Резонансные моды колебаний балочных конструкций бесконечной протяженности с включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

ОД

На правах рукописи

:в 1!.

** I/ - 3

АНДРЕЕВ Валерий Леонидович

РЕЗОНАНСНЫЕ МОДЫ КОЛЕБАНИИ

БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела.

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской Академии Наук.

Научный руководитель —

Официальные оппоненты —

Ведущая организация —

доктор физико- математических наук Индейцев Дмитрий Анатольевич доктор физико- математических наук Киселев Алексей Прохорович

кандидат физико- математических наук Лукьянов Валерий Дмитриевич.

Государственный Санкт-Петербургский Морской Технический Университет

Защита состоится 1996 года в .¿¿г~часов

на заседании диссертационного Совета Д. 200. 17. 01 Института Проблем Машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61

С диссертацией можно ознакомится в ОНТИ ИПМаш РАН. Автореферат разослан 1996 года.

Ученый секретарь Совета ^

кандидат химических наук В.П. Г линии

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Изучение колебательных процессов имеет большое значение для современной техники. При всем разнообразии таких процессов явление распространения вибрации в конструкциях представляет одинаковый интерес как для машино- и судостроителей, так и для ученых-механиков, занимающихся теорией колебаний. Специалистам хорошо известно, что одной из основных характеристик динамической прочности конструкции, а так же ее виброакустических характеристик является спектр резонансных частот колебаний.

Возможность существования у механической системы резонансных колебаний тесно связана с наличием у нее дискретного спектра собственных частот колебаний. Именно, при вынужденных колебаниях на частотах дискретного вещественного спектра собственных частот колебаний в системе возникают резонансные моды колебаний.

Существование дискретного вещественного положительного спектра собственных частот колебаний у тел конечных размеров на сегодняшний день не вызывает сомнений. Сложнее обстоит дело с телами бесконечной протяженности. Известно, что они имеют непрерывный спектр собственных частот колебаний. При вынужденных колебаниях в системе происходит распространение волн. О существовании дискретного спектра у механических систем, имеющих хотя бы одну из границ удаленной на бесконечность, сказать ничего определенного нельзя.

Однако оказывается, что при определенном виде дифференциального оператора и при определенных видах включений у бесконечных механических систем может существовать вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.

При вынужденных колебаниях поведение механических конструкций бесконечной протяженности на частотах дискретного спектра аналогично поведению тел конечных размеров. Именно, в системе возникают резонансные колебания. При этом волновой процесс отсутствует, а форма колебаний локализуется в районе включения.

Явление локализации приводит к существенному перераспределению вибрации, что сильно изменяет виброакустические характеристики колеблющегося тела. Последнее необходимо учитывать на практике.

На сегодняшний день отсутствуют строгие математические теоремы о распределении собственных значений дифференциальных операторов, определенных на бесконечном промежутке. Последнее заставляет восполнить имеющийся пробел исследованиями указанного выше явления на ряде специально подобранных типовых задач, решение которых позволило бы выделить главные, присущие этому явлению особенности. С одной стороны это может помочь продвижению в разработке соответствующей математической теории, с другой - полученные результаты можно использовать при проектировании соответствующих механических конструкций.

В данной работе рассматриваются задачи о возможности существования подобного явления в конструкциях, состоящих из балок бесконечной протяженности с включениями.

На актуальность темы диссертации указывает то, что она связана с исследованиями Института проблем машиноведения РАН по темам: "Динамика волновых движений механических систем" (И г.р.01.9.0044514) и "Создание новых эффективных средств виброгашения", разделов "Механика" и "Машиностроение и технология" комплексной программы фундаментальных исследований РАН. Работа выполнялась при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Состояние вопроса. Для упругих тел, имеющих границы бесконечной протяженности, традиционным является наличие непрерывного спектра. Однако оказывается, что у определенных конструкций может существовать смешанный спектр.

По видимому впервые на возможность существования смешанного спектра собственных частот колебаний указал Шредингер при рассмотрении физической теории квантов.

В механике Урсулл Ф. (1951 г.) нашел смешанный спектр при решении задачи об образовании стоячих волн на безграничной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Дальнейшие исследования задач о возможности существования нераспростра-

няющейся, локализованной волны с экспоненциально спадающей амплитудой в объемах жидкости проводились Эвансом Д., Ма-кайвером П., Кузнецовым Н. Г. и др.

