л'/р)1'5, а также к непрерывному спектру в области и>г < и < оо. Разложение по собственным функциям имеет вид
U{x,t)=q(t)e-I^ + Jqyu(t)
Д Л + К ■
cos х *7íj — М-stnxju
1Ü>
(17)
Собственные формы ортогональны свесом /(х) = 1 + М6(х). Для q{t) и имеем уравнения
( Яу„ + 9у„ = ■ -Ро у^м^ш* -У^х*- М х,).
(18)
Очевидно их решение приводит к результату вида (17), а присутствие в (17) собственной формы (первый член), определяющей ло-вушечную моду колебаний, приводит к незатухающим колебаниям при I —> со. Таким образом, существование в общем волновом пакете ловушечных мод колебаний может приводить к явлению "задержки" волнового процесса в районе включений.
Во второй главе изучается смешанный спектр в одномерных конструкциях с распределенными включениями. В п. 2. ] рассматривается задача о струне, содержащей участок с упругим основанием жесткости К] и погонной массой т,], а в п. 2. 2 аналогичная задача решена для балки Б.-Э. Уравнения имеют вид
Тихх + (и>2 тп(х)- 1<{х))и = 0, -оо < ж < оо,
Е 3 Ж„„ + {К{х) - т{х) и2) УГ = 0, (19)
где
К(х) = Кй + К ■ [Е{х + 1)- Н(х - , [<1 = Л'о + К,
т(х) = mo + т • [Н(х + i) — Н(х — £)], т\ — шд + т.
Оба. эти уравнения могут быть сведены к интегральному уравнению вида.
(20)
где а4 = ти>2 — К, a }{х) принимает вид либо U(x), либо W(x). Функция Грина G определяется из (4). Нижняя граница спектра (Т —» 0, Е.Т —> 0) равна (Ki/rn^)1/2. Если последнее значение больше, чем (Ко/та)1/7 спектр отсутствует. Решая последовательно уравнения при \ х \> 1 tz \ х \< I, к примеру, для симметричных форм струны имеем частотное уравнение вида
tg
i
тi u>¿
А',
\
К0 - таи2
тi <jjz
ay
(21)
Для балки Б.-Э. ввиду сложности выражения для частот-нош уравнения приводится случай, когда частоты —
^(^-У+А']]/«! , гк = \ + тгк, к = 0,1,... становятся собственными при спектре параметра ¿1 = • [(0,8)4 + 0,5 то/ту] / (о, 5 т0/т, • т' ^. формы собственных колебаний, как и раньше, локализованы в области включений. Для струны они имеют вид
1
Рис. 3.
и (х) = I соаа1»я> \x\<£, aln = Kmtul -К- 1 )/ТУ'\
> \ e-oo.-\*-t\. cos ajn д | г |> д аоп = [(/Го _ mo
(22)
В п. 2. 3 рассматривается задача о колебании балки Б.-Э. контактирующей с отсеком, заполненным идеальной сжимаемой жидкостью, рис. 3.
Отсек принимается неподвижным, а контакт балки с его стенами принимается в виде свободного опирания. Последнее позволяет учитывать только нормальные реакции N. Задача интересна тем, что конечный объем сжимаемой жидкости в определенной области частот ведет себя либо как чисто упругое тело, либо как инерционное. В этом смысле задача, "вбирает" две указанные выше задачи. Исходные уравнения имеют вид
I D W„„ + (К -mu2)W = Р{х, h) [Н(х) -Н{х-£)}, -оо < х < оо
[ РХ1 + Руу = - Р, 0 <х<£, 0 <y<h
P„\h=P^u?W, Pv |у=о= 0,
И/(0) = \\'{С) = О (23)
Здесь — давление излучения в жидкости, Со' — скорость звука в ней, /?о — ее плотность.
Решение ищется в области частот 0 < и> < (К/тл)1/2. Перемещения \¥(х) можно представить в виде
е
Щ*) = / Р<А, к) <?(!*"£ |, Ш) ¿М-ЛГ, <7(| * [, + <7(1 х — 11, ш),
о
(24)
которое после удовлетворения условиям И^(0) = У/(1) — 0 принимает вид
/
о
д(х,£,ш) = у)+
Р(\ X I, а/) [С, С(| г - г |) - Со 6'(У1 + х-е\) 0(0 - <?о <7(1 - а
С4 - <7?
