Процессы самоорганизации при фильтрации релаксирующих жидкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

АЗЕРБАЙДЖАН СКИП ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ни. М. АЗИЗБЕКОВА

На правах рукописи

ЧЕМБАРИСОВА РОЗА ГАЛИЕВНА

ПРОЦЕССЫ САМООРГАНИЗАЦИИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ РЕЛАКСИРУЮЩИХ ЖИДКОСТЕЙ

Специальность 01.02 05 — Механика жидкостей, газа н

плазмы .

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

/

Баку

1991

Работа выполнена на кафедре «Прикладной физики и механик!« Башкирского государственного университета.

доктор технических наук, член-корреспондент Академии естественны? наук России ХАЛИКОВ Г. А.,

доктор физико-математических наук АМЕНЗАДЕ Р. Ю.

Ведущая организация — Институт прикладной математики им М. В. Келдыша АН СССР.

на заседании специализированного совета К. 054.02.03 в Азербайджанском ордена Трудового Красного Знамени индустриальном университет« им. М. Азизбекова по адресу: г. Баку, 370601, пр. Ленина, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор САЯХОВ Ф. Л., доктор физико-математических наук, профессор АХАТОВ И. Ш.

Официальные оппоненты:

Защита состоится «.'Т.»

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, к. т. н.

3. Ю. АЛЕКПЕРОВА

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актульносгь проблет

В настоящее время в нашей стране введено в разработку большое количество месторождений нефтей повышенной вязкости, обладающих аномальными свойствами. Это создает дополнительные трудности при их разработке. Поэтому важное значение имеют задачи, связанные с повышением эффективности воздействия на процесс фильтрации таких нефтей с учетом аномальных свойств фильтрующихся фявддов и твердого скелета, наличия температурных полей, источников и стоков жидкости.

Для реологического и фильтрационного описания неньютоновских нефтей наиболее часто используют нелинейный закон. Нелинейности могут быть связаны также с твердым скелетом и стоками. В связи с этим появляется необходимость разработки методов решения нелинейных задач фильтрации реологически сложных жидкостей в пористых средах на основе построения моделей и исследования степени их соответствия реально наАлвдаемым процессам.

Цель работы

Исследование влияния, неравновесных эффектов, нелинейности сред, нал"чия стоков на характер двклеяия неньютоновских яидкоо-тей в пористых средах.

Задачи, рассматриваете я диссертации

1. Термсконвектисная устойчивость релакспругадих яидкостей при наличии вертикального градиента температуры в плоском горизонтально!.? слое пористой средн.

2. Термокоивекция рслаксцрухщих ладкостей в пористой среде а тороидальной гео1. трней.

3. Приближенный анализ процессов лок шзации при *>тьтра-цли релаксируквдх жидкостей в пористых средах со стоком.

4. Выбор эффективного алгоритма для численного анализа особенностей фильтрации релахсируюшх жидкостей в пористых средах.

5. Численное решение задача о фильтрации релаксируюцих жидкостей в нелинейных средах со стеком.

Научная новизна

1. Изучена естественная конвекция релаксирукщих жидкостей в пористой среде. Показана возможность нарушения равновесия, при числах Рэлея, меньших критического. Проанализировано влияние реологических параметров и времен релаксации на возмогшие режимы термоконвекции на основе упрощенной математической модели процесса, являацегося обобщением классической системы Лоренца.

2. Показано, что предложенная динамическая система уравнений асимптотически точно описывает термоконвекцию релаксирувдих жидкостей е пористой среде с тороидальной геометрией.

С. Обнаружено, что при фильтрации релаксирукшх жидкостей в пористых средах со стоком, в зависимости от характера изменения давления на границе, возможны колебания положения фронта локализации.

' 4. Проведен численный анализ особенностей фильтрации релаксирукщих жидкостей в нелинейных пористых средах со стоком. Лод-твервдеко существование локализованных структур о осциллирующей глубиной локализация. Проанализирована возможность нарушения колебательного режима локализации.

Практическая ценность . Научные результгты могут найти применение в отраслях народного хозяйства, в которых используются жидкости, облздаидие релаксационными свойствами.

