Проблемы релятивистской кинетической теории плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.•.

Глава I. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ.

§ 1.1. Микроскопические уравнения

§ 1.2. Уравнение эволюции во времени статистической системы зарядов

§ 1.3. Цепочка уравнений Боголюбова. Условие зацепления уравнений.

§ 1.4. Уравнения для коллективных процессов в плазме.

§ 1.5. Уравнение Власова. Торможение излучением

§ 1.6. Проблема включения гравитационных взаимодействий между частицами.

Глава 2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

ПЛАЗМЫ.

§ 2.1. Интегральные представления диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы

§ 2.2. Дисперсия сверхсветовых ленгмюровских волн с фазовой скоростью близкой к скорости света.

§ 2.3. Досветовые затухающие волны в релятивистской плазме.

§ 2.4. Диэлектрическая проницаемость ультрарелятивистской плазмы при со/к >С.

§ 2.5. Приближение релятивистской двужидкостной гидродинамики плазмы

§ 2.6. Дисперсия плазменных волн при наличии релятивистского пучка.

Глава 3. ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ.

§ 3.1. Интегральные представления тёнзора диэлектрической проницаемости релятивистской магнитоактивной плазмы.

§ 3.2. Слабое магнитное поле. Метод стационарной фазы.

§ 3.3. Внутренние критические точки. Тензор диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле.

§ 3.4. Распространение сверхсветовых волн поперек внешнего слабого магнитного поля

§ 3.5. Распространение досветовых необыкновенных волн перпендикулярно направлению магнитного поля. П-редел нерелятивистских температур . ;

§ 3.6, Предел сильного магнитного поля. Распространение электромагнитных волн в электрон-позитронной плазме.

Глава 4. ПРОБЛЕМЫ модуляционной И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ неустойЧИВОСТИ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ.

§ 4.1. Нелинейные волны в релятивистской плазме

§ 4.2. Система интегральных уравнений для амплитуд возмущений.

§ 4.3. Дисперсионные уравнения в резонансном случае.

§ 4.4. Асимптотические значения коэффициентов дисперсионного уравнения.

§ 4.5. Инкремент нарастания амплитуды ленгмюровских волн при нерелятивистских температурах.

§ 4.6. Резонансное взаимодействие волн в ультрарелятивистской плазме

§ 4.7. Пространственно-временная модуляция волн конечной амплитуды.

§ 4.8. Нерезонансное взаимодействие волн в релятивистской плазме.

§ 4.9. Роль ионной компоненты.

Глава 5. НЕЛИНЕЙНОЕ РАССЕЯНИЕ ВОЛН В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ СЛАБОТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ.

§ 5.1. Общее выражение для нелинейного декремента затухания волн в слаботурбулентной релятивистской плазме.

§ 5.2. Нелинейное затухание в слаборелятивистской турбулентной плазме.

§ 5.3. Декремент нелинейного затухания при релятивистских и ультрарелятивистских температурах.

Глава 6. СТОЛКНОВИТЕЛЫЮЕ И РАДИАЦИОННОЕ ЗАТУХАНИЕ ВОЛН

В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ.

§ 6.1. Дисперсионные уравнения с учетом парных столкновений и радиационного торможения

§ 6.2. Затухание Ландау и радиационное затухание

§ 6.3. Затухание волн за счет столкновений частиц и радиационное затухание.

§ 6.4. Радиационное затухание волн в магнитоактивной плазме.

§ 6.5. Вопросы пучковой неустойчивости

§ 6.6. Радиационные эффекты в квазилинейном приближении.

Статистическая теория систем движущихся зарядов, в том числе и наиболее распространенной и практически важной из них - плазмы, представляет собой бурно развивающуюся область теоретической физики как с точки зрения расчета известных и предсказания новых физических эффектов и явлений, так и с точки зрения основ теории. И тот и другой круг, взаимно дополняющих друг друга теоретических и математических проблем составляет основу настоящей диссертации.

Динамика системы движущихся зарядов, как динамика заряженных частиц и электромагнитного поля, может быть основана только на единых принципах симметрии, и следовательно, должна быть лоренц-инвариантной или релятивистской. Термин "релятивистский" традиционно используется также по отношению к скоростям частиц, не малым по сравнению со скоростью света в вакууме, температуре, не малой по сравнению с массой покоя зарядов, функции распределения, обращающейся в нуль при скоростях больших скорости света.

Количественные расхождения с кинетической теорией,основанной на ньютоновых уравнениях движения, начинаются при температурах -4 2 порядка 10 тс , определяющих область применимости выражения для мнимой части продольной диэлектрической проницаемости нерелятивистской плазмы. Качественные расхождения при релятивистском и нерелятивистском подходе начинаются при еще более низких температурах. Действительно, без привлечения релятивистской динамики невозможно объяснить отсутствие резонансного взаимодействия электромагнитных волн с частицами, предсказываемого нерелятивистской теорией. Для плазменных волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном направлению внешнего магнитного поля, нерелятивистская теория предсказывает, наоборот, отсутствие затухания Ландау. Спектр продольных волн только в рамках релятивистской теории делится на досветовые волны, энергия которых поглощается частицами за счет обратного эффекта Черенкова, и сверхсветовые волны, для которых такое поглощение отсутствует.

А о

Если учесть, что энергии 10 ТПС соответствует темперак п тура в градусах Кельвина 2,6.10 К, становится ясным, что физические процессы по крайней мере в высокотемпературной плазме (плазме в установках для получения реакций термоядерного синтеза, звездной плазме, плазме магнитосфер пульсаров и т.п.) корректно рассматривать лишь в рамках релятивистской статистической теории. Если в системе, состоящей из большого числа заряженных частиц пренебречь запаздыванием электромагнитных взаимодействий, мы приходим к классической модели системы кулоновских частиц, эволюция во времени которой описывается уравнением Лиувилля. В уравнение Лиувилля статистика вводится неопределенностью начального динамического состояния при детерминированном законе движения [1] . Это уравнение остается замкнутым до тех пор, пока уравнения движения частиц являются дифференциальными. Сокращенное описание системы дает "проекция" уравнения Лиувилля на некоторое подпространство, размерности кратной шести, фазового пространства. Такие уравнения не являются замкнутыми, а их множество образуют цепочку уравнений Боголюбова.

Физическая ясность и математическая простота аппарата статистической механики систем кулоновских частиц обязана бесконечной скорости распространения взаимодействий. При переходе от модели кулоновских взаимодействий к запаздывающим взаимодействиям, которые можно характеризовать запаздывающей функцией Грина [2], перестает существовать функция Гамильтона одних только зарядов, а уравнения движения частиц принимают вид дифференциально-разностных уравнений. Это свидетельствует о том, что уравнение эволюции системы движущихся зарядов может быть только уравнением для частиц и для поля одновременно и связывать динамические состояния системы, отстоящие в общем случае на конечные интервалы времени.

В представлении механики, когда каждой частице соответствует мировая линия, такое уравнение движения частиц в собственном электромагнитном поле в его классическом понимании действительно существует и было получено в ковариантной форме Климонтовичем [з] с. 135. Из факта существования уравнения Климонтовича, как единого микроскопического уравнения для частиц и электромагнитного поля, следует, что и при переходе к вероятностным представлениям должно существовать единое уравнение эволюции системы в терминах конечного набора переменных материальных частиц. Однако цепочка уравнений Боголюбова для систем с запаздывающим взаимодействием не может быть получена путем непосредственного статистического усреднения микроскопических уравнений Климонтовича, как это имеет место для кулоновских систем. Суть обычной процедуры статистического усреднения состоит во введении неопределенности одного выделенного динамического состояния, в то время как в микроскопических уравнениях при конечной скорости распространения взаимодействий закон движения частиц не содержится в бесконечно малом.

Предложено два принципиально различных подхода к построению статистической теории движущихся зарядов. При первом подходе, развитом в работах [4-12] некулоновская часть электромагнитного поля зарядов рассматривается в качестве "независимой переменной" фазового пространства наряду с координатами и импульсами частиц и, следовательно, вместо плотности фазовых точек в 6А/ - мерном фазовом пространстве должна вводится фазовая плотность в пространстве размерности континуум. В тех случаях, когда поперечная часть поля представлена дискретным набором осцилляторов поля, число переменных образует счетное множество. При такой модификации процедуры статистического усреднения в принципе становится возможным переход от микроскопического уравнения к уравнениям для редуцированных функций распределения. Однако согласно микроскопическим уравнениям при обычных условиях на бесконечности заряды и токи однозначно определяют поле. Появление независимой статистики полей возможно лишь за счет случайного характера однородной части общего решения уравнений поля.

Второй подход, который может быть назван ковариантным, вначале развивался преимущественно для кинетических уравнений, в частности, в работах ¡14-2о] . Помимо очевидных преимуществ, связанных с автоматическим учетом трансформационных свойств, ковари-антный подход позволяет изучать системы релятивистских зарядов в гравитационном поле, включать гравитационные взаимодействия. Вопросы построения ковариантной статистической механики с учетом реакции излучения были рассмотрены в работах [21-2з] . Вследствие того, что выражение для реакции излучения содержит производную от ускорения частицы, фазовое пространство в этих работах было расширено путем включения производных от ускорений в качестве независимых переменных наряду с координатами и скоростями частиц. Основные уравнения ковариантной статистической теории систем движущихся зарядов на основе фазовых пространств размерности 8Л/ (минимальная размерность для ковариантной формулировки) были сформулированы в работе [24] . В этой работе было получено также кинетическое уравнение, учитывающее радиационное торможение, и показано, что реакция излучения приводит к затуханию волн в плазме.

Во всех случаях при использовании 8N - мерных фазовых пространств вместо реальных зарядов рассматриваются точки простран-- ства Минковского, принадлежащие мировым линиям зарядов. Поэтому такой подход требует дополнения в виде общего метода устранения ( 2А/ - ^ ) дополнительных степеней свободы частиц.

Принципиальные математические трудности, присущие теории систем с запаздыванием, не возникают при построении слаборелятивистской статистической теории. Как показано в работах Трубникова, развита как обобщение нерелятивистской статистической механики и метода Боголюбова.

Сделаем краткий обзор новых результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, а также укажем ряд работ советских и зарубежных авторов, на которые мы в той или иной мере опирались при работе над диссертацией.

В первой главе диссертации приводится вывод статистического уравнения эволюции во времени системы движущихся зарядов в рамках обычного фазового пространства с размерностью, равной удвоенному числу степеней свободы частиц /см. также [32]/. В основу вывода полежены следующие представления. Эволюция системы с запаз дывающим взаимодействием между частицами на некотором временном интервале не определяется более единственным начальным состоя -нием, а зависит от множества состояний в предшествующие моменты рии системы. Поэтому статистика может вводиться лишь путём задания неопределённости каждого из множества таких состояний. Поскольку при этом теряется представление о детерминированности движения вдоль фазовых траекторий, то при выводе уравнения эволюции могут быть использованы только вероятностные представления о законах движения частиц. Это уравнение имеет вид такая теория может быть времени, или при использовании функций Грина |2 ] , от предысто и отличается от уравнения Лиувилля наличием запаздьшания ( G функция Грина оператора Даламбера, - функция распределения в запаздывающий момент времени) и недетерминированноетью закона движения частиц ( К (t)'t/) - вероятность перехода из состояния в момент в состояние в момент ). Вероятности перехода связаны интегральным уравнением типа уравнения Чепмена-Колмогоро-ва в теории стохастических процессов [зз] .

При переходе к бесконечной скорости распространения взаимодействий уравнение эволюции совпадает с уравнением Лиувилля, а в пределе когда функция распределения стягивается в <5* - функцию в фазовом пространстве это уравнение эквивалентно микроскопическому уравнению Климонтовича.

Любое менее детальное описание получается путем интегрирования уравнения эволюции по части независимых переменных и сопровождается появлением двухвременных редуцированных функций распределения наряду с одновременными, обычными для теории систем без запаздывания [1] .

Уравнения для редуцированных функций распределения становятся зацепляющимися и образуют цепочку уравнений Боголюбова в том и только в том случае, если под системой ансамбля Гиббса понимается £ - упорядоченный набор частиц, в котором координаты произвольной частицы, конфигурационное пространство которой совпадает с физическим пространством, связаны с координатами всех остальных частиц условиями запаздывания -"¿¿^-б-ЧЕ-Ъ^/С .

При выборе любого б£ - мерного подпространства для сокращенного описания среднее коллективное силовое поле действующее на каждую из с частиц со стороны зарядов, может быть отделено от нерегулярных взаимодействий или "столкновений", как поле, не имеющее источников в импульсном пространстве этого подпространства. Уравнение для £ - частичной функции распределения оказывается таким образом самосогласованным с "макроскопическими" уравнениями Максвелла, в которых источниками поля служат ( N-2. ) частиц; образующих непрерывное распределение заряда поточечных зарядов. Нерегулярные взаимодействия 2 частиц с ( Л/-£ ) частицами и соответствующей частью излучения объедим няются в "интеграл столкновений". Конкретное значение числа 2 всегда может быть продиктовано условиями физической задачи. Поэтому "интеграл столкновений" может быть опущен и мы получаем замкнутое самосогласованное уравнение для Е- частичной функции распределения, совпадающее при ^ = ■/ с уравнением Власова. Это уравнение имеет вид А = - % [ I 8 (? -1V ^];

1 т-1 при ? - , р = ра , (а= 1,2,. а также -»■ (О I ->■(£) I

Рт = индекс ( i ) относится к ионам, а уравнения поля записаны для кратности через потенциалы.

Впервые кинетическое уравнение для t - частичной функции распределения рассматривалось Леонтовичем [34] для разреженного больцмановского газа.