Исходная задача сводится к решению спектральной задачи ~{Ртх + Руу) = А Р, о^у^/г, 0<г<*,
I
! Р(^К)д(х,^\)а^ Ру\у=п= О, Р, |я=п,г= 0. о
(25)
В работе определяются верхние и нижние оценки искомого спектра. Для этого используется равенство
11(Р1 + ¿х ¿у - X ра С1 } ¿XI Р(х, К) Р(£, К) д(х, А) #
\ _ 00___о о _
л ---1-
Цх!РЦх, у) ¿у о о
Верхней границей являются частоты колебаний в неподвижном отсеке. Именно = тг2(А'2/£2 + т2/Л2) , к, тп = 0,1,2,.... Нижняя граница определяется из (26) при П —» 0. В этом случай частоты находятся из спектральной задачи
-АР = \^Р, Рх\1=0,г= 0, Р, ),=<,= 0,
д^дН а = Ро|р, \г=К/тС1 (27)
Решение последней приводит к частотному уравнению
А(-) - | ^
-1/2
/(Аг-А<->), (28)
п = 0,1...
Искомый вещественный, дискретный спектр располагается в области, определяемой неравенством: Д[ ^ < А,- < г = 1,2,...,
у(+)
< А,.
В работе приводится ряд упрощенных выражений для определения этого спектра. Численное решение исходной задачи методом Б.-Э. дает хорошее совпадение с теоретическими результатами. На рис. 2 показана первая симметричная форма колебаний. Для исследования положения спектра за граничной частотой ыг — (К/т)1'7 условие отсутствия излучения при х > I и а; < 0 имеет вид
<
/ Р(£, К) е,а< # + АГ, + N2 еш = 0.
(29)
Комплексцое уравнение (29) можно разрешить относительно /V] и , тогда IV(х) принимает вид
IV (х) = /Р(£,Л)
л'па(1 — £) 0(х, и)
ята*
згпа£ С(| х — I |,ш)
вгп а£
В то же время можно показать, что (30) цри вещественных ш никогда не удовлетворяет условиям совместности: И^О) = У1/(£) = 0. Таким образом дискретный спектр за граничной частотой отсутствует. Последняя, третья глава этого раздела посвящена изучению формирования ловушечных мод колебаний в двумерных упругих телах. В п. 3. 1 и в п. 3. 2 рассматриваются задачи о свободных колебаниях мембраны, имеющей распределенное массовое включение, вытянутое по ширине (п. 3.1), а в п. 3. 2 — вдоль ее длипы. В п. 3. 3 приводится анализ существования спектра за первой граничной частотой мембраны, указываются причины его отсутствия. В п. 3. 4 рассматривается задача о колебании мембраны со слоем, равномерно распределенным как по ее длине, так и по ширине. Указанные спектральные задачи имеют вид
ихх + С/„„ =-\Щ1+и(х,у)), — со < г < со, -1 < у < 1
СО.*) = "(-!.«) = 0, {=£), л = (£)',
J (у) S{x),
I 0, \х\> р, , .
= \ 1, \x\<P=i f31)
Граничные частоты равны: = | • (2 ть + 1), п = 0,1, 2,....
В случае f(x, у) = J{y) 8{х) на рис. 4 представлены зависимости параметра массового слоя от искомых значений дискретного спектра \
Как видно из графика в области частот 0 < А < А]г = может находиться несколько значений дискретного спектра. Число собственных частот зависит от соотношения между заданным значением £ и граничными значениями £„г , п = 0,1,2,— Первые два значения равны соответственно £]г = 0 , ~ 7-^Joo/(JoaJn -Л?о),где
j
Лп = 2 J f(y) cos xt у cos xn у dy.
Рис. 4.
Что касается исследования возможного положения дискретного спектра за граничной частотой, то в работе удается доказать его отсутствие в этой области частот только для случая }{у) = 1 при | у |< I и /(у) = 0 при | у |> I < 1. Здесь удается точно решить задачу о несовместимости условий отсутствия излучения, которое имеет вид
] Щу,х,\)соз^йу = 0, (32)
-1 1
и основного решения задачи. Противоречие заключается в существовании зависимости искомых значений дискретного спектра от волнового числа а.
Вторая задача, касающаяся случая /(х, у) = /(х)8(у) сводится к решению интегрального уравнения вида
+оо
г/(х,0)= А£ / 1/(С,0)/Ш1*-аАК, -«э<г<оо (33)
—оо
п /ч и ^ I д ~ С I 7/с) /1-Г
5(1 г- С |,А) = £ -, КК = \1Хк-л,
к=о 7лг
Хл- = ~(2 К + 1).
