Прогнозирование роста приповерхностных усталостных трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РГВ од

2 2 ДЕК 2000

На правах рукописи

Бабкин Артем Александрович

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РОСТА ПРИПОВЕРХНОСТНЫХ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН

Специальность01.02.06-динамика и прочность машин, приборов

и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин

доктор технических наук, профессор В.В.Болотин

доктор физико-математических наук, профессор Р.В.Гольдштейн, доктор технических наук, профессор 13.11.11ико.чаев

Всероссийский научно-исследовательский институт природных газов и газовых технологий

Защита состоится 29 декабря 2000 г. в 13.00 час. в ауд. В-114 на заседании диссертационного совета К-053.16.12 в Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., дом 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 1 11250, Москва, Красноказарменная ул., дом 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан " " ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

Петровский А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Проблема надежности механических систем является одной из важнейших в современной науке. В России более половины энергетического оборудования и трубопроводных систем находится в состоянии, близком к предельному. Одной из основных причин отказов и предельных состояний механических систем, находящихся под воздействием циклических нагрузок, является развитие усталостных трещин в результате постепенного накопления повреждений.

Усталостные повреждения развиваются постепенно, поэтому они поддаются диагностике и прогнозированию. Прогнозирование показателей надежности реальных конструкций, испытывающих циклические нагрузки, и имеющих усталостные повреждения, имеет большой экономический эффект. Для этого необходим эффективный метод моделирования распространения усталостных трещин. Необходима теория, которая, раскрывая сущность явления, позволяет на ее основе строить эффективные модели для практического применения.

Цель диссертации. На основе синтеза механики разрушения и континуальной механики накопления повреждений реализовать модель для численного моделирования распространения приповерхностных усталостных трещин, позволяющую глубже вникнуть в сущность явления. Используя разработанную модель, произвести прогнозирование роста приповерхностных усталостных трещин под воздействием равномерного нормального циклического нагружения для широкого класса конфигураций, провести параметрический анализ и сравнить полученные результаты с опытными данными.

Методы исследования. Для прогнозирования распространения усталостных трещин применяется метод численного моделирования на основе теории усталостного разрушения В.В.Болотина. Учитывается перераспределение напряжений в окрестности фронта трещины, изменение свойств материала вследствие накопления повреждений и изменение морфологии фронта трещин. Система определяющих уравнений метода решается численно с помощью разработанного программного обеспечения. Осложняющим фактором является отсутствие аналитических решений для полей напряжений в окрестности трещин в телах со сложной геометрией.

Научная новизна диссертационной работы. Большинство работ по прогнозированию роста усталостных трещин основано на эмпирических уравнениях типа уравнений Пэриса-Эрдогана. Трещина рассматривается как-бесконечно тонкий надрез, не учитывается изменение морфологии фронта и структуры материала. В данной работе моделирование распространения трещин производится на базе теории, которая основана на гипотезе о накопле-

нии рассеянных повреждений в материале, соотношениях энергетического баланса и изменении картины в окрестности фронта трещины. Учитывается накопление повреждений на фронте трещины и в дальнем поле, изменение свойств материала в окрестности трещины, изменение морфологии ее фронта. Развит метод, позволяющий использовать информацию о коэффициентах интенсивности напряжений для анализа распределения напряжений в окрестности трещиноподобных полостей и вырезов.

Практическая ценность работы. Результаты работы представлены в виде качественных выводов, а также в виде алгоритмов и программ, которые могут использоваться при моделировании распространения усталостных трещин и аншшзе экспериментальных исследований. Использование разработанной методики при анализе трещин в реальных конструкциях позволит продлить срок их службы путем определения остаточного ресурса. Применение статистического моделирования для повышения экономической эффективности экспериментов, сокращению количества и времени испытаний является перспективным. С его помощью можно делать выводы о методах и способах натурных испытаний, применимости способов статистической обработки, количестве экспериментальных образцов. Прогнозирование на основе развитого метода дает нам возможность по-новому оценить имеющиеся экспериментальные данные по росту усталостных трещин, а также более эффективно планировать новые эксперименты.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научной конференции, посвященной 60-летию образования Института машиноведения им. А.Л. Благонравова РАН (Москва,

1998); Пятой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва,

1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, сводки результатов и списка использованной литературы. Работа изложена на 99 страницах, содержит 44 рисунка. Список литературы включает 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе кратко изложены основные вопросы надежности механических систем при наличии усталостных трещин. Отмечена актуальность и практическая важность проблемы прогнозирования усталостных трещин на современном уровне развития науки и техники. В обзоре описано современное состояние проблемы, изложены имеющиеся методы прогнозирования усталостных трещин, приводится их анализ. Рассмотрены наиболее

выдающиеся работы в области механики усталостного разрушения отечественных и зарубежных (В.П.Когаев, В.П. Николаев. Е.М.Морозов,

B.В.Болотин, В.Т.Трощенко, В.З.Партон, Р.В. Гольдштейн, P.C.Paris,

C.Craeger, R.A.Smith, K.J.Miller, G.Pluvinage, J.C.Newman) исследователей. Отмечено, что большинство опубликованных работ по двухнараметрическим трещинам базируется на эмпирических выражениях типа

% = сА(ж.,у.§ = с„(лк11у, (1)

где а>Ь- ширина и глубина трещины, С,,, Си и п эмпирические постоянные, ЛКл и ЛКВ - значения размаха коэффициента интенсивности напряжений Л К. Проанализированы эмпирические формулы, предложенные различными авторами для коэффициента интенсивности напряжений для трещин в трехмерных телах. Далее в первой главе изложены общие основы теории усталостного разрушения В.В.Болотина. Согласно этой теории усталостная трещина продвигается, когда вследствие накопления усталостных повреждений работа разрушения уменьшается до значений, при которых состояние трещины становится неустойчивым. Условия роста трещин формулируются на основе принципа виртуальных перемещений в терминах аналитической механики разрушения - активных обобщенных сил и обобщенных сил сопротивления.

Далее сформулированы цель и задачи диссертации, описаны рассматриваемые в работе конфигурации трещин. Приведены примеры использования рассматриваемого метода для прогнозирования остаточного ресурса, оптимизации экспериментальных исследований и развития теории.

