Пространства представлений и пространства подскоков когомологий для групп узлов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

гз» - 4 О »■ .

ь

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ юл. М.В.Л0Ы0Н0С03А

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЛЕ ТЫ КУОК ТлАКЕ

УДК 515.16

ПРОСТРАНСТВА ПРШЕШЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА ПОДСКОКОВ КОГОШЛОГИЙ ДЛЯ ГО1 УЗЛОВ 01.01.04 - геометриями топология___

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1951

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии «еханихо-катештагческого факультета Московского государственного университета имени .Ч.В.Ломоносова.

Научный руководитель - акадешгк АН СССР,

профессор. С.Б.Новиков Официальные ошюнентн - доктор физико-математических наук,

профессор А.ВЛернавскиа кандидат фкзвко-ыатештетесках наук, доцент А.Б.Сосшский Ведущая организация - Московский государственный

яедагогическЕй универсгтет

Зазита состоится " _1951 г.

в 16 часов 10 кнк. на заседании специализированного Совета £ 2 по математике / Д.053.05.05 / при Московской государственном университете ем. М.ЗДомоКосова по адресу : 113859, Москва .Ленинские горы, МГУ, .механико-математический факультет аудитория 14-03.

Автореферат разослан "^0" А-О_1231 г.

С иссертацкей южно ознакомиться в библиотеке кехангко-катекатэтеского факультета Ш / 14 г таг, главное здание /. )

секретарь спеигалкзпрозакнсго Совета

1.053.05.05 хгап 1.77.доцент , В^п.Чтбариков

#

* VA. . i

* 7 > л

;.т ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Теория узлов играет важную роль во многих областях математики.Хотя это опно из старейпзх направлений в алгебраической топологии.оно еще далеко от завершения.Недавно была обнаружена тесная связь теории узлов с теоретической физя-кой.найдеян новые инварианта узлов и трехмерных многообразий, которые вызывают огромный интерес.С тех сор интенсивно1 развиваются различные подходе к построению инвариантов узлов .В диссертации рассматривается один из них.Этот подход основан на изучении когомологий грушш узла с коэффициентами в произвольном представлении.

Цель диссертации - изучить пространства подскоков когомоло-гяй,рассматриваемых как <$унхции на пространствах характеров представлений,для групп дэумостннх узлов написать уразненгя этих пространств,а таете вычислить числа Новикова при цокота гошлогий с локальными коэффициентами.

Научная новизна.Все основные результаты работа яляются новыми.

Приложения. Работа носит теоретический характер.Ее результата могут найти применение в теории узлов,трехмерной топологии и теории груш.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и. обсуждались на семинаре академика С.П.Новикова по геометрии и математической физике,а такхе на конференции иностранных зыпус-яиков МГУ в оеврале 1980 г.

Публикации. По результатам,полученшш в диссертации,опубликовано четыре стать и, список которых приведен в конце азторефе-

рата.

Структура е объем диссертации.Диссертация изложена на 123 страницах к состоит ^кз введения,трех глав и список литературы та 58 наименований.

СОИЕШШЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обоснована актуальность теш диссертация „дается обзор результатов, связанных с вопросами .рассматриваемая б диссертации кратко изложено содержание диссертации.

В дальнейшем кы будем работать с алгебраическими множествами в С^ ,е тояологшэ на них будем понимать в смысле Зарисско-го.

В первой главе изложена обаая теория пространств поясг.оков яогомологвЙ.Цусгь 1Z - группа с копредсгавлением зкда

В §§ 1,-2 излагаются известные факты о пространстве характеров представлений группы тт. в Q-L^fC') дальнейшем пишем GLn. • SLn . вместо GLJC) , SLaCc) Через R^fc") , SRa{u) обозначим шогества представлекк^ группы V. соответственно в GrL^ , SLa .Через ,

обозначим гасжества. характеров представлений в ,

SLa .Имеется естественное Ch. : —> Хц(тс) ,пере-

водящее каждое представление в его характер.Легко видеть,что

Яп(т£) /соответственно SRn('":>> / есть замкнутое подмкокест-во в aççEKHOK кяогообразкг (&L/соответственно (SL^ /■ На R^fc} , 2Rrfc) действует группа Q-L^ путем со-гряхенЕё.В [lj доказано,что могяо блоекть J£aCïc) б С^ так, чтобы было закккутш.: б С.'4 s отобрагеике C'a стало

регулярным.Более того топология на Ха (и) есть фактор-топология отображения СН. : (тс)—* Хп (х) .Для-любого у &Х,г(<1) существует ровно один класс эквивалентных полупростых представлений в ОгЧх) .Обозначим через (и) множество неприводимых представлений в .Пусть Эй^М = (тО Л

(и)-Ск(^ СЬ(Эй^-Имвет место Х£(тс) * ^бО/с^.