В механике деформируемого твердого тела наличие дискретного спектра, наряду с непрерывным, а так же явление локализации волн, было обнаружено Воровичем И.И. и Бабешко В.А. Они обнаружили ряд резонансов (В — резонансы) при решении задач о вибрации штампа, контактирующего на конечном участке с упругой полосой. Это явление получило подтверждение и экспериментально.

Вещественный дискретный спектр собственных частот для балки Бернулли-Эйлера с двумя пружинами-опорами и пластины с упругим набором подкреплений найден Бобровницким Ю.И. (1991 г.).

В последние годы Индейцев Д.А. исследовал вопросы влияния вида дифференциального оператора, описывающего динамику волновода, а также включений, на возникновение вещественного спектра собственных частот колебаний в упругих телах с одной из границ бесконечной протяженности. Им были сформулированы некоторые условия, при выполнении которых в механических системах существует вещественный дискретный спектр собственных частот колебаний.

Однако достаточно детального изучения этого интересного явления на примере хотя бы одного класса механических систем проделано не было. Так, в частности, остались не исследованными вопросы формирования резонансных мод колебаний в волноводах с N динамическими включениями. Хорошо известно из практики, что распределение вибрации в таких системах носит крайне неравномерный характер и, как будет показано в настоящей работе, может быть объяснено наличием дискретного спектра собственных частот колебаний. Не изученными остались вопросы о формировании резонансных мод колебаний в механических системах, содержащих два контактирующих между собой волновода, а так же поведение динамических систем, имеющих смешанный спектр собственных частот колебаний, при воздействии на них вынуждающих нагрузок.

Эти и другие вопросы, связанные с возможностью существо-

вания у механической системы смешанного спектра, изучаются в данной работе на примере распространения колебаний в балках и балочных конструкциях с различного рода упруго-массовыми включениями. Включения рассматриваются как сосредоточенные, так и распределенные. В качестве моделей выбраны модели балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко.

Полученные результаты следует рассматривать как предварительные итоги работы по комплексному изучению интересного явления - образования ловушечных мод колебаний в сплошных средах с включениями. Все они требуют уточнений, которые должны последовать в первую очередь из решения трехмерных задач.

Целью работы является:

— Определение возможности существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний у балочных конструкций бесконечной протяженности с включениями.

— Установление зависимости возможности существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний от вида включений.

— Установление зависимости возможности существования вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний от вида дифференциального оператора, описывающего колебания балочной системы.

Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:

— Определение условий, при выполнении которых в системе возникает дискретный спектр собственных частот колебаний для различных балочных конструкций и при различных видах включений.

Практическое значение полученных результатов непосредственно вытекает из решения конкретных задач о колебаниях подобных механических конструкций. Балочные конструкции широко применяются в машино- и судостроении. Поэтому приведенные в работе условия существования дискретного спектра и значения собственных частот колебаний позволяют прогнозировать и улучшать акустические свойства конструкций, определять перераспределения вибрации и управлять им.

Достоверность результатов обеспечивается выбором расчетных схем и моделей, корректностью математических выкладок.

Апробация работы. Научные результаты и основные разделы диссертации докладывались на: Всесоюзной научно-технической конференции "Гидроупругость и долговечность конструкций энергетического оборудования" (Каунас, 1990 г.); Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций" (Ленинград, 1990 г.); У1 Международной конференции по теоретической и технической механике (Либерец, 1992 г.); Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "ЫОШЕ-ЭЗ" (С.-Петербург, 1993 г.); на 3 конгрессе прикладной математике и механике "1С1АМ", а также на семинаре по акустике под руководством проф.Д.П.Коузова (С.-Петербург)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работы.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, 4 глав и Заключения. Диссертация содержит ¿?/с_ машинописного текста,рисунков. Список литературы включает наименования.

Содержание работы

Во введении дается обзор задач механики, приводящих к возможности существования дискретного вещественного спектра частот колебаний в упругих конструкциях бесконечной протяженности. Сформулированы цель и результаты исследований, которые излагаются в четырех главах диссертации.

В первой главе рассматривается возможность возникновения дискретного спектра частот собственных колебаний на примере балки с сосредоточенными включениями, лежащей на упругом основании . Рассматриваются модели балок Вернулли-Эйлера и Тимошенко. Полученные результаты для разных моделей сравниваются между собой.

