Прямое численное моделирование трехмерных течений газа в плоском канале с резким расширением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 519.63:533.6

КАРСКАНОВ Сергей Андреевич

ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С РЕЗКИМ РАСШИРЕНИЕМ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2009 ^

1.« ^

003461783

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики УрО РАН

Научный руководитель: академик РАН

Липанов Алексей Матвеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Липатов Игорь Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Булович Сергей Валерьевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

РАН (ИПМ РАН), г. Москва

Защита состоится » 2009 г. в ^Ь часов на заседании

диссертационного совета ДМб04.013.01 при Институте прикладной механики УрО РАН по адресу: 426 067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ УрО РАН

Автореферат разослан «Х6» сСи^Я^/ 20091

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

С.П. Копысов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существование резко различающихся ламинарных и турбулентных режимов течения было замечено еще в первой половине XIX в. Общим критерием перехода ламинарного течения в турбулентное является число Рейнольд-са. Наиболее распространенной является интерпретация числа Рейнольдса как меры относительной значимости сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости или газа. Силы инерции, если они существенно превосходят силы вязкости, что соответствует большим числам Re, вызывают перемешивание конечных объемов газа, движущихся с разными скоростями. В результате осуществляется передача энергии от крупномасштабных структур к менее крупным, образующимся за счет потери устойчивости более крупных вихрей. Поглощая энергию основного потока, эти структуры оказываются сильно анизотропными, завихренными и существенно отличаются от течения к течению. Поэтому возникает необходимость детального изучения потоков газа в технических системах, так как характер течения может сильно повлиять на работоспособность устройства и иные его характеристики. Процесс потери устойчивости и переход к турбулентному течению происходит практически скачкообразно, следовательно, важно знание параметров, при которых наступает этот переход, и где та граница, при превышении которой происходит разрушение существующего течения.

Ламинарные потоки, по сравнению с турбулентными, наиболее изучены и экспериментально и теоретически. Тем не менее, подробных параметрических исследований особенно для сжимаемых сред проведено не много. Преобладающее большинство течений, с которыми приходится иметь дело на практике, не являются идеализированными, получить точное аналитическое решение в данном случае не представляется возможным. Поэтому целесообразно дальнейшее исследование более сложных вариантов течений, в том числе и ламинарных, а особенно - турбулентных. Тем более, что проблема расчетного предсказания характеристик движения имеющего реальный практический интерес далека от решения и чрезвычайно актуальна.

Среди подходов к численному описанию турбулентности все возрастающей привлекательностью обладает метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS). Однако метод DNS обеспечивает надежность результатов расчетов только при полном разрешении всех составляющих движения. Кроме высокопроизводительной вычислительной системы при проведении расчетов с помощью прямого численного моделирования необходим эффективный численный метод. В работах Miliou A., Blackburn Н.М., Robinet J.-C., Chevalier M. вычисления проводятся с использованием спектрального /гр-метода. Данный метод обладает высоким порядком дискретизации, имеет экспоненциальную сходимость, однако, является трудоемким и не пригодным в задачах со сложной геометрией. Компактные схемы конечных разностей высокого порядка точности используются в работах Bao W., Zhang J., Nishida H., Kampanis N.A., Simens M., Souza L.F. и др. Всеми авторами делается вывод об эффективности таких схем и возможности получения решения с точностью как минимум до 1%, схемы второго порядка дают приемлемую точность только при числах Рейнольдса до 100. Прямое численное моделирование турбулентных потоков методом конечных разностей высокого порядка точности выполнено в работах Липанова A.M., Ключникова И.Г. (ИПМ УрО РАН), проведен под-

робный анализ сходимости решения и устойчивости разностных схем. Примеры применения ENO- и WENO- схем при моделировании турбулентного течения в диффузоре продемонстрированы в работах Кисарова Ю.Ф., Королевой М.Р. (ИПМ УрО РАН). Во всех работах показана высокая эффективность разностных методов и адекватность полученных результатов.

