Проблема равенства для групп и алгебр ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

яг"

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ммгжи В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512.54.05; 519.45

ХАРЛАМПОВИЧ Ольга Георгиевна

ПРОБЛЕМА РАВЕНСТВА ДЛЯ ГРУПП И АЛГЕБР ЛИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА-1539

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Уральского су дарственного университета имени А. М. Горького.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Р. И. Григорчук, доктор физико-математических наук Г. С. Маканин, доктор физико-математических наук Я. С. Романовский.

Ведушдя организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Зашдта состоится " "_1990 г. в _____ ч

на заседании специализированного совета Д. 002.38.02 при Матема ческом институте им. В. А. Стеклова АН СССР по адресу: 117966 Мое ул. Вавилова 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математик кого института им. В. А. Стеклова.

Автореферат разослан " "_1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

В. И. Гришин

ОБ!ЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тепы. Исследования групп, адалных породдажцими н определяю:цими соотношениями, уго дав-:о выделились з самостоятельную обширную область, традиционно з:знуэ!{уэ ют?Л5инаторной теорией групп и шлю бурно развиваю-уюся. В 1912 году IÎ Дэн сформировал ряд алгоритмических роблон теории групп, возникших из потребностей тополопга. то проблема равенства слов (или, кратко, проблема равенст-з), проблею вхождения, проблема изоморфизма, ньше ставшие хассичос1пм!. Постановка этих проблем не является специфичной для теории групп, а галеет общеалгебраический характер, зльгзое ш;сло работ по алгоритмичесгаш вопросам алгебры относится не только к случаю групп, но такта и к кольцам, алгеб-su, полугруппам, репеткан.

Пзрвая среди названных проблей - проблема равенства, згбогее яркое достилэние здесь - знаменитый результат П. С. 1Ь-шюва t20] о существовании гсэнечно определенной группы с эразрепдаой проблемой равенства. На основе этого результата i.yio получено отрицательное решение других алгор'итмическпх роблеы теории групп (П.С.Нэв-ков [213. С.И. Адян СП) и дока-она обсая теорема о нераспознаваемое™ почти всех • ¡ггересных групповых свойств (в частности, конечности, щжяпости, коммутативности, нильпотентности и т.д.).

Страдательное ресеннэ основных алгоритмических проблей в пассе всех групп определило необходимость гаучения этих роблем при некоторых ограничениях, накладываемых на группы.

Однни из вапных видов.ограничений является выполнимость группе нетривиального тождества. Проблет равенства, i9видно, раз ре сиг» в конечно поровдонкых абелевых группах. И. Пальце вш [301 была установлена разревкыость проблем 1венства в конечно порожденных нильпотентных и

полициклических группах. (Шого позже для конечно порождении: нильпотентных групп была решена и проблема изоморфизма. К решение получилось как следствие очень глубоких результатов < линейных группах [29], [393).

В последние примерно 15 лет одно из центральных мест исследованиях по алгоритмический проблемам заняли разрешим группы. Алгоритмическим проблемам в теории разрешимых гру] посвящены обзоры Ы. И. Каргаполова [41], ЛII Ремзсленишсова II С. Романовского [43], рассматриваются эти проблеш так; в обзорах [2]. [4], [5], [22], [23].

В дальнейшем нам потребуются следующие обозначения. Чзр;

СХ-П будем, как обычно, обозначать многообразие всех разр шимых групп ступени гъ , через - многообразие ншп

потентных групп ступени б С ,через 2/? - произво, ние многообразий и 1С! • Ес^ - некоторое многообра: групп, то через 2] будем обозначать многообразие групп, которых фактор-группа по центру принадлежит 70 . Аналогиадц обозначения будем использовать для соответствующих многообразий алгебр Ли. Через СЖр будем обозначать многооб] зие абелевых групп экспоненты р , через ¿Ур - многообраз] всех групп экспоненты р . Через КО обозначим класс всех нечно определенных групп (соответственно, алгебр Ли).

При изучении проблем алгоритмического характера д многообразий групп возникает два варианта постановок гада Пусть 0-Р - некоторое многообразие. В первой вариант« рассматриваются группы, конечно определенные внутр; многообразият.е. заданные конечным числом пороэдащя элементов, конечным числом определяющих соотношний I тождествами многообразия О-О (класс таких групп будв! обозначать КОЗР). Во втором варианте рассматривается групп! принадлежащие пересечению класса АО и многообразия 7Р{.КОгЗ! т. е. группы, у которых тождества многообразия 7Р следуюгг : конечного числа определяющих соотношений, а не накладываете: дополнительно, как в первом варианте. Если проблеш равенств] разрешима в первом варианте, то говорят, что проблем

ззкства разрепша в »ягагообразии '1-Р(для многообразия?/"'), эт термин в последнее вреня стал обгг^пршштш. Разрешимость эбленн равенства в многообразии '1С эгаивалентна разрепшости' иверсошюй Teopini многообразия С 42]. Если гз проб-равенства разрепяша во втором варианте, т.о. для эх групп из класса KOr-, 1(\ то будем говорить, что в эгообразии разрешила ослабленная проблема равенства, потребление термина "ослабленная" оправдано те», что в этом пае рассматрик;< тся более узкий класс групп; этот тер-I удобно ввести для более четкого различения двух вариантов зОлемы равенства.)