' Алпробацдй работы

Результаты работы докладывались на конференциях и семинарах:

- Научно-технической конференции "Проблемы синергетики" (Уфа, 1989);

- Международной конференции "Разработка газоконденсатнях месторождений" (Краснодар, 1990);

- Семинарах кафедры Прикладной физккн и механики Баш1У (Уфа, 1988, 1989, 1990).

- На семинаре ХНК-ЖШ Уфимского нефтяного института (1991).

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включавдего 78 наименований. Работа излояена на 79 страницах машинописного текста, содержит 36 рисунков и 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

■ По своим реологическим 'характеристикам нефти подразделяются на три класса: вязкие - ньютоновские, вязко-пластичные и вязко-упругие.

В диссертации исследованы особенности фильтрации вязко-упругих нефтей, которые проявляют релаксационные свойства при деформациях всестороннего сжатия и сдвигового течения.. Взаимодействие жидкости с поровда пространством монет такяе носить неравновес-шй характер, обусловленный многими причинами: запаздыванием пе-эеушковки частиц, изменением пористости и проницаемости, уста- . зовлением равновесного состояния в микропорах (Мирзаджанзаде А.Х.).

Следовательно, кроме указанных выше двух элементарных релаксационных процессов, необходимо учитывать релаксацию, вызванную взаимодействием с пористым скелетом.

В основе всех разрабатываемых в работе теорий лежит представление о том, что макроскопическое фильтрационное движение состоит из множества отдельных мккродзияений, совокупное действие которых приводит к статистическим закономерностям, справедливым для всего движения в целом. Следовательно, для описания «

таких систем можно ввести гипотезу сплошности, согласно которой пористая среда и заполнявшая её жидкость об! ¿зуют сплошную среду с парамег вт, отражавдими свойства как пористого скелета, так и фильтрующейся жидкости. Доя описания течений жидкостей . вводятся понятая, справедливые для достаточно больших объемов среда и не выводящиеся непосредственно »через свойства отдельных элементов (Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Ршшк В.И.). К таким понятия относятся, например, скорость фильтрации, функция тока, давленае. Рассматривая различные модели сплошной среды, можно изучить фильтрацию качественно различных видов жидкостей в пористых средах, обладающих теш или иными свойствами. Поведение оплошной, среды, характеризующейся релаксационными свойотвами, изучается в теории вязкоупрутости (Рейнер М., Уилкинсон У.Л.). Уравнение движения вязкоупрутой нефти в пористой среде, проводя аналогию с теорией вязкоупрутости, можно записать в ввде (Мирза-дааизаде А.Х.):

где И - проницаемость пористой среда, - вязкость жидкости, Р - давление, - скорость фильтрации, % и Тг - времена релаксации.

)

Работа.состоят;из.даре^частей. Щдрвнд, включающая первую главу, посвящена .исследованию.'процесса ':тер:.:оконтекции релаксиру-щях гдщсостей в .пористых ¡средах.

Езвзстно, "тго'механическое раззновесиэ подогреваемой снизу, .тлдкостя з поле окл тягяеети возможно только пр:г калах значениях степени неоднородности те:.шературн (параметра Рэлея). Если неоднородность .температурн велика, то равновесно становится неустой-злзхзд, тго 'приводят 1С рг>.звжпо> конвективного даяжеяля (ячейки Банана'),. /Аначпу классической задача Еенара-Рэлея посвящена об-Ьмрноя .лдгература (( см.., калшкер, Островов Г.А,, Чандрасекар, йгрщуни Х;3., Л^жшютй ЕЛ'.). Яга подслпрозашгя. пслпясйаоЗ ста-дшгразвитгя теплого;"! копвззцшг, как црзкзго, попользуется гтоди-' фякацщ метода Натергешл, заглгяа12г,2яаг * разложения пскоглх функций в з»да собсгвмшм функциям .дтсаркгсвапаоЗ краевой задать При ото:.? погодная ргхпредзлелпгет игвгейа -'сводится к сос-редото-к-пл-о!!. 3 работе Лсропця на 'о'стопо кужггкшге тфйбжгв-гпгя бич о шпазапо, что лр:г .досгатсддо Зогкса: гсгноратурпах гра-дяеехах сгакшсаризя ^с-гггжл и -рзат укоПта^К!» % •геявекгст-пса двкгеппз огаиол-л-а а^лгичвота!. 3 дадагкЗгсз гге* 'рззулвтат бпд уточнен з раСагз "аррг, Гсррлпга, Лспг.г.рпг.а, ?дз ^«^лзахо <5о,иг"озг набора харг'опли ( $5 19) пг:пело к шчебпеьшиэ Дао-тлтзекого погздг":тл, что пзз~олж:о а-в^ергл поеледпзД ркбсйЯ ег-зстл д'сэ -сбознансзня таких сягугярЛ яеркяз "лояйкЗ "пой1". Однако, па раззлтпя тепловой копвггпдц оупоствзнпоо ш-низ скасагаз» гзшягркя задачи. Пззсотпо (ГаСглопп М.й., Ней-пэрз 3SJ.IL. /дто П.С.), что шшеШот в подогрзваемсЗ еппзу то- • рсэдалгл-ой гтелозтз, растзихагшзЗ з всргшсазькоД плоскости, опк-- спвается спзте.зд! доренца аогелгтотпче'ски точно, так что увеличение числа гарссает не приводит к лечезпозехша хаотичности двгохе-ния.

Возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое пористой среды насыщенной вязкой ньютоновской жидкостью изучалось в работах Дапзуда, Роджерса, Хортона, где получен безразмерный параметр (аналог числа Рэлея), определяющий кризис равновесия в пористой среде и вычислены его минимальные критические' значения для различных постановок задач. Результаты теоретического анализа нашли экспериментальное подтверждение в работе Катто.Масуоки.

В связи с проблемами интенсификации некоторых технологических процессов в нефтегазодобыче и нефтехимии представляет интерес исследование особенностей развития тепловой конвекции в неф-тях и различных технических жидкостях (растворы полимеров и ПАВ, газошдкостные системы и т.д.), обладающих релаксационными свойствами, такими как сдвиговая упругость, ползучесть, нормальные напряжения и т.д.

Вторая часть, состоящая из второй к третьей глав, содержит результаты исследования процессов локализации в релавсирукщнх системах с разными видамй нелинейности и стоками.

Уравнение движения вязкоупругой нефти в пористой среде (I) приводит к уравнению нестационарной фильтрации вида: .

Для реологического и фильтрационного описания неньютоновских аадкосхей наиболее чаото упот; ебляется степенной закон (Аметов И.М., Байдаков Ю.Н., Рузин Л.М., Спиридонов Ю.Л.):

При этом для тяжельх нефтей необходимо пользоваться ралаксадпоп-ннм законом фильтрации (2).

(3)

В теории теплопроводности уравнения вида (3) описывают процесс распространения тепла в среде с теплопроводностью,1 зависящей от температуры. При Р =0 оно вырождается в уравнение первого порядка. Бареяблатт Г.И., решив (3) при в" +1= 2 с данной начальной функцией, показал, что у производных Рж появляются точки разрыва. Калашниковым A.C. было доказано общее положение о том, что для любых сколь угодно гладких начальных данных у производных Рд. при <541 5 2 могут возникать точки разрыва. В работах Калашникова A.C., Керащера Р. показано, что, если начальное распределение температуры , то задача Коши для уравнения •

Pt -tfdiv^gtadP)- W) {4)

имеет единственное неотрицательное обобщенное решение. Итак, решение уравнении (4) будем понимать в обобщенном смысле, поскольку для нелинейной модели требования неразрывности температуры и тепловогг потока не означают, что неразрывны и частные производные РХ) Ру, Рх ,так как они входят в значения потоков вместе с функцией у - — fz — Р'Я. ■

Понятие обобщенного решения било введено в работах Олейник O.A., Калашникова A.C., где показано, что разрывы производных решения уравнения (4) могут наблвдаться в точках выхода на невозмущенный нулевой фон. При Р > .0 существуют все производные уравнения(4),

В работе Зельдовича Я.Б. и Компаяейца A.C., а также Барея-бяатта Г.И. было установлено, что при

.-P'MrQ«Л*)» ^tfflR")

в случае V = 0 решение P(i, 3l) уравнения (4) финитно по X : о ' fii >1,(1) .