Объектом исследования являются трехмерные потоки сжимаемого газа в плоском канале с резким расширением на входе.

Предметом исследования являются: метод высокого порядка точности численного решения уравнений гидромеханики, программно-инструментальные средства моделирования процессов течения газа в канале; параллельные вычислительные алгоритмы расчета сжимаемых течений.

Цель работы состоит в проведении параметрических исследований трехмерных потоков в канале с резким расширением с использованием метода высокого порядка точности интегрирования уравнений гидромеханики.

Для реализации поставленной цели формулировались следующие задачи:

- разработка и реализация метода высокого порядка точности интегрирования уравнений гидромеханики как по времени, так и по пространству;

- проведение методических расчетов, сравнение расчетных данных с имеющимися теоретическими и экспериментальными результатами для анализа работоспособности математической модели;

- исследование стационарных ламинарных потоков; получение характерного числа Re, при котором ламинарный поток перестает быть симметричным; анализ полей параметров течения газа;

- исследование нестационарных ламинарных потоков; получение характерного числа Re перехода к нестационарному течению; получение ReKp перехода к трехмерному нестационарному нерегулярному (турбулентному) течению;

- изучение влияния линейных размеров входной области канала на характер течения;

- получение энергетических спектров распределения кинетической энергии турбулентных пульсаций по частотам; сравнение расчетных данных с аналитическими.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, вычислительной математики и технологии объектно-ориентированного программирования. Программно-инструментальные средства реализованы на алгоритмическом языке- С++ с применением технологии распараллеливания алгоритма MPI.

Личный вклад автора состоит в разработке математической модели и создании алгоритма для проведения численного исследования гидромеханических процессов. Проведено сравнение полученных численно результатов с известными расчетными и экспериментальными данными. Автором исследованы симметричные [1, 3, 4] и асимметричные [2, 5] ламинарные стационарные потоки газа, ламинарные нестационарные и переходные течения [6 - 8]. Все указанные исследования выполнены на основе анализа численных результатов, полученных лично автором. Анализ выполнен совместно с академиком A.M. Липановым.

Достоверность научных результатов и выводов подтверждается следующим:

- построенная математическая модель основывается на системе полных уравнений гидромеханики и базируется на фундаментальных законах механики сплошной среды;

- разработанные численные алгоритмы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность в широком диапазоне варьируемых параметров;

- полученные численные результаты согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными. На защиту выносятся:

-алгоритм метода высокого порядка точности по времени и пространству для расчета течений вязкого сжимаемого газа в плоском канале с резким расширением на входе;

-результаты тестовых расчетов при решении задачи о течении газа в канале с обратной ступенькой;

-результаты спектрального анализа колебаний компоненты вектора скорости во времени;

-результаты прямого численного моделирования течения в плоском канале с расширением; влияние характерного числа Рейнольдса на закономерности течения; исследование влияния линейных размеров канала на характер течения и изменение гидромеханических параметров.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем: -реализован метод для прямого численного моделирования гидромеханических процессов, основанный на решении полных уравнений гидромеханики, описывающих трехмерные течения вязкого сжимаемого газа, с помощью устойчивых разностных схем высокого порядка точности; показана высокая точность, хорошая работоспособность предложенных схем в сравнении с имеющимися экспериментальными и расчетными данными;

-проведено численное моделирование трехмерных ламинарных, переходных и турбулентных течений в канале с обратной ступенькой; исследованы структура и параметры течений в зонах отрыва и присоединения потока; получены осредненные и мгновенные картины течения; проведено сравнение с экспериментальными и теоретическими данными;

-впервые проведены детальные численные исследования структуры и параметров ламинарных, трехмерных переходных и турбулентных течений в канале с резким расширением на входе; исследованы все основные стадии эволюционирования потока: отрыв и связанное с ним образование рециркуляционных зон, установление течения; вихреобразование и зарождение нестационарности; диссипация и переход к развитому турбулентному течению;

-впервые исследовано влияние линейных размеров прямоугольного канала с внезапным расширением и различных граничных условий на характеристики потока;

-получены статистические характеристики крупномасштабной турбулентности в ядре потока, найдены распределения пульсационных характеристик скорости по спектрам.