В работе показало, что искомый вещественный, дискретный спектр располагается в области. < А < А]г, А1г = Хо- При
этом нижние опенки спектра определяются из решения задачи о колебании мембраны с массовым слоем Бесконечной длияы и определяются из уравнения: 1 = £\/А Ьд \/А = 0. Приближенные значения определяются из уравнения
ихх-(327о2 (l-2A4) U = 0 \ 7о '
с краевыми условиями вида
(34)
U(±(.,0) = xpLgtP-to / С/(С, о) of<.
70
При этом частотное уравнение имеет вид
+1
tg
\
(тг/гр-А
(35)
А(2^+ 1) - (тт/2)2'
В п. 3. 3 изучается возможность выхода дискретного спектра на ось непрерывного. При выполнении условий отсутствия излучения вида
]и(С 0) cos(l3то О ¿С = О, /W. 0) -1 -1
задача сводится к системе двух уравпетга
Î/« + /?2(2 А ^ - £/ = 7l2 V - A P Î, V„+(32ïîV=[iï0U(x).
V(±l) = V,(±l) = 0, V(x) = / J7(C, 0) - *) dC
X
Vxx(±l)= . (36)
'Yi J
Точное решение задачи указывает на невозможность существования вещественного дискретного спектра на оси непрерывного.
В п. 3. 4 приводится решение задачи о существовании дискретного спектра до первой частоты отсечки у мембраны с равномерно распределенным массовым слоем. В п. 3. 5 изучается формирование низкочастотных ловушечных мод колебаний в канале (О < х < оо, 0 < у < Н) с жесткими стенками, заполненными идеальной сжимаемой жидкостью (ро, С о). Боковая стенка канала (г = 0) представляет собой тонкую мембрану. Основные уравнения имеют вид
рхх + Руу + Р = о, иуу + ~и = I Р(у,X = 0).
Краевые условия:
1/(0) = и{Н) = 0, Рх{0) = ро и2 и, Ру{0) = Р„[Н) = 0 (37)
Точное решение задачи показывает существование дискретного спектра до первой граничной частоты При этом реализу-
ется нечетная форма колебаний мембраны. Спектр приближенно можно найти из уравнения
сЬдх =
тг2 - л;2
4х
1
[тт2 - х2) • (тг2 «2 - х2)
х2 /3 а
Р =
Ра
С1Н
и Н Со Т
х = а = ~с' с =7-
Показывается, что в данной задаче роль включений выполняет присоединенная масса жидкости, образующаяся при колебании мембраны.
Первый раздел заканчивается заключением, в котором сформулированы необходимые и достаточные условия для существования дискретного спектра до пачала непрерывного
В четвертой главе продолжается исследование формирования высокочастотных ловушечных мод колебаний в балке Б.-Э., содержащей два массовых упругих включения (п. 4. 1). Как следует из
равенства (8) при M — 0 бесконечному спектру частот и>п соответствует спектр параметров С'„, при которых эти частоты становятся собственными. Более внимательный анализ показывает, что частоты колебаний шп являются собственными частотами колебаний участка балки, —t < х < нгарнирно-опертой по концам. Последний ведет себя как динамический гаситель колебаний, а само явление "выхода" вещественного спектра па ось непрерывного сопровождается явлениям антирезонанса. В п. 4. 2 приводится исследование высокочастотного дискретного спектра в модели балки Тимощенко с двумя сосредоточенными пружинами. Доказывается существование вещественного, конечного, дискретного спектра в области и2г < и/ < (¿¡г- При этом в других областях непрерывного спектра точечный спектр частот отсутствует. В отличии от балки Б.-Э. спектр конечен, его значения определяются из уравнения
+ , (38)
п- 1,2,... А'
Максимально возможное целое число его значений равно =
(39)
Соответствующие зпа.чения жесткости (?„ удовлетворяют уравнению
сп = (~1)п-[0^(1, - 0Т1у(0,Ши) (~1)'Г1 , п — 1,2,... (40)
В п. 4. 3 рассматривается смешанный спектр в балочной конструкции. Последняя представляет собой систему двух балок на упругих основаниях. Балки связаны между собой двумя абсолютно жесткими переборками массой М. Существуют две граничные частоты: ш\г = (Кх/ттц)1/2 , = (А'з/та)1/2 — определяющие
Рис. 5.
