Профилирование решетки сопловых лопаток газовой турбины методом годографа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Математического Моделирования

На правах рукописи

КАМЕНЕЦКИЙ Дмитрий Семенович

Профилирование решетки сопловых лопаток газовой турбины методом годографа

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М-В.Келдыша Российской Академии Наук

доктор физико-математических наук, профессор Э.Г.Шифрии.

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Чудов; кандидат физико-математических наук Ю.Б.Радвогин.

НИИ Механики Московского государственного университета.

Защита диссертации состоится "_"_1993 г. в час. мин.

на заседании специализированного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования Российской Академии Наук по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН.

Автореферат разослан " С2." Д <лрглЛ. 1 <У)Я г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук /

С.Р.СВИРЩЕВСКИЙ

Общая характеристика работы

Актуальность тепы.

Эффективность работы современных газовых турбин в большой степени определяется качеством, потока, формирующегося на выходе из соплового направляющего аппарата. Наличие в этом потоке скачков уплотнения, а также отрыв погранслоя отрицательно сказываются на полезных характеристиках всей многоступенчатой турбины.

Распространенный подход к профилированию решетки сопловых лопаток состоит в следующем: проектировщик выбирает контур лопатки, исходя из тех или иных инженерных соображений, находясь под влиянием существующих традиций. Затем, если есть возможность, для спрофилированной решетки решается прямая задача, то есть определяется течение газа в межлопаточных каналах при заданной геометрии лопатки и шаге решетки. При таком подходе качество потока, обеспечиваемое сопловым аппаратом, определяется в конечном итоге физической интуицией и удачей проектировщика. На этом пути иногда удается получить поток удовлетворительного качества, но добиться теоретически идеального результата (т.е. гладкого безотрывного результирующего сверхзвукового потока) невозможно. Не приводят к этой цели и локальные процедуры перепрофилирования каких-либо участков контуров имеющихся лопаток, основанные на (численном) решении обратных задач газовой динамики в плоскости течения. Теоретическому исследованию поддается, к сожалению, лишь достаточно узкий круг проблем: сюда входят задачи гидродинамической теории плоских решеток (стационарные и некоторые нестационарные), некоторые вопросы плоскопараллельного обтекания решеток газом Чаплыгина и ряд других^ трехмерные эффекты частично удается изучить в рамках модели профилей, расположенных в. слое переменной толщины на поверхности вращения. Отметим, что эти результаты достигнуты благодаря применению мощного математического аппарата: теории аналитических и псевдоаналитических функций, сингулярных интегральных уравнений и др. Однако в представляющем практический интерес случае трансзвуковых течений идеального газа неизвестны корректные постановки даже для модели плоскопараллельных безвихревых нзэнтропи-ческих движений. Поэтому наиболее широко используемым методом решения и исследования таких задач стало численное моделирование.

Этим способом сейчас пытаются изучать даже трехмерные отрыв-вые течения как в неподвижных так и в подвижных ступенях турбин. Именно результаты компьютерного моделирования вместе с реальными физическими экспериментами дают окончательный ответ на вопрос об эффективности спрофилированной турбинной решетки, в частности, соплового аппарата.

Цель работы ■ научная новизна.

В настоящей работе используется радикально ивой подход к профилированию решетки сопловых лопаток турбины в рамках представляющей реальный интерес модели плоских безвихревых движений идеального газа. Исходным пунктом для нас была не та или иная форма лопатки, кажущаяся "хорошей" по каким-то признакам, а окончательные характеристики трансзвукового течения в межлопаточном канале соплового аппарата. Это:

1. монотонность изменения модуля скорости вдоль линий тока, совпадающих со стенками лопатки;

и. наличие в потоке прямой звуковой линии, разделяющей области до- и сверхзвукового течений;

Ш. отсутствие ударных волн в сверхзвуковой части течения и равномерный сверхзвуковой поток на выходе из решетки.

Первое из этих свойств по современным представлениям является достаточным для безотрывности потока при любых числах Рейнольдса. Отсутствие второго свойства, как показывает анализ, невозможно совместить с выполнением первого, кроме того при наличии п. задача профилирования расщепляется на независимые дои сверхзвуковую подзадачи, что дает возможность легко добиться выполнения третьего базового условия.

