Пространственно-временной хаос: модели и диагностика тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС: МОДЕЛИ И ДИАГНОСТИКА

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р!: ОД 1 2 № .5.

На правах рукописи

КОРЗИНОВ Лев Николаевич

Нижний Новгород — 1994

Работа выполнена в Институте прикладной физики РоссиПской академии наук, г. Нижний Новгород.

Научный руководитель: чя. корр. РАН и. И. Рабинович

Официальные оппоненты: доктор технических наук К. Г. Кирьянов

кандидат физико-математических наук Л. М. Лермаа

Ведущая организация: Институт радиотехники и

электроники РАИ {г, Москва)

"гекабоя 1994 г. 8 ^

Завита состоится "¿-^ "декабря 1994 г. в 1 ^ часов на заседании специализированного совета К 063. 77.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Внегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского (603600, Н.Новгород, ГСП- 20, Пр. Гагарина, 23, корпус 4, радиофизический факультет, ауд. 202)

С диссертацией «окно ознакомиться в ф>ндаментальной библиотеке Нижегородского госуниверситета.

9 6

Автореферат разослан " " ноября 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук В. В. Черепенников

Обцля характеристике работы.

Актуальность работы. Хаотическое повеление распределенных систем - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Нерегулярная динамика сред наблюдается в радиофизике, биологии, геофизике, экономике. Один из основных вопросов, которые необходимо ресить при исследовании таких систем, касается детерминированности хаотического поведения, а именно: является ли хаос а системе динамическим (т.е. сгенерированный динамической системою. либо "истинно" случайным (например, стохастическим процессом). Для ответа на этот вопрос необходима как разработка новых методов обработки сигналов (диагностики!. так и исследование типичных бифуркаций, сценариев перехода к хаосу в распределенных системах. Эти два взаимосвязанных комплекса задач решаются в настоящей работе.

Вопрос о детерминированности системы. генерирующей нерегулярную реализацию является принципиальным для задач идентификации, предсказания и управления. В самом деле, если система детерминированная (но хаотическая), то возможно построение модели (это может быть нейронная сеть, генетическая карта, полиномиальная аппроксимация векторного поля и т. д.), позволяющей предсказать поведение этой системы на времена, значительно превышающие время линейной корреляции. В последнее время развиваются также методы управления динамическим хаосом, позволяющие перевести систему в периодический режим с помощью сколь угодно малых

воздействий (практически амплитуда внешнего управлясиего сигнала ограничена снизу уровнем шумов в системе). Если *е нерегулярный сигнал является стохастическим процессом, то для управления и идентификации необходимо применять другие методы, причем в этом случае время предсказания будет сравнимо с временем корреляции, а управление требует конечных амплитуд внешнего сигнала.

Таким образом. выяснение детерминированности системы является предварительной, но тем не менее крайне важной процедурой для диагностик«, моделирования хаотических систем и управления.

Задачи диагностики хаотического поведения распределенных систем не могут быть решены без понимания механизмов возникновения пространственно-временного хаоса, а также типичных бифуркаций, через которые возникает нерегулярное поведение. Сейчас имеется много примеров таких бифуркаций, в которых определяющую роль играет динамика дефектов на фоне регулярных структур или волн. Поэтому исследование динамики дефектов важно для определения эволюционной природы пространственного и пространственно-временного беспорядка.

Целью настоящей работы является разработка новых методов обработки нерегулярных сигналов, основанных на вычислении информационной размерности хаотического множества в реконструированном фазовом пространстве. Эта задача тесно связана с отысканием универсальных скейлингов размерности пространственно-временного хаоса в системах с абсолютной и конвективной неустойчивость».

Одна из целей данной работы заключается в исследовании эволюционной динамики дефектов и некоторых типичных

бифуркаций потери симметрии в модели Свифта-Хоенберга. приводящие к формирование статического пространственного хаоса и "турбулентности дефектов".

