Аэрогидродинамическое проектирование прямой однорядной решетки профилей методом регуляризации решения обратной краевой задачи тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ



'"'.КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО СР АС НО ГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ИСМАГИЛОВА Гульнар Равилевна

АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПГОЕКТИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ ОДНОРЯДНОЙ РЕШЕТКИ ПРОФИЛЕЙ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

01. 02, 05 - механика жидкостей, газа.и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена в отделе краевых задач Научно-иссл вательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботар Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знам государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина.

Научные руководители:

заслуженный деятель науки России и Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор Н.Б.Ильинский

кандидат физико-математически наук, старший научный сотрудник А.В.Поташев

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор Р.Б.Салимов

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Клоков

Акционерное общество "НИИтурбокомпрессор", г.Казан:

Защита состоится "23" ^емгЗрХ 1993 г. в 14 час. 30 и в ауд. физ.2 на заседании специализированного сов* Д 053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой стега доктора физико-штештических наук по механике при Казана государственном университете имени В.И.Ульянова-Леш (420008, Казань, ул. Ленина, 18).

С диссертацией моейо ознакомиться в научной библиот< Казанского университета.

Автореферат разослан "¿0" НОЛЬрА_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-штег^атичсских наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы определяется необходимостью создания этодов рационального проектирования, лопаток турбомашия с лучшенными аэродинамическими характеристиками.

Целью диссертации являются разработка математически обос-ованных методов построения прямой однорядной решетки профи-ей с использованием теории обратных краевых задач аэрогидро-инамики (ОКЗА), а также создание на основе этих методов лро-раммных средств для аэрогидродинамического проектирования ре-еток профилей.

Научная новизна. В диссертации на основе метода квазире-[ений получены физически реализуемые решения ОКЗА для прямой щнорядной■решетки профилей по заданному распределению скорос-■и в виде функции дуговой координаты контура профиля. Дано >бобщение на случай обтекания решетки вязким потоком газа по юделям газа Чаплыгина и пограничного слоя (ПС). Предложены юстановка и метод решения ОКЗА для решетки профилей при зада-ши диапазона изменения входных параметров потока. Исследован тредельный переход построенных аналитических решений к решению аналогичных ОКЗА для изолированного профиля. Разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы.

Практическая значимость работы определяется соответствием рассмотренных в ней задач запросам практики. Разработанные на основе предлагаемых методов алгоритмы и программы были использованы при выполнении хоздоговорной работы с АО "НИИтурбокомпрессор".

Достоверность полученных результатов и вытекащих из них выводов обеспечивается применением аналитических методов решения в рачках хорошо известных моделей течения, а также результатами тестовых расчетов.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинаре отдела краезых задач НИИШ им. Н.Г.-Чеботарева (руководитель - профессор Н.Б.Ильинский), на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1986-1992г.г.), на 13-й Научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦИАМ им. П.И.Баранова

(г.Москва, 1989г.), на IV Всесоюзной научной шк< "Гидродинамика больших скоростей" (г.Чебоксары, 1989г.), Международном семинаре по газовым турбинам (г.Казань, 1989г. на I Всесоюзной школе-конференции "Математическое моделиров ние в машиностроении" (г.Куйбышев, 1990г.), на V Всесоюз* научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (г.Чебоксар 1992г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 рабе список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из ввел ния, четырех глав, заключения и списка литературы из 79 наш нований. Работа изложена на 127 страницах машинописного тек та, содержит 36 рирунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована основная цель работы, дан о зор литературы по теме, кратко изложено содержание диссерт) ции,- представлены выносимые на защиту результаты.

ОКЗА для прямой однорядной решетки профилей исследовала! при различных способах параметризации исходных данных в раб< та?с Ф.Вейнига, М.Лайтхилла, Л.А.Симонова, Г.Г.Т^машевг Г.Ю.Степанова и др. Характеристика различных методов решен! ОКЗА. для гидродинамических решеток содержится в монограф! Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина, Г.Ю.Степанова, в обзорной рабо! А.М.Елизарова, Н.Б.Ильинского, А.В.Лоташева.

