Пространственно-временная динамика лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Романова Елена Анатольевна

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

специальность 01.04.21 -лазерная физика

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САРАТОВ - 2004

Работа выполнена в докторантуре Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского

Научный консультант: -доктор физико-математических наук,

профессор Мельников Леонид Аркадьевич

Официальные оппоненты: — доктор физико-математических наук,

профессор Рябухо Владимир Петрович — доктор физико-математических наук,

профессор Попов Вячеслав Валентинович — доктор физико-математических наук, профессор Желтиков Алексей Михайлович

Ведущая организация: - Институт Прикладной Физики РАН,

г. Нижний Новгород

Защита состоится 16 июня 2004г. в 15час. ЗОмин. на заседании диссертационного совета Д212.243.05 при Саратовском государственном университете имени Н.Г.Чернышевского.

Адрес: 410026, Саратов, ул. Московская 155, Саратовский государственный университет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан мая 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается значительный интерес к разработке и исследованию новых волноводных структур и материалов для оптоэлектроники. Такой интерес обусловлен, прежде всего, появлением источников мощного нестационарного лазерного излучения, которое может быть использовано в информационно-телекоммуникационных системах, устройствах для оптической обработки информации, а также в лазерных методах обработки материалов. В поле мощных сверхкоротких лазерных импульсов наблюдаются различные нелинейные эффекты, которые сопровождаются сложной пространственно-временной динамикой излучения. Вместе с тем, в последние годы возросла роль компьютерного моделирования, которое теперь является неотъемлемой частью промышленных разработок. Развитие методов моделирования становится таким же фактором прогресса в оптоэлектронике, как и развитие новых технологий. Цели данной работы направлены на то, чтобы заполнить имеющийся пробел в моделировании и исследовании сложных пространственно - временных явлений, возникающих в мощных нестационарных оптических полях. Таким образом, цели данной работы вытекают непосредственно из потребностей современной оптоэлектроники.

Диэлектрические (оптические) волноводы широко используются в настоящее время в информационных системах и оптоэлектронных приборах, включая оптические квантовые генераторы (лазеры). Основная специфика диэлектрических волноводов состоит в том, что они являются открытыми и, в отличие от закрытых металлических волноводов, могут излучать часть направляемой мощности в окружающее пространство. Исследование задач возбуждения и преобразования электромагнитного поля на макроскопических неоднородностях в открытых волноводах до сих пор не потеряло своей актуальности, несмотря на то, что многие вопросы теории таких волноводов активно разрабатывались в течение последних десятилетий [Снайдер, Лав, 1987].

Поскольку электромагнитное излучение, распространяющееся в диэлектрическом волноводе, сконцентрировано в области с микронными размерами, его интенсивность может быть весьма высокой на большой длине, что позволяет наблюдать такие нелинейные эффекты, как генерация второй гармоники, рамановское рассеяние и генерация суперконтинуума, формирование и распространение оптических солитонов [Ахманов, Выслоух, Чиркин, 1988; AgrawaI, 1989]. Получение сверхсильных световых полей и их применение является одним из приоритетных направлений фундаментальных научных исследований.

Однако, вплоть до настоящего времени исследование дифракции света на нерегулярных волноводных структурах, с одной стороны, и исследование нелинейных эффектов в оптических волноводах, с другой, существовали как два независимых научных направления. Так, в настоящее время нет общего подхода к решению задач распространения света в нелинейной среде в рамках методов вычислительной электродинамики, которые уже давно используются в теории

* Перечень критических технологий Российской Федерации до 201 Ог.

з РОС НАЦИО

БНБЛИО СПегер 09 ТОО

открытых волноводов для исследования дифракции электромагнитного излучения на неоднородностях. Вместе с тем, в достаточной степени развиты методы нелинейной оптики, и в частности, методы теории солитонов, основанной на формализме нелинейного уравнения Шредингера. В рамках этой теории пространственные и временные самовоздействия рассматриваются, в основном, отдельно, как задачи распространения пространственных и временных солитонов.

Между тем, в последнее время заметно возрос интерес к исследованию пространственно-временных эффектов в нелинейных волноводах, что, в первую очередь, обусловлено появлением источников мощных фемтосекундных импульсов. Развитие фемтосекундной оптики, создание физических основ нелинейно--волновых технологий являются одними из основных пунктов целевой программы развития российской науки и техники*.

Поскольку в кварцевых стеклах значение керровской постоянной n2~10'16cM2/Bm, нелинейная добавка к показателю преломления при интенсивности в пике импульса до 1001Вт/см2 может достигать значений ~10-5 (в халькогенидных стеклах п2-10'14см2/Вт, а нелинейная добавка, соответственно, ~10"3). Экспериментально было показано [Zozulya и др., 1999], что самофокусировка мощных фемтосекундных импульсов в однородном блоке плавленого кварца приводит к их заметным пространственно-временным изменениям. Теоретическое исследование таких эффектов основывается на решении нелинейного волнового уравнения параболического типа с учетом производных по пространственным координатам. Такое уравнение не относится к классу интегрируемых и для его решения используются численные методы [Mori, Takara, Kawanishi, 2001; Fibich, Ren, Wang, 2003].

Для оптических волноводов подобные теоретические исследования прежде не проводились, поскольку предполагалось, что при предельных пиковых мощностях пикосекундных импульсов -МВт/см2 в волноводе поперечный профиль пучка не зависит от интенсивности, в связи с чем нелинейную фазовую самомодуляцию импульсов и их дифракцию можно рассматривать отдельно [Ахманов, Выслоух, Чиркин, 1988]. В случае мощных фемтосекундных импульсов такое предположение не является достаточно обоснованным и требует соответствующих исследований пространственно-временнной динамики нестационарного лазерного пучка.

Нелинейные эффекты наиболее сильно проявляются в устройствах с кольцевым волноводным контуром - волоконных интерферометрах и волоконных лазерах. В таких устройствах эффекты самовоздействия накапливаются в результате многократного распространения излучения через нелинейные элементы.

В кольцевых волоконных лазерах с пассивной синхронизацией мод используется эффект вращения эллипса поляризации в среде с керровской нелинейностью [Haus, Fujimoto, Ippen, 1992]. Такие лазеры способны генерировать импульсы с пиковой мощностью выше 1 кВт и длительностью ~ 700с и являются перспективными, надежными, дешевыми и компактными источниками сверхкоротких импульсов. Наличие поляризационно-чувствительных элементов несколько усложняет их

" Федеральная целевая научно-техническая программа "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006гг.

изготовление и может приводить к поляризационным шумам генерируемого излучения. В связи с этим актуальной является разработка других внутрирезонаторных элементов. Для этого, в частности, можно воспользоваться идеей жесткого диафрагмирования, применяемого в схемах твердотельных импульсных лазеров с керровской синхронизацией мод, и исследовать возможность использования резких неоднородностей как внутрирезонаторных элементов, осуществляющих функцию жесткого диафрагмирования в волоконном лазере.

Одной из проблем, возникающих при распространении мощного лазерного излучения, является необходимость ограничения его мощности в информационных сетях и оптических датчиках. Среди различных устройств, используемых или разрабатываемых в настоящее время для ограничения мощности лазерного излучения, можно выделить так называемые нелинейные решетки, состоящие из слоев с периодически изменяющимся в направлении распространения излучения коэффициентом керровской нелинейности. В настоящее время разработана только одномерная модель таких структур [РеНпоузку и др., 2002]. Между тем, нелинейные решетки являются перспективными элементами волоконной и интегральной оптики, в связи с чем возникает необходимость разработки модели нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе.

Таким образом, при растущей потребности в более совершенных приборах волоконной и интегральной оптики, а также появлении новых технологических возможностей, в настоящее время еще не сформирован общий подход, в рамках которого можно было бы моделировать и исследовать пространственно-временное преобразования лазерных пучков в нелинейных волноводных структурах. Формирование такого подхода, разработка моделей распространения и исследование новых явлений, обусловленных спецификой оптических волноводов, является актуальной и одной из важнейших проблем современной лазерной физики и других направлений оптоэлектроники.

Объектами исследования в диссертации являются физические явления пространственно-временного преобразования стационарных (гармонических во времени) и нестационарных лазерных пучков в диэлектрических волноводных структурах со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления, показанных на Рис.1. К таким структурам относятся двумерные макроскопические неоднородности в планарных и цилиндрических волноводах, а именно: резкие неоднородности, когда параметры волновода изменяются скачком - ступенчатый переход (структура А) и двуступенчатый переход (структуры В и С); плавные неоднородности (конусный переход, структура Б). Эти структуры являются основными элементами более сложных оптоэлектронных устройств: волноводных решеток, разветвителей, устройств для ввода излучения, диэлектрических резонаторов и т.д.

В структурах (А-Б) исследуется эффект керровской нелинейности (нелинейность третьего порядка). Волноводы с пространственно-распределенной керровской нелинейностью (структуры N1 и N2) представляют собой новый класс перспективных структур оптоэлектроники, в которых керровская постоянная имеет различное значение в разных волноводных сегментах.

П2

N2

ЫшшжшттЫ^

11? 1 112 '-г

___*_

П2

Рис.1

Макроскопические неоднородности в диэлектрических волноводах. 1,2 1,2 п1 ~ линейный показатель преломления; п2 - керровская постоянная.

Метод исследования. Для исследования рассматриваемых волноводных структур с керровской нелинейностью используется подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа. Для численного решения двумерного стационарного (2D) или нестационарного (2D+T) нелинейного волнового уравнения применяется метод конечных разностей [Тихонов, Самарский, 1972]. Сравнение с диэлектрическими структурами, в которых не возбуждается поле излучения (например, волноводы с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления) используется для интерпретации и объяснения явлений, обусловленных эффектом вытекания поля излучения. Для таких структур с помощью модифицированного обобщенного метода моментов [Дербов, Мельников, Новиков, 1987] выводятся приближенные аналитические решения нелинейного волнового уравнения.

Цели и задачи работы: 1. Выбор подхода к исследованию и моделированию пространственно-временной динамики лазерных пучков в рассматриваемых нелинейных структурах на основе анализа математических методов, используемых в задачах распространения стационарных световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, с одной стороны, и в задачах распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью, с другой стороны.

2. Исследование особенностей спектральных задач и задач возбуждения в теории открытых волноводов, и на этом основании оценка применимости некоторых приближений, используемых в теоретическом подходе, основанном на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа.

3. Исследование пространственной динамики стационарных лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью.

4. Разработка модели распространения сверхкоротких лазерных импульсов в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью и исследование пространственно-временной динамики таких импульсов.

5. Исследование возможности практического применения эффекта пространственного и пространственно-временного преобразования лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью в целях совершенствования и разработки оптоэлектронных приборов, и в частности, импульсных волоконных лазеров, а также оптических ограничителей мощности.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Впервые теоретически исследована пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления. Ранее пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов исследовалась только для случая однородной нелинейной среды и др., 1999]. Впервые показано, что в результате возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком в оболочке формируется импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины. Впервые показано, что эффекты волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствуют формированию пространственно-временно'го солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления.

2. Впервые детально исследованы особенности формирования полей лазерных пучков при возбуждении нелинейного диэлектрического волновода со ступенчатым профилем показателя преломления его линейной модой. До этого так называемые "нелинейные моды" рассматривались как решения нелинейного уравнения Гельмгольца в поперечной плоскости такого волновода [Akhmediev, 1998].

3. Впервые определены закономерности пространственного преобразования полей стационарных лазерных пучков на резких неоднородностях нелинейных диэлектрических волноводов со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления как планарной, так и цилиндрической геометрии.

4. Впервые показано, что эффект дифракции лазерного пучка на неоднородностях нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности лазерного импульса. До этого нелинейные решетки рассматривались как одномерные брэгговские отражатели [D.Pelinovsky, 2002].

Проведено моделирование распространения стационарных и нестационарных лазерных пучков в нелинейных решетках в планарном и цилиндрическом волноводах, исследованы их характеристики.

5. Впервые установлено, что резкие неоднородности определенной конфигурации в нелинейном диэлектрическом' волноводе могут быть использованы как внутрирезонаторные элементы кольцевых волоконных лазеров с синхронизацией мод. Установлено, что неоднородности другой конфигурации в волноводном контуре могут препятствовать выходу лазера в режим синхронизации мод.

6. Впервые детально исследованы дисперсионные характеристики высших мод НЕ|п цилиндрического диэлектрического волновода со ступенчатым профилем показателя преломления и круглым поперечным сечением ниже критической частоты с учетом материальных потерь. Для этих мод проведены оценки применимости скалярного приближения, используемого в теории слабонаправляющих волноводов, и рассчитаны точные значения поляризационных поправок для моды НЕ12. До этого поляризационные поправки были получены методом возмущений лишь для направляемых мод волновода без потерь [Снайдер, Лав, 1987].

7. В результате анализа поведения дисперсионных кривых впервые показано, что известный в теории открытых волноводов результат [Снайдер, Лав, 1987], согласно которому характеристическое уравнение для мод НЕЬ волновода без потерь не имеет численных решений в некоторой области частот ниже критической, является артефактом, поскольку в упомянутой работе в итерационном численном методе решения характеристического уравнения было использовано начальное приближение, неадекватное характеру поведения дисперсионных кривых ниже критической частоты.

8. Впервые в задаче распространения стационарного светового пучка в линейном диэлектрическом волноводе с резкими неоднородностями проведен анализ применимости параксиальной модели, основанной на приближении медленно меняющейся амплитуды полного поля.

9. Проведен систематический анализ математических методов, используемых в настоящее время для моделирования распространения стационарных (гармонических во времени) световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, а также методов моделирования распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью. Обзоры такого плана в настоящее время имеются только в работах соискателя.

Практическая значимость результатов работы. Результаты диссертационной

работы показывают, что при определенных условиях взаимное влияние пространственных и временных эффектов самовоздействия лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями является существенным и должно быть учтено в соответствующих моделях при разработке устройств интегральной и волоконной оптики. Развитый автором подход к изучению пространственно-временных эффектов и модель распространения сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах с неоднородностями

могут быть использованы для компьютерного моделирования и исследования структур сложной пространственной конфигурации, являющихся основными элементами таких устройств.

В работе показано, что специфический для диэлектрических волноводов эффект излучения части поля из сердцевины волновода при дифракции лазерных пучков на макроскопических неоднородностях нелинейных волноводов может быть использован для разработки новых методов сжатия сверхкоротких лазерных импульсов, ограничения мощности лазерного излучения, а также для синхронизации мод в импульсном волоконном лазере. Эти результаты могут быть полезны и при разработке принципиально новых устройств для оптической обработки информации, а также оптоэлектронных компонент лазерных технологических машин. Реализация таких методов и устройств требует развития соответствующих технологий и создания новых нелинейных материалов.

Представленные в диссертации оценки "применимости некоторых приближений, используемых в методах нелинейной оптики, справедливы не только для рассматриваемого в данной работе класса структур, но и для других нелинейных диэлектрических структур сложной пространственной конфигурации.

Проводимые по теме диссертации исследования были частично поддержаны фондом СКВБ, фант ЯЕС-006, английским обществом поддержки физических и инженерных наук ЕР8ЯС, Королевским обществом Великобритании и НАТО. Результаты работы были использованы при проведении ряда бюджетных НИР и целевых комплексных программ Гособразования СССР "Лазеры-2" и "Лазерные системы".

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается согласием результатов, полученных различными математическими методами; исследованием применимости используемых приближений; согласием с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими исследователями; совпадением результатов с предсказаниями более простых приближений, в тех случаях, когда такое сравнение возможно.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Приближение медленно меняющейся амплитуды, которое используется в традиционном для методов нелинейной оптики подходе, основанном на решении скалярного нелинейного волнового уравнения параболического типа, ограничивает применимость такого подхода в задачах распространения лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями. Это приближение дает значительную погрешность в расчете полного поля светового пучка в волноводе, если относительный вклад поля излучения, возбуждаемого на неоднородности, в полное поле соизмерим с вкладом поля направляемой моды. Погрешность скалярного приближения, используемого в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов с круглым поперечным сечением, возрастает при моделировании структур с переходом моды через отсечку по мере приближения характеристической частоты волновода к частоте отсечки, а также при возрастании материальных потерь в оболочке волновода.

2. Характеристическое уравнение для НЕ1п мод диэлектрического волновода без потерь при любом значении характеристической частоты имеет решение, соответствующие направляемым или вытекающим модам.

3. В результате несогласованного возбуждения нелинейного волновода (например, его линейной модой) формируется латеральная часть полного поля, которая может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Взаимодействие латеральной и центральной части полного поля приводит к периодическим осцилляциям лазерного пучка вдоль оси волновода. Латеральная часть полного поля образована преимущественно полями вытекающих мод, расходимость которых уменьшается с ростом мощности пучка. В случае возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком латеральная часть полного поля в волноводе формирует импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины.

4. Вытекание поля излучения из сердцевины волновода вследствие изменения поперечного профиля нестационарного лазерного пучка при изменении его временного распределения под действием эффектов волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствует формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления.

5. Поскольку длительность импульса в нелинейном волноводе зависит от поперечной координаты, результаты измерения длительности в среднем по некоторой области поперечного сечения волновода зависят от размеров этой области. Длительность импульса, измеренная при усреднении интенсивности по площади сердцевины, соответственно, уменьшается или увеличивается в ступенчатом переходе с уменьшением или увеличением диаметра (толщины).

6. Эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов нелинейной волноводной решетки может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности сверхкоротких лазерных импульсов.