число волнового процесса в каждой балке. Принимая, к примеру, и>1, < можно показать, что в рассматриваемой механической системе существует как низкочастотный дискретный спектр, до частоты отсечки ш2г, так и высокочастотный шц < ы < Ш1г. В первом случае число значений спектра равно двум. Зависимость М(и) имеет вид
М =
1
1
+
1
С1{ 02(0,ш)±02(е,и>))
где С?,-(| х о») , ¿ = 1,2. — функция Грина балок.
На рис. 5 представлен график М{ы). Знаки "+" и "-" соответствуют симметричным и несимметричным колебаниям конструкции.
Из последнего рисунка видно, что существует граничное значение Мчг ниже которого вообще собственных частот колебаний не существует.
2
ш
Значения граничных масс равны
Мхая = 2 • ^ ■ (ЛГ, - .
Л 2 т ]
72
± е'
ТП\
2
(41)
На оси непрерывного спектра (с^г < < значения собственных частот колебаний шп равны: (тгп/£)^ + п = 1, 2,... И, а число этих значений ./У должно удовлетворять неравенству
N <
ГП2 '
^ (К 1
¿>2т<
771] 7712
1/4
(42)
Очевидно, если выражение справа меньше едипицы, то спектр за
первой граничной частотой отсутствует.
Параметры конструкции должны удовлетворять следующему уравнению
2
41
2 7Г П
г1п
У2
+ ■ зхп
+
¡1,, I \П
= -м-
Ш2 ТП2
А <
л/2 , _,„ ¿.¿I . (тт а]п£л/2\ --Ь е 2 • ят —--
2 14 2 )
х(1 4- е'~2т"), п = 1,2,...И.
В п. 4. 4 результаты исследований переносятся на случай осе-симметричных колебаний цилиндрической оболочки, подкрепленной круговыми шпангоутами. При этом учитывается их инертность как в продольном, так и в поперечном направлениях, а также жесткость на обжатие. Хорошо известно, что в большинстве практических случаев расчет таких колебаний сводится к исследованию балки Б.-Э. с коэффициентом жесткости упругого основания К = При этом продольные перемещения малы и соответствующей продольной вибрацией можно пренебречь. Такая
привычная схема расчета нарушается, если в системе возникают ловушечные моды колебаний. Точное решение соответствующих двух уравнений при наличии сосредоточенных сил инерции как в продольном, так и в поперечном направлениях, а также сосредоточенных сил упругого обжатия шпангоутов, позволяет определить конечный, вещественный, дискретный спектр собственных частот колебаний. Последний располагается в области частот 0 < и> < у, где С — скорость звука в материале оболочки. Значения этого спектра равны
Щрг
, 7ГПГ\2 1 (ж пгч4
1 + -г- + е7 1
4 Мо
7Г П Г
+
Ж ПГГ „ / 7Г пг
с1 + 1 -
(43)
а число этих значений приближенно равно £2 д \/48/2 г 6 к2, где д — коэффициент Пуассона материала оболочки. Необходимые значения параметров оболочки и шпангоута определяются из соответствующего уравнения, полученного из условий совместности движения оболочки и шпангоутов. Показывается, что нижняя граница определяется значением Сш/г, где Сш — скорость звука в материале шпангоута. Если Сш > С — спектр отсутствует.
В пятой главе рассматриваются колебания упругих тел с распределенными включениями. Если в указанных выше задачах обязательным условием для выхода дисперсного спектра па ось непрерывного является существование в функции Грина членов, определяющих стоячие волны, то здесь показывается, что существует дополнительное условие: фиксированная кинематика движения включения.
В н. 5. 1 приводится точное решение о свободных колебаниях массивного, жесткого штампа на слое идеальной сжимаемой жидкости, заполняющей бесконечный канал (—оо < х < оо , О < у < Н). Уравнения имеют вид
~{Р» + Рт) = ИСо)2 Р, -Ми2 \У0=] Р(Н, 0
2
р I _ г) р | _ ( РО^И^О, |г|<а . .