В параграфе 1.1 рассматривается возможность образования ре-

зонансных мод колебаний в балке Бернулли-Эйлера, лежащей на упругом основании и содержащей два массовых, не оказывающих сопротивления повороту, включения. Уравнения, описывающие свободные поперечные колебания, имеют вид:

Ои)хххх + кю + гтюи = ~(М1б(х) + М26(х - 1))т, (1.1)

где и> = ги(х^) - перемещение балки, £> - изгибная жесткость балки, к - коэффициент упругого основания, т - погонная масса балки, 8{х) - дельта-функция Дирака.

Условия согласования, определяющие контакт балки с включением, имеют вид:

Мо,*)-«*

vi(i, и) = 1»! 4

где 11)0,11)1 - смещения сосредоточенных масс М\, М2.

После отделения временного множителя еш1, исходную задачу можно записать в виде следующей спектральной задачи относительно собственной частоты колебаний:

+ кги = -\{Мх6(х) + М2ё(х - ¡) + т)ьи, (1.3)

где Л = и2. В этом же параграфе анализируется зависимость возможности существования спектра собственных частот от вида краевых условий, которые можно поставить на бесконечности. Рассматриваются три наиболее часто используемые условия: условие ограниченности решения, условие излучения, условие конечности интеграла энергии. Показывается, что в случае отсутствия включений, привлечение краевого условия в виде условия излучения на бесконечности или условия конечности интеграла энергии приводит к наличию только тривиального решения.

При отсутствии включений уравнение (1.3) имеет только непрерывный спектр, который в случае ненулевого упругого основания начинается с некоторого значения. Последнее в дальнейшем будем называть частотой отсечки или граничной частотой ш* = у/к/тп (рис. 1). Данному непрерывному спектру соответствует волновой процесс, характеризующийся следующей дис-

персионной зависимостью ш = ш(а), (рис. 1) , где о - волновое число.

О

Рисунок 1

В случае ненулевых массовых включений решения уравнения (1.3) находится с помощью прямого и обратного преобразования Фурье и имеет вид:

ю(х,ш) = ш2{М1Ю0С{\х\,ш) + М2илС(\х - 1\,и)), (1.4) где функция Грина С?(|:г — , ш) имеет вид:

В области частот до начала непрерывного спектра 0 < ш < ш* функция Грина балки Бернулли-Эйлера вещественнозначная, а за частотой отсечки - комплекснозначная. При этом за частотой отсечки функция Грина имеет два слагаемых: одно из них представляет собой затухающую на бесконечности стоячую, нерас-пространяющуюся волну, а второе - распространяющуюся волну. Такой вид функции Грина оказывает принципиальное влияние на образование ловушечных мод колебаний.

Условия согласования позволяют получить необходимое уравнение для определения спектрального параметра и. Исследование возможности существования корней частотного уравнения показывает, что в первой области частот существует два корня. Найденные собственные значения, лежащие ниже частоты отсечки будем называть низкочастотными. Собственные формы колебаний, соответствующие данным частотам, носят сугубо локализованный в районе включений характер и приведены на рисунке 2.

Рисунок 2

Дискретный спектр существует при любых значениях массы М, а число собственных частот равно числу включений. Для случая двух одинаковых включений зависимости массы М от частоты и имеют следующий вид:

м = и*{а{а,и)±в(1,ы)у (1'6)

Качественное поведение этих зависимостей приведено на ри-

сунке 3.

м

О

СО

В эхом же параграфе показано, что в области частот из > ш* дискретного спектра вещественных собственных частот колебаний у данной механической системы нет.

Здесь же показывается, что условие конечности интеграла энергии равносильно условию отсутствия распространяющихся волн за областью ограниченной включениями. Последнее условие оказывается очень удобным для поиска дискретного спектра собственных частот и соответствующих ему спектральных параметров включений. В дальнейшем при решении более сложных задач именно это условие используется при поиске высокочастотного спектра собственных частот колебаний.

В параграфе ./.2 рассматривается случай, когда сосредоточенные массы М подкреплены жесткостями с. Воспользовавшись изложенным в первом параграфе методом были получены необходимые и достаточные условия существования низкочастотного дискретного спектра. Эти условия следующие: для существования низкочастотного дискретного спектра собственных частот колебаний необходимо и достаточно, чтобы:

Для определения высокочастотного дискретного спектра воспользуемся условием отсутствия излучения. Для этого в выра-

1 существовала отличная от нуля частота отсечки

2 парциальная частота включения была меньше частоты отсечки

жении для перемещений w(.г) приравняем нулю член, определяющий бегущую волну при i < 0 и i > I. В данном случае получим:

Р(щ> - wte~ш) = О,

где Р = с—Ми2. Отсюда получим значения частот, при которых в механической системе отсутствует излучение на бесконечности.

