Проблемы сопряженности слов и подгрупп в свободных конструкциях групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛОГАЧЕВА Елена Сергеевна

ПРОБЛЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ И ПОДГРУПП В СВОБОДНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ноя 2015

Ярославль - 2015

005564543

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого» на кафедре алгебры, математического анализа и геометрии факультета математики, физики и информатики. Научный руководитель:

Безверхний Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Глухов Михаил Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, академик-секретарь отделения математических проблем криптографии ФГКНУ «Академия криптографии Российской Федерации»

Азаров Дмитрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник кафедры алгебры и математической логики ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный университет» Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»

Защита состоится 25 декабря 2015 года в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова» по адресу 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, ауд. 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова» (150003, г. Ярославль, ул. Полушкина роща, 1а), а также на сайте ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова»: http: //www. rd. uniyar. ас. n/upload/tblock/ßc/logacheva-c.s. -problemy-sopiyazhennosti-slov-i-podgrupp-v-svobodnykh-konstruktsiyakh-grupp.pdf Автореферат разослан «//>> /Р 2015г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат ф.-м. наук, доцент ^¿^^^-^Яблокова Светлана Ивановна

Общая характеристика работы

Актуальность темы В настоящее время теория групп - одно из наиболее динамично развивающихся математических направлений. Идеи теории групп уходят своими корнями к работам Э. Галуа, Н. Абеля, Дж. Руффини. Однако на начальных стадиях своего развития она представляла лишь теорию конечных групп. И только в начале XX века под влиянием признания роли теории групп в геометрии и бурного развития топологии начали изучаться группы заданные порождающими и определяющими соотношениями, большое значение среди которых имеют бесконечные дискретные группы. Анализ свойств таких групп приводит к комбинаторным методам, откуда и происходит название комбинаторной теории групп.

Основные алгоритмические проблемы комбинаторной теории групп были сформулированы М. Дэном1 в 1912 году: проблема равенства, сопряженности в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Говорят, что в группе С разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов и^, 1У2, из С установить, существует ли элемент к 6 С такой, что

Значимые результаты при решении этой проблемы были получены Новиковым П. С.2 В 1955 году им доказана неразрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в классе конечно определенных групп. Из результата С. И. Адяна3 следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Однако отрицательное решение проблемы Дэна в общем случае явилось причиной ее дальнейшего изучения в определенных классах групп. Выделим наиболее широкие классы групп с разрешимой проблемой сопряженности. В группах с малой мерой сокращения с условиями С'(~), С'(-) и Т(4), открытых

1 Dehn, М. Uber Unendliche diskontinuierliche Gruppen / М. Dehn //Math. Annal. - 1912. - V.71. -P. 116-144.

Новиков, П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп / П. С. Новиков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1955. - №44. - С.1-143.

Адян, С. И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в теории групп / С. И. Адян // Труды Московского математического общества. - 1957. - Т. 6. - С. 231-298.

Гриндлингером М. Д., проблема сопряженности слов решена в 1966 году4. Р. Линдоном5 были введены классы групп с малой мерой налегания С(6), С(4) и Т(4), С(3) и Т(6), в которых им решена проблема равенства слов, а П. Шуппом, используя кольцевые диаграммы, решена проблема сопряженности слов6. Отметим также группы кос, для которых проблему сопряженности решил Ф. Гарсайд7 в 1969 году, и их обобщение - группы Артина конечного типа, веденные Э. Брискорном и К. Сайто8, на которые удалось перенести метод Гарсайда и доказать в 1972 году проблему сопряженности слов.

В 1966 году С. Липшуц9 установил разрешимость проблемы сопряженности слов в свободном произведении двух свободных групп конечного ранга с объединением по циклической подгруппе. Фридманом А. А.10 была решена проблема сопряженности слов в Н>1№ расширении свободной группы с ассоциированными циклическими подгруппами. Безверхним В. Н. решена проблема сопряженности и степенной сопряженности слов в группах с одним определяющим соотношением с кручением и в их свободном произведении с циклическим объединением11,12,13. Значимым результатом в конце XX века является результат Громова М.Л.14 Им были определены словарно гиперболические группы и решена для них проблема сопряженности слов.

