Пространства орбит свободных действий групп на дополнениях к конфигурациям подпространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ряд классических и современных задач как самой топологии, так и ее приложений, сводится к изучению пространств орбит свободных действий групп. В диссертации рассматриваются вопросы, в которых в качестве пространств орбит получаются квазиторические многообразия (первая глава) и классифицирующие пространства групп Артина (вторая глава).

Теория квазиторических многообразий в настоящее время представляет собой интенсивно развивающуюся область исследований на стыке топологии, комбинаторики и гомологической алгебры ([7]). Она возникла на основе теории торических многообразий, которая находится в центре внимания последние 30 лет благодаря открытым на ее основе глубоким связям между алгебраической геометрией и задачами, пришедшими из теоретической физики.

Согласно известной гипотезе Арнольда-1Тома-Фама, классифицирующее пространство группы Артина может быть получено как пространство орбит свободного действия соответствующей группы Кокстера на пространстве дополнения к конфигурации гиперплоскостей. Эта гипотеза напрямую связана с другим актуальным вопросом алгебраической топологии: определить, обладает ли данная группа реализацией классифицирующего пространства как конечного клеточного комплекса.

Основными результатами первой главы являются классификационные теоремы для квазиторических многообразий в следующих двух случаях: 1) пространство орбит есть произведение конечного числа симплексов произвольных размерностей 2) пространство орбит есть многогранник размерности 3 с небольшим числом гиперграней.

Во второй главе диссертации доказано, что пространство орбит действия группы Кокстера на ассоциированном с ней дополнении к гиперплоскостям является классифицирующим пространством положительного моноида Артина. Центральным результатом этой главы является сведение проблемы Арнольда-Тома-Фама к вопросу о гомотопическом групповом пополнении этого моноида.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Квазиторическим многообразием называется гладкое ориентированное многообразие М2п размерности 2п с гладким действием п-мерного тора на нем, которое удовлетворяет следующим условиям: действие локально изоморфно стандартному действию Тп на С", и пространство орбит диффеоморфно как многообразие с углами простому выпуклому многограннику Рп. Каждое такое многообразие задается многогранником Рп вместе с указанием стабилизаторов орбит, соответствующих его гиперграням. Такое соответствие записывают в виде функции Л : Т —У называемой характеристической, где Т — множество гиперграней многогранника, а значение на гиперграни определяет стабилизатор — одномерный подтор в Тп. Данная функция называется характеристической. Условие, что многообразие М2п является неособым, накладывает некоторое комбинаторное условие на характеристическую функцию. Задача классификации квазиторических многообразий над заданным многогранником сводится к описанию всех характеристических функций на нем, удовлетворяющих этому условию.

В §1.1 собраны необходимые определения и факты о квазиторических многообразиях. Приведены известные результаты классификации квазиторических многообразий, включающие случай п — 2, и результаты из алгебраической геометрии о классификации неособых торических многообразий, которые являются частным случаем квазиторических.

В §1.2 построена модификация конструкции весов из [22] на симпли-циальном комплексе К, двойственном к многограннику Рп. Дополнительно введена новая функция е («раскраска»), определенная на симплексах максимальной размерности в К, со значениями в Определено действие группы й™, где т — число вершин комплекса К, на весах и раскраске этого комплекса, которое задает отношение эквивалентности, соответствующее эквивариантным гомеоморфизмам квазиториче-ских многообразий. При этом торическим многообразиям соответствуют системы весов с тождественно единичной раскраской. Дан критерий существования квазиторического многообразия с данной раскраской и системой весов.

В §1.3 качестве приложения результатов §2 вычислены все характеристические функции на простых трехмерных многогранниках с числом гиперграней не более 6.

§1.4 посвящен задаче классификации в случае многогранников, являющихся произведениями конечного числа симплексов. Для квазитори-ческих многообразий над такими многогранниками получен критерий эквивариантного расслоения этих многообразий с базой и слоем, также являющимися квазиторическими многообразиями. Критерий формулируется целиком в терминах раскрасок. В качестве следствия дана классификация квазиторических многообразий, соответствующих тождественно единичной раскраске на произведении симплексов (а, следовательно, и описание торических многообразий над такими многогранниками), которая поглощает случай, исследованный в [16], так как многогранник с числом гиперграней, на 2 большим его размерности, есть не что иное, как произведение двух симплексов.

Во второй главе изучаются пространства орбит свободных действий групп Кокстера на дополнении к конфигурациям гиперплоскостей. Как известно, каждой системе Кокстера (И7, 5) соответствует ее точное действие отражениями на пространстве Е = Я,171, где т — мощность множества S (см. [1]). На открытом выпуклом конусе I С V, называемом конусом Титца, это действие является собственным, т.е. стабилизатор любой орбиты имеет конечный порядок. В комплексификации этого пространства выбирается область V®I, из которой удаляются комплек-сифицированные плоскости отражения. На этом дополнении Y группа W действует свободно. Согласно известной проблеме Арнольда-Тома-Фама, пространство орбит этого действия = Y/W является классифицирующим пространством группы Артина, соответствующей группе

W.

Для каждой системы Артина (А, S) определен моноид А+, называемый положительным моноидом Артина, имеющий тот же набор образующих и соотношений, что и группа А. В §2.1 излагаются определения и известные факты о системах Кокстера и Артина, а также о положительном моноиде Артина.