7. Нелинейные диэлектрические волноводы с резкими неоднородностями, нелинейное пропускание которых больше линейного, могут быть использованы в качестве внутрирезонаторных элементов для синхронизации мод в кольцевых волоконных лазерах. Такие элементы имеют не меньшую эффективность, чем другие известные в настоящее время внутрирезонаторные устройства, но в то же время позволяют разрабатывать новые конструктивные решения схем волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод.

Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, были

представлены на следующих конференциях:

- International Conference Photonics West '96, '97, '98, San Jose,Ca1ifomia, USA;

- Saratov Fall Meeting (SFM)'98,'99,'2000,'02,'03 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, Saratov, Russia.

- International Conference on Transparent Optical Networks (ICT0N)'99,'2000,'01,'02, Poland.

- Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика-99", Петербург, Россия.

- International Conference on EuroElectromagnetics (EUROEM)'2000, Edinburg, Scotland.

- First International Conference for Young Scientists on Laser Optics (LO-YS)'2000, St-Petersburg, Russia.

- Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS)'2000, Cambridge, Massachusetts, USA.

- International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2000;02, Ukraine.

- Annual Lasers and Electro Optics Society Meeting (LEOS) '2000,4)1, USA.

- International Workshop on Direct and Inverse Wave Scattering, 2000, Gebze, Turkey.

- Third Annual Meeting ofthe COST Action P2,2000, Enschede, the Netherlands.

- European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2001, Paderborn, Germany.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2001, Paderborn, Germany.

- Asia-Pacific Radio Science Conference (AP-RASC)'2OO1, Tokyo, Japan.

- International Workshop on Advanced Electromagnetics, 2001,Tokyo, Japan.

- OSA Annual Meeting, California, Long Beach, 2001, USA.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2002, Nottingham, UK.

- International Quantum Electronics Conference (IQEC)'2OO2, Moscow, Russia.

- European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2003, Prague, Czech Republic.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2003, Prague, Czech Republic.

- European Quantum Electronics Conference (EQEC)'2OO3, Munich, Germany.

- International Conference on Laser Optics'2003, St-Petersburg, Russia.

- The XVIlth International Workshop High Energy Physics and Quantum Field Theory, 2003, Samara-Saratov, Russia.

- International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (CAOL)'2003, Alushta, Ukraine.

Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах в Саратовском государственном университете, в университетах г. Ноттингем (Великобритания), г.Данди (Шотландия), в Варшавском Институте Телекоммуникаций (Польша).

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в выборе направлений исследований, постановке задач, разработке алгоритмов и методов их решения, объяснении изучаемых явлений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, приложения, заключения и списка литературы из 240 наименований. Общий объем диссертации - 287 страниц текста, иллюстрированного 79 рисунками. Нумерация рисунков и формул двойная: первая цифра означает номер главы, вторая - номер рисунка (формулы) в этой главе. В каждой главе имеется обзор литературы, введение в проблему, краткое изложение основных результатов и выводы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы задачи исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту. Отмечена практическая значимость работы, приведены сведения об апробации материалов диссертации.

Глава 1. Некоторые свойства спектра собственных и квазисобственных волн регулярных диэлектрических волноводов

Данная глава посвящена исследованию некоторых особенностей дискретного спектра обобщенных собственных волн открытых волноводов, элементами которого являются собственные и квазисобственные волны, а также оценке применимости скалярного приближения в задачах дифракции собственных волн на неоднородностях диэлектрических волноводов с круглым поперечным сечением.

Рассматривается поведение спектральных точек (т.е. дискретных собственных значений спектральной задачи) для собственных и квазисобственных волн НЕЬ диэлектрического волновода с круглым поперечным сечением на комплексной плоскости волнового числа в оболочке 1С (Рис.2) в зависимости от

характеристической частоты - длина

волны в вакууме; а — радиус сердцевины; «„, = я'„ + ¡п'а и «,, = + ¡п'^ - в общем случае комплексный показатель преломления в сердцевине и оболочке волновода, соответственно). Как известно, поле волны обобщенного спектра описывается в сердцевине такого волновода функцией Бесселя, а в оболочке - модифицированной функцией Бесселя II рода (функцией Макдональда) [Абрамовиц и Стиган, 1979г.]. Риманова поверхность функции Макдональда является бесконечнолистной и имеет логарифмическую точку ветвления при м»=0. Спектральные точки направляемых

мод волновода без потерь лежат на положительной части

действительной оси плоскости ц> на нулевом листе (Рис.2а, сплошная линия в). При наличии материальных потерь в оболочке спектральные точки

направляемых мод находятся в IV квадранте плоскости w на нулевом • листе. Спектральные точки вытекающих мод лежат в Ш квадранте на нулевом листе.

Вначале в данной главе анализируется поведение решений характеристического уравнения, записанного в асимптотической форме вблизи критической частоты (частоты отсечки) Ус:

Как известно, в случае волновода без потерь уравнение (1) не имеет решений при частотах, несколько меньших критической [Шевченко, 1976; Войтович и др., 1979]. Анализ зависимости модуля р и фазы <р решений (1) от параметра ка показывает, что, при наличии потерь дисперсионные кривые "закручиваются" относительно точки ч'=0, причем, число оборотов дисперсионной кривой определяется величиной потерь в оболочке - чем меньше тем сильнее нарастает фаза при изменении параметра ка. Если потери отсутствуют, то при получаем: р—*0, </>—* —оо.

Рис.2. Дисперсионные кривые моды НЕлна плоскости w:

(a) при я*: 0.0016 (1), 0.0015 (2), 0.0013 (3), 0.0008 (4), 0.0 (5,в,Ь) на нулевом (сплошные линии) и первом {штриховые линии) листах римановой поверхности. Цифрами с подчеркиванием отмечены некоторые значения У; /»'„ = 1.4725,

(b) при п', = 0 на листах с конечным номером N (штриховые линии) и на "бесконечном листе" римановой поверхности (/V—»со, сплошные линии).

Рис.3. Зависимости действительной (а) и мнимой (Ь) части волнового числа в сердцевине и=и'+ш" волновода без потерь от характеристической частоты V, рассчитанные в спектральных точках, находящихся в III квадранте плоскости w на листах с номером N=0,1,10 (штриховые линии и сплошная линия L), а также на "бесконечном листе" (N—*co, пунктирные линии). Штрих-пунктирная линия отмечает отсечку моды HE12 (К^З.вЗ).

Численное решение характеристического уравнения методом Ньютона-Рафсона позволяет исследовать спектральные точки, находящихся далеко от центра плоскости w (Рис.2). В результате численного решения установлено, что на каждом листе с конечным номером имеются дисперсионные кривые квазисобственных волн, которые не имеют непрерывного продолжения в области направляемых мод: например, для волновода без потерь это дисперсионная кривая Ь вытекающих мод на нулевом листе в III квадранте плоскости (Рис.2а), а на высших листах -дисперсионные кривые, обозначенные штриховыми линиями на Рис.2Ь.

В результате анализа поведения дисперсионных кривых на листах римановой поверхности функции Макдональда с учетом материальных потерь в оболочке сделан вывод о том, что ни на одном высшем листе с конечным номером нет непрерывного продолжения дисперсионных кривых направляемых мод волновода без потерь (Рис.2а, сплошная линия в) в области квазисобственных волн. Можно сказать, что в асимптотическом смысле это продолжение находится на "бесконечном листе" (Рис.2Ь, сплошные линии).

Этот вывод позволяет уточнить результат, который был получен путем численного решения точного характеристического уравнения и представлен на Рис.24.3 в книге [Снайдер и Лав, 1987]. В данной диссертационной работе показано, что отсутствие решений характеристического уравнения для мод НЕ|„ волновода без потерь в некоторой области частот ниже критической является артефактом, связанным с тем, что в упомянутой работе было использовано начальное приближение неадекватное характеру поведения дисперсионных кривых ниже критической частоты. В результате не была учтена часть спектральных точек при частотах, несколько меньших критической. На Рис.3 дисперсионные кривые для волнового числа в сердцевине и, соответствующие решениям, представленным на Рйс.24.3 в книге [Снайдер и Лав, 1987], обозначены сплошными линиями. В данной главе эти результаты "достраиваются" в области частот ниже критической на нулевом листе (Рис.3, штриховая линия Ь), а также строятся дисперсионные кривые и на высших листах римановой поверхности в области У<УС (Рис.3, штриховые линии, N>0).

Далее в данной главе обсуждается понятие отсечки для волновода с комплексной диэлектрической проницаемостью, и в частности, с поглощением в оболочке. Рассчитываются компоненты вектора Пойнтинга в цилиндрической системе координат, а также строятся каустики собственных и квазисобственных волн. Показано, что точка отсечки соответствует первому пересечению дисперсионной кривой, имеющей начало в области направляемых мод в IV квадранте (Рис.2а, К-4.0), с мнимой осью плоскости w при уменьшении характеристической частоты.

В целях исследования применимости скалярного приближения в теории слабонаправляющих волноводов с круглым поперечным сечением в данной главе проводится сравнение численных решений точного и приближенного характеристических уравнений, соответственно, для векторной (НЕ12) и скалярной (ЬР02) мод. Рассчитываются поляризационные поправки к волновым числам скалярных мод в области как собственных, так и квазисобственных волн с учетом материальных потерь в оболочке волновода. Наибольших значений поляризационные поправки достигают в области квазисобственных волн.

Погрешность расчета волновых чисел скалярных мод (относительные поляризационные поправки) наиболее велика в области квазисобственных волн, а также вблизи отсечки при Показано, что использование скалярного

приближения для расчета поперечного профиля поля направляемой моды дает погрешность в оболочке больше, чем в сердцевине. С ростом материальных потерь в оболочке погрешность расчета волновых чисел направляемой моды в скалярном приближении увеличивается.

В качестве примера рассчитывается пропускание ступенчатого перехода, состоящего из двух- и одномодового волноводов с малым контрастом поперечного профиля показателя преломления, как в скалярном приближении, так и без него, при преобразовании моды НЕ12 в основную НЕ12 (без учета отраженного поля). Показано, что погрешность результата, полученного в скалярном приближении, увеличивается по мере приближения моды НЕ12 к отсечке, а также с ростом материальных потерь в оболочке.

Глава 2. Распространение световых пучков в диэлектрических волноводах с неоднородностями: физические особенности и математические методы моделирования

В данной главе обсуждаются особенности дифракции стационарных световых пучков на макроскопических неоднородностях диэлектрических волноводов, а также особенности распространения как стационарных, так и нестационарных световых пучков в среде с керровской нелинейностью. Проводится анализ математических методов моделирования, используемых в настоящее время для решения таких задач и обсуждаются возможные подходы к исследованию пространственно-временной динамики лазерных импульсов в рассматриваемых структурах.

При дифракции на неоднородности в диэлектрическом волноводе мощность светового пучка частично переходит в мощность отраженных и прошедших направляемых мод, а частично излучается в окружающее пространство. Возбуждение поля излучения вносит определенные сложности в теорию диэлектрических (открытых) волноводов по сравнению с теорией закрытых волноводов. Как известно, в закрытом волноводе электромагнитное поле может быть представлено как сумма дискретных мод. В случае диэлектрического волновода задача усложняется необходимостью рассмотрения не только дискретных мод, но и континуума поля излучения.

Поскольку в сильном световом поле показатель преломления среды обнаруживает зависимость от интенсивности волны, коэффициент пропускания неоднородности в волноводе с керровской нелинейностью зависит от начальной мощности лазерного пучка. Увеличение нелинейного пропускания по сравнению с линейным означает улучшение условий распространения для пучка с большей интенсивностью, что может быть использовано, например, для сжатия лазерных импульсов.

В представленном обзоре математических методов моделирования рассматриваются как полуаналитические, так и численные методы вычислительной электродинамики. Приводятся примеры использования этих методов для решения нелинейных задач. До последнего времени эффекты преобразования оптических

полей на неоднородностях нелинейных диэлектрических волноводов не изучались, хотя вопросы самофокусировки световых пучков в нелинейной однородной среде исследованы достаточно подробно. В задачах распространения оптических импульсов в нелинейных волноводах использовался традиционный для нелинейной оптики подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа для медленно меняющейся амплитуды электрического поля. Поскольку при этом не учитывались производные по пространственным координатам, в итоге использовался формализм нелинейного уравнения Шредингера и методы теории солитонов. Следует отметить, что в настоящее время имеются как обобщенные аналитические, так и численные методы решения рассматриваемой краевой задачи для уравнений Максвелла, в которых не используется приближение медленно меняющейся амплитуды - например, метод FD-TD (Finite-Difference Time-Domain) или метод интегральных уравнений. Однако, в рамках этих методов в настоящее время еще недостаточно разработан подход к учету нелинейного отклика среды в соответствующих расчетных схемах.

На основании обзора математических методов моделирования сделан вывод о том, что в настоящее время в задачах исследования пространственной, временной и пространственно-временной динамики лазерного излучения в среде с керровской нелинейностью преимущественно используется теоретический подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа. Ряд используемых приближений, и в частности, приближение медленно меняющейся амплитуды, ограничивает область применимости данного подхода и соответствующих моделей распространения.

В данной главе проводятся оценки применимости параксиальной модели распространения, основанной на приближении медленно меняющейся амплитуды, в задачах дифракции стационарных световых пучков на резких неоднородностях диэлектрических волноводов. В параксиальной модели в качестве метода численного решения волнового уравнения используется метод конечных разностей, а в непараксиальной модели для определения полного поля используется метод функций Грина. Этот метод не является сеточным и свободен от недостатков, свойственных всем сеточным методам, в том числе и FD-TD. Проводится сравнительный анализ результатов моделирования распространения полного поля, а также поля излучения, для двух типов ступенчатого перехода: 1. оба волновода одномодовые, 2. первый волновод двухмодовый, второй - одномодовый. Поскольку контраст профиля показателя преломления слабонаправляющего волновода мал (<10), отраженным полем можно пренебречь. Это позволяет выделить свойство параксиальности (непараксиальности) как единственный фактор, определяющий различие результатов, полученных разными методами. Результаты моделирования показывают, что в параксиальной модели не учитывается высокочастотная интерференция направляемой моды и поля излучения. Однако, это не влияет на величину линейного пропускания структуры - в дальней зоне, в области пространственно-установившегося режима, амплитуды полей, рассчитанные в обеих моделях, асимптотически совпадают. Погрешность приближения медленно меняющейся амплитуды зависит от типа перехода и определяется относительным вкладом в полное поле как поля направляемой моды, так и поля излучения.

На основании анализа полученных результатов сделан вывод о том, что использование приближения медленно меняющейся амплитуды не позволяет применить подход, основанный на решении нелинейного волнового уравнения параболического типа, в задачах распространения лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями, если относительный вклад поля излучения, возбуждаемого на неоднородности, в полное поле соизмерим с вкладом поля направляемой моды.

Глава 3. Пространственная динамика стационарных лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями

В данной главе исследуется пространственная динамика поля стационарного лазерного пучка в нелинейном волноводе линейно регулярной структуры N1 (Рис.1, а также при распространении такого пучка через нелинейный ступенчатый переход (структура А, Рис.1). Рассматриваются как планарные волноводы, так и волноводы с круглым поперечным сечением в скалярном приближении.

Амплитуда F(r,z) скалярного электрического ^(г.г)оР(г,2)юр(10я1ш1) в

нелинейном волноводе, ось которого совпадает с осью z, удовлетворяет следующему волновому уравнению параболического типа:

Ху(г.:) = 0 (2)

с нелинейной поляризуемостью % = к'п'(г) — /?J + 2кгп(г)пг1, где к - волновое число, /} - продольное волновое число, п(г) - линейный профиль показателя преломления, П2 - керровская постоянная, I~l(r,z) - интенсивность светового пучка (плотность продольного потока мощности). В качестве параметра, характеризующего эффективное изменение показателя преломления в нелинейном волноводе, используется безразмерный параметр где - интенсивность

на оси волновода в начальном поперечном профиле пучка.

В случае нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления уравнение (2) решалось численно методом конечных разностей. Начальный профиль светового пучка задавался в виде профиля моды ТЕо или моды LPoi линейного планарного или цилиндрического волновода, соответственно. Для контроля точности решения использовались сохраняющиеся физические величины. В целях интерпретации эффектов, обусловленных вытеканием поля излучения, проводилось сравнение со структурами, в которых поле не излучается из волноводной области. К ним относятся, в частности, волноводы с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления. Как известно [Власов, Таланов, 1997], в таком волноводе стационарная нелинейная мода формируется только при некотором начальном поперечном профиле пучка, который определяется как его мощностью, так и геометрией волновода. В соответствии с известными результатами, а также решением, полученным в данной работе с использованием модифицированного обобщенного метода моментов [Дербов, Мельников, Новиков, 1987], который позволяет свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров пучка, при

несогласованном возбуждении такого нелинейного волновода пучок периодически осциллирует вдоль его оси, причем полная мощность пучка сохраняется. Период пространственных осцилляции пучка меньше в волноводах с большей характеристической частотой.

В отличие от волновода с бесконечным параболическим профилем, при несогласованном возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления всегда формируется стационарная нелинейная мода при условии, что эффективное изменение показателя преломления в сильном поле сравнимо с контрастом линейного профиля структуры. Пространственная динамика лазерного пучка начинается с самофокусировки (сужение пучка в пределах дифракционной длины) и излучения части поля из сердцевины волновода в оболочку, что приводит к осцилляциям полного поля в области пространственно-неустановившегося режима. По мере излучения поля из сердцевины пучок снова сужается, и его ширина, а также мощность принимают постоянное значение. В связи с тем, что часть поля излучается из сердцевины, мощность и поперечный профиль нелинейной моды зависят от условий возбуждения. В более узких волноводах при заданном параметре п21о поперечный профиль меняется сильнее.