т.е. для каддого характера х <= Х-п (х) .множество СК'^х) замкнуто в и содержит ровно один класс эквивалентных представлений .В §2 также дается связь между и БХц.^ •

В §3 рассматриваются подпространства характеров приводимых представлений.Пусть т = , -п^) - разбиение числа -п. :

-п. '= 11± +----Ь ' .Характер х £ХяЬО назызгется

подчиненным X .если существует представление р еСЬиЧх) имеющее вид £ = •Г'де = ТЧ >'ь-1.••>*£•

Предложение 1.3.2:Множество Х-^ всех представлений,подчиненных X .замкнуто в Хп •

Отсюда следует результат Дрочези о том,что множество Х^ характеров неприводимых представлений открыто в Хп

В §4 дается определение пространства подскоков когомологнй .

Каждое представление у : ц-»(*1_л превратит Сл

в 2[х]-модуль ,и поэтому можно определить группы когомо- г логий группы х в этом модуле НЧ^р) /см. [2] /.Определим функции ск^ : —у2 следующим образом:

гк;,(х) =: еКт^.Н*'(те,ув) ,гав 5>о - полупростое представление с характером х .

Предложение Т.4.4:Фтдшия й<с полунепрерывна сверху .т.е. множество ^ х , г!^ (х) к }■ замкнуто в ХпС>0 для любого

кл ^ 0 *Крома 'гого £ с к-'М^'С Н '

Определение:Множество £ пигг^гк^) +1}

называется пространством подскоков {-той группы когокологий. В §5 разбираются случай маломерных представлений.Сформулируем ь* результаты в случае .когда тс -группа узла.Тогда

=■ х С* при таком изоморфизме <з —>

где лп- - любой элемент группы и .представляющий меридиан узла. Предложение (1.5.1, Т.5.2. 1.5.Зк Птзи -п. > & группа Н'Чи,?) на не подскакивает, и У о .При ъ=±

группа Н^Стс,.^") подскакивает только если иди

есть корень многочлена Алексаядера узла . 3 §6 изучаются представления в .Пусть

ЗХ^ - {ск^ , р айелево , <р €

= { СК.о , § _ неабслевс Р £ (г) }• Тогда , 53С* - замкнутые подмножества в ("¡¿) /пред-

ложение Т.6.4 /.Их пересечение - это конечное ьзгокестзо,которое имеет тесную связь с пространством подскоков первой группа когокологий в одномерных .представлениях.

Предложение (1.5.1 к Т.б.з'ЬПусть 9 € СНГ1 (>:) , * £ $£¿(7-). Тогда К € 9ХГ Г1 тогда к только тогда,когда отно-

шение двух собственных чназл матрицу есть корень шото-

члена Алексаядера.

3 §7 дается обобщение результатов §6 зля случаев многомерных предстаьдеюШ.Пу сть

= { СЦ? ! ? £ "ЗР.п^л ^СнЧсЦ ?^^}-

SXn+i = {сЦ i ?€SRU4i(u) , St(?)=i С* 1 Здесь st(ç) - стационарная группа элемента'd при действии группы £И-п.+ 1 путем сопряжения.Пусть К0: Хп(к.)_-> определено следующим образом

¡^ССЦ) = Ск.($ ®(det5>)-i).3TO биективное регулярное отображение, его обратное непрерывно /предложение 1.7.2 /.Пусть К^ : Х^ (ъ)^ Xl(li) , WjXhf-) = С h, [fd«t ф-р] Это есть накрытие /с группой / пространства Х^

над другим Xsn /в классической топодогии/.Полокш К =

Теорема (Т.7.3 и 1.7.б') -.Пусть тс - группа узла и -п ? 5, . Тогда имеет место: К (SX^fi

т.е. ^пространство подскоков первой группы когомологий на .Х^ есть образ пересечения SXn^nSXj^ /ига SX^fiSX^ / при отображении К .

3 главе 2 щ изучаем двугюстнне узла,группы которых имеют копредставлеяие вида: тс = < a,b | vva = bw > где

аЧ^аЧ6^.:. ,

3 §§1,2 даются известные вспомогательные факты о группе двулистного узла / [3] / и пространстве характеров представлений свободной, группы F .порожденной двумя элементами a ж Ь / [4] / .Известно.что SXa(f) я С3 .Пусть T-£ckf .

