Пространственно-временной хаос в распределенных динамических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТАМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Дернов Александр Владимиррвич

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ХАОС В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

тс.

ОБЯЗАТ

БЕСПЛАГпЬ.'! ЭКЗЕМПЛЯР

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М В Ломоносова

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель: академик РАЕН Магницкий Николай Александрович

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Крищенко Александр Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Тихомиров Василий Васильевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Защита состоится "~2.5" 2005 года в 14м часов на заседании

диссертационного совета К.501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Московского государственного университета им М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус.

Автореферат разослан "_"_ 2005 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета .

кандидат физико-математических наук, /

доцент /'/''// В.М. Говоров

2.006-1 l905t

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.Пространственно - временной хаос - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Наиболее очевидными примерами являются непредсказуемо изменяющиеся водовороты в реках, дым от костра, погода. Хаос также присутствует в химических реакциях, динамике популяций, социально - экономических процессах Если математическая модель природного процесса представляет собой нелинейную динамическую систему, то явлению хаоса может отвечать сложное пространственно - временное поведение решений, чувствительное к малым изменениям параметров и начальных условий Накопленный к настоящему моменту опыт численного моделироваг ния показал, что многие нелинейные системы дифференциальных уравнений имеют хаотическое поведение, причем оно не связано с ошибками вычислений. Таким образом, проблему пространственно - временного хаоса в природе представляется возможным свести к проблеме динамического хаоса в нелинейных системах уравнений в частных производных.

Динамический хаос, возникающий в распределенных нелинейных системах, уже ни один десяток лет вызывает все более нарастающий интерес. Однако, пока не существует какой-либо единой и последовательной теории его возникновения. Сейчас можно говорить лишь об отдельных подходах и результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях гидродинамики, химической кинетики, морфогенеза, экологии, социологии, экономики. Среди наиболее значимых из них в хронологической последовательности нужно отметить следующие.

• 1908 г. А Пуанкаре. Создание теории динамических систем. Непредсказуемость погоды, чувствительная зависимость от начальных условий.

• 1944 г Л Д Ландау. Усложнение решений ГД - уравнений при увеличении числа Рейнольдса. Гипотеза: переход к турбулентности путем образования торов все большей размерности.

• 1948 г. Э. Хопф. Математический пример системы, в которой реализуется переход к турбулентности по Ландау.

• 1963 г. Э. Лоренц Хаос в трехмерной системе дифференциальных урав-

• 1964 г. А.Н ТПарковский. Сосуществование циклов различных периодов в одномерных отображениях.

нений.

• 1971 г. Д. Рюэль, Ф. Такенс Наличие открытого всюду плотного множества систем с подковой Смейла на трехмерном торе.

• 1978 г. М. Фейгенбаум. Каскад бифуркаций удвоений периода в логистическом отображении.

• 1968 г. И. Пригожин Диссипативные структуры в системах реакции -диффузия.

• 1978 г. Й. Курамото, Т. Цузуки: Диффузионный хаос.

• 2004 г. H.A. Магницкий. Особые точки типа ротор и их связь с образованием хаотических аттракторов в системах ОДУ.

• 2004 г. H.A. Магницкий, C.B. Сидоров. Субгармонический каскад двумерных торов по одной из частот.

В то же время, в связи с постоянным увеличением мощности компьютеров и быстрым развитием вычислительных методов появляются новые возможности, дающие предпосылки для возникновения теории. Поэтому наиболее важной задачей сейчас является определение пути, по которому должно пойти развитие теории пространственно - временного хаоса.

Целью работы является, во-первых, исследование бифуркаций рождения более сложных устойчивых решений распределенных динамических систем в результате потери устойчивости более простых. Во-вторых, исследование сценариев перехода к хаосу на примере трех качественно - различных математических моделей и попытка классификации видов пространственно - временного хаоса по сценариям образования. В третьих, изучение связи пространственно - временного хаоса с известными видами хаоса в системах обыкновенных дифференциальных уравнений, что является вопросом, задаваемым в разное время Лоренцем, Рюэлем и Курамото.

Методы исследования. В работе используются методы теории уравнений с частными производными, теории бифуркаций, нелинейного анализа, хаотической динамики, а также численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

Научная новизна. В отличие от классических постановок задач на фиксированном отрезке, исследована универсальная роль длины области в качестве бифуркационного параметра распределенных систем. Показано, что увеличение длины в большинстве случаев приводит к бифуркациям качественного усложнения решений и во многих случаях к образованию пространственно -временного хаоса. В частности, доказана теорема, согласно которой б модели

брюсселятора при увеличении длины могут рождаться сколь угодно сложные по пространству структуры В уравнении Курамото - Цузуки в явном виде найдено необходимое и достаточное условие бифуркации пространственно -однородного цикла и рождения неоднородной периодической структуры при увеличении длины области. Построены бифуркационные диаграммы, показывающие пути перехода к хаосу при увеличении длины и различных значениях других параметров в модели брюсселятора, уравнении Курамото - Цузуки и распределенной экономической модели Магницкого. Впервые в модели брюсселятора был найден сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода колебаний диссипативных структур, соответствующий сценарию Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого, который имеет место в широком классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов подтверждена доказательством шести теорем и проведенными численными исследованиями.

