Проблема соотношения упругих констант в слабоангармонических металлах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДУЛИ УПРУГОСТИ.

§ I. Определение модулей упругости методом однородной деформации.

§ 2. Динамические макроскопические модули упругости

ГЛАВА П. СООТНОШЕНИЕ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 3. Перенормировка динамических модулей упругости второго порядка за счет ангармонического взаимодейст

§ 4. Статические изотермические модули упругости второго порядка.

ГЛАВА Ш. СООТНОШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ МОДУЛЕЙ

УПРУГОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ПРОСТЫХ МЕТАЛЛАХ

§ 5. Статические модули упругости третьего порядка

§ 6. Динамические модули упругости третьего порядка

§ 7. Определение модулей упругости третьего порядка из скорости звука в напряженном кристалле.

§ 8. Соотношение для производных многополюсников электрон-ионного взаимодействия.

§ 9. Вычисление многополюсников электрон-ионного взаимодействия четвертого и пятого порядков.

ГЛАВА 1У. К ВОПРОСУ О ВЫЧИСЛЕНИИ ОПТИЧЕСКИХ УПРУГИХ КОНСТАНТ

В ДИНАМИЧЕСКОМ И СТАТИЧЕСКОМ СЛУЧАЯХ.

§10. Соотношение оптических упругих констант, полученных методом однородной деформации и методом длинных волн.

I. Как известно, модули упругости являются одними из важнейших физических величин, характеризующих твердое тело. Существуют две экспериментальные возможности нахождения упругих модулей: во-первых, прямое определение при статических нагрузках; во-вторых, из измерений скорости звука. С теоретической точки зрения этим ситуациям отвечают вычисления модулей упругости методами однородной деформации и длинных волн. Проблема соотношения статических и динамических модулей упругости в кристаллах была формально решена много десятилетий назад Борном и Хуангом [I]. Ими было впервые получено выражение для длинноволновых колебаний через модули упругости второго порядка. Проблемы соотношения, как таковой, на этом уровне нет. Поскольку из макроскопических соображений, которые, как и следовало, подтверждены общим микроскопическим изучением, проделанным Борном и Хуангом, следует равенство статических и динамических модулей упругости. Эта проблема в теории твердого тела, как и ряд проблем в других разделах теоретической физики (например, тождество Уорда в квантовой теории), связана с различными приближенными способами вычислений величин, тождественных в самом общем (точном) случае. Проблема соотношения в твердом теле возникла при изучении сжимаемости в металлах. Оказалось, что расчет, основанный на теории псевдопотенциала до второго порядка,давал различные результаты для статической (найденной дифференцированием энергии) и динамической (определенной из скорости звука) сжимаемостей [2,3]. Таким образом, в металлах, для которых является характерным наличие электронной жидкости, задача сравнения упругих констант в статическом и динамическом случаях приобретает нетривиальность.

Это обстоятельство, в первую очередь, связано с тем, что при определении статических модулей упругости изменение плотности электронной жадности дает непосредственный вклад в упругие модули (просто за счет изменения объема), в то же время динамическая задача рассматривается при постоянной плотности электронов. Поэтому в динамической ситуации,как бы формально,отсутствуют члены, связанные с производной по электронной плотности. С другой стороны, статическая и динамическая задачи определяются различными энергетическими вкладами. Речь идет о том, что статическая ситуация формируется как энергией однородной электронной жидкости, так и энергией ионной решетки с учетом взаимодействия с электронной подсистемой, а динамика решетки, в свою очередь, определяется только энергией, связанной с положением ионов.

По сути, основное противоречие в проблеме сжимаемостей (соотношения упругих констант) связано с характером межионного взаимодействия при наличии электронной жвдкости и снимается, если учесть косвенное многочастичное взаимодействие ионов через электроны проводимости в динамической задаче. Таким образом, проблема соотношения упругих модулей состоит в получении совпадающих результатов как при вычислениях методом однородной деформации, так и при использовании метода длинных волн. Для этого необходимо установить, что является "одинаковой степенью точности по псевдопотенциалу". При этом, как будет показано ниже, сохранению лишь второй степени по псевдопотенциалу в статической ситуации отвечает учет взаимодействия ионов более высокого порядка по псевдопотенциалу (учет многочастичных сил) в динамической задаче.