При £ = 2 в приведенном уравнении учитываются коллективные и парные взаимодействия. В кинетическом уравнении ( ) без коллективных полей это соответствует учету интеграла столкновений Беляева-Будкера Ы . Поляризационные эффекты появляются либо при L > 2 , либо при t - 2 и отличной от нуля правой части соответствующего уравнения. Интегральное уравнение, учитывающее эти эффекты для случая кулоновской плазмы, было выведено Боголюбовым [i] , а кинетическое уравнение - Балеску, Ленардом и Гернси ¡35-3в] . Релятивистский интеграл столкновений, учитывающий наряду с кулоновскими взаимодействиями взаимодействие, переносимое полем, получен Силиным ¡39,4о] . Частная форма релятивистского интеграла столкновений ранее была получена Климонто-вичем И.

Как и микроскопическое уравнение, уравнения для редуцированных функций распределения имеют сингулярные слагаемые, которые наряду с обычными кулоновскими расходимостями содержат реакцию излучения. На кинетическом уровне средних коллективная часть реакции излучения может быть выделена методом Дирака (42,2] , ку-лоновские расходимости опущены, как не влияющие на взаимодействия различных частиц, и мы приходим к уравнению Власова, в котором содержатся слагаемые, учитывающие торможение излучением. В ковариантной форме это уравнение имеет вид [24] и является необратимым. Как указано в ¡1з] , с. 384, другим источником необратимости для уравнения Власова служат граничные условия.

Тормозное излучение ¡4з] и реакция этого излучения могут быть учтены лишь в уравнении для двухчастичной функции распределения, где они содержатся в слагаемых типа потенциалов Лиенара -Вихерта.

Внешнее электромагнитное поле в приведенном выше уравнении входит через тензор поля. Нередко в астрофизических приложениях релятивистская плазма рассматривается в гравитационном поле (см., например, [44] ). В этом случае уравнение Власова приобретает дополнительное слагаемое Г^ и^и^д^/др* ¡19] . Для самогра-витиругощих систем через коэффициенты связности уравнение должно быть "самосогласовано" с уравнениями гравитационного поля ¡18] . К уравнению Власова - Пуассона эта часть взаимодействий между частицами сводится при переходе к нерелятивистскому пределу лишь для вполне определенной метрики пространства событий ¡45,4б] .

Уравнение Власова является основой кинетического описания процессов в плазме, близкой к равновесию. Эффекты, связанные со столкновениями и потерями энергии частиц на излучение при движении в коллективном поле, в линейном приближении как правило входят аддитивно и рассмотрены отдельно, в основном в шестой главе. С этой точки зрения шестая глава может рассматриваться как часть второй главы.

Во второй главе бесстолкновительное уравнение в его традиционной форме использовано для исследования дисперсии и колебаний релятивистской плазмы.

Ленгмюровские волны в релятивистской плазме рассматривали Силин [47] , Силин и Рухадзе ¡48] , Клеммов и Вильсон [49. . Силиным были найдены незатухающие ленгмюровские волны с фазовой скоростью, превышающей скорость света, в релятивистской плазме с максвелловским распределением частиц. Само максвелловское распределение подробно проанализировано в работе . Волны с фазовой скоростью меньшей скорости света и их затухание вследствие черепковского взаимодействия с частицами были исследованы Цытови-чем [51] . Ряд полезных апроксимаций и уточнений получили Гершман [52] , Имре [бз] , Бути [54,55] .

Интерес к продольным волнам в релятивистской плазме значительно возрос после открытия пульсаров. Цытович и Каплан

5б] теперь уже для одномерных степенных распределений показали возможность черенковской генерации затухающих досветовых волн. Однако этот вывод был поставлен под сомнение в работе [57] Суворова и Чугуно-ва. В работах (24, 5в] было вычислено затухание Ландау для длинноволновой части спектра досветовых волн и проведено ¡24] сравнение этого затухания с радиационным затуханием волн в плазме с максвелловским распределением по скоростям. Для общего вида равновесных распределений частиц по импульсам вопросы затухания Ландау и пучковой неустойчивости были исследованы Ломинадзе и Михайловским

Ы . Результаты этих работ находились в согласии с выводами Цытовича и Каплана.

Проблеме, получения новых разложений и асимптотических формул для диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, выражений для дисперсии и декрементов затухания досветовых ленгмюров-ских волн были посвящены работы [59, 60] . Одновременно в серии из трех работ [61-6з] было предложено несколько новых представлений дисперсионного соотношения для продольных волн, исследована начальная задача для релятивистской плазмы, проведена сравнительная оценка вкладов всех полюсов Ландау и линий разреза на плоскости комплексной частоты, приведено и проанализировано большое число графиков, полученных в результате численных расчетов. Численный расчет тензора диэлектрической проницаемости бесстол-кновительной слаборелятивистской плазмы проделан в работе |б4] .

К числу фундаментальных работ о колебаниях и волнах в равновесной релятивистской плазме относится также работа ¡65 ] Михайловского, в которой объединены результаты более чем двадцатилетних исследований этой проблемы различными авторами. На основе анализа диэлектрической проницаемости при помощи нескольких безразмерных параметров были вычислены физические характеристики колебаний слаборелятивистской и ультрарелятивистской плазмы в различных диапазонах фазовых скоростей. В этой работе были уточнены также области применимости результатов Силина для сверхсветовых волн и формул для дисперсии и декремента затухания волн с фазовой скоростью, близкой к скорости света. Эти формулы в работе Михайловского были впервые написаны правильно, если не считать, как показано в работе [бб], имеющейся неточности в выражении для декремента. В 1982 году вопрос о затухании досветовых ленгмюровских волн был рассмотрен Силиным и Урсовым [б7]. Они показали, что декремент затухания таких волн ограничен сверху и наши соответствующие оценки.

Помимо задач, связанных с изучением физических свойств релятивистской плазмы и возможными приложениями, такой большой интерес к колебаниям свободной бесстолкновительной плазмы можно объяснить также потребностями дальнейшего развития теории релятивистской плазмы. Для изучения магнитоактивной плазмы, нелинейных явлений, турбулентной плазмы необходимо иметь надежные результаты для свободной плазмы.

В связи с этим в работах [66,68,69] и на основе этих работ во второй главе диссертации предпринята попытка провести строгое исследование диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы на основе единого математического подхода. В рамках развитого метода в этой главе получено новое интегральное представление для диэлектрической проницаемости, даны вывод, обоснование и уточнение дисперсии и декремента затухания околосветовых волн, а также получена асимптотическая формула душ диэлектрической проницаемости ультрарелятивистской плазмы, пригодная во всем диапазоне фазовых скоростей, где затухание Ландау отсутствует или является экспоненциально малым. Продольная диэлектрическая проницаемость имеет вид где

2 = со/кс гр=сОр/кс ■ р=02-<1) *^о*=тс2/т о(0) = 2 2(Ы иМ) -С-д(<*$)->71(2-1) Ип^ + + [(г ч) Ы (г -1) + (г -и) - 2] Ояыр,

С - постоянная Эйлера. Через ff^ обозначена производная G"o ^ по оС , ^ (■*) - известная специальная функция Ы с. 59.,

- [(z-м) bi (г-i) Cosdp]

Эта формула содержит в качестве предельных случаев выражения для продольной диэлектрической проницаемости, найденные Силиным ( с* (Ъ « \ ), а также Цытовичем и Михайловским ( р>» 4 ).

В результате численных расчетов, представленных графически, удалось установить, что указанный общий результат дает высокую точность уже при температурах, на порядок превышающих массу покоя электрона, а известная формула Силина имеет более широкую область применимости, чем предполагалось при ее выводе.

Результаты кинетической теории позволили оценить, [Vi] , ограниченность описания волн на основе релятивистской гидродинамики и указать явно ошибочные подходы в этом направлении. В частности, гидродинамика приводит в ультрарелятивистской области к правильной дисперсии лишь для волновых векторов близких к нулю. Основные гидродинамические уравнения могут быть представлены в форме равенства нулю дивергенции тензора энергии - импульса. Если использовать для изучения колебаний в плазме, как это, например, делается явно в работе ¡72] или неявно в работе ¡7з] , хорошо известное выражение для тензора энергии - импульса сплошной среды феноменологической теории Эккарта,

Ьз]. о. 118, то уравнения приводят к ошибочным результатам. Причина состоит в том, что эта частная форма тензора энергии - импульса справедлива для среды, находящейся локально в равновесном состоянии.

Примером систем с анизотропным распределением по скоростям может служить пучково-плазменная система. Возможность возбуждения высокочастотных колебаний в системе плазма-пучок была рассмотрена Ахиезером и Файнбергом [74-7б], Бомом и Гроссом [77 , Эти системы достаточно полно изучены [58, 79 - 83]. Некоторые вопросы, связанные с пучковой неустойчивостью таких систем, рассматриваются в шестой главе.

С релятивистской точки зрения представляет интерес найти дисперсию ленгмюровских волн при отличной от нуля температуре релятивистского пучка. Этот результат получен во второй главе и в с общетеоретических позиций, как зависящий от закона преобразования температуры пучка при переходе к лабораторной системе отсчета. Трансформационные свойства температуры уже"давно обсуждаются в литературе ¡85-9о] . При этом центральным является вопрос, пре-бразовывать ли температуру по формуле, предложенной Планком и Лауэ, по формуле Отта-Меллера, считать инвариантом или компонентой тензора. Если использовать определение температуры, как средней кинетической энергии, и закон преобразования 4 - вектора скорости, то путем непосредственного вычисления температуры в движущейся системе отсчета можно показать¡91] , что температура при переходе в лабораторную (нештрихованную) систему отсчета преобразуется по закону Планка и Лауэ работе имеет самостоятельный интерес. Однако он важен и

С учетом этой формулы зависимость частоты волн от фазовой скорооти имеет вид резонансной кривой 2 р к2 к2 (Уф-У) /£. ?

V2

Максимальное значение "резонансного" пика равно К2 оь Чь и не зависит от энергии Е трансляции пучка, в то время как при использовании формулы преобразования Отта-Меллера мы получили бы квадратичную зависимость этой величины от энергии. Экспериментальная проверка этого результата могла бы послужить одновременно и доказательством закона преобразования температуры.

При включении магнитного поля качественно меняется спектр колебаний плазмы. Характерным физическим явлением при переходе изотропная - анизотропная плазма является процесс образования электростатических волн Бернстейна ¡92,9з]. Нерелятивистские уравнения Власова, предсказывающие полное отсутствие затухания волн в направлении перпендикулярном магнитному полю ( ¡94] с. 102,¿б] с. 77 ) и, следовательно, факт выключения резонансного взаимодействия волна-частица магнитным полем, как уже отмечалось выше, не могут служить надежной основой при изучении мод Бернстейна. Здесь мы встречаемся с физическим явлением, имеющим место и при нерелятивистских температурах, для описания которого необходимы релятивистские уравнения.

Проблемы магнитоактивной плазмы составляют содержание третьей главы. В этой главе рассмотрено распространение волн в релятивистской магнитоактивной плазме в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля, причем в первом случае только в направлении перпендикулярном полю, как проблему имеющую математически своеобразный характер, [эб], с. 276, а потому менее изученную.

Предел слабого магнитного поля в нерелятивистской плазме рассматривался в работе [92]. Математическое своеобразие перехода к пределу слабого поля в этой работе обусловлено непоследовательностью нерелятивистского уравнения Власова.

Свойства слабоанизотропной релятивистской плазмы исследовались Трубниковым[97] в связи с вычислением коэффициентов поглощения электромагнитных волн. Им получено интегральное представление тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, которое легло в основу многих исследований, в том числе и исследования изложенного ниже.

Что касается плазмы в сильном магнитном поле, то роль релятивистских эффектов в ней изучена весьма полно. В работах¡52-5б] а также ¡98-Юо] исследованы релятивистские эффекты в пределах слаборелятивистских и ультрарелятивистских температур. Дисперсионные и диссипативные свойства плазмы вблизи гармоник циклотронной частоты изучались в работах {1OI-IO5]. Анализ электронно-циклотронного поглощения обыкновенных и необыкновенных мод в слаборелятивистской плазме на основании уравнений энергетического баланса проводился в работах [l06-I09]. Бесстолкновительное поглощение обыкновенной волны, распространяющейся поперек магнитного поля, обусловленное релятивистскими эффектами движения электронов оценено в работе с.134, см. также [iIO, III].

Диэлектрическая проницаемость релятивистской плазмы при распространении волн вдоль произвольного внешнего магнитного поля детально изучена в работе [112] . В работах [lI3,II4] подробно аналитически и численно была исследована дисперсия циклотронных волн в нерелятивистской плазме. Значительное внимание теории релятивистской магнитоактивной плазмы уделено в монографиях ¡4£ с. 147 и

Ы с. 219, а также в работах [пб-пв].

В третьей главе дано общее решение задачи об отыскании асимптотического выражения для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле [lI9,I22] . Для решения этой задачи использован многомерный метод стационарной фазы [120,121] , как наиболее эффективный математический аппарат при исследовании различных переходных процессов.

Асимптотическая формула для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле может быть представлена в виде суммы тензора диэлектрической проницаемости г (Oj свободной изотропной плазмы С^^ , вклада "граничной области" h9o)p (du Fp UgUxfr Up,

Ишкгсг JÎUoi-uri)2 (,ôotp> U0Z-iïFt.