Во второй главе изучено распределение напряжений в окрестности сплющенной поверхностной полуэллиптической полости (см.рис.1), моделирующей поверхность трещины. Распределение напряжений в окрестности такой полости является классической задачей теории упругости, результаты решения которой имеют громоздкую форму. Аналитические выражения существуют только для ряда частных случаев. Конечно-элементное моделирование отнимает много машинного времени. В рабою для получения распределения напряжений в рассматриваемых моделях используется аналогия между коэффициентами интенсивности и концентрации напряжений. Детальный анализ данной аналогии проведен Шипом и др. (1991 г.) для различных конфигураций трещин и надрезов и соотношений а/р. Авторы отмечают, что для однопараметрических трещин и надрезов аналогия действительно имеет место, а поправочные коэффициенты совпадают.

Для распределения напряжений в окрестности трехмерной эллипсоидальной полости существует точное решение Нейбера (1947 г.), громоздкое даже для одноосного растяжения. Для коэффициента интенсивности напряжений в случае внутренней эллиптической трещины нормального отрыва в бесконечном пространстве существует точное аналитическое выражение Ирвина, имеющее очень компактную форму. Мура в 1983 г. предложил аналогичное формуле Ирвина аналитическое выражение для коэффициента концентрации напряжений в окрестности эллипсоидальной полости в бесконечном пространстве с полуосями а, Ь и с, сильно сплющенной в направлении полуоси с, при равномерном растяжении в направлении с

к = 2А-(т2 р + Ксозг р)и*/Е(к). (2)

\Р а'

Отсюда получим модифицированную формулу Нейбера для коэффициентов концентрации напряжений около трещиноподобного поверхностного выреза в пластине конечных размеров под действием одноосного растяжения

г = (3)

\Р Е(к)

где У(а/Ь,Ь/1 ,Ь/\У,/?) - поправочная функция коэффициента интенсивности напряжений аналогичной задачи.

Распределение напряжений при удалении от фронта трещины имеет значение для определения повреждений в дальнем поле. На основе решения Нейбера было получено следующее выражение, широко применяемое многими авторами

о" =^0 +4х/р)'К (4)

где <гтих - значение напряжения а у фронта трещины, х - расстояние до

<ч

\

• 1

I 1 ■>? Л. ^

!- --<£ 1 ** у

X 1 + \ ; 2а

| !

! \

/ У '

ИМ Т У У '

ДСГа,

Рис.1.

фронта, р- радиус его кривизны. Погрешность (4) согласно использованным источникам не превышает 5 - 7 % в широком диапазоне соотношений а/р.

С целью анализа применимости аналогии в рассматриваемой модели (рис. 1) было проведено исследование с помощью метода конечных элементов. Полученные по МКЭ значения коэффициентов концентрации напряжений для различных а/b сравнивались с полученными по формуле (3) (на рис.2, изображены сплошными линиями). Отмечено хорошее согласие полуэмпирических и МКЭ значений при b <0.7 ... 0.8/. При очень малых и больших значениях а/1 и b/t разброс связан с грубостью сетки. Расхождение значений напряжений, вычисленных по формуле (4), с результатами моделирования не превышало 10% при х/р < 10.

аП ЬЛ

Рис.2.

На основании конечно-элементного моделирования сделан вывод, что для анализа концентрации напряжений в рассматриваемых задачах возможно применение модифицированной формулы Нейбера (3) с учетом конкретного вида функций Yij.ilb.bjt ,Ь/\У Распределение напряжений вблизи фронта достаточно хорошо описывается формулой (4). Использованная конечно-элементная модель вполне применима для качественного анализа распределения напряжений.

В третьей главе излагается применение теории к моделированию двухпараметрических усталостных трещин. Рассматривается поверхностная полуэллиптическая трещина в пластине конечной ширины под действием равномерного циклического растяжения (см.рис.3). Согласно принципу виртуальных перемещений для механических систем с трещинами в состоянии равновесия имеем

(Сл- Гл )6и + (<7„ - Ги НЪ = 0, (5)

где (7| и Сл - обобщенные силы, продвигающие трещину, Ги и Гц - соответствующие силы сопротивления. Для упругого тела

G,=

5U

cU

пь'

(6)

где U - потенциальная энергия упругой деформации. Для линейно-упругого тела она выражается через интенсивность высвобождения энергии упругой деформации С, которая зависит от локальных значений коэффициентов интенсивности напряжений. Представляя уравнение контура в виде х = a cos Д у = b sin /?(см.рис.4), с учетом выражений для Js и Sn(fl) получим окончательное выражение для обобщенных сил, продвигающих трещину:

С, =2 J

K,-(\-v)

b cos

- : Pdp, G„= 2 J

K,'(\ - v)

sin: [hip,

(7)

И ,, И

Коэффициент интенсивности напряжений ^/определяется выражением

4кь

К, = а-

Y(a/b.b/t .b/iV .ft)

E(k)

сучетом поправочной функции Y = (.Ц + M:{b/i): + М, (6/'У }?/„/.. • Л

(8)

ч да х

А а* Рис.3

Функции Mi, М7, определяют влияние соотношения a/b, размеров

пластины, параметрического угла ß.

Для определения обобщенных сил сопротивления Г, и Гц предположим, что трещина распространяется только в направлении нормали п в каждой точке ее контура, описываемого элементом длины d.s. Тогда

Г, - 2 ¡r(fJ)hcos' ßdß. Г„ = 2 \у(ру,sin1 ßdß . (9)

о о

где y(ßj - удельная работа разрушения, являющаяся параметром материала.

Основной идеей теории ямляегся зависимость механических характеристик материала от рассеянных повреждений. Показано, что основное влияние на рост трещины оказывай i изменение удельной раГкнм разрушения / с ростом микроповреждений в рассматриваемой частице материала. Примем, что у зависит только от скалярной меры повреждений ме [0. 1], где значение а = О соответствует неповрежденной, а йг I поврежденной частице. Для скорости ее изменения используем уравнение

dm dÑ

Лет - A<jlh л

0, Л<7 < á<J,h,

, Л а > Лег.,,,

(10)

где Лет - размах напряжения в рассматриваемой частице материала, Acrlh, oj и т - параметры материала, принятые постоянными при заданных условиях окружающей среды. Эффектами закрытия трещины пренебрегаем. Для описания изменения удельной работы разрушения с накоплением повреждений используем соотношение у= уи( 1 - у/), где /„ - значение удельной работы для неповрежденного материала; <//- мера повреждения на фронте, т.е. при £=0.

Поле напряжений на фронте и на удалении от фронта трещины ег(£, р) моделируется с помощью выражения (4), в котором напряжение Латах (/?) = к-(/])Лсг„ , где к{/)) определяется но формуле (3).