— HB—

Для произвольного начальное раонределен^я. Р(0,x)£H(Ul) су-цзотЕоьание кокечноЗ скоросиграсщюотракенця возмущеясй б^о доказано ОиеШпи O.A. Там ке показано, 420 да конечности скорости распространяя возцщышё до? уравнения (4) ( ¥ (Р ) = 0) льчгег-ся -уоковке б'з L Скорость тяговой водш уменьшаегвя со временем, но салш возьдпцеяш проникают бесконечно далеко.

Для процессов» ошеиваеглве парайолтсескшй уравнешяш типа (4M iV" (Р ) = 0), кояечаость скорости:-распространения воз-ыучешй связана с нелинеЁноотво уравнений. В лиаеашк: со неделях конечной скоростью обладаю? лшь-волновые цроцеисн, ошшвеешв гяпербалишяспиь уразвнешгш. ' \ ..'

Учет младшх членов в (4). щшводшг.-к.- качественно шиш -эффек-№■¡1. Нащкшер, ххрн ¥(Р}~ С<Ру' ,, • ¡) =1, С > 0, как показано Мархшсоаоа Е.К. к lccto эффект локализаций!

возмущений: 3 U?ÄQ № ((й»ДХ ерл [сс| > L и ff >0.

Впервые B^öKsvHHöjgassEa ^ДД'Даадавахща) бше обяаруяея в 1933т. Самарскшцря резешш нелшейного уравнения тешю1гроводиос«Е^,когда.- гезх-зретда. са грашщэ .менялась в раки© с обостренаеу..

Слугац-.о нелшеиаыы щадим ч&тои ¥ { Р ) Еоследоваа в работах Павлова К.Б., Еаргкпсога Е.К., ГсдаЁдо С.К.. Дсаазаяо, что в этом случае, фашмыз рщгзляя коту? сузцаотеовать дака в случае невыроздавдихся ЕваашшнеШшх ураваенкЗ иарабол2чсо::ого яша.' При&( Р ) ~ г n>C} ho необгодааш и достагочиш условием локализации ршзння. уравнения (4) является "j) < I +о . В настоящее вреш известна слёдушцне регаы локализации (Марки-оон I.K.):

а) локалийацая о всяиоЗ разогрева { тй$ supp P(ijt х)< miS sapp Pfa.x); ty^b^i

- и -

ö) локаетзсзля о метастЕбпгыгоЛ r[:aca3 ifUflp' ß(Qx}'=* su-pp .РДзс) VtÊ fö, т„Ь-

в) стабильная локализация (Supp P(t,x)** SuppP,(x) Vl>0);

г). локалпзгщггя со сменой вояпы разогрева волной охяадцепия;

д) локализация с волной охладцення ( mes supp P(izrx) < mes suppP(tt,x) Vii< iz).

КонкретпнГ* ззэд локализации зависят от G" , П , и показа1- ■ тага об асядтготикц начального распределения.

Кйазшпгнейпнв уравнения глраболзпссдого ■ кшз ■ <£ гйтбчканбм' в последнее грека интенсивно изуягякг Ai<•,»

ппщт В»А., Елешш Г.Г., Гдашэв СЛЦ CSagtSSF ASAy »«Ш'вМШ' С.А.). Изучается тгшсо я кололи сред, пдсгсйа-^^обгранешШ1 тепла в когорж оппвюзаотся пшорболстесин ургшйеяием (Лейй?* Н.П., Бубнов В,Д., Чорпкяеп А.Д.).-Таете уравнения ¡обладавcSöfti-ством ковечяоЗ скорости распространения возауцзний даяе-.в"!рШй$а' линейной теории. Работ, поскщеязнх изучешю пшсрболический уравнений теллопроводаостя о яоэйетйедтсяд тешюпрозодностя, зависящем от сйшоротурн, ао'кюго. В работах БаЗкова В.А., Газп-зов'а Р.К,, Шратагагз H.I. j .Спярдсвского 0,?. приведены результата rpymotcä хиассгккацзг подойшхг jpaincssiî прл ¥ {Р ) =0.

Во nj>(ïir?mzî,j&QT№ крззпоэ сбоспокшзо стгуалыхсстд шбрэнной тсг.-t научного последовапп. -

Портя., гхапа дпсосртацпп ccorrrtcna кодолироаашт возшжнове-ндя а разЕгтяя тепловой конвекция з цр^блнйеяЕп -Вуссинесха в по-ркогвх средах, дая когорхк спрагожгт еэеоз фхтьтралгш (I).