Ясно, что кз разрешмости проблемы равенства для згообразия 'JP следует разреииюсть ослабленной проблеш 5енства для ТО . Заметим та*ш?, что разрешимость в )Гообразии ослабленной проблемы равенства наследуется ) подмногообразиями.

Сформулируем основные задачи. стикулирозавпио :лэдования по пробле».» равепства для многообразия »реиимых групп.

1. Установить, разрешка ли проблема равенства для групп, ¡ечно определенных в многообразии •?. 3 (А. IL Мальцев С18]).

В ншзей терминологии здесь требуется установить, разрзЕит проблема равенства в иногообралиях (Х'\

2. Построить конечно определенную группу с ti. »дествои, >блеьа равенства в которой неразрепнма (С. IL Адян,задача 4.3

Еоуровской тетради tll]).

Аналогичная задача, с требованием, чтобы исгажая группа ¡а разрешимо*», откечавась Е IL Ремесленниковым и Н. С. Рош-юким в [431.

3. Пияснить, влокима ли произвольная рекурсивно опро-[енная группа многообразия < f в группу из класса КО(Х!при »тором т (Е IL Ремесленников, задача 5.46 из ГШ).

Репение задачи 1 было получено R Н. Реыесленниковым в юте [24]. Он показал, что проблема равенства для много->азия LY при п S неразрешима. Тем сакш задача 1 была

решена отрицательно. На основе этого результата было получе! отрицательное решение С7] проблемы изоморфизма групп, конеш определенных в ОС1 при Г. П. Кукин и Е И. Епанчинцев [(

(см.также комментарий в [49]) доказали, что проблема равенст! неразрешима для любого многообразия групп 7Р, содеряаадзго мне гообразие О?-. Тем самым они получили усиление упомянутс теоремы Ремесленникова. Ими также доказана неразрешимой проблемы изоморфизма для групп из класса К02Р .

Задача 3 была решена Г. ИКукиным в [17]. Он показал, чте рекурсивно определенная группа из многообразия 7Р вложима I группу из класса кожа.*

Что касается задачи 2, то до исследований автора она ои валась нерешенной.

В контрасте с приведенными результатами о неразрешимое! находится теорема Холла [40] о финитной аппроксимируемое:] конечно порожденных метабелевых (т.е. 2-ступеино разрешимых] групп и, следовательно, о разрешимости для них проблей равенства, результат Р.Бири и Р.Стребеля [38] о финитно! аппроксимируемости групп из класса КОгл 71г0С и результат!

1 ЕС. Романовского [25-27] о разрешимости проблемы равенства для многообразий (Хд1с и 2.0? (без информации < проблеме равенства для подмногообразий).

Давно известен глубокий параллелизм между группами I алгебрами Ли. Охарактеризуем результаты по алгоритмически) проблемам- для алгебр Ли, родственные перечисление результатам для групп.

Комбинаторная теория алгебр Ли развивается с конца 30-х годов. Первые крупные результаты в этом направленш принадлежат Биркгофу и Витту (теорема о вложении алгебр Ли 1 ассоциативные алгебры), Магнусу, изучавшему связи свободны: групп и алгебр Ж Ярким достижением является результат А. И. Кострикина о локальной нильпотентности энгелевых алгеб] Ли, из которого вытекает положительное решение ослабленно! проблемы Бернсайда для групп простой экспоненты [8-10]. Глу-

окая связь нейду комбинаторной теорией групп и алгебр Ли сследовалась в работах А. Л Шмелькина [35], 135].

Алгоритмические проблемы для алгебр Ли начал изучать . И. Ширшов [30-34]. Им была до!сазана разрешимость проблемы авенства слов для алгебр Ли с одним определяющим □отношением, с однородными соотношениями и для конечно орозкденных метабелевых алгебр Ли. А. И. Ширшов поставил задачу: Э1сазать неразрешимость проблемы равенства в многообразии ;ех алгебр Ли и в многообразиях ОСп,п>Ъ. Первая задача была элоиггелыга решена Л.А.Бокутем [3], а вторая - Г. П. Кукиныы 16].

Для многообразий алгебр Ли, Так пз, как и для :югообразий групп суп^ствует два варианта постановки агоритмических проблем

В связи с наличием указанных двух вариантов постановки зоблемы равенства становится актуальной следупдая задача (ш эодолжаем начатую вьшэ нушрацига задач).

4. Выяснить, сущэственно ли различие в двух вариантах по- -гановки пробле>.ш равенства, т. е. суцэствута ли реально нного-

5разил групп и алгебр Ли с неразрешимой проблемой равенства, ) разрешимой ослабленной проблемой равенства.

Кроме того, возникает следукщш задача.

5. Установить, наследуется ли разрешимое ?ь*' проблемы шенства в ипогообразии групп (алгебр Ли) его . »дкногообразиями.