Оказывается, что удовлетворить этим условиям очень легко, если использовать переход с физической плоскости на плоскость годографа. (Этот прием дает чрезвычайно эффективное средство для теоретического исследования задач плоского течения идеального газа — он использовался, в частности, в работах С.А.Чашшгина, Ф.И.Франкля,— но непопулярен среди вычислителей — по-видимому, из-за кажущейся математической сложности.) В рассматриваемом случае наиболее сложная задача профилирования дозвукового (т.е. примыкающего к области дозвукового течения)

участка контура лопатки может быть сведена к некоторой корректной сингулярной краевой задаче для линейного эллиптического уравнения (уравнения Чаплыгина) в некоторой подобласти И римановой поверхности логарифмического типа в переменных годографа (задача А). Искомый дозвуковой контур лопатки получается по решению задачи А с помощью обратного преобразования на физическую плоскость при условия, что построенное решение в области £> таково, что это преобразование однолистно.

В связи с таким подходом меняется и акцент в применении компьютера. Последний используется для реализации алгоритма решения корректной краевой задачи А для линейного уравнения Чаплыгина и если удастся доказать сходимость используемого для решения задачи А численного метода (хотя бы в областях И некоторого специального вида)— предположение подкрепляемое результатами тестовых расчетов,— то это означало бы, что нами восстанавливается существующее в строгом математическом смысле гладкое решение задачи обтекания плоской решетки профилей трансзвуковым потоком идеального газа с точностью, ограниченной лишь разрядностью процессора. Таким образом в этом случае можно говорить не о компьютерном моделировании течений, а об алгоритме вычисления некоторого класса точных гладких решений уравнений плоского потенциального изэнтропического течения идеального газа с прямой звуковой линией, подобно тому как вычисляются решения дифференциальных уравнений по готовым формулам.

Многообразие профилируемых решеток сопловых лопаток по методу предлагаемому в представленной диссертационной работе определяется большой свободой выбора области на плоскости годографа, в которой решается задача А, а также несколькими возможными способами профилирования сверхзвуковой части контура.

В рамках реализации намеченной схемы решения задачи профилирования, исходя из условий ¡.-ш. получены следующие результат ты, научная новизна которых определяется самой постановкой.

• Доказала корректность основной сингулярной краевой задачи А в односвязной области с разрезом на плоскости годографа. Изучен вопрос о поведении решения ц окрестности точки ветвления годографа. ~

• Исследованы критерии, обеспечивающие однолистность отображения на физическую плоскость; получены соотношения, связывающие некоторые характеристики решения задачи А с физическими параметрами потока через профилируемую решетку и самоё 'решетки.

• Аналитически построена сингулярная функция, которая, подчиняясь некоторой заданной асимптотике логарифмического типа, дает гладкую правую часть при подстановке в уравнение Чаплыгина (и таким образом лишь на гладкую функцию отличается от точной особенности). Эта сингулярность использована в численном алгоритме решения задачи А. При этом одна из известных схем учета особенности при численном решении была модифицирована с учетом локального характера

. задания сингулярности.

• На основе метода разностных потенциалов построен эффективный численный алгоритм решения задачи А, позволяющий быстро и с высокой точностью выделять физически реализуемое решение.

Научная и практическая ценность работы.

Ценность решеток сопловых лопаток, которые получаются на основе предлагаемого алгоритма определяется свойствами гладкости потока, обеспечиваемого ими. Отметим, что в реальности для достижения теоретически предсказанного качества течения может понадобиться высокоточная технология изготовления лопаток. В данном случае возможное увеличение затрат должно оправдываться экономическим эффектом.

Представленный метод профилирования решеток сопловых лопаток турбины позволяет минимизировать необратимые потери внутренней энергии газа в сопловом направляющем аппарате, сведя их лишь к тепловым потерям в тонком пристеночном слое. По нашему мнению именно в построенном классе турбинных решеток следует ^ искать ответ на вообще говоря нерешенный вопрос: как необходимо

тех случаях, когда применение исшели плоских движений дли описания реального трехмерного течения в межлопаточных каналах соплового аппарата возможно и оправдано

профилировать лопатки соплового направляющего аппарата с точки зрения эффективности работы всей многоступенчатой турбины?

Полученный класс гладких трансзвуковых решений уравнений плоского потенциального изэнтропического течения газа может использоваться для тестирования имеющихся программ решения прямых задач о течении газа через решетки.

