Проблема собственных частот в конструкциях типа оболочка-заполнитель-газ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 Ой

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

САМЕКШОВ Рустям Зэгвдуллович

ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ В КОНСТРУКЦИЯХ ТИПА ОБОЛОЧКА - ЗАПОЛНИТЕЛЬ - ГАЗ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тала

Автореферат диссертации на ооискание ученой отепени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО-КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ • имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи САМЕРХАНОВ Рустям Загидуллович

ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ В КОНСТРУКЦИЯХ ТИПА ОБОЛОЧКА - ЗАПОЛНИТРЬ - ГАЗ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соиокание ученой степени кандидата фазико-иатеиатяческвз наук

Работа выполнена в Казанском химико-технологическом институте имени С.М. Кирова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Иванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.П.Жигалко

Ведущая организация: Фирма "Союз", г. Казань

Запрета состоится 17 июня 1993г. в 14 час. 30 мин. на заседании специализированного Совета Д 053-29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических: наук по механике щи Казанской государственном университете шзни В.И. Ульянова-Ленкна па адресу: 420008» Казань, ул. Ленина, 18, ауд. 2 фаз.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библистбкэ КРУ. Автореферат разослан " (а " мь-^ 1993г.

Ученый секретарь спз^алЕзи-рованного Совета, кандадат

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.ПаЙмущин

Зашош-иатематачвсяаа: наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследование конструкций, состоящих из тонкостенной оболочка, скрепленной по внутренней поверхности с упругим заполнителем, содержащим газ, вызвано широким применением их в различных областях современной техники. При эксплуатации такие комплексы подвергаются интенсивным динамическим нагрузкам, что вызывает значительный интерес к исследованию собственных колебаний конструкций в целом. Широкое внедрение в технику резиноподобных материалов и конструктивных элементов слотаой конфигурации также вызвало интерес к исследованию систем оболочка-заполннтель-гэз и отдельных конструктивных элементов. Динамическое уравнение в случае несжимаемого материала среды отличается от малосжим-аемого' появлением новой переменной. При втом система уравнений, вместе с уравнением несжимаемости среды становится замкнутой относительно неизвестных. Поэтому необходимо разработать единый алгоритм определения собственных частот систем типа оболочка-заполнитель-газ из различных материалов и сложной формы. А исследования таких систем, представляют собой сложную математическую задачу поиска решения в многослойной среде с различными условиями сопряжения.

Целью диссертации является разработка метода определения собственных частот системы оболочка - заполнитель - газ в зависимости от геометрических и физических параметров системы, в которой может отсутствовать или добавляться какой-либо конструктивный элемент. Разработка метода решения нелинейной проблемы собственных значений, возникающей в данной работе.

Научная новизна состоит в следующем:

- разработка численного метода расчета собственных частот тонкой оболочки, твердого деформируемого тела и газа при их взаимодействии;

- разработка метода определения собственных значений конструкций сложной формы из переопределенной системы однородных уравнений используя характеристическое неравенство;

- проведение сравнительного анализа вычисленных частот оболочечных конструкций с различными геометрическими £юрмьшг

между собой на основе теоретической оценки.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректной математической постановкой задачи, надежностью разработанных численных алгоритмов, результатами численных експериментов и их соответствием с теоретическими оценками. В частных случаях, достоверность подтверждается хорошим согласованием о известными расчетными данными других авторов.

Практическая ценность данной работы заключается в том, что разработанная методика расчета отличается простотой алгоритмизации и ориентирована на ЭВМ средней мощности, что делает ее доступной для широкого применения. Полученные результаты могут быть использованы во многих инженерных расчетах и в различных конструкторских разработках. Метод решения нелинейной проблемы собственных значений моает быть применен и к другим задачам уравнения математической физики.

Апробация работы. Основные результаты докладывались: вс Всесоюзной летней школе по теории взаимодействия оболочек с жидкостью, газом и твердым деформируемым телом (г. Казань, 1936 г.); на II Республиканской научно-технической конференции "Механика и машиностроение" (г. Брежнев, 1987 г.); не III Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (г. Казань, 1988 г.); на XV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (г. Казань, 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 92 страницы машинописного текста, 8 рисунков, 10 таблиц; список литературы содержит 122 наименований.

СОДЕИШИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации, обсувдается актуальность к цель работы, излагаете, краткое ее содержание и новизна, формулируются основные по локещщ, которые выносятся es завдту.

В первой глава дается обдая постановка • садачЕ, метод

ее решения и рассматривается ряд задач посвященных цилиндрическим конструкциям, При этом приняты следующие допущения:

- материал оболочки - ортотропный, материал заполнителя - однородный и изотропный, а газ - идеальный;

- уравнения оболочек основаны на гипотезах Кирхгофа-Ля-ва, перемещения малы по сравнению с толщиной оболочки;

- поверхность контакта оболочки с заполнителем и с газом отождествляется с срединной поверхностью оболочки.

В §1 приведены основные уравнения и условия сопряжения. Динамическое уравнение теории оболочек принимается в виде:

1й = р . (1) Здесь Ъ - дифференциальный оператор, й=(и ,и ,и ) - перемещение точек срединной поверхности, р=(р ,Р2,Р3) - вектор поверхностных сил, где

р1 = рь э2и(/а^ + сгс|1 , 1=1,2,3; (2)

Ъ.,р - толзцина и плотность материала оболочки; а' ^5 - составляющие вектора напряжения с единичной внешней нормалью V.

Уравнение движения заполнителя представляется:

С <7гв + в /(1-2? ) егай (117 8 = Р 83в/дХ.г, (3)

_ в в в ^ г в

где в=(в ,в2,в ) - вектор перемещения; РВ»С>»У. ~ плотность, модуль сдвига и коэффициент Пуассона заполнителя. А для несжимаемого материала заполнителя

й 72б + (1/3) £гас! о, = Р а^в/вх*, (117 в = 0, (4)

в СI ) ' в

где а - первый инвариант тензоре напряаекий.

Малые колебания газа описываются уравнением

V3? - (1/а*) В*ч/аХ2 = О. (5)

Здесь ао - скорость распостранения звука в газе, V - потенциал скорости газа.

На поверхности контакта оболочка о заполнителем условием сопряжения является непрерывность переиеазшгЭ

1 = 5, (6)

а на поверхности контакта газа с запойязтелеы - непрерывность скоростей, отсутствие касательных напряжений а услокзе равенства нормального напряжения и давленая газа ро

т/а» = (ввт)-й, а^5 = а'"' = о, <^р> = -Р0 . (7) где 1> - внешняя нормаль внутренней поверхности заполяяуеля.

В §2 для получения решений уравнений (3), (4) векторное поле перемещений представляется через скалярный и векторный потенциалы Ф, ?. Тогда уравнение (3) эквивалентно системе

= О/а2) эаФ/дЬ2, V2? = (1/а=) э2?/^2; (8)

а1, - скорости распостранения продольных и поперечных волн. А в случае у=1/2 показывается, что (4) эквивалентно V2«- = о, о, = Зр д2Ф/аг2, V2? = О/а2) э2?/аг2. (9)

( I ) г В 1

Из (8), (9) для установившихся колебаний решения уравнений (3) и (4) в цилиндрических координатах запишутся

в, ~ Е ЕёГ-\„' <г(ц =1

к«0 п«0 к = 0 п = 0

где 1 е 0 = {х,0,г} ■ (1,2,3) з введены векторы

гкп

в

5!!»

= <*;» + ?\п+ «А.* 003(пе) ооз(м+с>«

в*" = (-5ь Ф

= -1г,

(I)

к кп кп

2, е3\

- ^ ) оов(пв) 8111(5, х+е), ■»*• Г кп к

-т ф оов(пд) аоз(^х+е).

е к кп к

В (10) и (11) векторы имеют вид

5 (6,г) = (I (Ь),1 (6,г),0,0,0,0),

(ю:

(и

кп

?кгАг) = (0,0,0,0,2п(^кг),Шп(^г)),

К = К » ■

кп кп кп

■>3 I4 1Е

I , а ,

кп кп

кп*

Здесь

{о ,К }(&,?), при аг > О,

п п к к

{i ,к }(ь), щй: а2 < о,

п п к к

{г",г"п}, щтл а2 = 0, п {1,1л г}, пра = О, п

ы2/&2

- 5!

