Исследование структурных, динамических и термодинамических свойств сингулярных граней ангармонических кристаллов с ОЦК решеткой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ЛУМУМБЫ

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ, ДИНАМИЧЕСКИХ Л ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИНГУЛЯРНЫХ ГРАНЕЙ АНГАРМОНИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ С ОЦК РЕШЕТКОЙ

(01.04.02 — теоретическая физика)

На правах рукописи

МАМОНТОВ Игорь Вячеславович

УДК 536.75:548.3.534.01

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Л

Москва—1991

Работа выполнена на кафедре теоретической физик Университета дружбы народов им. П. Лумумбы.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессо В. И. Зубов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессо А. И. Темроков,

кандидат физико-математических наук В. И. Юкалов.

Ведущая организация — Институт теплофизики Ур АН СССР.

Защита диссертации состоится »ИК>И^ 1991 г в4?"""час. на заседании специализированного совет; К 053.22.01 в Университете дружбы народов имени Пат риса Лумумбы по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе Д. 3, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной биб лиотеке Университета дружбы народов по адресу 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук доцент

Ю. И. ЗАПАРОВАННЫЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная теория поверхностных явлений постоянно развивается и привлекает интерес все новых исследователей. В последние четверть века особенно возросло внимание к поверхностям твердых тел. Это связано с появлением новых экспериментальных методов и с применением в технике и технологии новых материалов и высокой удельной долей "поверхностных" атомов. К числу таких материалов относятся, например, тонкие пленки и ультрадисперсные среды.

Несмотря на бурное развитие различных теоретических методов, поверхности кристаллов с ОЦК решеткой (а это в подавляющем большинстве металлы), долгое время оставались слабо изученными, что является следствием целого ряда причин. Это и трудности, присущие теории любой гетерогенной системы, и специфика твердых поверхностей, существенно отличающихся от поверхности раздела флюидных фаз, и проблема устойчивости "рыхлой" ОЦК решетки, и особенности металлической связи. Вблизи поверхности увеличивается амплитуда колебания атомов, усиливается их ассиметрия и ангармонизм. Учет этих эффектов является весьма сложной задачей.

В настоящее время, несмотря на значительные успехи в изучении поверхностных явлений и.вклад таких исследователей, как Иаттлворт, Семенчвнко, Русанов, Задумкин, Пересада, Темроков, ХЬконов, Щербаков, Аллен и др., отсутствуют теоретические работы, с единых позиций рассматривающие структурные, динамические и термодинамические свойства поверхностей ангармонических.кристаллов с ОЦК решеткой.

Цель работа

1. Дальнейшая разработка метода КВЗП для объемных и поверхностных свойств ангармонических кристаллов.

2. Исследование структурных, динамических и термодинами- ■ <еских свойств сингулярных поверхностей ОЦК кристалла.

3. Изучение влияния неближайших соседей на вышеперечисленные свойства.

4. Численные оценки полученных результатов для различных видов потенциалов.

Д-

Научная новизна. В диссертации обобщены выражения для динамических и термодинамических -свойств сильно- и слабоангармонических идеальных кристаллов произвольной размерности с В'?о-косимметричными решетками. Получены удобные рабочие формулы для вычисления непосредственно через координаты атомов етатйческой' части поверхностного натяжения и квантовой поправки к его динамической части, а также выражения для расчетов плотности поверхностной свободной энергии, определенной через четные моменты и перенормированные силовые коэффициенты. Найдено уравнение, позволяющее вычислять квадратичные по температуре слагаемые релаксации решетки для грани, обладающей осью симметрии третьего порядка. Обобщена на случай анизотропии по X ж У процедура термодинамического согласования результатов, полученных в нулевом приближении.-

Впервые с единых позиций в рамках КНСП исследованы струк-' турные,. динамичес.ле и термодинамические свойства сшгулярных поверхностей ОЦК крис алла. Рассмотрено влияние взаимодействия неближайиих соседей на эти свойства. Установлена возможность осцилляторного характера статической релаксации решетки вблизи сингулярной поверхности в случае межатомного потенциала Лен-нард-Дгшнеа. Для численных оценок поверхностных свойств натрия применен осциллирующий потенциал Шиффа.