На защиту выносятся:

Основные результаты диссертации, перечисленные в конце автореферата.

Апробация диссертации.

Основные результаты докладывались на VIII Всесоюзной школе-семинаре памяти К.И.Бабенко (Московская обл. 1990), а также на научно-исследовательских семинарах в Институте Прикладной Математики РАН (руководитель семинара — профессор Р.П.Федоренко), Институте Математического Моделирования РАН, Вычислительном Центре РАН, , и на

семинаре кафедры прикладной математики в Российском открытом университете.

Публикации.

По результатам работы имеется 3 публикации, перечисленные в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Список литературы содержит 31 название. Общий объем работы 69 страниц, из которых 9 — рисунки.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая полностью посвящена постановке и теоретическому исследованию задачи профилирования решетки сопловых (возможный вариант—поворотных) лопаток турбины; во второй части приведено описание численного метода и алгоритма решения данной задачи.

Во введении помещен краткий обзор литературы по примыкающей тематике и в сжатом виде приведено содержание диссертации по главам и параграфам.

В §1 первой главы приводится строгая постановка задачи профилирования в ее дозвуковой части. Формулируется основная краевая задача для уравнения Чаплыгина относительно функции тока ф в некоторой бесконечнолистной области в дозвуковой части плоскости годографа, а именно — на образе периодического течения через решетку в дозвуковой его части. Уравнение вырождается в окрестности образов звуковой линии и точки разветвления потока, где скорость обращается в нуль. Указанная многолистная область разрезается вдоль кривой, связывающей образ бесконечно удаленной точки с образом точки разветвления потока. Это позволяет переформулировать задачу в некоторой однолистной области О, граница которой содержит разрез. Эта область соответствует одному минимальному элементу периодического течения на физической плоскости и полное течение может быть получено из этого элемента последовательными параллельными переносами на шаг решетки. Вслед за этим обсуждается вид условий на границе области 2), в частности, формулировка условий периодичности исходного течения. Они имеют вид некоторых соотношений на скачок функции тока и ее нормальной (к разрезу) производной на разрезе. Впрочем, наиболее естественно эти условия записываются на неразрезанной бесконечнолистной поверхности. Нетривиальным является вопрос о поведении функции тока в окрестности образа бесконечно удаленной точки, являющейся точкой ветвления для указанной поверхности. Оказывается, что на простом листе с разрезом, имеющим вид простой кусочно-гладкой кривой (в частности, отрезком) следует допустить рост функции тр с логарифмической скоростью, причем константу при данной асимптотики следует задавать вместе с граничными условиями. Результатом всех, этих исследований является формулировка основной краевой задачи—задачи А.

Параграф 1.2 целиком посвящен доказательству теоремы о существовании и единственности решения задачи А. В некоторой последовательности подобластей области 2?, аппроксимирующих последнюю и таких, что уравнение Чаплыгина в каждой пз них является равномерно эллиптическим, строится некоторое сингулярное решение этого уравнения, удовлетворяющее поставленным условиям на части разреза и заданному условию роста в окрестности точки ветвления. Это сингулярное решение представляется обобщенным интегралом типа Коти и используется при доказательстве для

"стирания" разреза: при этой мы опираемся на теорию обобщенных аналитических (псевдоаналитических) функций. Затем с использованием принципа подобия для псевдоаналитических функций исходная задача сводится к хорошо исследованной краевой задаче с нулевым индексом в области без разреза. Отметим, что в случае, когда псевдоаналитическая функция имеет особенность типа точки ветвления, ее построение непосредственно на основе цринципа подобия для псевдоаналитических функций затруднительно. Для этого, по-видимому, следует воспользоваться теоремой о непрерывном (гладком) продолжении псевдоаналитических функций— аналоге аналитического продолжения аналитических функций. Используя аппарат интегралов типа Коши, мы строим сингулярность явно, избегая указанной процедуры продолжения. Вырождение уравнения Чаплыгина в исходной области учитывается с использованием техники барьерных функций. Выписываемое нами интегральное представ пение для сингулярности позволяет к тому же,—если использовать теорему о скачке обобщенного интеграла типа Коши—получить важную связь между константой логарифмического роста С и скачком потенциала течения на разрезе или, другими словами, приращением потенциала на одном шаге решетки на физической плоскости.