I" ща у <1/2,

пра V -1/2;

* О, = 0;

а2/а2 - Г;

(12

- неаогсрпе псегойянне; § =кк/.

числа прододьшз: : круговая частота?

xi ^¿¿¿юз

округзых волг? 1 - шлуджва волны, в - гхарга&зр, зависгедхй от гранкчльа: уел юбс-этеио цжшщзяге&скае функции п-го г.

рядка. Функции {1 ,41 }(§г) определяются такие как и (.12).

П Г5 К

Компоненты напряжения представляются б виде

со со __ __

% = I . 1.36«. (-3.1

_ к =0 п»С

а векторы а^ определяются через (11), соотношения перемещение - деформация и закона Гука.

В §3 рассматриваются ьгетоды реиения граничных задач и

т

нелинейной проблемы собственных значений. Пусть Г = и Г ку-

к-1

сочно гладкая поверхность, ограничивающая область О. Решается граничная задача

Аи(х) - Хи(х) = О, х е £5 с Кп, (14)

С?ки(х) = О, I с Гк , к = 1,2.....ш, (15)

где А и' <?к - линейные дифференциальные операторы. Решение задачи (14), (15) ищется в виде

им = К *ьиЛ) • (16)

Здесь с, - неизвестные коэффициенты, ® - система функций,

к 'к

являющихся точными решениями (14), но не удовлетворяющих условию (15). Коэффициенты с^ определяются из граничных условий (15) дискретным методом наименьших квадратов (ЫНК). Минимизация невязки условия (15) приводит к системе однородных нормальных уравнений. Из условия существования нетривиального решения получается характеристическое уравнение

¿е! гт(Х)»(>) = 0. (17)

Корни уравнения (17) приближенно определяют собственные значения граничной задачи (14), (15).

При использовании системы нормальных уравнений оказывается, что матрица зачастую является плохо обусловленной. Кроме того, для вычисления определителей применяются традиционные методы, которые хорошо работают для невыроаденных матриц, не зависящих от параметра. Здесь да определяются точки вырожденности матриц, т.е. такие значения I, при которых число обусловленности достигает наибольшего значения. Тогда, даже малое возмущение элементов матрицы может вызвать значительное изменение определителя.

Рассматривается такзе ЫНК с использованием переопреде-

ленных систем. На поверхности Г выбирается система точек

{х,}", причем M г N, так, чтобы приближенное решение (16) j j» 1

в них удовлетворяло условиям (15). При этом получается переопределенная система однородных линейных уравнений

SU) с = 0. (18)

Существование нетривиального решения системы (18) приводит к характеристическому неравенству вида

rank S(X) < N. (19)

Для решения этой задачи используется сингулярное разложение матриц. Преимущество этого разложения в том, что сингулярные числа матрицы устойчивы к возмущениям ее элементов. При реализации алгоритма на ЭВМ практически все сингулярные числа отличны от нуля и поэтому требуется указать допуск d, меньше которого эти числа считаются нулевыми. Данная задача эквивалентна поиску таких значений X, при которых достигаются минимумы сингулярных чисел ft,(X):

min {£ (X): кАХ) s d, 1=1.2,... ,N}. (20)

I 1 1

Это условие позволяет определить собственные значения нелинейной спектральной проблемы без приведения характеристического уравнения к детерминантному виду.

В §4 исследуются собственные частоты оболочек с заполнителей, у которого внутренний канал свободный от напряже.:£йй О , = О, ici . (21)

г I

Решение уравнения (1) ищется в виде (k,n) - гармоники • u = ukn oos(riô) sind х+е) = ukn ukn(x,6).

Hg = ukn sin(nô) cos(Çkx+e) * ukn u£r'(x,s). (22)

u = ukn cos(nö)■003(F X+£) s U*n ukn(x,e),

г г 3 k г г

о за решение уравнений (3)~(4) примем (1с,п) - ысду (11). При бтоы, введя матрицы размера 3x6

= (s1"1, Skn)\ skn = (?kn, äkn, cfkn)T.