Изменение эффективного радиуса кривизны у фронта трещины опишем уравнением, предложенным В.В.Болотиным (1990 г.) :

dN Хр dN dN

Здесь р - значение эффективного радиуса в каждой точке фронта, dn/dN -скорость роста трещины по нормали к ее текущему контуру, /?„ рь, А() - пара-

метры материала.

Моделирование роста трещины проводится следующим образом. Начальные параметры трещины ап и Ьп таковы, что при N = 0 состояние системы субравновесно, тогда из (5) следует, что СА < Г., и G!t < Гц. Интегрируя уравнения (10), (11) по числу циклов N, достигаем условия (пусть страгива-ние трещины наступает в направлении полуоси а)

GA=rA,GB<rB. (12)

Число циклов при достижении условия (12) может быть найдено только численно. Далее даем трещине приращения Ла или ЛЬ соответственно, при этом учитывается заострение трещины, вычисляются повреждения на новом фронте трещины. Приращение размеров трещины продолжается, пока истинно условие (12). Уравнения (10), (11) интегрируются до следующего достижения условия типа (12). Расчет останавливаем, как только трещина становится сквозной, то есть Ь = t.

Для расчета был взят высокопрочный сплав на основе никеля ЖС6Ф, применяемый в газотурбинных двигателях. Приведены его механические свойства, характеристики трещиностойкости и параметры уравнения (1). Параметры закона накопления повреждений (10) получены на основе данных о значениях АКЛ и Е, то есть принято Д<т<Л = 250 МПа, ad- 10 ГПа. Параметр т принят равным показателю п уравнения (1): т = п = 4.02. На основе анализа свойств микроструктуры материала получены параметры уравнения (13) ps = 10 мкм, рь =АР = 100 мкм.

Толщина образца t = 20 мм, ширина w = 50 мм. Величина нагрузки: Лаж — 100 МПа, коэффициент асимметрии цикла R = 0. Начальные размеры трещины принимались равными an =1, 2, 5 мм, bn= 1,2, 5 мм. В рисунках использованы обозначения: : 1 —ar/bo = 1.0; 2 - а^Ъ0 = 2.0; 3 —ас/Ьо — 5.0; 4-а(/Ьп~ 0.5, 5 -ai/bn= 0.2. Шаг интегрирования равен AN= 1 цикл, минимальное приращение размеров трещины Ла = ЛЬ = 0,5 мкм. Показано, что приведенные величины параметров моделирования являются достаточными как с точки зрения сходимости, так и с точки зрения достоверности результатов моделирования.

В работе исследовалось влияние начальных размеров трещины а0, Ь() на ее рост. Основными результатами моделирования являются кривые роста трещин и диаграммы усталостного разрушения. Зависимости размеров трещины от числа циклов нагружения для различных а^Ьц приведены на рис 5.

Наибольшей долговечностью, равной 5.97-106 циклов, обладает модель с an - bo = 1 мм. Наименьшее значение числа циклов до разрушения, порядка 1.46-106, имеет трещина с bn - 1 и наибольшей величиной ад - 5 мм.

20-,

20

2

5 10

ш

У1

ю3 ю5 ю7 "ю ю3 105 ю7

N. циклы N. циклы

Рис.5.

На диаграммах усталостного разрушения (см. рис.6) пороговое значение коэффициента интенсивности имеет значения порядка ЛКлМПа-м"2, что согласуется с опытными данными. Разброс начальных скоростей составляет порядка 10'5... 10"8 мм/цикл, эти значения обычно связывают с порогом роста усталостных трещин. Из аппроксимации среднего участка диаграмм уравнением (1), получены значения его коэффициентов: п » 4.3, С^ « 5.7-10"10, Сди 2.7-Ю"10, близкие к параметрам данного материала.

10

510-2,

5 2

€ ю-Н

10-8-1-

10

д КА, МПа м1/2

10

л- Кв, МПам1/2

Величина п близка к величине показателя т в законе для скорости накопления повреждений (10). Стадия неустойчивого роста происходит ускоренно и заканчивается вблизи значения коэффициента интенсивности ЛК^ = (уцЕ)]П « 50 МПа-м1

Далее описано изменение тех параметров трещины, которые входят в теорию, и не могут быть измерены непосредственно, но учет их изменения является одним из основополагающих моментов теории. Зависимость радиуса кривизны от числа циклов нагружения представлена на рис. 7. Монотонному росту радиусов кривизны соответствуют субкритичсские состояния трещины до ее страгивания. После страгивания трещина заостряется, устойчивый рост трещины происходит при значениях радиус кривизны порядка 20 мкм. С началом неустойчивого роста трещина резко заостряется, радиус кривизны стремится к значениям порядка р„ рост трещины происходит за счет разрушения межзеренных прослоек.

Повреждения на фронте трещины (рис.8) играют существенную роль в процессе роста. Монотонное накоплеппе повреждений соответствует субравновесным состояниям трещины с неподвижным фронтом. 100т-X--ЮОт

"И ....... ......

103 105 N1, циклы

ю3 Та*

N. циклы

Рис.7.

з 0.5-

103 ю5

N. циклы

з 0.5 -

103 Ю5 ю7 N. циклы

Когда мера повреждений Ситка к предельной, равновесное распространение трещины происходит за счет разрушения элементов на ее фронте, на диаграммах усталостного разрушения это соответствует стадии I Ьриса. Дальнейший скачок вниз соответствует лавинообразному распространению трещины, когда повреждения на ее быстро продвигающемся фронте не успевают накопиться.

Далее проанализировано влияние на распространение усталостных трещин характеристик трещиносгойкосги, коюрые входя! в уравнения ieo-рии. В.В.Болотин и В.М.Ковех (1993 г.) показали, что основное влияние рассеянных микроповреждений приходится на удельную работу разрушения у, поэтому в работе производится анализ влияния параметров, входящих в соотношения для у. уп, До,>, и т. Параметры Аа„, и т определяются на основе характерных значений диаграммы усталостного разрушения, у- напрямую из механических испытаний. На основе моделирования сделаны следующие выводы: уменьшение работы разрушения ^приводит к небольшому снижению долговечности, оказывая влияние только на конечные участки диаграммы роста трещин. Уменьшение показателя т и величины Асг,/, в законе накопления повреждений (10) приводит к существенному снижению долговечности и увеличению скоростей роста трещин, влияя на начальный участок диаграмм.