' у 1!/=о— О, /„^„-^ 1л.)>и (44)
Граничпые частоты волновода определяются равенством: иПг — * . Непрерывный спектр заполняет всю ось частот: от 0 до оо. В такой ситуации ожидать низкочастотных лову-шечыых мод колебаний не приходится. Условия отсутствия излучения позволяют определить дискретный спектр ловушечных частот колебаний. К примеру, в области непрерывного спектра и>нг < < ик+1 г, А'" = 0,1,2,.... Эти условия приводят к системе уравнений
0, ... /е^У^Н^)'^- о. (45)
—а —а
Решение которой позволяет получить искомые значения частот шт = птСо/а , т = 1,2,..., а также уравнения, связывающие между собой параметры системы
(£)2 = = т = 1, 2,. . .,
/0 = 1,2,..., > = 1,2,.
Условие динамического равновесия штампа позволяют найти соответствующее значение массы штампа М. К примеру, в области непрерывного спектра 0 < ш < -кСц/Н существует хотя бы одно значение дискретной частоты, если а[Н > 1. Сами частоты рав-ньг т — 1,2, . . .. Им соответствует определенное значение
массы Мт. В области частот тгС'л/Я < и> < 2жСп/Н при значениях параметров ^ = \/8; >/5 существует дискретная частота
= 3 7гСо/а, а при ^ = \/3 , ^ = "Т^1- Главное, что удается показать в этом параграфе, это существование жесткой связи между собственной частотой колебания и параметрами волновода с включением. В п. 5. 2 рассматривается аналогичная задача, где вместо включения с жесткой кинематикой включения, введена . гибкая струпа с закрепленными концами. В этом случае задача сводится' к решению однородного интегрального уравнения вида
1. а
1 ао е—
+ 77 £ -—
П ЛГ=1 7ЛГ
Дополнительные условия, при которых существует вещественный дискретный спектр, имеют вид
Последовательное удержание в функции Грина одного, двух членов ряда позволяет точно доказать отсутствие искомого спектра в области частот 0 < и) < ттСа/Н. Краевые условия £/(а) = £/(—а) оказываются несовместными с условиями отсутствия излучения.
Такое существенное различие в результатах при изменении характера движения включения заставляет вернуться к ранее рассмотренной задаче о колебании мембране с деформируемым массовым включением и в п. 5. 3 изучить движение такой мембраны, жестко-сцепленной с массивным штампом, который может совершать только вертикальные перемещения. Такой характер движения включения приводит к возникновению не только низкочастотного спектра, но и высокочастотного. Задача сводится к решению уравнений
и„ + иуу = -А и + г(х) [Щх + (3) - Н(х - (3)} ¿(у),
■Р
Здесь ¡3 = Ь/а , Ь — длипа штампа, Г/() --- его смещение, г(г) — распределенное усилие но линии сцепления штампа и мембраны. Приближенное значение одной величины дискретного спектра, располагающегося до первой граничной частоты можно найти из уравнения
м = - а), Хо = |. (49)
В области непрерывного спектра | < А < — существует дискретный спектр частот, равный А„ = 5 (|)2 + (7т п)2//?2, п = 1,2,... АГ, где N < [/3] (целая часть числа ¡3). Само число (3 должно удовлетворять неравенству: = [(2 гв + 1)/2]2 — п2 > 1, т — 1,2,.... Значения необходимой величины массы штампа определяются соотношением
Мтп - —• 71п • / Ап
Л/^тп "71п + 1 + /?тП71п П'1
(50)
п = 1,2,.. .Л', т = 1,2,.. .
В шестой, последней главе работы поднимаются два важных вопроса и, в какой-то степени, делается попытка ответить на них.
Первый из них касается влияния диссипативных сил на формирование ловушечных мод колебаний, а второй — влияния конечности размеров упругого тела. Очевидно полный ответ на эти вопросы приближает все перечисленные задачи к практическому их применению.
В п. 6. 1 изучается влияние внешних сил сопротивления (последние принимаются пропорциональными скорости смещения упругого элемента) на низкочастотные ловушечные моды колебаний в струне на упругом основании с сосредоточенной массой, а также на высокочастотные формы, имеющие место в балке Б.-Э. с двумя сосредоточенными пружинами. В обоих случаях рассматриваются вынужденные колебания. Влияние диссипативных сил в области существования низкочастотного спектра проявляется в возникновении порогового значения параметра включения, ниже которого резонансные колебания (естественно, это коле б а^ ния уже с ограниченной амплитудой) невозможны. Для струны с
сосредоточенной массой М, последняя имеет значение Мг, равное 2\/2 • >/7Т ■ ш1 = К/ра, £ — коэффициент сопротивления.