До сих пор нелинейные моды диэлектрических волноводов рассматривались как решения задачи на собственные значения для нелинейного уравнения Гельмгольца в поперечной плоскости волновода [АкЬтеШеу, 1998]. Проведенный в данной главе детальный анализ возбуждения нелинейного волновода его линейной модой показал, что поля вытекающих мод в нелинейном волноводе могут распространяться вдоль его оси на большие расстояния даже в том случае, когда характеристическая частота линейного волновода значительно меньше частоты отсечки соответствующей линейной моды. Большей мощности пучка соответствует большая эффективная характеристическая частота волновода, и следовательно, меньшая расходимость поля вытекающей моды. Такие вытекающие моды формируют в оболочке волновода латеральную часть полного поля. Центральная часть полного поля соответствует стационарной нелинейной моде. Вследствие взаимодействия латеральной и центральной частей полного поля лазерный пучок периодически осциллирует вдоль оси волновода.

Далее в данной главе проводятся приближенные аналитические, а также численные оценки пропускания ступенчатого перехода в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в зависимости от характеристических частот составляющих переход волноводов и от начальной мощности лазерного пучка. В численной модели начальный профиль поля задается на торце первого волновода в виде профиля его линейной моды. Длина первого волновода до плоскости перехода выбирается таким образом, чтобы на этой длине установилась нелинейная мода. Пропускание структуры оценивается путем измерения отношения мощности пучка во втором волноводе в области пространственно-установившегося режима к мощности пучка непосредственно перед ступенчатым переходом в первом волноводе.

Установлено, что, во-первых, эффект изменения нелинейного пропускания ступенчатого перехода по сравнению с линейным больше в более узких волноводах. Во-вторых, этот эффект максимален, если пропускание рассчитывается путем

(а) (Ъ)

Рис.4. Пропускание ступенчатого перехода в волноводе с круглым поперечным сечением, рассчитанное путем усреднения интенсивности в поперечном сечении: в области сердцевины (а) и в области г < 40а/ (Ь) в зависимости от параметра /¡¡¡о-И,=2.31 (а/=3.(Хшсм), К2=1.б9 (а2=2.Ъ1км) (линии 1) - уменьшение диаметра; У,=1.69 («/ =2.2мкм), У2= 2.31 (а2=3.0м/см) (линии 2) - увеличение диаметра.

усреднения интенсивности по сердцевине ступенчатого перехода в поперечном сечении волновода, причем, в переходе с увеличением (уменьшением) толщины пропускание в этом случае, соответственно, уменьшается (увеличивается) с ростом начальной интенсивности (Рис.4а). При усреднении интенсивности в большей области поперечного сечения пропускание изменяется в меньшей степени, причем, зависимость этого эффекта от типа ступенчатого перехода и мощности пучка имеет более сложный характер. Следует отметить, что пропускание ступенчатого перехода, рассчитанное в достаточно большой области поперечного сечения (Рис.4Ь), практически одинаково для встречных лазерных пучков малой интенсивности. С ростом интенсивности наблюдается заметное нарушение условий взаимности, что связано с формированием латеральной части полного поля пучка.

В данной главе обсуждается возможность использования неоднородностей в нелинейном волноводе для сжатия лазерных импульсов, а также в качестве внутрирезонаторных элементов волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод. Показано, что такая неоднородность, например, резкое уменьшение толщины волновода со ступенчатым профилем показателя преломления, эквивалентна наличию диафрагмы в волноводе с бесконечным параболическим профилем (или в однородной среде) в отношении эффективного изменения пропускания вследствие нелинейного самовоздействия лазерного пучка.

Глава 4. Пространственно — временная динамика лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями

В этой главе дается подробное описание модели распространения нестационарного лазерного пучка в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления. Исходная краевая задача сводится к решению нелинейного волнового уравнения параболического типа для медленно меняющейся амплитуды полного поля

ЗгА . д3А п (3)

-£, -7- + /Л -7- = О

2 ыг 3 а3

Здесь Ец =2п(г)п2$, £/ = П2к/(ст\), £2 = к2к/т1, £3 = к}к/г^/3, — постоянная Керра, к - среднее волновое число импульса, с - скорость света в вакууме, у5 - среднее продольное волновое число ТЕ моды волновода, к, - коэффициент дисперсии /-го порядка, Гц - время нелинейного отклика среды, г« - начальная длительность импульса (координата времени нормированы на

В условиях нулевой материальной дисперсии (£¿=0, £}=0) решения уравнения (3) с £¡=0, Гд=0 соответствуют квазистатическому приближению [Ахманов, Выслоух, Чиркин, 1988], которое справедливо для импульсов с длительностью, значительно превышающей как характерное для среды распространения время установления нелинейности, так и период оптических колебаний на несущей частоте. Моделирование квазистатической самофокусировки сводится к решению уравнения

(2) с начальным временным распределением импульса, в котором координата времени используется как параметр.

Поскольку уравнения (2) и (3) не относятся к классу интегрируемых, для их решения необходимо использовать численные методы. В данной работе уравнение

(3) преобразуется в конечно-разностное уравнение на шеститочечном шаблоне с использованием продольно-поперечной схемы метода переменных направлений [Тихонов и Самарский, 1972]. Оценивается точность этого численного метода в зависимости от типа конечно-разностной схемы (Кранка-Николсона или Дугласа (схема с весами)) и способа ее оптимизации на границе сердцевины и оболочки. На краях расчетной сетки вводятся условия излучения [НаШеу, 2000], а в некоторой области поперечного сечения вблизи границы используется процедура "комплексного скейлинга", т.е. начиная с некоторого расстояния от оси Хь вводится комплексная поперечная координата - некоторый коэффициент. Нелинейная часть диэлектрической проницаемости вводится в квазилинейную конечно-разностную схему посредством итераций, так что в качестве нулевого приближения используется значение \А\г с предыдущего слоя. Для численного решения полученной системы уравнений с трехдиагональной матрицей используется метод прогонки [Тихонов и Самарский, 1972]. Начальное пространственно-временное распределение поля задается в виде импульса с гауссовой огибающей и поперечным профилем линейной моды волновода.

Вначале исследуются особенности пространственно-временнбй динамики лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления в квазистатическом приближении. Распространение нестационарного лазерного пучка в нелинейном волноводе начинается с эффекта самофокусировки, сопровождающегося компрессией импульса. В области пространственно-неустановившегося режима ширина пучка периодически меняется вдоль оси волновода, как и длительность его временного распределения. После излучения части поля из сердцевины мощность пространственно-временного распределения

Рис.5. Пространственно-временное распределение нормированной интенсивности лазерного импульса: начального (а), на расстоянии z = 1 мм от торца нелинейного планарного волновода (Ь), П21о~2* 10"'; а=3мкм, У—2.1.

Рис.6.

(a) Нормированная среднеквадратичная длительность импульса в зависимости от области усреднения интенсивности (-Х^Х/,) в поперечном сечении планарного нелинейного волновода на различных расстояниях от торца; я2/„=8х Ю"4; а=Ъмкм\У=2.

(b) Зависимость относительного изменения длительности импульса Дт=(т-т0)/то на оси от параметра п^о на расстоянии 2=4мм от торца нелинейного волновода. то=30фс; значения кг представлены в фс/мкм;. Штриховая линия соответствует квазистатической самофокусировке; а=Ъ.0мкм', У=2.

пучка не меняется при распространении, а при достаточно большой мощности пучка в оболочке волновода формируется импульс, который образован латеральной частью полного поля (Рис.5). Поскольку длительность импульса в нелинейном волноводе зависит от поперечной координаты, результаты измерения его среднеквадратичной длительности т в среднем по некоторой области поперечного сечения волновода зависят от размеров этой области (Рис.6а).

Далее в данной главе рассматриваются эффекты волновой нестационарности, а именно, зависимость групповой скорости от интенсивности волны (эффект самоукручения, и инерционность нелинейного отклика среды

Анализируется их роль в пространственно - временной динамике лазерного пучка в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в области нулевой дисперсии.

Распространение спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде моделируется без учета эффектов волновой нестационарности. Это позволяет оценить совместное действие эффектов дисперсии групповой скорости второго порядка и излучения мощности из волноводной области в пространственно-временной динамике лазерного пучка в волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления. Для сравнения рассматриваются волноводы с бесконечным параболическим профилем. Для такого волновода с помощью модифицированного обобщенного метода моментов получена система дифференциальных уравнений, позволяющая качественного исследовать динамику пространственных и временных параметров пучка, и определены условия, при которых эта система имеет стационарное решение. Если эти условия не выполняются, параметры пучка осциллируют при его распространении.

Затем моделируется распространение спектрально-ограниченного импульса в волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления и проводится детальный анализ взаимного влияния эффектов самофокусировки и дисперсии групповой скорости. Показано, что аномальная дисперсия групповой скорости (к2<0) усиливает, а нормальная (к2>0) - ослабляет эффект уменьшения длительности временного распределения нестационарного лазерного пучка вследствие его самофокусировки (Рис.бЬ).

Делается вывод о том, что изменение временного распределения поля пучка вследствие эффектов волновой нестационарности или эффекта дисперсии групповой скорости изменяет профиль пучка в нелинейном волноводе и нарушает баланс между дифракционным уширением и нелинейной рефракцией, так что часть поля постоянно вытекает из сердцевины при распространении пучка. Это, в свою очередь, создает дополнительную нелинейную фазовую модуляцию импульса и нарушает баланс между фазовой самомодуляцией и дисперсионным уширением, препятствуя формированию временного солитона. Таким образом, вытекание части мощности из волноводной области в виде поля излучения препятствует формированию стационарного пространственно-временного распределения лазерного пучка (пространственно-временного солитона).

Глава 5. Ограничение мощности лазерного излучения в волноводах с периодически распределенной керровской нелинейностью

В данной главе исследуется возможность использования эффекта дифракции лазерных пучков на неоднородностях в нелинейных диэлектрических волноводах для ограничения мощности лазерного излучения.

Рассматривается двумерная периодическая структура, состоящая из последовательно соединенных линейных и нелинейных волноводных сегментов (Рис.7). В такой структуре, в отличие от одномерной [Pelinovsky и др., 2002], потери энергии возникают не только вследствие брэгговских отражений мощной световой волны на границах линейных и нелинейных сегментов, но и в результате

Рис.7. Нелинейная решетка в диэлектрическом волноводе

самофокусировки пучка в нелинейных сегментах и излучения части его мощности в области пространственно-неустановившегося режима. Если не принимать во внимание отраженное поле, то такая структура с периодически распределенной керровской нелинейностью представляет собой, по сути, цепочку двуступенчатых переходов, каждый из которых состоит из последовательно соединенных линейного, нелинейного и линейного волноводов.

Вначале в данной главе исследуется пространственное преобразование стационарного лазерного пучка при его распространении через двуступенчатый переход, в котором оба линейных сегмента имеют одинаковую толщину сердцевины, а толщина сердцевины нелинейного сегмента может быть произвольной (структура N2, Рис.1). Пропускание такого двуступенчатого перехода зависит от длины нелинейного сегмента и имеет минимальное значение при его длине порядка дифракционной, но при этом всегда меньше линейного. Поэтому при распространении спектрально-ограниченного лазерного импульса через такую неоднородность происходит его эффективное уширение, сопровождающееся потерями мощности.

Далее в данной главе моделируется распространение как стационарного, так и нестационарного лазерного пучка в нелинейной волноводной решетке, показанной на Рис.7, и демонстрируется действие такой структуры как оптического ограничителя мощности (Рис.8).

Рис.8. Ограничение мощности лазерного излучения в нелинейной решетке в волноводе с круглым поперечным сечением; N - число периодов решетки; 0=80 ММ.

N = 40

Nto=1.47, п,= 1.467. а/Х=2

0,5

1,5

1,0

900

100

0

2

4

6

8 п21о*10

.4

Показано, что нелинейная решетка в диэлектрическом волноводе может быть использована не только для ограничения мощности лазерного импульса, но и для преобразования его формы и длительности. В результате распространения через такую структуру вершина импульса становится более плоской, в результате чего его среднеквадратичная длительность увеличивается. При достаточно большом числе нелинейных сегментов такая структура действует как стабилизирующее устройство не только в отношении мощности импульса, но также и в отношении его формы и длительности.

Таким образом, установлено, что эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов волноводной решетки может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения. При достаточно большом числе сегментов пространственно-временное распределение лазерного пучка на выходе структуры является стабильным по отношению к изменениям мощности пучка в пределах динамического диапазона ограничителя мощности.

Представленные результаты получены в квазистатическом приближении. Следует ожидать, что форма и длительность сверхкороткого импульса несколько изменяются вследствие эффектов волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости, роль которых в пространствено-временной динамике импульса исследована в главе 4. Однако, наличие линейных сегментов ослабляет действие этих эффектов.

Совместное действие эффектов дифракции и резонансных отражений излучения на границах сегментов нелинейной решетки исследуется с помощью приближенного численного метода [Yamauchi et all, 2000]. Если длина сегментов сравнима со средней длиной волны лазерного импульса, действие нелинейной решетки как ограничителя мощности определяется эффектом резонансных отражений, а эффект вытекания поля излучения влияет лишь на глубину брэгговских резонансов. Если длина нелинейных сегментов сравнима с дифракционной длиной, "работает" эффект вытекания поля излучения. Этот эффект обеспечивает ограничение мощности в широкой полосе частот, поэтому подходит для ограничения мощности сверхкоротких лазерных импульсов. Однако, в связи с тем, что керровская

константа оптических стекол мала, порог ограничения мощности в таком ограничителе сравнительно высок: мощность импульса в пике ~ ГВт/см1 в кварцевых волноводах и ~ МВт/см1 в халькогенидных волноводах. Динамический диапазон ограничителя мощности на основе оптических стекол, соответственно, невелик, поскольку уже при пиковых интенсивностях фемтосекундных импульсов свыше ШГВт/см2 происходит разрушение материала волновода. Динамический диапазон такого устройства можно несколько увеличить, уменьшая порог ограничения путем изменения характеристической частоты волновода, длины сегментов и их числа.

Глава 6. Нелинейные волноводы с резкими неоднородностями как внутрирезонаторные элементы для керровской синхронизации мод в волоконных лазерах

В данной главе исследуется возможность использования нелинейных диэлектрических волноводов с неоднородностями, действие которых эквивалентно действию насыщающегося поглотителя, в качестве внутрирезонаторных элементов волоконного кольцевого лазера с пассивной синхронизацией мод.

Пассивная синхронизация мод в твердотельных и волоконных лазерах используется для генерации сверхкоротких импульсов, длительность которых может быть порядка нескольких десятков фемтосекунд и менее. В первых схемах с пассивной синхронизацией мод в качестве внутрирезонаторного элемента применялся собственно насыщающийся поглотитель - элемент, в котором лазерный пучок большей интенсивности испытывает меньшие потери за счет насыщения поглощения при резонансном возбуждении верхнего уровня.

В настоящее время для керровской синхронизации мод в твердотельных лазерах применяется диафрагмирование лазерного пучка, а в волоконных импульсных лазерах с аддитивной синхронизацией мод используется эффект вращения эллипса поляризации в керровской среде. В данной диссертационной работе для керровской синхронизации мод в импульсном волоконном лазере предлагается использовать эффект дифракции лазерного пучка на неоднородности в нелинейном диэлектрическом волноводе. Рассматриваются два вида структур - ступенчатый и двуступенчатый переход. Для ступенчатого перехода использованы результаты оценок нелинейного пропускания, полученные в главе 3. Дополнительно исследованы характеристики двуступенчатого перехода в нелинейном волноводе (структура В, Рис.1) и показано, что при некоторых параметрах нелинейное пропускание такой структуры больше линейного.

Баланс между различными эффектами, приводящими к амплитудной и фазовой модуляции излучения в резонаторе, определяется следующим уравнением для амплитуды импульса а [Haus, Fujimoto, Ippen, 1992]:

-il//-(l+ix) + g

1+ , , nidl

dt

a = 0.

(4)

где iff - сдвиг фазы, / - линейное пропускание, g - усиление за один проход резонатора; х - сдвиг фазы в среде резонатора; Dg — ширина полосы усиления; D -коэффициент дисперсии групповой скорости; - нелинейная амплитудная

модуляция и нелинейная фазовая модуляция, соответственно. Эффективность действия внутрирезонаторного элемента для синхронизации мод определяется соотношением нелинейной амплитудной модуляции, фазовой модуляции и линейных потерь за один проход данного элемента.

В данной работе для оценки эффективности действия рассматриваемых волноводных структур как внутрирезонаторных элементов волоконных лазеров рассчитывается коэффициент амплитудной модуляции (относительное изменение пропускания):

у\а\}/1 = (Т-Т^/Т,. (5)

где Г - нелинейное пропускание, Г/ - линейное пропускание рассматриваемого устройства; коэффициент компрессии импульса (относительное изменение его среднеквадратичной длительности):

Ат=(х-то)/то, (6)

где То — длительность начального импульса, г - длительность импульса на выходе устройства; а также параметр

в котором коэффициент фазовой самомодуляции (<У| о |2),у определяется на единице дифракционной длины. Этот параметр введен по аналогии с параметром Л/ в [Haus, Fujimoto, Ippen, 1992].

Показано, что действие, эквивалентное действию насыщающегося поглотителя, реализуется:

- в ступенчатом переходе нелинейного волновода с уменьшением радиуса сердцевины;

- в двуступенчатом переходе нелинейного волновода при условии, что радиус сердцевины среднего сегмента значительно больше радиуса сердцевины первого и третьего волноводов перехода (в зависимости от параметров).

Такие устройства могут быть использованы как внутрирезонаторные элементы в схемах импульсных волоконных лазеров с керровской синхронизацией мод.