* tr г гхгбгг

перемещения и напряжения гредсгавляютоА в виде

5 = • * = Ekni„n • * - (*гж.*рв,агг) - (23)

Внося (23) в (1), в силу условия (б), и принимая во вниманао условие (21), получаем систему однородных линейных уравнений относительно вектора А . Условие нетривиальное™ решения

системы дает характеристическое уравнение

[ ) + рМ2/"1^, ) - Екп(й,) ]

&е%\ 1 1 |=0, >24)

I Ёк,,(Р2) )

где Р^, К2 - внешний и внутренний радиусы заполнителя.

Из решения уравнения (24) при заданных волновых числах, физических и геометрических параметрах оболочки и заполнителя определяются собственные частоты рассматриваемой системы.

Показывается, что при уменьшении толщины заполнителя собственные частоты при п=0, 1 возрастают, а при п-2 сначала убывают, затем возрастают. Исследуется вопрос существования собственных частот в спектральном диапазоне О < и г: £ а . Из анализа результатов следует, что в рассматриваемом диапазоне собственные частоты колебаний конструкций существуют и наименьшая частота колебания системы достигается при п=3.

В §5 исследуется оболочка с заполнителем, содержащим газ, который ограничен оболочкой от центрального канала. Внутренняя оболочка радиуса 1?з полагается абсолютно хесткой, которая может и отсутствовать. Установившиеся колебания газа, согласно (5), описываются уравнением Гельмгольца

72У - иа/а2 V = 0, (25)

а условием сопряжения будет (7). При скорость газа на

поверхности контакта с оболочкой полагается равной нулю

зч/эг =0, г - Л . (26)

Определение собственных частот колебания принятой системы сводится к интегрированию (1), (3), (4) и (25) при условиях (2), (6), (7) и (26). Решение (25) ищется в виде

V = V -5 сов(пв) ооя(£ х+е) . (271

*п кп ^к

При этом введены векторы

= (2ЛГ)' Ш 5и = К • ) '

кп п к п к кп кг. кп

где I,1 ,42 - неизвестные постоянные, 72=«2/а2-Е2, $а=|72| .

кп кп ' к О к 'к 1 •

Удовлетворяя первому условию (7) и (26) получим систему лшойшх уравнений относительно 0кп. Откуда Бкп определяются через А и следовательно потенциал скорости газа (27) выражается только через коэффициента I, . Выполняя остальные ус-

хп *

ловля (7), (2), (6) полуяви систему однородных днЕейных ура-

енрний относительно А^^, которая приводит к уравнению

[ ) + £>1ш:У1П(11 ) - ) ]

с!ег | 1 1 I = 0.

I Екп(И.) + ^"(Е .й ) J

Здесь ? матрица размера 3x6 :

(

0

!ригС,2кп(Е )

I 1 г г

СГ

йег2>а/йег2)1, Е3*0;

\ IV

. ип^Л) I

г

I *ЛЛ*Э>

(28)

2>

кп

I

Корни уравнения (28), при заданных волновых числах, физических, геометрических параметрах конструкции определяют собственные частоты колебания рассматриваемой системы.

Показывается, что собственные частоты систем содержащих газ близки к парциальным частотам оболочки с заполнителем при больших толщинах заполнителя. Влияние газа сказывается при малых толщинах заполнителя, а собственные частоты исходных систем при атом приближаются к парциальным частотам газа. Наибольшее отличие собственных частот системы находится вблизи точки пересечения парциальных частот. Для системы оболочка-заполнитель-газ-оболочка кривые парциальных частот пересекаются при большей толщине заполнителя, чем системы оболочка-заполнитель-газ.

Во второй главе исследуются оболочечные конструкции слоеной формы. В этом случае решения уравнений (8), (9) и (25) ищутся в виде метагармонических полиномов. В связи с этим в §6 рассматривается вопрос плотности метагармонических полиномов в множестве метагармонических функций.