'Гриндлингер, М. Д. О проблеме сопряженности и совпадения с антиценгром в теории групп / М. Д Гриндлингер // Сибирский математический журнал. - 1966. - Т.7. - С. 785-803.

5 Lyndon. R. On Dehn's algorithm / R. Lyndon // Math. Annal. - 1966. - V.166. - P. 208-228.

6 Schupp, P. On Dehn's algorithm and the conjugacy problem/P. Schupp // Math. Annal. - 1968. - V.178. - P. 119130.

I Гарсайд, Ф. Группа кос и другие группы / Ф. Гарсайд // Математика: Сб. переводов. 1970. - №4. - С. 113-132.

' Брискорн, Э. Группы Артина и группы Коксгера / Э. Брискорн, К. Сайто //Математика: Сб. переводов. 1974. - №6. - С. 56-79.

' Lipschutz, S. The generalization of Dehn's result on the conjugacy problem / S.Lipschutz // Prog.. Amer. Math. Soc. -1966.-V. 150. - P. 759-762.

10 Фридман, А. А. Решение проблемы сопряженности в одном классе групп / А. А. Фридман // Труды МИАН. -М: 1973. - Т.133. - С. 233-242.

II Безверхний, В. И. Решение проблемы сопряженности слов в группах с одним определяющим соотношением с кручением / В. H. Безверхний // тез. VII Всеросссийсикая конференция по математической логике, Новосибирск, 1984. С.7.

12 Безверхний, В. Н. О проблеме сопряженности слов в некоторых классах групп / В. H. Безверхний // тез. Международная конференция по алгебре, Новосибирск, 1989. С. 19.

13 Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп / В. Н. Безверхний // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. - 1990. - С. 103-152.

" Громов, М. Л. Гиперболические группы / М. Л. Громов. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.

Обобщением проблемы сопряженности слов служит проблема сопряженности подгрупп.

Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если cyufecmeyem алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп Н1, Н2 из G установить, существует ли элемент z £ G такой, что z~1Hlz = Н2.

Впервые проблема сопряженности подгрупп была рассмотрена в 1967 году В. Н. Ремесленниковым15 в классе конечно порожденных нильпотентных групп. Далее в исследовании проблемы сопряженности подгрупп были получены следующие результаты: Гриндлингером М.Д.'6 указано в каких случаях любые две подгруппы ранга 2 свободной группы сопряжены. Данный результат был обобщен Молдаванским Д.И.17 на конечно порожденные подгруппы. В 1971 году Безверхним В.Н.18 и Молдаванским Д.И.19 независимо друг от друга была решена проблема сопряженности подгрупп для свободного произведения групп при условии, что в сомножителях разрешимы проблемы вхождения и сопряженности подгрупп; в 1977 году Безверхним В.Н.20 решена проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух свободных групп конечного ранга с объединением по циклической подгруппе, в 1983 - в HNN -расширении по изоморфным конечным ассоциированным подгруппам при условии, что в базовой группе разрешимы проблемы вхождения и сопряженности подгрупп21. Также в 1975 году Безверхний В.Н.22 показал, что в

15 Ремесленников, В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах / В. Н. Ремесленников II Алгебра и логика. - 1967. - Т.6. №2. - С. 61-76.

16 Гриндлингер, М. Д. Сопряженность подгрупп свободной группы / М. Д Гриндлингер // Сибирский математический журнал. - 1970. - Т.П. - С. 1178-1180.

17 Молдаванский, Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы / Д. И. Молдаванский // Алгебра и логика. -1969. - T.8. №6. - С. 691-694.

Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения групп / В. Н. Безверхний//XXI Всесоюзный алгебраический коллоквиум. - Кишинев, 1971. - С. 9-10.

Молдаванский, Д. И. Решение проблемы сопряженности подгрупп / Д. И. Молдаванский // XXI Всесоюзный алгебраический коллоквиум. — Кишинев, 1971. — С. 62-63.