Цркеяшзз хкгта Сор trima B.C. я гоадноЗ oecîchs уравнений позволила прэдсаазагь позодёняо спстелз прз малом отклонении от состояезт равновесия, Прз содогрзвэ енпзу изменения возмущений со временен посят шютоатй характер при fCl > fj. .

При подогреве сверху возмущения эволщионируют монотонно при Т{ < Тг, причем все они затухают независимо от значений времен релаксации. .

Для анализа возникновения и развития тепловой конвекции ре/ л&ксирутадих жидкостей в плоском слое пористой среды на основе маломодового цриблихения получена сосредоточенная система, кото-рал при ^ = 0 вырсвдается в систему Лоренца. Проанализированы возможные реяавш конвективного движения в зависимости от ^ и параметра Рэлея У . Показано,что при определенном соотношении мезду и возможно нарушение устойчивости при числах Рэлея, меньших критичс зкого.

Приведен пример постановки задачи о термоконвекции релакси-рунцих квдкосгей в пористой среде о тороидальной геометрией. Радиус сечения тора намного меньше р^дауса закругления. Температура в такой система представляет собой непрерывную периодическую функцию утла 9 , разложение которой в ряд Фурье имеет вид

т(<*>,ч)- и0Ц) * Т.

Температура окружалдай среды для простоты считается линейно меняющейся по вертикали. Тогда исходная система уравнений сводится к сосредоточенной системе, в которой гармоники с П = I не оказывают влияния на поведение высоих гармоник, затухающих со временем по экспшекциальному закону. Аналогично ведет себя и ие ({) . В результате термоконвективное движение асиглтогичес-ки точно описывается предложенной выше (для плоского случая) динамической системой уравнений типа Лоренца.

Во второй главе рассматриваются процессы локализации при фильтрации нелинейных релаксирукащх жидкостей в пористых средах

со стоком. Эволюция флюктуаций у. в данном случае описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, представляющим собой уравнение вынужденных колебаний ангармонического осциллятора, коэффициент диссипации и собственная частота которого меняются со временем. В случае гармонического воздействия на границе на боль-тих частотах коэффициент трения становится знакопеременным, что соответствует периодической подкачке и диссипации энергии. Исследуется зависимость решений от частоты СО . При СО =0 фазовая траектория стремится к равновесному значению (точка С0 на фазовой плоскости ( у, у ) . При СО = 2 точка С, теряет свою устойчивость с образованием предельного цикла. При

СО- =15 решение становится бесконечно растущим периодическим. Трение оказывает стабилизирующее действие на систему. Действительно, расчеты, проведенные при равном нулю коэффициенте трения ( ¿О =0.5), показывают, что в системе имеют место более сложные квазипврчодические движения, характеризующиеся двумя частотами. Качественно аналогичные результаты получаются при рассмотрении решений методом интегральн v баланса задачи' о фильтрации жидкостей с релаксационным изменением состояния, а такке задачи о фильтрации рзлаксирующих жидкостей в нелинейной пористой среде со стоком.

В третьей главе проведен анализ разностных схем с целью подбора наилучшего алгоритма для аппроксимации уравнений, имеющих обобщенные решения. С этой целью численно решалась задача о распространении прямоугольного импульса с применением конечно-разностной схемы с весом б" (Самарский A.A.), схемы Лакса-Венд-роф$а (Роуч) и метода коррекции потоков ( F СТ-методом) (Борис, Бук). Как 'показывг ^т анализ данных алгоритмов средняя абсолютная ошибка JCT-метода почти вдвое меньше, чеь схемы о весом б" .

Ошибки ЖЛЦззг ода* обуряовлены гланша образе:.! затухандш ашяя-туд гармошт. Главянм источником ошибок в ехало с ессо:л яеляют-ся даснорсионяые ошибки. Метод 1анса-Вендроффа точно аппроксимирует исходную рксте:^ дс®Боренссааггьпых уравнений в частных производных при = Ц ( саг ло X ). В противном случае схема содедвздг дк^к да^перчшше., -так и «ияшотудные ошибки.