X ,e и вклада "внутренних критических точек" и^ , Ч т п m(*) ; кс,, Р\ г где

2\,, / * Й \

-^f ïf^î -ûil I Hj. n,1^ 2 ^.2-/ эепх

X - циклотронная частота, - единичный антисимметричный по всем индексам тензор, НаСЭ£) - максимальный номер интервала (2 )Тт , § т ) ' Где сУЩеотв5по'г решения уравнения

- ъе^СгЗД/и?', 2«СО/Л;

Для сверхсветовых волн, распространяющихся в направлении перпендикулярном магнитному полю вклад внутренних критических точек отсутствует. Дисперсия обыкновенной волны совпадает в первом приближении по полю с дисперсией поперечной волны в незамагниченной плазме. Дисперсия сверхсветовых необыкновенных волн вне узкой области волновых векторов, зависящей от температуры и пропорциональной {2 , также не отличается в этом приближении от изотропного случая, а внутри области имеет вид

Г" злг* А где Л , А , ^ известные функции температуры, имеющие нерелятивистскую и ультрарелятивистскую асимптотики, равные соответственно 1 , 3 /ы., 1 и о</з ,о</5\ и2/6 . Спектр колебаний сверхсветовых волн не содержит циклотронных мод.

Максимальное значение вклада внутренних критических точек в продольную диэлектрическую проницаемость для быстрых слабозатухающих досветовых необыкновенных волн в направлении перпендикулярном полю достигается на частотах, кратных циклотронной. В этой части спектра на дисперсионной кривой появляются характерные "резонансные всплески", которые при нерелятивистских температурах и слабом магнитном поле имеют величину д к

Мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости определяет бесстолкновительную диссипацию энергии таких волн. Декремент затухания оказывается отличным от нуля и равным =*А(<-2и£Т(со/2)/с01Гт2), где Уд - затухание Ландау, х) - пилообразная функция с периодом равным единице. Декремент как функция частоты графически представляет собой спадающую, как и Функцию, промоделированную ступенчатой функцией.

В том случае, когда магнитное поле не является слабым, нельзя пренебречь реакцией излучения зарядов в таком поле. Вследствие торможения излучением происходит "высвечивание" поперечных степеней свободы частиц и их распределение становится анизотропным, в пределе одномерным. Одномерные распределения широко используются при описании электрон-позитронной плазмы магнитосфер пульсаров ¡56, 123, 124] . На основании уравнения Власова, учитывающего торможение излучением показано, что релятивистское распределение Максвелла в сильном магнитном поле принимает вид причем поперечная температура Т^ = Т0 вХр

С-1/г) убывает с характерным временем 7Г ~ 3 £ц/4 ^ В тем меньшим, чем больше плотность энергии магнитного поля.

Проблема распространения и возбуждения волн в одномерной плазме в связи с астрофизическими приложениями рассматривалась в работах ¡116,125,57] . Одной из центральных проблем, связанной с механизмом турбулентности является проблема выявления и иерархии неустойчивостей [125] . Это проблема приобретает особый интерес в связи с тем, что циклотронная раскачка альвеновских волн в электрон-позитронной плазме невозможна [12б] . В диссертации и работе [12б] показано, что циклотронная раскачка волн в электрон-позитронной плазме существует, но на более высокой релятивистской циклотронной частоте еВс/Т . В частности поперечные волны с правой круговой поляризацией усиливаются при распространении вдоль магнитного поля с инкрементом у = (Зли^/2<*22)-(о,88)2ехр(-о,88)со о о для значений плотности магнитосферы 10 см , магнитного поля В- Ю'^Гс, температур ТЧ0тс^ частота усиливающихся волн о , п ^ лежит в радио диапазоне, 60 О с"* » 40 С , что соответствует наблюдаемым частотам для большинства радиопульсаров ¡12з] .

Геликоидальные моды, существующие только при различных температурах электронов и позитронов, а также альвеновские волны являются затухающими. В диссертации приведены соответствующие декременты и дисперсии.

Для волн с продольной поляризацией, с поляризацией перпендикулярной волновому вектору и магнитному полю, для волн с поляризацией вдоль магнитного поля и направлением распространения, перпендикулярном полю, дисперсионные уравнения можно выразить только через одну специальную функцию, что позволяет проанализировать их достаточно полно. Анализ дисперсионных уравнений показывает, что на релятивистской циклотронной частоте оказываются неустойчивыми электромагнитные волны и при поперечном распространении. Неустойчивыми оказываются также электромагнитные волны с поляризацией, перпендикулярной магнитному полю и направлению распространения, на частотах, значительно меньших циклотронной:

У = - Ззго^оОр Ы (<*9/оо)/2со > о

Что касается ленгмюровских волн, то они оказываются неустойчивыми на частотах

В диссертации также приведены дисперсионные формулы устойчивых мод.

Характерным нелинейным эффектом, возникающим при распространении в плазме длинных ленгмюровских волн, является модуляционная неустойчивость [127] . Под воздействием высокочастотного поля ленгмюровской волны возможна модуляция плотности ионов, которая в свою очередь вызывает захват продольных колебаний в каверны с пониженной плотностью. Охлопывание этих каверн сопровождается уменьшением длины волны ленгмюровских колебаний.

В 1972 году Захаровым [128] в рамках гидродинамики была предложена простая система уравнений для описания модуляционной неустойчивости, на основании которых это явление было детально исследовано¡129]. В рамках кинетической теории электронно-ионной плазмы в заданном однородном осциллирующем поле возникновение неустойчивости подробно проанализировано в монографии Силина [1з0]. Это явление на языке резонансного взаимодействия волн рассмотрено в обзоре Галеева и Сагдеева &З1] . Весьма эффективным аппаратом для исследования нелинейного взаимодействия волн в плазме является аппарат многоиндексных тензоров диэлектрической проницаемости [.132-1 зз]. Различные аспекты модуляционной неустойчивости рассматриваются также в работах [134-139] .

Существует два условия, при которых ленгмюровская волна конечной амплитуды изменяет дисперсионные свойства однородной электронной плазмы. Это - наличие ионов и нелинейная зависимость скорости электрона от ее начального значения. Скорость частицы в однородном осциллирующем поле зависит от начальной скорости как от аддитивной постоянной. Поэтому в таком поле возможна лишь "двух-компонентная" модуляционная неустойчивость. Нелинейная зависимость скорости электрона от начальной скорости появляется, если длина волны конечной амплитуды не равна бесконечности, а также в том случае, если электрон релятивистский. При выполнении критерия Лайтхилла [14о] в этом случае возможна "однокомпонентная" модуляционная неустойчивость. Применение критерия Лайтхилла для плазменных волн будет корректным, если под нелинейным сдвигом частоты понимать относительный сдвиг частоты возмущений по отношению к дисперсионной кривой, описывающей волну конечной амплитуды.

Возможность параметрической раскачки колебаний в холодной релятивистской плазме однородным осциллирующем полем впервые была указана Цинцадзе [141]. В работе [142] было отмечено, что учет нелинейного сдвига частоты самосогласованного поля накачки приводит в холодной плазме к расстройке резонанса, сильному ослаблению параметрического инкремента. Значение инкремента неустойчивости и сдвиг частоты в пределе низких температур получены в работах [143-145]. Последовательное рассмотрение этого эффекта в рамках релятивистской кинетической теории проведено в работе [14б] . В работе [147] решена задача на устойчивость в поле ленгмюровской самосогласованной стационарной волны, впервые исследованной Ахие-зером и Половиным[148] . Дальнейшее развитие это направление получило в работах [149-15о] , где получена слаборелятивистская по амплитуде поля нелинейная добавка к уравнениям Захарова. Это позволило учесть влияние релятивизма на электрон-ионную модуляционную неустойчивость при больших длинах волн.

Исследованию различных типов волн в плазме, когда существенна нелинейная зависимость релятивистского импульса электрона от скорости, посвящены также работы [151- 15б] . Ряд простых нелинейных эффектов и теория возмущений для описания распространения в холодной плазме плоских волн с фиксированным профилем рассмотрены в работах [157, 158] .

В четвертой главе, см. также [159] , рассмотрена модуляционная и параметрическая неустойчивость в релятивистской плазме. Число захваченных частиц предполагается малым. Для сверхсветовых волн это число равно нулю. Фазовые скорости досветовых волн должны быть большими по сравнению с тепловой скоростью электронов. Ограничение на число захваченных частиц не относится к биениям, которые могут иметь малые фазовые скорости и взаимодействовать с частицами посредством механизма нелинейного затухания Ландау.

Нелинейность стационарной ленгмюровской волны типа БГК [16о]) ¡161] за счет колебаний захваченных частиц в потенциальных ямах волны рассмотрена, в частности, в работах [162, 163] . Взаимодействие волны с незахваченными, движущимися с тепловыми скоростями, частицами учитывается в этих работах лишь в линейном приближении. Неустойчивость, связанная с захватом частиц в волну, затухание волны с учетом вклада всех электронов, влияние захвата частиц на индуцированное рассеяние рассмотрены соответственно в работах [164], [165-166, 167] .

В § I четвертой главы получено решение релятивистского уравнения Власова для бесстолкновительной плазмы в виде нелинейных стационарных волн конечной амплитуды. Это решение получено при помощи метода Боголюбова [168] , содержит, наряду с основной гар-t

Ео ^ моникои, также высшие гармоники с амплитудами имеющими порядок п-1 где п. - номер гармоники, а \) =е Е0/ц)о<р0> - малый параметр, и имеет вид

Е = В0 Sm (ío0-t - k0Í + Ч>0) + ¿ £ o Sin 2(u.4: -K.t + 4>0)

- A ( ^ - I < S/n - +

Частота основной гармоники оказывается сдвинутой относительно частоты, определяемой дисперсионным уравнением линейной теории, 2 на слагаемое порядка V

Здесь

2Жеъ[( Ь \ Э^и/áp \2A/3mc) 1-K0V¿/oj

NI

Ыр О

А з 3 Ь2р0(р4- к„ср./ив)/2р„х.

Вычислив асимптотику М и М как функций температуры в нерелятивистском и ультрарелятивистском пределах мы нашли нелинейный сдвиг частоты в этих предельных случаях. При оС»

2 2 0)Л=Сл>А 3/eEQ Г jg /еЕоКр\Тк 8 Vmccxw 2. \ тсод2 / тс

2. П • о и сдвиг частоты определяется как нелинейной зависимостью импульса электрона от скорости, так и четырехволновым взаимодействием плазменных волн. В ультрарелятивистском пределе этот результат имеет вид

Г, ¿(Но ^ (. ^о V тссод/ 1?5Ч шсод2 с*' и нелинейный сдвиг целиком зависит от температуры. Подобная задача рассматривалась в работе 5-бэ] . Отброшенные автором этой работы нелинейные слагаемые в разложении по полю волны содержат тот же порядок величин, что и учтенная первая нелинейная поправка. Поэтому результаты работы ¡169] нельзя признать удовлетворительными.

Далее в диссертации рассмотрено взаимодействие волны конечной амплитуды с линейными волнами возмущений, результатом которого является возникновение высших гармоник, нелинейного сдвига частот возмущений, нелинейного инкремента или декремента. Показано, что при резонансном взаимодействии волн в релятивистской плазме, когда расстройки частот и волновых векторов имеют порядок, не превышающий р г= (е Е"0 /П1 С00о)^» дисперсионным уравнением служит уравнение

Ш+Ш01К + К0)-Р+] [е((0-шв-,к-к,)-Р]-СиС1= О, в котором р+ со ±2а>о-, К±2«а) Г\ ^Цр "¿V,*) <\

А±1 Д±2. 1")

1 Д±<1 До Д ±2

ГгВЛМр

ДоД

Л -1

Кроме того, использованы обозначения

А< = А-гпсМВ/зе ^ А2= А+тсМВ/е = 4яе2с (* - К0V*/со®) Э-^м /Эр2 ;

Д и =Г 00 + ИСОо - (к + ИКо)^ .

Это уравнение исследовано в пределах нерелятивистских и ультрарелятивистских температур. В первом случае мы приходим к выводу, что в релятивистской электронной плазме в поле волны конечной амплитуды наиболее интенсивно возбуждаются моды с волновыми векторами и частотами, равными

А - 8С2Ут КО .

Максимальное значение инкремента нарастания таких мод определяется формулой щах " I ^ I - Уд , а пороговое значение амплитуды нелинейной волны, при котором начинает развиваться неустойчивость, равно

Р 2. 1 6 /тса)р\2^А ° 5 V в ) сор

При к© = О эти формулы описывают параметрическую неустойчивость во внешнем однородном осциллирующем поле. Кроме того, из этих формул видно, что резонансное взаимодействие волн в электронной плазме имеет место лишь при отличных от нуля температурах.

В случае ультрарелятивистских температур вклады за счет релятивистской нелинейной зависимости импульса от скорости и за счет четырехволнового взаимодействия входят с одинаковыми знаками. Максимальное значение инкремента - сор/ гъ ^ ич КоСг\ так-р^ 8 775 Со0* У достигается на частотах

СО =С0о + КоС2(К-Ко)/С0р СОр =(л)ро1/3 С I 3 1 \120 350 СОо2-/ .

Эти формулы описывают нарастание модуляционной неустойчивости в сверхсветовой части спектра ультрарелятивистской плазмы с ростом К о » а при К0—о описывают параметрическую неустойчивость.

Нерезонансное взаимодействие волн в плазме с нерелятивистской температурой приводит, с точностью до квадратов отношений тепловой скорости частиц к фазовым скоростям волн, только к нелинейному сдвигу частот: ы =<^д - -т^рР»

При ультрарелятивистских температурах такое взаимодействие волн сопровождается также нелинейным затуханием сверхсветовых волн: л= ^(К^С-^П (К-Ко).

Последняя формула является также количественным выражением для случая ультрарелятивистских температур процесса перекачки энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область.