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации уравнения позволяют вычислять динамические и термодинамические свойства идеальных сильноангармонических кристаллов произвольной размерности с высокосимметричными решетками.. Найденные соискателем формулы уточняют и дополняют применение метода КНСП в случае плоских поверхностей слабоангармонических кристаллов с различными типами решеток. Результаты диссертации применимы к любым попарно-аддитивным межатомным потенциалам, в том числе и к осциллирующим.

Рассмотренные модели•полубесконечного кристалла с плоской поверхностью могут служить системами сравнения для заг ч с адсорбцией или реконструкцией поверхности. Применение реалистичного потенциала межатомного взаимодействия (потенциала Шиффа для натрия) позволяет рассчитать свойства сингулярных граней в ^"зических единицах измерения и оценить вклад различных эффек-

тов в эти свойства

Результаты диссертации могут быть использованы для исследования ультрадисперсных систем, а также для дальнейшего развития единой теории структурных, динамических и термодинамических свойств кристаллов и их поверхностей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены и. обсуждены на:

- III Всесоюзной конференции "Моделирование роста кристаллов". (Рига, 1990 г.);

-VIII Всесоюзном симпозиуме по межмолекулярному взаимодействию и конформации молекул. (Новосибирск, 1990 г.);

- XXVI научной конференции факультета физико-математических' и естественных наук УДН. (Москва, 1989 г.);

- II конференции НУЦ УДН по физико-химическим методам исследования. (Москва, 1989 г.);

- Региональном семинаре по физике конденсированных состояний. (Нальчик, 1990 г.);

- Научных семинарах кафедры теоретической физики УДН. (Мэсква, 1988 - 1990 ГГ.)

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, эпубликованы в восьми научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, одиннадцати приложений. Работа изложена та 4страницах машинописного текста, включая -99 рисунков, 6 таблиц и список литературы - Y6D наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ' слагаются цели, основные задачи и план работы, формулируются голожения, выносимые на защиту.

В первой главе формулируются подход, основные понятия и ■ уравнения термодинамики межфазной поверхности "кристалл - пар". Цается краткий обзор экспериментальных методов исследования структурных и термодинамических поверхностных характеристик, а также возникающих при этом затруднений. На основе анализа теоретических работ по физике кристаллических поверхностей обосно-

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I вывается выбор метода исследования. ]

I во второй главе кратко излагаются основы метода КНСП и ре-1 бультаты его применения к изучению идеальных сильноангармонических кристаллов с высокосимметричными решетками произвольной размерности. Делается предельный переход полученных выражений к случаю слабого энгармонизма в отсутствии внешнего давления. При этом используется квадратичное по температуре приближение со взаимодействием ближайших соседей. Приведены выражения для динамических и термодинамических свойств кристаллов с учетом поправок теории возмущений и первых квантовых поправок в квазиклассической области.. Полученные результаты конкретизируются для ОВД кристалла, дается их численная оценка для потенциала Мэрзе.

Рассматривается полубесконечный ангармонический кристалл с плоской поверхностью,'находящийся в термодинамическом равновесии со своим парса. Ось Ъ выбирается сонаправленной с внешней нормалью. Приводятся выражения для силовых и перенормированных силовых коэффициентов, через которые затем определяются все остальные характеристики поверхности. Даются схемы вычисления моментов одночастичных плотностей вероятности, а также термодинамических функций поверхности и процедуры их согласования.

Плотность поверхностной свободной энергии может быть записана в виде суммц избыточных (по отношению к идеальному кристаллу) величин.

' ■б-.г.^ог.-чУ,

1»0 (1)

где Ьх - площадь, приходящаяся на один атом 1-го сдоя. Для I было получено выражение

1яв„ •• О ™а96 | V г> ^Т1

(2)

к

Здесь 8»кьТ- термодинамическая температура, ГД^т -перенормированные силовые коэффициенты, ^ - моменты одно-частичных плотностей вероятности, ш - масса атома, Л - постоянная Планка. Интересно отметить, что влияние энгармонизма нечет-

|ных порядков, несомненно присутствующее в (2), "спрятано" вну- ~~I три величин и

Статическое поверхностное напряжение у , необходимое для согласования результатов в нулевом приближении может быть найдено непосредственно через координаты и^, "пустых узлов" в (-3) слое:

е»о

(3)

где <<. - х,у; ьЧ-^иг - число разорванных связей при образовании поверхности, площадью , г„ - точха минимума межатомного потенциала 9 , 5 ■ Ф'(г.) , е - тензор поверхнос й деформации. .