1тгАпЮ Г U>n= \ ~ттФ ^ тп Для того, чтобы найденные значения wn стали собственными, необходимо, чтобы на этих частотах выполнились условие совместности (1.2) Например, в случае двух чисто упругих включений это соотношение имеет вид:

/_ 1 р 7Г72

Си = С2п = с„ = ^Däl ^ _e_aJ,än = —,П = 1,2,.... (1.7)

Высокочастотный спектр, в отличие от низкочастотного, бесконечен. Собственные формы, соответствующие высокочастотному спектру, имеют сильно локализованный в области ограниченными включениями вид и приведены на рисунке 4.

Рисунок 4

В параграфе 1.3 исследуется вопрос о возможности существования смешанного спектра собственных частот колебаний балки

Тимошенко бесконечной протяженности. Уравнения Тимошенко описывают поперечные колебания упругой балки при учете инерции вращения и деформации поперечного сдвига. С математической точки зрения отличие заключается в том, что колебания балки Бернулли-Эйлера описываются уравнением смешанного типа, тогда как колебания балки Тимошенко описываются системой двух волновых уравнений.

Система уравнений, описывающая поперечные установившиеся колебания балки Тимошенко бесконечной протяженности, покоящейся на упругом основании с двумя сосредоточенными упруго-массовыми включениями, расположенными в точках с координатами 0 и I, имеет вид:

Е3фхх + к'{тх - ф)АВ - / 1фа = 0, (1.8), 2Агии - к'(гихх - фх)АВ + кю = (Мизц + си}){5(х) + 6(х — /))

где V) = гю(х, - перемещение балки, ф = ф(х, £) - угол наклона касательной к кривой изгиба при пренебрежении сдвигом, 7д — р - объемная плотность материала, А - площадь поперечного сечения балки, В - модуль сдвига, Е - модуль Юнга, ,/ - момент инерции поперечного сечения балки относительно оси, проходящей через центр его тяжести и перпендикулярной плоскости колебаний, к - коэффициент упругого основания, к - коэффициент сдвига (отношение среднего сдвигового напряжения по поперечному сечению балки к максимальному сдвиговому напряжению), М - масса включения, 8(х) - дельта-функция Дирака. Условия на бесконечности и совместности остаются теми же.

Дисперсионное уравнение однородной системы уравнений позволяет определить две серии частот и±(а>). Зависимости по-

следних представлены на рисунке 5.

Значения граничных частот- равны соответственно: ы\ =

У?)/1 ~ = аД, ^з = у^Йт"- Как видно из Рисунка три

граничных частоты делят (в случае не нулевого упругого основания) ось непрерывного спектра на три участка. В работе построены функции Грина балки Тимошенко для каждой из областей. До первой граничной частоты функция Грина вещественна и имеет вид, похожий на функцию Грина балки Бернулли-Эйлера в соответствующей области частот. Показано, что при устремлении квадрата радиуса инерции сечения ^ к нулю функция Грина балки Тимошенко превращается в функцию Грина балки Бернулли-Эйлера. Качественного различия в существовании низкочастотного спектра у рассматриваемых моделей нет, а метод его нахождения полностью аналогичен. Однако количественные различия имеются. Значения "резонансных" параметров включения для балки Тимошенко располагаются несколько ниже аналогичных параметров балки Бернулли-Эйлера.

Существенное различие между двумя моделями проявляется в области непрерывного спектра. В областях частот < и < и о;з < ш < оо функция Грина дифференциального оператора имеет

только волновые члены и исходная задача имеет только тривиальное решение. В то же время, в зоне < ш < шз функция Грина имеет, как волновое,так и нераспространяющееся решение, и, как следствие, исходная задача будет имеет конечный вещественный спектр собственных частот колебаний.

В первых двух параграфах второй главы рассматривается возможность существования вещественного дискретного спектра собственных значений у системы уравнений, описывающих колебания конструкции, состоящей из механически связанных между собой балок Бернулли-Эйлера, лежащих на упругих основаниях. Балки связаны между собой системой абсолютно жестких переборок, которые могут совершать только вертикальные перемещения. Рассматривается контакт перегородок и балок в виде свободного опирания, что позволяет учитывать только нормальные усилия.

