Проекционные методы решения задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений в исключительном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

MIHICTEPCTBO. ОСВ1ТИ УКРА1НИ , ^\дЕСЬКШ ДЕГЖАЙШИ УШВЕРСИТЕТ ^ Я . !м. i л „Мечк 1 коЕЗ

На lîpsBax ру когти су

ЧАДАбВ йлександр Михайлович

ПРОЕКЩИН1 МЕТОДй РОЗВ'ЯЗУВАШЯ SAJW4I Р1МАЯА I СШШЯРШК ПГГЕГРАЛЬШК ИВНЯНЬ. . У ЕШЯТНОЕОМ ЕЙПАЛКУ

01 -0< .tJl - штемзтячний анал!з.

Автореферат дисертац!I на здобуття вченого ступеня кандидата фгккочватематичюа наук

ОДБСА - 1994

Роботу шконацо на кафедр! обчислювальво! математики Одеського державного ушеерситету Ш. 1.1.Ыечн1ковв.

Науковий кер1вннк: кандидат ф! зико-математкчних наук,

доцент Тихоненко М.Я.

0ф1цшн1 опонеатк: . доктор ф1зйкочйатемзтичних наук,

проОзсор Аров Д.З. канлкдат ф^ико-математй'впа наук, доцэнт Нечаев А.П.

Пров1даа оргашзашя: Ларгавний уя1еерситет Подлови

Вахист дасертацЦ в(дОудеться ч&р&ня 1594 р

о г0д. на зас1данн! сдэц1ал1зовано1 Ради Л 05.01.01 з ф1здао-матемадашшс наук (математика) при Одеському державном ун1вврситег! 1м. 1л.Ызчн1кова за адресов: .

270000, г.Одаса, вул. П.Воликаго, 2, ауд. 91 .

3 дасерташёю. мокна' озкайомитася в науковШ б1бл!отец1 Одеського дэржашбго университету.

' Автореферат роз1схано-' ' • ,1594 Р.'

Учений:секретар :.". ' ' ; ' ' : - • ■

* *

. спец!ал{зевано! Ради .

доцент ; . стокодос О.М.

Загальна характеристика роботи.

Лйсертац12на робота прясвяченэ обгрунтутнкп застосоган-юст1 проекц) Ялта метод! в наближ-ного розв'язування ейняткоеого яшадку задач! ?!мана та I! застосуЕань, з такох сингулярних :нтегрзльнйх р!знянъ <с.1.р.) в ядром Коа1 в узагалькених просторах Гельдера.

Актузльн!сгь теми.' Краяов! задач! 1 с.1.р. р!звого виду ¡зсто еинжзють тгри рос£'язуванн1 р!зних. задач матоматнчвог )1к]1ка,теор11, пру2яост1.твор1! дифракц!!, аеро- ! г!дродинам1~ д.теарИ ф!льтрац(! .тэ ¡на. При иьоиу вгдвукання точного роз-|*язку. як правило, вшшшс значн! трудной!. Б зв'язку з цйн лишае необх!да1сть обгрунтуваняя наблигещк. метод1в розв'я-ування укаганих задач.

3 цьому яапряшу за остан$Й час отриманб велику к1льк1сть ззультатш, огляди тая мо&ва знайта в првцях Хванова В.В.1 абдулкжва В,Г.2/, Бблоцерковського С. у. 1 Л!фанова 1.К.3\ рвсдорфз 3.4\ Золотарегськаго В.А.^'. При цьавд <55льп1стъ* об! г пргсвячеко наслижеясму розв'язуганшз крЕйокпс задач I -1.р. в нормальному наладку. тсОто коли сзлвол задач! не до-1шюз нуда на контур!. ДосШдгешво г® вдаятщшого ' бепздку рцссячеао. лгаэ'дэк 1 лыса роб 1 *. •'."■■-.

Поряд 'з щзд, шроккй крут пришгаднкх задач вводиться до эзв'язувашя сама шмткобого. вшадгсу крайошх звдач !