Ç в SR4(F) , IrçCà) г trçfô) ^ где b-cj - след матрицы çj, .Тогда Т = СА .Лля лвбой пары (J^tJ G С"1 существует представление у : F —> SLj_ т.ч., trf(a)= trç(b) = it , irp(ab) = t^ , и для любого a существует многочлен Pu € Z , tA*j т.ч.

trf(u) = Pa ( irp (a) , trf(ab)) .

В §3 дается описание пространства ЗХ^ОО .Элемент V/. шхно рассмотреть как слово от букв а.,Ь, а1, Ь 1 .Пусть ы' есть слово .получаемое от и/ путем вычеркивания двух

У ¿ко

крайних букв.Аналогично определятся V/' ^ ••- ,... Теорема 1.2.1 :Пространство ЗХл(тО есть алгебраическое у подмножество в Т=С4 .определяемое равенством

Р,-1 -Р^ е. О . Имеем разложение Р, - £ ~

= (^-^-^ф^И») -Где

Первый множитель определяет пространство характеров абелевых представлений бХ^Сть) ,а второй определяет пространство характеров аеабелевкх представлений .

В §4 несколько примеров вычислено в явном виде,в частности для серии, зорических узлов ТС?.,.Ьг+-1) к сярки Ь (бп+ в) /см. обозначение в [з] / , а также установлено много свойств многочлена ф^, ,в частности:

Предложение 1.4.5 :Для любого двумостного узла многочлен (Й-^г.-^) ФлуАз) не имеет кратных делителей кроме констант. Следствие Ш .4.6 -.Если и., у (= Р шеат один к тот же образ Б ТС = -то еу Д^ся ка ^-^-А.) ф^ .

Предложение 1.4.7 :Многочлен Ф^^Тр^!*, Г1) есть симметричный многочлен Алексаядера узла .Кроме того вХ^ 00 совпадает с замыканием в топологии Зарисского множества 9%^ •

3 §5 описано пространство подскоков когодалогий для представлений в .Пусть ^ : Р_^ (я-Ьд .т.ч.

-е-

iryfaVtr?(b>. Положим S = Vdet? , А = В'^(а)

trA,-t^MAB) .Тройка jtj,, $) £ €Ъ определяет характер представления ^ ; F—GL^ , т.ч. lrp(b},

причем S ФО , и ("tiftjL, f) и опреде-

ляют один и тот же характер .Пространство характеров неабеле-вкх представлений - нули уразкенкя : Ф^. (ti, - О Слеп я определитель любого элемента ^ (и), и. £ 1~[f} есть шогочлешот . "fc^t^, <?, /предложение Ж.5.3 /.Поло-

та! e(w) - ^ екч +

Iwi - (det

? . . . За ЭЬ '

где . - дореретррования Фокса /см. [з] /.

• оси Зсз

.. .Лусть.....Sw sr \vs\9 - jw'|p + ... + c^"1

Георема ТТ. 5.6 :Пространство подскоков перзой/шш второй,/ группы когокологай в Х| есть корни многочлена ,

. п£лх* » (ф^ n(sw,=o3

ЗродлозсекЕз Т.5.8 :Многочлен огммегричея отзэсптелъпо

* : Sw (Í4,ta , $-L) = % ОчА, ¿~LJ) -

í > уусматривается некоторые примеры ,в которзх S ви-* . : пм • лвно.и они сравнив алтея с многочленами HOKFIY /см. [а]/. 2 57 рассматриваются представления з SL3 Сказывается,

ÍTO SXa =г SX* /предложение 11.7.1 /.

В главе 3 вычислены числа Новикова при подащд гонологпё с гокальндаи коэффициентами.

Пусть | - замету тая 1-форма с невыроядегшют особенностями

на замкнутой многообразии М .Через обозначим

число особенностей индекса I $ормы % .Тогда

^чШ > Ь;(М,§) г +

где числа Ьк(М,|); есть числа Новикова - аналоги

классических чисел Бетти. Пусть

сЦ| =г Г| , х е н1См/2:)}

¿е^ £ называется степеней иррациональности формы f .¿а-

дяи определение чисел Новикова в случае,когда | -1

/см [б} /.Суцествует накрытие ^рг-: М—* 1Л »т.ч.-

¿¡г* | = , $ • Н—.Группа шнолромий этого накрытия

изоморфна 2 .Пусть ^ - ее образующее : ^ (Ьх) £(*)+

€ К , эе* О -Пусть А = И, СГЧПШ] .