Основные задать- реааемыа а ра&ие^

- исследование скейлинга рьзмерности пространственно-временного хаоса в системе с абсолютной неустойчивостью и разработка метода диагностики пространственно-временного хаоса;

- построение высокоэффективных алгоритмов вычисления функций взаимной информации и относительной избыточности.

- исследование бифуркации потери симметрии в модели Свифта-Хоенберга с параметрическим воздействием;

- выяснение механизма формирования спиралей с большим топологическим зарядом;

построение модели. демонстрирующей рождение пространственного беспорядка из как угодно близкого к регулярному начального условия;

Научная новизна результатов работа заклочается в том.

что:

исследован скейлинг размерности пространственно-временного хаоса в модели Гинзбурга-Ландау для различных способов реконструкции фазового пространства;

- на основе результатов этого исследования предложен метод диагностики нерегулярных сигналов;

- впервые исследован механизм нарушения киральности в модели Свифта-Хоенберга;

впервые показана возможность формирования мяогозарядных спиралей ь трансляционно-инвариантной системе;

предложен новый механизм рождения статического пространственного беспорядка:

научных выводов подтверждается согласием результатов аналитических исследований. математического моделирования и экспериментальными результатами, а также сопоставлением ряда полученных выводов с известными из литературы данными.

На эашнту. выносятся следуешь основные положения;

15 Исследованы универсальнее свойства аттрактора в системе, демонстрирующей пространственно-временной хаос. Показана возможность диагностики типа системы по Еременной или пространственной хаотической наблюдаемой.

2) Развита новая техника исследования информационной размерности, основанная на вычислении функции относительной избыточности.

3) Разработаны эффективные алгоритмы вычисления функции относительной избыточности с помощью обобщенного корреляционного интеграча.

4) Численно исследована динамика дефектов в спиральных паттернах. Показано, что, независимо от топологического зарлда, дефекты движутся к центру спирали.

5) Исследован механизм регенерации и образование связанных состояний структур в модели Свифта-Хоенберга с параметрическим воздействием.

6) На основе исследования взаимодействия структур в модели Свифта-Хоенберга показана возможность формирования статического беспорядка из сколь угодно близкого к

периодическому начального распределения поля.

Структура ц ойьгм диссерт?цконная работа состоит

из зведення, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 117 страниц текста. 39 рисунков, список цитированной литературы - 89 наименований.

Впервые предложенный иетод диагностики

детерминированного пространственно-временного хаоса существенно расширяет возможности метода реконструкции фазового пространства при обработке сигналов. Показано, что возможно распознать детерминированный пространственно-временной хаос сколь угодно высокой размерности от кунового поля. Результаты этой работы могут найти применение при обработке нерегулярных сигналов, получаемых в радиофизике, экономике, астрономии, биологии. Результаты исследований по динамике структур в уравнении Свифта-Хоекберга могут найти применение в оптике, где, как недавно установлено, эта модель описывает динамику лазерных систем.

Апробация райат. публикации.. внедрение, а использование рззулыатов..

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на

2-й Международной сколе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления". ННГУ, 1994 -г.,

- двух международных ежегодных конференциях "Динамические Дни" (Познань, Польша, 1993 и Будапешт, Венгрия, 1994),

- Международных конференциях: "Формирование струхтур в распределенных динамических системах" (Потсдам, Германия, 1993), "Геометрия форм в неравновесных системах" (Сент-Джонс, Канада, 1594), "Вычислительная физика" (Ликгби, Дания, 1994),

международных школах по теоретической физике (Иерусалим, Израиль, 1994 и Копенгаген, Дания, 1994),

- научных семинарах в Институте нелинейной динамики в Сан Диего, США, Институте теоретической физики (Франкфурт-на-Майне, Германия).

- семинарах в ИПФ РАН.

На основе полученных результатов автором был подготовлен и прочитан на кафедре теории холебаний радиофизического факультета ННГУ спецкурс "Нелинейные методы диагностики детерминированного хаоса".