Нелинейная неоднородность в виде резкого перехода в диэлектрическом волноводе является устройством, стабильным по отношению к механическим и термическим воздействиям, конфигурация которого определяет характер его действия. Существенно, что коэффициент амплитудной модуляции поля в среднем по области сердцевины в ступенчатом переходе на порядок превышает соответствующий коэффициент для используемых в настоящее время внутрирезонаторных устройств. Это позволяет повысить, соответственно, на порядок отношение амплитудной самомодуляции к фазовой и, таким образом, обеспечить бо'льшую стабильность режима синхронизации мод в волоконном лазере.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что макроскопические неоднородности в нелинейном диэлектрическом волноводе могут быть использованы как стабильные внутрирезонаторные элементы кольцевых волоконных лазеров, осуществляющие функцию насыщающегося поглотителя и

(7)

позволяющие разрабатывать схемы волоконных лазеров с керровской, а не аддитивной, синхронизацией мод.

С другой стороны, очевидно, некоторые конфигурации неоднородностей могут препятствовать выходу лазера в режим синхронизации мод, поскольку создают отрицательную амплитудную модуляцию светового пучка. В соответствии с полученными результатами, к таким неоднородностям относятся сужения- в волноводном контуре, а также и утолщения при некоторых значениях параметров, и сегменты с различными нелинейными свойствами.

В Приложение вынесено краткое описание модифицированного обобщенного метода моментов [Дербов, Мельников, Новиков, 1987].

Публикации. В целом, диссертация представляет собой обобщение результатов 39 опубликованных работ, из них 15 статей в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 14 статей в международных сборниках.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исследована применимость традиционного для нелинейной оптики теоретического подхода, основанного на сведении исходной краевой задачи к решению нелинейного волнового уравнения параболического типа, в задачах распространения световых пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями. Проведено сравнение параксиальной и непараксиальной моделей распространения светового пучка через ступенчатый переход в диэлектрическом волноводе. Показано, что в параксиальной модели не учитывается высокочастотная интерференция направляемой моды и поля излучения.

2. Исследована пространственная динамика стационарного лазерного пучка при возбуждении нелинейного волновода его линейной модой. Установлено, что в нелинейном волноводе в результате самовоздействия пучка и ихтучения части мощности из сердцевины в оболочку формируется латеральная часть полного поля, причем, пучок периодически осциллирует при распространении. При возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления мощным нестационарным лазерным пучком в оболочке этого волновода формируется импульс, образованный латеральной частью полного поля. Длительность импульса в оболочке значительно меньше, чем в сердцевине.

3. Исследована пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями. Показано, что изменение временного распределения нестационарного лазерного пучка вследствие эффектов волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости приводит к изменению поперечного профиля пучка и излучению части поля из сердцевины волновода. Этот эффект препятствует формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым-профилем показателя преломления.

4. Определены закономерности пространственной и пространственно-временной динамики лазерных пучков при их распространении через нелинейные

неоднородности планарных и цилиндрических диэлектрических волноводов. Результаты измерения пропускания неоднородности в нелинейном волноводе и длительности импульса, прошедшего через такую неоднородность, зависят от области усреднения интенсивности в поперечном сечении волновода. Длительность импульса в среднем по площади сердцевины уменьшается или увеличивается в ступенчатом переходе, соответственно, с уменьшением или увеличением диаметра (толщины).

5. Показано, что эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов решетки с периодически распределенной керровской нелинейностью в диэлектрическом волноводе может быть использован для ограничения мощности, а также для преобразования формы и длительности сверхкоротких лазерных импульсов. Исследовано пропускание такой нелинейной решетки в зависимости от длины сегментов, толщины волновода и длины волны лазерного излучения.

6. Проведен сравнительный анализ внутрирезонаторных устройств, используемых в схемах импульсных твердотельных и кольцевых волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод. Показано, что резкие неоднородности в нелинейных диэлектрических волноводах могут быть использованы в качестве стабильных внутрирезонаторных элементов для керровской синхронизации мод в кольцевых волоконных лазерах.

7. Исследовано поведение дисперсионных кривых мод НЕ|П диэлектрического волновода с круглым поперечным сечением на листах римановой поверхности функции Макдональда. Показано, что на любом листе с конечным номером ниже критической частоты нет непрерывного продолжения дисперсионных кривых направляемых мод волновода без потерь. Вместе с тем, при любом значении частоты ниже критической имеются решения характеристического уравнения, соответствующие вытекающим модам. Однако, эти решения соответствуют дисперсионным кривым, которые не имеют непрерывного продолжения в области направляемых мод. Рассчитаны компоненты вектора Пойнтинга и каустики мод в волноводе с поглощением в оболочке и уточнено понятие отсечки для такого волновода. Проведены оценки применимости скалярного приближения в теории слабонаправляющих цилиндрических волноводов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Melnikov L.A., Romanova E A. Behavior of HE|m- mode wavenumbers of optical fiber below the cutoff frequency // Opt.Communications. - 1995. - Vol 116 - P.358-364.

2. Melnikov LA., Romanova E A. Transformation of HE|m guided mode into the leaky one in absorbing optical fiber // Opt.Communications. - 1997. - Vol. 141. - P. 10-16.

3. Romanova E.A., Melnikov LA., Bekker E.V. The scattering of the total field from the slow-tapered and step-like discontinuities of dielectric waveguides // Microwave and Opt. Technol. Lett. -2000.- Vol.25.- №1.-P 27-33.

4. Romanova EA. Failure of the scalar approximation near cutoff frequency of a step-index fibre mode // Proc.of: 3-rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)'2001, June 2001, Cracow, Poland, P.32-35.

5. Romanova EA. Vector properties of fibre modes near the cutoff frequency // Proc.of: 9-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (0WTNM)'2001, April 2001, Paderborn, Germany, P.36.

6. Romanova E.A., Feasibility of the scalar approximation to treat total field propagation in dielectric guiding structures // Proc.of: Int. Workshop on Advanced Electromagnetics, July 2001, Tokyo, Japan, P. 19.

7. Romanova E.A. Scalar approximation feasibility analysis near the cutoff frequency of HEin fibre mode with account of material losses // Opt.Commun. - 2002. - Vol.208. - P.91-96.

8. Романова ЕА, Мельников Л.А., Романов СВ. Влияние мод оболочки на пространственные и поляризационные характеристики поля на выходе одномодового световода. I. Пространственные эффекты // Оптика и спектр. - 1996. - Т.81. - №3. - С.490-496.

9. Романова Е.А., Мельников Л.А. Влияние мод оболочки на пространственные и поляризационные характеристики поля на выходе одномодового световода. II. Поляризационные эффекты // Оптика и спектр. — 1997. - Т.82. - №2. - С.364-372.

10. Romanova E.A., Bekker E.V., Marciniak M. Methods for description of the total field propagation in the irregular dielectric waveguides // Journ. of Telecommunications and Information Technol. - 2001. - №2. - P.64-71.

11. Romanova EA, Becker E.V., Marciniak M. Modeling of light scattering from waveguide irregularities by Beam Propagation methods // Proc.of: International Workshop on Direct and Inverse Wave Scattering, October 2000, Gebze, Turkey, P. 6.29-6.36.

12. Romanova EA, Bekker E.V., Marciniak M., Melnikov LA Comparative analysis of some numerical techniques for modeling of spatial transient regimes in irregular planar structures, Conference Proceedings // Proc.of: Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2000, Sept. 2000, Kharkov, Ukraine, P.403-405.

13. Romanova EA, Bekker E.V., Marciniak M. Modelling of radiation field scattering from irregularities of a dielectric slab by beam propagation method // Proc.of: 9-th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (0WTNM)'2001, April 2001, Paderborn, Germany, P.28.

14. Romanova EA, Bekker E.V., Marciniak M. Propagation of the radiation field excited on discontinuities of optical waveguides // Opt. and Quantum. Electron. - 2002. - Vol.34. - P.607-619.

15. Romanova E.A., Gaal S.B. Modelling of radiation field excited on sharp waveguide discontinuities by numerical and semi-analytical methods // Proc.of: Int. Conf. on Mathematical methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2002, Sept. 2002, Kiev, Ukraine, P.239-241.

16. Romanova E.A., Gaal S.B. Feasibility of the slowly varying envelope approximation in simulations of light scattering on step-like discontinuities of optical waveguides // Proc.of: I I-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (OWTNM)'2003, Apr. 2003, Prague, Checz. Republic, P. 132.

17. Romanova EA, Gaal S.B. Modelling of light propagation through step-like discontinuities of in slab dielectric waveguides // Microwave and Opt. Technol.Lett. - 2004. - Vol.41. - №2.-P.108-114.

18. Bekker E.V., Romanova EA, Melnikov LA. Total field transformation in irregular optical fibers // SPIE. Light Scattering Technologies for Mechanics, Biomcdicine and Material Science. -1999.-3726.-P.255-259.

19. Romanova E.A., Melnikov LA., Bekker E.V. Numerical analysis of total field propagation in linear and nonlinear single-mode tapered fibers // Proc.of: Int. Conf. of on Transparent Optical Networks (ICTON)'1999, June 1999, Kielce Poland, 161-165.

20. Romanova E.A., Melnikov L.A., Bekker E.V. Light propagation in optical anti-guiding structures with Kerr-like non-linearity // Proc. of: Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)' 1999, June 1999, Kielce, Poland, 251-255.

21. Bekker E.V, Romanova E.A., Melnikov L.A. Conversion of LPo2-mode into LP0i-mode in optical fibers with Kerr-like nonlinearity // Procof: Int. Conf. on Transparent Optical Networks, June 2000, Gdansk, Poland, P.69-73.

22. Romanova EA, Bekker E.V., Sewell P., Benson T.M. Fiber mode behavior near the cutoff frequency: dispersion characteristics, modeling and applications // Proc.of: Int. Conf. on Mathematical Methods "in Electromagnetic Theory (MMET)'2000, Kharkov, Ukraine.Vol.l, P.27-29.

23. Беккер Э.В., Романова ЕА., Мельников Л.А. Применение метода ортогональных коллокаций для исследования распространения поля в неадиабатических одномодовых фоконах с Керровской нелинейностью // Тезисы докладов Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-99», 1999, Петербург, Россия. С. 79.

24. Romanova E.A., Melnikov LA, Bekker E.V. Nonlinear transmittance of irregular fiber structures near the cutoff cross-section of the HE|2 fiber mode // Proc.of: Int. Conf. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS)'2000, June 2000, Cambridge, MA, USA. P.243.

25. Мельников Л.А., Романова ЕА, Беккер Э.В. Нелинейное пропускание одномодового световода с резким изменением диаметра сердцевины // Оптика и спектр. - 2001. - Т.89. №5.-С.826-831.

26. Romanova E.A., Melnikov L.A., Bekker E.V. Light guiding in optical fibers with Kerr-like nonlinearity // Microwave and Opt. Technol. Lett. - 2001. - Vol.30. - №3. - P.212-216.

27. Romanova E.A., Benson Т., Sewell P. Mode propagation along the mulnlayered optical fibre with Kerr-like non-linearity // In: Nonlinear Optics for the Information Society, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001, P. 139-144.

28. Becker E.V., Romanova E.A., Melnikov LA Fast Kerr-like nonlinearity effect on the pulse propagation in passive and active optical fibers with different longitudinal and transverse refractive index shapes // Proc.of: 13th Annual meeting of the LEOS, Oct. 2000, Vol. 2, P.519-520.

29. Bekker E.V., Romanova E.A., Melnikov L.A. Spatial and temporal effects of the high intensity pulse propagation in irregular waveguides // Proc.of: 9-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (0WTNM)'2001, April 2001, Paderborn, Germany, P.48.

30. Romanova E.A., Melnikov LA, Benson T.M., Sewell P. Modelling of ultra-short pulse propagation through non-linear discontinuities of optical waveguides // Proc.of: 10-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Modelling (OWTNM)'2002, Apr. 2002, Nottingham, UK, P.52.

31. Romanova E.A., Melnikov LA Non-stationary self-focusing of modal fields in guiding structures with sharp discontinuities // Proc.of: 4-th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICT0N)'2002, Apr. 2002, Warsaw, Poland, P.171-174.

32. Romanova E.A., Melnikov LA, Bekker E.V., Benson T.M., Sewell P. Ultra-short pulse propagation in waveguides with spatially-distributed Kerr-like non-linearity // Proc.of: Int. Quantum Electronic Conference (IQEC)'2OO2, June 2002, Moscow, Russia, P.396.

33. Романова Е.А.. Мельников Л.А. Распространение оптического импульса в нерегулярном волноводе с пространственно-распределенной керровской нелинейностью // Оптика и спектр. - 2003. - Т.95. - №2. - С.286-293.

34. Romanova EA, Melnikov LA. Detailed analysis of spatiotemporal stability ofthe ultra-short optical pulses propagating in non-linear step-index optical waveguides // Proc.of: 11 European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2003, Apr. 2003, Prague, Checz.Rep., P.323-326.

35. Романова Е.А., Мельников Л. А. Пространственно-временная динамика фемтосекундных импульсов в нелинейных оптических волноводах с дисперсией материала // Оптика и спектр. - 2004. - Т.96. - №1. - С. 100-106.

36. Romanova E.A., Benson Т., Sewell P. All-optical limiting/switching based on self-focusing effect in non-linear periodic fibres // Proc.of: 10-th European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2001, April 2001, Paderborn, Germany, P.433-436.

37. Bekker E.V., Benson T.M., Sewell P., Romanova E.A., Melnikov L.A. Pulse power limiting in a waveguide with nonlinear Bragg grating // 3-rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)'2001, June 2001,Cracow, Poland, P.51-54.

38. Bekker E.V., Romanova EA, Melnikov LA., Benson T.M., Sewell P. АП-optica! power limiting in waveguides with periodically distributed Kerr-like nonlineaity // Applied Physics B. -2001.-Vol.73.-P.531-534.

39. Romanova E.A., Bekker E.V., Melnikov L.A. Fibres with sharp discontinuities as intracavity mode-locking devices for ultra-short fibre ring lasers // Proc.of: 5-th Int. Workshop on Laser and Fibre-Optical Networks Modelling, Sept 2003, Alushta, Ukraine, P.290-292.

^ О 4 3

Автореферат

РомановаЕленаАнатольевна

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Подписано в печать 06.05.2004 г. Формат 60 х 84/16. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 72

Типография Издательства Саратовского университета, 410012, г.Саратов, ул. Астраханская, 83.

СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Некоторые свойства спектра собственных и квазисобственных волн регулярных диэлектрических волноводов.

1.1. Представление спектральных точек мод НЕ]п на римановой поверхности функции Макдональда и особенности их поведения вблизи критической частоты.

1.2. Особенности поведения дисперсионных кривых мод HEi2 на листах римановой поверхности функции Макдональда.

1.3. Особенности переноса энергии собственными и квазисобственными волнами.

1.4. Анализ применимости скалярного приближения для собственных и квазисобственных волн слабонаправляющего волновода с учетом материальных потерь.

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается значительный интерес к разработке и исследованию новых волноводных структур и материалов для оптоэлектроники. Такой интерес обусловлен, прежде всего, появлением источников мощного нестационарного лазерного излучения, которое может быть использовано в информационно-телекоммуникационных системах, устройствах для оптической обработан информации, а также в лазерных методах обработки материалов. В поле сверхкоротких лазерных импульсов наблюдаются различные нелинейные эффекты, которые сопровождаются сложной пространственно-временной динамикой излучения.

Вместе с тем, в последние годы возросла роль компьютерного моделирования, которое теперь является неотъемлемой частью промышленных разработок. Развитие методов моделирования становится таким же фактором прогресса в оптоэлектронике, как и развитие новых технологий . Цели данной работы направлены на то, чтобы заполнить имеющийся пробел в моделировании и исследовании сложных пространственно - временных явлений, возникающих в мощных нестационарных оптических полях. Таким образом, цели данной работы вытекают непосредственно из потребностей современной оптоэлектроники.

Диэлектрические (оптические) волноводы широко используются в настоящее время в информационных системах и оптоэлектронных приборах, включая оптические квантовые генераторы (лазеры). Основная специфика диэлектрических волноводов состоит в том, что они являются открытыми и, в отличие от закрытых металлических волноводов, могут излучать часть направляемой мощности в окружающее пространство в виде поля излучения. Исследование задач возбуждения и преобразования электромагнитного поля на макроскопических неоднородностях в открытых волноводах до сих пор не потеряло своей актуальности, несмотря на то, что многие вопросы теории таких волноводов активно разрабатывались в течение последних десятилетий [1]. Перечень критических технологий Российской Федерации до 2010г.

Поскольку электромагнитное излучение, распространяющееся в диэлектрическом волноводе, сконцентрировано в области с микронными размерами, его интенсивность может быть весьма высокой на большой длине, что позволяет наблюдать такие нелинейные эффекты, как генерация второй гармоники, рамановское рассеяние и генерация суперконтинуума, формирование и распространение оптических солитонов [2,3]. По лучение сверхсильных световых полей и их применение является одним из приоритетных направлений фундаментальных научных исследований.

Однако, вплоть до настоящего времени исследование дифракции света на нерегулярных волноводных структурах, с одной стороны, и исследование нелинейных эффектов в оптических волноводах, с другой, существовали как два независимых научных направления. Так, в настоящее время нет общего подхода к решению задач распространения света в нелинейной среде в рамках обобщенных методов вычислительной электродинамики, которые уже давно используются в теории открытых волноводов для исследования дифракции электромагнитного излучения на неоднородностях. Вместе с тем, в достаточной степени развиты методы нелинейной оптики, и в частности, методы теории солитонов, основанной на формализме нелинейного уравнения Шредингера. В рамках этой теории пространственные и временные самовоздействия рассматриваются, в основном, отдельно, как задачи распространения пространственных и временных солитонов.