2. Эти и ряд других вопросов были поставлены и проанализированы в серии работ Кагана, Бровмана [4-Ю] и их соавтора Хо-ласа [II]. Авторами была построена теория простых металлов. Было показано, что в адиабатическом приближении, справедливость которого доказывается для непереходных металлов [4-7], энергия кристалла может быть записана в виде суммы энергии электронов в поле фиксированных ионов и энергии ионной решетки. В соответствии с результатами работ Кагана и Бровмана, энергия электронной системы может быть представлена в виде ряда по степеням псевдопотенциала или, другими словами, по степени многочастичности косвенного взаимодействия ионов через электроны проводимости. Учет многочастичности явился решающим фактором в решении задачи о распространении звука. Так,для корректного нахождения динамических модулей упругости второго порядка в приближении (здесь и далее будем обозначать = Щ/^* где \J О - фурье-компонента локального псевдопотенциала, £F - энергия Ферми, JC -вектор обратной решетки) понадобился учет трех- и четырехчас-тичного взаимодействия [8]. То есть степень многочастичности больше степени требуемой точности вычислений по параметру . Собственно говоря, это обстоятельство является общим для динамической ситуации. Оно связано с тем, что фактор при малых волновых векторах порядка единицы. Поэтому наличие в задаче волновых векторов, стремящихся к нулю, приводит к необходимости рассмотрения степени многочастичности большей, чем степень требуемой точности на величину равную количеству малых векторов. Так например, как уже говорилось, в задаче о модулях упругости второго порядка имеют место два малых волновых вектора, и поэтому для сохранения точности необходимо принять во внимание многочастичное взаимодействие до четвертого порядка включительно. Так как в соответствующих членах по крайней мере два сомножителя 1 при малых ^ .

Кроме того, в работах Кагана и Бровмана [б-8] получены соотношения для многополюсников, определяющих многочастичное взаимодействие, которые позволяют выразить в конечном результате вклад многочастичного взаимодействия через парный потенциал. Этот вклад в динамической задаче оказывается адекватен слагаемым в статических модулях упругости, связанным с изменением электронной плотности.

3. Естественным обобщением этой проблемы является задача о перенормировке модулей упругости второго порядка за счет фонон-фононного взаимодействия. Действительно, поскольку ни один кристалл не является строго гармоническим, то вопрос о соотношении модулей упругости при учете ангармонического взаимодействия представляет несомненный теоретический интерес. Но даже в плане экспериментальной точки зрения, так как выделение ангармонического взаимодействия затруднительно, желательно понимание вопроса о соотношении динамических модулей упругости, перенормированных ангармоническим взаимодействием со статическими, а также выяснение вопроса, что соответствует вкладу в статической ситуации ангармонической перенормировке в динамической задаче. По поводу последнего вопроса можно сделать следующее замечание. В динамическом случае выход за рамки гармонического приближения отвечает учету членов третьего и четвертого порядков в разложении потенциальной энергии кристалла по смещениям атомов из положения равновесия. В то же время при статическом рассмотрении в этом же приближении необходимо принять во внимание гармонические колебания. Поэтому возникает трудность сравнения вклада перепутанных мод взаимодействующих фононов в динамической задаче с членами, отвечающими независимым колебаниям в статической ситуации.

4. Другой проблемой, тесно примыкающей к задаче о модулях упругости второго порядка, является вопрос о соотношении модулей упругости третьего порядка. Для модулей упругости третьего порядка, помимо чисто статического случая, существуют еще два способа их определения в динамической ситуации. Один из них - это определение модулей как коэффициента перед третьей степенью малого волнового вектора в нелинейном уравнении движения атома кристалла, а другой, непосредственно связанный с экспериментальным изучением, определяет модули упругости третьего порядка из скорости звука в напряженном кристалле. В этом случае модули упругости третьего порядка находятся из разности скоростей звука, определенных при различных внешних напряжениях, приложенных к кристаллу.

Две эти перечисленные выше динамические задачи отличаются наличием разного количества малых волновых векторов. Поэтому, исходя из ранее сказанного, это приводит к необходимости учета многочастичного взаимодействия различных порядков. Так, если ограничиться вычислениями с точностью до , то при определении модулей упругости третьего порядка из скорости звука в напряженном кристалле нужно рассмотреть многочастичное взаимодействие до четвертого порядка. Это следует из того, что данный способ аналогичен решению задачи об определении динамических модулей упругости второго порядка, так как, по сути, необходимо найти изменение их в зависимости от внешнего напряжения. Однако, при использовании метода длинных волн, при котором модули упругости третьего порядка определяются из нелинейного уравнения движения атома, четырехчастичного приближения уже недостаточно, и учет многочастичного взаимодействия должен быть проведен до пятого порядка* поскольку в задаче существует три малых волновых вектора. Ввиду этого возникает необходимость вычисления многополюсников до пятого порядка включительно. При этом необходимо учесть влияние искажения ферми-поверхности за счет электронного взаимодействия, в отсутствии которого ферми-поверхность является сферой. Отметим, что в работах Бровмана и Кагана были получены выражения для многополюсников четвертого порядка при специфических значениях аргументов [7-9], и там же было подчеркнуто, что только для многополюсников до третьего порядка включительно не надо рассматривать влияние искажения ферми-поверхности.