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ [1-11).

Краткое содержание диссертации

Еа введении сформулированы цели и задачи исследований, обоснована актуальность работы, изложены положения, выносимые на защиту и краткое содержанке работы. Рассматриваются методы диагностики детерминированного хаоса и основные модели, описывающие динамику диссипативных структур в неравновесных средах при слабой надкритичности.

£ перрой гдаре диссертации рассматривается формирование пространственного беспорядка из начального условия, сколь угодно близкого х периодическому. Формирование беспорядка исследовано в рамках модели;

§£= -ы + - и* - (к* )*и. (1)

Вх

Это обобщенное уравнение Свифта-Хоенберга для действительной полевой переменной и(х,ь) в случае субкритической бифуркации. Параметр $ определяет порог неустойчивости и выбирается равным э=2.3 - в этом случае возможно существование устойчивых локализованных структур. Показано, что формирование беспорядка происходит в два этапа: 1) "быстрое" появление локализованных струхтур и 2) "медленное" движение структур на случайные расстояния друг от друга. Установлено, что пространственный беспорядок, имеющий эволюционную природу (т.е. возникающий в чисто детерминированной системе), может появлятся из начального условия, как угодно близкого к периодическому. Приводятся результаты исследования свойств пространственного беспорядка, возникающего в системе: зависимость энтропии Колмогорова-Синая от времени и от периода начального распределения, а также аналитические оценки топологической энтропии пространственного распределения.

Ей второй шва рассматриваются методы диагностики детерминированного пространственно-временного хаоса, т. е. хаотического згоия, описываемого дифференциальными уравнениями в частных производных без флуктуацяоннах нс.-сгаихов. Предлагаемый алгоритм основан на вычислении информационной размерности реконструированного ' по иегову Такенса стохастического множества в фазовом пространстве.

Показано, что размерность этого множества, реконструированного из пространственной или временной хаотической реализации обладает универсальным скейлингом,

позволяющим отличить детерминированный хаос от шумового поля и от статического пространственного беспорядка. Найденный скейлинг информационной размерности 5* стохастического множества в реконструированном из мгновенного снимка фазовом пространстве размерности cfc. выражается формулой:

5*(с,й£) * -q' logc *■ p-dt+ А*. (2)

где с - размер ячеек, покрываюащх стохастическое множество в пространстве вложения <*t. р - плотность пространственной размерности, q' - ^р Здесь с - плотность временной размерности, ч - плотность энтропии системы. Для случая конечномерного хаоса, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. информационная размерность конечна, в этом случае:

5'(c,dt) - D - const (3)

при достаточно малых с и больших dt. В главе 2 показано, что для случая статического пространственного хаоса размерность также будет конечна, т.е. справедливо выражение (3).

В случае шумового пеля мы будем иметь:

D'(c,dt) = dt, (4)

т. е. размерность растет неограниченно при увеличении df. Найденный скейлинг (2> отличается от выражений (3) и (4). что дает возможность разделять нерегулярные мгновенные снимки, являющиеся статическими картинками, генерируемыми системой уравнений в частных производных, либо шумовым источником.

Для доказательства существования характерного скейлинга информационной размерности рассматриваются универсальные свойства функции относительной избыточности для детерминированного пространственно-временного хаоса, на

основе которой можно вычислить статистические зависимости между состояниями системы.

Предложен эффективный алгоритм вычисления функции относительной избыточности через обобщенный корреляционный интеграл, который использовался для анализа статистических зависимостей в системе Гинзбурга-Ландау, С помощью функции относительной избыточности установлен линейный закон спадания информации о соседних состояниях системы, что приводит к появлению скейлинга (2). На основе этих экспериментов подтверждено существование универсального скейлинга информационной размерности в динамической распределенной системе, демонстрирующей хаотическое поведение в пространстве и во времени.