Безверхний, В. И. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I-II / В. Н. Безверхний // Современная алгебра. Межвузовский сборник. - 1977. - Вып. 6. - С. 16-32.

Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп / В. Н. Безверхний // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных трудов. - 1983. - С. 50-80.

Безверхний, В. Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с объединением / В. Н. Безверхний // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тульский политехнический институт. - 1975. - Вып. 2. - С. 90-95.

свободном произведении двух свободных групп, объединенных по подгруппе ранга 4, проблема сопряженности подгрупп неразрешима.

Степень разработанности темы исследования

В качестве центрального объекта для изучения в данной работе выбраны древесные произведения с объединением и их НТЧТ^-расширения. Впервые понятие древесного произведения групп с объединением было рассмотрено в работе X. Нейман23 в 1948 г., как обобщение свободного произведения с объединением; в 1949 г. введено НМЫ-расширение24.

В настоящей работе рассмотрены следующие конструкции групп: древесное произведение свободных групп с циклическим объединением, древесное произведение циклических групп с объединением и его НЫМ-расширение.

Как отмечалось ранее, проблему сопряженности слов в свободном произведении двух свободных групп, объединенных по циклической подгруппе, решил С. Липшуц в 1966г. В настоящей работе дается новое доказательство этого результата и его обобщение на древесное произведение конечного числа свободных групп с циклическим объединением, а также на НЫМ-расширение древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами как с одной проходной буквой, так и с конечным их числом.

При рассмотрении проблемы сопряженности подгрупп в вышеуказанных группах основополагающими являются работы Безверхнего В.Н.25'26, которые закладывают основу для дальнейшего исследования. Используя идеи доказательства проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с циклическим объединением, доказана разрешимость данной проблемы для древесного произведения циклических

23 Neumann, Н. Generalized free product with amalgamated / H. Neumann II Amer. J. Math. - 1948. - 70. - P. 590-625.

24 Higman, G. Embedding theorems for Groups / G. Higman, B. Neumann, H.Neumann II Journal of the London Mathematical Society. - 1949. P.247-254.

25 Безверхний, В. H. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп/ В. Н. Безверхний II Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных трудов. - 1983. - С. 50-80.

25 Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I-II / В. Н. Безверхний // Современная алгебра. Межвузовский сборник. - 1977. - Вып. 6. - С. 16-32.

групп с циклическим объединением, для НЫЫ-расширения бесконечной циклической группы по ассоциированным циклическим подгруппам и для НИМ-расширения древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами.

Цель работы

Целью диссертационной работы является решение проблемы сопряженности слов и проблемы сопряженности подгрупп в древесных произведениях групп с циклическим объединением и в их НЫЫ-расширении.

Основные положения, выносимые на защиту и научная новизна Все полученные результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. В древесном произведении свободных групп с объединением по циклическим подгруппам разрешима проблема сопряженности слов.

2. В Н№Ч-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением по ассоциированным циклическим подгруппам разрешима проблема сопряженности слов.

3. В НЫТ^-расширении с конечным числом проходных букв с ассоциированными циклическими подгруппами древесного произведения циклических групп с объединением разрешима проблема сопряженности слов при условии, что элементы не принадлежат ассоциированным подгруппам.

4. В древесном произведении бесконечных циклических групп с объединением разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

5. В НИМ-расширении бесконечной циклической группы с ассоциированными циклическими подгруппами разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

6. В НИМ-расширении по ассоциированным циклическим подгруппам древесного произведения циклических групп с циклическим объединением разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Результаты данной работы могут быть использованы при решении алгоритмических проблем комбинаторной теории групп в свободных конструкциях групп. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методология и методы исследования

Исследования, проводимые в настоящей работе, базируются на комбинаторных методах теории групп. Особое место занимает метод специального множества слов, который был введен Безверхним В.Н. в 1972 году. Обобщения проводятся с использованием метода математической индукции.

Степень достоверности результатов

Степень достоверности результатов данной работы подтверждается полными и подробными математическими доказательствами.