Практическую реализацию при проектировании решеток турбс машин получили работы по решению ОКЗА методом годографа скорс сти, предполагающим задание зависимости между величиной V аргументом в вектора скорости. Однако, как указано в моногра фии Г.Ю.Степанова*, с.170, обратную задачу теории гидродинами ческих решеток с практической точки зрения желательно было б решать, задавая распределение скорости V как функцию- дуги искомого контура. Построенные при таком подходе решетки обес печивают безотрывные гидродинамически целесообразные распреде

Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин//М.: Физмат гиз. - 1962. - 512С.

пения скорости (ГЦРС) с заданным уровнем максимума скорости и зго положением на профиле, имеют малуе потери энергии и явля-отся устойчивыми в орошении кавитации в случае применения их в гидротурбинах. Но использование результатов работ Ф.Вейнига, Г.Г.Тумажева, Г.Ю.Степанова, Л.А.Дорфмана, М.и.Жуковского, Г.И.Костычева и др., посвященных построению решеток профилей no v(s), сдерживалось трудностями выполнения условий разреши-кости задачи. Невыполнение этих условий при произвольно заданном распределении скорости означает неразрешимость ОКЗА в классе профилей, ограниченных замкнутым однолистным контуром, т.е. некорректность ОКЗА по Адамару. Преодолеть эти трудности и разработать способы нахождения физически реальной формы профилей решетки позволяет метод регуляризации решения ОКЗА. Для изолированного крылового профиля этот метод был развит в работах А.М.Елизарова, Н.Б.Ильинского, А.В.Поташева.

С практической точки зрения актуальна также разработка методов проектирования гидродинамических решеток, обладавших устойчивыми характеристиками не только на расчетном резине обтекания, но и в некотором диапазоне изменения входных параметров потока. Создание подобных методов обуславливается необходимостью предотвращения сравного (или помпааного) режима обтекания, в случае эксплуатации решеток при переменных углах атаки. Один из подходов к получения таких методов осноезн на решении ОКЗА, в которых на различных участках контура искомого профиля

задаются распределения скорости, характеризующие безотрывное

\

обтекание решетки профилей на границах допустимого диапазона изменений входной скорости потока.

В настоящей диссертации разрабатываются методы аэрогидродинамического проектирования прямой однорядной решетки профилей, обтекаемой как идеальным потоком яидкости, так и вязким газом, по распределению скорости v=v(s) путем регуляризации решения ОКЗА.

Первая глава (§§1,2) диссертации является вводной. В ней рассмотрены основные модели, применяемые для упрощения реальной картины течения в решетках осевых турбомэяин.

В §1 описаны основные допущения, на основе которых строится решеточная модель, а течение в решетках осевых турбомашин

сводится к обтеканию прямых однорядных ранеток профилей. Укз заны геометрические, кинематические и аэрогидродинамически характеристики решеток данного типа.

В §2 изложены основные предположения моделей идеально несжимаемой жидкости (ИНК), газа Чаплыгина и пограничног слоя, которые используются для математического описания тече ний в плоских прямых решетках. Проведено сравнение методов ра счета коэффициента профильных потерь, предложении Л.Г.Лойцянским и Г.Ю.Степановым.

Вторая глава (§§3-7) посвящена построению решетки профи лей в потенциальном потоке.

В §3 приведена постановка ОКЗА и построено аналитическо решение для случая ИНЕ, следуя, в основном, работ Г.И.Костычэва^. Искомая прямая однорядная решетка известног

шага £, обтекаемая со скоростью , расположена в физи

ческой плоскости г=х+1у так, что ее фронт ортогонален действи тельной оси. Необходимо определить форму конгруэнтных профиле; с кусочно-гладкой границей и, возможно, одной или двуы острыми кромками (рис.1) по заданному распределению скорост] у=у(з) вдоль контура (рис.2).