Е третьей главе излагаются результаты исследования динамики квазиодномерных дефектов, которые наблюдаются в системе роликов, описываемой уравнением Свифта-Хоенберга с пространственно-периодическим параметром надкритичности. Рассмотрен случай точного параметрического резонанса, когда пространственный период роликов равен двум периодам параметрического воздействия. Для такой системы получено обобщение уравнения Ньюэлла-Вайтхеда-Сегеля путем усреднения исходного уравнения по периоду параметрического воздействия. Топологически возможны два. качественно различных типа одномерных дефектов в системе параллельных роликов: продольные дефекты (образующая дефекта направлена вдоль роликов) и поперечные дефекты. В чисто градиентном случае дефекты неподвижны и их внутренняя структура зависит от амплитуды внешней периодической неоднородности. Когда амплитуда этой неоднородности больше критической, формируется строго антисимметричная стенка Изинга, в то .время как для

амплитуд меньше критической симметрия нарушается и становится устойчивой стенка Блоха, у которой фаза комплексной амплитуды поворачивается в различных направлениях в зависимости от начальны-', условий.

Качественное различие ьежду продольными н поперечными дефектами проявляется в их взаимодействии. Продольные дефекты либо притягиваются один к другому и аннигилируют (стенки Блоха с одинаковыми знаками 1тА), либо расходятся на бесконечность (различные знаки 1иА). С другой стороны, два поперечных дефекта формируют связанное состояние < в чисто градиентном случае существует счетное множество связанных состояний из двух дефектов). Если учитывать комплексные добавки в коэффициентах уравнения для комплексной амплитуды, то стенка Блоха начинает двигаться (эти добавки могут появляться за счет дисперсии, нелинейного сдвига частоты или расстройки). Число связанных состояний может уменьваться до нуля в зависимости от значения неградиентных добавок, что приводит к исчезновению связанных состояний дефектов для системы с достаточно сильными неградиентными эффектами. В этом случае возможны два качественно различных типа поведения пар поперечных дефектов:

1) дефекты расходятся на бесконечность или соединяются и аннигилируют:

2) дефекты регенерируются с противоположными направлениями поворота фазы, а затеи новие (регенерированные) дефекты расходятся. В этой области параметров, соответствующей взаимодействию второго типа, система с большим числом поперечных дефектов будет демонстрировать сложное нестационарное поведение. которое можно интерпретировать как турбулентность дефектов.

Четвертая сяааа диссертации посвящена анализу динамики дефектов в структуре с вращательной сюшетрией типа "мишень". В недавних экспериментах группы Алерса* на конвекции в газе С0г были подучены спирали с высоким <1*13) топологическим зарядом. В данной главе предлагается модель, описывающая формирование таких спиралей и показывается их устойчивость. Многозарядная спираль является результатом эволюции дефектов на фоне концентрической системы роликов (структура типа "мишень"). Дефекты, в результате взаимодействия друг с другом и с цилиндрической .структурой, движутся к центру мишени и формируют мкогозарядяую спираль, топологический заряд которой равен сумме топологических зарядов дефектов. В качестве основной модели рассматривается градиентное уравнение Свифта-Хоенберга с комплексным параметром порядка. Принимая во внимание слабоиеградиентные добавки в этой модели, можно объяснить вращение многозарядной спирали, также наблюдаемое в > эксперименте.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1) Корзкнов Д. Н. Динамика структур в модели Свифта-Хоенберга. Материалы студенческой научной конференции по радиофизике.ННГУ, Н.Новгород, 1991, с. 19.

2) Когг1поу Ь.Н., йлЫпоу1сЬ И.1., Тв1пг1пд ¿.ЗЬ.

E.Bodenschati, D.S.Camel, R.Ecke, Yu.-Chcu Ни, Kristlna 1лгв«п end Guenter Ahlers, Experiments on Three Systena with Honvariatiorial Aspects, preprint, Dept. of Phys. Univ. of California, Santa Berbers, 1991.