Отличительной особенностью конструкций данного типа является наличие у них двух волноводов и, соответственно, двух граничных частот (¿[,¡¿2, равных соответственно и у1^, которые определяют границы непрерывного спектра. Дисперсионные зависимости показаны на рисунке 6

Упомянутые выше граничные частоты разбивают числовую ось частот на три диапазона частот. В области частот 0 < и <

&С

Рисунок 6

волновые процессы в обеих балках отсутствуют. В области частот а/2 < ш < ш* в верхней балке (рис.6) имеют место изгибные волны. В третьей области частот волновые процессы при ш > имеют место в обоих балках.

Уравнения колебаний конструкции после отделения временного множителя ешг имеют вид:

АгУ1„„ + (А* - ттцш2^ = Ях6(х) + Я26{х - I)

A«ü2„„ + {h - m2u>2 = -Ъ6(х) - R2S{x - 0 ' (2л)

Соответственно условия согласования записываются следующим образом:

Г Ш1(0) - W2(0) \w1(l)=w2(l)

Принимая равными значения масс переборок, уравнения движения последних имеют вид:

R-2Q - Rio = -Mu2ti)j(0, ш) Rh ~ Ru = -Мш2тх(1,ш)

,2 .„п. л (2-3)

В параграфе 2.1 показывается, что в случае безинерционных связей (М = 0) в области частот до частоты отсечки дискретный вещественный спектр отсутствует. В случае не нулевых масс переборок рассматриваемая механическая система, имеет дискретный вещественный спектр собственных частот колебаний в данной области частот. Однако, в отличии от одиночной балки, в данной задачи спектр существует только для М > М», где граничное значение М* имеет вид:

и*

1 1

(2.4)

Gi(0,O±Gi(/,O G2(0,w*)±G2(i,w*). '

Зависимость значения массы от частоты приведена на рисунке

Зависимость значения массы от частоты приведена на рис.7.

Мг----

Рисунок? Щ

Во второй области частот - (и>2 < и> < и/*), у рассматриваемой механической системы может существовать дискретный спектр собственных частот колебаний при условии, что параметры конструкции удовлетворяют условию:

^ 1

<

у/2 а, уЗ, . Л у/2,. + е sm(— + ain-^-l)

-1-е

-2тгп

= -М[

ж VA I4 т2

\/2

+ к2т2]

V2,

Dial

(2.5)

(1 + е ™),п = 1,2, ...N.

Число значений ловушечных частот колебаний, помещающихся в данной области спектра, удовлетворяет неравенству;

N<

(2.6)

7Г4Д> "11

Необходимое условие существования хотя бы одного значения ловушечной частоты имеет вид:

т214 ( к\ к2 tt4D2 ymi т2

>

(2.7)

В конце параграфа полученные результаты распространяются на осесимметричные колебания цилиндрических оболочек, связанных между собой переборками в виде часто расположенных стоек-бракет.

В параграфе 2.3 устанавливается связь между существованием кратных частот в балке конечных размеров и резонансными частотами этой же балки бесконечных размеров. Рассматривается задача о свободных колебаниях балки Бернулли-Эйлера конечной длины, шарнирно-опертой по концам и содержащей две сосредоточенные пружины. Анализ частотного уравнения показывает, что собственные частоты, найденные при рассмотрении такой же балки бесконечной протяженности, при условии, что отношение длины балки к расстоянию между включениями равно являются собственными частотами колебаний кратностью два балки конечной длины. При этом значения параметра жесткости должны определяться соотношением:

с„т = (1 + е-*")(1 + е-<2т+1') - 4е-"(2т+1)<Ж2£

¿¡I I ¿ё

т = 1,2,...,п = 1,2,... (2.8)

Первая пара собственных форм колебаний, соответствующих первой частоте (у = 3), представлена на рисунке 8.

Рисунок 8

Как видно из рисунка одна форма имеет узлы в местах соединения с пружинами, а вторая - по своему виду близка к форме собственных колебаний бесконечной балки, т.е. локализована в области ограниченной включениями.

В главе. 3 рассматриваются задачи о возможности появления вещественного дискретного спектра собственных частот колебаний у балочных конструкций бесконечной протяженности при наличии у нее распределенных включений.

В параграфе 3.1 рассматривается задача о возможности существования смешанного спектра частот у балки Бернулли-Эйлера на упругом основании, с коэффициентом жесткости ко и погонной массой то, содержащей участок длиной / с такой же изгибной жесткостью, но имеющим другие параметры упругого основания к\,т\. Уравнение, описывающее вид такой системы имеет вид:

Здесь к(х) = к0 + к * [Н(х + I) - Н(х - /)],*! = К0 + к, т{х) = mo+rh*[H(x+l)—H(x—l)], гп\ = mo+m, где Н - функция Хэвисайда.