Заметим, что, как угэ отмечалось выше, разрешимость, ¡лабленной проблемы равенства наследуется шдалгогообразияш.

Приведенные результаты, а такяе исследования автора (си. гаэ обзор содержания глав 2 и 3 диссертации). поставили на •вестку дня задачу более пристального изучения того, как рас--Шопены многообразия с разрешимой и неразрешимой проблемой венства в решетке многообразий.

6. Исследовать границу мевду разрешимостью и разрешимостью проблеш равенства в решетке многообразий зрешимых групп (алгебр Ли).

Зга задача для групп фактически отмечалась в обзора Е И Реызслешшкова и В. А. Рсшанькова [23]. а для алгебр Ли - в обзоре Л. А. Бокутяи.П-П. Кжйнй [33.

В связи с задачей 6 особую роль начинает играть понятно 15шишлы1ого многообразия с неразрешимой проблешй равенства. Шогообразие ОР сбудем называть шшимахьнш шюгообразиеи с нераврепмиой проблемой равенства, если эта проблеш неразрешима в 7Р, но разрепзша в лвбоу его собственном подмногообразии. Л. Н. Шэврин предлогзш автору следуюцув задачу.

7. Найти прииэры шшшалышх иногообразиЯ групп и алгебр Ли с неразрешимой проблемой равенства и, насколько шага, продвинуться в выявлении всех темпе иаогообразкй.

Цель работы, Исследовать проблему равенства дл шюгообразий разреЕз-аых групп и алгебр Лл и, прежде всего, Рэезггь сфорцудировашшэ в1еэ задачи 2, 4-7.

научная новизна швы^ш является (гаг: есо основные результаты диссертации, так и некоторые постановка вадач. Взвой является и значительная часть аппарата исследований.

Практическая п теоретическая ценность. Работа носит теоретический пара!стер. Проведенное исследование дало ответы на некоторое- шетуалышо вопроси, стоявше в теорш групп, и на аналогичные вопроси дл алгебр Ли. Результаты и иетоды работы уго находят применение научных исследованиях, а такта гагут бить использованы и отчасти уже используются при чтении алгебраичесгапг специальных курсов, подготовке юнограЗий и учебников.

Апробация. Результаты диссертации отраганы о публшвдиях [443 - (57]. Из совестной работы [47) с диссертации включены только результаты автора, результат работы [55] об алгоритмической керазрэежоетн систем дзше дифференциальных уравнений получен в пераздольной соавторство с НЕСапироы, остальные результаты этой работы, вкевчэтшз в диссертацию, принадлегат автору.

Результаты диссертации докладывались на ХУП (Ленинград, 1981), ХУП (Минск, 1983), ХУШ (Кишинев. 1985) и XIX (Львов, 1987) Всесоюзных алгебраических конференциях, на УП Есесошном симпозиуме по теории групп (Красноярск, 1980), на УШ (Москва. 1986) и IX (Ленинград, 1988) Всесоюзных конференциях по математической логигаэ, на У Сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Барнаул, 1988), на УШ Мэддународном конгрессе по логике, философии и методологии науки (Носква, 1987) и на Неддународчой конференции по алгоритмическим вопросам теории групп (Беркли, США, 1989). При этом на конференциях в Кишиневе и Беркли были сделаны пленарные доклады. Автор' выступала с доклада;« о результатах диссертации таюш на заседаниях семинаров . в Шскве (Семинар по матекэтической логике ИГУ, 1980, 1986; Научно-исследовательский семинар по алгебре ИГУ, 1986, 1988), Лзнинграде (Алгебраический.семинар ЛОМИ и ЛГУ, 1984), Новосибирске (Сеют.ар "Алгебра и логика", семинар "Теория колец" им. Л. II Ширшова, 1985), Омске (Городской алгебрам- ' чоский семинар, 1981), Свердловске (Городской алгебраический семинар и семинар "Алгебраические системы", 1980 - 1989), па заседании Уральского математического общества (1984).

Объем и структура работы. Работа «злостна на 236 страницах и состоит ,.з введения и четирея глаз. В главе 1 приводится техническая база диссертации, глава 2 посвящена ослабленной проблеме равенства, а главы 3 и 4 - проблеме равенства для многообразий -групп и алгебр Ли. Библиография содержит 92 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 описывается методы доказательства неразрешимости и разрешимости, которые используется в диссертации. Методами доказательства неразрешимости слуяат интерпретация в группах и алгебрах Ли двухленточной машины Минского с неразрешимой проблемой остановки и интерпретация систем линейных диф-

. - 10 -

ференциальных уравнений над кольцом многочленов от /2 переменных. ' Приведем точную формулировку этого результата

Пусть п - натуральное число, А - поле. Алгеброй Вейля \л/п над /1 называется ассоциативная алгебра над заданная образующими ,о/,,. .., с/„ и определяющими

соотношениями

Пусть

I и,.