Для балки Б.-Э., подкрепленной двумя сосредоточенными пружинами, в случае нагружения ее двумя сосредоточенными силами, приложенными в точках крепления балки с пружинами, на определенных ранее частотах ип пропадают бегущие волны и остаются только стоячие. Присутствие сил сопротивления приводит к возникновению волны вибрации за включениями, амплитуда которой пропорциональна выражению
где
+ е~оС ■ соз Ь I)2 + ■ зт2 ЬI, (51)
£ и
*9Ч> =--;-77-
ты' — К
На частотах и„ можно свести волну вибрации до минимума при условии, что коэффициент диссипации удовлетворяет неравенству
с <
11/4 т
(2 п + 1)| --^Д гг = 0,1,2, • (52)
Частоты шп определяются из уравнения
+
(с2~2ттК)2 К - (|(2 гг +1))
В п. 6. 2 рассматривается задача о свободных колебаниях балки Б.-Э. конечной длины 2Ь, шарнирно-опертой по концам и содержащей две сосредоточенные пружины. Анализ частотного уравнения показывает, что ловушечные частоты, найденные из рассмотрения этой балки бесконечной протяженности, являются собственными частотами колебаний балки конечной длины кратностью два при условии, что отношение у = 2™+1 > 1, где 21 — расстояние между пружинами. При этом значения жесткости Спт равны
Рис. 6.
Спт = О • (1 + . [(з + «) • (1 *
\ 1 I /
- 4 • сЛ2,
те = ], 2, .. , гг = 1,2,... (53)
Первая пара собственных форм колебаний, соответствующих первой частоте, представлена на рис. б. (у = 3)
Как видно из рисунка, первая форма колебаний имеет узлы в местах соединения балки с пружинами, а вторая — по своему виду близка к ловушечной форме колебаний безграничной балки, т.е. локализована, а районе включений Более подробный анализ, проделанный в работе, указывает, что снизь между формированием ловушечпых мод колебаний в телах безграничной протяженностью и собственными формами, соответствующих кратным частотам колебаний тел конечных размеров, имеет место и при других краевых условиях.
В заключении изложены основные результаты работы.
Основные результаты диссертации
Из проведенных теоретических исследований следует дваоснов-ных утверждения:
1. Необходимыми и достаточными условиями существования низкочастотного, вещественного, дискретного спектра собственных частот колебаний (последний располагается до первой граничной частоты) являются:
1.1 Существование у волновода первой граничной частоты, отличной от нуля. При этом значение этой частоты должно быть больше, чем первая собственная частота самого включения.
1.2 Присутствие инерционных включений.
2. Необходимым условием существования высокочастотного вещественного спектра (за первой граничной частотой) является существование в функции Грина волновода членов, определяющих кроме бегущих волн, стоячие.
Для формулировки всех достаточных условий не хватает информации, которая может быть получена только из решения новых задач. Тем не менее можно высказать предположение, что обязательным таким условием является наличие включения с фиксированной кинематикой движения, которое происходит в плоскости, перпендикулярной оси волновода.
Кроме этих утверждений следует отметить, что:
1. Низкочастотный дискретный спектр всегда конечен. В случае наличия сосредоточенных включений число его значений равно числу инерционных включений. При наличии распределенных включений число значений спектра зависит от соотношения между первой граничной частотой волновода и характерными частотами самого включения.
2. Высокочастотный спектр бесконечен при условии существования одной граничной частоты у волновода и конечен, если их несколько. Число значений спектра зависит от соотношений между геометрическими параметрами включения и
самого волновода, Спектр собственных частот колебаний имеет место при наличии определенного спектра параметров включения.
3. Выход вещественного дискретного спектра на ось непрерывного сопровождается известным в механике явлением, вибро-гагаение бегущих волн (адтирезопалсом). В роли динамического гасителя выступает область волновода, содержащая включение.
4. Высокочастотным ловушечным модам колебаний упругого тела с границей бесконечной протяженности соответствует кратный спектр собственных-.частот колебаний этого же тела, но конечных размеров. Последнее имеет место при определенном отношении длины тела к размеру области.
5. При нестационарном нагружении явление формирования ло-вущечных мод колебаний проявляется в эффекте "торможения" волны в районе включения
Полученные результаты следует рассматривать как первые, предварительные итоги работы по комплексном)' изучению интересного явления образования лову щечных мод колебаний в сплошных средах с включениями. Все опи требуют уточнений, которые должны последовать из решения трехмерных задач, а также из рассмотрения более общих в и дон движения включений, в частности, учитывающее их вращение.
