Прогнозирование случайных величин, описываемых нелинейными уравнениями с аддитивным шумом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

СОХАДЗЕ Григорий Автандилович

ПРОГНОЗИРСВОТЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОШЗЫВАЕШХ. ШШНЕЙНШИ УРАВНЕНИЯМИ С АДЕЛТИВНЫМ ШУМСМ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена в Институте математики АН Украина

Офшлальные оппоненты! академик АН Украины СКОРОХОД A.B., академик АН Литйы' ГРИГЕЛИШИС Б.Й'. t доктор физийо-йа^ёЖатических наук профессор' АйЮИЙ® В.В.

Ведущее предприятие - ИнояИЗ?^' Айбернетики им.В.М.Глушкова АН" Йфйайы.

Защита дассертВДйй1 с'Ьстоится

-

в /5 чаоов на эй'йёдайии специализированного совета Д 016.60.01 при'Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул.Репина,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан ' 199 { г.

Учений секретарь специа>;/.зираванного совета ГУСАК Д.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи естествознания сводятся к дифференциальным, интегральным или иным уравнениям, обычно нелинейным. При выведении зтих уравнений из рассмотрения -исключаются внешние неконтролируемые возмущения данной слотами . С практической же точки зрения рассмотрение математических моделей, в которых учитывается не.только эволюция системы, но и внешние случайные возмущения, представляет несомненный интерес,

Б настоящей диссертации рассматриваются нелинейные уравнения в бесконечномерных: пространствах типа

где А неограниченный линейный оператор; В . - гладкое нелинейное отображение, а £ случайный элемент. Уравнения такого типа встречается в различных физических и технических исследованиями изучение свойств их решений,конечно,можно считать актуальной задачей.

Решение уравнения (I) является случайной величиной,и поэтому за поведением системы нельзя проолздать доотоверно. . . В работе ставится задача нахоядения эффективных формул прогнозирования величины и по частичным .наблюдения.!. Эта задача естественным образом авязака с вопросом изучения условий абсолютной непрерывности распределений решений различных уравна-.. ний типа (I). Хорошо известно, что в. теории случайных процео-сов обе указанные задачи считаотся актуальными и исследуются многими авторами. Таким образом, теш диссертации напосредсг-венно примыкает к указанным направлениям и, следовательно, является актуальной.

Цель работы состоит в получении эффективных фордул дЛя. прогнозирования случайных величин, являющихся решениями нелинейных уравнений различных типов ввда (I) с аддитивным случайным шумом I, , а гама в получении условий, при которых Гладкие меры в бесконечномерных пространствах ( может быть, Нелинейных) являются абсолютно непрерывными относительно более простых мер,и вычислении плотностей Радона-Някодяма.

(I)

Обгля кетодика иоскпдовзияй основываемся на прхмснеаж метода гдадинх мер, введенных и исследованных Ю.Л.Далецш! к его учениками, а такие ка сбщой теории статистика случайна процессов з банаховом пространстве.

Научная новизна. Получены условия абсолютной непрерывное-« тп гладких мер на бесконечномерном многообразии лрз нгжшей- -пых лреобразовашях, вашзлеиа соответствующие плотности Радо-на-Никодима. Изучена задача эквивалентности распределений случайных величин, явлдзвдхся решения,ш нелинейных уравнений с адцатившш шумам для различных классов уравнений,в частности, для абстрактных аналогов стохастических уравнений.

'Получены явные формулы для оптимального б сродяеквадрати-ческом смысле прогнозирования, экстраполяции и йшьтрандц для рвиешй .уравнений типа (I) но частичным наблюдениям.