В §7 исследуется влияние геометрии канала абсолютно жесткой оболочки на собственные частоты колебания газа. Поверхность Г, ограничивающая область й содержащую газ, считается заданной в параметрической форме:

X—х, (05X51); у=Щх,е)взп9; 2=К(х,е)соз6, (Оав< 251). (29) Здесь Щх,е)=1М-х гёа+А ооз(т9), И - радиус средней окружное-

ти, а - угол конусности, ш - число лепестков и А. - •амплитуда лепестка относительно средней окружности.

Колебания газа описываются уравнением (25). а на поверхности контакта газа с оболочкой проекция скорости газа на нормаль V поверхности Г должна обращаться в нуль:

дУ\дV = 0. 1 30'

Решение уравнения (25) ищется в виде метагармоническогс полинома перенумерованного с помощью одного индекса

V = Е с » (г.е.х.ы) , (31)

где с1р1(г,в,х,и)=(1кп2п(^кР)соз(п0)соз(£кх+е), М=(К+1)(N+1). Неизвестные коэффициенты с находятся дискретным МНК из условия (30). Тогда характеристическое уравнение, определявдее приближенные значения собственных частот, примет вид (17).

На оскове минимаксного принципа Куранта указываются более простые конструкции для оценки искомых частот сверху и снизу. Форма оболочки, задается уравнением (29) при различных комбинациях параметров А, а и т.

Определялись собственные частоты газа, содержащегося в оболочке со следующими геометрическими параметрами: цилин -дрическая оболочка радиуса ¡Ш^а (модель 1); усеченная коническая оболочка с радиусом меньшего основания И и с утлом конусности а (модель 2); цилиндрическая оболочка радиуса Н (модель 3). Показано, что собственные частоты модели 2 больше чем модели 1, но меньше частот модели 3.

Исследовалась трехлепестковая цилиндрическая оболочка со средним радиусом Л и амплитудой А. Показывается, что к-ая частота газа находится в интервала Х£1)£ X яХ<2>, где Х<1!,

/ 2 * к 14 к

X ' - к-ые частоты колебания газа в цилиндрической оболочке с радиусом основания Я+А. а с радяусом й-А, соответственно.

Рассматривалась оболочка, огразнчпззюззя газ, представ-лягзая собой форму треглзпесткового усеченного конуса с па-ренегргкя А, «. Аналогично с прэдадуцими, к-ая частота колебания газа ограниченного вчо£ поверхность® находится з интервал 'Г11 <>..(3! \<*> Здесь \!1) п X - к-ые сок .-с IX ц к к

тасгитп гагсз, иодер^ггсед в об словах: Хм> - а

^'.'..-¿с'^р/ч^сксй оболочке с радиусом R+1-tga+A; Х^21 - в трех-.--•леоткеьсй цилиндрической оболочке со средним радиусом R+1-• u-а и амплитудой А; \ - в трехлепестковой усеченной конической оболочке со средним радиусом меньшего основания R, углом конусности а и амплитудой A; X¿3) - в трехлепестковой цилиндрической оболочке со средним радиусом Б и амплитудой а; X- в цилиндрической оболочке с радиусом R-A.

Расчеты проведенные на ЭВМ показали, что по мере увеличения числа членов в представлении решения (31) собственные частоты низших порядков быстро сходятся. Дальнейшее увеличение числа членов не влияет на низшие порядки собственных частот, ко при этом увеличивается число обусловленности матрицы £т$. В этом случае необходимо использовать МНК с переопределенной матрицей и неравенство (19).

Б §8 рассматривается задача определения собственных частот колебания системы деформируемая оболочка - газ. Установившиеся колебания системы описываются уравнениями (1),(25), а компоненты поверхностного усилия (2) запишутся

p1=-phO)2u1 , 1=1,2; p„=-phuau3+ 1ы pQv . (32)

На поверхности контакта газа с оболочкой ставится условие

дч/av = -IQ ü-t? . (33)

Здесь v - внешняя нормаль к срединной поверхности оболочки.