! уланов В.В. Теория прпблигбкшх кетсдоз и ее Ящхэяешзо к юлеышжу решении <жп?улярш2С жвЕтегредЕшс- згрвйцвЕЕ2. -Киев: . г/кова даоса, 1963. -287 с.

' Габдгдаазв ь'.г. .аппка.здш решвшй лкнейнш:

¡дач. -К53Ень:йгд-во Кззансн. ун-за, 1930. -231 с.

(рад таких задач розглянуто в § 7 ц|е! дисертацИ). В зв'язку з шил викликае Литерес обгрунтувакня наблкжеких мзгод*в !к розв'язувамня. У робот! З.Првсдорфа^прогонуется схема, яка дозеоляэ ЗЕвстп. обгрунтузання проекц{йнга; метода розЕ'язувгжя 21Шяткового вшадку задач{; Романа.и с.!.р. да розв'язувзння задач з-нормально. розв*язщаз| оявратораш. В .запрспонозакП робот! вказана схема застосовуеться для оСгруктуваиня проекцгй-ши мотод1в розв'язувашя винятковрго вшадку крайовог задач! РШана I с.1.р.,а такозс 1х р!зних-узагальн9нь та застссузэдь в уззгзльнених просторах Гельдорз. .

Тагам чине?.?, в дасертаци розвкваються ! узагальшються мэтоди наолшганого розв*азуваная {файовше . задач таор!! акал!-ттгпшх функиШ 1 с.¡.р., цо ! вкзначае П актуальШсть.

Мота робота. осгрунтувакня проекц!йжх метзд!в < катода редухШ! 1 кодокад{I ), цодо 1г,застосування .до. кгйлзтакного ' розв'язування виаяткового еетадку задач!, Р!мзна 1 сл.р. на одлничисму код! б узагальяенкх просторах Гельдера, а такозг !х , застосувшь. '• 'Л '

. Методика досл!давяь.-'Пра согрунтувакн! результатов в дй-.'. сертацИ ! стотно' викорлстуються' мэтода - загалъно! тёорИ насди-х-шних нетод!в, тзорИ :.крайавйх задач,! - 'фшгулярнше Штегральикх

Еелодарковский С.Ы..Дифанов К.К. Чясйаннда метода. в. «шгу-ляршх иглогральшх уравие1а:як. -М.:Наука,1235. -254 с. , . 45 првсдорф З. Накотрдо классы: сш^ляршх уравнений. -и.• 1979. -495 с. •':' ■'/';''....

ЗолотаравскиЗ ЪЛ. Нодачзюиэраые штрда решащй сккгуляринх кнтэгралъных уравнений на зашнугых контурах. -Шетпюв: Етагаца, 1991. -134 с.

ризнянь теор!1 анал!тичних функцШ» ФункцЮнального аналгзу, конструктивно! теор!! фужШй.

Нзукова новизна. В дисер?ацМ отримаво наступи! осноеи! результата:

•. остановлено говну неперервнЮть ксмутатора Т=За-аЗ в уззгальнешх просторах Гельдера. '

Обгрунтовано метода редукц! I та колонаШ! нвближеногс розь'язування виняткового витадку схалярно! тз матричво! задач1 ?!:/.ана, а таксх узагальнеяо! задач! Р1мана на оданичному кол! в узагальнених просторах Гельдера, на основ! чого обгрунтовано метод редукц:? яаблихенюго розв'язування еияятнового випадку неск!нчеята. систем' алгебра!чних ргвнянь з р1зяхщевиш зндексами»

3. Описано клас мШаяих, ярзйових задач для неск!нченкк. систем дкфэренц!алшо-р!знщевих р!вшшь» як! гзодяться до еи-пяткоеого випадку. задач! РШзва на одашпному коли та залрсло-яозаяо метод нзближеннрго рсзВ'язуваяня»

4. 'Обгруйтавано метода редукцII та колокац! I найшкеяного розв'язування , вйняткоеого вкладку с л-р. та систем на единичному кол! в■ узагальненизс просторах Гельдера, а також деяках

узэгзльнень.>

Теорэ-ппна г праятачнз й!зя1сть робота. ДисэртаШа носить з основному теарвтаяняй характер. Одержан! а ней результата жякуть бути втазрастан! для подальаого розвитку наолшенет метод 1з розв'лзувзшя крайокшс задач твори анал!тичнкх фувкц!й, с.!.р. 1 !х узагалънеяь, а такса для разв'язувашя кснкрэтншс ориклалних задач,: як! зводаться до задач) Р1манв 1 сЛ .р.