Symmetry breaking in nonequilibrium eystens - Interaction of defects. Phys. Rev. A 46/12,1992, p.7601-7607.

3) Корзинов Л. H., Рабинович М. И., Цимринг Л. Ш. Рождение пространственного беспорядка в градиентных моделях. Препринт н 319. ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. 17 стр.

4) Korzinov L.N., Nikulin A.S., Rabinovich N.I. Origin or spirals with high topological charge. Phys. Lett. A 177 (1993) p.421-427.

5) L.H.Korzinov Noise Reduction method for spatially extended system. Proc. International Summer School on Space Plasma Physics, 31,May-ll,June, 1993, p.53-54.

6) Korzinov L.N., Rabinovich H.I., Tsimring L.Sh. Evolutionary Dynamics of Defects. Theses of Reports "Workshop on Structure Formation in Continuous Dynamical Systems", Potsdam, Germany, 30 August- 3 September, 1993, p.8.

7) Gorshkov K.A., Korzinov L.N., Rabinovich M.I., Tsimring L.Sh. Random Pinning of Localized states and the birth of deterministic disorder within gradient models. J.Stat.Phys. V.74, H 5/6, p. 1033-1046.

8) Корзинов Л. H., Рабинович НИ. Диагностика пространственно-временного беспорядка. Изв. Вузов, Прикладная Нелинейная Динамиха (Изд. Саратовского Университета), том 2, к 1, с. 56-72.

9) Korzinov L.N., Nikulin A.S., Rabinovich H.I. Origin of spirals with high topological charge. Theses of Reports 14th General Conference GCCMD-14, Madrid, Harch, 28-31, 1994,Condenced Matter Division, V.18A, p. 493.

10) Korzinov L.H., Rabinovich M.I., Universal Scaling of correlation integral for spatio-temporal chaos. Theses of reports 2 International School-Seminar "Dynamic and

stochastic wave phenomena", p. 72.

11) Корзинов Л. H., Никулин А. С., Рабинович M. И. Динамика дефектов в структуре типа "мишень" и формирование спиралей с высоким топологическим зарядом. Изв. Вузов, Прикладная Нелинейная Динамика (Изд. Саратовского Университета), том 2, N 2. С. 73-80.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Общая характеристика работы

0.2. Диагностика пространственно-временного хаоса

0.3. Модель Свифта-Хоенберга и формирование структур

в неравновесных средах

ГЛАВА 1. ЭВОЛЮЦИОННАЯ ДИНАМИКА СТАТИЧЕСКОГО БЕСПОРЯДКА 1.1. Модель формирования статического беспорядка

1. 2. Компьютерный эксперимент

1. 3. Качественный анализ эволюционной

динамики последовательности частиц 1. 4. Выводы

ГЛАВА 2. ДИАГНОСТИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО БЕСПОРЯДКА

2.1. Модели пространственного и пространственно-временного

беспорядка

2.2. Статический беспорядок

2.3. Характеристики пространственно-временного хаоса

в "больших" системах

2.4. Относительная избыточность как мера статистической зависимости

2. 5. Скейлинг размерности пространственных реализаций

(компьютерный эксперимент) 2.6. Выводы

ГЛАВА 3. НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ В МОДЕЛИ СВИФТА-ХОЕНБЕРГА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

3.1. Квазиодномерные дефекты в неравновесных средах

3.2. Вывод амплитудных уравнений

3.3. Продольные дефекты

3. 4. Поперечные дефекты

3. 5. Выводы

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ДЕФЕКТОВ В СТРУКТУРЕ ТИПА "МИШЕНЬ" И ФОРМИРОВАНИЕ СПИРАЛЕЙ С ВЫСОКИМ ТОПОЛОГИЧЕСКИМ ЗАРЯДОМ

4.1. Модель Свифта-Хоенберга

4.2. Структуры роликов и фазовые уравнения

4.3. Формирование спиралей с большим топологическим

зарядом

4. 4. Эффект непотенциальных слагаемых

4.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