Теоретическая иiпрактическая ценность. Работа является -составной часткз программы изучения вероятностных распределений в бесконечномерных пространствах. Ваделенио и изучение случайных величин с гладим распределением имеет теоретическое значение, а получеьше явнка формулы для прогнозирования случайных величин, связанных с нелинейными уравнениями с ада-, тшшкм шумом, имеет практическое значение.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференция молодах ученых по математике и механике { Тбилиси, 1976), на УТИ конференции математиков вузов ICC? (Кутаиси, 1979), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов но актуальным проблема?.! прикладной математики и механики (Тбилиси, IS8I), на II конференции математиков вузов ГССР (Батуми, 2981), на XIX и XX школе-коллоквиуме по теор*.. вероятностей и математической статистике ( Бакуриа-ни, 1985, 1986), на У международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989), на 31 Советско-Японском симпозиуме по .теории вероятностей" я математической статистике (Киев, 1991), а также по час-mi докладывались на научных семинарах отдела теории случайных процессов Института математики Ш Грузли и Украины.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С J - 25 3 .

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения

четырех глав и списка дагоратурч. Ойкай объем работа 220 страниц швшошжого текста, сгагссх цитированной литературы -82 наименования.

С ОДЕРЖАН II Е РАБОТЫ

■ Первая глава носит предварительный характер. Б кой, в оз-новнен, излагается в удобной для дальнейшего фору.о известшз результьха.касак-.яеся вопросов построения шр,ооотве5огвущах. слу-гайшш олеиаатзл, абсолютной аекрзршюага п жквавэлетяюс-тн мер в бесконочпом.зрнах пространствах и связи понятия абсолютной непрерывности мер с задачей прогноза, экстраполяция п фгошфацвв случайных процессов. Лри этом предпочтение отдается внаяшявскод подхода« в поречислояш* задачах.

Вторая глава яоовизда изугшта вопроса вбаттой непрерывности гладких мер при ившшеШа:х праобразоианиж в бесиэнеч-номерпих пространствах и яа многообразия.

. В первом парэгргфз зхоЗ глггн лркведенн ИЕнаторчо свойства гладких пер, сяязяннне с всоотаяоБлгпием меры по заданной лога-риЗшэдскоЗ производной. Для г.члзегракяя приведем ода рэзуль-таг.

Теорем а 2.1.3. Еслл векторное поло Зоо на банаховом иногообразка X обладает штегралзнаи потеком , ¿Т.

V1

то для любой непрерывной по х функция ' найдется ко-

ра на X , обладавшая логарифмической производной

вдоль 2 с») , совпадающей £ -п.в. о ^ОО.

Во втором параграфе этой глав» выведены ключевые дяя всего дальнейшего пзлачешш результаты о преобразованиях гладких мер в линейных пространствах и бесконечномерных банаховых ио-гообразиях, Результаты получены Ю.Л.Далецкям совместно с ав-Ьором. Отпрчвнщ положением является -наблюдение того факта, что если на некотором измеримой пространства С X, ) семейство мер ^ , t е ((¿.^р) обладает непрерывной по 1 логарифмической производной, то мери попарно эквивалентны и плотность Радояа-Нииодг.:а вычисляется с помощьи логарифдаческоИ

производной.

Пусть. X - банахово многообразие г ^ - касательное расслоение. Пусть -у такое плотное подрасолоеаив ^ ,чта каждый слой - , К 6 X обладает структурой гильбертова пространства, причем вдоаение в Т% X дается о помощью оператора Гильберта-Шздта. Пусть выполняется следующие УСЛОВИЯ.' .....

A) Мера £ дифференцируема вдоль сечений f и имеет Непрерывную на X логарифмическую производную J*j££sx).

Б) Логарифмическая производная js^Ci,*'} является непрерывным фуншшоналом на сечениях -р класса 6

B) Отображение к —>- $ % оставляв? тр иква рнанткш. . . . .

Теорема. 2.2.2. Если для меры £ и векторного поля s справедливы условия А), Б) и В), то мэры ^ , = и о эквивалентна и

<Lh. с t , -i -i

-1* ш*ехР1 - f P, its' ) г, S xUs } •

. .Из атой теореш в различна ситуациях' выводятся результаты, касающиеся абсолютной непрерывности мер при преобразованиях пространства. Пусть

в' СН СВ (5)

банахово оснащение гильбертова пространства И . и ß мера на В , имеющая логарифмическую производную вдоль постоянных направлений из В* вида

<iUX),fi>, ДОО: £ -+ В, keß .