АпрсбаЩя робота. Основа!" резул--зтге дасертвиИ допов!-залися 1 обгсворкваляся на ИХ Реоа-.икаасзькоы сяшззпшХ'з

дафэренШальних I {нт-згрзльшк; р!внянь (ы.0дзсз-1982 р.), на II ВсзсоюзнШ школ! з теорП опаратср!в в функШональних просторах (м.Шнськ-1982 р.), аз III Республ1канськ1й ковфоренцП ■ "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе' <м.Кн1в-1Э82 р.). на I t II РэслуолЖаясыих конфе-ронц!ях "Интегральные уравнения в прикладном моделировании* (гл.KiiiE-1983,1986 p.p.), на IV t V Всесоюзное симпозиумах 'Метод дискретных особенностей в задачах математической физика' (м,Харк1в-1Э39 р.,м.0даса-19Э1р.), на коЕфэреии1ях Таховскнз чтения' (м.0двса-1986-1989 p.p.), на наукових семинарах 'Батальна тзор)я нзбляжэних катод!в' пр& Одеському ушЕэрснтет! (кэр1вник - доц.Тихоненко М.Н.),на ^деськоиу м!ському сом!на-pi 'Крайов! задач! ! сиягулярн! Шгегралья1.рШшшя' (Kspie-ншс - прсф.Лктв1нчух Г.С.), на цор1чяйх наукових конференциях прсф8сорсько-вш<ладацького склад Одэського дврвушверсатету (м.0деса-1S81-1S83 p.p.) Td М2кола1вського пэдагоИчяого ^статуту (М-Мгасолз1в-1985~15вЗ р.р.Л.

Лубл1кац11. OchobhI результата дкеэртзцП -ощг&гЛ ковано в восьми роботах, список-яких наведено в к ¡на!, автореферату. Результате деох роб1.т,одэрхани cj-J.il сно з Тихоненком М;Н.» одн!с5

- сум!сно з Дкдевком В.Д. я Мацкулоа В:_К,

* ■ *

Структура Гобсяг робота. Дисортац,}я ■■складзеться'з вступу» трьох глав, разбитих щ 10 параграф1в, та -списку шгговшо! д1-тзратурн, цо м! стать 81 ;найменуваянРл- Обслг робота - 112 crropi-нок метшописяога тексту.'

' Зм1ст дасвргйцП« -

У встуд! до роботе наводиться короткий огляд деяхгх рэгуль-

тат!в, як! с близькими до теми дпсертаЦП, а tokos коротко вик-ладаеться зм!ст робота.

Первз глава дисертацй складаеться з деох параграф!в. Тут доел!дауеться питания зхоено! неперэрвност! комутатора Sa-aS (S-оператор сингулярного Штегруввнвя, а-оператор многення на функции act) ) в узагальнвних просторах Гельдвра. В подальшому ц! результата f статно використовуюхься для согунтування засто-соватаосп проекц1йних метод1в.

У § 1 встановлено поьну яэперэрвнЮтъ комутатора Sa-aS, який Ate з простору в rroocTtp Н^». Будемо розглядатк модул! непврервност! ы<в),як! задовольшготь умовам Еар1-Стег-гк1не:

h

J -аш «.<+•'" ' (1)

о

б h "

Г MD d? + ö f ЩЗ (Li0(C)(0)), ö —*+0. (2)

. . j i ■ J. 'i3

о e ■

Теорема i.1.' йэгой• модуль нзпврэрвгост! u/1: задовольняс"

умову И),а модуль нэпврарёяоет! и12'(б) задовольняс удаву (2).

Якщо a(-t)eHш«>, то оператор T-Sa-aS: —<Нщ<г. с обкэквнпм.