Рис.1 ' Рис.2

Дуговая абсцисса з контура профиля решетки отсчитывается 01 8=0 в задней кромке В до з=Ь в ней же так, что при возрастали}

%остыч8в Г.И. О построении решеток по заданному распределения скорости// Тр. Казан, авиац. ин-та.-1958.-ЖЗ-34.-С.7-18.

область течения остается слева. Функция у(з) обращается в уль в передней критической точке А (з=зд) при 1*е1<2 и в залей кромке В при 1$£2<2 (величинами с^п, е2п определяются нешние к профилю углы в точках А и В). В случае, если £х=2, меем п(зА)*0. Аналогично при £2=2 и(Ь)=-и(0)'е0. Знак и(з) вязан с направлением обхода контура, поэтому v(s)<0 при кз<зА и у(з)>0 при зд<з<±.

Метод решения (ЖЗА состоит в следушем. В плоскости комп-¡ексного потенциала по начальным данным (ЖЗА строится область

соответствующая искомой области течения 02. Используется (етод сопоставления плоскостей и рассматривается в качестве 5спомогательноЯ канонической области бесконечнолистная рима-юва поверхность с симметричными точками' ветвлэ-

шя (£=±Я) и границей, проекцией которой является окружность единичного радиуса. Далее определяется конформное отображение 7=?(С) области на Вя при соответствии точек бесконечно удаленным точка?.«, функция ¥(С) строится как комплексный потенциал обтекания круга <1 от вихреисггочника и вихрестока, расположенных в точках С=-й и £=/?. Путем сопоставления распределений потенциалов скорости на контуре и на единичной окружности устанавливается связь з=з{у) ?*азду дугой з и угловой координатой уе[0,2тг] окрузности 1С 1=1. После этого в интегралом Шварца находится функция £(С)=1п(<^/йг)=5-Сб по известным граничным значениям действительной части. Отображение 2=г(С) > позволяющее построить й2 и определить координаты искомых профилей, восстанавливается путем интегрирования

Функция г=г{0 обеспечивает построение простых и замкнутых контуров профилей и соответствие гареметров набегащего потока заданным значениям только при выполнении условий рззреякиости задачи.

В диссертации исследовзна система для нахождения неизвестных параметров задачи. Получены соотнесения, которые выразаят зависимость углов ¡Зх, р2, опрадалггщих положение точек разветвления Сх и схода С2 потока на окружности 1£1=1, от значения Я

и исходных данных задачи. Решение системы сведено к решенив одного трансцендентного уравнения, из которого й вычисляется путем последовательных приближений. Интегральное представление функции 2=2(С) и условия разрешимости построены с учетом особенностей в критических точках. Условия разрешимости преобразованы к виду, удобному" для применения метода квазирешений

2ТГ 2ГГ

- = в нв —^- = в (2)

J ЩУ) 1 2 ) Щу)

о о

где Ф(у)=(Я2+1)2-4Я2саз2)' . Здесь .

тг у, 7г г л я г 1

В,=-2~ 1п - , В,= -2 61-69 . 8з= -1— 1пКу, . (3)

1 2й(Г-1) о, 2 1)*-1 2-> 3 /?4-1 ^1 2-»

Скорость на бесконечности за решеткой профилей и2=и2е * определяется из соотношения

у^ 41Г/г=У2е где Г - циркуляция скорости по контуру профиля решетки.

В §4 исследовано при бесконечно большом шаге решетки асимптотическое поведение построенного в §3 аналитического решения ОКЗА. Получено соотношение, определяющее характер стремления параметра конформного отображения И и шага £ к бесконечности. Доказано, что существует предельный переход от этого решения к решению ОКЗА для изолированного профиля, полученного Г.Г.Тумашевым3.

В §5 построены аналитические формулы для нахождения квазирешения (ЖЗА для прямой однорядной решетки профилей.