В четвертой главе рассмотрена также роль ионной компоненты в нелинейных процессах в релятивистской плазме. Все расчеты проводятся в длинноволновом приближении, когда можно не различать продольную и поперечную волны большой амплитуды. Для этого случая найдено дисперсионное уравнение. При нерелятивистских температурах оно приводит к результатам, полученным в монографии ¡13о] Силина. В ультрарелятивистской плазме неустойчивость "апериодического" типа развивается с инкрементом, максимальное значение которого определяется универсальной формулой с численным коэффициентом X равным: 0,05 при КС«СОрер>Ы2 ; О,096 при р>ы2 КС «

Зрер><*2с/У<; ; 0,138 цри <2рер>(*2« К , где - скорость ионного звука. Учет движения ионов привел в процессах "апериодического" типа к изменению примерно на одну треть численного коэффициента Л

В ультрарелятивистской неизотермической двухкомпонентной плазме становится возможной неустойчивость "распадного" типа, при которой происходит одновременное возбуждение ленгмюровских и ионно звуковых волн. Этот процесс характеризуется инкрементом при Сл)0=и(К)+С05 .

В пятой главе рассмотрено нелинейное рассеяние волн в релятивистской слаботурбулентной плазме. Предполагается, что в такой плазме одновременно возбуждено много волн, и фазовые соотношения между взаимодействующими волнами случайны. Метод расчета процессов в такой плазме в рамках кинетической теории был развит в работах Кадомцева и Петвиашвили [17о] , Драмонда и Пайнса [171] , Галеева и Карпмана [172,17з] , Силина [174] и лег в основу многочисленных исследований в этом направлении (см., например, [175-181] , [1З1] ).

В релятивистской максвелловской плазме ленгнюровская турбулентность рассматривалась в работах [182,18з] . Детальное исследование одномерного случая проведено Ломинадзе, Михайловским, Сагдеевым [184] . Слабая турбулентность релятивистской плазмы со степенным невозмущенным распределением изучалась Цытовичем, Кап-ланом. Николаевым ¡185,18б] .

В диссертации дан вывод общей формулы для декремента затухания, обусловленного нелинейным взаимодействием волн с частицами в релятивистской плазме. От аналогичного нерелятивистского выражения эта формула отличается учетом нелинейной зависимости импульса электрона от его скорости и в слаборелятивистском приближении имеет вид итш* ЗТ*" I к« - к; • ч21 [кхк,]2 уТ* 1 8 с* 2 1)

Случаю наиболее эффективной перекачки энергии ленгмюровских волн в часть спектра с фазовыми скоростями, большими скорости света, соответствует деодемент р' Ит\гт с где У\/е - плотность энергии колебаний.

Интенсивность нелинейной перекачки турбулентного ленгмюров-ского спектра с ростом температуры уменьшается. Этот факт имеет место также и в случае одномерной ультрарелятивистской плазмы ¡184]. При температурах порядка 10~2 ГПС^ релятивистские поправки становятся преобладающими.

В пятой главе получена также формула для нелинейного декремента при произвольных релятивистских температурах в длинноволновом приближении. Величина нелинейного декремента для релятивистских температур оказывается пропорциональной первой степени К /со , а не третьей, как это имеет место для нерелятивистских температур. При температурах, значительно превышающих массу покоя электрона, у 27 0 ( у уЛ к2- + згоит С 9 Кг +

В нерелятивистской плазме процессы индуцированного рассеяния волн на частицах в направлении перпендикулярном К не дают вклада в (к) . В релятивистской плазме такие процессы перестают быть запрещенными.

В шестой главе рассмотрено радиационное и столкновительное затухание волн в релятивистской плазме. Механизм резонансного поглощения энергии волн частицами, рассмотренный во второй главе, изучается одновременно с коллективной частью торможения излучением и столкновениями. В соответствии с результатами первой главы радиационное затухание может быть рассмотрено на основании релятивистского кинетического уравнения Власова, учитывающего реакцию излучения. Так как среднее за единицу времени значение квадратичной по полю части реакции излучения равно изменению за это время среднего импульса частицы при рассеянии на ней волны [45] , с.281, то учет торможения излучением в уравнении Власова связан с учетом потерь энергии - импульса при рассеянии волн на зарядах плазмы [187] .

Для оценки столкновительного затухания в диссертации использован интеграл столкновений Беляева - Будкера. Такой выбор диктуется преимущественно возможностью получить результаты в аналитической форме. При этом плазма предполагается достаточно разрешенной, так что частицы редко сближаются на малые расстояния. Более точная количественная оценка условий применимости приближения парных столкновений в плазме приведена в книге ¡13] Климонтовича. Учет коллективных взаимодействий приводит к функциональной зависимости интеграла столкновений от тензора диэлектрической проницаемости.

Так как этот тензор сам определяется функцией распределения, то и интеграл столкновений Балеску-Ленарда |35,-37, 188] , и полностью сходящийся интеграл Силина и Рухадзе [эб] , с. 225 , и интеграл Климонтовича [189] , учитывающий взаимодействия частиц на малых расстояниях (см. также [190-193] ) оказываются значительно усложненными. Различные сходящиеся интегралы столкновений, как показано в работах ¡194,195] могут приводить к одинаковым коэффициентам переноса. Наряду с методом корреляционных функций

I, 196-198] и методом теории флуктуаций и уравнения Фоккера - Планка [з, 13, 198-203] для расчета релаксационных процессов в плазме используются модельный интеграл столкновений Багнагара-Гросса-Крука ¡204, 205] , уравнение диффузии ¡20б] . Проблема установления и поддержания максвелловского распределения цри учете комптоновского рассеяния, образования электрон-позитронных пар, тормозного излучения и поглощения синхротронного излучения [207] рассматривалась в работах ¡208-211]. Выяснению роли коллективных эффектов в тормозном излучении в плазме с немаксвелловским распределением посвящена работа [212] Цытовича. Попытка рассмотреть торможение излучением в кинетической теории была предпринята Власовым [213], с. 162, а также в работах ¡21-2з], обобщающих на ковариантный случай схему Власова, в работах ¡24, 71, 73,214-21б] и др. В рамках тетрадного формализма эта проблема рассмотрена в работе [217]. Уравнения динамики излучающего электрона рассматривались в частности в работах [2,42,187,218-222].

В диссертации на основании релятивистского кинетического уравнения Власова с торможением излучением и интегралом столкновений Беляева-Будкера найдены дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн в релятивистской плазме. Основной качественный вывод, вытекающий из анализа дисперсионных уравнений и результатов второй главы относительно бесстолкновительной части диссипации энергии волн в релятивистской плазме, состоит в том, что во всей области спектра продольных и поперечных волн, где бесстолкно-вительное резонансное поглощение энергии волн частицами отсутствует, имеет место бесстолкновительное радиационное затухание.Это затухание является единственным для продольных волн с фазовыми скоростями большими скорости света, а также душ поперечных волн во всех областях спектра (см. также работы [223, 224] ).

Для слаб о затухающих по формуле Ландау [225] волн с фазовыми скоростями меньшими скорости света и, по крайней мере, на порядок превышающих тепловую скорость электронов, радиационное затухание определяется декрементом

2. 9 , . оч и превышает затухание Ландау. Для волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света где Т); - функции температуры. Для сильно релятивистской плазмы последняя формула приобретает вид

18 тс 1 ' л.

Вместе с результатами главы 2 эти формулы полностью описывают бесстолкновительное затухание в досветовой части спектра. В сверхсветовой части спектра ленгмюровских волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света Л йг ъ о^оД г2- / 1 и, в частности, при Т»1тпс2' вг 18 Ч г2- /.

Если фазовая скорость не слишком близка к С е2 тс!

Частота и волновой вектор связаны дисперсионной формулой Силина.

В пределе нерелятивистских температур и фазовых скоростей, значительно превышающих тепловую скорость частиц, декременты стол-кновительного затухания совпадают с результатами Гинзбурга и Ру-хадзе ¡22б]. Радиационное затухание поперечных волн определяется декрементом = ~ е^сОр/згпс^ , а ленгмюровских-формулой ( * ). В этом пределе столкновительное затухание ленгмюровских волн превосходит полное бесстолкновительное затухание. Однако радиационные затухания электромагнитных волн оказывается большим столкновительного при условии

4: Ы3/2 < 4 < Ш где Л - кулоновский логарифм. В диссертации приведены также выражения для декрементов затухания в области с<|2>«4 , р>» 4

Ленгмюровские волны в этой области характеризуются формулами Л

5с 8~ ехр 2

Для поперечных волн в этой области

1Гг=г.<4/зс > и радиационное затухание электромагнитных волн снова превосходит столкновительное затухание. Декремент затухания ленгмюровских волн за счет столкновений в этой области может быть как больше, так и меньше декремента радиационного затухания.

Другой асимптотический предел для сильно релятивистской плазмы соответствует с* р> » Л .В этом пределе радиационное затухание электромагнитных волн, значительно превосходит столкновительное. Для ленгмюровских волн, наоборот, столкновительное затухание превосходит радиационное. В длинноволновой области спектра в первом приближении по 1ГТ / дисперсия и декременты затухания продольных и поперечных волн совпадают и равны оо

0>а=а&*1С2С«*) К^(х)/хг ; о С и сы г г 00

ЬЙ т •

Радиационное затухание длинных волн слабо зависит от температуры. Декремент столкновительного затухания убывает с ростом температуры в нерелятивистской области , в ультрареляти —2 2, вистской плазме ~ Г .В частности при Т » ГП С и > ^с • Соотношения между затуханием Ландау, столкнови-тельным и радиационным затуханием иллюстрируются графически.

Величина радиационного декремента затухания не превосходит своего значения, характерного для нерелятивистских температур.

В диссертации и в работах ¡227,228] рассмотрено также распространение волн в холодной магнитоактивной плазме на основе гидродинамических уравнений, полученных из уравнения Власова учитывающего торможение излучением. Качественно отличные результаты получены для случая сильных магнитных полей, когда циклотронная частота значительно превосходит плазменную частоту. В этом случае декремент радиационного затухания электромагнитных волн с левой круговой поляризацией близок к нулю, а радиационное затухание электромагнитных волн с правой круговой поляризацией, плазменных колебаний вблизи циклотронной и гибридной частот описываются одной и той же формулой

К- 2ъ0 22/3 с = -1,4"10 8 Ь2 с"!

В отличие от случая изотропной плазмы этот результат не содержит зависимости от плотности числа частиц.

Далее, в шестой главе рассмотрена пучковая неустойчивость в слаборелятивистской плазме. Показано, что при наличии релятивистского пучка без теплового разброса скоростей, ленгмюровские волны с фазовыми скоростями меньшими скорости пучка затухают за счет торможения излучением сильнее, а волны с фазовыми скоростями большими скорости пучка затухают радиационно слабее, чем волны в плазме без пучка. Инкремент пучковой неустойчивости в присутствии холодного релятивистского пучка определяется формулой

СО

РЬ о JS Г л , Wkv

K*vz/ U 1 K2V2

1- ^о(к)

Качественное отличие этой формулы от аналогичного нерелятивистского выражения проявляется в том, что пучковая неустойчивость при K^V > Clip существует и в холодной плазме. При конечных температурах плазмы и пучка и для фазовых скоростей волн много больших тепловой скорости пучка наибольшее значение инкремента неустойчивости равно ~ у +1* Е ш. о к2 Ть тс2- к2 Ть

При Уф/УТ~ Ю2, » Е ~тс2 радиационное затухание препятствует развитию пучковой неустойчивости

Л 5Г —я начиная с плотностей плазмы Л ~ Ъ- 10 см

Влияние радиационных эффектов на пучковую неустойчивость рассматривалось также в работах ¡229, 23о].

Ряд интересных радиационных эффектов проявляется в рамках квазилинейной теории ¡231-23б]. В частности, эффект увлечения электронов поперечной волновой связан с^аличием в силе Лоренца-Дирака слагаемого, пропорционального Г Е * В1 , отличного от нуля в среднем за период и приводящего к захвату частиц поперечной волной. Движение электрона в поле волны в механике рассматривалось, например, в работах [2,237-239] .

Из квазилинейного уравнения диффузии для релятивистской плазмы, полученного в работах ¡240-241}, в диссертации, следует ре -зультат где 11 - плотность электромагнитной энергии волны. При этом увеличение импульса частиц плазмы в точности равно уменьшению импульса волны.

Потери энергии электронов на излучение сказываются также на изменении плотности энергии плазмы. При распространении ленгмюровских волн эта величина изменяется в квазилинейном приближении,

- 42 -• в то время, как плотность импульса остается неизменной. Этот результат можно также получить путем непосредственного подсчета энергии излучения электронов единицы объема плазмы. В диссертации подробно рассмотрена квазилинейная релаксация функции распределения Максвелла и приведены формулы учитывающие уменьшение температуры плазмы вследствие потерь энергии частиц на излучение.

- 276 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели ряд связанных между собой проблем статистической теории высокотемпературной плазмы, имеющих большую или меньшую общность. Остановимся кратко на возможности дальнейшего использования и развития полученных результатов и выводов.

В первой главе мы показали, что статистическая теория систем движущихся зарядов не может быть включена в общепринятую схему статистической механики, и предложили более общую схему, основанную не только на недетерминированности динамических состояний, но и на не-дерминированности закона движения частиц. В такую схему укладывается и статистическая теория систем с запаздыванием, включая классические системы с дальнодействующими силами, и теория систем с детерминированными динамическими состояниями и законами движения, которые могут быть описаны при помощи уравнений Климонтовича. Мы получили цепочку уравнений Боголюбова для систем с запаздыванием взаимодействий и показали, что для любого 2 - частичного уровня усреднения существует самосогласованное замкнутое уравнение, совпадающее при 1 с уравнением Власова. Такое уравнение при подходящем выборе (I , зависящем от характера физических процессов, может рассматриваться в качестве исходного для систем движущихся зарядов. По идее такие уравнения близки к уравнениям Леонтовича для многочастичных функций распределения больцмановского газа. Вопросы об условиях существования равновесных состояний систем движущихся зарядов и полей в рамках предложенного подхода, о релаксации систем к равновесию могут составить предмет дальнейших исследований.