Теоретическая и практическая значимость. Современное понятие пространственно - временного хаоса предполагает существование в распердслен-ной системе пространственно - неоднородного аттрактора, не являющегося устойчивым состоянием равновесия, предельнным циклом или га-мерным тором. Очевидно, что такое определение не является удовлетворительным, поскольку не дает ответа на вопрос о том, как можно отличить одип вид хаоса от другого В работе предлагается подход, в основе которого лежит классификация видов хаоса по бифуркациям и сценариям образования. Показано, что возможный вариант развития теории пространственно - временного хаоса может пойти именно по такому сценарному пути, но несколько более сложному и разветвленному, чем в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что все рассматриваемые в работе системы являются математическими моделями реальных природных процессов. Модель брюсселятора описывает некий класс химических реакций, уравнение Курамото - Цузуки описывает поведение широкого класса систем типа реакция - диффузия в окрестности точки потери устойчивости термодинамической ветви, распределенная модель рыночной экономики Магницкого описывает самовозрастание капитала и его диффузию в пространстве технологий под воздействием нормы прибыли. Таким образом, результаты диссертации могут иметь прямое приложение к практическим задачам ро динамике сложных систем в биологии, экологии, химии, экономике.

Основные результаты. На защиту выносятся следующие положения.

1) Доказаны необходимые и достаточные условия бифуркаций рождения устойчивых пространственно - неоднородных стационарных и периодических колебательных структур в модели брюсселятора, уравнении Курамото - Цузу-ки и распределенной экономической модели Магницкого. Найден асимптотический вид этих структур. Исследовано исключительное значение длины области в качестве бифуркационного параметра распределенных динамических систем.

2) Исследованы сценарии перехода к хаосу в трех качественно - различных распределенных динамических системах: модели брюсселятора, уравнении Курамото - Цузуки и распределенной экономической модели Магницкого.

3) Найдена связь некоторых видов пространственно - временного хаоса в распределенных динамических системах с известными видами хаоса в конечномерных системах Сделана попытка классификации пространственно - временного хаоса по сценариям образования.

4) Разработан и успешно применен новый метод локализации пространственно - однородных циклов в распределенных динамических системах, облаг дающих хаотическим поведением.

5) Найдены условия возникновения и доказано существование решений типа бегущей волны в распределенной экономической модели Магницкого с недиагональной матрицей диффузии.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на научно - исследовательских семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ под руководством H.A. Магницкого, а также на следующих семинарах и конференциях:

• Всероссийский научно - исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" под руководством академика РАН, профессора C.B. Емельянова и академика РАН, профессора С.К. Коровина, Москва, МГУ, сентябрь 2005 г.

• Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии" САЙТ - 2005, г. Прреславль - Залесский, сентябрь 2Ö05 г.

• Международная конференция "Verhulst 200 on Chaos", Royal Military Academy, Брюссель, сентябрь 2004 г.

• Всероссийская конференция с международным участием "Математика, Информатика, Управление - 2004", Иркутск, июль 2004 г.

• Международная конференция "Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления", Москва, РАГС, июнь 2004 г.

• Научная конференция "Тихоновские чтения", Москва, МГУ, октябрь 2003 г

• Научная конференция "Тихоновские чтения", Москва, МГУ, октябрь 2002 г.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2002", Москва, МГУ, май 2002 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации - 124 страницы, включая 42 рисунка. Список литературы содержит 65 библиографических ссылок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается актуальность темы, приводится литературный обзор наиболее значимых результатов, дается оценка текущего состояния теории пространственно - временного хаоса, освещаются некоторые нерешенные проблемы. Далее определяются цели данной диссертационной работы, дается описание основных результатов, выносимых на защиту.

Первая глава посвящена бифуркациям, возникающим в распределенных системах, в результате которых из более простых решений рождаются более сложные.

В параграфе 1 1 приводятся некоторые общие сведения из теории бифуркаций. Даются основные определения и формулируются теоремы, которые в дальнейшем используются в работе.

Параграф 1 2 посвящен бифуркациям устойчивого пространственно - однородного состояния равновесия, возникающим в модели брюсселятора, описывающей некий класс химических реакций \Lefever Я., Рггдодте I. - 3. СЬет. РЬув., 1968, 48, р. 1695 - 1700]. Принципиально новым здесь является выбор в качестве бифуркационного параметра длины области.

Рассматривается задача в следующей постановке:

Граничные условия:

Пространственно - однородное стационарное решение

Параметры: А, <1\, ¿2 - фиксированы; В, I - бифуркационные. Теорема 1. Рассмотрим модель брюсселятора (1) с периодическими грат ничными условиями на отрезке длины I. Рассмотрим функцию

„ ... . ,27т.. А2. I А2(1\

Тогда, если длина области лежит в интервале то при

В < тш{Д,(0, А2 + 1} в системе существует устойчивое пространственно - однородное равновесие. При переходе значения В в область

В > тт{/3„(/), А2 + 1}

пространственно - однородное равновесие теряет устойчивость. При этом, если вышеуказанный минимум достигается на В = 1 + А2, то в окрестности положения равновесия рождается устойчивый пространственно -однородный цикл вида

Х(с, = А + у/В- А2- 1с<м(< + <р) + о(В -А2- 1),

У (с, 0 = 4 + у/В - А2 - 1шп(г + ф) + о(В - Л2 - 1); А

иначе рождается семейство простралственно - неоднородных структур вида Х(с,г) = А + л/5-/?„(0«т(~с + а) + о(В - /Зп(1)),

Г (с,О = | - + а) + о{В - /Щ).

Таким образом, доказано, что при увеличении длины области в системе (1) образуются пространственно - неоднородные структуры все более сложной конфигурации. При достаточно же малой длине области в системе (1)

вообще не возникает пространственно - неоднородных устойчивых структур, в окрестности положения равновесия рождается пространственно - однородный устойчивый цикл.

Показано, что данные бифуркации имееют конечномерную природу и описываются нормальной формой на двумерном и одномерном устойчивых многообразиях.