5. К перечисленным выше задачам сравнения динамических и статических модулей упругости в слабо ангармонических металлах можно причислить еще одну проблему: о соотношении квадрата частоты предельного оптического фонона с учетом энгармонизма в динамическом и статическом случаях. Здесь под статической ситуацией имеется в виду задача об определении динамической матрицы оптических колебаний в предельном случае из потенциальной энергии, в которой сохранен следующий порядок по иУа - средне-квадратичное смещение, а - параметр решетки) по отношению к статической решетке. Эта задача имеет прямое отношение к модулям упругости, поскольку динамическая матрица предельного оптического фонона определяется так называемыми внутренними упругими константами.

Таким образом, перечислены задачи и вопросы, возникающие из обобщения проблемы соотношения динамических и статических модулей упругости второго порядка, которые составляют содержание данной диссертации.

6. Вычисление упругих свойств металлов проводится в большинстве работ методом однородной деформации [12-141. Решение динамической задачи представлено в литературе небольшим количеством работ, связанных, в основном, с перенормировкой фононного спектра и затуханием фононов за счет энгармонизма [I5-I6]. Например, в работе [15], тесно примыкающей к теме диссертации, рассматривается влияние ангармонического взаимодействия на фононный спектр металла, но только в приближении парного взаимодействия ионов.

В литературе проблеме соотношения динамических и статических упругих констант, по сути дела, посвящена одна работа [17]. В ней изучается вопрос о соотношении перенормировки статических и динамических модулей упругости второго порядка. При этом динамический подход основан на выделении конденсата фононов при волновом векторе f-0 и разложении свободной энергии в ряд по степеням тензора термических деформаций. Подобное вычисление динамических модулей менее наглядно с методической точки зрения, чем непосредственное определение их из квадрата скорости длинноволновых акустических колебаний. Кроме того, в этой статье не были рассмотрены многополюсники выше четвертого порядка. Поэтому непосредственное обобщение проблемы соотношения модулей на более высокие порядки, о чем говорилось в статье, в рамках метода этой работы затруднительно.

В свою очередь, относительно вычисления многополюсников можно сказать, что после пионерских работ Кагана-Бровмана только совсем недавно появилась работа [18] в теории примесных металлов, где были рассмотрены многополюсники до шестого порядка.

7. Вышесказанное относилось к проблеме соотношения упругих констант как таковой. Конечно, реальная практика изучения упругих свойств чрезвычайно велика, но уже касается конкретных металлов. Рассмотрим ряд вопросов, имеющих отношение к изучаемой проблеме на примере реальных металлов. Для конкретности ограничимся рассмотрением таких металлов, как щелочныAt и Р&.

Преязде всего,проблема соотношения упругих констант связана с наличием двух методик в практическом изучении упругих свойств. Как уже отмечалось, ведущим способом экспериментального исследования модулей упругости второго порядка является ультразвуковой метод [41-50]. Этим способом получаются динамические модули упругости, отвечающие методу длинных волн. В то же время, в расчетных работах основным является метод однородной деформации (помимо приведенных в предццущем пункте, можно указать, например, [51,52]). Понятно, что при сопоставлении результатов этих исследований возникает вопрос о соотношении динамических и статических упругих констант. В расчетных работах для получения явной температурной зависимости учитывается вклад колебательной части свободной энергии в упругие константы. Однако, анализ того, что соответствует этоцу вкладу в динамических модулях упругости, не проведен.

В экспериментальной практике известен еще метод статических испытаний, который позволяет определить статические модули упругости. В 30-40-ые годы этим способом Бриджмен изучил упругие свойства целого ряда металлов. Ссылки на эти эксперименты и их обсуждение можно найти в более поздних, подробных обзорных работах (например, {51, 53, 54]).