Полученные в работе результаты сравнивались с вычислениями на основе уравнения (1) и найденных выше параметров C/h Сп и п. Оказалось, что стандартный расчет примерно на 20% более консервативен по долговечности. Это объясняется более высокой скоростью роста трещины после ее страги-вания при стандартном расчете по сравнению с результатами работы.

Предложенная модель достаточно подробно описывает практически все явления, происходящие на фронте трещины. Практические выводы можно было бы сделать из сравнения результатов моделирования с опытными данными. Они, как правило, недостаточно полны для определения всех параметров теории, поэтому возможно только качественное сравнение. На рис. 10 приведена часть экспериментальной диаграммы усталостного разрушения из работы Хосейни (1985 г.) для трещины в пластине из ор-

ганопластика при размахе нагрузки Дст„ = ¡30 МПа и коэффициенте асимметрии цикла Я = 0.1. Данные получены методами фотоупругости. Параметры С и от уравнения (1) для данной диаграммы п и 3.87, С» 9.22-10"9 близки к полученным в данной работе, прямая, соответствующая этим параметрам, изображена тонкой линией. Жирная соответствует части диаграммы, полученной в работе. Отмечается качественное согласие результатов моделирования с экспериментальными исследованиями. В начале и конце роста трещины экспериментальные данные подвержены существенному разбросу, и, как правило, на диаграммах не приводятся. На рис.116 приведены зависимости соотношения размеров трещины от ее относительной глубины. Значками обозначены результаты экспериментальных исследований Путры и др.(1992 г.) для сплава 7075-Т6, а тонкими линиями результаты моделирования по уравнению (1). На рис.11 а приводятся соответствующие кривые, полученные в настоящей работе.

Рис.Па

В четвертой главе анализируется рост полуэллиптической трещины на продолжении полуэллиптического выреза (см.рис.12). Задача осложняется наличием конструктивного концентратора напряжений, так как для такой конфигурации не существует аналитических выражений для распределения напряжений в окрестности трещины. Коэффициент интенсивности напряжений для одномерных трещин, распространяющихся от надреза, принимают в

виде /¡Г, = 1, где I - длина трещины, в напряжении р учитывают влияние надреза на коэффициент интенсивности. Существуют различные подходы к определению р. На основании усовершенствованного выражения Крегера и Пэриса (1963 г.) для поля напряжений а(х) в окрестности надреза Куявски (1991 г.) предлагает приближенное выражение для коэффициента интенсивности напряжений. Результаты МКЭ анализа демонстрируют достаточную точность этого выражения применительно к тонким надрезам и трещинам

глубиной / <10 Л. По аналогии распространяем формулу Куявски на случай полуэллиптической трещины, расположенной во впадине полуэллиптического выреза. Выражение для коэффициента концентрации напряжений получим в виде

л- = 2[(1 +-2Л/Л) +(1 + 2Л/Я) '"]. (.3)

Здесь поправочная функция/определяется при у = Л как [ у/р< 0.2

Лет,.

Рис.12.

В данной конфигурации наиболее интересно изучить влияние на рост трещины радиуса кривизны выреза К и его глубины ¿ (обозначения согласно рис.12). На рисунках введены обозначения: 1: - ¿=5 мм, Я/1=\\ 2: ¿=3 мм, Я/Ь= 1; 3: ¿=1 мм, Д/£=1; 4: ¿=1 мм, /{/¿=0.1; 5: ¿=1 мм, /{/¿=10. Начальные размеры трещины ап = Ьп =1 мм. Кривые зависимости глубины трещины Ь от числа циклов нагружения представлены на рис.13 с учетом введенных обозначений. С увеличением глубины выреза ¿ или с уменьшением его радиуса кривизны /?, уменьшается число циклов до разрушения. Для вырезов глуби-

ны Ь = 1мм и радиусом кривизны /? = 1мм. 0.1мм и 10мм (кривые 4. 3, 5) значения числа циклов до разрушения различаются более чем в два раза.

20

20

103 105 N. циклы

103 105 N. циклы

Рис.13.

Диаграммы усталостного разрушения (рис.14) для данной конфигурации получены через напряжения в "нетто" сечении сгм = а, //<7 Распространение трещин начинается при значениях коэффициентов интенсивности напряжений больших порогового из-за наличия концентратора напряжений.

5 10-2

з:

5 2

1 10-«

10-ь

10 100 л Ко, МПа-м"2

10

Л Кв, МПа м1'2

100

Рис. 14«

Рис. 14о

Отмечается слабая зависимость диаграмм усталостного разрушения трещин от радиуса кривизны надреза Я при постоянной Ь (рис.146). Это объясняется тем, что влияние концентратора напряжений сосредоточено в локальной зоне, размером порядка Я, где Л - радиус кривизны. Для выреза с 1УЯ = 10 максимальное напряжение в его острие ат1Х = сг(] + 7.32сх,

зона концентрации составляет порядка 0.5 мм. Для выреза ¿/Л = 0.1 максимальное напряжение в его острие сгтм= <7(1 + 2>/л/Л')=1.6?<7, зона концентрации составляет около 5мм. Таким образом для трещин глубиной порядка, нескольких мм влияние кривизны выреза на распределение напряжений практически одинаково.

2 т--Степень влияния параметров выре-

за на соотношение а/Ь сильно изменяется с ростом глубины трещины (рис.15). Так, для трещин глубиной менее /?, оно представляется наиболее сильным, так как они находятся в зоне концентрации напряжений от надреза, но на этой стадии еще сложно делать какие-либо выводы, так как трещины слишком малы и идут 20 процессы перераспределения напряжений 'э,мм по фронту трещины. Основное влияние

Рис.15. на соотношение а/Ь оказывает радиус

кривизны надреза Я (кривые 1, 4, 5): с его уменьшением трещины становятся более вытянутыми вдоль поверхности из-за локального увеличения напряжений в поверхностном слое вследствие наличия концентратора. Кривая 5 близка к соотношению а/Ь для обычной полуэллиптической трещины.

В пятой главе рассматривается модель, изображенная на рис. 16. У краев болтовых и заклепочных отверстий в элементах обшивки летательных аппаратов часто встречаются трещиноподобные дефекты. Как правило угловые трещины в процессе роста сохраняют форму, близкую к четвертьэллиптической. Для определения поля напряжений воспользуемся описанной во второй главе аналогией. Для трещин данной конфигурации значение поправочной функции У в выражении для коэффициента интенсивности напряжений (8) определяется следующим образом:

М№)*1 ШгМи

(14)

A er«,

где коэффициенты Mj, Af2, М3 зависят от соотношения параметров трещины а/Ь, поправочные функции gi, g} и fw учитывают влияние размеров пластины t и w. Функция g2 учитывает влияние отверстия.