В параграфе 1.3 рассматривается бесконечномерно - вырожденные бифуркации пространственно - однородного равновесия, возникающие в распределенной экономической модели Магницкого, описывающей самовозрастание капитала и его диффузию в пространстве технологий [Магницкий H.A. - Труды ВНИИСИ. -1991. - с. 16 - 22; ], [Магницкий H.A., Сидоров C.B. - Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина. - М.Физматлит, 2002, с.243 - 262]. Данный случай имеет место исключительно в распределенных системах и не сводится к анализу нормальной формы на конечномерном устойчивом многообразии. Такие бифуркации известны также в задачах математической физики (телеграфное уравнение, уравнение колебаний балки, уравнение Буссинеска).

Задача рассматривается в следующей постановке:

j + bx{(l-a)z-5y),

dy

dx _ dt ~ ~К~д<?

dt dz

dt

= х(1 - (1 - 5)y + az) - a(y — dx).

(2)

Граничные условия:

dx dx dy dy Ôz dz

de с=0 Тс C=Tt de c=0 de ~ de C=7Г C=0 de

= 0.

Пространственно однородное стационарное решение:

1 — <7 1 — U S

d( 1

■Syi-a-ö'l-a-S

Параметры к, a, b, d, а - фиксированы; S - бифуркационный. Условие устойчивости:

1

5 ><5* =

bd+ 1'

Лемма 1. Линеаризуем систему (2) вблизи (х*, у*, z*) и рассмотрим первое приближение

^ ( 0 -Ь5х* Ь( 1-<т)х*-к|Л

— = Lu, где L= О -(1 - 5)х* ах"

М \ —ad а О /

Тогда при 5 > S* все собственные значения опрсратора L лежат в лсцой комплексной полуплоскости. При переходе параметра 5 в область значений 5 < 5* в правую комплексную полуплоскость переходит одновременно счетное число собственных значений оператора L. При 5 = 5* собственные значения оператора L задаются формулами

Xnh2 = ±iy/a{bdx*( 1 - a) - ох* + <2(1 - 5)кп2), Xn3 = -(1 - 5)х*.

Теорема 2. При любом положительном к в некоторой положительной области значений параметрова, Ь, d, а существует <5* < 5*, такое, что при всех е< 5* — 5* в системе (2) существует асимптотически орбитально устойчивый пространственно - однородный цикл вида

u = yftr\a ое1"1 + с.с. + 0(е),

где ао - собственный вектор оператора L, соответствующий собственному значению _

гш = i-\/a(bdx*( 1 — <т) — егх*),

г] - некоторая положительная постоянная, с.с. - комплексно сопряженное.

Таким образом, оказывается, что в данном случае бесконечномерного вырождения в окрестности положения равновесия также возникает пространственно - однородный устойчивый цикл

Параграф 1 4 посвящен бифуркациям потери устойчивости пространственно - однородных циклов и рождения в их окрестности пространственно - неоднородных периодических структур.

Теорема 3. Рассмотрим систему (2) при фиксированном значении 5 < 5*, таком, что в соответствующей сосредоточенной системе существует простой устойчивый цикл

Щ (t) = (xo{t),yo(t),zo(t)) периода Т. Тогда можно указать значение коэффициента диффузии к* (5) такое, что при к < к* система (2) имеет пространственно - однородный устойчивый цикл

u{c,t) = Uo{t),

а при переходе коэффициента к в область значений к > к* в системе (2) происходит потеря устойчивости этого пространственно - однородного цикла и в окрестности него рождается пара пространственно - неоднородных устойчивых периодических структур вида

и = uo(t) ± \/к — K,'ao(t)cosc + о(к — к*),

где ao (t) - некоторая Т - периодическая вектор - функция, не зависящая от (к - к*).

Показано, что данная бифуркация имеет конечномерный характер и имеет место сведение ее на конечномерное многообразие.

Другим примером, рассмотренным в данном параграфе, является уравнение Курамото - Цузуки, описывающее поведение широкого класса систем типа реакция - диффузия вблизи точки потери устойчивости термодинамической ветви [Kurarnoto Y., Tsuzuki Т. - Progr. Theor. Phys., 1975, 54, N3, 687 - 699.]

dW cPW

^f = W + (l + ic1)-^--(l + ic2)W\W\2 (3)

Граничные условия:

dW de

-

c=0 9c

= 0.

c=l

Пространственно - однородное периодическое решение находится явно: W{c, t) = tp = const.

Известно [Kuramoto, Tsuzuki], что достаточным для его устойчивости при любой длине области является условие:

1 + С!С2 > 0.

Относительно необходимого условия доказана следующая теорема.

Теорема 4. Рассмотрим уравнение (3) с граничными условиями второго рода на отрезке длины I; параметр I будем считать бифуркационным Предположим, что выполнено условие 1 + С1С2 <0. Тогда при

, „ , 11+4 2 1 + С\С2

в уравнении (3) существует устойчивый пространственно - однородный цикл

W0(c,t) = 11

При переходе параметра I в область I > I* цикл теряет устойчивость и в окрестности него возникает пространственно - неоднородная периодическая структура.

Таким образом, для уравнения Курамото - Цузуки как и ранее для модели брюсселятора доказано пространственно - временное усложнение решений в результате увеличения длины области.

Параграф 1 5 посвящен бифуркациям рождения устойчивых двумерных торов. Показано, что данная бифуркация по своей природе двухпараметрическая и на практике имеет мсмысл рассматривать лишь рождение устойчивого инвариантного тороидального многообразия не рассматривая динамику на нем В модели брюсселятора (1), экономической модели Магпицкого (2) и уравнении Курамото - Цузуки (3) численно были найдены бифуркации рождения торов в результате потери устойчивости пространственно - неоднородных периодических структур, в уравнении (3) дополнительно найдены бифуркации образования субгармоники по одной из частот устойчивого тора Построены соответствующие бифуркационные диаграммы. Показано, что увеличение длины области приводит к дальнейшему усложнению решений

Вторая глава посвящена исследованию собственно сценариев перехода к пространственно - временному хаосу, то есть путей, по которым происходит усложнение решений в распределенных системах, приводящих к образованию пространственно - неоднородного хаотического аттрактора.