Специфика рассматриваемой задачи состоит в том, что выбор границы образа течения на плоскости годографа в широком смысле находится в руках исследователя. При этом, однако, следует наложить некоторые ограничения на форму этой границы. Необходимость этих ограничений, обсуждаемых в §1.3, связана с естественным требованием, чтобы отображение с плоскости годографа на физическую плоскость было однолистным, то есть с физической реализуемостью течения через спрофилированную решетку. Исследуются возможные неоднолистности двух типов: "локальные" и "глобальные" . Оказывается, что избежать вторых довольно легко, а, чтобы добиться отсутствия первых, необходимо, варьировать предполагаемые образы стенок лопатки и/или положение точки ветвления с тем, чтобы удовлетворить некоторому геометрическому критерию, для чего необходимо в каждой новой области находить решение задачи А.

Параграф 4 главы I посвящен исследованию некоторых интегральных соотношений выполненных для трансзвуковых периодических газовых течений рассматриваемого типа. Интегрируя формулы

перехода с плоскости потенциала (ф, ф) на плоскость течения (х,у) , мы получаем выражения для приращений координат Ах и Ду вдоль дозвукового участка контура лопатки через характеристики набегающего дозвукового потока и константу С, которая характеризует рост функции ф в окрестности точки ветвления образа течения на плоскости годографа. Интересно, что при выводе этих выражений нигде не используется условие, что область, занимаемая дозвуковым течением на физической плоскости, однолистна и, таким образом, они сохраняют силу и в этом, не имеющем физического смысла случае. Эквивалентные преобразования представлений для приращений координат приводят к уравнению, выражающему постоянство массового расхода в одной трубке тока, образующей периодический элемент течения, а также к связи между константой С и углом, образованным направлением набегающего потока и нормалью к фронту решетки. В этом виде интегралы движения используются в дальнейшем для проверки правильности расчетов. В конце §4 вводится некоторая величина, получающаяся контурным интегрированием скорости в дозвуковой части потока. В данной задаче она является естественным аналогом циркуляцпп скорости вокруг контура лопатки и выражается через константу С.

Пятый параграф первой главы посвящен описанию различных способов профилирования сверхзвуковых (т.е. примыкающих к областям сверхзвукового течения) участков контура лопаток. Повторяем, что эта часть задачи решается независимо коль скоро дозвуковой участок контура спрофилирован так, что обеспечивает течение с прямой звуковой линией. Описано три способа профилирования сверхзвукового участка: первый и третий основаны на свойстве примыкали- простой волны к прямой звуковой линии, причем в первом случае используется течение Прандтля-Майера и на контуре лопатки возникает угловая точка, лежащая на звуковой линии; второй способ профилирования аналогичен способу, использованному в для профилирования сверхзвукового участка контура плоского сопла Ла-валя.

Наконец, в шестом параграфе I главы обсуждается важный вопрос о сохранении непрерывного характера течения при малых деформациях контура лопаткп п потока на входе.

111п()< ыппнина И.А., Шифрин Э.Г. Об одном методе профилирования коротких плос-кмх сопл. // МЖГ, I, 1975, с.54-58.

Во второй главе описываются алгоритмы дискретизации всех шагов решения рассматриваемой задачи профилирования. Ключевым элементом здесь является разработка численпого метода получения решения основной задачи А на плоскости годографа. Приходится обходить трудности, связанные с нарушением аппроксимации искомого решения разностной схемой в окрестности особых точек. Помимо точки ветвления годографа, особой для функции тока ф является точка В — образ прямой звуковой линии: граничные значения функции ф претерпевают в этой точке разрыв. Кроме того необходимо на разностном уровне отразить (аппроксимировать) условие роста для функции тока в окрестности образа бесконечно удаленной точки.