Между тем, в последнее время заметно возрос интерес к исследованию пространственно-временных эффектов в нелинейных волноводах, что, в первую очередь, обусловлено появлением источников мощных фемтосекундных импульсов. Развитие фемтосекундной оптики, создание физических основ нелинейно-волновых технологий являются одними из основных пунктов целевой программы развития российской науки и техники*.

Поскольку в кварцевых стеклах значение керровской постоянной П2~Ю~16см2/Вт, нелинейная добавка к показателю преломления при интенсивности в пике импульса

2 5 до 100 ГВт/см может достигать значений ~10" (в халькогенидных стеклах п2~\0~]Лсм2/Вт., а нелинейная добавка, соответственно, ~10"3). Экспериментально было т Федеральная целевая научно-техническая программа "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006гг. показано [4], что самофокусировка мощных фемто секундных импульсов в однородном блоке плавленого кварца приводит к их заметным пространственно-временным изменениям. Теоретическое исследование таких эффектов основывается на решении нелинейного волнового уравнения параболического типа с учетом производных по пространственным координатам. Такое уравнение не относится к классу интегрируемых, и для его решения используются численные методы [5,6].

Для оптических волноводов подобные теоретические исследования прежде не проводились, поскольку предполагалось, что при предельных пиковых мощностях пикосекундных импульсов -МВт/см2 в волноводе поперечный профиль пучка не зависит от интенсивности, в связи с чем нелинейную фазовую самомодуляцию импульсов и их дифракцию можно рассматривать отдельно [2]. В случае мощных фемтосекундных импульсов такое предположение не является достаточно обоснованным и требует соответствующих исследований пространственно-временнной динамики нестационарного лазерного пучка.

Нелинейные эффекты наиболее сильно проявляются в устройствах с кольцевым волноводным контуром - волоконных интерферометрах и волоконных лазерах. В таких устройствах эффекты самовоздействия накапливаются в результате многократного распространения излучения через нелинейные элементы.

В кольцевых волоконных лазерах с пассивной синхронизацией мод используется эффект вращения эллипса поляризации в волноводе с керровской нелинейностью [7]. Такие лазеры способны генерировать импульсы с пиковой мощностью выше 1 кВт и длительностью ~ 70фс и являются перспективными, надежными, дешевыми и компактными источниками сверхкоротких импульсов. Наличие поляризационно-чувствительных элементов несколько усложняет изготовление таких лазеров и может приводить к поляризационным шумам генерируемого излучения. В связи с этим актуальной является разработка других внутрирезонаторных элементов. Для этого, в частности, можно воспользоваться идеей жесткого диафрагмирования, используемого в схемах твердотельных импульсных лазеров с керровской синхронизацией мод, и исследовать возможность использования нелинейных неоднородностей как внутрирезонаторных элементов, осуществляющих функцию жесткого диафрагмирования в контуре волоконного лазера.

Одной из проблем, возникающих при распространении мощного лазерного излучения, является, необходимость ограничения его мощности в информационных сетях и оптических датчиках. Среди различных устройств, используемых или разрабатываемых в настоящее время для ограничения мощности лазерного излучения, можно выделить так называемые нелинейные решетки, состоящие из слоев с периодически изменяющимся в направлении распространения излучения коэффициентом керровской нелинейности и с постоянным линейным показателем преломления. В настоящее время разработана только одномерная модель таких структур [8]. Между тем, нелинейные решетки являются перспективными элементами волоконной и интегральной оптики, в связи с чем возникает необходимость разработки модели нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе.

Таким образом, при растущей потребности в более совершенных приборах волоконной и интегральной оптики, а также появлении новых технологических возможностей, в настоящее время еще не сформирован общий подход, в рамках которого можно было бы моделировать и исследовать пространственно-временные эффекты, возникающие при распространении лазерных пучков в нелинейных волноводных структурах. Формирование такого подхода, разработка моделей распространения и исследование новых явлений, обусловленных спецификой оптических волноводов, является актуальной и одной из важнейших проблем современной лазерной физики и других направлений оптоэлектроники.

Объектами исследования в диссертации являются физические явления пространственно-временного преобразования стационарных (гармонических во времени) и нестационарных лазерных пучков в одномодовых диэлектрических волноводных структурах со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления, показанных на Рис.В1. К таким структурам относятся двумерные макроскопические неоднородности в планарных волноводах и в волноводах круглого поперечного сечения, а именно: резкие неоднородности, когда параметры волновода изменяются скачком - ступенчатый переход (структура А) и двуступенчатый переход (структуры В и С); плавные неоднородности (конусный переход, структура D). в с

N1

П2'

N2

Рис.В1

Макроскопические неоднородности в диэлектрических волноводах. щ1'2- линейный показатель преломления; П21'2 - керровская постоянная.

Эти структуры являются основными элементами более сложных оптоэлектронных устройств: волноводных решеток, разветвителей, устройств для ввода излучения, диэлектрических резонаторов и т.д. В структурах (A-D) исследуется эффект керровской нелинейности (нелинейность третьего порядка). Волноводы с пространственно-распределенной керровской нелинейностью (структуры N1 и N2) представляют собой новый класс перспективных структур оптоэлектроники, в которых керровская постоянная имеет различное значение в разных волноводных сегментах.

Метод исследования. Для исследования рассматриваемых волноводных структур с керровской нелинейностью используется подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа. Для численного решения двумерного стационарного (2D) или нестационарного (2D+T) нелинейного волнового уравнения применяется метод конечных разностей [9]. Сравнение с диэлектрическими структурами, в которых не возбуждается поле излучения (волноводы с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления) используется для интерпретации и объяснения явлений, обусловленных эффектом вытекания поля излучения. Для таких структур с помощью модифицированного обобщенного метода моментов [10] выводятся приближенные аналитические решения нелинейного волнового уравнения.

Цели и задачи работы:

1. Выбор подхода к исследованию и моделированию пространственно-временной динамики лазерных пучков в рассматриваемых нелинейных структурах на основе анализа математических методов, используемых в задачах распространения стационарных световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, с одной стороны, и в задачах распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью, с другой стороны.

2. Исследование особенностей спектральных задач и задач возбуждения в теории открытых волноводов, и на этом основании оценка применимости некоторых приближений, используемых в теоретическом подходе, основанном на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа.

3. Исследование пространственной динамики стационарных лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью.

4. Разработка модели распространения сверхкоротких лазерных импульсов в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью и исследование их пространственно-временной динамики.

5. Исследование возможности практического применения эффекта пространственного и пространственно-временного преобразования лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью в целях совершенствования и разработки оптоэлектронных приборов, и в частности, импульсных волоконных лазеров, а также оптических ограничителей мощности.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Впервые теоретически исследована пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления. Ранее пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов исследовалась только для случая однородной нелинейной среды [4]. Впервые показано, что в результате возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком в оболочке формируется импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины. Впервые показано, что эффекты волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствуют формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления.

2. Впервые детально исследованы особенности формирования полей лазерных пучков при возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления его линейной модой. До этого так называемые "нелинейные моды" рассматривались как решения нелинейного уравнения Гельмгольца в поперечной плоскости такого волновода [11].

3. Впервые определены закономерности пространственного преобразования полей стационарных лазерных пучков на резких неоднородностях нелинейных диэлектрических волноводов со ступенчатым профилем показателя преломления как планарной, так и цилиндрической геометрии.

4. Впервые показано, что эффект дифракции лазерного пучка на неоднородностях нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности лазерного импульса. До этого нелинейные решетки рассматривались как одномерные брэгговские отражатели [8]. Проведено моделирование распространения стационарных и нестационарных лазерных пучков в нелинейных решетках в планарном и цилиндрическом волноводах, исследованы их характеристики.

5. Впервые установлено, что резкие нелинейные неоднородности определенной конфигурации в диэлектрическом волноводе могут быть использованы как внутрирезонаторные элементы кольцевых волоконных лазеров с синхронизацией мод. Установлено, что неоднородности другой конфигурации в волноводном контуре могут препятствовать выходу лазера в режим синхронизации мод.

6. Впервые детально исследованы дисперсионные характеристики высших мод НЕ1п цилиндрического диэлектрического волновода со ступенчатым профилем показателя преломления и круглым поперечным сечением ниже критической частоты с учетом материальных потерь. Для этих мод проведены оценки применимости скалярного приближения, используемого в теории слабонаправляющих волноводов, и рассчитаны точные значения поляризационных поправок для моды НЕ12. До этого поляризационные поправки были получены методом возмущений лишь для направляемых HEin мод волновода без потерь [1].

7. В результате анализа поведения дисперсионных кривых впервые показано, что известный в теории открытых волноводов результат [1,12,13], согласно которому характеристическое уравнение для HEin волновода без потерь не имеет численных решений в некоторой области частот ниже критической, является артефактом, поскольку в работе [1] в итерационном численном методе решения характеристического уравнения было использовано начальное приближение, неадекватное характеру поведения дисперсионных кривых ниже критической частоты.

8. Впервые в задаче распространения стационарного светового пучка в линейном диэлектрическом волноводе с резкими неоднородностями проведен анализ применимости параксиальной модели, основанной на приближении медленно меняющейся амплитуды полного поля.

9. Проведен систематический анализ математических методов, используемых в настоящее время для моделирования распространения стационарных (гармонических во времени) световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, а также методов моделирования распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью. Обзоры такого плана в настоящее время имеются только в работах соискателя.

Практическая значимость результатов работы. Результаты диссертационной работы показывают, что при определенных условиях взаимное влияние пространственных и временных эффектов самовоздействия лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями является существенным и должно быть учтено в соответствующих моделях при разработке устройств интегральной и волоконной оптики. Развитый автором подход к изучению пространственно-временных эффектов и модель распространения сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах с неоднородностями могут быть использованы для компьютерного моделирования и исследования структур сложной пространственной конфигурации, являющихся основными элементами таких устройств.

В работе показано, что специфический для диэлектрических волноводов эффект излучения части поля из сердцевины волновода при дифракции лазерных пучков на макроскопических неоднородностях нелинейных волноводов может быть использован для разработки новых методов сжатия сверхкоротких лазерных импульсов, ограничения мощности лазерного излучения, а также для синхронизации мод в импульсном волоконном лазере. Эти результаты могут быть полезны и при разработке принципиально новых устройств для оптической обработки информации, а также оптоэлектронных компонент лазерных технологических машин. Реализация таких методов и устройств требует развития соответствующих технологий и создания новых нелинейных материалов.

Представленные в диссертации оценки применимости некоторых приближений, используемых в методах нелинейной оптики, справедливы не только для рассматриваемого в данной работе класса структур, но и для других нелинейных диэлектрических структур сложной пространственной конфигурации.

Проводимые по теме диссертации исследования были частично поддержаны фондом CRDF, грант REC-006, английским обществом поддержки физических и инженерных наук EPSRC, Королевским обществом Великобритании и НАТО. Результаты работы были использованы при проведении ряда бюджетных НИР и целевых комплексных программ Гособразования СССР "Лазеры-2" и "Лазерные системы".

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается согласием результатов, полученных различными математическими методами; исследованием применимости используемых приближений; согласием с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими исследователями; совпадением результатов с предсказаниями более простых приближений, в тех случаях, когда такое сравнение возможно.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Приближение медленно меняющейся амплитуды, которое используется в традиционном для методов нелинейной оптики подходе, основанном на решении скалярного нелинейного волнового уравнения параболического типа, ограничивает применимость такого подхода в задачах распространения лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями. Это приближение дает значительную погрешность в расчете полного поля светового пучка в волноводе, если относительный вклад поля излучения, возбуждаемого на неоднородности, в полное поле соизмерим с вкладом поля направляемой моды.

Погрешность скалярного приближения, используемого в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов с круглым поперечным сечением, возрастает при моделировании структур с переходом моды через отсечку по мере приближения характеристической частоты волновода к частоте отсечки, а также при возрастании материальных потерь в оболочке волновода.

2. Характеристическое уравнение для НЕ1п мод диэлектрического волновода без потерь при любом значении характеристической частоты имеет решение, соответствующие направляемым или вытекающим модам.

3. В результате несогласованного возбуждения нелинейного волновода (например, его линейной модой) формируется латеральная часть полного поля, которая может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Взаимодействие латеральной и центральной части полного поля приводит к периодическим осцилляциям лазерного пучка вдоль оси волновода. Латеральная часть полного поля образована преимущественно полями вытекающих мод, расходимость которых уменьшается с ростом мощности пучка. В случае возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком латеральная часть полного поля в волноводе формирует импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины.

4. Вытекание поля излучения из сердцевины волновода вследствие изменения поперечного профиля нестационарного лазерного пучка при изменении его временного распределения под действием эффектов волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствует формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления.

5. Поскольку длительность импульса в нелинейном волноводе зависит от поперечной координаты, результаты измерения длительности в среднем по некоторой области поперечного сечения волновода зависят от размеров этой области. Длительность импульса, измеренная при усреднении интенсивности по площади сердцевины, соответственно, уменьшается или увеличивается в ступенчатом переходе с уменьшением или увеличением диаметра (толщины).

6. Эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов нелинейной волноводной решетки может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности сверхкоротких лазерных импульсов.

7. Нелинейные диэлектрические волноводы с резкими неоднородностями, нелинейное пропускание которых больше линейного, могут быть использованы в качестве внутрирезонаторных элементов для синхронизации мод в кольцевых волоконных лазерах. Такие элементы имеют не меньшую эффективность, чем другие известные в настоящее время внутрирезонаторные устройства, но в то же время позволяют разрабатывать новые конструктивные решения схем волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод.

Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, были представлены на следующих конференциях:

- International Conference Photonics West'96, January, 1996, San Jose, California, USA.

- International Conference Photonics West'97, January, 1997, San Jose, California, USA.

- International Conference Photonics West'98, January, 1998, San Jose, California, USA.

- Saratov Fall Meeting (SFM)'98 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October, 1998, Saratov, Russia.

- International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'1999, June 1999, Kelce, Poland.

- Saratov Fall Meeting (SFM)'99 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 1999, Saratov, Russia.

- Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика-99", октябрь 1999, Петербург, Россия.

- International Conference on EuroElectromagnetics (EUROEM)'2000, June 2000, Edinburgh, Scotland.

- International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2000, June 2000, Gdansk, Poland.

- First International Conference for Young Scientists on Laser Optics (LO-YS)'2000, June 2000, St-Petersburg, Russia.

- Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS)'2000, July 2000, Cambridge, Massachusetts, USA.

- International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2000, September 2000, Kharkov, Ukraine.

- 13th Annual Lasers and Electro Optics Society Meeting (LEOS)'2000, November 2000, Puerto-Rico, USA,

- Saratov Fall Meeting (SFM)'OO International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2000, Saratov, Russia.

- International Workshop on Direct and Inverse Wave Scattering, October 2000, Gebze, Turkey.

- Third Annual Meeting of the COST Action P2, October 2000, Enschede, the Netherlands.

- European Conference on Integrated Optics (ЕСЮ)'2001, April 2001, Paderborn, Germany.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2001, April 2001, Paderborn, Germany.

- International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2001, June 2001, Cracow, Poland.

- Asia-Pacific Radio Science Conference (AP-RASC)'2001, August 2001, Tokyo, Japan.

- International Workshop on Advanced Electromagnetics, July 2001, Tokyo, Japan.

- OS A Annual Meeting, October 2001, Long Beach, California, USA.

- 14th Annual Lasers and Electro Optics Society Meeting (LEOS)'2001, November 2001, San Diego, USA.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2002, April 2002, Nottingham, UK.

- International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2002, April 2002, Warsaw, Poland.

- International Quantum Electronics Conference (IQEC)'2002, June 2002, Moscow, Russia.

- International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2002, September 2002, Kiev, Ukraine.

- Saratov Fall Meeting (SFM)'2002 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2002, Saratov, Russia.

- European Conference on Integrated Optics (ЕСЮ)'2003, April 2003, Prague, Czech Republic.

- International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2003, April 2003, Prague, Czech Republic.

- European Quantum Electronics Conference (EQEC)'2003, June 2003, Munich, Germany.

- International Conference on Laser 0ptics'2003, June 2003, St-Petersburg, Russia.

- The XVIIth International Workshop High Energy Physics and Quantum Field Theory, September 2003, Samara-Saratov, Russia.

- International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (CAOL)'2003, September 2003, Alushta, Ukraine.

- Saratov Fall Meeting (SFM)'2003 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2003, Saratov, Russia.

Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах в Саратовском государственном университете, в университетах г.Ноттингем (Великобритания), г.Данди (Шотландия), в Варшавском Институте

Телекоммуникаций (Польша).