.....Теорема 2.2.6. Пусть оснащение (5) является гиль-

берто-швдтовским; 3 . —► £ обратимое отображение,

для которого обратное дается формулой

/£"i,; f -VT^

прячем выполнены у слогая: ...

а) F; 3 —Л1, - непрерывна дирферещируемое отображение;

б) линейный опзратор I + t Г' (*) иаозт при О - - обратимое сужение в пространстве Н

Тогда мерн ^ & s £ 0 ¿f 11 ^ сккшалецтнц и

j if i

JLc«=<tet (-Мш)ехр Jau+mKUt,*'«)^. ^

Подобную теорему могло получить из результатов А.В.Скоро-, хода в несколько других, более жестких условиях, если сопоставить тооро:лы об абсолютной непреравнооти для допуоттжх сдвигов и нелинейкнх прзобразсБ^ниГ;, . •

Из этой теорема, в частности, получается старгая узе классических* -Хормула .для плотности пги преобразовании гаусоовской мера.

В третьем параграфа второй глаш рассматривавшая вопросы абсолютной непрерывности распределений решзикй различных уравнений. Основной дая дальнейагп: исследований является следующая

Г е о р а ы а 2.3.1. Пусть в оснащенном гильбертовом пространстве На. с Н с Н - да уравнений

С1)а«1 (б)

*■ «

jx. Я

* S '

дополняется следующие условия:

1) Л - лякейиий, замкнутей, матат быть неограниченный,. оператор с областью определения S) С А) , плотно влояэнпой п

Н- , Предположи такта существование ограниченного обратного л"л ■

2) Ь нелинейный оператор в Н - со значениями в Н+ , сужение которого Six) j оставляет инвариантным SbiA.) . ,

Дусть,дэл9е,суи>естзует производная В С%) и

1! j'U) Л.""1 !1 для любого g)CA).

3) с* - случайный адемэлт в Н~ « дая которого существует непрерывная функция АС*к Н„ —* Н - , такая, что дая любого <ре С1 £ ) и к. £ Н+ выполняется соотношение

Тогдэ ыерн £ ^ я ¿¡л эквивалентны в плотность Радона-Никодама имеет вид

а.л * -(ад а Ai.Hl*А В№)е*р\( 5А(Au.+tЗlu.))di.B(u)) 1.

14 0 ^

В этом же параграфе рассматривается случай общих уравнений (6) и (7), являющихся абстрактными аналогами стохастических дифференциальных уравнений.

Пусть в оснащениях Ц+С НС Н- дая уравнения (6) выполнены условия: .

I) А ~ линейный, может быть,неограниченный, оператор в Н о областью определения 2>СА) с И . Пусть существует , являющейся оператора» Гильберта-Шмидта в Н . П) й(лЗ - нелинейная функция в Н со значениями в и пусть существует З'Сх): £>СА) —*■ &)СА)3 являющийся оператором Гильберта-Шмидта.

Ш) ^ - случайный элемент в Я. , удовлетворяющий для любой <р б С* СН. 5 равенству

где Л : Н- —*■ И- - непрерывная функция, а к6 Н^ любой алемент. ...

Теорема 2.3.3* Пусть для уравнений (6)и (7) выполнены условия 1),Щ и И). Тогда м * £ * г и плотность имеет вид ¿£ I

— Шгс1е£ ( $л'СА11 + Ш«ЛЛ,Вси.>) }

О Н

А

где Л обозначает некоторое расширение оператора А . .

Глава 3 посвящена установлении условий абсолютной непрерывности мер, соответствуют« решениям нелинейных дифференциальных и других уравнений о. аддитивным шумом. При этом рассуждения во многом основываются на результатах предыдущей главы.

В первом параграфе рассмотрены общие линейные дифференциальные выражения

А

¿и- 8 И сю я а ¿г

и порождение ими уравнения

~ А

(¿¡ОСМ-К^С*,^*))* 1 в ^ (Эё),, (8)

^>(»>««¿00, б Г^(ЭР) (Э)

о так называемыми общими краевыми условиями. Выясняется, что основным требованием для абсолютной непрерывности ¿< ^ . и являетоя выполнимость так называемых энергетичеоких неравенств. Пусть г

тройка оснащенных гильбертовых пространств и О, X а (? та_ коа случайное поле, распределение £ которого обладает в • логарифмической производной вдоль постоянных направлений из (5) вада А : <£¿(5) —>-¿¿¿(3).