действие алгебры на кольце многочленов

•, хл 3 определенное следующим образом:

где /е 1[^,...1агв1

ПРЕДЛОЖЕНИЕ (совместно с Ы.В.Сапирои [65]). Пусть/г>£. Эффективно строится матрица О с элементами из , для

которой не существует алгоритма, позволяющего для каждого натурального р определить, имеет ли решение система линейных уравнений

Ш о Г Р1 мч

В- к 0

м 0 ;

X,

Причем можно считать, что а)каждый элемент матрицы X) равен

либо с/; , либо ¿с,-

А ; б)в каждой

элемента с^

, либо числу из поля строке и каждом столбце не более одного

Доказательство использует неразрешимость 10-й проблемы Гильберта С193.

При доказательстве разрешимости нами используется алгоритмическая разрешимость проблемы вхождения в сумму двух конечно порожденных модулей над конечно порожденными коммутативными кольцами, одно из которых является подкольцом другого, и алгоритмическая разрешимость показательно

диофантовых уравнений вида 21 (ос) «у •х = о где

¿-у у' ' 1 '

6

/г ~ многочлены от ее с алгебраическими коэффициентами, «¿^ - фиксированные алгебраические числа, -X - неизвестное целое, не является корнем из единицы при

Последний результат принадлежит С. ЕКотову С12].

Приводимые ниже аналогичные друг другу теоремы для групп и алгебр Ли будут иметь один и тот же номер, с разной буквенной добавкой: 6 - для групп, Ь - для алгебр Ли.

В главе 2 решается задача 2. Получены следующие результаты.

ТЕОРЕЫА 1а Для любого р>2 сущгствует группа из многообразия (Хр(Х, конечно определенная в классе

всех групп, с неразрешимой проблемой равенства. Для простого р> 5 такая группа существует в многообразии-

'тдгэ(Хг,агрсг г,&Ра.

ТЕОРЕЫА 2а Существует группа О, из многообразия

конечно определенная в классе всех групп, с неразрешимой проблемой равенства

Эти теоремы утверждают неразрешимость ослабленной ' проблемы равенства в любом многообразии групп, содержащем одно из указанных в их формулировке многообразий.

ТЕОРЕМА 11~ Над любым полем характеристики Ф 2 существует алгебра Л! из многообразия (Х3г\ конечно

определенная в классе всех алгебр Ли, с неразрешимой проблемой равенства

ТЕОРЕМА 21- Над полем характеристики 0 существует ал1 гебра Ли из многообразия конечно определенная в

классе всех алгебр Ли, с неразрешимой проблемой равенства

Таким образом, ослабленная проблема равенства неразрешима в любом многообразии алгебр Ли над полем характеристики / 2, содерхащзм многообразие ССЬгл7.№3(Х.и в любом многообразии над полем характеристики О, содержащем многообразие Z (Дока-

зательство неразрешимости ослабленной проблемы равенства для многообразия С%3 алгебр Ли, опубликованное Г. П. Кукиным в [151, оказалось некорректным, см. [4]).

. - 12 -

ТЕОРЕМА 30. В многообразии групп 7Р , таком, что и.® (Хгр(Хп^П,01±7Р^Пза (р>2) или Ьр (Хъ 2 П/Хй 7Рг 7. Ш3(Х{р>5, простое) проблема равенства неразрешима.

В случае, когда Р. это утверждение следует из

теоремы 26.

ТЕОРЕМА 31. В многообразии 7Р алх'ебр Ли над произвольным полем, таком, что 2 (X £ 'ХР , проблема равенства неразрешима.

Группы (? и 0. из теорем 16 и 26 и аналогичные им алгебры Ли строятся явным заданием образующих и определяющих соотношений. Для построения группы О используется метод интерпретации машины Минского. После опубликования работы С45] с доказательством теоремы 16 автору удалось существенно усовершенствовать и сократить доказательство. В диссертацию включен именно этот усовершенствованный вариант.

В работе [37] Г. Баумслагоы, Д. Гильденхайзоы и Р. Стребелем предложено ещз одно усовершенствование доказательсза этого результата, а имекно - доказательство на языке матричных групп.

При доказательстве теорем 28 и 2Ь используется упомянутый выше метод интерпретации в универсальных алгебрах систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных над кольцом многочленов от п переменных» предложенный Е Е Сапиром и автором.

В качестве приложения теорем 16 и 2в получается неразрешимость проблемы изоморфизма для конечно определенных разрешимых групп.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть многообразие групп, такое, что

или ССрОС . Существуют группы Ст,

конечно определенные в классе всех групп, такие, что проблема изоморфизма групп с группой 5 алгоритмически

неразрешима. '

Аналогичное следствие получено Для алгебэ Ли.

В главе 3 исследуются подмногообразия многообразия

- 13 -

Сформулируем основные результаты этой главы. ТЕОРЕМА 46. В многообразии групп {[(-¿О^ и во всех > подмногообразиях проблема равенства разрешима

ТЕОРЕМА 4Ь. В многообразии алгебр Ли TLíO¿ над юм характеристики 2 и во всех его подмногообразиях >блема равенства разрешима.

Теорема 4в существенно перекрывает результаты работ [273 [39]. В теоремах и 41 следует подчеркнуть часть, касаю-ся подмногообразий, так как разрешимость проблемы равенства :екотором многообразии алгебраических систем, вообще говоря, наследуется его подмногообразиями.