Практическая полезность. Полученные результаты являются новыми и дают представление о характере течения сжимаемого газа (например, воздуха) в зависимости от числа Рейнольдса. Разработанные методики и комплекс программ позволяют моделировать потоки газа в плоском канале и детально исследовать особенности процесса течения, которые могут повлиять на работоспособность технических устройств (каналы газодинамической связи в летательных аппаратах, водопроводные, аэродинамические трубы).

Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов молодых учёных и аспирантов УрО РАН 2005, 2007 гг. и стипендии президента Удмуртской Республики 2006-2007 гг.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.), III научно-практическая конференция «Проблемы механики и материаловедения» (Ижевск, 2006 г.), конференция молодых ученых «Численные методы в математике и механике» (Ижевск, 2007 г.), Международная конференция «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007 г.), II Всероссийская конференция «Безопасность критичных инфраструктур и территорий» (Екатеринбург, 2008 г.).

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 научных работах, из них 2 - статьи и 5 - материалов конференций Автор имеет 2 научных труда в изданиях, выпускаемых в РФ и рекомендуемых ВАКом для публикации основных результатов диссертации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, списка принятых обозначений четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 127 страницах, включая 47 рисунков. Список литературы содержит 96 наименований.

Введение содержит обоснование актуальности темы, называются основные подходы к численному описанию турбулентной конвекции, производится обзор работ по расчету течений с использованием методов высокого порядка точности; определяется научная новизна результатов, формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе делается постановка задачи течения вязкого сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением. Решалась система полных уравнений гидромеханики, преобразованная к безразмерному виду выглядит так:

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Эр [ dpU | Эр V [ Эр W bt дх Эу dz

= 0,

дх 3 ду

ЭрЕ | Э Э? дх

ду дх

ш

Яе

2+рЕ |и

ду

_Р_ кМ

2 +рЕ \У

4

■ + рЕ Ш

2д_ 3 Эх

. эгу | эк | эж

дх ду дг

Эх)

д

+ дх

дх ду дг )

V 02 дх д

д

и

+ 2

д£+дУ ду дх

дг дх

2д_ 3 дг

дУ | дУ [ дШ дх ду дг

ЭД ду) дг

ЭД дг ) {к - 1)М Рг

> Э

дг ду

дУ | д(У дг ду

Г*

Э 2Т Э 2Т д2Т дх2 + ду2 + дг2

Давление определяем из выражения: Р = к(к- 1)М2

рЕ

(р^/)2+(рК)г+(р^)г

2р

а температуру - из выражения: Т = к{к - 1)М'

р Е (р£/)2+(рГ)2+(рЖ)2 Р 2р2

Безразмерные комплексы (числа) Рейнольдса (Ке), Маха (М), Прандтля (Рг) сформированы из масштабов (размер ступеньки А - для линейных величин, для скоростей - максимальная величина продольной компоненты £Л вектора скорости потока на входе в канал; для давления и плотности — величины давления Р, и плотности р„, соответствующие £Л):

\ 1/2

М- Л. сл

кР,[

к

' С

У

СР,СУ - изобарная и изохорная теплоемкости газа, с„ - адиабатическая скорость звука, к - отношение теплоемкостей.

На обтекаемых поверхностях зададаются условия прилипания и непротекания:

и = У = \¥ = 0. (2) Обтекаемые поверхности считаем адиабатическими, на них выполняется условие

эг - О)

- = 0.

Рис.1. Схема объема интегрирования Для компонент вектора скорости на входе имеем:

дп

Если в направлении координаты 2 используются условия периодичности, то считаем

и,=и_\ К=У;

Ъ=Р;р.= Р- (4)

V - W =0

ro rro v>

Uo = фЬА)■+ С, • (/>-(P))■ ф(у,ът), 1-

(5)

(6)

фСУАЬ

, 0<у<8^

, С V + & |

, 1-5, <^<1

^=>(и,Т). Здесь 8Г- толщины динамического и теплового пограничных слоев, (Р) - средняя величина давления на входе в канал, М- порядок аппроксимирующего выражения (в расчетах N = 8). Коэффициент С, определяется по формуле

С,=1/Ш.