Тогда ^(И^) есть шдули над А . есть кольцо главА

них идеалов .поэтому определяются А-ранг и число кручения

А -шдуля .Это ж есть соответственно числа

Новикова Мму§) ж с^См,§)

Пусть Ер - зашщутое поле характеристики ир .Здесь -р= О ежи ^ - простое число.Через Тр обозначим шозество всех представлений группы тс в Р* ,пропу скакдкхся через группу монодромай.Тогда Тр ( = р^ % и дабое крод-

ставление ^ еТ^> одаазначно определяется значениям

^ Ш € Рр .Размерность группы гомологий (М , Рр) ¡аогообразия И с коэффициентами в представлении £ равняется константе всиду в Тр .кроме конечного числа так называеша особыми представлений .Если ^ неособо /при любом I /то ^ называется представлением общего по дохе ния. Из в е с тны следующие результаты:

а/ b-(M,f)= oUrn._ Н-'^Чм,^ .тда <Х-Р- означает о6-F0 1 г

¡дое полсжзние /см. j?] /.

б/Дня любого -р / у-О кля /р простое/ существует спектральная последовательность ( Er , dr) .начииг-г^ояся с

С-'"? H¿ я сходящаяся к ©H^'(l4,Fp) .прпчем диф-

ференциал:: Ыг вычисляются через операции '¿асск .здесь

•Si - тривиальное представление /см. [?,8l /. в/Числа кручения не вычисляются через кольцо

когомолегий ф Hj (Н,2) /см. [э] /.

г I- Jr ' ' ' '

ó Sá3,4 доказываются медущке: 1/Числа а.(.М,§) выражаются через гошлогиЗ. с локальны:«

i* ... - — s^

коэффициентами,а именно .пусть для: а £

И* '

где а= §(£) «Пслокям = ^ -¿Ь-Са)

CiCit)=r b; (a-) - р>:(о) / eL(f } = - д.(б>

А = ^ u. £ F0V- , u-"1 т является целил алгебраическим

частой- у Тогда b.-ÍM,!)- ,а

-vno.* ir

-p>0 I u _ 1 J

Деоиеяа Ж.3.1 /.случай dio S > аналогичен , и paco

сиотрсл в §5.

2/Для лшогс фиксированного о ^То .существус? спск-

иряльная последовательность ( Ет ; J**} .натаггвдаяся с

к сходящаяся к ©Hf'f (ы,?^) ...pirro« дкф-

фгреициаян аналогичны операции Масся в £7,81 .Конструкция этой спектральной последовательности отличается от [7,8] .

В закотенжа автор хотел бы выразить глубокую признательность акадеышу С.П.Новикову,код руководством которого была выполнена эта работа.Автор благодарит А.В.Шшишва и С.Пиу-нихина за ценные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ы&зЫ^ А. j Mo^ict А, Д - VWeit« tf U^Mu^iairioiw oj- -

Atbu аш.MieA. ошия .//Me**. ДМ?,

2,Браун К.С. Когошлогии груш ,-М.:Наука,Гл.ред.$из.-мат. лит.,1987,384с.

3. Bu'icb- Н. tWs Ви&п. : V/afte- Да. G-uapter.

АЖ,

4. MawuU V. Rin^b С^ RudU- ciuLMXot&rc awl autarrw*-f&i2,n

peijS oj Jr* fJXLf* •// hi ail . Z., -im AW, 94--105.

5. IxkcwZ. W. Potbomift£i -fcwk- Lohiion, Ma& .,

6.БЭВИК0В C.IL Многозначные функции и фушщионалы.Аналог тео-

рии Морса.//ДШ СССР, 1281,т.270,с.31-35.

7.Новиков С.П. Елоховские гошлогни.Критические точки функции

I замкнутых 1-фрм.//ДАН CCCP,lS87,T.287,Jf6, с.1321-1324.

8 .Пажитнов A.B. Доказательство гипотезы Новикова о гомологиях

-Ю-

с локальными коэффициентами над полем конечной характеристики.//ДАН СОТ, 1986,т.300,йб, с.1316-1320.

Э.Фарбер М.11!. Точность неравенств Новикова.//Функциональный анализ и его прилокеаия,1885,т.15,И|с.49-59.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

А1.Ле Ты Куок Тханг 0 числах Новикова.//Мат,Заметки,1890, т.47,й,с.98-104.

А2Ле Ты Куок Тханг Структура поверхностей уровня морсовской формв.//1£ат. Заметки, 1388, т.44 ,И, с.124-133.

АЗ.Ле Ты Куок Тзсаяг Многообразия представлений и их подмногообразия подскоков ксгомояогиЁ для некоторых групп углов.//Успехи Мат.Еаук,19Э1, ■Х.46.Й2 278 ,с.223-224.

А4.,Ле Ты Куок Тханг Многообразия представлений и их подшого-образия подскоков когомсмгагпй для груш узлов.//Ь!ат.Сборник,в печати.