В настоящее время метод статических испытаний используется для снятия изотерм уравнения состояния твердых тел [54-57]. В этих экспериментах естественным образом получается такая важная упругая характеристика как сжимаемость (статическая).

Комбинация статического и динамического подходов для исследования упругих свойств металлов, то есть ультразвуковых исследований с методом статических испытаний, позволяет получить такие характеристики твердых тел, как модули упругости третьего порядка, зависимость модулей упругости второго порядка от давления. Последние величины часто используют для определения некоторых модулей упругости третьего порядка, поскольку именно ими определяется деформационная зависимость модулей упругости второго порядка.

Эксперименты подобного рода проведены, например, в следующих работах: щелочные металлы - [58-62], РЬ- [63], А1 -[64], М g -[65].

Расчетные работы, сопоставляемые этим экспериментальным [66,13,14,67] выполняются методом однородной деформации. Поэтому, как и для модулей упругости второго порядка, вопрос о соотношении упругих констант третьего порядка представляется в динамическом и статическом случаях важным для анализа результатов конкретных исследований.

На первых этапах изучения упругих свойств разность динамических упругих констант и статических в металлах была велика, что даже возникало мнение о наличии физических причин, приводящих к этоьфг различию. Однако, как показано в данной диссертационной работе (с учетом результатов работ Кагана-Бровмана [8,9]), динамические и статические модули упругости должны совпадать. И действительно, проделанные позднее эксперименты демонстрируют лучшее совпадение статических и динамических свойств.

Чтобы проиллюстрировать это составим таблицу из данных, приведенных в [54] для щелочных металлов.

В эту таблицу включим величины изотермических модулей все-второннего сжатия Вт и их производные по давлению В^ » которые эквивалентны модулям упругости третьего порядка.

Для удобства сравнения сгруппируем статические (ст.) и динамические (дин) упругие константы. Кроме вццеленного случая, данные приведены для комнатной температуры. металл BT(kbar) B>j ссылка, год и ст. III.9 118 3.33 3.33 [68], 1948 [54], 1971 дин. 117 116 [62], 1961 [42] , 1969

N& ст. 69.4 61.31 2.92 3.69 [68], 1948 [54], 1971 дин. 61.5 64 3.59 3.79 [58], I960 [43], 1969

К ст. 31.16 31.2 3.92 3.65 [68], 1948 [54] , 1971 дин. 30.87 3.98 [60] , I960

Rb ст. 31.1 26.0 3.12 3.37 [68], 1948 [54] , 1971 дин. 26.5 [47] , 1967 (Т = 170°К)

В диссертационной работе для исследования ангармонических свойств рассмотрен случай слабого энгармонизма. Разумность выбранной модели можно подтвердить рядом расчетных работ. Так например, в свое время Ваксом с сотрудниками была выполнена серия работ по рассмотрению ангармонических свойств щелочных металлов [52,69,70].

В этих исследованиях было показано, что ангармонический вклад достаточно мал вплоть до температур плавления. Как получено в работе [69], относительный сдвиг частот (с учетом ангарионического взаимодействия третьего и четвертого порядков) при температуре плавления в точках симметрии составляет примерно 10-15$. Это является демонстрацией малости вклада ангармонического взаимодействия при больших значениях волнового вклада.

Одним из выводов данной диссертационной работы является равенство ангармонической перенормировки динамических модулей упругости вкладу колебательной части свободной энергии в статические модули упругости.

Таким образом, по последней величине можно судить о проявлении энгармонизма в динамической задаче. В [52] вычислен вклад в модуль сжатия щелочных металлов за счет колебаний решетки при температуре плавления, который составляет примерно 20%, В качестве подобного примера можно привести вычисление величины слагаемого в модулях упругости от колебательной энергии для Л/а и К [51] при различных температурах. Из данных этой работы следует, что наибольшую величину имеют поправки к сдвиговым модулям при 3000К, которые составляют 5% для Л/а и 10% для JC от значения самих модулей. Из приведенных данных видно, что энгармонизм мал, но это не означает, что им вообще можно пренебречь. Экспериментальын значения упругих констант невозможно разделить на гармоническую и ангармоническую части. Кроме того, ангармоническое взаимодействие вносит существенный вклад в зависимость модулей упругости от температуры и давления, помимо вклада, связанного просто с соответствующими изменениями объема. Поэтому ангармоническим взаимодействием пренебрегать не следует, но можно полагать, что для его описания достаточно первых членов теории возмущения. В пользу этого утверждения можно привести вычисления [71,72^ с учетом ангармонического взаимодействия более высокого порядка. В этих работах рассчитывались фононные дисперсионные кривые для Л/а и К методом самосогласованных фононов, получившим свое развитие в последнее десятилетие.