Исходя из развитого метода квазирешений ОКЗА для изолированного профиля, определяется множество корректности П, состоящее из функций Б(у), которые удовлетворяют условиям разрешимости (2) и дают решение задачи через оператор Шварца с после-

■3

Тумашев Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления// Уч. зап. Казан, ун-та.-1952.-т.112.-ЙЗ.-С.3-41.

тацим интегрированием вида (1). В случае, если найденная по

мальным данным Б(у) не попадает в и, то решается вариацион-

1Я задача отыскания.на этом множестве функции 5 (у), макси-

1льно близкой к исходной. Эта задача при выборе множества и в

юстранстве I, .сводится к задаче построения функции * о

(у), минимизирующей функционал

2?Г

зи известных линейных ограничениях (2), выраженных через фун-Т(у). Заданием весовой функции Ф0(У) определяется кон-эетный вид I.

Для нахождения экстремума функционала применен метод не-тределенных множителей Лагранжа. Получен общий вид функции [у). Рассмотрены два вида функции Ф0(у) и приведены конкрет-ю варианты квазирешений. Аналогией между условиями разреши-зсти решаемой задачи и ОКЗА для изолированного профиля опре-зляется выбор весовой функции в виде Ф0(.У)=1/$ (.У). Как пока-^вают результаты числовых расчетов, квазирешение, соответству-цее такому способу задания Ф0(у), применимо только при пост-эении решеток большого шага. Для случая густых решеток полу-эно квазирешение при задании ф0{у) в виде Ф0(у)=1/Х$(у).

В §6 рассмотрена ОКЗА в случае обтекания решетки профи-эй плоским установившимся потенциальным дозвуковым потоком га-а. Требуется определить геометрию безотрывно обтекаемой пря-эй однорядной решетки шага £, которая обеспечивает заданное ноль контура профиля распределение приведенной скорости Х(з) ри известном числе Маха М1 набегающего газового потока.

Для решения задачи используется модель газа Чаплыгина, мучено интегральное представление функции 2=2г(С), отображаю-вй каноническую область й^-, введенную в §3, на область эчения Пх

1/2

десь Х=5~19, 5ГХ.>1п{2х/[1+[г+4сХ2] ]]■, в - аргумент векто-а скорости, б - константа аппроксимации, характеризующая мо-

даль газа Чаплыгина

0 - рМ4[Ш2-Ы2]} '

plt р2 - плотности газового потока на бесконечности до и пос/ решетки профилей. Функции F(t) и s=s(y) определяются аналогия но тому, как это было сделано в §3. Далее по известным границ ным значениям действительной части S(y)=S[X(s(r))l интеграле Шварца восстанавливается £(С). Условия разрешимости записаны виде . (2). Константы ß1, В2, В3 определены следушим образом

Bi «kM)- ■»- ¿¡МО- ■«

где S1=S(X1), S2=S(X2)• Получено соотношение iß

it+ e 2[г -¿X1|sinÖ1+i[/o1//p2]cos01}]//x2=O,

ig. -» iö2

связывающее скорости потока X1=X1e , X2=X2e на беско нечности до и после решетки профилей.

Для удовлетворения условий разрешимости ' использова предложенный в §5 способ построения квазирешения.

В §7 дано описание разработанного алгоритма численной ре ёлизации аналитического решения ОКЗА и результатов числовы расчетов.

В третьей главе (§§8-10) решена ОКЗА для решетки профиле с учетом вязкости потока в приближении теории ПС с использова нием подхода,- развитого в работах А.Н.Ильинского и А.В.Поташе ва для изолированного профиля.

В §8 дана постановка и построено аналитическое решени ОКЗА. Вдоль контура профиля безотрывно обтекаемой прямой одно рядной решетки шага t задается распределение давления p(s) 3s[0,L] несжимаемого вязкого потока. Требуется найти форм; профилей решетки по известной скорости и числу Re1^ulL/v {V - кинематический коэффициент вязкости) набегающего потока.