Далее, предложенная схема статистического описания может быть легко обобщена на случай систем и физических явлений, в которых могут оказаться важными эффекты рождения и уничтожения частиц.

Остается также открытым традиционный подход, связанный с решением в общем виде уравнений для двухчастичных функций распределения и получением на этой основе интегралов столкновений кинетических уравнений. Эта задача, привлекательная математически, может оказаться не имеющей дальнейших приложений из-за чрезвычайной сложности результатов.

Все уравнения для £ - частичных функций распределения движущихся зарядов содержат сингулярности, обусловленные самодействием частиц. Вычитая из сингулярных слагаемых чисто кулоновские расходимости, мы получаем, согласно Дираку, реакцию излучения. В диссертации эта программа реализована для кинетического уравнения, и, следовательно, для коллективной части торможения излучением.

Нам представляется целесообразным вычисление реакции тормозного излучения в замкнутом самосогласованном уравнении власовско-го типа для двухчастичной функции распределения и рассмотрения на основе этого уравнения электромагнитных процессов в плазме.

Мы рассмотрели некоторые проблемы физики релятивистской плазмы, представляющие интерес также и с точки зрения математической и теоретической физики. В частности, мы нашли аналитическое выражение для продольной диэлектрической проницаемости, содержащее в качестве предельных случаев известные результаты Силина и Цытови-ча-Михайловского.

Используя интегральное представление Трубникова тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы и четырехмерный метод стационарной фазы, мы получили тензор диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле и смогли проследить за возбуждением и поглощением мод Бернстейна.

Эти результаты могут совершенствоваться по пути их дальнейшего упрощения и использоваться, в частности, при изучении переходного процесса изотропная - магнитоактивная плазма. Интересной представляется также разработка теории "магнитоплазменных каустик" - областей с аномальными изменениями тензора диэлектрической проницаемости.

По отношению к возмущениям плазма является нелинейной средой. Как было показано Цинцадзе, в такой среде нельзя не учитывать релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости,, приводящей к параметрической неустойчивости ленгмюровских волн, невозможной в нерелятивистской теории. Вместе с тем в нерелятивистской теории Силиным предложен метод изучения параметрических процессов, справедливый и для сильных возмущающих полей, когда импульс, приобретаемый электроном в поле волны накачки, не мал по сравнению со своим средним тепловым значением. Мы развили этот метод далее, для случая релятивистской плазмы и конечной длины волны и на его основе рассмотрели модуляционную и параметрическую неустойчивость в релятивистской плазме. Вычислены также коэффициенты индуцированного рассеяния волн на частицах в слаботурбулентной релятивистской плазме.

Результаты нелинейной теории могут найти применение при расчете различных 3-х и 4-х волновых взаимодействий в релятивистской изотропной и магнитоактивной плазме.

В диссертации сделан вывод о том, что в электрон-позитронной плазме электромагнитные волны в линейном приближении усиливаются на релятивистской циклотронной частоте, лежащей в радиодиапазоне, и найдены инкременты нарастания для таких волн. С точки зрения объяснения радиоизлучения пульсаров представляет интерес нелинейный расчет возбуждения волн в такой плазме.

Наконец важным для дальнейшего развития теории плазмы явилась бы экспериментальная проверка приведенных в диссертации декрементов затухания электростатических колебаний в магнитоактивной плазме, а также декрементов радиационного затухания электромагнитных и ленгмюровских волн.

Эксперименты по измерению дисперсии волн при наличии релятивистского пучка с тепловым разбросом скоростей, как показано в диссертации, могли бы дать однозначный ответ относительно закона преобразования температуры в релятивистской физике.

Результаты, изложенные в диссертации докладывались на семинарах кафедр теоретической физики и электроники физического факультета МГУ, в ИОФАН СССР (семинар под руков. проф. А.А.Рухадзе), на Ломоносовских чтениях физического факультета МГУ (1982) на 6-ой Всесоюзной конференции по физике вакуумного ультрафиолетового излучения и взаимодействию излучения с веществом (Москва, 1982), на 5-ой Советской гравитационной конференции (Москва, 1981), на Всесоюзной научной конференции "150 лет геометрии Лобачевского" (Казань, 1976). Кроме того, основные выводы и результаты, изложенные в диссертации использовались автором в течение трех лет при чтении общего курса лекций на физическом факультете МГУ по теоретической механике и механике сплошных сред, а также при чтении специального курса по электродинамике и кинетике систем релятивистских зарядов.

1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. - М.: Гостехиздат, 1946.

2. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М.: Наука, 1974.

3. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: Наука, 1975.

4. Balescu R., Kotera Т. On the covariant formulation of classical relativistic statistical mechanics. Physica, 1967, v.33, p.558-580.

5. Balescu R., Kotera Т., Pina E. Lorentz transformation in phase space and in physical space. Physica, 1967, v.33, p. 581-594.

6. Balescu R., Baus M., Pytte A. On some mathematical aspects of classical relativistic statistical mechanics. Bull.01. Sci. Acad. Roy. Belg., 1967, v.53, p.1043-1069.

7. Balescu R., Paiva-Veretennicoff I. Correlation patterns for an electromagnetic field interacting with a relativistic plasma. Bull. CI. Sci. Acad. Roy. Belg., 1971, v. 57,p.457-476.

8. Balescu R., Paiva-Veretennicoff I., Brenig L. Kinetic equation of relativistic plasma in the weak coupling approximation. Bull .CI.Sci.Acad.Roy.Belg., 1973, v.59, p.812-841.

9. Balescu R., Paiva-Veretennicoff I., Brenig L. Kinetic theory of the plasma-dynamical modes the transport coefficients of a relativistic plasma. -Physica, 1975» v.81A, p.17-46.

10. Климонтович Ю.Л. Потери энергии заряженных частиц на возбуждение колебаний в плазме.-Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959, т.36, с.1405

11. Климонтович Ю.Л.Кинетические уравнения для релятивистской плазмы.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1959,т.37,с.735

12. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория электромагнитных процессов.-М.:Наука, 1980.

13. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика.-М.:Наука,1982.

14. Clemmow P.C., Willson A.J. The dispersion equation in plasma oscillations. Proc. Roy. Soc., 1956, v. 237A, p. 117-131 .

15. Беляев С.Г.,Будкер Г.И. Релятивистское кинетическое уравнение. -ДАН СССР, 1956, т. 107, )£б, с. 807-810

16. Черников H.A. Релятивистский интеграл столкновений.- ДАН СССР, 1957, т.114,№3, с. 530-532.

17. Черников H.A. Приведение релятивистского интеграла столкновений к форме Больцмана.-ДАН СССР,I960,т.133,Ж,с.84-87.

18. Кузьменков Л.С. Некоторые вопросы ковариантной статистики в гравитационном поле.-Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон., 1972,Ж, с.28-34.

19. Кузьменков Л.С. 0 построении гидродинамики в теории тяготения на базе ковариантных статистических уравнений.-Вестн.Моск. ун-та.С ер.физ.-ас трон.,1972,№5,с.614-616.

20. Hakim.R . Remarks on relativistic statistical mechanics.1.. Hierarchie for the reduced densities. J. Math. Phys.,1967, v.8, № 7, p.1379-1400.

21. Hakim R., Mangeney A. Relativistic kinetic equations including radiation effects. I. Vlasov approximation. J. Math. Phye., 1968, v.9, № 1, p.116-130.

22. Кузьменков Л.С. Цепочка уравнений Боголюбова для релятивистских систем.Радиационное затухание волн в плазме.- ДАН СССР, 1978,т.241,№2,с.322-325.

23. Trubnikov В.A. Kinetics of slightly relativistic plasma. -Nucl.Fusion, 1968, v.8, p.51-67.

24. Трубников Б.А.,Косачёв В.В. Термодинамика слаборелятивистской плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1968,т.54,с.939-947.

25. Trubnikov В.A., KosachevV.V. Generalization of the methods of Bogolyubov and Mayer for the case of Darwin* s Lagrangian with velocit-dependent pair interactions. Nucl. Fusion, 1974, v.14, № 3, p.435-438.

26. Павлоцкий И.П. Теорема Лиувилля для слаборелятивистских систем.-ДАН СССР, 1975, т. 224 «Ш.с. 563-565.

27. Павлоцкий И.П. Ансамбль Гиббса и цепочка уравнений для корреляционных функций слаборелятивистских систем.- ДАН СССР,1969, т.188,№4,с.784-787.

28. Павлоцкий И.П. Проблемы статистической механики нелагранжевых систем.II.Уравнения Боголюбова для корреляционных функций.-Ин-т прикладной математики, Препр.,1969, №18.

29. Павлоцкий И.П. Проблемы статистической механики нелагранжевых систем.1У.Кинетические уравнения для слаборелятивистских систем.-Ин-т прикладной математики, Препр.,1969, №34.

30. Кузьменков Л.С. Уравнение эволюции во времени статистической системы движущихся зарядов.-Моск. госуд. ун-т им. М.В.Ломоносова, Физический факультет, Препр.,1981, №25.

31. Прохоров Ю.В.Розанов Ю.А. Теория вероятностей.- М.:Наука, 1973, с. 257-391.

32. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов.-Журн. эксперим. и теоретич. физ.,1935, т.5, с.211

33. Balescu R. Irreversible processes in ionized gases. Phys. of Fluids, 1960, v.3, p.52.

34. Lenard A. On Bogolyubov kinetic equation for a spatially homogeneous plasma. -Ann.Phys., 1960, v.3, p.90.

35. Guernsey R.L. The kinetic theory of fully ionized gases. Off. Nav. Res. Contract № 1224, July 1960,p.15.

36. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика.т.2.- М.: Мир,1978,с.268-308.

37. Силин В.П. Об интеграле столкновений для заряженных частиц.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1961,т.40,с.1769

38. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов.- М.:Наука, 1971, с. 267-272.

39. Климонтович Ю.Л. Релятивистское кинетическое уравнение для плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1960,т.38,с.1212

40. Иваненко Д. ,Соколов/:А. Классическая теория поля.- M.vl.: Гостехиздат, I95I,c. 119-279.

41. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Теория йоля.-М.:Наука,1967.

42. Breuer R.А. Coupled gravitational and electromagnetic waves in Arbitrary space-time with magnetized plasmas and dust.- Gen. Rel. Grav., 1982, v. 14, № 8. p. 757-769.

43. Кузьменков Л.С. Об одной метрике пространства событий.- Изв. вузов СССР.Физика, 1975,№5,0.130-131.

44. Кузьменков Л.С. Динамический принцип соответствия в релятивистской теории тяготения. Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского" Пленарные доклады.-М.: ВИНИТИ, 1977,с. 141-146.

45. Силин В.П. Об электромагнитных свойствах релятивистской плазмы.1.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1960,т.38,с.1577

46. Силин В.П.,Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред.-М.:Атомиздат,1961.

47. Clemmow P.C., Willson A.J. The dispersion equation in plasma oscillations. Proc.Roy.Soc., 1956, v.237A, p.117.

48. Кузьменков Л.С.Поляков П.А.Подосёнов П.Б. К вопросу о вычислении средних в равновесной системе релятивистских гравитирую-щих частиц с цилиндрической симметрией.-Вестн.Моск. ун-та.Сер. физ.-астрон., 1977,т.18,№5,с.89-94.

49. Цытович В.Н. 0 пространственной дисперсии в релятивистской плазме.-Журн. эксперим.и теорет. физ.,1961,т.40,с.1775

50. Гершман Б.Н. К вопросу о распространении электромагнитных волн в слаборелятивистской магнитоактивной плазме.-Изв. вузов СССР.Радиофизика, I960,т.3,с.534

51. Imre К. Oscillations in a relativistic plasma. Physics. Fluids, 1962, v.5, p.459-466.

52. Buti B. Plasma oscillations and Landau damping in a relativistic gas. Physics Fluids, 1962, v.5, p.1.

53. Buti B. Relativistic effects of plasma oscillations and two-stream instability. I. -Physics Fluids, 1963, v.6, p.89.

54. Цытович В.Н.,Каплан С.А. Релятивистская турбулентная плазма в пульсарах.-Астрофизика, 1972,т.8,с.441

55. Суворов Е.В.,Чугунов Ю.В. Электромагнитные волны в релятивистской плазме с сильным магнитным полем.-Астрофизика,1975,т.II,с.305

56. Ломинадзе Д.Г.Михайловский А.Б. Продольные волны и пучковая неустойчивость в релятивистской плазме.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1979,т.76,с.959

57. Wright Т.P., Hadley G.R. Relativistic distribution functions and applications to electron beams. Phys.Rev.A., 1975, v.12, p.686.

58. Misra P. Dispersion formulae for waves in a relativistic plasma. J.Plasma Phys., 1975, v.14, p.529.

59. Godfrey B.B., Newberger B.S., Taggart К.A.

60. A relativistic plasma dispersion function. IEEE Trans. Plasma Sci., 1975, v.PS-3, p.60.

61. Godfrey B.B., Newberger B.S., Taggart K.A.

62. The initial value problem in relativistic plasma. -IEEE Trans.Plasma Sci., 1975, v.PS-3, p.185.

63. Godfrey B.B., Newberger B.S., Taggart K.A. Relativistic linear theory in the absence of external fields. IEEE Trans.Plasma Sci., 1975, v.PS-3, p.68.

64. Maroli C., Petrillo V. Numerical calculations of the weakly relativistic dielectric dyadic for a Vlasov plasma. -Phys.Scr., 1981, v.24, № 6, p.955-958.