Пусть 4»' обозначает формально сопряженный о и оператор. Предположим, что задачи (8) и (9) разрешимы.

Теорема 3.1.1. Пусть £ открытая, ограниченная область класса с границей 3? .Пусть для общи дифференциальных уравнений (8) и (9) выполнены условия:

т ) а^ше С С 9- 1)3$) 1

а) {ёСк) гладкое случайное поле с логарифмической производной ;

р ) ц.) - функция, определенная на £ ¿¿¿¿(б) и для яаздого ц. обладающая обобщенными в смысле Соболева производными порядка ¿р . Кроме того, пусть существует оператор = , удовлетворяющий соотношению (!Р!1 ^ Й, Зи. а

ч 8

где ^ » (1 к II }

выполнены внергетическиэ неравенства со ■ ,

где С>0, Ц-У ё С 'Ш .

■с

Тогда распределения решений уравнений (8) и (9) - £ ,, а - эквивалентны и *

с ^ с1 + [ $$ л ( £ +

ас-

+ § § & ( £ й^ Ск>Л) а + с С- Ш^р

£ л/^и.юа^* 3 ,

где Ц-еТг/с«. . ,

. .. Аналогичные результаты получены и в т^ч случае, когда • рассматриваются гак называемые обобщенные решения. Рассмотрены частные, варианты. Подробно изучен эллиптический случай.

Во втором параграфе третьей главы рассмотрев эволюционный случай. Пусть

НС Йен. .

оскащеннса гильбертово пространство с квази-ядерньш вложениями. В пространстве Н рассмотри! стохастические эволюционные дифференциальные уравнения

■ ¿ш

~ 'Ащм +¿4^»» в ¿а) <10>

о начальными условиями

dp. , -

g-' AMfrt » Jtt) (12)

о начальными условиями

0¿téa, XW) sJtO)zO CmodP) (13)

и предположим, что выполняются условия:

M) Ait) - лянеГшый, может быть неограниченный, 'оператор в H , с плотной , не зависящей от t , областью определения 2)СА) С H . Пусть Ait' является производящим оператором эволюционного семейства U.Ct,3> сильно непрерывно зависящего от пзра-лотров t, S £ ¿0,0.J и а а <2

; и. ti,5jii dtds 4. m,

н о о

Л/) ~ нелинейная функция, опредаленная на

С 0,а Л к H и со значениями n «à С А ) . Пусть,, кроив того, существует производная (t.tp 4 принадлежащая 3)С А) ;

Р ) J а^ (t) - случайный процесс на С0,й Л и со значениями з Н. , для которого существует логарифмическая производная

Теорема 3.2.3. Пусть для задач эволюционного типа (Ю)-(П) и (12Ы13) выполняются условия Ы), N ) и Р). Тогда распределения решений этих задач эквивалентны и

¿¿ГЫ8ехР И Слсе,

а а

+ *<JC6,U.C»})9 Cifcit,

где fL + Aftî продолтениа оператора + iUt) до ctt в*

Н. . Отдельно рассмотрен случай стохастических ди^еренци- .

альнях уравнений эволюционного типа. Приводятся также применения этих результатов к другим уравнениям подобного рода.

Пусть в оснащенном пространстве Н| С M CH. рассматриваются уравнения

1- В 01 ^t) + j (t, • J (14)

¿4X(tJ -4

i^. • 3 e (15)

(16)

di

о начальны*® услашш

«(Ji'coj e^'ial'Jl'wJeO inuwLP)

я предполоош, ■reo выполняитоя уоловиж

oD ) (filt) - дифференцируемый, о вероятности) Ii случайный процеоо оо значениями в И , который шееа логарифшчеоцуп производную вяда

Е ) JHiJ - лииэйшй, замкнутый, »«ограниченный. оператор о плотной, не Зависящей от t , областью определения ЙКЙ)С С И* Крше того, яуоть JJ*ft) = Ctt) , где jiöit)

самосопряженный оператор, являющийся при кавдш t -производя-. шл оператором сильно непрерывной группы операторов, а операторы jLCA и ограничены и сильно непрерывны.