Было получено, что перенормировка в теории самосогласованных фононов составляет тот же самый процент, что и в приближении слабого ангармонизма.

Другой стороной, которую можно проиллюстрировать, является вклад многочастичных сил в динамические модули упругости. В [73] были проделаны расчеты для упругих констант щелочных металлов, А1 , РЬ по формулам, полученным Каганом, Бровманом [8,9]. В частности, было показано, что разность между статической и динамической сжимаемоетями с учетом только парного взаимодействия составляет больше 10%. Это означает, что относительный вклад многочастичных сил в упругие константы больше 10%. Подобные результаты для /Va , К , А1 были получены в статье 174]. Как следует из работ [8,9] и анализа, проведенного в данной диссертации, учет многочастичного взаимодействия в динамической ситуации адекватен вкладу, связанному с изменением плотности электронной жидкости в статической задаче. Поэтому следует ожидать подобных оценочных значений (десятипроцентных) относительного вклада многочастичных сил в перенормировку модулей упругости второго порядка за счет ангармонического взаимодействия, а также в модули упругости третьего порядка.

8. Основные цели работы.

- Изучение в едином подходе ангармонических свойств простых металлов.

- Развитие теории динамических и статических упругих свойств металлов на основе псевдопотенциального подхода.

9. Диссертация состоит из введения, четьдэех глав, заключения и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этом разделе кратко сформулируем результаты диссертации:

1. Получены вьфажения для ангармонических коэффициентов третьего и четвертого порядков в металлах с учетом косвенного многочастичного взаимодействия ионов через электроны проводимости. При этом отдельно выделен случай длинноволновой ситуации, где влияние многочастичного взаимодействия носит принципиальный характер.

2. При изучении вопроса о вкладе гармонических фононов в статическую сжимаемость удалось найти соотношения на вектора поляризации и производные динамической матрицы по тензору дисторсии, которые позволили провести сравнение вклада независимых фо-нонных мод с вкладом взаимодействующих мод в ангармонической задаче.

3. Проведено сравнение модулей упругости второго порядка, полученных методами длинных волн и однородной деформации с точностью до членов U2/dz ( \/г?-средне-квадратичное смещение атомов, CL - параметр решетки). Это приближение соответствует перенормировке динамической матрицы в длинноволновом пределе за счет ангармонического взаимодействия третьго и четвертого порядков и учету энергии гармонических фононов в статические моду

Следует отметить, что решающее значение при этом имел учет многочастичных сил в длинноволновой задаче.

4. Проанализирована проблема соотношения статических модулей упругости третьего порядка с динамическими модулями, полученными методом длинных волн и из скорости звука в напряженном кристалле. В смысле необходимости учета многочастичных сил третья задача (о распространении длинноволновых колебаний в напряженли упругости. Вычисления проводились с точностью до ных кристаллах) адекватна задаче о динамических модулях упругости второго порядка. В обеих ситуациях потребовалось рассмотреть трех- и четырехчастичное взаимодействие для корректного вычисления квадрата частоты длинноволнового колебания с точностью до (Ч^с/в.^ Это обстоятельство связано с наличием одинакового количества малых волновых векторов, которые увеличивают степень необходимой многочастичности в динамических задачах из-за множителя Множители такого вида обязательно появляются в динамических задачах с малыми волновыми векторами в количестве равном числу малых волновых векторов, определяющих задачу. Так, в динамической ситуации, отвечающей модулям упругости третьего порядка в методе длинных волн, существование трех волновых векторов / сделало необходимым учет многочастичных сил вплоть до пятого порядка, чтобы сохранить точность вычислений до (Ут/е^.

5. Были проведены вычисления многополюсников электрон-ионного взаимодействия четвертого и пятого порядков с учетом влияния искажения ферми-поверхности. Получены производные первого и второго порядков от многополюсников трех- и четырехчастичного взаимодействия. Было показано,что эти величины при специфическом наборе аргументов (то есть нулевых значениях кроме двух) сводятся к виду, отвечающему эффективному двухчастичному взаимодействию.