Аналогичным образом можно определит' и первую квантовую поправку к поверхностному напряжению:

+-1 Г »^ИМГ оо

(4)

где д=ф"Чп. „

В третьей главе метод КНСП применяется к исследованию граней {001> и Ш0> ОЦК кристалла в приближении слабого энгармонизма. Подученные моменты первого порядка характеризуют релаксацию решетки, второго - амплитуды колебаний атомов, третьего -их асимметрию. Лннейное по температуре приближение дает изменение первого межплоскостного расстояния с^, квадратичное - первого и второго С с! 4 и с12). В случае потенциала Морзе <1 растет с температурой для поверхности <001> в 2.5 - а 20 раза, а для <110} - в 1.61 - 1.82 раза быстрее, чем в глубине. Для й2 подобное увеличение не превышает 2Х для грани <110) и 51 для {001}. .

В линейном по температуре приблияэнин для изучаемых граней увеличиваются амплитуды колебаний поверхностных атомов, в квадратичном - атомов поверхностного (нулевого) и подповерхностного (первого) слоев. Потенциал Мэрзе для грани {001} дает увеличение амплитуд ангармонических колебаний атомов нулевого слоя во . всех направлениях в 1.41 - 1.69 раза, по сравнению с атоыаш в

О- 2-369

J глубине кристалла. В первом слое возрастание амплитуд составля-| ет около ZX и полностью обусловлено ангармонизмоы.

Грань <110} характеризуется анизотропией свойств по X t< Y. В результате для потенциала Морзе получено увеличение амплитуд колебаний атомов поверхностного слоя вдоль нормали в 1.41 -- 1.65 раза, а вдоль оси X, являющейся кристаллографической - в 1.15 - 1.21 раза по сравнению с атомами более глубоких слоев. Отличие амплитуд колебаний атомов следующего слоя по всем направлениям и атомов поверхностного слоя вдоль оси Y от амплитуд в идеальном кристалле находится в пределах примерно процента, причем последняя величина меньше, чем в глубине.

Для граней <110> и {001} существует асимметрия колебаний атомов поверхностного слоя вдоль нормали, определяемая центральными моментами третьего порядка.

Термодинамические характеристики граней получены с помощью схем вычисления I. Согласования, изложенных во второй главе. Плотность поверхности' свободной энергии грани <001} с учетом поправки теории возмущэний и первой квантовой поправки принимает вид:

Дифференцирование (5) дает все остальные термодинамические свойства поверхности {001}, такие, как плотность поверхностной энергии 1^^(001), поверхностная энтропия (001). теплоемкость в равновесии со своим паром 0^(001) и напряжение ^ (001). Для последних двух величин получено:

в^«*^ <б)

L

- - -------- (7)

Численные оценки характеристик (5) и (7) для потенциала ,

Рис.1. Плотность поверхностной свободной энергии и поверхностное натяжение в приближении взаимодействия ближайших соседей без квантовых поправок: 1 - б (001), 2 - 6 (lit), 3 - 6 (110), 4 - tf (001), 5 - Ц (110), 6 - у (111).

Морзе выявляют их значительное различие и по величине, и по температурной зависимости (см. рис. 1). Поправки теории возмущений в линейном по Q приближении уточняют бв(001) на 13.5%, в квадратичном - на 1.6%; вклад в величину С4аг(001) составляет 2.5Z.

Ангармоническими эффектами в используемом приближении полностью определяются релаксация решетки, квадратичные по температуре слагаемые среднеквадратичных смещений и плотностей по- . верхностной свободной энергии, температурная зависимость поверхностного натяжения, линейное возрастание С Su.r при высоких температурах. . А

Согласованные термодинамические функции 6 и у грани Ш0> запишутся в виде:

¿à.