3 главе 4 решаются сформулированные выше задачи 4-7. Эти ачи становятся особенно актуальными в свете результатов в 2 и 3. Исследуются многообразия алгебр Ли над полем эвоЯ харагагеристики и многообразия групп, лежанке внутри гообразия г С1. Многообразие 01 групп задается тоддеством

гогообразие

ТЫ,!! алгебр Ли задается тождеством

(ос, а^)сг?=а

Установлено, что точной границы мевду разрешимостью и ^решимостью проОяеш равенства внутри многообразия Ч^С? нет. А тленно, справедлива ТЕОРЕМА 5Ц5В). В решетке подмногообразий многообразия бр Ли над полем характеристики 0 (групп) ствуют сколь угодно длинные цепи, в которых многооб-я с разрешимой и неразрешимой проблемой равенства дуются.

Теорема 5Ь (соответственно 5Б) является следствием тео-и 71 (соотвотствепно РЭ и 7Б), представляющих и саш-геяьный интерес.

ТЕОРЕМА бЦвО. В шогообразии алгебр Ли над любым

* (групп) 2 дТ №п Шг разреши)« проблема равенства 2 *

- 14 -

Обозначим через 0/}с многообразие, заданное внутри тождеством Х2с+гУдг. . . y-Zc+i)(• • • ^лс)" °

для алгебр Ли и тождеством

] ..........г2с11-1

для групп.

ТЕОРЕМА 7L(7G). Для любого натурального С в многообразии алгебр Ли над полем характеристики 0. (групп) неразрешима проблема равенства

Теорема 5L (соответственно 5G) следует из теорем 6L и 7L ■(соответственно 6G и 7G) в силу очевидного включения

Пг(Х * niCH £ Tfrc+i.

Кз теорем 6L и 7L (соответственно 6G и 7G) следует, что для многообразий ослабленная проблема равенства разрешила, а проблема равенства неразрешима, т.'.. они демонстрируют разницу между двумя разновидностями i; блеми равенства. Это решает задачу 4.

Из теоремы 5L (соответственно 5G) кроме того следует отрицательное решение задачи 5.

Для того, чтобы сформулировать дальнейшие результаты, нам потребуются следующие обозначения. Сначала введем их для алгебр Ли. Обозначим через F свободную алгебру Ли счетного ранга многообразия Z Щ.г(Х. Цусть ¿s, бг, б3 произвольные элементы из F .¿t,V- такие элементы из F, что u-ly< F, Т.е U. = ir (med f) . Тогда в алгебре /" выполняются равенства ^¿^ ,

Это дает нам право считать выражения вица с3 ,

¿j (^и)(fj , корректными для всякого и из

универсальной обертывающей алгебры U(F// ').

Чтобы упростить запись тождеств, будем использовать переменные двух типов. Переменные типа с индексами и без них будут считаться принадлежащими F /р', а переменные типа принадлежащими F .

Если OTj,...,ггп порождающие F' ,то алгебра изо-

морфна алгебре многочленов А[ XJ>..,x„] где /£ - основное пеле. Рассмотрим также копию этой алгебры Цусть

-16- _

€ тогда' / ,. . ц , где и,- -

шлены из х„1. VI - одночлены иг /Г^.....х„~]. Положим

определению £1 ¿г ¿} ..... х„.хп)=иГ) ¿л(ез .

соответствующий элемент из А[х1 . . (хл 1 •

Тождества вида 4 4 4' .'^ . • • •, хл, зс„у= О будем назы-ь обертывающими и употреблять для них еще более простую ись "о Если существует такое числот ,

для всех т выполняются тождества

% •■, Хп ■ ■. фм ... -о,

будем записывать эту систему тождеств следующим образом:

Для.оС^/С , <¿.¿0 , обозначим через Р(<*,х) многочлен с ко-ициентом 1 при старшей степени а?, содержащий все множители гочлена (1+Х)ос^)

ько по одному разу. Например, Р(-1,х)^ее(сс->Зс). Многочлен и.ос.^ получается из Р(и, ее) введением для

дого множителя своей переменной (переменнаяа^й, возможно, 5 может оказаться фиктивной).

Через обозначим многообразие,заданное внутри

"дХ^Я товдествами '

г- р ОС3, ос,-) (ссу - у X >О,

° (^Щ. - я^Х3^* -

ТЕОРЕМА 8Ь. В многообразии 1Р алгебр Ли над полем исгеристики 0, таком, что для некоторого <¿,<¿^-1, £ -ЦШрС, проблема равенства неразрешима. Если поле твое, то в любом подмногообразии многообразия ¿У? , шном дополнительным обертывающим тождеством, проблема ¡нства разрешима.

Многообразие ^алгебр Ли над полем характеристики О гсово [13], поэтому из теоремы 81. вытекает следующая [ая

ТЕОРЕМА 9Ь. В многообразии 2Г ОС над полем истеристики 0 существует бесконечная серия минимальных

многообразий с неразрешимой проблемой равенства. Каждое многообразие 7/^ содержит некоторое минимальное.