6. Проведен анализ соотношения длинноволновых оптических колебаний для статической и динамической ситуаций. Динамическая ситуация отвечает перенормировке оптического фонона за счет ангармонического взаимодействия низших порядков, а именно третьего и четвертого. Статическая же задача состоит в нахождении динамической матрицы предельного оптического фонона из энергии кристалла с учетом членов порядка Для этого на кристалл "накладывалось" зависящее от времени поле деформации, отвечающее оптическому фонону и проводилось усреднение по матрице плотности, учитывающей взаимодействие фононов кристалла с вьщеленным оптическим колебанием. Было показано, что статическая перенормировка предельной динамической матрицы оптического фонона совпадает с динамической перенормировкой квадрата частоты оптического фонона с точностью до исключенной из сумм по модам фононов самой моды, отвечающей оптическому фонону.

Резюмируя проведенное изучение проблемы соотношения упругих модулей, подчеркнем еще раз, что упругие константы в динамической и статической ситуациях, вычисленные с одинаковой степенью точности по псевдопотенциалу (квадрат /^f ) и параметру , совпадают.

Поэтому в тех случаях, когда необходимо провести либо анализ экспериментальных данных, либо вычисление упругих констант в конкретных случаях, удобно рассматривать статические модули упругости, что является более простым делом, чем исследование модулей упругости в динамической задаче. Удобство связано с тем, что, как видно из диссертационной работы, метод функции Грина более громоздкий, нежели метод однородной деформации. При этом подобный подход может быть осуществлен без потери информации (в смысле понимания происхождения, роли различных вкладов в упругие характеристики), так как проделанные в диссертации исследования позволяют провести взаимнооднозначное соответствие для различных членов в статических и динамических модулях упругости.

В заключение автор считает своим долгом выразить благодарность и признательность члену-корреспонденту АН СССР Ю.М.Кагану за предложенную тему, творческие обсуждения, постоянное внимание и интерес к работе. Автор также признателен профессору Л.А.Максимову за стимулирование работы, многочисленные полезные обсуждения, за внимательность и доброжелательность к диссертанту; а также сотрудникам лаборатории Ю.М.Кагана за создание творческой, дружеской обстановки.

1. Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М., "ИЛ", 1958, с.488.

2. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. М., "Мир", 1968, с.366.

3. Wallace D.C. Pseudopotential Calculation of the Elastic Constants of Simple Metals.Phys.Rev., 182, 1969, p.778-782.

4. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. 0 фононном спектре металлов. ЖЭТФ, 52, 1967, с.557-574.

5. Каган Ю.М., Бровман Е.Г. Роль электронов в формировании фонон-ного спектра металлов. Neutron Inelastic Scattering (Prog.Symp. Copenhagen), IAEA, Vienna, v.1, 1968, p.3-33.

6. Brovman E.G., Kagan Yu. Phonons in Non-transition Metals. "Lattice Dynamics", v.1, ей. G.K.Horton and A.A.Maradudin,

7. North-Holland Publ. Co., 1974, p.527-638.

8. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. Фононы в непереходных металлах. УФН, 112, 1974, с.369-426.

9. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. Длинноволновые фононы в металле. ЖЭТФ, 57, 1969, с.1329-1341.

10. Бровман Е.Г., Каган Ю.М., Холас А. Проблема сжимаемости и нарушения соотношений Коши в металлах. ЖЭТФ, 57, 1967, с.1635-1645.

11. Бровман Е.Г. Микроскопическая теория фононного спектра металлов. Автореферат докторской диссертации, М., ИАЭ им.И.В.Курчатова, 1973, с.27.

12. Холас А. Некоторые вопросы теории динамических и статических свойств металлов. Автореферат кандидатской диссертации, М., МИФИ, 1970, с.22.

13. Goldwell-Horsfall R.A. Relation between Elastic Constants and Second and Third-Order Force Constants for Pace-Centered Cubic and Body-Centered Cubic Lattices. Phys. Rev., 129, 1963, p.22-27

14. Suzuki Т., Granato A.V., Thomas J.P. (Jr). Second- and Third-Order Elastic Constants of Alkali Metals. Phys.Rev., 175, 1968, p. 766-781.14» Suzuki T. Second- and Third- Order Elastic Constants of Aluminiu. and Lead. Phys.Rev., 1971, p.4007-4013.

15. Sandstrom R., Hogberg T. Anharmonic Widths and Shifts in Simple Metals. Application to Aluminium. J.Phys.Chem. of Solids, 21» 1970, p.1595-1611.