V ) Ограниченная фунвдад определена на

СС,0.Д * Н» в свои значения принимает в • Пусть такке существует чайная производная -

Теорема 3,2.6. Еуогь для абстрактных ишерболдчес-ких уравнений (14) и (15) о начальными условиями (16) выполняются уоловия ob), Е) я £ ); тогда и

'CtJtttt) +

В третьей параграфе третьей главы рассмотрены нелинейные уравнения специального типа

где £ случайная величина, а 3 - гладкая нелинейная функция. Находятся условия эквивалентности ¡¿эр ¿т-^ 'я ¿¡Л ' Приведем один частный случай общего рассмотрения. ^ В оснащенном гильбертовом пространстве н+ С н С н-рассмотрим нелинейное уравнение вида

Ли. + +=0

(I?)

и предположи, что наполнены условия!

4.) случайный элемент в Н с распределенном ££ }

которое обладает логарифмической производной вдоль постоянных направлений пространства . Н+ ввда Н«. —* Н„ .

е ) Л - линейный, может быть неограниченный, оператор о плотной в Н. областью определения <£> С • Пусть , кроме того существует ограниченный обратный в - Н - .

г Н- —* Л дифференцируемый на Н функционал, для которого выполняется неравенство

4 НА * Г* .

Т е о р е а а 3.3.3. Если для нелинейного уравнения (17) выполняются условия 4), е) и £ ), то меры £и4 а и эквивалентны и плотность представго/.а в виде

Г/}

——=- СО") - и+л^Я^ С1+ГС1>-))ехр Ц +

Ч а

где

со

об С<!*)-£ С^'с-у», А" *Он,

Тс«-) г -ТГСгИ

у с ; 4 + сССУ)

еа

* Г .

я И ^

ИГ 1 о

Например, если является гауссовским "белым шумом",

то

4 г 00 -п.

" и «С(^) | Ы {1+Т(<№))е*р 2 1> )н •

-1 Ь ^Ч^СЛ^,^)}.

*

Б четвертом параграфе рассмотрены различные варианты абсо- -лютной непрерывности мер при различных преобразованиях. Рассмотрены интегральные преобразования гладких мер в пространстве

(6) . дифференциальные уравнения, являющиеся абстрактными аналогами урашений типа Шредингера. Рассмотрено нелинейное преобразование гауссовской меры в гильбертовом пространстве, содержащее измеримы» параметр. Отмечается, что факт об абсолютной непрерывности можно использовать для вычисления логарифмической производной.

Пусть I случайная величина, удовлетворяющая уравнению

г.+ви^гДз

где ^ гаусоовский "белый шум", а 3 гладкая функция. Тогда вычисляется логарифмическая производная элемента

С

Четвертая глава посвящена основной- цели работы - получению эффективных формул для прогнозирования и фильтрации решений нелинейных урашений со случайным шумом по частичным наблюдениям. Эти формулы основываются на производных Радона-Никодима, которые получены в предыдущих параграфах.

Б первом параграфе этой главы рассмотрены.варианты формулы прогноза для абстрактных уравнений в гильбертовом пространстве. Для краткости мы приведем только один гауссовский вари-

акт таких теорем.

Пусть в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение

+ (18)

где {I является гауссовским случайным элементом .в И .о .... нулевым средним и ядерным корреляционным оператором Л .Предположим таете, что для операторов А и 3 выполняются соответственно условия I) и 2) из теоремы 2.3.1, приведенные выше.

Пусть в подпространство На . наблюдается величина , Здесь в линейный оператор. Требуется оценить оптимальный образом решение £ уравнения (18) в . Н- Н0 . Для этой цели наряду с (18) рассматривается линейное уравнение

А* * I

и пусть К такой оператор, что

К К* , ......... .. .

о является решением уравнения Фредгольма первого рода

Пусть ©д -<?-алгебра, поровденная случайной-величиной

и ,5 * = £ ^ ^ | ^ , Представим гауссовскув величину (5 в виде

«? = <?* + . ....