Решение уравнения (25) ищется в виде (31), а решение (1) ищется в виде отезка Фурье по системе функций (22)

U,= I Е u*n(x,e) = Е £ и^(х,е), le!. (34)

k = 0 n=0 _ к-0 п=0

Коэффициенты ukn выражаются через коэффициенты полинома (3D- Для этого (k,n) - гармоника (34) и (k,n) - мода (31) вносятся в уравнение (1)

IiUn(x,e) = pkn. (35)

Здесь 5 = ( -phG32H^n(x,e), -рьаав!?в(х,е), -phu2wkn(x,6) +

kn a «i o

+ ip Qd Z (t R)cos(n6)cos(f x+c)); R - радиус срединной по-

rO kn n k k

верхности оболочки. Отсюда находится решение системы (35) ик,п = ip MZ ($R)(l£"/det*b )d u*n(x,e); 3=1,2,3, (36)

j O n k 3J kn kn J

где - миноры элементов определителя матрицы = i-

й±&£{и*п (х, в)} +<Иа§{р1г(1)2ип (х, 6)}.

Перемещение срединной поверхности оболочки примет вид

й - Е о ? (а.е.х.и). = !=1 1

М=(К+1)(N+1) и по текущему 1 однозначно определяются

= 1 1р иг Н)(Мкп / ^ ^"(к.е)

1 1 к п О п к 3 ] хп 1

Неизвестные коэффициенты о1 находятся из условия минимизации невязки условия (33) дискретным МНК. Тогда характеристическое уравнение, определяющее приближенные значения собственных частот системы оболочка - газ при заданны? физических и геометрических параметрах конструкций, примет вид (17).

Определялись собственные частоты газа содержащегося в оболочке со следующими геометрическими параметрами: усеченная коническая оболочка с радиусом меньшего основания 1НА с углом конусности а (модель 1); трехлепестковая усеченная коническая оболочка с параметрами И,а,А (модель 2); усеченная коническая оболочка с радиусом меньшего основания Н-А и с углом конусности а (модель 3).

Число членов в (31) и (37) для определения частот рассматриваемой системы в моделях 1 и 3 полагалось М=5-6, а в мо-деле 2 - М=25-30. Анализ показал, что дальнейшее увеличение числа членов не влияет на низшие порядки собс?венных частот. Из результатов следует, что собственные частоты описанной и вписанной усеченных конических оболочек, содержащих газ, образуют вилку, внутри которой находятся частоты трехлепестко-вой усеченной конической оболочки.

В §9 исследуются собственные частоты колебания заполнителя сложной формы, скрепленного с абсолютно жесткой оболочкой. Пусть заполнитель занимает область О-О+Г, а поверхность Г, ограничивающая обьем й состоит из конечного числа поверхностей- Ляпунова. Уравнение теории упругости принимается в виде (3), (4) с граничными условиями (Г=Г +Г ):

=32 = 3з|г 'Г ' = О- (38)

Приближенное решение задачи ищется в виде (10) и (13). Тогда перемещения и напряжения еэ Г с внешней нормалью у запишутся

г, = z c_-f'ix.e,i\u), с'"'1 = I с -tp v>(x,e.r,a),

1 l n in

г ж i m = 1

j e E J ■ _ _J

гд-г o_ - неизвестные коэффициенты, f™ - перенумерованные с помощью одного индекса Оазисные функции, М=(К+1)(N+1).

Неизвестные с определяются из условия (38) дискретным

m

МЯК с использованием переопределенной системы. Тогда получается система вида (18) и существование ненулевого решения 5той системы приводит к характеристическому неравенству

rank <в(ш)<6М, (39)

где матрица Л(ы) размера 3(М +Ы )хбМ. Следовательно, те значения спектрального параметра и, при которых выполняется неравенство (39) и определяют приближенные собственные частоты колебания упругого тела при заданных геометрических и физических параметрах.