у...= Г1к$Л» _ (9)

Штевциал Морзе дает отрицательное значение ^ (110), таким образом 6 и # (рис. 1) з данном случае различаются и величиной, и знаком. Поправка теории возмущений в линейном по 0 при-, ближении уточняет 6й (110) ка 14.7Х, в квадратичном - на 16.6Х. Дифференцирование (8) дает все остальные термодинамические характеристики поверхности ШОК

Полученные результаты для квантовых поправок показывают, что квантовые колебания вблизи поверхности более ангармовичны, чем в объеме. Потенциал Леннард-Джонса дает для величин, определяемых ангармоническими эффектами, несколько большие значения, чем потенциал Шрзе, поскольку первый более аягармоничен. Остальные характеристики для двух потенциалов совпадают.

Б четвертой главе изучаются свойства грани Ш1>. Геометрия этой грани характеризуется наличием оси симметрии третьего порядка и взаимодействием между ближайшими соседями "через два слоя". Пзрвая особенность приводит к появлению дополнительных силовых коэффициентов, нечетных по У, вторая обуславливает возникновение осщштрушей релаксации, постепенно убывающей вглубь кристалла.

В параграфе 4.2 вводится вспомогательная задача - изучение поверхности <И2У кристалла с гексагональной плоской решеткой. Эта грань обладает взаимодействием "черев слой" и служит упрощзнной моделью, позволяющей проследить влияние этой особенности на все поверхностные свойства кристалла Для указанной поверхности вычислены релаксация решетки в линейном по темпера-

1а!

туре приближении, среднеквадратичные смещения, моменты третьего и четвертого порядков, а также плотность поверхностной свободной энергии и поверхностное натяжение с поправками теории возмущений.

Численные расчеты на ЭВМ позволяют найти релаксацию ОЦК решетки вблизи грани Ш1> в линейном по 6 приб-тажении и оценить квадратичные по б составляющие этой величины для потенциала Морзе. Зависимость межплоскостных расстояний с1 г от номера слоя имеет характер, не просто затухающих, но и некоторым образом "модулированных*" осцилляций. Отношение Ас11= с(,(б)~ с!,(о) к соответствующему значению в глубине кристалла Ас! достигает максимума для 1-1,4,7,10,... (через два слоя на третий). Для первого межплоскостного расстояния в случае потенциала Морзе получено 3. 53< Дс|</Дси 4.75.

Отличие амплитуд ангармонических колебаний атомов от по--добных величин в идеальном ОЦК кристалле стремихся к нулю асимптотически и при 1йб обусловлено только'релаксацией решетки. Потенциал Морзе дает увеличение амплитуд колебаний атомов по отношению к "идеальным" для поверхностного слоя в 1.41 - 1.65 раза, для двух последующих и третьего слоя вдоль ьормали в 1.25 - 1.35 и 1 - 1.04 раза соответственно.

Для плотности поверхностной свободной энергии грани Ш1> с учетом поправок получено следующее выражение:

-181) Эр ё - гДр (е + е^ + § е** е9„ +1 е«)-

I ОХ

Являясь термодинаглическим потенциалом, формула (10) позволяет найти все остальные термодинамические свойства грани в данном приближении. В частности, уравнение Шаттлворта дает поверхностное напряжение

= - ; x,y. (11)

Оценки (10) и (11) с помощью потенциала Морзе (рис.1) выявляют существенное различие этих величин. Как и для грани <110), поверхностное натяжение грани <111> ^¿^Ptf оказывается отрицательным. Теория возмущений уточняет б"0 (111) в линейном и квадратичном по 9 приближении на 15 и 22,7. соответственно.

В конце главы проведен сравнительный анализ результатов, полученных для приближения взаимодействия ближайших соседей.

В пятой главе изучалось влияние неближайших соседей на исследуемые свойства сингулярных граней ОЦК кристалла. Учитывалось взаимодействие с четырьмя, а для релаксации поверхности {001} и статического сжатия - с десятью координационными сферами. Для упрощения вычислений выделены малые параметры Аа«л/г., , 9(°(^Г.)/9<0ГгЛ. где ЛQа - статическое сжатие решетки эа счет неближайших соседей, = Ф'ОьП.), - безраз-: ^рный радиус k-й сферы, 1>2• Разложение в ряд по перечисленным параметрам не приводит к серьезным ошибкам. Рассчитаны вклады взаимодействия неближайших соседей в величину теплового расширения л а (В). Описана процедура пересчета параметров потенциала межатомного взаимодействия.