Для сравнения заметим, что, например, в решетке непериодических конечно базируемых многообразий полугрупп существует всего три минимальных многообразия с неразрешимой проблемой равенства [28].

Для того, чтобы продемонстрировать, какого типа тождества нужно добавить к тождествам многообразия , чтобы получить минимальное многообразие с неразрешимой проблемой равенства, в диссертации приводится пример минимального многообразия внутри многообразия /2/21 . С теоремой 81, контрастирует следующая

ТЕОРЕМА 10Ь. В многообразиях 2/2 КЗД конечным полем проблема равенства разрешима

В случае, если А. - поле алгебраических чисел, получен результат более общий, чем теорема 81,.

ТЕОРЕМА 111. Если подмногообразие 7Р многообразия алгебр Ли над полем всех алгебраических чисел ни для какого числа Ь не удовлетворяет тождеству (х(х < х.усй')1 (? у ~ У ^ то в 7-Р неразрешима проблема равенства

Заметим, что многообразия п Т1'¿Ш2СН н

, фигурирующие в теоремах 6Ь. и 71,, удовлетворяют, соответственно, тождествам о-(ас(хх) и °(х(х>х))2сх "с'1 Поэтому, если в многообразии 7Р выполняется тождество из теоремы ИЦ причем наименьшее такое число £ ,для которого оно выполняется,строго больше нуля, то УР молет иметь как разрешимую, так и неразрешимую проблему равенства Если же УР удовлетворяет системе тождеств -уИ)=0 ,то справедлива

следующая

ТЕОРЕМА 12Ь. Если подмногообразие 7Р многообразия алгебр Ли над числовым полем характеристики 0 удовлетворяет системе тождеств -у'2)-О и еще какому-нибудь оберты-

вающему токдеству, не вытекающему из тождества то в '2Р разрешима проблема равенства.

Для того, чтобы сформулировать для групп аналог теоремы

L, Епедец дополнит ельнке обозначения. ЕЬ-прежнему, лалогичныэ объекты для групп н алгебр Ли будем обозначать дзшадово. Пусть F - свободная группа многообразия Z.97.zO¿. огда группа [F, F ] ебелева. Ш будем использовать для нее дднишнуп запись. ГГа .ту группу, очевидно, ira;:ira смотреть, ais па ¡.-одуль над кольцом целых чисел. По той ж причине, что

для алгебр Ли будем считать ¡»рреотной запись i^, дз £¡ ,P.}t£s6\\Ü- элементы целочисленного группового ольца ZyM и пользоваться обозначением

:mi черты в атом обозначения есть символ изоморфизма кольца ZlVr] пя юхьцр Zfc^,...,^...)], где ;>-

гсбодноя cGa-tosa группа, поролдзнная ,... г~хп ,... .

Цусть J- ,f> - 22ш;:шо простьга целке числа, >0,ji4 О; -сссбодная геолога группа с шрогдаетшн х Через -т) будем обозначать иногочлеи по Z[-\.T,5?>1 с ззй:щ::ентсм 1 при старг;зП степени сс, содеряа^дй ссо гоглтел! гаогочлэпа

fer*- X Зс^"--^Усг^- аГ^)

з одиоцу рсзу. йюгочгзп P (j-ocJt , получается из î(eL,p,oc) введением длл ; самого шо.тзггелл своей переменной.

галкчестго ¡яюгпте.гэЛ шиьпэ тзпфз::, то <ХЧ - фиктивная Ф3!'зш:сл. 1m P(l,-I, х,, ^ ^,сс,у-(хгГ) (сс^-œp1),

Ц/сть

- подмногообразие шгагосбразия фзделишоэ тожеством

~Р О*.,Jb. Х,.ХЯ,ССЛ> = 0

¡шшсь в [f~"t F'] аддитивная).

TECFEHA ей В мюгообразнлх групп ^ неразрешим юблога расомсгва. Еслп îlki 'уъ ^ д, , то а

:orccOpiniri ^ прсбхекта равенства разреснма.

В силу С14] г.агогоо5ргзг!э групп '3í2cO¿ пшхтоео,поэтов ФСЕедлпва

¿ECFZV'A С& В 1г10Г00бразга! групп TLdÜJX сугрстпупт езеонз'лхэ сер:ш .'"пптглгььчк многообразий с неразрешимой

проблемой равенства Каждое многообразие и калдо

многообразие ХШ^ (р>5, простое) содержит некотор*

минимальное.

Теоремы 8Э и 93 дают частичное решение для групп задач) 6 и вполне удовлетворительное решение задачи 7 сформулированных в первой части.

В доказательствах неразрешимости в главе 4 еще раз испо. эуется метод интерпретации в универсальных алгебрах систем Л1 нейных дифференциальных уравнений в частных производных н< кольцом многочленов от п переменных.

Автор искренне благодарна профессору Л. Н. Шоврину за пос янное вникание к работе, ценные советы, обсуждения, замечали!