65. Mikhailovskii A.B. Oscillations of an isotropic relativistic plasma. Plasma Phys., 1980, v.22, p.133-149.

66. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А.,Ситнов М.И.,Трубачёв 0.0. Асимптотические формулы для функции диэлектрического отклика релятивистской плазмы.-Вестн.Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон., 1982, т. 23, М, с. 48-53.

67. Силин В.П.,Урсов В.Н. Об окончании спектра электронных ленгмю-ровских волн ультрарелятивистской плазмы.- Краткие сообщения по физике, 1982,М,с.34-40.

68. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А.,Ситнов М.И.,Трубачёв 0.0. Представление продольной диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы сходящимся рядом в длинноволновой области.-Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон.,1982,т.23,№3,с.77-79.

69. Кузьменков Л.С.,Ситнов М.И. Диэлектрическая проницаемость ультрарелятивистской плазмы.-Изв. вузов СССР.Физика, 1982 , m , с. 57 60.

70. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М. и Стиган И.М.- М.: Наука, 1979.

71. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А.,Подосёнов П.Б. 0 гидродинамическом описании волн в горячей релятивистской плазме.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон.,1982,т.23,№5,с.12-17.

72. Hyun S., Kennel С.F. Small amplitude waves in hot relati-vistic twofluid plasma. J.Plasma Phys., 1978, v.20, Part 2, p.281-287.

73. Kwok-Kee Tain, Kiang D. The relativistic Boltzmann equation and the equations of magnetо-hydrodynamics with radiative reaction. Progr. of Theoret. Phys., 1979, v.62, № 5, p.1245-1252.

74. Ахиезер А.И.,Файнберг Я.Б. 0 взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой.- ДАН СССР,1949,т.69,с.555-556.

75. Ахиезер А.И.,Файнберг Я.Б. 0 высокочастотных колебаниях электронной плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1951, т.21, с.1262-1269.

76. Ахиезер А.И.,Файнберг Я.Б. Медленные электромагнитные волны.-Успехи физических наук,1951,т.44,с.321-368.

77. Bohm D., Gross Е. Theory of plasma oscillations. A. Origin of motion Lake Behavior.

78. Phys. Rev., 1949, v.75, p. 1851-1864.

79. Bohm D., Gross E. Theory of plasma oscillations.

80. В. Excitation and damping of oscillations. -Phys.Rev., 1949, v.75, p.1864-1876.

81. Lashwore-Pavies G.N. Plasma physics and instabilities. -GeRN.Sci.Rept., 1981, № 13, XI, p.1-78.

82. Рухадзе A.A. 0 взаимодействии пучка заряженных частиц с плазмой.- Журн. техн. физ.,1962,т.32,с.669-673.

83. Рухадзе A.A. Сильноточные электронные пучки.- Вестн. АН СССР,1972,M,с.19-27.

84. Богданкевич Л.С.,Рухадзе A.A. Устойчивость релятивистских электронных пучков в плазме и проблема критических токов.-Успехи физических наук,1971,т.103,вып.4,с.609-640.

85. Рухадзе А.А.,Рухлин В.Г.,Северьянов В.В. Динамика индуцированных полей на инжекцию релятивистского электронного пучка в плазму.-Физ.плазмы,1978,т.4,№2,с.463-467.

86. Кузьменков Л.С.,Лоскутов Ю.М.,Поляков П.А. 0 дисперсии плазменных волн при наличии релятивистского пучка.- Изв. вузов СССР.Физика, 1979,№2,с.116-118.

87. Эйнштейновский сборник 1969-1970/ Отв.ред. И.Е.Тамм, Г.И.Наан.-М.:Наука,1970,с.7-86.

88. Каллен. Г.,Горвиц ДК. Релятивистская термодинамика.- Успехи физических наук,1972,т.107,с.489-704.

89. Eimeprl 0. On relativistic thermodynamics. Ann.Phys.(USA), 1975, v.91, № 2, p.481-498.

90. Treder H.T. Die Strahlunge-Temperatur Bewegter Körper. -Arm. Phys. (DDR), 1977, v. 34, № 1,p. 23-29.

91. Базаров И.П.,Геворкян Э.В. О релятивистском преобразовании теплоты и температуры.- Вестн. Моск. ун-та.Сер. физ.-астрон., 1972,№4,с.488-490.

92. Базаров И.П. Термодинамика.-М. -.Высшая школа, 1976.

93. Кузьменков JI.С.Поляков П.А. Об определении и рпеобразова-нии температуры в ковариантной статистической механике.-Вестн. Моск. ун-та.Сер. физ.-астрон.,1977,№1,0.94-96.

94. Балдвин Д. .Бернстейн А.,Вининк М. Кинетическая теория плазменных волн в магнитном поле.- В сб."Достижения физики плазмы, перевод с англ. под редакцией Рабиновича М.С.1. М.:Мир,1974,с.172-306.

95. Armstrong R.J., Rasmussen J.Juul, Stenzel R.L., Trulsen J.

96. Observation of obliquely propagating electron Bernstein waves. Phys.Lett, 1981, A85, № 5, p.281-284.

97. Александров А.Ф. .Богданкевич Л.С.,Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы.-M.:Высшая школа, 1978,с.3-403.

98. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы.-М.:Атомиздат, 1975,с.5-278.

99. Лифшиц Е.М.,Питаевский Л.П. Физическая кинетика.- М.:Наука, 1979,с.145-342.

100. Трубников Б.А. Электромагнитные волны в релятивистской плазме при наличии магнитного поля.- В сб. Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций,т.3.- М.: изд-во1. АН СССР, 1958, с.104-113.

101. Gordeyev A.N. Motion of particles in a oscillating plasma. -Physica, 1981, A109, № 3, p.465-482.

102. Dominguez R., Hakim R., Sivak H.

103. Waves in relativistic anisotropic plasma from hydrodynami-cal equations. -Phys.Rev.A: Gen.Phys., 1981, v.24, № 3, p. 1561-1566.

104. Kaplan A.E. Hysteresis in cyclotron resonance based on weak relativistic-mass effects on the electron. -Phys.Rev.Lett., 1982, v.48, № 3, p.138-141.

105. Днестровский Ю.Н.Костомаров Д.П.,Скрыдлов Н.В. Волны в плазме в окрестности циклотронных резонансов.- Журн. техн. физ.,1963,т.33,№8,с.922-928.

106. Tsai S .Т ., Wи С .S ., Wang Y .D ., Kang S .W .

107. Dielectric tensor of a weakly relativistic, nonequilibrium and magnetized plasma.

108. Phys.Fluids, 1981, v.24, № 12, p.2186-2190.

109. Shkarofsky I.P. Dielectric tensor in Vlasov plasmas near cyclotron harmonics.

110. Phys.Fluids, 1966, v.9, p.561.

111. Alroldi A.C., Orefice A. Relativistic dielectric tensor of a Maxwellian plasma for electron cyclotron waves at arbitrary propagation angles. J. Plasma Phys., 1982, v.27, № 3, p.515-524.

112. Wu С .S ., Lin С .S ., Wong H .K., T sai S .T ., Zhon R .L . Absorption and emission of extraordinary-mode electromagnetic waves near cyclotron frequency in nonequilibrium plasmas.

113. Phys.Fluids, 1981, v.24, № 12, p.2191-2196.

114. Трубников Б.А. Универсальный коэффициент выхода циклотронного излучения из плазменных конфигураций.- В сб. Вопросы теории плазмы под ред. М.А.Леонтовича, вып 7.-М.:Атомиз-дат, 1973,с.274-299.

115. Лукьянов С.Ю.Горячая плазма и управляемый ядерный синтез.-М.: Наука, 1975, с.7-398.

116. Bornatici М. Theory of electron cyclotron absorptionof magnetized plasmas. Plasma Phys., 1982, V. 24, № 6, p.629-638.

117. Bornatici M. Physics of electron cyclotron absorption.

118. Mod.Plasma Phys. Trieste Course, 1979. Basic Course, Trieste, 16 Oct.-23 Nov., 1979'. Vienna,1981 , p.319-342 .

119. HO. Ohnuma Т., Watanabe Т., Hamamatsu K. Electromagnetic cyclotron harmonic waves. Jap. J. Appl. Phys., 1981, v.20, № 10, p.L705-L708.

120. Ohnuma Т., Watanabe Т., Hamamatsu K. Electromagnetic cyclotron harmonic waves. Res. Rept. Inst. Plasma Phys. NagoyaUniv., 1981 , № 536, 14 p.

121. Misra P., Mohanty J.N. Dispersion formulae for waves in a magneto-active relativistic plasma. J. Plasma Phys., 1980, v.24, part 3, p.409-420.

122. Киценко А.Б.,Степанов K.H. Распространение волн в плазме поперёк магнитного поля.- Ядерный синтез, 1964, т.4,вып. 4, с. 272 278.

123. Каладзе Т.Д.,Ломинадзе Д.Г.,Степанов К.Н.Исследование дисперсии циклотронных волн в плазме.-Журн. техн. физ.,1972, т.42,вып.2,с.243-252.

124. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. -М. : Наука, 1967.

125. Оншценко О.Г. Электромагнитные волны в релятивистской плазме.» Препринт ИКИ АН СССР, 1979, Пр-518.

126. Nikolaev Yu.A., Tsitovich V.N. The power law spectra of relativistic electrons in a plasma in a random magnetic field. Phys.Scripta, 1979, v.20, p.665-668.

127. Папуашвили H.A.,Цикавишвили Т.,Цинцадзе Н.Л. Роль релятивистских эффектов в возбуждении низкочастотных волн в магнито-активной плазме.- Физика плазмы,1980, т.6,вып.3,с.603-612.

128. Кузьменков Л.С.,Ситнов М.И. Сверхсветовые волны в релятивистской плазме в слабом магнитном поле.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон, 1983,т.24,№5,с.74-76.

129. Федорюк M.B. Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в многомерном случае.- Журн. вычислит, матем. и матем. физ., 1964,т.4,№4,с.671-682.

130. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы в многомерном случае. Вклад от границы области.- Журн. вычислит, матем. и матем. физ.,1970,т.10,№2,с.286-299.

131. Кузьменков Л.С.,Ситнов М.И. Метод стационарной фазы в релятивистской кинетической теории магнитоактивной плазмы.- М.:МГУ, 1983,Деп.26 апр.1983 г.,№2234-83 Деп.

132. Ginsburg V.L., Zheleznyakov V .V . On the pulsar emission mechanisms. Ann. Rev. Astr. Astrophys., 1975, v. 13, p. 511-535.

133. Ryderman M.A., Sutherland P.G. Theory of pulsars: polar gaps, sparks and coherent microwave radiation. Astrophys.J., 1975, v.196, № 1, part 1, p.51-72.

134. Михайловский А.Б. Об иерархии неустойчивостей пульсарной плазмы.-Письма в Астрон.журн. ,1979,т.5,М1,с.604-606.

135. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. Электромагнитные волны в релятивистской одномерной плазме, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля.- Изв. вузов СССР.Физика, 1983 ,№5,с.65 68.

136. Веденов A.A.,Рудаков Л.И. 0 взаимодействии волн в сплошных средах.- ДАН СССР, 1964,1.159,^4,0. 767-770.

137. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972,т.62,№-5,с.1745-1759.

138. Взаимодействие сильных электромагнитных волн с бесстолкно-вительной плазмой / Сборник научн. трудов АН СССР, отв. ред. Литвак А.Г. Горький: Ин-т прикладной физики, 1980,214 с.

139. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму. М.: Наука, 1973.

140. Галеев А.А.,Сагдеев Р.З. Нелинейная теория плазмы.- В сб. Вопросы теории плазмы под ред.М.А.Леонтовича,вып.7.М.: Атомиздат, 1973,с.3-204.

141. Пустовалов В.В.,Силин В.П. Нелинейная теория взаимодействия волн в плазме.- Труды ФИАН СССР,1972,т.61,с.42-281.

142. Ситенко А.Г. Флуктуации и нелинейные взаимодействия волн в плазме.-Киев : Наукова думка, 1977.

143. Weatherall J.С. Wave-wave interaction and the self-focusing of Langmuir waves. Phys. Fluids, 1982, v.25, № 1 , p.212-213.

144. Gradov O.M., Ramazashvili R .R., Stenflo L. Parametric transparency of a magnetized plasma. Plasma Physic, 1983, v.24, № 9, p.1101-1109.

145. Kleinert H. Field theory of collective excitations. II. Large-amplitude phenomena. - Lett. Nuovo cim., 1981, v.31, № 15, p.521-527.

146. Max С.E. Steady-state solution for relativistically strong electromagnetic waves in plasmas. Phys.Fluids, 1973, v.16, № 8, p.1 277-1288.

147. Moreau D. On the derivation of dispersion relations for parametric instabilities. Plasma Phys., 1981, v.23, № 1 , p.1 5-21 .

148. Krapehev V.B. Quasi-linear theory of parametric processes in unmagnetized plasma. Phys. Fluids, 1979, v.22, № 9, p.1657-1663.

149. Силин В.П. 0 сдвиге и уширении.линий излучения при параметрической неустойчивости плазмы.- Краткие сообщения по физике, 1979,МО, с.35-37.

150. Цинцадзе Н.Л. О возможности параметрического резонанса в электронной плазме.-Журн.эксперим. и теорет.физ., 1970,т.59, № 10, с.1251-1253.

151. Dobrowolny М., Ferrari A., Bosia G. Plaama instabilities of a relativistically strong electromagnetic wave. -Plasma Phys., 1976, v.18, № , p.441-452.

152. Цикаришвили Э.Г., Цинцадзе Н.Л. К теории параметрического возбуждения ленгмюровских колебаний в релятивистской электронной плазме.- В сб. Физика плазмы. Тбилиси: 1975, вып.1, с. 83-88.