В §2.2 приводится конструкция пространства дополнения к конфигурации гиперплоскостей, ассоциированной с данной группой Кокстера W. Изложены основные известные результаты в проблеме Арнольда-Тома-Фама.

§2.3 и §2.4 посвящены теории классифицирующих пространств дискретных групп и моноидов, а также частичных моноидов и их монои-дальных пополнений. Каждому частичному моноиду X сопоставляется топологический моноид СХ, называемый его гомотопическим монои-дальным пополнением. Приведено описание моноида СХ в виде конфигурационных пространства частиц на прямой с метками из X со следующей топологией на пространстве таких частиц: допускается слияние частиц с метками . ,Xk в одной точке R1, если определено произведение Х1Х2 . х/с, причем при слиянии образуется частица с меткой, равной произведению меток.

Основным результатом этого параграфа является теорема о гомотопической эквивалентности классифицирующих пространств частичного моноида X и его пополнения СХ. В качестве следствия приведены результаты о конфигурационных пространств частиц в евклидовых пространствах с метками в коммутативных частичных моноидах.

В §2.5 с использованием геометрической техники, развитой в предыдущем параграфе, доказывается один из центральных результатов диссертации: пространство орбит Иуу из гипотезы Арнольда- Тома- Фама гомотопически эквивалентно классифицирующему пространству положительного моноида Артина А+. Получены следующее важное следствие: эта гипотеза эквивалентна вопросу о гомотопическом групповом пополнении моноида а именно она верна тогда и только тогда, когда пространство петель 0,ВА+ на классифицирующем пространстве моноида А+ гомотопически эквивалентно дискретной группе А, то есть каждая его компонента связности стягиваема.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3] и [4].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. М. Бухштаберу за стимулирующие обсуждения, постоянное внимание и помощь в работе, доценту Т. Е. Панову за ценные советы и обсуждения, а также всем сотрудникам кафедры высшей геометрии и топологии МГУ за поддержку.

1. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, Главы 4-6. Москва, Мир, 1972.

2. В. М. Бухштабер, Н. Рай, Торические многообразия и комплексные кобордизмы. Успехи мат. наук, т. 53, вып. 2 (1998), 139-141.

3. Н.Э. Добринская. Задача классификации квазиторических многообразий над заданным полиэдром, Функциональный анализ и его приложения, т. 35, № 2 (2001), с. 3-11.

4. Н.Э. Добринская. Гипотеза Арнольд а- Тома- Фама и классифицирующее пространство полоснсителъного моноида Артина. Успехи мат. наук, т. 57, вып. 6 (2002), с. 181-182.

5. Е. Brieskorn. Die Fundamentalgruppe des Raumes der reguldren Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe. Invent. Math. 12 (1971), 57-61.

6. E. Brieskorn, K. Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245-271.

7. V. M. Buchstaber, Т. E. Panov, Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics. AMS University Lectures series, vol.24, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

8. R. Charney, M. W. Davis, The К (к, 1)-problem for hyperplane complements associated to infinite reflection groups. J. Am. Math. Soc. 8, No. 3 (1995), 597-627.

9. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., v. 62, No. 2 (1991), 417-451.

10. P. Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralises. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.

11. A. Dold, Partitions of unity in the theory of fibrations. Ann. of Math. 78 (1963), 223-255.

12. M.A. Guest, A. Kozlowski, K. Yamaguchi. Spaces of polynomials of bounded multiplicity.

13. A. Haefliger, Complexes of groups and orbihedra. Group theory from a geometrical viewpoint. Proc. ICTP, Trieste, Italy, Singapore: World Scientific (1991), 504-540

14. I. M. James. Reduced product spaces. Annals of Math., v. 62, No. 1 (1955), 170-197.

15. S. Kallel. An interpolation between homology and stable homotopy, to appear, math.AT/9810068.

16. P. Kleinschmidt, A classification of toric varieties with few generators. Aequationes Math., 35, No. 2-3 (1988), 254-266.

17. J.P.May, The geometry of iterated loop spaces. Springer lecture notes, 271 (1972).

18. D. McDuff, Configuration spaces of positive and negative particles. Topology, 14 (1975), 91-107.

19. D. McDuff, On the classifying spaces of discrete monoids. Topology 18 (1979), 313-320.

20. D. McDuff, G. Segal, Homology fibrations and the group completion theorem. Invent. Math., 31 (1976), 279-284.

21. R.J. Milgram, Iterated loop spaces. Annals of Math. (2), 84 (1966), 386-403.

22. T. Oda, Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties. Springer-Verlag, Berlin, 1988.

23. P. Orlik P., F. Raymond, Actions of the torus on A-manifolds. Trans. Amer. Math. Soc., v. 152 (1970), 531-559.

24. L. Paris, Artin monoids inject in their groups. Comment. Math. Helv. 77, No. 3 (2002), 609-637.

25. G. Segal. Configuration spaces and iterated loop spaces. Invent. Math, 21 (1973), 213-221.

26. G. Segal. Classifying spaces and spectral sequences. Publ. Math. IHES Paris, 34 (1968), 105-112.

27. N. E. Steenrod, Milgram's classifying space of a topological group. Topology, v. 7 (1968), 349-368 .