Для . ех трех сингулярных граней в первом порядке малости найдены релаксации решетки. Ограничиваясь конечным числом вза-k ..ействующих координационных сфер для поверхностей <001> и ШО> получаем конечное число релаксирующих атомных слоев. Статическая релаксация вблизи грани ИШ с ростом I немонотонно убывает, меняя знак. Проведенные для потенциалов Леннард-Джонса и Шиффа численные оценки дают увеличение первого межплоскостного расстояниг вблиэи {001> и Ш1>. Для поверхности Ш0> первый потенциал дает увеличение, а второй - уменьшение d4 . Установлено, что осциллирующий характер статической релаксации реше-(пи вблизи поверхности {'HI) имеет место не только в случае осциллирующих потенциалов типа Шиффа, но и в случае случае по-I тенциала Леннард-Джонса с монотонно убывающим на больших рас-

ь_ *

зтояниях притяжением. Для последнего такой эффект обнаружен | зпервые: для всех остальных поверхностей кристаллов с разными жпами решетки, изученных ранее различными авторам, потенциалы рила Ленкард-Джонса дают монотонно убывающую статическую релак-гацию.

С точностью рассчитано влияние неблилайших соседей

¡а амплитуды колебаний атомов. Потенциал Шиффа дает для "глубинных" атомов увеличение амплитуд колебаний на 1.3%, вблизи юверхности может наблюдаться как увеличение, так и уменьшение таганных величин.

1 Y.*

erg/cw*

200!

iffO

400

200

300

Т. К

Рис.2. Плотность поверхностной свободной энергии и поверх-остнсе натяжение, полученное для потенциала Шиффа с учетом заимодействия неближайших соседей: 1 - $ (001), 2-6 (111), - б (001), 4 - 6 (110), 5 - tf (110), 6 - }( (111).

Jul

С учетом взаимодейстзия четырех координационных сфер, ограничиваясь точностью (аОц.)*, ДОлб , найдем вклад не-ближайжх соседей в величины б° и К.tur • С помощью полу- . ченные выражения приводятся к согласованному виду. В случае потенциала Шиффа эти величины уточняют статические и линейные по б составляющие б°: для {001} - на 18.7Х и 12.4Х, для <110} - на 45 и ЮХ, для <111} - нз 48.6 и 92. Суммирование 6 и вклада неближайших соседей л б" дает полную величину плотности ¡¡оверхностной свободной энергии с правильной зависимостью от температуры и экс-, нсивных внешних параметров. Численные оценки d и Jf для потенциалов Шиффа (рис.2) дают неравенства

б(ооО>0Жо), и(ш)Ы*(ооОЫкЖо)|. (13

Таким образом, в процессе роста кристалла натрия (как ука вывалось, именно для него получен потенциал Шиффа) с большей вероятностью будет образовываться грань <110}, как наиболее энергетически выгодная.

В зак ючении даны основные результаты диссертационной работы.

В приложения выносены некоторые промежуточные формулы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены выражения для динамических и термодинамически с .йств сильно- и слабоангармонических идеальных кристаллов с высокосимметричными решетками произвольной размерности.

2. Выведены удобные рабочие формулы для вычислений в рамках KHCIL-

а) плотности поверхностной свободной энергии в нулевом приближении, Ёыражэнной через четные моменты и перенормированные силовые коэффициенты;

б) статической составляющей поверхностного натяжения; ) квантовой поправки к го динамической части.

а Вычислены релаксация решетки, среднеквадратичные смещс г*я и моменты одночастичных плотностей вероятности третьего и

- . ' Л

четвертого порядка для поверхностей {001}, Ш0>. <111> ОЦК кристаллов со взаимодействием ближайших соседей.

Характерными особенностями грани U10> является анизотропия по X и У. Грань {111} обладает осью симметрии 3-го порядка и расположением ближайших соседей атома в соседних слоях (по гри) и через два слоя (по одному). Это приводит к модулирование- осциллирующей релаксации, постепенно убывающей по абсолютной величине с ростом номера слоя. Для потенциала Морзе первое межплоскостное расстояние увеличивается с ростом температуры для грани Ш0> - в 1.62 - 1.82 раза, для {001} - в 2.5 - 3.20 раза, для {111} - в 3.53 - 4.75 раза быстрее, чем в глубине. Получено увеличение амплитуд колебаний поверхностных атомов в нормальном направлении в 1.4 - 1.7 раза по сравнению с амплитудами в идеальном кристалле.