Параграф 2 1 посвящен описанию методов диагностики пространственно -временного хаоса. Основным вопросом, задаваемым в этом параграфе является возможность какой - либо классификации видов хаоса и критериев отличия одного вида от другого. Исследуется возможность такой классификации по следующим критериям: геометрической структуре аттрактора, динамическим характеристикам траекторий системы, сценарию перехода к хаосу. Показано, что наиболее жизнеспособным является сценарный подход.

В параграфе 2.2 исследуются сценарии перехода к хаосу в модели брюсселятора (1) Оказывается, что в зависимости от соотношения величин

в системе (1) возможны два сценария перехода к хаосу.

1) В* < В{ - переход к хаосу через увеличение размерности торов

2) В* > В*: сценарий Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого на диссипа-тивной структуре

Показано, что при увеличении длины области возможно сосуществование сколь

угодно большого количества различных аттракторов, что может приводить к беспорядочным перескокам траектории в результате малых флуктуаций.

Таким образом, второй сценарий раскрывает связь одного из видов пространственно - временного хаоса с известным хаосом в обыкновенных дифференциальных уравнениях, что дает ответ на вопрос задаваемый в разное время Лоренцем, Рюэлем и Курамото о такой связи.

В параграфе 2.3 исследуются сценарии перехода к хаосу в уравнении Курамото - Цузуки (3). Показана неправомерность редукции исходной бесконечномерной задачи к трехмерному маломодовому приближению Показано, что при увеличении длины области происходят субгармонические каскады бифуркаций двумерных торов по различным частотам с образованием аттракторов, являющихся произведением аттрактора Фейгенбаума на окружность. Не исключено существование аттаркторов, имеющих структуру произведения двух аттракторов Фейгенбаума. Построены бифуркационные диаграммы.

Параграф 2.4 иллюстрирует сценарий перехода к хаосу в распределенной экономической модели Магницкого (2). Показано, что несмотря на качественное различие моделей, данный сценарий имеет качественное сходство со сценарием перехода к хаосу путем увеличения размерности торов, имеющим место в модели брюсселятора (1). Таким образом, данный сценарий показал свою универсальность для распределенных динамических сиситем. Начало, данного сценария совпадает с гипотезой Ландау о развитии турбулентности, однако, существование устойчивого трехмерного тора и его возможные бифуркации пока остаются темой для дальнейших исследований.

В третьей главе рассматриваются различные пространственно - временные свойства решений распределенной модели рыночной экономики Магницкого (2), представляющей собой неклассическую систему реакции - диффузии, имеющую недиагональную матрицу диффузионного оператора.

Параграф 3 1 содержит обоснование постановки и общее описание задачи. В параграфе 3.2 приведен вывод уравнений модели и окончательная постановка задачи.

В параграфе 3.3 исследуются свойства решений состредоточенной системы в макропоказателях

Ьх((1 - а)г - 5у),

х(1-(1 -б)у + аг), (4)

а(у — с1х),

дх

т

ду

т

дг

т

которые соответствуют пространственно - однородным решениям распределенной модели (2). Показано, что в системе (4) имеет место сценарий перехода к хаосу Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого, что соответствует пространственно - однородному хаосу в системе (2), который при уменьшении коэффициента диффузии переходит в пространственно - временной хаос, отличный от рассмотренных в предыдущей главе видов.

Для данной модели предложен метод локализации пространственно - однородных циклов, позволяющий находить их на хаотическом аттракторе.

Теорема 5. Рассмотрим предельный цикл щ{и 5) системы (4). Пусть 6* -критическое значение параметра 5, такое, что при 6 > цикл устойчив, а при <5 < ¿1 претерпевает бифуркацию удвоения периода. Тогда существует 51 < 6*, такое, что неустойчивый цикл ¡¡) может быть локализован в фазовом пространстве с любой степенью точности.

Параграф 3.4 посвящен аналитическому исследованию волновых эффектов, возникающих в распределенной системе (2) и найденных ранее численно.

Теорема 6. Будем полагать, что изменение функции у(с, £) по переменной I несущественно по сравнению с изменением функций х(с, Ь) и г (с, £). В таком масштабе времени в системе (2) будут существовать бегущие волны, описываемые линейным гиперболическим уравнением.

8Рг д2г дг

- ^ = Ьау'(( 1 - <т)г - 6у*) - ^((1 - а)г* - 6у*)

В параграфе 3.5 обсуждаются некоторые аспекты практического применения данной модели для анализа динамики сообществ стран с рыночной экономикой. Описан дискретный аналог модели (2) и опыт его практического применения.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико - математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и достоянное внимание к работе, а также старшему научному сотруднику ИСА РАН, кандидату технических наук Сидорову Сергею Васильевичу за обсуждения и полезные советы.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1 ] Дернов А.В Регулярная динамика и диффузионный хаос в модели Брюс-селятор // Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, N 11, с. 1554-1556.

[2 ] Дернов A.B. Диффузия капитала и спроса в модели саморазвивающейся рыночной экономики // Сб. Нелинейная динамика и управление Вып. 2' под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина. - М.:Физматлит, 2002, с. 233242.

[3 ] Дернов A.B. Стабилизация неустойчивых периодических орбит одномерных хаотических отображений // Сб Нелинейная динамика и управление Вып. 1: под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина. - M :Физматлит, 2001, с. 247-252.

[4 ] Дернов A.B., Дубровский А.Д. О бифуркациях и аттракторах в маломо-довом приближении уравнения Курамото - Цузуки // Проблемы вычислений в распределенной среде. Модели обработки и представление данных. Динамические системы. Труды института системного анализа Роесийской академии наук (ИСА РАН), т. 14: под ред. C.B. Емельянова, А.П. Афанасьева. - М.:Едиториал УРСС, 2005, с. 185-189.