Апробация результатов

Основные результаты работы были изложены:

- на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп» под руководством Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2009-2014гг.);

- на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТГУ, 2006 г.);

- на IX Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2012 г.);

- на XII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2014 г.);

- на VI Международном симпозиуме «Абелевы группы» (Mill У, 2014 г.);

- на V региональной научно-практической конференции 111 1С, аспирантов, магистрантов, соискателей ТГПУ им. JI.H. Толстого «Университет XXI века: исследования в рамках научных школ» (ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2015 г.);

- на XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015 г., пленарный доклад);

- на семинаре по теории групп под руководством А. Л. Шмелькина (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 г.).

Публикации

Все основные результаты, полученные автором в ходе диссертационного исследования, опубликованы в 14 научных работах: 9 статьях, из которых 5 статей опубликованы в журналах, принадлежащих списку ВАК; 5 тезисах докладов на конференциях различного уровня. Некоторые работы написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, 9 параграфов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страницы. Библиографический список включает 49 наименований.

Основное содержание работы

Во введении изложена предыстория исследуемых объектов, обоснована актуальность исследования и новизна полученных результатов.

Первая глава посвящена построению специального множества слов подгруппы некоторой группы, являющейся свободным произведением с объединением, а также для подгруппы Н№Ч-расширения. Специальное множество слов было введено Безверхним В. Н.27 в 1972 году, как основной инструмент для изучения свободных конструкций групп. Специальное множество слов подгруппы группы й строится эффективно и позволяет сделать вывод о величине сокращений в произведении некоторого числа сомножителей.

27 Безверхний. В. Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп / В. Н. Безверхний // Вопросы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л.Н. Толстого. - 1972. - С. 3-86.

В первых двух параграфах Главы 1 определяется структура специального множества.

Основными результатами первой главы можно считать критерии приводимости образующих подгруппы к специальному множеству, порождающему ту же самую подгруппу для свободного произведения с

объединением и для Н№Ч-расширения. Теорема 1.1.28 Пусть группа

- древесное произведение групп Gs, 1 <s <п, объединенных по изоморфным подгруппам Uu < G0 Ujt < Gj с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов {<Pij},<Pji(Uji) = Uji■ Тогда, если подгруппы Uij,Uji,ieli,iel2 обладают условием максимальности и в сомножителях Gs, 1 < s < п, разрешимы:

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < Gs с подгруппой Usj;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < Gs с подгруппой Usf,

то в группе G разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы G в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.

Теорема 1.2.29 Пусть G* — (G, t; t-1i/1t = iP(f/i)> - HNN-расширение группы G с помощью изоморфных подгрупп t/i, i/_i и фиксированного изоморфизма <р. Если подгруппы Ult f/_i обладают условием максимальности и в группе G разрешимы:

1) проблема вхождения;

м Безверхний, В. Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп / В. Н. Безверхний // Вопросы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л.Н. Толстого. - 1972. — С. 3-86.

25 Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп / В. Н. Безверхний // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных трудов. - 1983. - С. 50-80.

n

2) проблема пересечения классов смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < С с каждой из подгрупп и_1;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < С с любой из выделенных подгрупп иг, то в группе С* разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С* в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.

В третьем параграфе даются определения и утверждения, касающиеся слов специального множества, а также виды и структура простого слова.

Вторая глава посвящена исследованию проблемы сопряженности слов в группах с древесной структурой и в их НЫИ-расширениях.

Рассмотрим группу являющуюся древесным произведением

свободных групп с циклическим объединением, которая определяется

следующим образом:

Пусть Г - конечное дерево, вершины которого обозначены числами из

множества {1,2,..., п}, и пусть каждой вершине I сопоставлена свободная

группа Рт1 конечного ранга Предположим, что для каждой пары I и )

смежных вершин графа Г в группах ^ и Рту фиксированы неединичные

рц рц

циклические подгруппы, порождаемые элементами и г;., соответственно, причем ví¡ и Уц не являются истинными степенями в соответствующей группе. Древесным произведением FтП1, Рт2,..., РШп с объединенными подгруппами и называется фактор-группа свободного

произведения групп ...,Ртп по нормальному замыканию множества,

состоящего из всевозможных элементов вида Группы —, Ртп

вложимы в группу естественным образом.30 Копредставление группы имеет вид:

п

= <]~[* = Ы Ы * í е М 6 Ш' < (О ¡=1

30 Karras, A. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup / A. Kairas, D. Solitar // Trans. Amer. Math. Soc. - 1970. - V. 150. - P. 227-255.