4. В этом же приближении найдены термодинамические характеристики сингулярных граней кристаллов с ОЦК решеткой. Плотности поверхностной свободной энергии и поверхностного натяжения отличаются по величине, по характеру температурной зависимости,' а для граней {111}, {110} и по знаку. Получены выражения для плотности поверхностной энергии, поверхностной энтропии и поверхностной теплоемкости. Последняя величина в неквантовой области линейно растет с температурой. •

5. Исследовано влияние взаимодействия неближайших соседей на структурные и динамические свойства изучаемых поверхностей. При ограничении конечным числом взаимодействующих координационных сфер вблизи граней {001} и {110} в статике релаксирует конечное число слоев. Статическая релаксация вблизи грани {111} с ростом номера слоя немонотонно убывает, меняя знак. Потенциалы Леннард-Джонса и Шиффа дают увеличение первого межплоскостного расстояния вблизи {001} и {111}. Для "рани {110} первый потенциал дает увеличение, а второй - ум чьшение указанной величины. Осциллирующая релаксация решетки вблизи грани {111} с использованием потенциалов типа Леннард-Джонса обнаружена впервые.

6. Учтено влияние взаимодействия неближайших соседей на термодинамические характеристики сингулярных поверхностей ОЦК кристалла В результате изменяется статическая и линейная по температуре части плотности поверхностной свободной энергии, а г

-JD

} также появляется статическое поверхностное натяжение. Пэтенциа Шиффа дает возрастание плотностей поверхностной свободной энер гии в ряду -Í 110>. {001}, {111}, что соответствует соотношению ретикулярных плотностей граней. Численные оценки согласуются с 'зультатом простой электронной теории.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Зубов Е И., Мамонтов IL В., Третьяков Е Е О свойствах пс верхностей {001} ангармонических кристаллов с ОЦК решеткой // Проблемы квантовой и статис веской физики. - Ы.: УДН, 1989. -С. 117-125.

2. Зусмв В. И. , Мамонтов И. В., Третьяков Е Е Исследование поверхности {011} ОЦК кристалла // Тез. докл. II конф. НУЦ физ. -хим. методов исследования. 21-24 февр. 1989. - Мэсква.: УДН. 1989.- С. 31.

3. Зубов Е И.. Мамонтов И. Е , Третьяков Е Е Исследование поверхностей {011} ОЦК кристалла несимметризованным методом самосогласованного поля // Статистическая физика и теория поля. - М.: УДН. 1990.- С. 3-8.

< 4. Зубов ЕИ., Баньеретсе Ф., Мамонтов И. Е О структурных, динамических и термодинамических свойствах граней поверхностей {11} двумерной модели плотноупакованного кристалла // КФХ.-1990.- Т. 64, Вып. 8.- С. 2017-2022.

5. Мамонтов И. Е Вклад неближайших соседей в релаксацию решетки ОЦК .фисталла вблизи грани {001} // Тез. докл. XXVI наут, конфи факультета физ. -шт. и естеств. наук УДЕ - Ы.: УДН, 1~J0. - С. 28.

6. On the self-consistent statistical theory of structural, dynamical, and thermodynamic surface properties of enharmonic crystals. I. General consideration and properties of the singi lar surfaces of the two-dimensional models / V. I. Zubov,

F. Banyeretsf N. P. Tretyakov, I.V. Mamontov // Int. J. Mod. Phys.- 1990.- V. B4, N. 2.- P. 317-345.

7. Зубов E И., Мамонтов URO свойствах сингулярных гране! при ,осте кристаллов с ОЦК г меткой из газообразной фазы // Моделирование роста кристаллов: Теэ. докл. 111 Всесоюз. конф. -

I ^чга, 1990.- Ч. 1.-С. 53-54.

HI

8. Зубов В. И. , Мамонтов И. R Ыелмолекудярние взаимодействия свойства сингулярных граней ОЦК кристалла // Ш«молекулярное 1аимодействие и конформации молекул: Тез. докл. VIII Всесоюз. шоз. - Новосибирск, 1990.- Ч. 1.- С. 46.

»