[5 | Дернов А.В О новых подходах к проблеме управления хаосом // Сб. статей студентов и аспирантов. Ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова Вып. 1/ Под ред. проф. С.А. Ложкина. - М.:Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002, с. 31-37.

[6 ] Дернов A.B., Магницкий H.A., Сидоренко В.Н., Сидоров C.B. Динамический подход к оценке состояния рыночной экономики // Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления. Материалы Первой международной научно - практической конференции. Том 2. Часть 1-я. Под общей ред. д. соц. н., проф. В. Л. Романова. - М.:Изд-во "Проспект", 2004, с. 55-60.

182 0 3 4?

•я / РНБ Русский фонд

2006-4 19032

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от01.12.99 г. Подписано к печати 12.10 2005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ 642. Тел. 939-3890. Тел /Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1 Бифуркации в распределенных динамических системах

1.1 Некоторые общие сведения из теории бифуркаций.

1.2 Бифуркации положения равновесия конечной размерности в модели брюсселятора

1.3 Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого.

1.4 Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов

1.5 Бифуркации рождения торов.

1.6 Выводы.

2 Хаотическая динамика в распределенных системах

2.1 Методы диагностики пространственно - временного хаоса

2.2 Переход к хаосу в модели брюсселятора.

2.3 Переход к хаосу в уравнении Курамото-Цузуки

2.4 Переход к хаосу в распределенной экономическойстеме недиагональной матрицей диффузии.

2.5 Выводы.

3 Распределенная модель рыночной экономики Магницкого

3.1 Общее описание задачи.

3.2 Распределенная модель рыночной экономики.

3.3 Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос

3.4 Волновые эффекты в распределенной системе.

3.5 Некоторые аспекты практического применения модели.

3.6 Выводы.

Пространственно - временной хаос - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Наиболее очевидными примерами являются непредсказуемо изменяющиеся водовороты в реках, дым от костра, погода. Хаос также присутствует в химических реакциях, динамике популяций, социально-экономических процессах. Если математическая модель природного процесса представляет собой нелинейную динамическую систему, то явлению хаоса может отвечать сложное пространственно-временное поведение решений, чувствительное к малым изменениям параметров и начальных условий. Накопленный к настоящему моменту опыт численного моделирования показал, что многие нелинейные системы дифференциальных уравнений имеют хаотическое поведение, причем оно не связано с ошибками вычислений. Таким образом, проблему пространственно - временного хаоса в природе представляется возможным свести к проблеме динамического хаоса в нелинейных системах уравнений в частных производных.

Динамический хаос, возникающий в распределенных нелинейных системах, уже ни один десяток лет вызывает все более нарастающий интерес. Однако, пока не существует какой-либо единой и последовательной теории его возникновения. Сейчас можно говорить лишь об отдельных подходах и результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях химической кинетики, морфогенеза, экологии, социологии, экономики. С другой стороны, в связи с постоянным увеличением мощности компьютеров и быстрым развитием вычислительных методов появляются новые возможности, дающие предпосылки для возникновения теории. Поэтому наиболее важной задачей сейчас является определение пути, по которому должно пойти развитие теории пространственно - временного хаоса.

Исторически было несколько попыток дать математическое объяснение возникновения хаоса. В 1944 году Л. Д. Ландау был предложен сценарий, который объяснял механизм возникновения турбулентности в гидродинамических уравнениях, путем последовательного возбуждения все большего числа мод [24],[25]. Фазовым пространством динамической системы в данном случае является пространство скоростей движения вязкой жидкости. Параметром системы является число Рейнольдса отвечающее за интенсивность внешнего воздействия, способствующего движению. Было установлено, что при малых значениях числа R решением системы является устойчивая неподвижная точка в пространстве скоростей, соответствующая стационарному течению. При достижении числом Рейнольдса критического значения R > Rcri, в фазовом пространстве возникает предельный цикл, соответствующий периодически пульсирующему течению. Далее, при достижении следующего критического значения R > Rcr2 цикл становится неустойчивым и в системе возникает дополнительная частота, что приводит к возникновению в окрестности цикла устойчивого "цикла на цикле "или тора. Далее было предположено, что при дальнейшем увеличении R в системе будут возникать все новые и новые частоты. Геометрически это означает потерю устойчивости двумерного тора и возникновению в его окрестности трехмерного тора, затем ему на смену придет четырехмерный тор и т.д., причем интервалы между бифуркационными значениями параметра быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Движение, получающееся в пределе, было названо турбулентным. Независимо от Ландау, подобную теорию в 1948 году опубликовал немецкий математик Э. Хопф [61].

Другой подход был предложен в 1971г. французским физиком Д. Рюэлем [50],[41]. Совместно с Ф. Такенсом и С. Ньюхаусом было показано, что на трехмерном торе существует всюду плотное открытое множество систем с подковой Смейла - фрактальным объектом, имеющим дробную размерность. Таким образом, стал возможен еще один сценарий возникновения турбулентности. После образования трехмерного тора совсем не обязателен дальнейший каскад Ландау-Хопфа. В результате малых флукту-аций система сваливается во множество систем с подковой Смейла и таким образом в ней возникает хаотическая динамика.