16. Koehler T.R., Gillis N.S., Wallace D.C. Anharmonic Interaction In Aluminium. I. Phys.Rev., B1, 1970, p.4521-4528.

17. Барьяхтар В.Г., Зароченцев Е.В., Сафронов В.Г. О равенстве статических и динамических модулей упругости при конечных температурах. Ш, 46, 1978, с.685-698.

18. Zhernov А.Р., Mamedov Т,А. Theory of Static Atomic Displacements in Ordinary Metals with Isoelectronic Impurity Atoms. Phys.Stat. Sol.(b), 102, 1981, p.477-488.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., "Наука",1965,с.20

20. Thurston R.N., Brugger К. Third-Order Elastic Constants and Velocity of Small Amplitude Elastic Waves in Homogeneously Stressed Media. Phys.Rev., 133, 1964, p.1604-1610.

21. Maruyama Т., Hiki Y. Acoustic Harmonic Generation in Stressed Crystals. J.Phys.Soc. of Jap., 25.» 1973, p.1142-1148.

22. Терстон P. Распространение волн в жидкостях и твердых телах. "Физическая акустика", под ред. У.Мезона, т.1, ч.А, М. "Мир", 1966, с.15-203.

23. Wallace D.C. Thermodynamics of Crystals. Hew-York, Wiley-Interscience, 1972, p.484.

24. Чесалов M.M. Проблема сжимаемости в металлах при наличии ангармонического взаимодействия. $ММ, 44, 1977, с.903-913.

25. Чесалов М.М. Статические и динамические изотермические модули упругости. Ш, 48, 1979, с.691-698.

26. Чесалов М.М. Модули упругости третьего порядка простых металлов ШМ, 50, 1980, с.945-956.

27. Зырянов П.С., Клингер М.И. Квантовая теория явлений электронного переноса в кристаллических полупроводниках.М./'Наука",1976,с.480.

28. Maradudin A.A., Fein А.Е. Scattering of Neutrons by an Anharmoni< Crystal. Phys.Rev., 128, 1962, p.2589-2608.

29. Марадудин А.А. Дефекты и колебательный спектр кристаллов. М., "Мир", 1968, с.432.

30. Klein R., Wehner Н.К. Linear Response and Transport Equations in Interacting Phonon Systems. Phys.Kondens.Materie, 8, 1968, p.141-1666.

31. Klein R., Wehner R.K. Derivation of Transport Equations for

32. Алharmonic Lattices. Phys.Kondens.Materie., JO, 1969, p.1-20.

33. Wehner R.K., Klein R. Adiabatic and Isothermal Elastic Constants from Space- and Time-Dependent Response Theory. Physica, 52« 1971, p.92-108.

34. Sham L.J. Equilibrium Approach to Second Sound in Solids. Phys. Rev., 156, 1968, p.494-500.

35. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М.Л., "Физматгиз", 1963, с.312.

36. Маделунг 0. Теория твердого тела. М., "Мир", 1980, с.416.

37. Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. М., "И.Л.", 1963, с.231.

38. Марадудин А.А., Монтролл Э., Вейсс Дне. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М., "Мир", 1965, с.383.

39. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М., "Наука", 1971, с.416.

40. Чесалов М.М. К теории простых металлов. О роли непарных взаимодействий в пределе длинных волн. Препринт ИАЭ-4032, 1984, с.14.

41. Чесалов М.М. О равенстве оптических упругих констант в динамическом и статическом случаях при наличии слабого ангармониз-ма. Препринт ИАЭ-4031, 1984, с.II.

42. Hash Н.С., Smith C.S. Single Crystal Elastic Constants of Lithium. J.Phys.Chem.Sol., % 1959, p.113-118.

43. Slotwinski Т., Trivisonno J, Temperature Dependence of the Elastic Constants of Single Crystal Lithium, J.Phys.Chem.Sol., 30, 1969, p.1276-1278.

44. Martinson R.H. Variation of the Elastic Constants of Sodium with Temperature and Pressure. Phys.Rev., 178, 1969,p.902-913.

45. Diederich M.E., Trivisonno J. Temperature Dependence of the Elastic Constants of Sodium. J.Phys.Chem.Sol., 27, 1966,p.637-642.

46. Marquardt W.R., Trivisonno J. Low Temperature Elastic Constants of Potassium. J.Phys.Chem.Sol., 26, 1965, p.273-278.

47. Meister R., Roberts C.A. The Elastic Constants of Rubidium. J.Phys.Chem.Sol., 27, 1966, p.1401-1407.

48. Gutman E.J., Trivisonno J. Temperature Dependence of the Elastic Constants of Rubidium. J.Phys.Chem.Sol., 28, 1967, p.805-809.