153. Цинцадзе Н.Л.,Цикаришвили Э.Г. Параметрические неустойчивости В релятивистской плазме.- Astrophys. and Space

154. Science, 1976, № 39, p.181-190.

155. Цинцадзе Н.Л.,Цхакая Д.Д.Дирсели Е.М. О колебаниях плазмы, помещённой в сильное переменное электрическое поле.-В сб. Физика плазмы.Тбилиси: 1975, вып I, с.5-44.

156. Кузьменков Л.С.,Соколов А.А.,Трубачёв 0.0. Параметрическое возбуждение ленгмюровских колебаний в релятивистской электронной плазме.-Изв. вузов СССР.Физика,1982,№5,с.58-61.

157. Ьее М.А., Lerche I. On the stability of self-consistent large amplitude waves in a cold plasma. Part 2. Longitudinal waves in the absence of a large-seale magnetic field. -J.Plasma Phys., 1979, v.21, part 1, p.27-42.

158. Ахиезер А.И.,Половин P.В. К теории волновых движений электронной плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1956,т.30, №5,с.915-928.

159. Berezhiani V .1., Tsintsadze H.L., Т skhakaya D .D . Nonlinear phenomena in plasma with relativistic high frequency electron motion. J. Plasma Phys., 1980, v. 24-, part 1 , p .1 5-23 .

160. Tsintsadze N .L., Tskhakaya D .D ., Stenflo L. Modulationinstabilities due to relativistic electron mass variations.

161. Phys.Letters, 1979, v.72A, № 2, p.115-116.

162. Цинцадзе Н.Л.,Цхакая Д.Д. К теории электромагнитных волн в плазме.-Журн.эксперим. и теоретич.физ.,1977,т.72,№2,с. 480-487.

163. Han S.J. Stationary localized envelope waves in plasmas. Phys.Fluids, 1981, v.24, № 5, p.920-925.

164. Abraham Chian C.-L. Relativistically strong-coupled transverse-longitudinal waves in an electronien plasmas. Phys. Rev.A: Gen.Phys., 1981, v.24, № 5, p.2773-2776.

165. Kane E.L., Нога H. Relativistic and nonlinear radiation interaction between laser beams and plasmas. Austral.J. Phys., 1981, v.34, № 4, p.385-405.

166. Бережиани В.И.,Томарадзе Г.Д. Динамика нелинейных ионно-цик-лотронных волн, распространяющихся вдоль магнитного поля.-Сообщ. АН ГССР, 1981,т.104,№2,с.333- 335.

167. Папуашвили Н.А. Релятивистские эффекты в изотропной плазме.-Сообщ. АН ГССР, 1981,т.102,№3,с.589-592.

168. Clemmow Р.С. Further analysis of nonlinear, periodic, highly superluminous waves in magnetized plasma. -J.Plasma Phys., 1982, v.27, № 1, p.177-187.

169. Sen A. Nonlinear effects in wave propagation. -"Mod.Plasma Phys. Trieste Course. 1979. Basic Course, Trieste, 16 Oct.-23 Nov., 1979 " . Vienna, 1981, p.249-273.

170. Альтшуль Л.М.,Карпман В.И. К теории нелинейных колебаний в плазме без столкновений.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965,т.49,№2,с.515-528.

171. Goldman М .V ., Berk Н .L. Stability of a trapped particle equilibrium. Phys.Fluids, 1971, v.14, № 4, p.801-804.

172. WongM.V. Stability of Bernstein-Greene-Kruskal wave with small fraction of trapped electrons. Phys. Fluids, 1972, v.15, № 4, p.632-646.

173. Nishikawa K. Physics of wave particle interaction. -"Mod. Plasma Phys. Trieste. Course 1979. Basic Course, Trieste, 16 Oct.- 23 Nov., 1979 " . Vienna, 1981, p.417-436.

174. Pocobelli G. Electron motion in wave of slowly varying amplitude. Phys .Fluids, 1981, v.24, p.2173.

175. Pocobelli G. Damping of an electron plasma wave with de-trapping of the electrons.-Phys.Fluids,1981, v.24,p.2177-2178.

176. X67. Karttunen D .J ., Heikkinen J.A. Particle trapping in stimulate scattering processes. Plasma Phys., 1981, v. 23, № 10, p.869-880.

177. Боголюбов H.H.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М.: Физматгиз,1974,с.42-137.

178. Wang Н .S .С . Nonlinear stationary waves in relativistic plasmas. Phys .Fluids, 1963, v.6, № 8, p.1115-1123.

179. Кадомцев Б.Б.Петвиашвили В.И. Слаботурбулентная плазма в магнитном поле.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962,т. 43, № 6,'с.2234-2244.

180. Drummond W ,Е ., Pines D. Non-linear stability of plasma oscillations. Nucl.Fusion,Suppl., 1962. Pt.3, p.1049-1057.

181. Галеев A.A.,Карпман В.И. Турбулентная теория слабонеравновесной разреженной плазмы и структура ударных волн.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1963,т.44,с.592-605.

182. Карпман В.И. К теории слаботурбулентной плазмы.-ДАН СССР, 1963,т.152,ЖЗ,с.587-590.

183. Силин В.П. К кинетической теории взаимодействия плазменных волн.- Журн. прикл. механики и технич. физ.,1964,Ж,с.31-40.

184. Кадомцев Б.Б.,Карпман В.И. Нелинейные волны.- Успехи физических наук, 1971,т.103,№2,с.193-232.

185. Цытович В.Н. Развитие представлений о плазменной турбулентности.- Успехи физических наук,1972,т.108, с.143-176.

186. Наугольных К.А.,Рыбак С.А. 0 затухании Ландау при взаимодействии регулярных волн и шума.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1978,т.74,с.952-955.

187. Ахиезер А.И.,Алексин В.Ф.,Ходунов В.Д. К теории колебаний газа плазмонов в слаботурбулентной плазме.- Журн. эксперим. и теоретич. физ.,1978,т.74,с.944-951.

188. Цытович В.Н. Теория турбулентной плазмы.- М.:Госатомиздат, 1971.

189. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме.-М.:Наука, 1976.

190. Веденов A.A. Теория турбулентной плазмы.-М.: Ин-т научной информации АН CCCP,I965,c.3-II3.

191. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А.,Трубачёв 0.0. Нелинейное затухание ленгмюровских волн в слаботурбулентной релятивистской плазме.- Вестн. Моск. ун-та.Сер. физ.-астрон.,1980,т.21, № 6, с.94-97.

192. Кузьменков Л.С.,Трубачёв 0.0. Нелинейное рассеяние продольн ных волн в слаботурбулентной релятивистской плазме.- Изв. вузов СССР.Физика,I982,№2,с.53-56.

193. Ломинадзе Д.Г.,Михайловский А.В.,Сагдеев Р.З. Ленгмюровская турбулентность релятивистской плазмы в сильном магнитном поле.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1979,т.77, №5,с, 1951 1961.

194. Каплан С.А.,Цытович В.Н. Плазменная астрофизика.-М.:Наука , 1972.

195. Николаев Ю.А.,Цытович В.Н. Степенные спектры релятивистских электронов в плазме с хаотическими магнитными полями,-Физ. ин-т АН СССР.Препр. 1978, № 17.

196. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика.- М.гНаука,1981,с.3-501.

197. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы .-М.:Мир,1975.

198. Климонтович Ю.Л. Мера неполноты статистического описания и необратимость.Флуктуационно-диссипативные соотношения для многочастичных функций распределения.-Письма ЖЭТФ,1982,т.35,№2,

199. Boercker D.B., Rogers F . J ., Pewitt H .E . Electron collision frequency in plasmas. Phys. Rev. A: Gen. Phys., 1982,v.25, № 3, p.1623-1631 .

200. Pastore C., Senatore G., Tosi M .P . Short-range correlations in multicomponent plasmas. -Phys. Lett., 1981, A84, № 7, p.369-370.

201. Трубников Б.А.,Елесин В.Ф. Квантовые корреляционные функции в максвелловской плазме.-Журн. эксперим. и теорет. Физ., 1964, т.47, с.1279

202. Кудрин Л.П. Статистическая физика плазмы.- М.:Атомиздат, 1974.

203. Cohen J .S ., Suttorp L.G. On the equivalence of convergent kinetic equations for not dilute plasmas. I Physica, 1982, A110, № 182, p.81-105.

204. Cohen J .S ., Suttorp L .G. On the equivalence of convergent kinetic equations for hot dilute plasmas. II. Physica, 1982, A11, № 3, p.443-461.

205. Гуров К.П. Основания кинетической теории./Метод Н.Н.Боголюбова/ .-М.:Наука,1966.

206. Ахиезер А.И.,Пелетминский С.В. Методы статистической физики.-М.:Наука,1977,с.з-364.

207. Ахиезер А.И.,Ахиезер И.А.,Половин Р.В.,Ситенко А.Г.,Степанов К.Н. Электродинамика плазмы.-М.:Наука,1974.

208. Ситенко А.Г. Электромагнитные флуктуации в плазме.-Харьков: Изд-во Харьковского ун-та,1965.

209. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме.-М.:Изд-во МГУ,1964.

210. Uddholm P. Linear fluctuations in a plasma. J.Phys.A: Math.and Gen., 1982, v.15, № 5, p.1701-1704.

211. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. -М.:Мир , 1965.

212. Thompson W.В. In: Introduction to Plasma Physics. Massachusetts, Addison-Wesley, Reading, 1964.

213. Либов P. Введение в теорию кинетических уравнений.- М.: Мир, 1974,с.3-345.

214. Shivamoggi Bhimsen К. Collisional damping of transverseoscillations in an electron plasma. Fizika, 1982, v.14, № 1, p.63-64.

215. Anderson D. The classical diffusion equation for a fully ionized plasma revisited. - IEEE Trans. Plasma Sci., 1982, v.10, № 1, p.53-55.

216. Синхротронное излучение / Соколов А.А.,Тернов И.М.,Багров В.Г. и др.- М.-.Наука,1966.

217. Gould R.J. Relativistic plasmas. "Gamma Ray Transientsand Relat. Astrophys., Phenom.: Workshop, La Jolla, Calif., Aug.5-8, 1981 " New York, 1981, p.169-177.

218. Gould R.J. Processes in relativistic plasmas. Astrophys. J., 1982, v.254, № 2, part 1, p.755-766.

219. Lightman A .R ., Band D .L. Relativistic thermal plasmasi radiation mechanisms. Astrophys. J., 1981, v. 251, № 2, part 1, p.713-725.

220. Очелков Ю.П.,Прилуцкий О.Ф.,Розенталь И.Л.,Усов В.В. Релятивистская кинетика и гидродинамика.-М.:Атомиздат,1979,с.19-82.

221. TsytovichV. Collective effects in bremsstrahlung of fast particles in plasmas. Comments Plasma Phys. and Contr. Fusion, 1978, v.4, № 3, p.73-79.

222. Власов А.А. Статистические функции распределения.-М.:Наука, 1966.

223. Рубин Н.Б. 0 "полижидкостных" гидродинамических уравнениях первого приближения для газа релятивистских заряженных частиц. -Журн. техн. физ.,1964,т.34,№4,с.676-681.

224. Kwok-Kee Tam, O'Honlon J., K-kuen Tam. Radiation dampingof relativistic plasma oscillations. Nuovo Cimento, 1969, v.63, № 11, p.241-249.

225. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А.Кинетическая теория волн в релятивистской плазме с учётом торможения излучением.- Вестн. Моск. ун-та.Сер. физ.-астрон.,1978,т.19,Ш,с.95-100.

226. Кузьменков Л.С.,Наумов Н.Д. Тетрадный метод расчёта волн в релятивистской плазме с учётом радиационного торможения.-Вестн. Моск.ун-та.Сер.физ.-астрон.,1979,т.20,№3,с.3-7.

227. Maass W., Petzold J. On the stability of motion of a radiating electron. J. Phys. A: Math. Gen., 1978, v. 11,7, p.1211-1219.

228. Franca H.M., Marques G .C ., da Silva A.J. Some aspects ofthe classical motion of extended charges. Nuovo Cimento, 1978, v.48A, № 1, p.65-83.

229. Cheng K. Constraints of the Lorentz-Dirac equation. -J .Math.Phys., 1978, v.19, № 8, p.1656-1657.

230. Piass G.N. Classical electrodynamic equation of motion with radiative reaction. Reviews of Modern Physics, 1961, v.33, № 1, p.37-62.

231. Tabensky R. Electrodynamics and the electron equation of motion. Phys.Rev.D, 1976, v.13, № 2, p.267-273.

232. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. Затухание волн в релятивистской плазме.- Курн. эксперим. и теорет. физ.,1982,т.82, М, с.139-144.

233. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. 0 гидродинамическом описании волн в релятивистской плазме с учётом торможения излучением.-Вестн. Моек.ун-та.Сер.физ.-астрон.,1978, т .19 ,М, с.65-70.

234. Кролл Н.,Трайвелпис А. Основы физики плазмы.-М.:Мир,1975.

235. Гинзбург В.Л.,Рухадзе А.А.Волны в магнитоактивной плазме.-М.:Наука,1970,с.5-207.

236. Кузьменков Л.С., )Подосёнов П.Б.1 ,Поляков П.А. Радиационное затухание волн в холодной замагниченной плазме.- Вестн. Моек.ун-та.Сер.физ.-астрон.,1982,т.23,№6,с.62-66.

237. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. К вопросу о неустойчивости ленг-мюровских колебаний плазмы при наличии релятивистского пучка с тепловым разбросом скоростей.-Вестн.Моск.ун-та.Сер.физ.-астрон. ,1979,№6,с.17-21.