Данное уравнение может быть сведено к интегральному уравнению вида

Анализ последнего показывает, что дискретный вещественный спектр существует только в том случае, если характерная ча-

Высокочастотного спектра у такой системы нет.

В параграфе 3.2 рассматривается возможность существования дискретного спектра собственных частот колебаний у механической системы, состоящей из балки Бернулли-Эйлера, контактирующей с отсеком, заполненным идеальной сжимаемой жидкостью. Отсек принимается неподвижным, а контакт балки с его стенками принимается в виде свободного опирания. Последнее

Dwxxxx + (к(х) - m(x)uj2)w = 0 (3.1)

(3.2)

стота включения меньше частоты отсечки волновода

Ж

V т2

позволяет учитывать только нормальные реакции Л^А^.

Эта задача представляет интерес в первую очередь тем, что включение обладает как упругими так и инерционными свойствами. Уравнения движения после отделения временного множителя еш1 имеют вид:

Dwxxxx(x,uj) + (к — muj2)w{x,uj) - P(x,h)[H(x) - Н(х — /)],

—оо < х < оо, Ртх{х,у) + Руу(х,у) = -и2Р(х,у), (3.2) 0 < X < 1,0 < у < h,

w( 0) = w(l) = О,

Ру(х, y)\y=h = P^w(x, и), (3.3)

Ру(х,у)\у=о = 0,Р*(х,?/)|г=о,( = О

Здесь Р(х, у) - давление излучения со стороны жидкости, I, h - соответственно ширина и высота отсека, Н(х) - функция Хэви-сайда ро - плотностью жидкости,со - скоростью звука в жидкости. Перемещения балки можно представить в виде

w(x)= flp((,h)G(lx-CI,u;)dl:+N1G(lxl,u!)+N2GHx-ll,uJ), (3.4) J о

которое после удовлетворения условиям tu(0) = w(l) = 0 принимает вид

w

где

5(*,C) = G(|z-C|) +

(*)= [ P(C,%(®,C,«)dC, (3.5) J о

G(|ar|)(G(/)G(|/-C|)-G(0)G(O)

+

G2(0) - G2(Z) G(|x-I|)(G(OG(C)-G(0)G(|/-CD)

С2(0) - в2(1)

Исходная краевая задача сводится теперь к решению спектральной задачи

-{Рхх{х,у) + Руу{х,у)) = -иР{х,у), 0 <х<1,0<у <к

Ру(х,У)\у=ь = Рои [ Р{С,К)д(х - С.^Ж J о

Ру(х, у)\у-ц = 0, Рх(х, а)|1=0,| = о (3.6)

В работе определяются верхние и нижние оценки искомого спектра. Для этого используется равенство

/о !о(Рхг + Руу)^хйу

и2 =

¡¿¿Р2(х,у)<1у

/о' /о - С, и)Щх

/о 1о р2(х'

Верхней границей спектра являются частоты колебаний жидкости в неподвижном отсеке (В оо),

(3.7)

"1п=\

к2 т2

к,т = 0,1,2...

Нижняя граница может быть найдена из задачи, которая получается из исходной при устремлении значения параметра жесткости Б к нулю. В этом случае граничные частоты находятся из спектральной задачи

( -АР = ш2_ Р(х, у), 0<х<1,0<у<И \Ру{х,у)\у=н = ^£гР{х,К), (3'8)

Решение последней приводит к частотному уравнению

1д1хМ-{ТУ = ~

ш2_ < ш*2, п = 0,1,2 (3.9)

Таким образом искомый дискретный вещественный спектр задачи (3.2) располагается в области < ш,- < г = 1,2,...

В работе приводится ряд упрощенных выражений для определения этого спектра. Приводится численное решение исходной

задачи методом Бубнова-Галеркина. На рисунке 9 показана первая симметричная низкочастотная форма колебаний.

Рисунок 9

Для исследования положения спектра за граничной частотой ш* = Д воспользуемся опять условием отсутствия излучения. При х > I и х < 0 оно имеет вид

[ Р(С,Л)е^С + ^1 + ^^=0. (3.10) Л

Приравнивая комплексную и вещественную часть нулю имеем

(3.11)

| гв(х) = /0 Р(С, Л) соз(аСК + + со8(а/) | ш(х) = /„' Р((, Л) 8ш(аС)йС + 8ш(о1)

Разрешив данную систему относительно N^N2 имеем следующее выражение для перемещения ю(х)

ю(х)= ['р( С,Л)(С((х-С0-Л

вт(а1 — а()

згтг(а()

«»(о!) (3.