Для коэффициента концентрации напряжений используем выражение (3) с поправочной функцией (14).

Радиус отверстия R принимался равным 10 мм и 20 мм. Начальные размеры трещины принимались равными ап =1, 2, 5 мм, Ьр= 1,2 мм. На последующих рисунках цифрами обозначены следующие конфигурации: 1: ,/6в=1.0; 2: a//bo - 2.0; 3: а,/Ь0= 5.0; 4: а</Ь0= 0.5.

Наибольшей долговечностью обладает конфигурация с начальными размерами Я(А> = 1 (Лг= 1.2-105 при R/t = 0.5), наименьшей - конфигурация с наибольшей начальной длиной вдоль концентратора. Для моделей с R/t = 1 долговечность примерно в два раза меньше.

Поведение меры повреждений и эффективного радиуса кривизны для данной конфигурации несущественно отличается от описанного в третьей главе, и имеет все их характерные черты. Устойчивый рост трещины происходит при значениях p(ß) на фронте порядка 20 мкм, при этом повреждения на фронте снижаются.

Из-за возмущения поля напряжений, вызванного концентратором, страгивание трещины происходит при пороговых значениях коэффициента интенсивности напряжений, превышающих значения без концентратора более чем в 2 раза. По сравнению с обычной поверхностной трещиной диаграммы усталостного разрушения (рис.17) имеют выраженный начальный участок. Вследствие наличия сильного концентратора (R/t = 1) стадия Пэриса мала, устойчивый рост трещины происходит при уменьшающихся повреждениях на фронте. Аппроксимируя стадию Пэриса с помощью уравнения (1), находим значения его коэффициентов п да 4.3, СА ® 5.2'10'10, Св « 2.8-10'10. Разрушение происходит при значениях коэффициента интенсивности порядка Kjca 50 МПа-м

1/2

5 10-2-

s

J

2 2

Z

•g 10-*

10-*

5 Ю-2

5

s

2

В ■о

Ю-4

10-*

1

10

л КА, МПа м1/2

100

Т 10

л Кв, МПа м1/2

100

Рис.17.

На рис. 18а и рис.185 приведены зависимости соотношения Ыа от глубины трещины Ь при различных Ьо/ао для значений R/t - 0.5 и R/t = 1.0 соответственно. Для большего R/t (R/t = 1.0) кривые сходятся к 1.45, при R/t = 0.5 соотношение стремится к 1.25, причем кривые сливаются быстрее. Это объясняется тем, что локальное напряжение на некотором расстоянии от отверстия R/t = 1.0 больше, чем от отверстия R/t = 0.5, поэтому трещина быстрее растет вглубь, то есть соотношение Ыа при R/t = 1.0 меньше.

2

Для качественного подтверждения полученных результатов на рис. 18а продемонстрированы экспериментальные значения соотношения Ыа для трещины в пластине из полиметилметакрилата с отверстием Л// =0.5 (Гранд, Мача, 1985 г.). Характер кривых качественно согласуется с экспериментальными данными, хотя максимальное расхождение составляет 37%.

СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Разработан алгоритм для численного моделирования роста двухпарамет-рических усталостных трещин на основе синтеза механики разрушения и континуальной механики накопления повреждений с учетом изменения свойств материала и морфологии фронта трещины. Рассмотрены наиболее часто встречающиеся конфигурации трещин, что расширяет сферу практического применения работы.

2. Исследовано влияние начальных размеров трещин, размеров концентраторов, параметров модели и характеристик трещиностойкости материала на размеры трещин, диаграммы роста трещин и изменение условий на фронте трещины. Показано, что использованный метод имеет более широкую область применения по сравнению со стандартным расчетом, основанным на интегрировании эмпирических уравнений.

3. Продемонстрировано качественное согласие результатов моделирования с опытными данными. Отмечено, что количественное сравнение было бы возможно при наличии возможности получения более точных значений параметров модели из эксперимента.

4. Полученные результаты могут применяться для прогнозирования остаточного ресурса конструкций, планирования и статистической обработки результатов экспериментальных исследований, углубленной оценки имеющихся экспериментальных данных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ

В РАБОТАХ:

1. Бабкин A.A., Белоусов И.Л. Прогнозирование роста приповерхностных усталостных трещин // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1999.-№3.-С. 109-116.

2. Бабкин A.A., Белоусов И.Л. Моделирование зарождения и начальной стадии роста усталостных трещин в поликристалличсских материалах // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. V международной научно-технической конференции студентов и аспирантов.-М., 1999.-Т. 2.-С. 333.

3. Бабкин A.A. Рост поверхностных усталостных трещин от концентраторов напряжений // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2000. -№5.-С. 35-41.

Печ. л _Тираж fOO 3aKü:i ^ifö

Типография МЭИ. Красноказарменная, 13.

Предисловие.

1. Введение

1.1. Надежность механических систем при наличии усталостных трещин.

1.2. Оценка надежности при наличии трещин. Методы прогнозирования роста поверхностных трещин.

1.3. Поверхностные трещины в трубопроводах, сосудах давления и турбомашинах.

1.4. Теория роста усталостных трещин В.В.Болотина.

1.5. Цель диссертации.

2. Распределение напряжений в окрестности поверхностных трещин

2.1. Аналитическая формулировка задачи,.

2.2. Аналогия между коэффициентами интенсивности и коэффициентами концентрации напряжений.

2.3. Применение аналогии для анализа напряжений в трехмерных задачах.

2.4. Конечно-элементное моделирование.

3. Прогнозирование роста поверхностных полуэллиптических трещин

3.1. Применение теории В.В.Болотина к моделированию двухпараметрических усталостных трещин.

3.2. Алгоритм вычислений. Выбор параметров модели.

3.3. Влияние начальных размеров трещины.

3.4. Диаграммы роста трещин.

3.5. Влияние трещиностойкости материала и сопротивления материала накоплению повреждений.

3.6. Сопоставление с результатами стандартного расчета.

3.7. Обсуждение результатов. Сопоставление с экспериментальными данными.

4. Рост полуэллиптической трещины на продолжении полуэллиптического выреза

4.1. Учет концентрации напряжений.

4.2. Влияние размеров выреза.

4.3. Диаграммы роста трещин.

4.4. Соотношение размеров трещины.

5. Распространение угловых четвертьэллиптических трещин, выходящих на поверхность кругового отверстия

5.1. Учет эффектов концентрации напряжений.