Для энтропийной функции 50 в ядре потока на входе в канал Р0 - 50р£. На выходе из канала задается условие

Р=Р„а„+С2С((),

где Р - безразмерное давление в окружающей среде,

к-М

(7)

o(t) = m(L,t)-mcp(t),

H + mcp(t)-M

™ч,(') = 7 jm(x,t)dx, m{x,t)~ \\pUdydz, m(Lj)= ffpC/dydz;

L - длина канала, H - высота канала на его правой границе (в направлении координаты у), S(x) - площадь поперечного сечения канала.

На входе в канал вносилось трехмерное возмущение в начале решения задачи. Для этого вместо условий (5) использовались равенства

Такой трехмерный поток на входе в канал поддерживался в течение определенного времени, продолжительность которого определялась на основе численного эксперимента, затем снова возвращались к условиям (5).

Для реализации расчетов на многопроцессорной вычислительной системе область интегрирования однонаправлено делилась на равные подобласти вдоль оси X. При этом для сохранения высокого порядка точности схем соседние подобласти обмениваются информацией в N12 крайних плоскостях YZ на каждом временном шаге (рис. 2). Рис.2. Схема однонаправленного деления в качестве начальных условий ис-области интегрирования при распаралле- пользуются условия покоя

ливании вычислительного процесса U =V = W = 0, Р = Рнт, Р = Р„„Ч- (9)

I

Во второй главе описывается разностный метод высокого порядка точности решения уравнений гидромеханики. Представлены алгоритмы интегрирования уравнений по времени и по пространственным переменным во внутренних точках и на границе области.

Величина ГМП W на (« + 1)-м временном слое в точке (1,7,к) выражалась через величины параметров на п -м слое в той же точке,

+ Л/

дгТ (др2 ( ЭУТ (до3 ( э Чу

Э/2

Зг3

(10)

Д* - V — ли - V —

Д/ - малый параметр.

Вторые и последующие частные производные по времени от компонентов вектора ¡V = (р,р1/,рУ,р1У,рЕ)т находились дифференцированием сначала правых частей уравнений гидромеханики по времени, а затем - правых частей выражений

для соответствующих частных производных по времени. При этом ^ определя-

Э/0

ется рекуррентно через производную -г-5-, которая является известной (0 - порядок

о?

производной).

Первая и вторая производные по пространству во внутренних точках аппроксимировались центральными разностями 8-го порядка на 9-точечном шаблоне по формулам (11) и (12) соответственно, ди/ _

ах и (П)

+0,038095238(^+з-^._З)-3.57142х10-3(^+4-^_4)]/Дх

^ = [1.6(Ж+| + ) - 0.2(Щ+2 - Щ_2) + 0.02539682(^+3 - ) -

- 0.001785712(^+4 - ) - 2 • 1,4236111-1У.]/Лх2

Коэффициенты для расчета производных находились из систем (13) и (14) соответственно

N

а]+2а2+...+—а/Н2 = У2 а,+23а2+...+Гу) ам/г =0

,(13)

(3,+22р2 + ...+

N

N

Р1 +24р2 + ... + 1 — \ Рм=0)(14)

N = 8.

В окрестности стенок производные аппроксимировались конечными разностями на несимметричном шаблоне, который для сохранения порядка точности был расширен. Соотношения для расчета нечетных и четных производных выглядят так:

ъчш

дх" '

Ах■>

Ах"

I - к) (КН+к., - 2к)

Ах"

(16)

дх" Ах"

q - порядок производной, V - номер точки у стенки.

В третьей главе диссертации приведены результаты в обоснование процессов сходимости при интегрировании уравнений гидромеханики, выполнены методические расчеты; произведен расчет течения газа в канале с обратной ступенькой, результаты численного моделирования сравнены с известными данными физических и численных экспериментов; построен одномерный энергетический спектр турбулентных пульсаций скорости, который сравнивается с теоретическим результатом.