238. Кузьменков Л.С.Поляков П.А. 0 влиянии радиационных эффектов на пучковую неустойчивость в плазме.-Beстн.Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон.,1979,Ш,с.66-69.

239. Веденов А.А.,Велихов Е.П.,Сагдеев Р.З. Устойчивость плазмы.-Успехи физических наук,I961,т.73,с.701-766.

240. Веденов А.А.,Велихов Е.П.,Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания разреженной плазмы.I.-Ядерный синтез,1961,т.1,с.82-100.

241. Веденов A.A.,Велихов Е.П.,Сагдеев Р.З.Квазилинейная теория колебаний плазмы.- Ядерный синтез, 1962.Дополнение 4.2,с.465-475.

242. Сизоненко В.Л.»Степанов К.Н. 0 квазилинейной релаксации про-' дольных колебаний плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1965,т.49,М,С.П97-12Ю.

243. Роуландс Дж.,Сизоненко В.Л.,Степанов К.Н. К квазилинейной теории затухания электромагнитных волн в магнитоактивной плазме.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1966,т.50,№4,с.994-1004.

244. Трубников Б.А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме.- В сб. Вопросы теории плазмы под ред.М.А.Лентовича, вып.I.-М.:Атомиздат,I963,с.98-182.

245. Воронин Б.С.,Коломенский A.A.»Давление интенсивной плоской волны на свободный заряд.-Журн. эксперим. и теорет. физ., 1964,т.47,№4,с.1528-1535.

246. Халилов В.Р.,Холомай Б.В. Об изменении средней энергии электрона в поле плоской волны с учётом радиационного тре-ния.-Вестн. Моск.ун-та.Сер.физ.-астрон.,1972,АН,с.425-430.

247. Волощенко A.A.,Павленко Ю.Г. 0 влиянии радиационного трения на движение заряда в поле плоской монохроматической волны.-Изв. вузов СССР.Физика, 1975,МО,с.13-19.

248. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. Некоторые вопросы квазилинейнойтеории плазмы.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-астрон.,1979, В 4, с.22-28.

249. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. Радиационное затухание волн в плазме в квазилинейном приближении.- Изв. вузов СССР . Физика, 1980,№4,с.102-104.

250. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория электромагнитных процессов в плазме.- М.:Изд-во МГУ,1964.

251. Медведев Б.В. начала теоретической физики.- М.:Наука,1977.

252. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. т.I.-M.:Мир,1978,с.15-128.

253. Майер Дж.,Гепперт-Майер М. Статистическая механика.-М.:Мир,1980,с.100.

254. Власов A.A. Теория многих частиц.-М.:Гостехиздат,1950.

255. Резибуа П.,Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов.-М.:Мир,1980,с.12-379.

256. Исихара А. Статистическая физика.-М.:Мир,1973|с.29.

257. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика.-М.:Наука,1981, с. II-36.

258. Керзон Хуанг. Статистическая механика.-М.:Мир,1966,с.91.

259. Тихонов В.И.,Миронов М.А. Марковские процессы.-М.:Советское радио,1977, с.ПО.

260. Климонтович Ю.Л. Диссипативные уравнения для многочастичных функций распределения.- Успехи физических наук, 1983,т.139, № 4, с.689-700.

261. Павлоцкий И.П. Начала слаборелятивистской статистической механики.-М.:Высшая школа,1983 , с.5-124.

262. Penafiel N .V .M ., Ratanelli К. Canonical formalism for relativistic dynamics. Nuovo Cimento, 1982, v.1372,2, p.157-189.

263. Horwitz L.P., Schieve W.O., Pirón C. Gibbs ensembles inrelativistic classical and quantum mechanics. Ann.Phys. (USA), 1981, v.137, № 2, p.306-340.

264. Tauber G.E. On general relativistic statistical mechanics of interacting particles. Mod. Develop, in Thermodyn., New York, 1974, p.247-258.

265. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.-M.: Наука,1964.

266. Денисов В.И.,Логунов A.A. Новая теория пространства-времени и гравитации.-Институт ядерных исследований АН СССР,Препр., 1981, П-0199,с.З-70.

267. Кузьменков Л.С.Развитие ковариантной статистики в общей теории относительности. Автореферат.-М.:Изд-во Моск.ун-та, 1972, 13с.

268. Кузьменков Л.С.Лоскутов Ю.М.,Поляков П.А. О равновесных распределениях в ОТО. Тезисы докладов 5-ой Совет, гравит. конфер. Москва,МГУ,июнь 1981 г.-М.:Изд-во МГУД981 ,с.157.

269. Кузьменков Л.С. Релятивистское обобщение распределения Оор-та.-Вес тн.Моск.ун-та.С ер.физ.-астрон.,1975,№2,с.149-153.

270. Кузьменков Л.С. Динамический принцип соответствия в релятивистской теории тяготения.Тезисы докладов Всесоюзной научной конфер."150 лет геометрии Лобачевского".Казань Зо июня-I июля 1976 г. М.:ВИНИТИ,1976,с.109.

271. Кузьменков Л.С.Наумов Н.Д. К вопросу о релятивистской динамике частиц во внешних гравитационных полях.-Изв. вузов СССР. Физика, 1977,ЖО, с. 56-61.

272. Кузьменков Л.С.Наумов Н.Д. Электромагнитная волна в гравитационном поле и опыты по красному смещению спектральных линию-Вес тн.Моек.ун-та.С ер.физ.-астрон.,1978,№5,с.67-70.

273. Силин В.П.,Урсов В.Н. Об окончании спектра электронных ленг-мюровских волн ультрарелятивистской плазмы.II.- Краткие сообщения по физике, 1982, № 12, с.53-59.

274. Бейтмен Г.,Эрдейн А.Таблицы интегральных преобразований.-М.:Наука, 1969.

275. Свешников А.Г.,Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1970, с.11-298.

276. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.-М.:Гостех-издат, 1953.

277. Дэвидсон Р. Теория заряженной плазмы.-М.:Мир,1978,с.28.

278. Wienke B.R. Mean, mean-square, and most-probable momentum for a relativistic Maxwellian ensemble. Amer. J. Phys., 1975, v.43, p.317-318.

279. Тихонов А.Н.»Самарский А.А.Уравнения математической физики.-М.:Наука,1966,с.709.

280. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Статистическая физика.- М.: Наука, 1964, с.157.

281. Фаддеева В.Н.,Терентьев Н.М. Таблицы значений функцииот комплексного аргумента.-М.:Гостехиздат,1954.

282. Bornatici М., Maroli С., Petrillo V.

283. Electron cyclotron Bernstein waves for quasi-perpendicular and oblique propagation. Heat Toroidal Plasmas. Proc.3 "Joint Varenna-Grenoble Int.Symp., 22-26 March, 1982, v.2, Bruxelles, 1982, p.691-698.

284. Ram S . Nonlinear scattering from electron Bernstein modes in a plasma. Plasma Phys., 1982, v.24, № 8, p.885-892.

285. Farina D., Lontano M., Pozzoli R. Propagation of electron cyclotron waves in the presence of anisotropic electron distributions. Phys.Lett.,1982, v.A90, № 9, p.467-470.

286. Wong H.K., Wu G .S ., Ke F .J ., Schneider R .S ., Ziebell L .F . Electromagnetic cyclotron-loss-cone instability associated with weakly relativistic electrons. J.Plasma Phys., 1982, v.28, № 3, p.503-525.

287. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойЧивостей.¥.1.-М.:Наука,1970.

288. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей.Т.Н.-М.:Наука,I971.

289. Ландау Л.Д. 0 колебаниях электронной плазмы.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1946,т.16,с.574-586.

290. Федорюк М.В. Метод перевала.-М.:Наука,1977,с.3-365.

291. Гийемин В.,Стернберг С. Геометрические асимптотики.-М.: Мир,1981.

292. Янке Е.,Эмде Ф.,Лёш Ф. Специальные функции.-М.:Наука,1968.

293. Ахиезер А.И.,Половин Р.В. 0 релятивистских колебаниях плазмы .-ДАН СССР,1955,т.102,№5,с.919-920.

294. Janicke L. Non-linear electromagnetic waves in a relativistic plasma. Plasma Phys., 1977, v. 19, p. 209228.

295. Bernstein I.В., Green J .M ., Kruskal M.D. Exact nonlinear plasma oscillations. Phys. Rev., 1957, v. 108, № 3, p.546-550.

296. Dupree Т.Н. Theory of phase-space density holes. Phys. Fluids, 1982, V.25, № 2, p.277-289.

297. Rose H.D., Dubois D.F. Self-locusing tendencies of the nonlinear Schrodinger and Zakharov equations. Nonlinear ProblPresent and Future. Proc.1 Conf., Los Alamos, March 2-6, 1981. -Amsterdam, 1982, p.465-478.

298. Romeiras F.J. Stability of strong electromagnetic waves in overdense plasmas. J. Plasma Phys. , 1982, v. 27,2, p.239-259.

299. Pesic S. Nonresonant decay in a finite wavelength pump. -Heat Toroidal Plasmas. Proc. 2-nd Joint Grenoble-Varenna Int. Symp., Como, 3-12 Sept., 1980. Vol.1. Bruxelles, 1981 , p.463-467.

300. Ситенко А.Г.,Засенко В.H.,Фальк Л.П. 0 четырёхволновом резонансном взаимодействии волн в плазме.- Ин-т теорет. физ. АН УССР,Киев,I977,Препр. ИТФ-77-11Р.

301. Ситенко А.Г.,Засенко В.Н. 0 нелинейном сдвиге частот собственных колебаний плазмы.- Украинский физич. журн.,1978, т.23,Ш,с.1277-1288.

302. Verheest P. Three and four-wave interaction in plasmas. -Proc. Indian Nat. Sci. Acad., 1982, v. A48, Suppl. № 2, p.31-50.

303. Turner J.G. Four-wave interaction of positive and negative energy waves in plasmas. Physica Scripta, 1980, v.21,p.185-190.

304. Walter D., Lewak G.J. Dynamics of four coupled plasma waves to second order. J. Plasma Phys., 1977, v. 18, p.525-536.

305. Verheest F., Lewak G.J. Nonlinear interaction between two electrostatic harmonics in plasma. J. Plasma Phys., 1976, v.15, p.91-103.

306. Вильгельмссон Х.,Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме.-М.:Энергоиздат, 1981.

307. Tripathi V.K., Lin С.S . Parametric instabilities of electron cyclotron waves in plasmas. Phys. Fluids, 1982, v.25, № 8, p.1388-1392.

308. Shivamoggi K. Parametric instabilities in a magnetized

309. Plasma. Austral .J .Phys., 1982,v.35, №4, p.409-414.

310. Kuo S .P., Lee M .C . On the parametric excitation of plasma modes at upper hybrid resonance. Phys.Lett., 1982, A91, № 9, p.444-446.

311. Цытович B.H. Нелинейные эффекты в плазме.-M.:Наука,1971.

312. Кузьменков Л.С.»Поляков П.А.Нелинейная кинетическая теория релятивистской плазмы с учётом радиационного торможения.-М, 1978 56 с.-Рукопись предст.Моск.госуд.ун-том им.М.В.Ломоносова.Деп. в ВИНИТИ 28 сент. 1978 г., № 3123-78.

313. Быченков В.Ю.,Градов О.М.,Силин В.П. Эффект анизотропии переноса в турбулентной плазме.-Курн. эксперим.и теорет.физ., 1982,т.83,^6,с.2073-2079.

314. Белый В.В.,Климонтович Ю.Л.,Наливайко В.П. К кинетической теории аномальной электропроводности турбулентной плазмы.-Физика плазмы,1982,т.8,№5,0.1063-1072.

315. Зубарев Д.Н.Статистическая термодинамика процессов турбулентного переноса.-Теорет.и матем.физ. ,1982,т.53,Ж,с.93-107.

316. Цинцадзе Н.Л.,Цхакая Д.Д.Некоторые вопросы теории турбулентной плазмы. В сб. Проблемы соврем, теорет. физ.,- Киев, 1982,с.241-256.

317. Benford G ., Snith D .3?. Weak turbulence theory of intense beam microwave experiments. Phys. Fluids, 1982, v.25, № 8, p.1450-1455.

318. Tajiri M., Nishitani Т., Kawamoto S. Similarity solution of the Kadomtsev-Petviashvili equation. J.Phys.Soc.Jap., 1982, v.51, № 7, p.2350-2356.

319. Андреев Н.Е.,Кирий А.Ю.,Силин В.П. Параметрическое возбуждение продольных колебаний в плазме слабым высокочастотным электрическим полем.-Журн.эксперим. и теоретич. физики, 1969,т.57,№3,c.I024-I039.

320. Бельков С.А.,Цытович В.Н. Модуляционное возбуждение магнитных полей.-Журн.эксперим. и теоретич. физики,1979,т.76,№4, с.1293-1302.

321. Кудашев В.Р.,Михайловский А.Б.,Сурамнишвили Г.И. Нелинейная генерация магнитного поля в бесстолкновительной плазме.-Журн. эксперим. и теоретич. физики, 1983,т.84,№5,с.1712-1724.

322. Алиев Ю.М.,Быченков В.Ю. Параметрическая генерация магнитных полей при воздействии на плазму излучения большой мощности. -Журн. эксперим. и теоретич. физики, 1979,т.76,№5,с. 1586-1592.

323. Кузьменков Л.С.,Поляков П.А. Распространение волн в релятивистской одномерной электрон-позитронной плазме.-Астрофизика, 1983,т.19,М,с.815-821.

324. Kuzmenkov L.S., Sitnov M.I. Bernstein mode formation in weak magnetic field.- Physics betters, 1984, v.I00A,No 3, pp.141-143.