Основные публикации
1 О влиянии сдвига в срединной поверхности цилиндрической оболочки на распространение упругих волн. — М.: ЦИВТИ, вып. 9, 1.982, 4 с. Соавтор — Вейттсо Б.Е.
2. Явление флаттера тонкой цластины в потоке сжимаемой жидкости. — Известия АН СССР. Механика твердого тела. N 6, 1986, с. 72-78. Соавтор — Родосский В.А.
3. Вибрация и шумоизлучение двух соосных цилиндрических оболочек в жидкости. — В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Современные проблемы экспериментальной гидродинамики", Л., 1989, с. 18-22. Соавтор— Абрамян А.К.
4. Вибрация системы двух цилиндрических оболочек в потоке жидкости. — В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Аэ-рогидроупругость элементов машин и сооружений", Л., 1989, с. 24-29. Соавтор — Андреев B.J1.
5. Динамические уравнения волнового двигателя-насоса. — В кн.: Труды XXIII Всесоюзного научного совещания по проблемам прочности, М., 1990.
6. Явление локализации вибрации в системе двух цилиндрических оболочек, связанных между собой переборками. — В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций", JL, 1990. Соавторы — Абрамян
A.К., Андреев B.JI.
7. О распространении короткой ударной волны в тонкой круговой цилиндрической оболочке. — В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Волновые процессы в машиностроении", Горький, 1989. Соавтор — Абрамян А.К.
8. Вибрация оболочек, заполненных жидкостью. — АН Литвы, Энергетика, N 2, 1991, с. 42-47. Соавтор —Абрамян А.К.
9. Математическое моделирование гидродинамики течения вязкой жидкости вблизи вибрирующей поверхности оболочки. — АН Литвы, Энергетики, N 3, 1991, с. 50-56. Соавтор— Сурко
B.А.
10. Особенность колебаний динамических систем, имеющих несущую конструкцию бесконечной протяженности. — РАН Сиб. отделение., Моделирование в механике., т. 6, 1982. Соавтор — Абрамян А.К,
11. Резонансные колебания бесконечных упругих систем, контактирующих с жидкостью. — В кн.: Доклады Международной конференции по теоретической и прикладной механике, т. 2, Варна, 1991, с. 20-28.
12. The size of dents in cyliiider resulting from submerged shock waves. — Proceedings of the Internationa! Congress on shock compressions of Condensed matter. Elsevier, USA, 1992.
13. Резонансные колебания упругих тел с включениями. — В кн.: Доклады Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOIS Е-.93", т. 2, 1993, с. 110-114. Соавтор — Абрамян Л.К
14. Resonance oscillation of infinite beams systems with inclusions. — Proceedings of (.lie VI Internationa! Conference on the TMM, Liberec, v. 2, 1992, p. 5-15.
15. Условия возникновения и влияния ловушечных мод на вибрацию механических систем с жидкостью. — В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного научного семинара "Проблемы динамики и прочности энергомащда", СПб, 1993, с. 24.
16. Trapping Modes of oscillation in an Elastic System. — Proceedings of the Third Internationa] Congress on Air- and Structure-Borne Sound and Vibration, Montreal, v. 3, Ca.nada, 1994, p, 1817-1S25. (Abvamian A.)
17. Resonance oscillations of infinite and finite elastic structures with inclusions. — Proceedings of the 127 th Meeting of the Acoustical Society of America, Cambridge, Massachusetts, USA, 1994, p. 3, 007. (Abramian A.)
IS. Trapping modes of Oscillation in a Channel with Rigid and an Inclusion in the Form of Rigid Die. — Proceedings of the EUROMECH - 316 "Advanced Techniques m Structural Acoustics", v. 3, Manchester, England, 1994, p. 223-226. (Abramian A., Andreev V.)
19. Resonance oscillations of infinite and finite elastic structures with indusions. — Proceedings of the EUROMECH - 316 "Advanced Techniques in Structural Acoustics", v. 3, Manchester, England, 1994, p. 120-125.
20. Trapping Modes of Oscillation in an Elastic System. — Proceedings of the EUROMECH - 316 "Advanced Techniques in Structural Acoustics", v. 3, Manchester, England, 1994, p. 304-