Основным результатом параграфа 2.1. является разрешимость проблемы сопряженности слов в группе причем доказательство проведено для всех случаев теоремы Магнуса:

Теорема 2.1.31 Пусть С = А * В. Тогда каждый элемент группы С

Н = К

сопряжен с некоторым циклически несократимым элементом. Далее, пусть д — циклически несократимый элемент группы С. Тогда

(О если д сопряжен с элементом Л £ Я, то д лежит в А или в В и существует последовательность элементов Л 1(/г2/— <Л(.5> где £ Я, соседние члены которой сопряжены в А или в В;

(И) если д сопряжен с элементом д', причем д' £ А или д' 6 В, но д не лежит в подгруппе, сопряженной с Н, то д и д' лежат в одном сомножителе (в А или в В) и сопряжены в нем;

(Ш) если д сопряжен с элементом р1,р2, ...,рг, где г >2, и так

же как и р1,рг, не лежат в одном сомножителе, то д можно получить, циклически переставляя р-^Рг• — ¡'Рп а затем трансформируя полученный элемент подходящим элементом из Н.

Теорема 23.[3] В группе (1) разрешима проблема сопряженности

слов.

Доказательство проводится по числу сомножителей древесного произведения Базу индукции при п — 2 обеспечивает результат С.Липшуца. Пусть п > 2. Без потери общности можно считать, что вершина п графа Г является концевой и что смежной с ней является вершина (п — 1). Обозначим через Г„_г полный подграф графа Г с вершинами {1,2, ...,п — 1} и через соответствующее древесное произведение групп — с теми же

объединенными подгруппами. Тогда группа является свободным

произведением

Рг = ^ * С„

31 Магнус, В. Комбинаторная теория групп / В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. - М.: Наука, 1974. - 456 с.

групп Ррп_1 и с объединенной подгруппой С„ = = (и**^), где

Следуя индукции предполагаем, что в группе РГп_1 с меньшим числом сомножителей проблема сопряженности слов разрешима. Также при доказательстве используются следующие утверждения.

Лемма 2.1. [3] В группе РТ (1) разрешимы следующие алгоритлшческие проблемы: I) алгоритм, позволяющий для любой конечно порожденной подгруппы Ж£-г и циклической подгруппы < £ = 1,п, найти

образующие Н П

II) алгоритм, позволяющий для любого слова V Е и конечно порожденной подгруппы И < РГ, выяснить пусто или не пусто пересечение уН П (IV), где < Рт1Л = 1,п.

Лемма 2.2. [3] Пусть есть древесное произведение свободных групп

с циклическими объединениялш, имеющая представление п

¡=1

где vlj £Р1 и 6 р^, ¿,у — смежные вершины графа Г. И пусть = Рр * Рп - свободное произведение группы Рг„.г и Рп с циклическим объединением, ^ < где Сп = (и™п) = (г^Д где £ Рп^, С" е Fn,

Тогда, если /1, /г £ Сп сопряжены элементом г £ /ГГп1, то есть г~1И.г = К, то И. = К.

Следствие 2.1. [3] Существует алгоритм, позволяющий для любых двух элементов и к2, принадлежащих соответственно С; и С, группы /гг = (П"=1* Рт^у' = выяснить, сопряжены они в Сг ¡мм не/и.