На рис. 3. приведены поля векторов скорости движения газа в плоскости симметрии для различных вариантов измельчения ОИ на элементарные объемы (ЭО). Видно, что с ростом числа ЭО картина течения детализируется.

X ГО

Рис. 3. Расчет течения (векторы скорости), Яе = 5000, М = 0.6

на сетках с разным числом узлов: а-89725 (97x37x25), б-690361 (193x73x49), £¡'-5415025(385x145*97)

Для количественной оценки результатов рассматривается вектор завихренности fl = rotV, V = (U,V,W), модуль которого определяется по формуле:

0 = \0.\ = р>+п;+пг2. (17)

Расчетные данные модуля завихренности для четырех вариантов сетки приведены в таблице 1 Как видно из данных таблицы переход с 690361 ЭО к 5415025 ЭО позволил уменьшить разницу

Л л- 1 О/ ~

Таблица 1

МаксимальнаяВеличина модуля вектора завихренности

1%, таким образом, с приемлемой точностью

обеспечить сходимость приближенного решения к точному при квантовании области интегрирования на элементарные объемы. Векторы скорости в поперечном сечении (У7) для двух последних вариантов сетки показаны на рис. 4.

№ 1 2 3 4

сетка 97x37x25 129x49x33 193x73x49 385x145x97

^шах 2,8002 4,2064 6,2864 6,3742

1.4062 2.0800 0.0878

7Г 1 I г" -1 1 6

а б

Рис. 4. Векторы скорости в плоскости Х=6 при расчете на сетках с разным ЧИСЛОМ узлов, ]£е = 5000, М = 0.6: а-690361 (193x73x49), 6-5415025(385x145x97)

На рис. 5 показан канал с обратной ступенькой и схематическое изображение конфигурации потока при ламинарном и турбулентном течении. При ламинарном режиме течения на входе в канал задавался профиль скорости Пуазейля с учетом соотношения (6), при турбулентном режиме профиль скорости брался в виде:

и. \я',

(Я' - полувысота входного зазора). Формулу (18), как и в случае с параболическим профилем Пуазейля, использовали совместно с выражением (6) для вывода возмущений за пределы области интегрирования.

(18)

Изменяя характерное число Рейнольдса от 100 до 700, моделируя при этом изотермическое ламинарное течение, получаем значения координат точек отрыва и присоединения потока. Результаты показаны на рис. 6. Там же отмечены данные физического и численного экспериментов (линии и точки в середине соответствуют х,, внизу - х2, вверху -х3). Видим хорошее соответствие результатов, особенно в области самых низких чисел Яе.

Рис. 5. Канал с обратной ступенькой:

а - схематическая конфигурация ламинарного потока, 6 - схематическая конфигурация осредненного турбулентного течения

Турбулентные и переходные течения в отличие от ламинарных - нестационарны, поэтому интересующие характеристики находились с использованием ос-редненных по времени полей течения. В таблице 2 приведены сравнительные результаты экспериментов разных авторов с расчетными данными настоящей работы. Сравнение проводилось по значением величин хг и хс (хг и хс - соответствующие значения, полученные в данной работе). Как видим, расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными. Стоит отметить, что в расчетах высота уступа к и входного отверстия Н не равнялись величинам, указанным в экспериментальных работах. Однако отношение И! Н и величина числа К.е строго соответствовали значениям из работ. Закон подобия Рейнольдса делает такой подход правомерным.