При любых вещественных значениях и условие совместности (и>(0) = ги(1) = 0) не выполняется. Таким образом в данной области частот дискретный спектр отсутствует

В параграфе 3.3. рассматривается задача о возможности существования смешанного спектра собственных частот колебаний

жидкости в канале с упруго-деформируемой стенкой, выполненной в виде балки Бернулли-Эйлера, подкрепленной двумя пружинами. Особенностью данной задачи является наличие двух контактирующих волноводов: балки и жидкости. Уравнения, описывающие свободные поперечные колебания данной механической системы после отделения временного множителя е1Ш1 имеют вид:

Сгюхххх — иР'тт = Р(х, у = К) — си!(6(х -М) + 5{х — /)),

-оо < х < оо (3.13)

Рхх + Руу = у), -СО < X < ОО, 0 < У < /I

Условия согласования, определяющие контакт балки с включением имеют вид

{

Ц-/, с) = «,_, ш(/,ш) = IV! У У

где ю-1, ш; - смещения балка в местах соединения с пружинами, Условия контакта жидкости со стенками канала можно записать так:

Ру\у=о = 0, Ру\у=н = рйи?ю{х). (3.15) В свою очередь выражение для перемещений балки имеет вид:

и>(х,ш) = -с(у>-/С(1х +1\ + и>/0(\х - Ц ,ш)), (3.16)

где С(ш, \х — £|) - функция Грина канала с жидкостью, контактирующего с гибкой стенкой имеет вид (0 < ш < со*)

оо

С(И, и) = ie-ia^Щ(a(ш)) е-а»Мрп(ап(и;)) (3.17)

п=1

Здесь

1

Ф(а(ш)) =

4£>а3 + [Л7 + 5^7/гс/г7/г]а=а(ы)

а(ш)-решение уравнения £>а4 = тш2 + рсо^^

Удовлетворив условию отсутствия излучения при х > I и х < О и условий совместности, получим значения дискретного вещественного спектра собственных частот, а также значения параметров включения жесткости с.

Последняя четвертая глава работы посвящена изучению вынужденных колебаний балок и балочных конструкций. Здесь исследуется вопрос о поведении рассматриваемых конструкций при воздействии гармонически изменяющейся во времени внешней силы. Показывается, что при возбуждении на частотах, равных частотам вещественного дискретного спектра, в механической системе возникает локализация волновых процессов в районе включений. При подборе определенных параметров включений в системе возникают резонансные колебания.

В параграфе 4-1 рассматривается формирование резонансных мод колебаний в балке Бернулли-Эйлера бесконечной протяженности с двумя сосредоточенными пружинами. Уравнение, описывающее вынужденные колебания такой механической системы, после отделения временного множителя еш< имеет следующий вид:

+ кги = (из2т — сд(х) — сё(1))ю(х, ш) + (¿6(хд) (4.1) Выражение для перемещений имеет вид

iv = (¿(и{х - хч,и) + с(----Ь

Аг

[<?(/ - Х„,и) + ш)с С{х,ш) + С{1-хч,ы)

_ * _

Анализ выражения (4.2) показывает, что для вынужденных колебаний балки при колебаниях на частотах, не являющимися собственными, основной вклад в перемещение вносит первое слагаемое выражения (4.2). Однако, при устремлении частоты вынуждающей силы к собственной частоте, последний член в выражении (4.2) имеет наибольшее значение (Дх —► 0). При этом движение балки определяется соответствующей собственной формой

колебаний, локализованной в области ограниченной включениями. Характер перераспределения вибрации показан на рисунках 11-13. На них приведено распределения вибрации на частотах не являющимися собственными (рис.10), распределение вибрации в случае низкочастотного (рис.11) и высокочастотного резонансов.