В параграфе 2.2. аналогично с группой Рг (1) рассматривается древесное произведение бесконечных циклических групп с объединением по циклическим подгруппам:

Сг = <Щ=1* (ак) |а?" = а^1'), |ру|рп| > 1,4 6 /1(; £ /2, |,|/21 < (2)

Обобщением группы Сг является Н1ЧМ-расширение по изоморфным ассоциированным циклическим подгруппам

Сг = <СГ, reK.Gr), С"1^ = и_1), (3)

где^ = {а^.и^ = «,т>, |*т||, |«1т| > 1,т £ 1Ъ1 £ 12,\Ш12\ < со.

Основным результатом данного параграфа является теорема: Теорема 2.5. [2] В группе Сг (3) разрешима проблема сопряженности

слов.

Доказательство проводится по слоговой длине элементов IV, v £ Сг. В доказательстве непосредственно используются следующие леммы 2.5, 2.6, и 2.7.

Лемма 2.5. [2] Пусть Сг = (Сг,г|ге*(Сг),1_1£/^ = С/_г>, где иг = (а^1'), (/_! = (а['т). Для любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг м циклической подгруппы (ак), к — 1,п, где ак — образующий группы Сг, существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения И П (ак).

Лемма 2.6. [2] Для любого слова v £ Сг и любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг, существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение рН Г) (ак), где ак образующий группы СГ,к — 1 ,п.

Лемма 2.7. Два элемента к, к £ Сг, где к, к £ 1)е,£ = ±1, сопряжены в Ср тогда и только тогда, когда существует т £ 2: = к.

Параграф 2.3. посвящен обобщению теоремы 2.5. Рассматривается расширение группы Сг = (П"=1* = си'1) с помощью конечного числа

проходных букв:

Сг* = (Сг,{^}|ге/(Сг), = ик1), (4)

где и1к = (а**), ик1 - (а^) - ассоциированные подгруппы, (а**) с (аг ), (а^1) с (ак ), |$г(с|, > 1,1 £ /1( /с £ /2, количество проходных букв равно т, и доказывается основной результат:

Теорема 2.6. [11] Пусть = <СГ, Ш\ге1(СГ), = ик1),

и1к = с (а1), иы = (а^') с (ак> есть ШЫ-расширение группы

Сг = (П5с=1* (ак) ~ с помощью конечного числа проходных букв с ассоциированными циклическими подгруппами. Если слова IV, и 6 Ср не сопряжены в Ср элементам из ассоциированной подгруппы (а**) для некоторого ¡, то можно эффективно определить сопряжены они в Ср или нет.

Доказательство проводится индукцией по числу проходных букв Н1ЧМ-расширения.

В главе 3 разработаны алгоритмы для решения проблемы сопряженности

конечно порожденных подгрупп в исследуемых группах. Доказательство

проводится с использованием специального множества образующих подгруппы

исходной группы.

Основным результатом параграфа 3.1 является следующая теорема:

Теорема 3.1. [4] В группе Сг = (Пк=1* (ак) 1аГ' = а;Р"> (2) разрешима

проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Для доказательства группу Сг представляем в виде

С- = Сг * (ап>, где Сг - группа структуры Сг (2) с меньшим числом 1 Рп-1 _ рп "п-1 "п

образующих.

В параграфе 3.2. решена проблема сопряженности подгрупп для группы Баумслага. Основной результат параграфа 3.2.:

Теорема 3.2. [1] В группе В = (а, V, £:-1ат£ = ап), |т|,|п| > 1 разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

В параграфе 3.3. дается обобщение теоремы 3.2. на НИМ-расширение древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением с циклическими ассоциированными подгруппами и, используя специальное множество слов, доказывается теорема

Теорема 3.3. [5] В группе Сг = (Ср^^еКСг)^"1!/^ = {/_!> (3) разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Заключение

В современной теории групп особое внимание уделяется исследованию свойств различных свободных конструкций групп, таких как свободные произведения, свободные произведения с объединением и ЯЛТУ-расширения. Данная работа посвящена изучению разрешимости проблемы сопряженности слов и проблемы сопряженности подгрупп в древесных произведениях некоторых групп с циклическим объединением и в ДЛ^-расширениях с ассоциированными циклическими подгруппами. Некоторые из полученных нами результатов являются обобщениями и усилениями известных результатов. Опишем их более подробно.