где $ не зависит от . Тогда доказывается, что опти-

мальный в среднеквадрагичесхом смысле прогноз функционала от £ дается формулой:

+|зь -1 )Д}{е ша +

* a

В агой формуле среднее баратея no J и потом подотавляется на&издение •

Stoeob se рассмотрена варианта уравнения (18) о обобщенным щумом.

Во второй параграфа четвертой глава результаты предыдущего параграфа оводятоя для ранения проблема экстраполяции для решай дифференциальных уравнений оо олучайным шумом. Приведем один результат из этого параграфа.

В пространстве H « рассмотрим нелинейное эволюционное дифференциальное уравнение

«,*}«>) .¿СО {I9)

о начальными условиями

i^Cl» » JÍD>*О ImocLP) 9 (20)

для которого предположат выполнение условий:

в- ) ЛСИ - линейный, может быть неограниченный, оператор о плотной , не зависящей от t , областью определения §)СА) С Ит, , Пусть, кроме того, Ait) является производящим оператором эволюционного семейства aít,S) , которое сильно непрерывно по совокупности параметров.

H ) Функция ¿fíti^-' ограничена и определена на Со, А Л * H « ; свои значения принимает в H + Пусть существует ЧаСТНаЯ пппячолпняо г» I отво ,

а а

производная £ 1 Ct,^} и выполняется неравек-

о

а

o f H. . \ о

0 t v о

це g)Ш.

■х

!

К) | « ¿Й) случайный процэсо яд С О,Л 2 и оо значениями в Н- , почти все траектории которого являются непрерывными. Крема того, пусть оупэствует функция А СР,ЛД* * Н. —► Н « такая» что дяя любого функционала

л

где кШг С 0,й-Л —► Н любой элемент из вб^

Пусть 0 Г и решение уравнения (19) о начальными условиями (20) наблюдается в интервале ZQ, Т1 . Требуется найти оценку значения и, в точке Т+к. 6 С 0,а Л . Для этой цели рассмотрим еще линейную Задачу:

^-.ЛвШ«.^*», (21)

х£0} Cme4.JP ), (22)

А Пусть (»^ обозначает . ©-алгебру, лороздевнуп случайным элементом СЗ*) Ю ,гда в линейный оператор» действующи по правилу

-т

Нем, *в Со4рд, О,

Тогда поставленная задача~реиаетоя формулой:

(6Ш*)» -

к ( 4 X

ёира*к)* 1б [2ыс<г+юехр -САЙ» ~

0 0

| <за}{ е Сет $ ¡ь & ^ -0 0

I в л"*

«О г

*»

хСПЮ =

Для случая гауооовокога возмущения эта формула упрощается. В втш же параграфе рассмотрены задачи экстраполяции, касавидаеся других типов задач со случайной правой частью.

В третьем параграфе четвертой глава рассматривается задача фильтрации, т.е. получаются формулы прогноза для решений системы дифференциальных уравнений ко наблюдениям .одной компоненты. Б тройке оснащенных пространств

тЛи с с £ Ш

£ & "

рассмотрим систему нелинейных уравнений

(¿^¿н^ + «^сы^сю, ¿¿со) « ш

(24)

е ^ (ЭР),

Для коэффициентов слагаемых этой система предполагается выполнимость условий подобных -т.), П.), р) и перечисленных в теореме 3.1.1.

. - Допустим, что первая компонента решения систе-

мы (23)-(24) < л С *) .■).наблюдается е области ?

а вторая компонента наблюдению не поддается. Найдем оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр функционала # С-, •) от . решения системы (23)-(24). Для этой цели наряду с данной рассмотрим еще линейную систему:

■ С^&НО« ¿¿ы

Пусть далее обозначает б"-алгебру, пороядекнув

случайным полем (%>, л £ £ . п пусть (х) обозначает детерминированную функцхю (герм) и ¿Сч) = С^Л^, £>(*)), Тогда имеем

•Хм^м,^**» §сл1м> ¿сюШ С1+ и^ С£)) * 1 / си ы.