.УУ

Т

Рисунок 10

А Л

—1- Л"

Рисунок 11

— "3— "Тг

Рисунок 12 25

В параграфе 4-2 рассматривается явление резонанса в балочной конструкции бесконечной протяженности, описанной в параграфе 2.2. Показывается, что при выполнении определенных условий на параметры конструкции, при вынужденных колебаниях на частотах дискретного спектра (случай и < ш*), в системе происходит смещение максимальной амплитуды колебаний от точки приложения силы к местам соединения с бракетами. При вынужденных колебаниях на частотах больше первой частоты отсечки в системе возникают интенсивные колебания, локализованные внутри отсека. Имеет место существенное отличие в распределении вибрации в зависимости от точки приложения силы (либо верхняя либо нижняя)

В параграфе 4-3 рассматривается колебания конструкции с N переборками. Показано, что при совпадении частоты возбуждения с собственной частотой колебаний и выполнения определенного условия, связывающего параметра балки и включения, в системе происходит существенное перераспределение вибрации. Максимальная амплитуда смещается от точки приложения силы в область конструкции, содержащей "резонирующую" переборку либо "резонирующий отсек".

Заключение.

В результате проведенного исследования можно сделать вывод, что при расчете акустических и прочностных характеристик балочных конструкций бесконечной протяженности необходимо учитывать возможность появления у них резонансных колебаний. Существование этих резонансных значений определяется следующими условиями:

1. Для возникновения низкочастотного дискретного вещественного спектра собственных частот необходимо и достаточно существования смещенной относительно нуля первой граничной частоты а также присутствие инерционных включений. Значение первой граничной частоты должно быть больше, чем первая собственная частота самого включения.

2. Для существования у механической системы высокочастотного дискретного вещественного спектра собственных ча-

стот колебаний необходимым условием является существование в функции Грина волновода членов, определяющих кроме бегущих волн,стоячие

Кроме того можно сделать следующие выводы:

— Низкочастотный спектр всегда конечен. В случае наличия сосредоточенных включений число его значений равно числу инерционных включений. При наличии распределенных включений число значений спектра зависит от соотношения между частотой отсечки волновода и характерными частотами самого включения. При вынужденных колебаниях на собственных частотах вибрация концентрируется в районе включений

— Высокочастотный спектр бесконечен при условии существования одной граничной частоты у волновода и конечен если их несколько. Число значений спектра зависит от соотношений между геометрическими параметрами включения и самого волновода. Спектру собственных частот колебаний соответствует определенный спектр параметров включений. При высокочастотном резонансе вибрация концентрируются в области, ограниченной включениями.

Основные публикации

1. "Вибрация и шумоизлучение двух соосных цилиндрических оболочек в жидкости". В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций", Ленинград, 1990, с. 121-128. Соавторы — Индейцев Д. А., Абрамян А. К.

2. "Явление локализации вибрации в системе двух цилиндрических оболочек, связанных между собой". В кн.: Доклады Всесоюзной конференции "Методы расчета прочности судовых конструкций", Ленинград, 1990, с. 87-95. Соавтор — Индейцев Д. А.

3. "Вибрация подкрепленных оболочек, заполненных жидкостью"— АН Литвы, Энергетика, N 2, 1991, с. 47-57., Соавторы Индейцев Д. А., Абрамян А. К.

4. "Особенности колебаний динамических систем, имеющих несущую конструкцию бесконечной протяженности." — РАН

Сиб. отделение. Моделирование в механике, т. 6 (23), N 2, 1992, с. 3-12. Соавторы — Индейцев Д. А., Абрамян А.К.

5. Resonance oscillations of infinite beam systems with inclusions.

— Proceedings of the YI International Conference on the TMM, Liberec, V 2, 1992, p. 5-15., Соавторы -Индейцев Д. А.. Абрамян А. К.

6. "Нелинейные параметрические колебания балки, контактирующей с каналом жидкости." — В кн.: Доклады Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93", т. 2, 1993, с. 115-120.

7. "Резонансные колебания упругих тел с включениями." — В кн.: Доклады Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93", т. 2, с. 110-114. Соавтор — Индейцев Д. А.

8. Trapping Modes of oscillation in an Elastic System. — Proceedings of the Third International Congress on Air- and Structure Borne Sound and Vibration, Montreal, 1994, V 3, p. 1817-1825. Соавторы — Индейцев Д. А., Абрамян А. К.

9. Resonance oscillations of infinite and finite elastic structures with inclussions. — The Journal of the Ac. Soc. of America, Vol. 95, N 5, 1994, p. 3007-3015. Соавторы — Индейцев Д. А., Абрамян А. К.

10. Trapping modes in elastic structures with mass-spring inclussions.

— Proceedings of the INTER-NOISE-95, V. 1, p. 864-882. Соавтор — Индейцев Д. A.

11. Resonance Oscillations of Infinite and Finite Elastic Structures with cluclusions. — Proceedings of International Conference on Computational Acoustics. — Southampton, UK, 1995, p. 310-318. Соавтор — Индейцев Д. A.