5.2. Влияние начальных размеров трещины.

5.3. Диаграммы скорости роста усталостных трещин.

5.4. Влияние размеров отверстия на число циклов до разрушения и соотношение между размерами трещины.

5.5. Сопоставление с экспериментальными данными.

6. Сводка результатов и выводы.

Проблема надежности механических систем является одной из важнейших в современной науке. Человека окружает огромное количество различных конструкций и механизмов, от надежности которых зависит его благосостояние, здоровье и жизнь. Когда ответственное оборудование находится в достаточно изношенном состоянии, определение показателей надежности и остаточного ресурса данного оборудования является приоритетной задачей, для решения которой необходимы эффективные методы расчета.

Одной из основных причин отказов и предельных состояний механических систем, находящихся под воздействием циклических нагрузок, является рост усталостных трещин в результате постепенного накопления повреждений. Настоящая диссертация посвящена разработке метода прогнозирования роста приповерхностных усталостных трещин, который может применяться для оценки параметров надежности механических систем, имеющих такие трещины.

Существующие методы прогнозирования роста усталостных трещин основаны на эмпирических уравнениях типа уравнений Пэриса, не учитывающих реальной картины в окрестности трещины. Разработанный метод основан на теории усталостного разрушения, являющейся синтезом механики разрушения и континуальной механики накопления рассеянных повреждений. Учитывается изменение свойств материала вследствие накопления повреждений и изменение морфологии фронта трещины. С его помощью в диссертации произведено прогнозирование роста приповерхностных усталостных трещин различных конфигураций под воздействием циклического нагружения, выполнены параметрический анализ и сравнение полученных результатов с опытными данными.

Использование разработанного метода при анализе трещин в реальных конструкциях позволит в некоторых случаях продлить срок их службы. С помощью статистического моделирования на основе разработанного метода можно делать выводы о способах статистической обработки результатов натурных испытаний, количестве экспериментальных образцов. Прогнозирование на основе развитого метода дает возможность по-новому оценить имеющиеся экспериментальные данные по росту усталостных трещин.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.т.н. проф. В.В. Болотину за помощь в выборе темы диссертации, а также за ценные советы и замечания в ходе выполнении работы.

1. ВВЕДЕНИЕ

6. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

Разработан алгоритм для численного моделирования роста двухпарамет-рических усталостных трещин на основе синтеза механики разрушения и механики накопления рассеянных повреждений. При этом учитывается изменение параметров трещиностойкости материала и морфологии фронта трещины. Разработан метод, позволяющий использовать информацию о коэффициентах интенсивности напряжений для анализа распределения напряжений в окрестности трещиноподобных дефектов в телах со сложной геометрией. Рассмотрены часто встречающиеся на практике конфигурации трещин, в частности приповерхностная полуэллиптическая трещина, трещина на продолжении полуэллиптического выреза, угловые трещины, выходящие на поверхность отверстия.

Исследовано влияние начальных размеров трещин, размеров концентраторов, параметров модели и параметров трещиностойкости материала на размеры трещин, диаграммы усталостного разрушения и изменение условий на фронте трещины. На основании полученных результатов сделаны выводы о влиянии рассеянных повреждений на рост трещины, в частности стадия Пэриса контролируется в основном повреждениями на фронте трещины, угол наклона диаграмм усталостного разрушения определяется параметром уравнения накопления повреждений.

По сравнению с методами, основанными на интегрировании уравнений Пэриса-Эрдогана, метод и модель включают все стадии распространения усталостных трещин: зарождение, устойчивый рост и финальное разрушение и имеют более широкую область применения. Представленные графики качественно согласуются с результатами конечно-элементного моделирования, описанными в литературе, и с экспериментальными данными.

Использование численного моделирования для планирования экспериментальных исследований и определения методов их статистической обработки является перспективным и экономически эффективным. С помощью статистического моделирования можно определить число образцов для натурных испытаний, проанализировать применимость статистических гипотез. Более продуманные эксперименты приведут к уточнению теории и возможности количественной, а не только качественной оценки ее параметров.

Математическое моделирование на основе развитого метода может быть использовано для уточнения теории, проверки различных гипотез, моделей изменения свойств или характеристик материалов, например моделей накопления повреждений, изменения характеристик трещиностойкости с накоплением повреждений, влияния данных характеристик на рост трещины на различных этапах.

С помощью разработанной модели возможно прогнозирование роста трещин в реальных конструкциях, что позволит сделать выводы о возможности продления их срока службы. Для расширения спектра применения метода необходимо иметь данные о распределении напряжений в окрестности трещин в реальных конструкциях, где часто встречаются разнообразные концентраторы напряжений.

1. Бабкин A.A., Белоусов И.Л. Прогнозирование роста приповерхностных усталостных трещин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. -№3.-С. 109-116.

2. Бабкин A.A. Рост поверхностных усталостных трещин от концентраторов напряжений // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. - № 5. -С. 35-41.

3. Болотин В.В. Об обобщенных силах в аналитической механике разрушения // Новожиловский сборник (Под ред. Н.С.Соломенко). Санкт-Петербург: Судостроение, 1992. - С. 161 - 170.

4. Болотин В.В. Объединенные модели в механике разрушения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. - № 3. - С. 127 - 137.

5. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. Москва: Машиностроение, 1990. - 448 с.

6. Болотин В.В. Уравнения роста усталостных трещин И Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - № 4. - С. 153 - 160.

7. Болотин В.В., Болотина К.С., Радин В.П., Щугорев В.Н. Характеристики тер-щиностойкости слоистых композитов // Механика композитных материалов. -1996.-Т. 32.-№ 1.-С. 21-31.

8. Болотин В.В., Ковех В.М. Численное моделирование роста усталостных трещин в среде с микроповреждениями // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1993.-№ 2.-С. 132-142.

9. Болотин В.В., Лебедев В.Л. Механика роста усталостных трещин в среде с микроповреждениями. // Прикладная математика и механика. 1995. - Т. 59. -№2.-С. 307-317.

10. Болотин В.В., Минаков Б.В., Чирков В.П. Влияние начальных условий на страгивание и распространение усталостных трещин // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994. - № 1. - С. 73- 79.

11. П.Варфоломеев И.В., Вайншток В.А., Красовский А.Я. Устойчивые формы и критерии роста несквозных трещин при циклическом нагружении. Сообщение 1 // Проблемы прочности. 1990. - № 8. - С. 3 - 10.