При постановке и решении ОКЗА существенно используете, известное из теории ПС условие совпадения распределений давле ния на контуре профиля в вязком потоке и на границе полутел; вытеснения, обтекаемого идеальной жидкостью. Предполагаете; также согласно схеме Ву струйных течений, что за профилем по-

утало вытеснения ограничено конгруэнтными линиями тока. В сиу принятых предположения поставленная задача сводится к зада-ie построения полутела вытеснения по распределении скорости '(з) (зе[0,1]), связанному с исходным р(з) интегралом Бернул-|й. Для решения этой задачи используется метод, изложенный в >3. Далее одним из известных методов расчета безотрывного ПС го известному v(3) и Rex определяется толщина вытеснения 6 . [ля построения контура профиля решетки необходимо в силу ма-юсти толщины ПС отступить от границы полутела по внутренней юрмали на величину 5 (з). Показано, что для разрешимости задачи требуется выполнение условий (2), в которых ßlt ß2, ß3 зпределены равенствами (3). Скорость потока 02 находится из соотношения

"102Г Г _101 /

Az =е |Г - lilt^e - v2e I j/v2 .

5десь Az=Az(6*,6) - величина разожнутости полутала вытесне-шя. Указан способ удовлетворения условий разрешимости.

В §9 для приближения к реальной картине обтекания ОКЗА обобщена на случай вязкого газа. Сделало допущение о том, что 1ри дозвуковых скоростях сжимаемостью ПС молено пренебречь. Внешний адиабатический поток моделируется газам Чаплыгина, "хема аналитического решения ОКЗА аналогична приведенной в §8. Цля нахоздения Форш полутела вытеснения в потоке идеального газа использован способ, предложенный в §6. Условия разрешимости записаны в виде (2). Константы ßx, В2, В3 находятся из равенств (4). Величины S,, S, определяются по значениям скоростей Xlt Х2,- которые связаны соотношением

it + е 2 [г -г [з 1 п0х+i р2] созв^] /X 2 =Az.

В §10 описан алгоритм численного решения ОКЗА для решетки профилей в вязком потоке. Этот алгоритм предусматривает организацию двух итерационных процессов: внешнего (для удовлетворения условий разрешимости с применением метода квазирешений на каддом шаге итераций) и внутреннего (для уточнения значений

А2, отношения плотностей {р2/р1) и о). Для изучения влияния вязкости на геометрические и аэрогидродинамические характеристики профилей решетки-проведены числовые расчеты при различных

Re1 для заданного ГЦРС.

В четвертой главе (§§11,12) разработан метод построен* решетки профилей при задании диапазона изменения входных пара метров потока.

В §11 дана постановка и построено интегральное представ ление решения ОКЗА. Искомая прямая, однорядная решетка извест ного шага t обтекается в плоскости z потенциальным потоком. Н контуре профиля, который является гладким за исключением зад ней кромки В, выбирается точка С с координатой sc, разбивающа его на два участка (рис.3). Исходные распределения скорост v (s) и u(s) заданы на интервалах СО,зс] и Csc,L3 и соответст вуют двум случаям безотрывного обтекания решетки с известным

скоростями набегающего потока и^. Требуется построить ре

шетку профилей, реализующую заданные условия обтекания. В за

висимости от взаимного расположения на контуре точки С и точе

А, А разветвления потока при соответствующем режиме обтекани

(их координаты s», s,) выделены различные схемы задания u(s) * 1t v (s). Одна из этих схем для случая sh<sc<sx представлена н,

оис.4.

V, V •

%k

в гс N ¡в

8с ¿8

Рис.3

Рис.4

Ранение задачи состоит в отыскании функции z=z(f), осуществляющей конформное отображение римановой поверхности D^ н£ внешность искомой решетки профилей Dz при соответствии точе? t~R бесконечно удаленным точкам физической плоскости. Для построения z=z(t) необходимо, определить зависимость s=s(y) межда граничными точками областей De-, Dz. В результате сопоставлена

распределений потенциалов скорости при соответствующем режиме обтекания на профиле и на единичной окружности получена система уравнения для отыскания з=з(у). Выведены соотношения для нахождения неизвестных параметров задачи и условия совместимости начальных данных. Интегральное представление z=z(£) построено с помощью функции й)(С)=1п{(1-е-1) 2d2y/dtj-, которая

определена интегралом Шварца по известным граничным значениям действительной части

ln{&ln[(y -/?2)/^]1_£2 p'00/i>[s(r)]} , у-[ус.аг].

q(y)_{ ln{2sln[(y <p'*(r)/v*[a(r)]} . r*[0,reJ.