ЛИТЕРАТУРА

1. Адян С. И. Неразрешимость некоторых алгс) мических проблем теории групп// Труды Московского мат. обшрсхва. 1957. Т. 6. С. 231-298.

2. Адян С. И., Ыаканин Г. С. Исследования по алгоритмичес ким вопросам алгебры//Труды Математического института АН ССС 1984. Т. 168. С. 197-217.

3. Бокуть Л. А. Неразрешмость проблемы равенства и подалгебры конечно определенных алгебр Ли//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, N6. С. 1173-1219.

4. Бокуть Л. А. Алгоритмические проблемы и теоремы вложения: некоторые открытые вопросы для колец, групп 1 полугрупп//Изв. вузов. Математика. 1982. N 11. С. 3-11.

5. Бокуть Л. А., Кукин Г. П. Неразрешимые алгоритмичесга* проблемы для полугрупп, групп и колец//Итоги науки и техн, ВИНИТИ. Алгебра. Топол. Геометрия. Т. 25. М., 1987. С.З-бб.

6. Епанчинцев К И., Кукин Г. П. Проблема равенства в мно гоо'разии групп, содержащем дХгОС

//Алгебра и логика 1979. Т. 18, N 3. С. 259-285.

7. Киркинский А. С., Ремесленников Е Н. Щюблема изоморфизма для разрешимых групп//Ыат. заметки. 1975. Т. 18, N а С. 437-443.

8. Кострикин А. И. О локальной нильпотентности колец Ли, эвлетворяющих условию Знгеля//ДАН СССР. 1958. Г. 118. N 6. 1074-1077.

9. Кострикин А. И. О проблеме Бернсайда//Изв. АН СССР, э. матем. 1959. Т. 23, 4 1. С. 3-34.

10. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда М. Наука. 1983. 231 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные проблемы теории групп) 3-е изд. Новосибирск. 1978. 100 с.

12. Котов С. В., Харламлович О. Г. Эффективная граница для -ючисленных решений одного класса экспоненциальных уравке-V/ Всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы тео-[ чисел". Тез. докл. Минск. 1989. С. 111.

13. Красильников А. 31 Конечная базируемость некоторых мно->бразий алгебр Ли//Вестиик МГУ. Мат., мех. 1982. N2.0.34-38.

14. Красильников А. Н. О конечности базиса токдеств [ангулируемк матричных групп//Х1 Всес. симпозиум по теории ши Тез. сообщений. Свердловск 1989. С. 65.

15. Кутали Г. П. Проблема равенства и свободные изведения алгебр Ли и ассоциативных то>лец//Сиб. матем. II. 1983. Т. 24, N 2. С. 82-96.

16. Кукии Г. П. Алгоритмические проблемы для разрешимых ебр Ли//Алгебра и логика. 1978. Т. 17, N 4. С. 402-415.

17. Кукин Г. Е О влопэнии рекурсивно определенных алгебр И Групп//ДАН СССР. 1980. Т. 251, М 1. С. 37-39.

18. Мальцев Л. II Избранные труда Т. 1. Классическая эбра. 11: Наука. 1976. 484 с.

19. Матиясевич К1 В. Диофантовость перечислимых множеств// Я. АН СССР. 1970. Т. 191, М 2. С. 279-282.

20. Нэвшсов П. С. Об алгоритмической неразрешишсти проб-1 тождества теории групп/УДокл. АН СССР. 1952. Т. 85, N 4. та-719.

21. Бэвикоа Е С. Неразрешимость проблемы сопряженности в >ии групп//11зв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. С. 48522. Носков Г. А., Ремесленников К Е , Романьгав К А. Бес-

конечные группы //Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топод. Геометрия. Т. 17. Ы. 1079. С. 65-158.

23. Ремесленников В. 11, Романьков К А Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп//Итоги науки п техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топол. Геометрия. Т. 21. II 1983. С. 3-79.

24. Ремесленников Е Н. Пример группы, конечно определенной в многообразии СУа, п>5 , с неразрешимой проблемой равенства слов// Алгебра и логика 1973. Т. 12, Н 5. С. 577-602.

25. Романовский Н. С. О проблеме вховдонкл для расширений абелевых групп с помощью нильпотентных//Скб. матем. дури. 1980. Т. 21. N 2. С. 170-174.

26. Романовский ЕС. О некоторых алгоритмических проблемах для разрешимых групп//Алгебра и логика. '^74. Т. 13, N 1. С. 26-34.

27. Романовский Н.С. О проблеме равенства для центрально метабелевых групп//Сиб. матем. кури. 1982. Т. 23, К 4. С. 201205.

28. Сапир Ы. Е Алгоритмичесюге проблемы в многообразиях полугрупп//Изв. вузов. Математика. 1985. N 12. С. 71-74.

29. Саркисян Р. А. Алгоритмические вопросы для линейных алгебраических групп. 1,2//Мат. сб. 1960. Т. 113, Н 2.3. СС. 179-216, 400-436.

30. Ширшов А. II Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли//Сиб. матем. курн. 1962. Т.З, М 2. С. 291-296.

31. Ширшов А. И. О свободных кольцах Ли//Иатем. сб. 1958. Т. 45. N 2. С. 113-122.