Теорема 1.2. Нахай ко дул! нзперэвност! о/" ! шга> аадо-

вольняюгь умоеу (2). Я505.0 a(t)e^p, то оператор T=Sa-oS:

H;j-i>—»i^co с noma .недарервшш. *

Параграф"2 присвоено, довэдешю позно1 непорврвност! orte* л г> • *

раторз Т: Основа! .результата цього параграфу

сфоряульсвано з теоремах 2.1 а 2,2.

Теорема 2.1. ЙзхаЯ. мйдуль нвперарвноетт задопольняс умову (1 )öa модуль неперэрвност! ,ьГ 3) Адоволъняс улову :2;. Якшо ait)<sH, i»>, то апаратоп T=Sa-aS: ä,«»—»H.«а» с оом&кагоаи

.и -1 - и j У1

- s -

Теорема 2.2. Нэхай модул! ваперевност! ш1' i шм> задо-зодьняють умову (2). Якщо. a(t)e H. ,<;>, то оператор î-Sa-aS: Hjjti» —H^îî) с повно кепэрерЕккк. .

На зак!нчешя першого 1 другого параграф»в формулгаоться аялопчн! твердаеншз для вйпадку., коли оператор Т д!е в просторах В8КТОр-фУЕКЦ1£.

Друга глава дасертаШ присвячена , оОгруктуваншс кетод!Е кадокац!!, 1 редушШ нзОягкеного розв'язування виняткового вйпадку скалярао! 1 магркчно! задач! РШана на единичному' кол!,. а такок дзяких задач, ян! зво.пягься до задач! PIkshs.

Трет!й парагараф мае.в основному' рефзратявнкй характер. Тут шг наводимо кесах!дн! результата з теорЛ наолпжених метода: вводиться,опэратори Лагранжа i Фур'е,. вявчаються !х влас-тнвост!» наводиться загальна схема ПрэсдорЗв 3.4\яка дозйоляе звестк розв'язуЕаяня крайових задач ! сл.р. у визятковому ш-паяку до розв'язування задач» в яти. оператор с нориальви pos-з'язнж. В цьоау параграф! вводиться таког: простора неехшчз-новишраях'вектор1в-коеф!ц{0Ет1в Фур'е функнш» як! налезать. Нщ. Ш простора .в дад&лыйоку викорястовувться ври побудов! розв'язк1в 1файоВ1Пс..йадач-для нвск!нченшс£. систем дкферена!-гдьно-ргрницеЕих рЗЕНянь. '

. -у четвертому .параграф!' дисертзцИ '-наведено . оогрунтувэнкя метод!з колакац! I I ргдукцИ' нзбжженсго розв'язування винятко-вого ийщку екзлярно! -задач!.'Романа на одинарному кол! Г: .

. G. (t)<T(t)+g(t), ter, ' (S)

P„(t) *

i OL ^ p

ze p, (t)=ïï (t-s > % Г-i—] % а,Ь-точк1. Г,

»=*> t bg y

a»ße - натуральн! числа (1=ТЛ~ ,г>=Т7р ), Наблнжвний розв'язок задач! (3) будемо тукатиу-вигляд!

к - о

а нез!дом! коеф1Шента ск визкачзються з системи л!н1йшас. алгеб-ра1чних р!внянь

-г. -I

>-<V I +'P+<WV 2 - P-<V«<V (4!

де v- вхр(2-!с13/(2гн-1))» 3=-n,n , для метода колокац! 1 або

г> -I

I c»dik+1 - в, • J* -та

к -О k = -Ti

дэ üjk, to.k, gj - ковф!и1еяти Фур*с вздаовидво фуннцИ р_(г)tk,

Gs (t)p+(t)tk, p_(t)g(t), для мэтода редукц!!.

Позначимо ?(3)=й><4) (ö)/t/21 (ö) 1

г=вэхсаг,аг>... »üj.ß^.Pj.....ßp).