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в выборе направлений исследований, постановке задач, разработке алгоритмов и методов их решения, объяснении изучаемых явлений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения и списка литературы из 240 наименований. Общий объем диссертации - 287 страниц текста, иллюстрированного 79 рисунками. Нумерация рисунков и формул двойная: первая цифра означает номер главы, вторая - номер рисунка (формулы) в этой главе. В каждой главе имеется обзор литературы, введение в проблему, краткое изложение основных результатов и выводы.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: построена детальная картина поведения дисперсионных кривых мод НЕ1п волновода с круглым поперечным сечением на комплексной плоскости поперечного волнового числа в оболочке с учетом многолистности римановой поверхности функции Макдональда. Получены аналитические оценки решений характеристического уравнения вблизи отсечки с учетом поглощения в оболочке волновода, которые качественно согласуются с результатами, полученными путем численного решения характеристического уравнения. Уточнены (путем аналитических оценок и численно) некоторые особенности спектров мод HEin и сделан вывод о применимости скалярного приближения при решении задач распространения световых пучков в одномодовых нерегулярных волноводных структурах. Сделан вывод об отсутствии непрерывного продолжения дисперсионных кривых собственных волн волновода без потерь в область квазисобственных волн на листах римановой поверхности с кончным номером. Можно сказать, что в асимптотическом смысле такое продолжение находится на "бесконечном листе". В результате анализа поведения дисперсионных кривых показано, что известный в теории открытых волноводов результат, согласно которому характеристическое уравнение для НЕ1п волновода без потерь не имеет численных решений в некоторой области частот ниже критической, является артефактом. Проведено сравнение решений характеристического уравнения для гибридной моды НЕ12 и скалярной моды LP02 слабонаправляющего волновода и рассчитаны поляризационные поправки в области как собственных, так и квазисобственных волн с учетом материальных потерь. Проведено сравнение результатов расчета пропускания ступенчатого перехода (без учета отраженного поля) при преобразовании моды HEi2 в моду НЕп в векторной и скалярной модели и показано, что погрешность результата растет вблизи отсечки моды НЕ12, причем тем сильнее, чем больше материальные потери в оболочке волновода.

На основании обзора и анализа математических методов моделирования сделан вывод о том, что в настоящее время еще не развит общий подход к решению нелинейных задач распространения световых пучков в рамках классических вычислительных методов электродинамики. Поэтому для исследования пространственно-временной динамики оптического излучения в нелинейных волноводных структурах предлагается использовать традиционный для нелинейной оптики теоретический подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к решению нелинейного волнового уравнения параболического типа. Приближение медленно меняющейся амплитуды ограничивает применимость такого подхода в задачах распространения световых пучков через неоднородности диэлектрических волноводов. Исследована применимость параксиальной модели, основанной на этом приближении, в задачах моделирования полного поля при дифракции световых пучков на резких неоднородностях линейных диэлектрических волноводов. Показано, что в параксиальной модели (в том числе и с использованием аппроксимации Падё) не учитывается высокочастотная интерференция направляемой моды и поля излучения. Приближение медленно меняющейся амплитуды дает значительную погрешность в расчете полного поля светового пучка в волноводе, если относительный вклад поля излучения, возбуждаемого на неоднородности, в полное поле соизмерим с вкладом поля направляемой моды.

- Детально исследована пространственная динамика лазерного пучка при возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления полем его стационарной линейной моды. Показано, что, в отличие от волновода с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления, стационарный пучок в волноводе со ступенчатым профилем формируется при любых условиях возбуждения при условии, что эффективное изменение показателя преломления в поле пучка сравнимо с контрастом линейного профиля. При несогласованном возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в оболочке формируется латеральная часть пучка, которая может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Эта латеральная часть образована преимущественно полями вытекающих мод, расходимость которых уменьшается с ростом мощности пучка. Взаимодействие центральной и латеральной части приводит к осцилляциям пучка при его распространении. Проведены приближенные аналитические, а также численные оценки зависимости пропускания ступенчатого перехода в нелинейном волноводе от начальной мощности лазерного пучка. Установлено, что эффект изменения нелинейного пропускания по сравнению с линейным больше в волноводах с более узкой сердцевиной и при таких параметрах структуры, когда линейное пропускание близко к нулю, в частности, при переходе моды через отсечку. Этот эффект зависит от размеров области в поперечном сечении пучка, по которой усредняется интенсивность при измерении пропускания структуры, и максимален в том случае, когда интенсивность усредняется в области сердцевины волновода. Нелинейное пропускание, рассчитанное при усреднении интенсивности пучка в области сердцевины, больше линейного в ступенчатом переходе с уменьшением радиуса (толщины) и меньше линейного в ступенчатом переходе с увеличением радиуса (толщины). Показано, что резкое изменение радиуса (толщины) волновода со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления эквивалентно наличию диафрагмы в волноводе с бесконечным параболическим поперечным профилем (или в однородной среде) в отношении эффективного изменения пропускания в результате нелинейного самовоздействия лазерного пучка.

- Разработана модель распространения сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями в рамках теоретического подхода, основанного на решении нелинейного волнового уравнения параболического типа. Адекватность предложенного подхода и метода исследования пространственно-временной динамики нестационарных лазерных пучков в задачах дифракции на нелинейных неоднородностях в ДВ подтверждается согласием полученных результатов как с ранее известными результатами по временной динамике лазерных импульсов, по пространственно-временной динамике импулсов в нелинейной однородной среде, так и с результатами данной работы, полученными для стационарных пучков. Исследован характер пространственно-временной динамики сверхкороткого лазерного импульса при его распространении в нелинейном волноводе. В случае фемтосекундных импульсов, пиковая интенсивность которых достаточно велика, чтобы индуцировать нелинейную добавку к показателю преломления, сравнимую с контрастом профиля (для обычных кварцевых волноводов это интенсивности порядка 100ГВт/см2), взаимодействие временных и пространственных эффектов, сопровождающееся излучением части поля из сердцевины, препятствует формированию неизменного при распространении пространственно-временного распределения поля лазерного пучка (пространственно-временного солитона). Установлено, что излучение части поля из сердцевины волновода вследствие изменения поперечного профиля нестационарного лазерного пучка при изменении его временного распределения под действием эффектов волновой нестационарности ослабляет действие этих эффектов. Показано, что, в результате несогласованного возбуждения нелинейного волновода в оболочке формируется импульс, который образован латеральной частью полного поля и может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Длительность импульса в оболочке значительно меньше, чем на оси и в среднем по сердцевине. Исследована пространственная и пространственно-временная динамика лазерного пучка при его распространении в двуступенчатом переходе с нелинейным средним сегментом. Показано, что пропускание такого перехода меньше линейного при любом радиусе (толщине) нелинейного сегмента, что приводит к уширению лазерного импульса в результате его распространения через такую структуру.

- Показано, что эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов диэлектрического волновода с нелинейной решеткой может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения. Получены характеристики оптического ограничителя мощности, действующего на основе этого эффекта. Исследована пространственно-временная динамика нестационарного лазерного пучка, распространяющегося в волноводе с нелинейной решеткой. Установлено, что эффект вытекания поля излучения при распространении нестационарного лазерного пучка в нелинейной решетке приводит к изменению формы импульса, так что его вершина становится более плоской. Эффект излучения части поля из сердцевины обеспечивает ограничение мощности в широкой полосе частот, поэтому может быть использован для ограничения мощности сверхкоротких лазерных импульсов. Однако, в связи с тем, что керровская константа оптических стекол мала, порог ограничения мощности в таком устройстве сравнительно высок: мощность импульса в пике ~ ГВт/см в кварцевых волноводах и ~ МВт/см2 в халькогенидных волноводах. Динамический диапазон оптического ограничителя мощности на основе оптических стекол, соответственно, невелик, поскольку уже при пиковых интенсивностях фемтосекундных импульсов свыше 100ГВт/см2 начинается разрушение материала волновода. Динамический диапазон такого устройства можно несколько увеличить, уменьшая порог ограничения путем изменения характеристической частоты волновода, длины сегментов и их числа.

- Сделан вывод о том, что макроскопические неоднородности в нелинейном волноводе могут быть использованы как стабильные внутрирезонаторные устройства кольцевых волоконных лазеров, осуществляющие функцию жесткого диафрагмирования и позволяющие разрабатывать схемы волоконных лазеров с керровской, а не аддитивной, синхронизацией мод. Как и в схемах твердотельных лазеров, целесообразно совмещать функцию жесткого и мягкого диафрагмирования в одном элементе. Детально исследовано действие внутрирезонаторных устройств, используемых в настоящее время в схемах твердотельных и волоконных лазеров с синхронизацией мод. Рассчитаны коэффициент амплитудной модуляции лазерного пучка и коэффициент компрессии импульса в рассматриваемых внутрирезонаторных элементах в зависимости от параметров и конфигурации элементов схемы. Показано, что отношение амплитудной модуляции лазерного пучка к фазовой в среднем по сердцевине ступенчатого перехода в нелинейном волноводе может быть на порядок выше, чем в используемых в настоящее время устройствах, что обеспечивает большую стабильность режима генерации с синхронизацией мод в волоконном лазере. Исследованы характеристики двуступенчатого перехода в нелинейном ДВ и показано, что при некоторых параметрах нелинейное пропускание такой структуры больше линейного.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе впервые детально исследована пространственная и пространственно-временная динамика лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления и макроскопическими неоднородностями. Выявлен ряд эффектов, являющихся специфическими для оптических волноводов и обусловленных излучением части мощности из сердцевины волновода в результате дифракции лазерного пучка на неоднородности.

Вывод о применимости теоретического подхода, основанного на сведении исходной краевой задачи к решению нелинейного волнового уравнения параболического типа, для исследования пространственно-временной динамики лазерных пучков в нерегулярных оптических волноводах сделан на основе анализа приближений, используемых в этом подходе. Результаты диссертации, а также известные результаты экспериментальных исследований, показывают, что пространственно-временные эффекты, возникающие при распространении в волноводах мощных фемтосекундных импульсов, необходимо учитывать в моделях распространения. Для дальнейшего развития научного направления, в рамках которого плучены основные результаты данной работы, необходимо разрабатывать модели распространения и общий подход к решению нелинейных задач для вычислительных методов электродинамики, которые не используют приближения, ограничивающие применимость данного подхода, и в частности, приближение медленно меняющейся амплитуды.

Несмотря на преимущественно теоретический характер диссертации, она нацелена, в первую очередь, на совершенствование разработки приборов и устройств лазерной физики на этапе математического моделирования оптических элементов этих устройств. Развитый в диссертации теоретический подход и разработанная модель распространения Moiyr быть использованы в исследованиях различных волноводных структур, являющихся элементами оптоэлектронных информационных сетей, оптических процессоров, волоконных лазеров.

1. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. - М.: Радио и связь, 1987. -656с.

2. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазеров. М.: Наука, 1988. -288с.

3. Agrawal G.P. Nonlinear fiber optics. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1989. - 337c.

4. Zozulya A.A., Diddams S.A., Van Engen A.G., Clement T.S. Propagation dynamics of intense femtosecond pulses: multiple splitting, coalescence and continuum generation // Phys.Rev.Lett.-1999. Vol.82. -№ 7. - P. 1430-1433.

5. Mori K., Takara H., and Kawanishi S. Analysis and design of supercontinuum pulse generation in a single-mode optical fiber // J.Opt.Soc.Am. B. 2001. - Vol.18. - №12. -P. 1780-1792.

6. Fibich G., Ren W., Wang X-P. Numerical simulations of self-focusing of ultrafast laser pulses // Phys.Rev.E. 2003. - Vol.67. - 056603.

7. Haus H.A., Fujimoto J.G. and Ippen E.P. Analytic theory of additive pulse and Kerr-lens mode locking // IEEE Joum. of Quant. Electron. 1992. - Vol.28. - P.2086 - 2096.

8. Pelinovsky D. and Sargent E.H. Stable all-optical limiting in nonlinear periodic atructures. II. Computations // J.Opt.Soc.Am. B. 2002. - Vol.19. - №8. - P. 1873-1889.

9. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики,- M.: Наука, 1972. -735с.

10. Дербов В.Л., Мельников Л.А., Новиков А.Д. Новый метод решения задач о самовоздействии волновых пучков и его применение к анализу сдвига резонансов насыщенного поглощения // Квант.электрон. 1987. - Т. 14. - №12. - С.2532-2538.

11. Akhmediev N.N. Spatial solitons in Kerr and Kerr-like media // Opt. And Quantum Electron. 1998. - Vol.30. - P.535-569.

12. Шевченко B.B. Метод спектрального разложения полей в теории открытых волноводов,- Дисс.докт.физ.-мат.наук М., 1976.

13. Войтович Н.Н., Каденеленбаум Б.З., Сивов А.Н., Шатров А.Д. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения // Радиотехн. и электрон. 1979.-Т.24,- №7.-С. 1245-1263.

14. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. Нижний Новгород, 1997. -320с.

15. Melnikov L.A., Romanova E.A. Behavior of HEim- mode wavenumbers of optical fiber below the cutoff frequency // Opt.Communications. 1995. - Vol.116. - P.358-364.

16. Melnikov L.A., Romanova E.A. Transformation of HElm guided mode into the leaky one in absorbing optical fiber // Opt.Communications. 1997. - Vol.141. - P. 10-16.

17. Romanova E.A., Melnikov L.A., Bekker E.V. The scattering of the total field from the slow-tapered and step-like discontinuities of dielectric waveguides // Microwave and Opt. Technol. Lett. 2000. - Vol.25.- №1. - P.27-33.

18. Romanova E.A. Failure of the scalar approximation near cutoff frequency of a step-index fibre mode // Proc.of: 3-rd Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)'2001, June 2001, Cracow, Poland, P.32-35.

19. Romanova E.A. Vector properties of fibre modes near the cutoff frequency // Proc.of: 9th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (OWTNM)'2001, April 2001, Paderbom, Germany, P.36.

20. Romanova E.A., Feasibility of the scalar approximation to treat total field propagation in dielectric guiding structures // Proc.of: Int. Workshop on Advanced Electromagnetics, July 2001, Tokyo, Japan, P. 19.

21. Romanova E.A. Scalar approximation feasibility analysis near the cutoff frequency of HEin fibre mode with account of material losses // Opt.Commun. 2002. - Vol.208. - P.91-96.

22. Романова E.A., Мельников JI.A., Романов C.B. Влияние мод оболочки на пространственные и поляризационные характеристики поля на выходе одномодового световода. I. Пространственные эффекты // Опт. и спектр. 1996. - Т.81. - №3. -С.490-496.

23. Романова Е.А., Мельников JI.A. Влияние мод оболочки на пространственные и поляризационные характеристики поля на выходе одномодового световода. II. Поляризационные эффекты // Опт. и спектр. 1997. - Т.82. - №2. - С.364-372.

24. Romanova Е.А., Bekker E.V., Marciniak М. Methods for description of the total field propagation in the irregular dielectric waveguides // Journ. of Telecommunications and Information Technol. 2001. - №2. - P.64-71.

25. Romanova E.A., Becker E.V., Marciniak M. Modeling of light scattering from waveguide irregularities by Beam Propagation methods // Proc.of: International Workshop on Direct and Inverse Wave Scattering, October 2000, Gebze, Turkey, P. 6.29-6.36.

26. Romanova E.A., Bekker E.V., Marciniak M. Propagation of the radiation field excited on discontinuities of optical waveguides // Opt. and Quantum. Electron. 2002. - Vol.34. -P.607-619.

27. Romanova E.A., Gaal S.B. Modelling of light propagation through step-like discontinuities of in slab dielectric waveguides // Microwave and Opt. Technol.Lett. 2004. -Vol.41.-№2.-P. 108-114.

28. Bekker E.V., Romanova E.A., Melnikov L.A. Total field transformation in irregular optical fibers // SPIE. Light Scattering Technologies for Mechanics, Biomedicine and Material Science. 1999. - 3726. - P.255-259.

29. Romanova E.A., Melnikov L.A., Bekker E.V. Numerical analysis of total field propagation in linear and nonlinear single-mode tapered fibers // Proc.of: Int. Conf. of on Transparent Optical Networks (ICTON)'1999, June 1999, Kielce Poland, P. 161-165.

30. Romanova E.A., Melnikov L.A., Bekker E.V. Light propagation in optical anti-guiding structures with Kerr-like non-linearity // Proc. of: Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)'1999, June 1999, Kielce, Poland, P.251-255.

31. Bekker E.V, Romanova E.A., Melnikov L.A. Conversion of LPo2-mode into LP0i-mode in optical fibers with Kerr-like nonlinearity // Proc.of: Int. Conf. on Transparent Optical Networks, June 2000, Gdansk, Poland, P.69-73.

32. Беккер Э.В., Романова E.A., Мельников JI.A. Применение метода ортогональных коллокаций для исследования распространения поля в неадиабатических одномодовых фоконах с Керровской нелинейностью // Тезисы докладов

33. Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-99», 1999, Петербург, Россия, С. 79.

34. Мельников JT.А., Романова E.A., Беккер Э.В. Нелинейное пропускание одномодового световода с резким изменением диаметра сердцевины // Опт. и спектр. 2001. - Т.89. - №5. - С.826-831.

35. Romanova Е.А., Melnikov L.A., Bekker E.V. Light guiding in optical fibers with Kerr-like nonlinearity // Microwave and Opt. Technol. Lett. 2001. - Vol.30. - №3. - P.212-216.

36. Romanova E.A., Benson Т., Sewell P. Mode propagation along the multilayered optical fibre with Kerr-like non-linearity // In: Nonlinear Optics for the Information Society, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001, P. 139-144.

37. Romanova E.A., Melnikov L.A. Non-stationary self-focusing of modal fields in guiding structures with sharp discontinuities // Proc.of: 4-th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON)'2002, Apr. 2002, Warsaw, Poland, P. 171-174.

38. Романова E.A., Мельников Л.А. Распространение оптического импульса в нерегулярном волноводе с пространственно-распределенной керровской нелинейностью // Опт. и спектр. 2003. - Т.95. - №2. - С.286-293.

39. Романова E.A., Мельников JI.A. Пространственно-временная динамика фемтосекундных импульсов в нелинейных оптических волноводах с дисперсией Материала // Опт. и спектр. 2004. - Т.96. - №1. - С. 100-106.

40. Romanova Е.А., Benson Т., Sewell P. All-optical limiting/switching based on self-focusing effect in non-linear periodic fibres // Proc.of: 10-th European Conference on Integrated Optics (ЕСЮ)'2001, April 2001, Paderborn, Germany, P.433-436.

41. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. -М: ИЛ, 1950. 150с.

42. H.Reichardt Ausstrahlungsbedingungen fur die wellengleichung // Abh.mathem. seminar univ.Hamburg, 1960, 24, S.41-53.

43. Носич А.И. Условия излучения для открытых волноводов // ДАН СССР. 1987. -Т. 296. - №2. - С.326-331.

44. Sammut Rand Snyder A.W. Leaky modes on circular optical waveguides // Appl.Opt. -l|976. Vol.15. - P.477-482.

45. Шатров А.Д. О возможных разложениях полей в открытых волноводах и резонаторах // Радиотехн. и электрон. 1972. - Т. 17. - №6. - С. 1153-1160.

46. Шевченко В.В. О разложении полей открытых волноводов по собственным и Несобственным волнам // Изв.вузов.Радиофиз. 1971. - Т. 14. - №8. - С. 1242-1249.

47. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974. - 319с.

48. Rozzi Т. The continuous spectrum of open waveguides of non-separable cross-section // IEEE Trans, on Antennas and Propagat. 1992. - Vol.40. - №11. - P. 1283-1291.

49. Каценеленбаум Б.З. Возбуждение диэлектрического волновода произвольного сечения при частоте, близкой к критической // Радиотехн. и электрон. 1980. - Т.25. -№2. -С.241-248.

50. Шевченко В.В. Наглядная классификация волн, направляемых регулярными открытыми волноводами // Радиотехн. и электрон. 1969. - Т. 14. - №10. - С. 17681773.

51. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969. -180с.

52. Романова Е.А. Самовоздействие и взаимодействие световых пучков в газовых лазерах и волоконно-оптических интерферометрах: Дисс. канд. физ.-мат.наук. -Саратов, 1988. -190с.

53. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. -830с.

54. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. -327с.68 . Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.-621с.

55. Желтиков A.M. Физический предел волноводного увеличения эффективности нелинейно-оптических процессов // Опт. и спектр. 2003. - Т.95. - №3. - С.440-446.

56. Jensen S.M. The nonlinear coherent coupler // IEEE Journ.Quantum.Electron. 1992. -QE-18. -№10.-P. 1580-1583.

57. Okamoto N. and Ito S. Nonlinear ТЕ waves in an optically nonlinear curved waveguide and pulse compression // IEEE Joum. Lightwave Technol. 1988. - Vol.24. - №10. -P. 1966-1969.

58. Clarricoats P. and Sharpe A. Modal matching applied to a discontinuity in a planar surface waveguide // Electron. Lett. 1972. - Vol.8. - P.28-29.

59. Marcuse D. Radiation losses of tapered dielectric slab waveguides // Bell. Syst.Tech. J. -1970. Vol.49. - P.273-290.

60. Neumann E.G., Opielka D. Scattering matrix and radiation characteristics of the junction between two different monomode microwave or optical dielectric waveguides // Opt.QuantElectron. 1977. - Vol.9. - P.209-222.

61. Bienstman P., Derudder H., Baets R., Olyslager F., De Zutter D. Analysis of cylindrical waveguide discontinuities using vectorial eigenmodes and perfectrly matched layers // IEEE Trans. Microwave Teor. Techn. 2001. - MTT-49. - №2. - P.349-354.

62. Sztefka G. and Nolting H.P. Bidirectional eigenmode propagation for large refractive index steps // IEEE Photon.Technol.Lett. 1993. - Vol.5. - P.554-557.

63. Suchoski P.G., Jr., and Ramaswamy V. Exact numerical technique for the analysis of step discontinuities and tapers in optical dielectric waveguides // J.Opt.Soc.Am.A. 1986. -Vol.3. -№2. - P. 194-203.

64. Felici Т., Gallagher D. Recent advances and results in waveguide shape optimisation // Proc.of the 10-th Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling, Nottingham, UK, 2002, 67.

65. Maes В., Bienstman P., and Baets R. Rigorous modeling of non-linear structures with mode expansion // Proc.of: The 11-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling, 2003, Prague, Czech republic, p.98.

66. Маненков А.Б. Распространение поверхностной волны вдоль диэлектрического волновода со скачкообразным изменением параметров. I.Решение вариационным методом // Изв. ВУЗов. Радиофиз. 1982. - Т.25. - №12. - С. 1484-1490.

67. Маненков А.Б. Сравнение приближенных методов расчета дифракции волн на скачке диаметра диэлектрического волновода // Изв. ВУЗов. Радиофиз. 1985. - Т.28.- №6. С.743-752.

68. Rozzi Т.Е. Rigorous analysis of the step discontinuity in a planar dielectric waveguide // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1978. - MTT-26. - №10. - P.738-746.

69. Каценеленбаум Б.З Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. Изд. Акад. наук СССР, М., 1961. - 175с.

70. Маненков А.Б. Потери несимметричных волн в неоднородных открытых волноводах малого поперечного сечения // Изв.вузов. Радиофиз. 1976. - Т. 19. - №4.- С.595-602.

71. Маненков А.Б. Распространение поверхностной волны через неоднородный участок тонкого диэлектрического волновода // Радиотехн. и электрон. 1978. - Т.23.- №1. С.33-30.

72. De Sterke S.M. and Sipe J.E. Coupled modes and the nonlinear Schrodinger equation // Phys.Rev.A. 1990. - Vol.42. - №1. - C.550-555.

73. Colton D., Kress R. Integral equation method in scattering theory. NY: Wiley, 1983. -398p.

74. Cottis P.G. and Uzunoglu N.K. Analysis of longitudinal discontinuities in dielectric slab waveguides // J.OptSoc.Am. A. 1984. - Vol.1. - №2. - P.206-215.

75. Uzunoglu N.K. and Fikioris J.G. Scattering from an inhomogeneity inside a dielectric-slab waveguide // J.Opt.Soc.Am. 1982. - Vol.72. - №5. - P.628-637.

76. Livernois T.G. and Nyquist D.P. Integral-equation formulation for scattering by dielectric discontinuities along open-boundary dielectric waveguides // J.Opt.Soc.Am.A. -1987. Vol.4. - №7. - P. 1289-1295.

77. Zhuck N.P., Yarovoy A.G. Two-dimensional scattering from an inhomogeneous dielectric cylinder embedded in a stratified medium: case of TM-polarization // IEEE Trans.Antennas Propagat. 1994. - Vol.42. -№1.- P. 16-21.

78. Кюркчан А.Г., Маненков C.A. Новый метод решения задачи дифракции на компактном препятствии в плоскослоистой среде // Изв.вузов.Радиофиз. 1998. -Т.41. - №7. - С.874-888.

79. Boriskina S.V., Nosich A.I. Radiation and absorption losses of the whispering-gallery-mode dielectric resonators excited by a dielectric waveguide // IEEE Trans. Micro wave Teor.Techn. 1999. - MTT-47. - №2. - P.224-230.

80. Васильев Е.Н., Полынкин А.В., Солодухов В.В. Рассеяние поверхностной волны на стыке двух диэлектрических волноводов // Изв. ВУЗов. Радиоэлектр. 1983. - Т. 26. - №. 2. - С. 72-76.

81. Hockham G.A. and Sharpe А.В. Dielectric-waveguide discontinuities // Electron.Lett. -1972. Vol.8. -P.230-231.

82. Ittipiboon A. and Hamud M. Application of the Wiener-Hopf technique to dielectric slab waveguide discontinuities // Proc.Inst.Elec.Eng. 1981. - 128H. - P.188-196.

83. Uchida K. and Aoki K. Scattering of surface waves on transverse discontinuities in symmetrical three-layer dielectric waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. -1984. -MTT-32. P. 11-19.

84. Маненков А.Б. Распространение поверхностной волны вдоль диэлектрического волновода со скачкообразным изменением параметров. I. Решение методом факторизации, Изв. ВУЗов. Радиофиз. 1982. - Т.25. - №11. - С. 1329-1336.

85. Fleck J.A., Morris J.R., Feit M.D. Time-dependent propagation of high energy laser beams through the atmosphere // Appl.Phys. 1976. - Vol. 10. - P. 129-160.

86. Feit M.D., Fleck J.A. Simple spectral method for solving propagation problems in cylindrical geometry with fast Fourier transforms // Opt.Lett. 1989. - Vol.14. - №13. -P.662-664.

87. Самарский А.А., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. - 471с.

88. Scarmozzino R., Gopinath A., Pregla R., and Helfert S. Numerical techniques for modeling guided-wave photonic devices // IEEE J. Select.Topics Quant.Electron. 2000. -Vol.6. -№1.-P.150-161.

89. Feit M.D., Fleck J.A., Light propagation in graded-index optical fibers // Appl.Opt. -1978. -Vol.17. №24. - P.3990-3998.

90. Baets R. and Lagasse P.E. Calculation of radiation loss in integrated-optic tapers and Y-junctions // Appl.Opt.- 1982. Vol.21. - P.1972-1978.

91. Hermansson B. and Yevick D. Propagating-beam-method analysis of two-dimensional microlenses and three-dimensional taper structures // J.Opt.Soc.Am.A. 1984. - Vol.1. -№6. - P.663-671.

92. Danielson P. Two-dimensional propagation beam analysis of an electrooptic waveguide modulator // IEEE J. Quantum Electron. 1984. - QE-20. - P. 1093-1097.

93. Thylen L. The beam propagation method: an analysis of its applicability // Opt.Quant.Electron. 1983. - Vol.15. -P.433-437.

94. Van Roy J., Van der Donk J., and Lagasse P.E. Beam propagation method: analysis and assesment // J.Opt.Soc.Am. 1983. - Vol.71. - P. 803-809.

95. Gomaa L.R. Beam Propagation Method applied to a step discontinuity in dielectric planar waveguides // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1988. - MTT-36. - №4. -P.791-792.

96. Marciniak M., Jaskorzynska В., Radiation field propagation in low-contrast single-mode optical waveguides // Opt.and Quant.Electron. 1995. - Vol.27. - P. 977-985.

97. Thylen L., Wrightm E.M., Stegeman G.I., Seaton C.T., and Moloney J.V. Beam-propagation method analysis of a nonlinear directional coupler // Opt.Lett. 1986. - Vol. 11. -№11. -P.739-741.

98. Feit M.D. and Fleck J.A., Jr. Three-dimensional analysis of a directional coupler exhibiting a Kerr nonlinearity // IEEE Journ.Quantum Electron. 1988. - Vol.24. - №10. -P.2081-2086.

99. Moloney J.V., Ariyasu J., Seaton C.T., and Stegeman G.I. Stability of nonlinear stationary waves guided by a thin film bounded by nonlinear media // Appl.Phys.Lett. -1986. Vol.48. - №13. - P.826-828.

100. Leine L., Wachter Ch., Lungbein U., and Lederer F. Propagation phenomena of nonlinear film-guided waves: A numerical analysis // Opt.Lett. 1986. - Vol.11. - №9. -P.590-592.

101. Micallef R.W., Kivshar Yu.S., Love J.D., Burak D., Binder R. Generation of spatial solitons using non-linear guided modes // Opt. And Quantum Electron. 1998. - Vol.30. -P.751-770.

102. Выслоух В.А., Матвеева Т.А. Самофокусировка и самосжатие сверхкоротких импульсов в планарных волноводах: роль дисперсии групповой скорости // Изв.АН. Сер.физ. 1992. - Т.56. - №9. - С.20-24.

103. Hermansson В., Yevik D., and Thylen L. A propagating beam method analysis of nonlinear effects in optical waveguides // Opt.Quantum.Electron. 1984. - Vol.16. - P.525-534.

104. Francois P.L. Nonlinear propagation of ultrashort pulses in optical fibers: total filed formulation in the frequency domain // J.Opt.Soc.Am.B. 1991. - Vol.8. - P.276-293.

105. Hendow S.T., Shakir S.A. Recursive numerical solution for nonlinear wave propagation in fibers and cylindrically symmetric systems // Appl.Opt. 1986. - Vol.25. -№11.-P. 1759-1764.

106. Chung Y., Dagli N. An Assessment of Finite Difference Beam Propagation Method // J.of Quantum Electron.- 1990,-Vol.26. №8. - P. 1335-1339.

107. Yamauchi J., Shibayama J., and Nakano H. Application of the generalized Douglas scheme to optical waveguide analysis // Opt.Quantum.Electron. 1999. - Vol.31. - P.675-687.

108. Thomas J.W. Numerical partial differential equations: finite difference methods. NY: Springer-Verlag, 1995. - 208p.

109. Behie A. and Vinsome P.K.W. Block iterative methods for fully implicit reservoir simulation // Soc.Pet.Eng.J. 1982. - №10. - P.658-668.

110. Van Der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear system // SIAM J.Sci.Statist.Comput. 1992. -Vol.13.-P.631-644.

111. Sewell P., Benson T.M., Kendall P.C., Anada T. Tapered beam propagation // Electron. Lett. 1996. - Vol.32. -№11. - P. 1025-1026.

112. Sujecki S., Sewell P., Benson T.M., and Kendall P.C. Novel beam propagation algorithms for tapered optical structures // Journ.of Lightwave Technol. 1999. - Vol.17. -№11. - P.2379-2388.

113. Artiglia M., Vita P.D., Potenza M., Coppa G., Lapenta G., and Ravetto P. Variable grid finite difference methods for study of longitudinally varying planar waveguides // Electron.Lett. 1991. - Vol.27. - P.474-475.

114. Tsuji Y., Koshiba M. A finite element beam propagation method for strongly guiding and longitudinally varying optical waveguides // J. Lightwave Technol. 1996. - Vol.14. -P. 217-222.

115. Leproux P., Roy P., Pagnoux D., Kerrinckx В., Marcou J. Theoretical and experimental study of loss at splices between standard single-mode fibres and Er-doped fibres versus direction // Opt.Commun. 2000. - Vol.174. - P.419-425.

116. Huang W., Xu C., Chu S.-T., Chaudhuri S.K. The finite-difference vector beam propagation method: analysis and assessment // Journ. of Lightwave Technol.-1992. -Vol.10.-№3.-P.295-305.

117. Takenaka M. and Nakano Y. Proposal of an all-optical flip-flop using a cross-coupled MMI bistable laser diode // Proc.of: The 11-th Int. Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling, 2003, Prague, Czech republic, p.63.

118. Rao H., Scarmozzino R., and Osgood R.M., Jr. A bidirectional beam propagation method for multiple dielectric interfaces // Photon. Techn. Lett. 1999. - Vol.11. - P. 830832.

119. Hayashi K., Koshiba M., Tsuji Y., Yoneta S., Kaji R. Combination of beam propagation method and mode expansion propagation method for bidirectional optical beam propagation analysis // Journ.of Lightwave Technol. 1998. - Vol.16. - №11. - P.2040-2045.

120. Yoneta S., Koshiba M., Tsuji Y. Combination of beam propagation method and finite element method for optical beam propagation analysis // Journ.of Lightwave Technol. -1999. Vol.17. - №11. - P.2398-2403.

121. Koshiba M. Optical waveguide theory of the finite element method. Tokyo, Dordrecht: KTK Scientific/Kluwer Academic, 1992. - 177p.

122. Yamauchi J., Nishio K., and Nakano H. Analysis of a lensed coreless fiber by a hybrid technique combining FD-BPM and FD-TDM // Journ.of Lightwave Technol. 1998. -Vol.16. - P.465-471.

123. Taflove A. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method. Norwood, MA: Artech House, 1995. - 455p.

124. Hadley G.R. Wide-angle beam propagation using Pade approximation operators // Opt.Lett. 1992. - Vol.17. - №20. - P. 1426-1428.

125. Huang W.P., Xu C.L. A Wide-Angle Vector Beam Propagation Method 7/ IEEE Photon. Technol. Lett. 1992. - Vol.4. - №10. - P. 1118-1120.

126. Ilic I., Scamozzino R., and Osgood RM. Investigation of the Pade approximation-based wide-angle beam propagation method for accurate modeling of waveguide circuits // Joum.Lightwave Technol. 1996. - Vol.14. -№12. - P.2813-2821.

127. Bertolotti M., Masciulli P. and Sibilia C. MOL numerical analysis of nonlinear planar waveguide // J.of Lightwave Techn. 1994. - Vol. 12. - №5. - P.784-789.

128. Fibich G., Malkin V.M., Papanicolaou G.C. Beam self-focusing in the presence of a small normal time dispersion // Phys.Rev.A 1995. - Vol.52. - №3. - P.4218-4228.

129. Weitzman P. and Osterberg U. A modified beam propagation method to model second harmonic generation in optical fibers // IEEE J.Quant.Electron. 1993. - Vol.29. - P. 14371443.

130. Masoudi H.M. and Arnold J.M. Parallel beam propagation method for the analysis of second harmonic generation // IEEE Photon.Techn.Lett. 1995. - Vol.7. - №4. - P.400-402.

131. Chou H.-F., Lin C.-F., and Wang G.-C. An iterative finite difference beam propagation method for modeling second-order nonlinear effects in optical waveguides // Journ.of Lightwave Technol. 1998. - Vol.16. - №9. - P.1686-1693.

132. Hoekstra H.J.W.M., Noordman O., Krijnen G.J.M., Varshney R.K., Henselmans E. Beam-propagation method for second-harmonic generation in waveguides with birefiingent materials // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. - Vol.14. - №7. - P. 1823-1830.

133. Katsriku F.A., Rahman B.M.A., Grattan K.T.V. Numerical modeling of second harmonic generation in optical waveguides using the finite element method // IEEE Journ.Quantum Electron. 1997. - Vol.33. - №10. - P. 1727-1733.

134. Pregla R., and Pasher W. The Method of Lines, in: Numerical techniques for microwave and millimeter wave passive structures // T.Itoh, Ed., J.Wiley Publ., NY, 1989, P.381-446.