*

0 & «[¿р

* г Ш сС

1 о С-

+1 Си, Ск.гд*), +

? * , & А

+С-1) ПдЛ £ а^см!) *

О 0, иМр

¿«1 РА /

,Н,*Р о & М1 ¿р

фЬр (21 Vм1

М) ¿¿О + г ^сч,^«},^*))) ^Мх4*5»«?«»+

05 Ч1«ч«р л

Р *

о е ««р г*

¿р

р ^ / (4) «4 ч

О? чМ(4р

♦А

.Наконец рассмотрим систему стохастических дифференщаяь-ных уравнений:

-

¿^М'А^^&Ш = 0, (25)

ЙЬДШ^Ш 4«= 0 (26)

и предположим, что выполнены условия:

^ , - линейные, может быть неограни-

ченные, операторы в Н^ , с плотными, не зависящими от 1 , областями определения <й)СА-) С. Н[ . Пусть А¿=¿,<2 являются производящими операторами эволюционных семейств: Ц.;«,*) и

о-а. &

0 0-

^ ¿1 ~ такие нелинейные функции

на С 0,0.3 * Н^ * со значениями в ЗЬСА^*® СА^, что

существуют /3. ,

Допустим, что наблюдается первая компонента ране-

ная системы (25)-(26) и оцэявм значение функционала 5 С-,•) . от решения , Для этого рассмотрим линей-

ную систему

I т (I) м а)3 *А1сп* в СтеДР)

я обозначим через

<э * - («•-алгебру порожденную случайте* процессом Хд.ОО . Пусть далее

= Е ¡V*) ((Э?"1} , а Х° не зависит от <3^ :

х|см + к!«).

Теорема 4.3.5. Пусть для.стохастических дифференциальных уравнений (25)-(26) выполняются уоловюх й. ) и к )•

Тогда справедлива формула: ♦

$^Се*ее»9+[- £ С£ М),

1 о

й

а. ¿Л

~ ? $ "А^т+*е&т и & -11 и^ )+

о н о

+ X°tt« ¡1 ¿i] j ( £j;it,e4tt|(agii)+ *jct»9 dw^t))

н о

Основное положения дксаерх'аиш опубликованы E следующих работах:

1. Сохадза Г Л. Об абсолютной непрерывности мер, соответствующее решениям дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченными оператораш // Сб.докл. конф.ыол.ученых по математике и механике, Тбилиси, 1S76. - G. I2I-I24.

2. Сохадзе Г.А. Абсолютная непрерывность мер, порсизденных решениями некоторых краевых задач вагеиотячеекоЛ (ршкн. - П., 1978. - 10 о. - Деп. В ВИНИТИ. IO.II.78, JJ 2442.

3. Сохадзе Г.А., Шататвкли А.Д. Об эквивалентности гауссовских мер при нелинейных преобразованиях в гильбертовом простран-стье // Доел.АН СССР. - 1978. 242. ^ 4. - С. 790-793.

4. Сохадзо Г.А. Сормула экстраполяции для решении дифференциальных уравнений с гауссовскга.ш возмущенияг,'Л // Тез. 8-ой конф.математиков вузов ГССР, Кутаиси, I97S. - Тбилиси,1979,-С. 137-139.

5. Сохадзе Г.А. Прогнозирование решений нелинейных уравнении . математической физики с гауссовскш.ш возмур-ениями: Агтороф. дао» ... панд.фнз.-мат.нзук. - Киев, IS79. - 1С' с.

6. Сохадзе Г.А. О мерах, порокденпкх решениями нелинейных Зравпенпй эллиптического типа с гауссо.всктл вопуупдацияш //

// Теория случай*.процессов. - IS80. - Вып.8. - С. 117-121.

7. Сохадзе Т.Л. Об эквивалентности мер, пороаденнкх нолинеШш-ми даВДврещиальнши: преобразованиями гауссовских потей // Тез. 9-ой конф.математиков вузов ГССР, Батуми, 1981. -Тбилиси, 1981. - С.207.