* irrst (Г»

Тоарэмэ- -4И.Нехай Gt (1)сНщ<1> ,, git)«^«, Gi(tt«T, Ind Gi(t)=0 ! функц!Я F(Ö) ln5 —»0 коля б—*+0; Тод! система л1в!йн2х' алгэбрзГчшЕ р!внянь (4) с розв'ясною для доогзтньо великих п. При цьсму яаблжкэн! рсзв'язки Ф~(t) задач; (3) söira-ЮТЬСЯ у Простор! НщО -ДО !!■ точного розв'язку ts 2ГВКД-

к!стю »

I ®~(t)-®;Ct) I = 0( ) in п). Н <г>

Аналог lw теореглу 4.2 доведено для метода редута! I. Якзга х шмата® б!льзо1 гладкой 1 фушаШ Gs ii) l g(t):

(r+k+i >

Gt(t)«^<»> , g(t}«!y*»» де tc-натуральнз число, то тззрд-

-I

яення теорем 4.1 I 4.2 зберегаютъ силу, при цьшу до оц1н-ки шззшсос?1 з01еност1 додасться мноасшк п~к.

У гг'ятсму параграф! обгрунтовано метода колокацИ 1 редук-и! I наолиженогс розв'язання виняткового випадку матрэтно1 задэ-'п Р1мана. Тут також обгрунтовано наблетене розв'язування узз-гальнено! задач1 Р!мана шляхом зведення П до матрично! задач1 РИлана.

Ка основ! результат!в § 4 у шостому параграф! обгрунтова-яо метод редукц!I набляженого розв'язування нескшченних систем алгебраТчних р1вн.7:т- виду

аз -<

+ I 3=0.41,42.....

X жо 5с а —Ш

а такса дискретного р1вняння В1вэра-Хопфа

со ■ '

3 = 0.1,2,...,

1с *©

шляхом набликэного розв'язування в!дпов1дно! задач! Р1кана.

2 5? описано клас м!иашп крайска задач для нвск1нчеЕЕЕГ систем диференц!ально-р1зницеЕкх р1вншь 1з сталями коефШ1ен-

тамй, як1 зводяться до матрично! задач! РШаза на. единичному «

кол!. Наприслад/краЗова задача •(ГЧсх) .

—+1Дк^{1)-2ак{Х)+ик.,(Х)«0, К « 0,41 ,±2,..., хеС0;11,

а(0) = о, ..............

<ъиху

- о,

х=о

•1.(Т) = Г ¡£«0.1.2,..., ........-О, 106-1.-2,...

" ах ¡хи.

зводиться до тюзв'язування задач! Р!мана

j- Ф<~т=-а ctg а Ф (t) + [ 0~(t)-f?+(t) ],

I 2>!<t)=- gjl^- ®;(t) + a ctg a [«¡(D+F^t) ], t«T.

символ яко! мае на Г нуль другого порядку в точц! t=l. Тут a= a(t)= (t-1 )//Г , ?+(х)-в1дока фузкц1я, яка вхзначаеться ярайовпмз утзет. При цьску розв'язок початкозо! задач! ггов'я-' ззно з розв'язксм задач! (-5) нзступноо р!ш1стю

j[ Ф*(t)sinaxfO~ (t)cosazjt_k~*dt, k=0,±l,=2.....

Г

Дал! з цьому пзрагроф! на основ! результат!в §§ 4 ! 5 пропопуеться метод на&зданого розв'язування зззначтоаж м!пзнех

крайохкж задзч. Навэдаво результата чксзльвого розв'язаиая'одн!сГ

• *

крайово! заддч! иэтодок кплокацИ.

Тратя глава гакертац}! црисв'ячеза нЬвлякевоау рсзв'язуван-

•Я1 ' ' 4 .'

ню взняткового вкладку с.!.у.» а такоа 1х скотом.