32. Ширшов А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр//Ь!атем. сб. 195а Т. 33, N2. С. 441-452.

33. Ширшов А. И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли//Сиб. мат<;м. журн. 1962. Т.З, N 2. С. 297-301.

34. Ширшов А. И. О Сазах свободной алгебры Ли//Алгебра и логика 1962. Т. 1, N 1. С. 14-19.

35. Илелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп//Труды Московского мат. обадзства 1973. Т. 29. С.

274-261.

36. Шме лысин А. Л. Свободные полшшлыгатентние группы// Езв. АН СССР. Сер. нате«. 1964. Т. 28, N1. С. 91-122.

37. Baumslag a, Gildenhuys D., Strebel R. Algorithmical-Ly unsolvable problems about finitely prosentod solvable jroups, Lie and Associstive algebras. //J. Pure and Applied Algebra. 1986. Y. 39, N 1-2. P. 53-94.

38. Bieri R., Strebel R. Valuations and finitely presented rrstabelian groups//Proc. London Math. Soc. [sor. III). 1980 V. 41, Part 3. P. 439-464.

39. Grunevald F., Segal D. Soma general algorithms. I. Irith-TOtic groups., II Nilpotent groups//Ann. Math. 1980.

112, N 3. P. 531-583, 585-617.

40. Hall P. On the finiteness of certain soluble groups// ^roc. London biath. See. (Ser. III). 1959. V.9, part 36. P. 595-622.

41. Kargapolov i.t I. Some questions in the theory of soluble groups//Lect. Notes Math. 1974. V. 372. P. 389-394.

42. flisalevskl Ы Restricted desision problems in soma ¡lasses of algebraic systems//Z. Math. Logik Grundlag. Math. .978. Bd. 24, hft.3. P. 279-287.

43. Remeslennikov V. N., Romanovski N. S. Algorithmic

ir obi ens for solvable groups// in Vtord Problems II. North loll and Publ. 1980. P. 337-346.

Работы автора по теме диссертации

44. Харлашовнч 0. Г. Конечно определенная разрешимая груп-ia с неразрешимой проблемой равенства//УП Всес. симпозиум по еорни групп: Тез. докл. Красноярск, 1980. С. 131.

45. Харланпо.-ич О. Г. Конечно определенная разрешимая руппа с неразрешимой проблемой равенства //Изв. АН СССР, ер. ¡.гатей. 1981. Т. 45, N 4. С. 852-873.

46. Харламлович 0. Г. Алгоритмические проблемы для под-ногообразий многообразия Ж2(Х //YIII Всес. конференция по атеьатической логике: Тез. докл. Е, 1986. С. 197.

47. Цельничук И. Л., Сапир LL ь., Харлаыпович 0. Г. Щюблема

равенства в многообразиях полугрупп, колец и алгебр Лй//Сиб. юте«, »урн. 1986. Т. 27, N 6. С. 144-156.

48. Харлампович О. Г. Проблема равенства для подкногообра-вий многообразия '27,2(Ж //Алгебра и логика. 1987. Т. 26, Н 4. С. 481-501.

49. Harlairpovlch 0. & Tha vrard problem for solvable groups// YIII Int. Congr. for Logic, i&thodology end Phllosiphy of Science: abstracts. Moscow. 1087, Section 1-6, V.5, part I. P. 147-148.

50. Харлампович О. Г. Проблема равенства в шюгооСразнп Z Ttl OL //Изв. вузов. Штематика. 1988. М 11. С. 21-23.

51. Харлампович О. Г. Уишшальние многообразия групп и алгебр Ли с неразрешим проблемой равенства// У Ciiö. скола по многообразиям алгебраических систем Tea. сообершШ. Барнаул, 1988. С. 72-75.

52. Харлампович О. Г. Проблема равенства длл многообразна rpyni и алгебр Ли, граница между разрешимостью и неразрепшостьв//

IX Бсес. конференция по математической логике: Тез. докл. Ленинград, 1988. С. 167.

53. Харлампович О. Г. Проблема равенства в югагооОразнях групп//III Всес. симпозиум по теории полугрупп: "¡св. сообзэпнЯ. Свердловск, 1988. С. 98.

54. Сапир Ii В., Харлампович 0. Г. Цроблема равенства в «ногообразнях полугрупп, ассоциативных алгебр и алгебр JLJ/ III Всес. симпозиум по теории полугрупп: Тез сообгрниЯ. Свердловск, 1988. С. 83.

55. Сапир II Е , Харлампович О. Г. Проблема равенства в многообразиях ассоциативных алгебр к алгебр JBi//i!sb. вузов. Патент rata 1989. N 6. С. 76-84.

50. Харлашювич О. Г. Проблема равенства для разреишых алгебр Ли и групп//Штем. сб. 1989. Т. 180, N 8. С. 1033-1066.

57. Харлампович О. Г. Копечно определенна разрешимые группы и алгебры Ли с неразрешимой проблемой равенства// .Уатем. заметки. 1989. Т. 46, вып. 3. С. 80-92.