В связи с описанной проблемой п как средство ее преодоления в §1 второй главы излагается некоторая схема учета явного вида особенностей решения дифференциальной краевой задачи. Эта схема основана на идее, применявшейся многими авторами, в основе которой лежит разложение искомого негладкого решения на гладкую и сингулярную части, причем последняя бывает известна с точностью до мультипликативной постоянной (в каждом слагаемом асимптотического разложения). Характер сингулярЕостей решения задачи А таков, что указанные коэффициенты при членах асимптотического разложения известны: онп выражаются через скачок граничных условий в соответствующей особой точке и константу логарифмического роста С, которую мы задаем вместе с граничными значениями. Кроме того, удобные аналитические выражения для особенностей в нашем случае удается получить лишь в некоторой окрестности особых точек. В соответствии с этим предлагается следующая схема: на некоторой сетке ищется регулярная часть решения—если рассматриваемая точка сетки попала в окрестность особой точки и полное решение—в противном случае. Скачок, возникающий при переходе от гладкой компоненты к полному решению, компенсируется путем добавления в разностную схему корректирующих слагаемых, использующих явный вид особенностей. Естественная аппроксимация условий на разрезе получается из разностной схемы для уравнения Чаплыгина, записанной на всей бесконечнолистной риманозой поверхности—образе периодического течения на плоскости годографа.

Во втором параграфе II главы речь по-прежнему идет о построении алгоритма численного решения задачи А. Приводится спо-

соб аппроксимации условий на кривых—образах стенок лопатки в дозвуковом течении (их совокупность обозначается Г). При этом используются основные конструкции метода разностных потенциалов, в результате чего получается система линейных уравнений относительно значений нормальных производных решения на Г в некотором конечном множестве точек ш 6 Г. (Для получения контура лопатки на физической плоскости достаточно знать только указанные производные на Г.)

Метод разностных потенциалов позволяет получать решения широкого класса дифференциальных краевых задач с высокой точностью (вместе с производными)3' и при этом эффективно: при очень небольшом числе точек |о»|. В расчетах |о>| не превышала 100. Это обстоятельство используется для построения эффективного алгоритма выделения физически реализуемого решения: он описывается в §11.3.

В параграфе 11.4 приведены результаты тестовых расчетов для уравнения Лапласа с особенностями и примеры спрофилированных турбинных решеток.

В заключении резюмированы основные результаты диссертационной работы, отмечаются неразработанные трудные места и обсуждаются направления возможных обобщений.

Основные результаты диссертации.

ь Задача профилирования решетки сопловых лопаток турбины при обтекании их трансзвуковым потоком идеального газа корректно поставлена и исследована теоретически. При этом для дозвуковой части проблемы, сформулированной в виде краевой задачи для уравнения смешанного типа на плоскости годографа, доказаны существование и единственность решения. Найдена связь между константой, характеризующей логарифмический рост функции тока ф в окрестности точки ветвления годографа, и некоторыми характеристиками потока на физической плоскости.

З'если эти решения достаточно гладкие

ii. Исследованы условия однолистности отображения с плоскости годографа на физическую плоскость; разработано несколько способов профилирования сверхзвуковой части контура лопаток с использованием факта, что звуковая линия—прямая.

iii. Построен эффективный и быстрый метод численного решения поставленной задачи. В основе его лежит распространенный, однако существенно модифицированный для учета специфики основной краевой задачи А, алгоритм выделения особенностей решения и метод разностных потенциалов. Свойства последнего использованы для быстрого выделения физически реализуемого решения. Аналитическим путем выведены формулы для сингулярностей в окрестности точки ветвления годографа, хорошо зарекомендовавшие себя в расчетах.

iv. Построены многочисленные примеры решеток профилей, обеспечивающих течения удовлетворяющие условиям гладкости и безотрывности. Существующий пакет программ является неограниченным источником для получения таких решеток в дальнейшем.

На рисунках 1 и 2 представлены примеры спрофилированных турбинных решеток.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах

Каменецкий Д. С., Шифрин Э.Г. Профилирование сопловых лопаток турбины методом годографа, препринт ИПМ им. Келдыша, No. 61, 1992, с.1-22.

Каменецкий Д. С. Численный метод решения одной сингулярной краевой задачи для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа, Препринт ИПМ им. Келдыша, No. 60, 1991, с.1-22.

D.Kamenetskii, E.G.Shifrin Application of the hodograph method to nozzle guide vane profiling, Russian Journal of Computational Mechanics No.3, 1993. (в печати)

TURBINE VHNES

M1 = 0.17 M2= 2.60 TET1= -0.00 TET2= -0.54

TURBINE VRNES

TURBINE VRNES

см

s a.

Ml=0.60 M2= 1.45 TET1= -0.01 TET2=-0.28