8. Сохадзе I.A. Эквивалентность мэр, лороздетшх решениями систем эллиптических дифференциальных уравнений // Респ.конф, мол.ученых и специалистов по актуал.пробл.прикл.математики и механики, Тбилиси, 19-20 нояб.1981 г. - Тбилиси, 1983. -С. 156-160.

9. Сохадзе Г.А. Эквивалентность мер, соответствующих решения;.» гиперболических дифференциальных уравнений с гауссовскга.ш возмущениями //Тр. мол.ученых. - Кутаиси, 1984. - Т.2. -0. 213-216.

10. Сохадзе Г.А. О мерах, порожденных решениями характеристической задачи со случайным! возмущения?.«! // Тез.докл. 20-й

шк.-коллоквиума по теории вероятностей й мат.статистике, Бакуриани, 25 марта - 2 апр. 1986 г. - Тбилиси, 1986. -С. 52.

11. Сохадзе Г.А. Абсолютно непрерывные преобразования гауссовской меры в гильбертовом пространстве // Изв.вузов.Математика. -

1987. - JM. - С. 65-68. . .

12. Далецкий ЮЛ., Сохадзе Г.А. Эквивалентность мер, сдвинутых вдоль траекторий векторного поля. - Киев, 1987. - 16 о. -Шрепр./ АН УССР.Ия-т математики;, 87.53).

13. Далецкий ЮЛ., Сохадзе Г.А. Абсолютная непрерывность, гладких мер // Функцион.анализ и его прил. - 1988. - 22, вып.2. -

С.77-78.

14. Сохадзе Г.А. Эквивалентность мер, соответствующих решениям некоторых задач математической физики оо случайными гаус-совскгош возмущениями //Теория вероятностей и мат.статистика.

1988. - Еып.39. - С. II6-I23.

15. Сохадзе Г.А. Об одном классе нелинейных уравнений со случайными возмущениями // Сообщ.АН ГССР. - 1989. - 133, 4 3,-

С.469-471. '' '

16. Сохадзе Г.А. О прогнозировании и фильтрации решений, дифферент циаяьных уравнений со случайной правой частью //Тез.докл. 5-й Мелдунар.Вильнюс.кояф.по теории вероятностей и мат.ста-

тистяке, Вильнюс, IS89. ~ С, 246-247.

17. Сохадза Г.Л, Абсолютная непрерывность распределений решений уравнений со случайный оумои // Статистика и управление случайными процессами, - К..-Наука, 1989. - C.I95-IS3.

18. Сохадзе Г,А. О прогнозировашгк решений нелинейных уравнений с гауссовсюшн возмуцешиш // Сообц.АН ГССР. - 1920. - 138.

. В 3. - С. 501-504.

19. Сохадзе Г.А, Изучение функщонаков от случайных процессов, связанных с граничкаш: задачами : (Отчет о научно-исслед. работе) / Кутаис.подагехн. ш-в ; Руководитель темы

Г.А.Сохадза. - & ГР 0ШС013421. - Кутаиси, I9S0. - 162 с.

20. Сохадза Г,А. 0 прогнозировании и филътрадаа решзний дифференциальных уравнений со случайной правой частью // Вторая Донецк.хонф. "Вероятностные модели процессов в управлении и надежности", Донецк, 1990 г.; Тез,докл. - Донецк: Ин-т

, . прикл. математик: АН УГСР, Т^, - С. 61.

' 21. Soktmdze G. Absolute соиЛ^виоЛу - ol Measures generated rfith nonlinear equations, few breads in Probability and Statistics, vol.1. Proceedings of Bakuriar.i Colloquium in Honour of Yu.V.Prohorov, Bokuriani, Georgia, USSR, 24.02 - 4.03,1990. Edo.V.V.Sazono7 and T.Shervaahidce, VIII + 702 pp. 1990. - Г.540-549.

22. Сохадзе Г.А. Прогнозирование решений нелинейных уравнений . со случайной лравой частью.по частичным наблюдениям // Тез. докл.6-го Сов.-Ялон.симпоз.по теории вероятностей и мат. статистике, Киев, 5-10 авг.1991 г. - Киев: Ии-т математика АН УССР, 1991. - С.133.