135. Gerdes J., Pregla R. Beam-propagation algorithm based on the method of lines // J.Opt.Soc.Am.B. 1991. - Vol.8. - №2. - P.389-394.

136. Pregla R. MoL-BPM method of lines based beam propagation method, in: Methods for modeling and simulation of guided-wave optoelectronic devices (PIER 11) // W.P.Huang, Ed., Cambridge, MA: EMW Publishing, 1995, P.51-102.

137. Helfert S., Pregla R. Modeling of taper structures in cylindrical coordinates // in: Integr. Photo Research Tech.Dig. Dana Point- 1995. Vol.7. - P.30-32.

138. Pregla R., and Ahlers E. Method of lines for analysis of discontinuities in optical waveguides // Electron.Lett. 1993. - Vol.29. - №21. - P. 1845-1846.

139. Gerdes J.J. Bidirectional eigenmode propagation analysis of optical waveguides based on method of lines // Electron.Lett. 1994. - Vol.30. - №7. -P.550-551.

140. Goncharenko I.A., Helfert S.F. and Pregla R. Analysis of nonlinear properties of fibre grating structures // Int.Journ.Electron.Commun. 1999. - Vol.53. - №1. - P.25-31.

141. Chu S.T., and Chaudhuri S.K. A finite-difference time-domain method for the design and analysis of guided wave optical structures // IEEE J. Lightwave Technol. - 1989. -LT-5. - P.2033-2038.

142. Ma F. Slowly varying envelope simulation of optical waves in time-domain with transparent and absorbing boundary conditions // Journ.Lightwave Technol. 1997. -Vol.15. -№10.-P. 1974-1985.

143. Huang W.P., Chu S.T., Goss A., and Chaudhuri S.K. A scalar finite-difference time-domain approach for guided-wave optics // IEEE Photon. Technol.Lett. 1991. - Vol.3. -P.524-526.

144. Yamauchi J., Nibe M., Nakano H. Scalar FD-TD method for circularly symmetric waveguides // Opt.Quant.Electron. 1997. - Vol.29. - P.451-460.

145. Liu P.L., Zhao Q., and Choa F.S. Slow-wave finite-difference beam propagation method // IEEE Photon.Technol.Lett. 1995. - Vol.7. - P. 890-892.

146. Shibayama J., Takahashi Т., Yamauchi J., Nakano H. Efficient Time-Domain Finite-Difference Beam Propagation Methods for the analysis of slab and circularly symmetric waveguides // J.of Lightwave Techn. 2000. - Vol. 18. - №3. - P.437-442.

147. Josef R.M., Taflove A. FDTD Maxwell's equations model for nonlinear electrodynamics and optics // IEEE Trans.Anten.Propagat. 1997. - Vol.45. - №3. - P.364-374.

148. Van V., Chaudhuri S.K. A hybrid implicit-explicit FD-TD scheme for nonlinear optical waveguide modeling // IEEE Trans.Microwave Teor.Techn. 1999. - Vol.47. - №5. -P.540-545.

149. Chu S.T. and Chaudhuri S.K. Combining modal analysis and finite-difference time-domain method in the study of dielectric waveguide problems // IEEE Trans. Microwave Theor.Techn. 1990. - Vol.38. -№11. - P. 1755-1760.

150. Бровко A.B., Маненков А.Б., Маненков C.A. Дифракция направляемой моды диэлектрического волновода // Опт. и спектр. в печати.

151. Бровко А.В., Маненков А.Б., Митюрнн В.Е., Рожнев А.Г. Расчет дифракции волн в диэлектрическом волноводе динамическим методом конечных разностей // Радиотехн. и электрон. -2002. -Т.47. -№11. С. 1304-1312.

152. Hadley G.R. Transparent boundary conditions for the BPM // IEEE J.Quantum Electron. 1992. - Vol.28. - P.363-370.

153. Hadley G.R. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method, NY: Chapman & Hall, 1989. -311p.

154. Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorbing of electro-magnetic fields // J. Сотр. Phys. 1994. - Vol.114. - P. 185-200.

155. Katz D.S., Thiele E.T., and Taflove A. Validation and extension to three dimensions of the Berenger PML absorbing boundary condition for FD-TD meshes // IEEE Microwave Guided Wave Lett. 1994. - Vol.4. - №8. - P.268-270.

156. Mittra R. A new look at the perfectly matched layer (PML) concept for the reflectionless absorption of electromagnetic waves // IEEE Microwave and Guided Wave Let. 1995. - Vol.5. - №3. - P.84-86.

157. Huang W.P., Xu C.L., Liu W., and Yokoyama K. The perfectly matched layer (PML) boundary condition for the beam propagation method // IEEE Photon. Technol. Lett. 1996.- Vol.8. -P.649-651.

158. McCurdy C.W. and Stroud C.K. Eliminating wavepacket reflection from grid boundaries using complex coordinate contours // Computer Phys. Commun. 1991. -Vol.63.-P.323-330.

159. Methods for modeling and simulation of guided-wave optoelectronic devices: waves and interactions. W.P.Huang, Ed., PIERS 11, EMW Publishing, Cambridge, Massachusets, USA, 1995. - 41Op.

160. Pregla R., Kremer D. Method of lines with special absorbing boundary conditions -analysis of weakly guiding optical structures // IEEE Microwave and Guided Wave Letters- 1992. Vol.2. - №6. - P.239-241.

161. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations // IEEE Trans.Electromagn.Compat. 1981. -EMC-23. - №4. - P.377-382.

162. Вайнштейн JI.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, М.: Сов.радио, 1973. -375с.

163. Segev М. Optial spatial solitons // Opt. And Quantum Electron. 1998. - Vol.30. -P. 503-533.

164. Arnold J.M. Varietes of solitons and solitary waves // Opt.and Quant. Electron. -1998.- Vol.30.-P.631-647:

165. Maimistov A.I. Completely integrable models of nonlinear optics // Pramana-J.Phys. -2001. Vol.67. - №5&6. - P.953-968.

166. Hadley G.R. Wide-angle beam propagation using Pade approximant operators // Opt.Lett. 1992. - Vol.17. - P. 1426-1428.

167. Chiou Y.-P., Chiang Y.-C., and Chang H.-C. Improved three-point formulas considering the interface conditions in the finite-difference analysis of step-index optical devices // Journ. of Lightwave Technol. 2000. - Vol.18. - №2. - P.243-251.

168. Marburger J.H. Self-focusing: theory // Progr.Quant.Electron. 1975. - Vol.4. - P.35 - 110.

169. Гончаренко И.А. Влияние оптической нелинейности на распределение полей мод волоконных световодов // Изв. АН. Сер.физ. 1992. - Т.56. - №9. - С.48-55.

170. Serov V.V., Derbov V.L., Vinitsky S.I. Newton's method for evaluation of stationary modes in nonlinear waveguides and boson traps. // Proc. SPIE. 2001. - Vol.4243. - P. 130135.

171. Ахмедиев H.H. О новом классе нелинейных поверхностных волн: несимметричные моды в симметричной слоистой структуре // ЖЭТФ. 1982. -Т.83. -№2. - С.545 - 553.

172. Moloney J.V., Ariyasu J., Seaton C.T., and Stegeman G.I. Stability of nonlinear stationary waves guided by a thin film bounded by nonlinear media // Appl.Phys.Lett. -1986. Vol.48. - №13. - P.826-828.

173. Shabat M.M., Abd-El Naby M.A., Barakat N.M., Jager D. Calculation of the complex propagation constant of nonlinear waves in a three wave-guide structure // J.Opt.Commun. -2000. Vol.21. - №4. - P. 134-138.

174. Schurmann H.W., Serov V.S. and Shestopalov Yu.V. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure // Phys.Rev.E. 1998. - Vol.58. - P. 1040 - 1050.

175. Ахмедиев H.H., Корнеев В.И. и Кузьменко Ю.В. Возбуждение нелинейных поверхностных волн гауссовыми световыми пучками // ЖЭТФ. Vol.88. -№1. - Р. 107115.

176. Leine L., Wachter Ch., Lungbein U., and Lederer F. Propagation phenomena of nonlinear film-guided waves: A numerical analysis // Opt.Lett. 1986. - Vol.11. -№9. -P.590-592.

177. Выслоух В.А., Матвеева Т.А. Пространственные эффекты самовоздействия оптического излучения в волоконных световодах // Изв. Вузов. Радиофиз. 1985. -Т.28. - №1. - С.101-106.

178. Gonthier F., Henault A., Lacroix S., Black R.J., and Bures J. Mode coupling in nonuniform fibers: comparison between coupled-mode theory and finite-difference beam-propagation method simulations // J.Opt.Soc.Am. -1991. В 8. - №2. - P. 416-421.

179. Feit M.D. and Fleck J.A. Beam nonparaxialty, filament formation, and beam breakup in the self-focusing of optical beams // J. Opt. Soc. Am. -1988. Vol.5. - №3. - P.633-640.

180. Akhmediev N., Ankiewicz A., and Soto-Crespo J.M. Does the nonlinear Schrodinger equation correctly describe beam propagation? // Opt.Lett. 1993. - Vol.18. -№6. - P.4.11-413.

181. Love J.D. Spot-size, adiabaticity and diffraction in tapered fibers // IEEE Electron.Lett. 1987. - Vol.23. - P. 993-994.

182. Gaeta A.L. Catastrophic collapse of ultrashort pulses // Phys.Rev.Lett. 2000. -Vol.84. - №16. - P.3582-3585.

183. Brabec Т., Krausz F. Nonlinear optical pulse propagation in the single-cycle regime // Phys.Rev.Lett. -1997.- Vol.78. №17. -P.3282-3285.

184. McAllister G.L., Marburger J.H., and DeShazer L.G. Observation of optical pulse shaping by the self-focusing effect // Phys.Rev.Lett. 1968. - Vol.21. - №24. - P. 16481649.

185. Chernev P. and Petrov V. Self-focusing of light pulses in the presence of normal group velocity dispersion // Opt.Lett. 1992. - Vol.17. - №3. - P. 172-174.

186. Выслоух В.А., Матвеева T.A. Самофокусировка и самосжатие сверхкоротких импульсов в пленарных волноводах: роль дисперсии групповой скорости // Изв. Акад. Наук. Сер.Физ. 1992. -Т.56. - №9. - С.20-24.

187. Жарова Н., Литвак А., Петрова Т., Сергеев А., Юнаковский А. О множественном дроблении волновых структур в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ 1986. - Т.44. -№1. - С.12-15.

188. Молотков И.А., Вакуленко С.А., Бисярин М.А. Нелинейные локализованные волновые процессы. М.: Янус-К, 1999. - 154с.

189. Бисярин М.А., Молотков И.А. Влияние неоднородностей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на параметры солитонных импульсов // Изв.Акад. Наук.Сер.физ. Т.65. - №6. - С.876-880.

190. Rangel-Rojo R., Yamada S., Matsuda H., Yankelevich D. Large near-resonance third-order nonlinearity in an azobenzene-functionalized polymer film // Appl.Phys.Lett. 1998. - Vol.72. -№9.-P. 1021-1023.

191. Karpman V.I., Rasmussen J.J., and Shagalov A.G. Dynamics of solitons and quasisolitons of the cubic third-order nonlinear Schrodinger equation // Phys.Rev.E 2001. -Vol.64. -026614.

192. Под ред. С.П.Новикова, Теория солитонов. М.: Наука, 1980. - 228с.

193. Выслоух В.А., Чередник И.В. Моделирование самовоздействия сверхкоротких импульсов в волоконных световодах методом обратной задачи рассеяния // Докл.АН СССР 1986. - Т.289. - №2. - С.336-340.

194. Fibich G. and Papanicolaou G.C. Self-focusing in the perturbed and unperturbed nonlinear Schroedinger equation in critical dimension // SIAM Journ. of Appl.Math. -1999. Vol.60.-P. 183-240.

195. Sullivan D.M. Nonlinear FDTD formulation using Z transform // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1995. - Vol.43. - P.676-682.

196. Goorjian P.M., Taflove A. Direct time integration of Maxwell's equations in nonlinear dispersive media for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons // Opt.Lett. 1992. - Vol.17. -№3. - P. 180-182.

197. Fonseca E.J., Cavalcanti S.B., Hickmann J.M. Space-time break-up in the self-focusing of ultrashort pulses // Opt.Commun. 1999. - Vol. 169. - P. 199-205.

198. Schjodt-Eriksen J., Moloney J.V., Wright E.M., Feng Q., Christiansen P.L. Polarization instability of femtosecond pulse splitting in normally dispersive self-focusing media // Opt.Lett. 2001. - Vol.26. - №2. - P.78-80.

199. Berge L., Rasmussen J.L. Pulse splitting of self-focusing beams in normally dispersive media // Phys.Rev.A 1996. - Vol.53. - №6. - P.4476-4480.

200. Fibich G., Ilan B. and Tsynkov S. Backscattering and nonparaxiality arrest collapse of nonlinear waves // SIAM Journal on Applied Math. 2003. - Vol.63. - P. 1718-1736.

201. Anderson D., Lisak M. Nonlinear asymmetric phase modulation and self-steepening of pulses in long optical waveguides // Phys.Rev. A 1983. - Vol.27. - №3. - P. 1393-1398.

202. Афанасьев А. А., Волков B.M., Урбановнч А.И. Динамика формирования ударной волны огибающей УКИ в среде с релаксирующей кубической нелинейностью // Квант.электрон. 2000. - Т.30. -№11.- С. 1002-1004.

203. Mollenauer L.F., Stolen R.H., and Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers // Phys.Rev.Lett. 1980. - Vol.45. - №13. -P. 1095-1098.

204. Wood G.L., Clark W.W. Ill, Miller M.J., Salamo G.J., and Sharp E.J. Evaluation of passive optical limiters and switches // Proc.SPIE 1989. - Vol. 1105. - P. 154-166.

205. Xia Т., Hagan D.J., Dogariu A., Said A.A., and Van Stryland E.W. Optimization of optical limiting devices based on excited-state absorption // Appl.Opt. 1997. - Vol.36. -№18. -P.4110-4122.

206. Khoo I.C., Wood M., Guenther B.D. Nonlinear liquid crystal optical fiber array for all-optical switching/limiting // in: Proc. of the 9-th Annual Meeting of the IEEE LEOS, IEEE, NY, 1996, Vol.2, P.211-212.

207. Hernandez F.E., Yang S., Van Stryland E.W., and Hagan D.J. High-dynamic range cascaded-focus optical limiter // Opt.Lett. 2000. - Vol.25. - №16. - P. 1180-1182.

208. Chbat M.W., Hong В., Islam M.N., Soccolich C.E., and Prucnal P.R. Ultrafast soliton-trapping AND gate // J.Lightwave technol. 1992. - Vol.10. - P.2011-2016.

209. Niiyama A. and Koshiba M. Three-dimensional beam propagation analysis of nonlinear optical fibers and optical logic gates // J.Lightwave Technol. 1998. - Vol.16. -№1. - P. 162-168.

210. Scalora M., Dowling J.P., Bowden C.M., and Bloemer M.J. Optical limiting and switching of ultrashort pulses in nonlinear photonic band gap materials // Phys.Rev.Lett. -1994. Vol.73. -№10. - P. 1368-1371.

211. Brzozowski L. and Sargent E.H. Optical signal processing using nonlinear distributed feedback structures // IEEE J.Quantum Electron. 2000. - Vol.36. - №5. - P.550-555.

212. Uzunoglu N.K. Scattering from inhomogeneities inside a fiber waveguide // J.Opt.Soc.Am. 1981. - Vol.71. - №3. - P.259-273.

213. Krausz F., Fermann M.E., Brabec Т., Curley P.F., Hofer M., Ober M.H., Spielmann C., Winter E., and Schmidt A.J. Femtosecond Solid-State Lasers // IEEE J. Quantum Electron. 1992. - Vol.28. - №10. - P.1097-2121.

214. Bouma B.E. and Fujimoto J.G. Compact Kerr-lens mode-locked resonators // Opt. Lett. 1996.-Vol.21. - №2.-P. 134-136.

215. Huang X.G., Wang M.R. Analytical design for Kerr-lens mode locking of compact solid-state lasers // Opt. Commun. 1998. - Vol.158. - P. 322-330.

216. Spielmann C., Curley P.F., Brabec Т., and Krausz F. Ultrabroad Femtosecond Lasers // IEEE J. Quantum Electron. 1994. - Vol.30. - №4. - P. 1100-1114.

217. Калашников B.JI., Калоша В.П., Полойко И.Г., Михайлов В.П. Оптимальные резонаторы для синхронизации мод твердотельных лазеров с самофокусировкой // Квант, электрон. 1997. - Т.24. - №2. - С. 137-141.

218. Tamura К., Jacobson J., Ippen Е.Р., Haus H.A., and Fujimoto J.G. Undirectional ring resonators for self-starting passively mode-locked lasers // Opt. Lett. 1993. - Vol.18. -№3. - P.220-223.

219. Smolorz S., Kang I., Wise F., Aitken B.G., Borreli N.F. Studies of optical non-linearities of chalcogogenide and heavy-metal oxide glasses // Journal of Non-Crystaline Solids. 1999. - 256&257. - P.310-317.

220. Андреев A.A., Мак A.A., Яшин B.E. Генерация и применение сверхсильных лазерных полей // Квант, электрон. 1997. - Т.24. - JVfo2. - С.99-114.

221. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.Наука, 1989. - 394с.

222. Мельников JI.A. Пространственно-временная динамика световых полей в лазерах, резонансных средах и оптических волноводах: Дисс.докт.физ.-мат.наук,-Саратов, 1992.-420с.

223. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М -Л., 1962.-295с.