12. Голуб В.П., Крижановский В.И. Об одном подходе к расчету сопротивления усталости в условиях концентрации напряжений при асимметричном многоцикловом нагружении // Проблемы прочности. 1997. - № 6. - С. 41 - 52.

13. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. Москва: Наука, 1989. - 224 с.

14. Гольдштейн Р.В. Некоторые вопросы механики разрушения крупногабаритных конструкций. // Механика разрушения. Разрушение конструкций. Москва: Мир, 1980.-С. 228-255.

15. Ковех В.М. Взаимодействие усталостных трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - № 2. - С. 155 - 158.

16. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. Москва: Машиностроение, 1977. - 232 с.

17. Лепихин А.М., Махутов H.A., Москвичев В.В., Доронин C.B. Вероятностное моделирование докритического роста трещин и оценка ресурса конструкций // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. - № 5. - С. 117 -123.

18. Лурье А.И. Теория упругости. Москва: Наука, 1970. - 940 с.

19. Матвеев В.В. К обоснованию энергетических критериев многоциклового усталостного разрушения металлов // Проблемы прочности. 1995. - № 5. -С. 18-28.

20. Махутов H.A., Бурак М.И., Кайдалов В.Б., Ларионов В.В., Гишкевич В.М. Исследование и анализ разгерметизации сосуда, нагруженного внутренним циклическим давлением жидкости // Проблемы прочности. 1990. - № 9. - С. 1721.

21. Махутов H.A., Кошкаров И.И., Лепихин А.М. Применение численных методов расчета показателей надежности энергетических конструкций с повреждениями // Проблемы прочности. 1991. - № 5. - С. 3 - 8.

22. Методические указания. Расчеты и испытания на прочность в машиностроении. Планирование механических испытаний и статистическая обработка результатов. РД 50 398 - 83. - Москва: Издательство стандартов, 1984. - 199 с.

23. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Коэффициенты интенсивности напряжений. Под ред. В.В.Панасюка. Киев: Наукова думка, 1988. -426 с.

24. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 4. Механика усталостного разрушения. Под ред. В.В.Панасюка. Киев: Наукова думка, 1988. - 387 с.

25. Мокеева Г.И. Моделирование развития трещин усталости при нагружении смешанного типа // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1997. -№ 6. - С. 53 - 58.

26. Морозов Е.М., Сапунов В.Т. некоторые методы расчета траектории трещины. // В книге: Физика и механика деформации и разрушения. Выпуск 8. Москва: Атомиздат, 1980. - С. 62-71.

27. Нахамкин М.Ш. Закономерности развития усталостных трещин в лопатках ГТД // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. - № 5. -С. 59-62.

28. Нейбер Н. Концентрация напряжений. Москва: Гостехиздат, 1947. - 202 с.

29. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок (ПНАЭ Г-2-002-86) / Госатомэнергонадзор СССР. Москва: Энергоатомиздат, 1989. - 525 с.

30. Панасюк В.В., Ярема СЛ. Общие закономерности диаграмм усталостного разрушения металлов // Проблемы прочности. 1996. - № 1.-С. 17-34.

31. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Москва: Наука, 1985. - 504 с.

32. Покровский В.В., Трощенко В.Т., Цейтлин В.И., Ежов В.Н., Замотаев B.C., Сидяченко В.Г., Самулеев В.В. К оценке ресурса дисков АГТД на стадии развития усталостной трещины. Сообщение 2 // Проблемы прочности. 1994. -№ 12.-С. 3- 15.

33. Полилов А.Н. Сопротивление расслаиванию однонаправленных волокнистных композитов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1978. - № 5. -С. 13-16.

34. Полилов А. H. Условие хрупкого разрушения как результат дискретного накопления повреждений // Проблемы машиностроения и надежности машин. -1999. -№ 6. С. 55 -61.

35. Поляков В.Н. Катастрофы трубопроводов большого диаметра // Проблемы прочности. 1995. - № 1 - 2. - С. 137 - 146.

36. Прокопенко A.B., Хутиз A.M., Крымсин Л.Г., Степков В.М. Связь между диаграммой усталостного разрушения и кривой усталости //Проблемы прочности. 1991.-№ 11.-С. 38-44.

37. Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения. Ред. Г.Либовиц. Москва: Мир, 1975. - 598 с.

38. Серенсен C.B., Степнов М.Н., Бородин H.A. Планирование и статистическая обработка результатов усталостных испытаний. Москва: Машиностроение, 1978.-112 с.

39. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х томах. Пер. с англ. Под ред. Ю.Мураками. Москва: Мир, 1990. - Т.1 - 448 е., Т.2 - 1016 с.

40. Степнов М.Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний. Справочник. Москва: Мир, 1985. - 232 с.

41. Трощенко В.Т., Покровский В.В., Прокопенко A.B. Трещиностойкость металлов при циклическом нагружении. Киев: Наукова думка, 1987. - 256 с.

42. Трощенко В.Т., Прокопенко A.B., Ежов В.И., Торгов В.Н. Методика расчета предела выносливости и долговечности лопаток компрессора газовой турбины с учетом наличия трещин / АН УССР. Институт проблем прочности. Киев: 1987.-26 с.

43. Харионовский В.В., Курганова И.И., Иванцов О.М., Силкин В.М., Нефедов C.B. Прогнозирование показателей надежности конструкций газопроводов // Строительство трубопроводов. 1996. - № 6. - С. 7 - 10.

44. Berkovits A., Prinz D. Growth of parabolic fatigue cracks from flaws at fastener holes // In: Fracture Mechanics: Eighteenth Symposium. ASTM STP. - 1988. -No 945.-P. 1050-1069.

45. Bolotin V.V. A unified approach to damage accumulation and fatigue crack growth // Engineering Fracture Mechanics. 1985. - Vol. 22, No 3. - P. 387 - 398.

46. Bolotin V.V. Mechanics of fatigue cracks growth as a synthesis of micro and macromechanics of fracture // Handbook of Fatigue Crack Propagation in Metallic Structures (A.Carpinteri, ed.). - Amsterdam: Elsevier, 1994. - P. 883 - 911.

47. Bolotin V.V. Mechanics of fatigue. Boca Raton: CRC Press, 1999. - 363 p.

48. Bolotin V.V. On random fatigue crack propagation. / In: Structural Safety and Reliability (G.I.Schueller, M.Shinozuka, J.T.P.Yao, eds.). Balkema: Rotterdam, 1994.-P. 1053-1060.