Несколько позже физики и математики уделили внимание работе американского метеоролога Э. Лоренца, численно обнаружившего в 1963 году апериодические решения в нелинейной системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений, широко известной сейчас как система Лоренца. С этого момента возникла новая парадигма, получившая имя - хаос. Было найдено множество других динамических систем конечной размерности, обладающих хаотическим поведением. Особо важное открытие в этом направлении было сделано в 1978 году американским физиком М. Фейгенбаумом [56]. В логистическом отображении xn+i = rxn( 1 - хп), х е [0,1], г G [0,4] он обнаружил каскад бифуркаций рождения устойчивых периодических орбит удвоенного по сравнению с предыдущим периода: 2,4,8,., возникающий при увеличении г. Также было обнаружено, что интервалы между бифуркационными значениями г убывали в пределе со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем <5 = 4,66920., а в конце каскада образовывался сложный апериодический аттрактор. Замечательным фактом является то, что данный сценарий оказался универсальным для широчайшего класса одномерных отображений. Более того, оказалось, что постоянная 8, получившая название константы Фейгенбаума, не зависит от отображения. Еще ранее, в 1964 г., не менее замечательное открытие было сделано советским математиком А. Н. Шарковским [63], обосновавшим порядок, в котором происходит усложнение одномерных немонотонных отображений, началом которого является каскад Фейгенбаума. Значение этого результата для теории хаоса было осознано лишь в 1975 г. после известной работы Т. Ли и Дж. Йорке, независимо доказавших, что существование цикла периода три в непрерывном отображении отрезка в себя влечет существование циклов любого периода. Позже выяснилось, что данный результат является лишь частным результатом не известной им ранее теоремы Шарковского о сосуществовании циклов периоды которых можно упорядочить следующим образом:

1 .< 2 < 22 < 23 < . О 22 - 7 <.22 • 5 < 22 • 3 < . < 2 • 7 < 2 • 5 < 2 • 3 < . <9<7<5<13, где т <;п означает, что если в отображении существует цикл периода п, то существует цикл периода т.

Оказалось, что сценарий Фейгенбаума - Шарковского играет существенную роль и в теории хаоса для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, имеют место субгармонические каскады бифуркаций удвоения периода предельных циклов с универсальной постоянной Фейгенбаума и в соответствии спорядком Шарковского. Как было недавно показано Н. А. Магницким [35] , данные каскады определенным образом включаются в общий сценарий Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого, имеющий место в огромном классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связующим звеном между одномерными отображениями и дифференциальными уравнениями выступает открытая Магницким особая точка типа ротор двумерной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей главной линейной части.

Пространственно - временной хаос в химических реакциях начал изучаться уже в русле парадигмы динамического хаоса. Экспериментально колебания реакций были обнаружены значительно раньше [48], но хаос тогда воспринимался как неудавшийся эксперимент. В 60-е годы химики начали приходить к мнению, что некоторые химические процессы не объясняются развитой на тот момент теорией линейной неравновесной термодинамики. Ученые брюссельской научной школы под руководством И. При-гожина предложили для их объяснения содержательные нелинейные модели, в которых используются величины, характерные для термодинамики (концентрации, температуры и т.д.) [26]. Данный подход оказался очень плодотворным, с помощью него было объяснено существование устойчивых пространственно-неоднородных структур и периодических химических колебаний. На возможность существования турбулентности в химических реакциях в 1973 году обратил внимание Рюэль [51], после чего началось активное изучение этого феномена. Большой вклад в теорию нелинейных систем реакции диффузии внесли японские физики И. Курамото и Т. Цузуки. В своей работе 1978 года [22] Курамото писал "Важная, не решенная пока проблема, состоит в том, чтобы найти связь диффузионного хаоса с каким-либо известным видом хаоса, возникающего в системах с несколькими степенями свободы". Подобный вопрос ставился и ранее в работах Лоренца [28] и Рюэля - Такенса [50].

На наш взгляд, построение последовательной теории хаоса для распределенных динамических систем возможно. Более того, развитие данной теории может пойти по пути классификации бифуркаций и сценариев перехода к хаосу, только, несомненно, более сложных и разветвленных по сравнению со сценариями в конечномерных системах. Существенно иным должен являться выбор множества объектов исследования. В то время как в конечномерной теории хаоса объектом исследования может являться любая автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, здесь к объектам исследования нужно подходить более избирательно. Очевидной причиной такого подхода является то, что абстрактное нелинейное уравнение в частных производных может не иметь решениий вообще, более того, нет никаких сколь - угодно универсальных теорем существования и/или единственности. На данный момент разумным кажется ограничение выбора объектов исследования прикладными задачами. В данной работе в качестве примеров для исследования хаоса были выбраны три объекта: модель брюсселятора, уравнение Курамото-Цузуки и распределенная модель рыночной экономики Н.А. Магницкого.

Основная цель данной работы - на примере трех качественно отличных друг от друга модельных систем показать, как в распределенных системах происходит переход от простых решений к более сложным, какие неизвестные ранее бифуркации возможны в распределенных системах, какие из них и каким образом приводят к возникновению хаоса. Оказывается, что бифуркации, сценарии перехода к хаосу и сами хаотические аттракторы в трех рассматриваемых системах имеют качественные различия. Тем не менее, прослеживаются и некоторые общие черты, что позволяет сделать вывод о возможности построения последовательной теории пространственно - временного хаоса, но достаточно сложной и разветвленной.

Помимо основной цели, данная работа имеет некоторую прикладную направленность. Поскольку все примеры, рассматриваемые в данной работе, были взяты из прикладных задач-, то, помимо изучения непосредственно явления пространственно - временного хаоса, интерес представляют и другие, нехаотические решения данных систем, такие как стационарные и периодические диссипативные структуры, волны, сложные пространственно -однородные циклы. Особое внимание уделено анализу решений распределенной модели рыночной экономики, представляющей собой систему реакции - диффузии с недиагональной матрицей.