Во'.втордй -дтегухедоЕаЕЫ упрощенные магешжичосжие мо-

дели, одфодиад? й'ртадоу •щхасгральпого' баланса, который позволил сократд-р. .щййо ¡^вадшешх переданных на ершщу. Известна, что в галдчшелкнорготш;!; упрощенные шгемагичесхио подели оказывает .гдачздааьцгю лоиоць .прз кгслодохгшш более «исаак к пол-шх :(Ахромзаха'-У.О., Курдаоз С.И.,, Кглаасщк2 Г.Г.); Для иссяе-довани?! .соотгогсталя; шздау дащрегишз п раоцредеяеншая сао-дза-,Г;Ы ¡в зщжд ,о фтекдвацЕИ рсяакс^кганш* жцкосгей г. цезшй&сЗ со-рэдсдоД! .¿ерпедо ¡со -Слоко:,; рассмотрено чвдгедасо ¿рста^з 5иЗТ-кзгодон • <£59?.©$ 5*раз5Н®из2 в -чаогше щежждхх

ЯР .., ЗТГ «гч* ф " Ту?

с»-

лр;

• » п»'

?I-

Л - харекуерп?« дажа. Р, - бсэрагыо^зыо переменные, обоз-начавдпе дашодпо п скорость.

РСо, ^ О, -0 (0} ж) » £?;

Как показывает результата расчетов при частоте внешнего воздействия СО = 0 и небольших значениях СО ( О) = 0.5) дйзкретноо и распределенное описании процесса совпадают. При дискретном описании системы при больших значениях Од фронт волны уходит в бесконечность с колебаниями. В распределенной системе рост ведет к усилению поглощения колебаний фронта локализации. Как следует из проведенных исследований, глубина фронта локализации является функцией , з( , /7 и п .

Заключение

В работе исследовано влияний релаксационных свойств неньютоновских жидкостей на характер их фильтрационных движений.

1. Исследована естественная тепловая конвекция релаксирутъ щих жидкостей в пористой среде. Получена упрощенная математическая модель процесса, переходящая в систему Доренца .в частных случаях. Проанализировали возможные режимы термоконвективяых движений в завясшорти от реологических параметров, времени релаксации а параметра Рэлея. В частности, показана возможность нарушения состояния равновесия при числах Рэлел, меньших критического.

2. Показано, что предложенная в работе динамическая система уравнений асимптотически точно описывает теркоконвекцию ре-лаксирущих жидкостей в пористой среде с тороидальной геометрией.

3. Изучена нелинейная фильтрация' релаксирупцих жидкостей, в пористой среде со стоком. На основе метода интегрального баланса получена упрощенная математическая модель процесса, согласно которой при периодическом изменении давления на границе возможны колебания значения глубины локализации. Показано, что увеличение частоты внешнего воздействия приводит к нарушении

локализации

4. В ранках исходной системы уравнений в частных производных проведен анализ особенностей фильтрации неньютоновских кицкостей в пористых средах со стоком. Подтверадено существование колебательного режима локализации.

Публикации

I. Ахатов И.Ш., ЧеМбарисова Р.Г. Процессы локализации и термоконвекций в теории релаксационной фильтрации // Проблемы синергетики.- Уфа: УНИ, 1989.- С.76-78.

Z. Ахатов И.Ш., ЧембарисоваР.Г. Термоконвекция вязкоупру-гих жидкостей в пористой среде // Самоорганизующиеся и фрактальные структуры. - Уфа: УНИ, 1990.- С.134-143.

3. Ахатов И.Ш., Чеыбарисова Р.Т. Термоконвекция вязкоуп-ругих жидкостей в пористой среде // {¿агериалы международной конференции "Разработка гаэоконденсатных месторождений". -Краснодар, 1390.- С.266-269.

4. Ахатов И.Ш., Чембару.ова Р.Г. Термоконвекция релакси-руюарос жидкостей в пористых средах// Препринт ИПМ им.Ы.В.Кел-даша АН СССР - В печати.

Личный вклад, внесенный соискателем. В первой и второй главах соискателя» принадлежит проведение всех численных экспериментов, анализ полученных решений. Третья глава выполнена самостоятельно.

В работах 1-4 соискателем проведены все численные эксперименты и проведен анализ полученных результатов.