Здесь угол yc определяет положение на If 1=1 прообраза точки С; Ф'(у), <р' (у) - производные потенциалов скорости на единичной окружности при двух режимах обтекания. Кроме совместимости начальных данных для разрешимости ОКЗА необходимо также выполнение условий разрешимости. Эти условия записаны через функцию S(y)=lnIv{y)I, определенную по q[y) для одного из рассматриваемых режимов обтекания, в виде (2). Для удовлетворения этих условий применен метод квазирешения.

Показано также, что в предельном случае при .£-*» предложенные постановка задачи и аналитическое решение (с точностью до поворота декартовой системы координат) сводятся к постановке и аналитическому решению ОКЗА для двух углов атаки, рассмотренной в работе А.М.Елизарова и Д.А.Фокина.

В §12 описан вычислительный алгоритм решения ОКЗА и приведены примеры числовых расчетов, иллюстрирующие возможность модификации формы профилей решетки с целью обеспечения более плавного их обтекания при изменении угла входа потока в известном диапазоне.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Способ решения ОКЗА для прямой однорядной решетки профилей в потоке ИНЖ по распределению скорости иСз) с использованием метода квазирешений. Исследование предельного перехода от решения этой задачи к решению ОКЗА для изолированного профиля.

2. Обобщение разработанного метода на случай учета сжимаемости (по модели газа Чаплыгина) и вязкости (в рамках теори! пограничного слоя).

3. Постановка и аналитическое решение ОКЗА для прямой однорядной решетки профилей при задании диапазона изменения входных параметров потока.

4. Алгоритмы численной реализации построенных аналитических решений, результаты и анализ проведенных числовых расчетов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ

1. Ильинский Н.Б., Поташев A.B., Таюрская Г.Р. Решение обратной краевой задачи для прямой однорядной решетки профи-лей//Механика машиностроения: Тез. докл. секции механики жидкости, газа и плазмы. - Брежнев. - 19Й7. - С.31. \

2. Ильинский Н.Б., Поташев A.B., Таюрская Г.Р. Аэродинамическое проектирование решеток профилей методом квазирешений обратных краевых зацач//Газовые турбины (теория, конструирование, эксплуатация). Материалы межд. семин. - 1989. - Казань. -1990. - С.33-41.

3. Ильинский Н.Б., Поташев A.B., Таюрская Г.Р. Построение прямой однорядной решетки профилей методом квазирешений обратных краевых задач//Изв. вузов. Авиац. техника. - 1989. - J63.

- С.35-38.

4. Таюрская Г.Р. Построение прямой однорядной решетки профилей в дозвуковом потоке газа//Гидродинамика больших скоростей: Тез.. докл. IV Всесоюзн. научн. школы. - Чебоксары.

- 1989. - С.31.

5. Таюрская Г.Р. Обратная краевая задача для прямой однорядной решетки профилей, обтекаемой вязким потоком//!/.атемати-ческое моделирование в машиностроении: Тез. докл. I Всесоюзн. школы-конф. - Куйбышев. - 199Э,- С.26.

6. Таюрская Г.Р. Профилирование прямой однорядной решетки в вязком потоке/УСборник Самарского аэрокосмкческого университета (в печати).

'iCcU^L -tU-^CO^tZ-

Сдано в набор 17.06.93 г. Подписано в печать 16.06.93 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.О,9. Тираж 100. Заказ 318.

Лаборатория оперативной полиграфии КПУ 420008 Казань, Ленина, 4/5