Проблема сопряженности слов решена в следующих конструкциях: в древесном произведении конечного числа свободных групп с циклическим объединением; в ДЛТУ-расширении с ассоциированными циклическими подгруппами древесного произведения циклических групп с объединением; в /ЛУД^-расширении с помощью конечного числа проходных букв по ассоциированным циклическим подгруппам древесного произведения циклических групп с циклическим объединением при условии, что элементы не принадлежат ассоциированным подгруппам.

Проблема сопряженности подгрупп решена в таких группах как: древесное произведение циклических групп с циклическим объединением; //№У-расширение циклической группы с ассоциированными циклическими подгруппами; /йУЛ'-расширение с ассоциированными циклическими подгруппами древесного произведения циклических групп с циклическим объединением, что является обобщением предыдущего результата.

Нерешенной является проблема сопряженности подгрупп для древесного произведения свободных групп с циклическим объединением, для Н!Ш-расширения данной группы, а также для НЫЫ-расширения с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с циклическим объединением.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Безверхнему В.Н., за постановку задач, помощь в работе над диссертацией и поддержку в организационных вопросах.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России

[1] Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе ГОТЫ-групп / В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2006. -Т. 12. - Вып.1. -С. 83-101.

[2] Безверхний, В. Н. Проблема сопряженности слов в НЫЫ-расширении древесного произведения групп с циклическим объединением / В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева // Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2014. - Вып. 2. Ч. 1. - С. 30-45.

[3] Безверхний, В. Н. Проблема сопряженности слов в древесном произведении

свободных групп с циклическим объединением / В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева II Дискретная математика. - 2015. - Т.27. - Вып. 4.

[4] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп / Е. С. Логачева // Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2013. - Вып. 2. Ч. 1. - С. 19-39.

[5] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп в

ЮШ-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением / Е. С. Логачева И Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2015. - Вып. 2. - С. 13-35.

Другие публикации

[6] Безверхний, В. Н. Проблема сопряженности подгрупп в одном классе Н>Ш-

групп / В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы Междунар. науч. конф., Тула, 28-30 ноября 2006г. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. - С. 19-20.

[7] Безверхний, В. Н. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении циклических групп с объединением / В. Н. Безверхний, Е.С.Логачева // Чебышевский сборник. - 2012. - Т. 13. - Вып. 1. -С. 20-45.

[8] Безверхний, В. Н. Проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением / В. Н. Безверхний, Е.С.Логачева // Чебышевский сборник. - 2014. - Т. 15. - Вып. 1. -С. 43-54.

[9] Безверхний, В. Н. О сопряженности слов и подгрупп в некоторых свободных конструкциях групп / В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XIII Междунар. конф., Тула, 25-30 мая 2015 г. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. - С. 15-19.

[10] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп / Е. С. Логачева // Чебышевский сборник. - 2013. - Т.Н. - Вып. 2. - С. 61-39.

[11] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности слов в НМЫ-расширении с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с циклическим объединением / Е. С. Логачева // Чебышевский сборник. - 2014. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 50-65.

[12] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности в древесном произведении групп / Е. С. Логачева // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, тез. XII Междунар. конф., Тула, 21-25 апреля 2014г.-Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. - С.85-88.

[13] Логачева, Е. С. Проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп в ГОда-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением / Е. С. Логачева // Абелевы группы: Материалы Междунар. симпоз., Москва, 2-6 ноября 2014г. - Москва: МПГУ, 2014.-С. 46-49.

[14] Логачева, Е. С. Теорема Магнуса для древесного произведения свободных групп с циклическим объединением / Е. С. Логачева // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XIII Междунар. конф., Тула, 25-30 мая 2015г. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. - С. 84-87.

Логачева Елена Сергеевна

Проблемы сопряженности слов и подгрупп в свободных конструкциях групп

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 28.09.2015. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Бумага писчая. Заказ №003126

Отпечатано в типографии ООО «Принт Хаус» 300002 г. Тула, ул. Октябрьская, д.1