49. Kollarits P.J., Trivisonno J. Single-Crystal Elastic Constants of Cesium. J.Phys.Chem.Sol., 29, 1968, p.2133-2139.

50. Kamm G.H., Alers G.A. Low-Temperature Elastic Moduli of Aluminium. J.Appl.Phys., 21» 1964, p.327-330.

51. Waldorf D.L., Alers G.A. Low-Temperature Elastic Moduli of Lead. J.Appl.Phys., 33, 1962, p.3266-3269.

52. Srinivasan R., Girirajan K.S. The Equation of State and the Temperature Variation of the Second Order Elastic Constants of Sodium and Potassium. J.Phys.P: Metal Phys., 4, 1974, p.951-959.

53. Vaks V.G., Zarochentsev E.V., Kravchuk S.P., Safronov V.P. Temperature Dependence of the Elastic Constants in Alkali Metals. J.Phys.P: Metal Phys., 8, 1978, p.725-742.

54. Ho P.S., Ruoff A.L. Analysis of Ultrasonic Data and Experimental Equation of State for Sodium. J.Phys.Chem.Sol., 29» 1968, p.2101-2111.

55. Vaidya S.I., Getting I.C., Kennedy G.C. The Compression of the Alkali Metals to 45 kbar. J.Phys.Chem.Sol., 32, 1971, p.2545-2556.

56. Beecroft R.I., Swenson C.A. An Experimental Equation of State for Sodium. J.Phys.Chem.Sol., 18, 1961, p.329-344.

57. Monfort C.E., Swenson C.A. An Experimental Equation of State foe Potassium Metal. J.Phys.Chem.Sol., 26, 1965, p.291-301.

58. Schouten D.R., Swenson C.A. Linear-Thermal-Expansion Measurements on Potassium Metal from 2 to 320°k. Phys.Rev., BIO, 1974, p.2175-2185.

59. Daniels W.B. Pressure Variation of Elastic Constants of Sodium. Phys. Rev., 119, 1960, p.1246-1252.

60. Dunn К.J,, Ruoff A.L. First and Second Pressure Derivations of Bulk Modulas of Sodium. Phys.Rev., BIO, 1974, p.2271-2274.

61. Smith P.A., Smith C.S. Pressure Derivatives of the Elastic Constants of Potassium. J.Phys.Chem.Sol., 26, 1965, p.279-289.

62. Day J.P., Ruoff A.L. The Variation of the Elastic Constants of Lithium with Temperature and Pressure. Phys.Stat.Sol.(a), 25, 1974, p.205-213.

63. Jain A.L. Pressure Dependence of the Elastic Shear Constants of Li. Phys.Rev., 122, 1961, p.1234-1238.

64. Miller R.A., Schuele D.E. The Pressure Derivatives of the Elastic Constants of Lead. J.Phys.Chem.Sol., 30, 1969,p.589-600.

65. Ho P.S., Ruoff A.L. Pressure Dependence of Elastic Constants for Aluminium from 77° to 300°K. J.Appl.Phys., 40, 1969,p.3151-3156.

66. Haimon E.R. Third-Order Elastic Constants of Magnezium. I. Experimental. Phys.Rev., 1971, p.4291-4296.

67. Зароченцев E.B., Сафронов В.П., Трефилов А.В. Модули упругоститретьего порядка щелочных металлов. ФНТ, 3, 1977, с.209-216.

68. Haimon E.R., Suzuki Т., Granato A.V. Third-Order Elastic Constants of Magnesium. II. Theoretical. Phys.Rev., B4, 1971, p.4297-4305.

69. Bridgman P.W. The Compression of 39 Substances to 100000 kg/sm! By P.W.Bridgman-Rough Compressions of 177 Substances to40000 kg/sm2. Proc.Am.Acad.Arts Sci., 76, 1948, p.55-87.

70. Phys•Rev., 1972, p.1206-1213. 72. Duesbery M.S., Taylor R., Glyde H.R. Anharmonic Lattice

71. Dynamics in K. Phys.Rev., B8, 1973» p.1372-1378. 73* Toshinobu Soma. Static and Dynamical Elastic Constants of

72. Simple Metals. J.Phys.Soc.Jap., ^6, 1974, p.1292-1300. 74« Pynn R. Bulk Moduli of Simple Metals Calculated from Method of Homogeneous Deformations and Method of Long Waves. Phys.Rev., 1972, p.4826-4836.