Работа состоит из трех глав. Цель первой главы - показать, каким образом в распределенных системах могут рождаться более сложные решения из более простых. Самым простым устойчивым решением распределенной системы является пространственно - однородное равновесие. Оказывается, что в распределенных системах возможны две качественно различные бифуркационные картины: конечномерная и бесконечномерно - вырожденная. Первый тип может быть описан нормальной формой конечной размерности и порождает изменения фазового портрета на многообразии конечной размерности. Такие бифуркации присущи и системам обыкновенных дифференциальных уравнений, однако, в распределенной системе вследствие существующей симметрии может рождаться континуум диссипативных структур. Данное явление найдено и исследовано для периодической задачи модели брюсселятора. Второй случай - бесконечномерное вырождение, присущ уже только распределенным системам и требует более сложного анализа, не сводящегося к редукции на конечномерное многообразие. В данной главе исследована такая бифуркация, имеющая место в распределенной модели рыночной экономики, причем показано, что данный случай не является экзотическим, а имеет место для целого класса систем данного вида.

Следующим по сложности решением является устойчивый пространственно - однородный цикл, который может родиться в результате бифуркации положения равновесия и претерпевать бифуркацию при дальнейшем изменении праметров. В данной главе был проведен анализ бифуркации пространственно - однородного цикла в распределенной модели рыночной экономики. Показано, что в результате такой бифуркации рождается два симметричных пространственно - неоднородных цикла, вид которых найден асимптотически. Явление, когда из одного симметричного решения рождаются два или континуум, присуще распределенным системам, поскольку они обычно имеют симметрии.

Еще более сложными, но не хаотическими решениями, типичными для распределенных систем, являются двумерные торы, которые могут рождаться как в результате бифуркации устойчивых циклов, так и в результате бифуркации других двумерных торов, имеющих более простую пространственную конфигурацию. Различные ситуации рождения и разрушения торов были исследованы численно в первой главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Во второй главе показывается, что именно бифуркации торов играют решающую роль в образовании хаотических аттракторов в распределенных системах.

Вторая глава посвящена исследованию собственно сценариев перехода к хаосу, то есть путей по которым происходит усложнение решений, приводящее к образованию хаотического аттрактора. Для каждой из трех рассматриваемых в работе систем показано, каким образом описанные в предыдущей главе бифуркации складываются в каскады и из регулярных аттракторов происходит рождение хаоса. Стоит отметить, что современное определение хаоса в распределенных системах пока еще не является полностью удовлетворительным. В современной литературе и статьях пространственно - временным хаосом называют динамику, при которой существует аттрактор, нетривиально зависящий от пространственной переменной, причем он не является предельным циклом или тором. Очевидно, что при таком подходе мы никак не можем качественно сравнить две системы, имеющие хаотическое поведение. Однако, если рассматривать виды хаоса без отрыва от сценария, то уже появляется возможность для их сравнения и классификации. Бифуркационные диаграммы, каждая из которых представляет собой область в пространстве параметров, разделенную на подобласти, соответствующие качественно различным решениям, являются объектами, вполне пригодными для сравнения в определенном смысле. Такие диаграммы построены в данной главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Проведено качественное сравнение сценариев, выделены некоторые общие черты и различия. Отдельно уделено внимание явлению квазихаоса в распределнных системах. Оказалось, что для распределенных систем типичным является существование нескольких аттракторов с близко расположенными областями притяжения, что может вызвать хаотическое поведение вследствие малых случайных внешних возмущений.

Третья глава целиком посвящена анализу решений распределенной модели рыночной экономики Н. А. Магницкого. Помимо бифуркаций и сценария перехода к хаосу, рассмотренных в двух предыдущих главах, данная система обладает множеством других интересных свойств. Во-первых, система уравнений данной модели принципиально отлична от систем реакции - диффузии, моделирующих процессы в естественно - научных областях, а именно, имеет недиагональную матрицу диффузии. Во-вторых, оказалось, что данная система трех уравнений обладает пространственно - однородной хаотической динамикой. Наконец, подобный подход ранее не применялся в экономическом моделировании, поэтому, представляет интерес качественная верификация модели, а именно соответствие предельных циклов реальным циклам деловой активности, хаотизация экономики при уменьшении государственного регулирования и другие свойства. Специально для анализа решений данной модели в настоящей работе был разработан и использован метод стабилизации пространственно - однородных циклов и подход, разделяющий переменные на быстрые и медленные с целью анализа природы волновых эффектов.

Благодарности Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и постоянное внимание к работе, а также старшем/у научному сот,руднику ИСА РАН, тндидату технических наук Сидорову Сергею Васильевичу за обсуждения; и полезные советы.

3.6 Выводы

В данной главе были изучены некоторые свойства распределенной модели рыночной экономики Н.А. Магницкого, не имеющие аналогов в классических системах реакции - диффузии. Исследованы пространственно - однородные решения, имеющие сложное периодическое и хаотическое поведение во времени.

Специально для данной системы были предложены'некоторые методы анализа. Разработан метод, стабилизации пространственно - однородных циклов данной системы с использованием отображений Пуанкаре. Предложен метод, позволяющий разделить переменные на быстрые и медленные, что позволило аналитически объяснить природу волновых эффектов, найденных ранее в системе при численном эксперименте.

Освещены некоторые аспекты практического применения данной модели. в частности, показано, каким образом данная модель может быть применима для оценки состояния рыночной экономики для конкретных экономических, систем.

1. Андронов А.А Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР 1956, 538с.

2. Андронов А.А, Леонтович-Андропова Е.А. Некоторые случаи зависимости периодических движений от параметра. Уч. записки ГГУ 1939

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000, 400 с.

4. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики -5.М.'ВИНИТИ. 1986, с. 5-218.

5. Ахромевва Т.С., Курдюмов С.П., Малинвцкий Г.Г., Самарский А:А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992, 544 с.

6. Демидову,ч Б.П Лекции по математической теории- устойчивости: Учеб. пособие.-2-е изд.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998,480 с.