В § а на основ! рвзультот!в §5' 4 ! 5 обгрунтовзно метода колскац! I 1 редукцИ нйблтаэкого розв'язувсння аивяткового вн-падку c.l.y. виду

' b(t)r <p(t) .. •• г

a(t)фШ+- -- dx + Kit,x)cpi^)dT=g(t). t«r,

тл У т-t. . J

Г Г

!_ систем c.l.y. з ядром Коя 1 у вппадку, якио символ р!вняння мзс на Г ск!нчэнну к!льк!сть нул!в Шлях кратностей. *

У § 9 застосовусться результата 5 8 для ваблазвзого роз-з'язування c.l.y. з комплексно спряяешва етаяенкикн нез!домо1

ФункцНг

_ c(t)r <р(т) . г ф(г)

a(t)<p(t)+tKtîcpïD+- -dT+cKt)— -dt+

ici J t-t ici J t-t

Г Г

+- I' Kt(t,x)<?(T)lt + J Ka(t,i)<p(T)ÛT: = f(t), UT

Г Г

Результата § 8 такая застосовуються в 5 10 для .наблшйно-го розв'язування вкняткового випадку о. t.у. !з зсуеом Карлемзна:

-г г г 1 г

ksto ** к х ' J

+ [ 5C(t,T)di =g(t),t«T, Г

лэ <x(t) - пряюй або обеднений зсув, який з:добраз:ас взаомно однозначно одиничке коло Г саме на себе t задоволышючий углов;/ Карлекона

an(t)st, <x(t)*t, 1 î lti a-l, де а- натуральна, c^çtj^tc^ (t)l, ao(t)Et.

НасамкШаць • вважав своШ ¡гриемщш обов'язкам висловитн глибоку вдячн!сть за всзб1чнз сприянкя. л дапошгу у робот! своему нэукавому кер!внику доценту Тихонеику H.fî,

Список poOfr автора за темов'диссертзцП. 1. Чэлаев A.M. О сходимости метода коллокаций для систем сингулярных интегральных уравнения в исключительном случае // Ш Респуолшсанскиа симпозиум но ди^решиадьшш и интегральным ;,фавненида:Твз.докл., 1-3 июя 1S32 г.-0дасса,1982.-С.227.

Чадзев A.M. Приближенное решение одного сингулярного интегрального уравнения в искшгттвльвва случае //Школа да теорвд:

операторов в функциональных пространствах:Тез.докл.,4-11 жаля

1982 г.-№гнск„1982.-С.223,

3. Чадаев A.M. Приближенное решение систем сингулярных интегральных уравнэний в некоторых функциональных пространствах //Интегральные уравнения в прикладном ?иоделпроЕании:Тез.докл. Республиканской научно-технической конференции, 4-6 октября

1983 г.-Киев„1983„ч.II.-С.229-230.

4. ЧадаэБ А.(Д„ 0 полкой непрерывности одного интегрального оператора/УОдасск,ун-т.-Одесса,1983 г.-16 с.-Деп.з УкрНВДТИ 21.11.83. -Я 1297.УК-Д83.

5. Дидзнко В.Д.,Мацкул В.Н.,Чадаэв A.M. К прямым методам приближенного реиешя сшруляршх интегральных уравнений с сопря-

шгем/Лйтегралънае уравнения в прикладном моделирован;®:Тез. докл. IГ Ре сйубликзнскоЗ. конференция,15-19 октября 1SS6 г. -Киев, !S85.4.2.-C.91-92.„

6. Тихоиэнко Н.Я.,Чадаев A.M.- О методе редукции приближенного рзшшйгя систем сянгуляряцх' 1штегралышх уравнения в исклкяе-тельном случае fГдзв.вузов.Ийтем,-i937.-а 5.-С.71-74.

7. Чадаев A.M."0.приближенном решении некоторых задач математической физики//Котод дискретннх особенностей в задачах мате-мат^ескоа-фтаики: Тез .докл. 17 Всесоюзного симпозиума, 18-22 мая 19Q9 Г. -Харьков,1989.4.11.тС.283-285.

3. ТйхоаэнкО.Н.Я. Ладаов A.M. Приолизаннсе решение краевой задачи йдаана в исключительном случае в пространствах непрерывных фущщиЯ//Матод дасгсретных. особенностей в задачах математической физики: Тез,докл. 7 Всесоюзного симпозиума*,- 15-19 сэнтяоря 1991 Г.-0дэсса,1Э91.Ч.П.-С.55-56.