По описанному методу исследуются колебания цилиндров переменной толщины с внешним радиусом поверхности R в абсолютно жесткой оболочке из несжимаемого материала. Определялись собственные частоты колебания для следующих форм цилиндров: с постоянной толщиной hs (модели 1 и 4); цилиндр с внутренним каналом в форме усеченного конуса с максимальной и минимальной толщинами h и h2 (модель 2); цилиндр с внутренним каналом в форме четырехлепестковой звезды с максимальной и минимальной толщинами h( и h2 (модель 5); цилиндр с постоянной толщиной h2 (модели 3 и 6).

Решение.уравнения (4) для цилиндров с постоянными толщинами (модели 1,3,4 и 6) получено в замкнутом виде. Здесь характеристическое уравнение имеет Слочно - диагональную форму порядка 24 с блоками порядка 6. В случае цилиндров с переменными толщинами (модели 2 и 5) матрица «*(и) имела размер 150x24. Из положительно определенности оператора теории упругости следует, что расширение области 0, где определен оператор, при тех же граничных условиях, не влечет увеличения собственных частот. Откуда следует, что собственные частоты моделей 1,3 и 4,6 образуют вилку, внутри которой находятся частоты моделей 2 и 5, соответственно. Анализ резуль-

татов численных расчетов показывает, что действительно собственные частоты цилиндров с переменными толщинами находятся мезду собственными частотами цилиндров с постоянными толщинами. Для цилиндров с переменными толщинами вычисление корней уравнения вида (17) порядка 24 вообще не привело к результату, в то время как подход с использованием характеристического неравенства позволил определить искомые частоты.

В заключении изложены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Способы определения собственных частот системы оболочка - запаинитель - газ, при любых коэффициентах Пуассона материала заполнителя и для всего спектрального диапазона.

2. Решение задачи на собственные частоты оболочечной конструкции слогоой формы граничным методом наименьших квадратов.

3. Разработка метода решения нелинейных проблем собственных значений.

4. Вычислительные алгоритмы и их реализации на ЭВМ, результаты расчетов и сделанные на их основе выводы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ

1. Иванов В.А., Сафиуллин Ф.Х., Самерханов Р.З. Определение собственных частот ортотропных цилиндрических оболочек с заполнителем/Казан. ишико-технолог. ин-т. -Казань, 1986. -11 с. -Деп. В ВИНИТИ 04.08.86, N 5581 - В 86.

2. Иванов В.А., Самерханов Р.З. Собственные колебания газа в абсолютно кэсткой оболочке//Тез. докл. II Респ. науч. -техн. конф. мех. и мапшноетр. - Бреняев, 1987. - С. 29.

3. Иванов В.А., Саиврханов Р.З. Собственные колебания оболочек слояясй формы, содергкцзх. газ / Пробл. цех. оболочек. -Халинйн, 1988. -С. 79 - 83.

4. Мваноз В.А., Саузргазов Р.З. Собственные колебания газа в трубам пронззолькоЗ ферма / Гидродинамика и прсбле;.и тешгсмаесообмвяа. -сзардлсьсз. УЩ АН СССР. -1989. -С.91-94.

5» йвагоз В.А., Сгк-зргалсз Р.З. Собственные кеявбазия чел акгетйГ ¡S-t'*3 кэ ^SGc-rotsssoro а веетз^сешго матэрка-

ла. - Е печати.

6. Иванов В.А., Самерханов Р.З. К решению нелинейной проблемы собственных значений в задачах математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т.30. N9. - С. 1410 - 1414.

7. Самерханов Р. 3. Собственные колебания ортотропных оболочек, содержащих газ // Тез. докл. III Всес. совещания-семинара молодых ученых. Актуальные проблемы механики оболочек. -Казань, 1988. -С. 190.

8. Самерханов Р.З. Нелинейная проблема собственных значений в задачах механики сплошной среды / Расчет пластин и оболочек в хим. машиностр. -Казань, 1990, -С. 65 -71.

9. Самерханов Р.З. Собственные колебания оболочечных конструкций сложной формы / Тр. XV Всесоюз. ковфер. по теории оболочек и пластин. -Казань: Изд - во Казанск. ун- та, 1990. -С. 225 - 230.

Отдел разшюжбМня ймотитута татагро-йршпроакг

420080 г.КазанЬ ул.ямашввадо

¡тираж 100 экз.