7. Дернов А.В. Регулярная динамика и диффузионный хаос в модели Брюсселятор. // Дифф. ур-я, 2002, т. 37. N 11, с. 1554-1556

8. Дернов А.В. Диффузия капитала и спроса в модели саморазвивающейся рыночной экономики, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2002, с. 233-242

9. Дернов А.В. Стабилизация неустойчивых периодических орбит одномерных хаотических отображений, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2001, с. 247-252.

10. Дернов А.В. О новых подходах к проблеме управления хаосом. //Сб. статей студентов и аспирантов. Ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.Вып. I/ Под ред. проф. С.А. Ложкина. -М.:Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002, с.31-37

11. Дернов А. В., Магницкий Н.А. О переходе к хаосу в одной неклассической системе, уравнений "реакция-диффузия". // Дифф. ур-я, 2005, т. 41, N 12 (в печати).

12. Дернов А.В. Использование принципа подчинения Хакена для анализа волновых процессов в нелинейной системе с диффузией, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: под ред. С.В. Емельянова. С.К. Коровина. М.Физматлит, 2005 (в печати)

13. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной теории: Пер. с англ. М.: Мир, 1999,335 с.

14. Колесов А.Ю. Структура однородного цикла в среде с диффузией // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1989. Т. 53, N 2, с. 345-362.

15. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелиней' ных эволюционных уравнений: Учебное пособие /' Яросл. гос.ун-т. Ярославль 2003,108 стр.

16. Куликов А.Н. О бифуркациях рождения инвариантных торов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГу, 1983. с.112-117.

17. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. -Berlin: Springer, 1984, 156p.

18. Kuramoto Y. Diffusion induced chaos in reaction systems. Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978, 64, 346-367.

19. Kuramoto Y. Тsuzuki Т. Oil the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems. Progr. Theor. Phys., 1975, 54, N3, 687-699.

20. Ландау Л. Д. Т. О проблеме турбулентности, Докл. Акад. Наук СССР, 44, N8, 1944, с. 339-342.

21. Li T.Y., Yorke J.F. Period three implies chaos Amer. Math. Mounthly, 1975, v. 82, N 10, p. 982-985.

22. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-141

23. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. -М.:Наука, 1990, 272 с.

24. Магницкий Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики // Труды ВНИИСИ.- 1991. с. 16-22

25. Магницкий Н.А., Сидоров С.В'. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2002, с.243-262

26. Магницкий Н. /1., Сидоров С. Б. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад двумерных торов. // Дифф. ур-я, 2005, т. 41, N 11, с. 1550-1558.

27. Магницкий Н.А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

28. Магницкий Н.А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. // Дифф. ур-я, "2002, т. 38, N 12, с. 1606-1610

29. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Особые точки типа ротор неавтономных систем и.их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем // Дифф. ур-я, 2004, т. 40, N 11, с. 1579-1593

30. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. // Дифф. ур-я, 1998, т. 34, N 11, с. 1501-1509

31. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. // Дифф. ур-я, 2001, т. 37, N 11, с. 1494-1506

32. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1980, 368 с.

33. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Некоторые вопросы теории многочастотных колебаний. // Препринт Института математики АН УССР. 77-14. К., 1977. 46 с.

34. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005, 432 с.

35. Newhouse S., Ruelle D. Tokens F. Occurence of strange Axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 // Commun. Math. Phys. 64, p. 35-40, 1978

36. Никол,uc Г. Пригож/an И. Самоорганизация в неравновесных системах. М. Мир, 1979, 512 с.

37. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett., 1990, v.4, p. 1196-1199.

38. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. -М.: Мир. 2000, 333 с.

39. Poincare Н. Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste/ Vol. 1, Paris (1892)

40. Poincare H. Sur le courbes define par une equation differentielle, J. Math. Pures Appl. (4), 1, 1885, p. 167-244

41. Пуу Т. Нелинейные экономические системы.-М.:Мир, 1999, 198 с.

42. Руе К., Chance D. Sustained sinusoidal oscillations of reduced pyridine nucleotide in a cell-free extract of Saccharomyces carlsbrergenesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. 55, 1966, p. 888894

43. Pyragas K. Continious control of chaos by self-controling feedback // Phys. Lett. A., 1992, v. 170, p. 421-428.

44. Р'ЮэльД., Такепс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 117-151

45. Ruelle D. Some comments on chemical oscillations. Trans N.Y. Acad. Sci. Ser. II 35, 1973, p. 66-71

46. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука 1987, 304 с.

47. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра, Математич. сборник 1948, т. 22(64), вып 2.,с. 193-204.

48. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 1972, 735с.1. Параграф 3.61. ВЫВОДЫ

49. Turing А-.М. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc.' Lond. 1952. B. 273, 37. p. 37-72

50. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, т. 141, в. 2, с. 343-374

51. Хакен Г. Синергетика.-М.:Мир,1980, 404 с.

52. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся'системах и устройствах.-М.:Мир,1985,419с.

53. Хэссард Б., Каза,ринов Н., Вэн Я. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М. Мир, 1985, 280 с.

54. Hirsch М, Smale S. Differential Equations. Dynamical Systems and Linear Algebra. A., P., New-York 1974

55. Hopf E. A mathematical example, displaying the features of turbulence. Cominun. Pure Appl. Math. 1, 1948, p. 303-322.

56. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung. eines Differentialsystems. -Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat., 1942, 94, S. 3-22.

57. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн., 1964, т. 26 N 1 с. 61-71

58. ShiVnikov L.P. Chua's circuit: rigorous results and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994 Vol. 4, N 3 P. 489-519

59. Шоиптай'швили A.H. Бифуркация топологического типа векторного поля вблизи особой точки. Труды семинара им. И.Г. Петровского 1г1975, стр. 279-309