49. Bolotin V.V. Stability Problems in Fracture Mechanics. New York: Wiley Interscience, 1996. - 188 p.

50. Bolotin V.V., Babkin A.A., Belousov I.L. Probabilistic model of early fatigue crack growth // Probabilistic Engineering Mechanics. 1998. - Vol. 13, No 3. - P. 227 -232.

51. Burande S., Sethuraman R. Computational simulation of fatigue crack growth and demonstration of leak before break criterion // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 1999. - Vol. 76, No 5. - P. 331 - 338.

52. Carpinteri A. Propagation of surface cracks under cyclic loading. / Handbook of Fatigue Crack Propagation in Metallic Structures (A.Carpinteri, ed.). Amsterdam: Elsevier, 1994. - P. 653 - 688.

53. Cortie M.B., Garrett C.G. On the correlation between C and m in Paris equation for fatigue crack growth // Engineering Fracture Mechanics. 1988. - Vol. 30, No 1. -P. 49 - 58.

54. Craeger M., Paris P.C. Elastic field equation for blunt crack with reference to stress corrosion cracking // International Journal of Fracture Mechanics. 1967. -Vol. 3, No 4.-P. 247-252.

55. Fett T. Estimated stress intensity factors for semi-elliplical cracks in from of narrow circular notches. Technical note // Engineering Fracture Mechanics. 1999. - Vol. 64, No 8.-P. 357-362.

56. Grandt A. F. Jr., Macha D.E. Digitized measurements of the shape of corner cracks at fastener holes // Engineering Fracture Mechanics. 1983. - Vol. 17, No 1. - P. 63 -73.

57. Heckel J.B., Rudd J.L. Evaluation of analytical solutions for corner cracks at holes. // In: Fracture Mechanics: Sixteenth Symposium. ASTM STP. - 1985. - No 868. -P. 45 - 64.

58. Heinimann M.B., Doerfler M.T. and Grandt A.F., Jr. Analysis of cracks at deep notches // Engineering Fracture Mechanics. 1996. - Vol. 55, No 4. - P. 605 -616.

59. Hosseini A., Mahmoud M.A. Evaluation of stress intensity factors and fatigue growth of surface cracks in tension plates // Engineering Fracture Mechanics. -1985. Vol. 22, No 7. - P. 957 - 974.

60. Irwin G.R. Crack extension force for a part through crack in a plate. // J. Appl. Mech. Transactions AS ME, Ser. E. 1962. Vol. 29, No 12. - P. 651 - 654

61. Kujawski D. Estimation of stress intensity factors for small cracks at notches // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. 1991. - Vol. 14. -P. 953 - 965.

62. Lin X.B., Smith R.A. Fatigue shape analysis for corner cracks at fastener holes // Engineering Fracture Mechanics. 1998. - Vol. 59, No 1. - P. 73 - 87.

63. Lin X.B., Smith R.A. Finite element modelling of fatigue crack growth of surface cracked plates Part II: crack shape changes // Engineering Fracture Mechanics. -1999. - Vol. 63, No 5. - P. 503 - 522.

64. Lin X.B., Smith R.A. Finite element modelling of fatigue crack growth of surface cracked plates — Part III: stress intensity factors and fatigue life // Engineering Fracture Mechanics. 1999. - Vol. 63, No 5. - P. 523 - 540.

65. Lin X.B., Smith R.A. Stress intensity factors for corner cracks emanating from fastener holes // Engineering Fracture Mechanics. 1998. - Vol. 62, No 6. - P. 535 -553.

66. Lin X.B., Smith R.A. Stress intensity factors for semi-elliptical surface cracks in semicircularly notched tension plates // The Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 1997. Vol. 32, No 3. - P. 229 - 236.

67. Mahmoud M.A. Quantitative prediction of growth patterns of surface fatigue cracks in tension analysis // Engineering Fracture Mechanics. 1988. - Vol. 30, No 8. - P. 735 - 746.

68. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Dordrecht: Martinus Nijhoff, 1987. -657 p.

69. Newman J.C. Jr. A review and assessment of the stress-intensity factors for surface cracks // Part-Through Crack Fatigue Life Prediction. J.B. Chang, Ed. ASTM STP. -1979. - No 687. - P. 16 - 42.

70. Newman J.C. Jr. and Raju I.S. Stress intensity factor equations for cracks in three dimensional finite bodies// In: Fracture Mechanics: Fourteenth Symposium. Vol. 1. ASTM STP. - 1983. - No 791. - P. 1-308 -1-326.

71. Newman J.C. Jr. Fracture mechanics parameters for small fatigue cracks // Small crack test methodes. ASTM STP. - 1990. - No 1149. - P. 36 - 45.

72. Part-Through Crack Fatigue Life Prediction. J.B. Chang, Ed. ASTM STP. - 1979. -No 687.-587 p.

73. Putra I.S., Schijve J. Crack opening stress measurements of surface cracks in 7075T6 aluminium alloy plate specimen through electron fractography // Fatigue and Fracture Engineering Materials and Structures. 1992. - Vol. 15, No 4. -P. 323 - 328.

74. Rooke D.P. Compounding stress intensity factors applications to engineering structures / Research Reports in Materials Science, P.E.Evans, Ed. - The Parthenon Press: England, 1986. - 254 p.

75. Schijve J. Comparison between empirical an calculated stress intensity factors of hole edge cracks // Engineering Fracture Mechanics. 1985. - Vol. 22, No 1. -P. 49-58.

76. Shin C.S. Fatigue crack growth from stress concentrations and fatigue life prediction in notched components / Handbook of Fatigue Crack Propagation in Metallic Structures (A.Carpinteri, ed.). Amsterdam: Elsevier, 1994. - P. 613-652.

77. Shin C.S., Man K.C., Wang C.M. A practical method to estimate the stress concentration of notches // International Journal of Fatigue. 1994. - Vol. 16, No 4.-P. 242-256.

78. Shivakumar K.N., Newman J.C. Jr. Stress intensity factors for large aspect ratio surface and corner cracks at a semi-circular notch in tension specimen // Engineering Fracture Mechanics. 1991. - Vol. 38, No 6. - P. 467 - 473.

79. Smith F.W., Kullgren T.E. Theoretical and Experimental Analysis of Surface Cracks Emanating from Fastener Holes // Air Force Flight Dynamics Laboratory. -1977. Test report No AFFDL - TR - 76 -104. - P. 3 - 17.

80. Smith R.A. Miller K.J. A new approach to SIF evaluation for cracks at notches // International Journal of Mechanical Science. 1977. - Vol. 19, No 1. - P. 11 - 21.