13

Таблица 2

N Автор [mm] К [mm] RelO3 Re^-lO3 *c

1 Tihonetal. [81] 50 20 12 4.8 5.1 1.75 5.0 1.70

2 Abbot and Kline [82] 76 38 20 10 5.8 1.8 5.75 1.8

3 Kasagi and Ma-tsunaga [83] 82 41 9.1 4.55 6.5 1.7 6.45 1.67

4 Armaly et al. [79] 5.2 4.9 3.3 3.1 8.0 - 8.05 -

5 5.2 4.9 2.8 2.6 6.0 - 5.97 -

6 Otugen [84,85] 16.2 8.1 16.6 8.3 6.3 - 6.17 2.28

Важное значение для понимания природы и эволюции турбулентного течения за обратным уступом имеет распределение вторых корреляционных моментов турбулентного поля скорости потока В результате численного моделирования были получены детальные картины течения и распределения нормальных турбулентных напряжений: (н')2Д/„ , (у')2Д/„ - интенсивности пульсаций компонент вектора скорости С/, V. Здесь и'~и~и, у' = У -V - пульсационные составляющие компонент вектора скорости. Число Рейнольдса вычисляли по высоте уступа к (Кел = /v = 2600, v - кинематическая вязкость), число Маха в данном случае брали равным двум десятым (М = 0.2).

На рис. 7 приведены профили интенсивности пульсаций £/- компоненты вектора скорости в сравнении с расчетными и экспериментальными данными. Расчетные профили пульсаций хорошо согласуются с экспериментальными. Во всех случаях сохраняется соответствующая экспериментальной конфигурация кривых, видно наличие экстремумов и перегибов. Представленные на рис. 8 профили пульсаций компоненты V вектора скорости тоже показывают хорошую согласованность расчетных результатов с данными эксперимента. Можно говорить о пригодности предложенного метода интегрирования гидромеханических уравнений для проведения достоверного численного эксперимента и получения адекватных результатов.

Пусть Е(п)с1п представляет составляющую величины (и')1 для частот из диапазона между п и п+Лп; тогда функция распределения Е{п)с1п должна удовлетворять

условию = (и')2. Если положить, что турбулентное течение имеет равно-

0

мерную среднюю скорость и в направлении оси х, то можно пользоваться приближенной связью между временем I и расстоянием х по формуле

_ |х-х0| = ^-/0|, (19)

IV Ч 4м,2 "г .. 2ппх , +

тогда, Е(п) = ^=- /(х)соз — Ох, /(х) = — —-- - коэффициент продольной

и } _(и')2

п „. и'(т)и'(т-/) , , „ .

корреляции, НЕ(0 = — --—- - коэффициент временной корреляции, /(х) и

Л£(0 идентичны. Аппроксимации корреляционной кривой экспонентой вида

ЦЦп) __1_

4и^А,

ехр(-х/Л А дает

V 1 +

Лпгп2 —2 и

(20)

М'М

Рис. 7. Профили интенсивности пульсаций V- компоненты вектора скорости потока за уступом при Яе = 2600 в сечениях: д - л: = 2.5, б - д: = 4.0, в - х = 7.0

Рис. 8. Профили интенсивности пульсаций V- компоненты вектора скорости потока за уступом при Яе = 2600 в сечениях: а- х = 2.5, б- х = 4.0, в - х=1.0

Наблюдения за колебаниями и во времени в точке (5.75;0.5;0) плоского канала и в точке (18.75;1.5;0) канала с резким расширением показаны на рис. 9. Полученные распределения энергии по частотам колебаний показаны на рис. 10. Видим, что расчетный результат для распределения энергии по частотам хорошо согласуется с теоретическим, однако полного совпадения не наблюдается ввиду того, что предположение (19) достаточно условно.

Рис. 9. Колебания во времени: а - компонента и вектора скорости, б - пульсации продольной компоненты

М 104 10.1 110 115 1» II* 1.Ю Ц* 1« Н.' |Ч И1 |Л0(

В четвертой главе проводится параметрическое исследование сжимаемых течений газа в плоском канале с внезапным расширением, находятся характерные числа Рейнольдса перехода к ламинарному несимметричному течению, ламинарному нестационарному течению, турбулентному течению; исследуется влияние линейных размеров канала на характер течения; проводится спектральный анализ процесса колебаний скорости, находится распределение кинетической энергии турбулентности.

Число Маха в расчетах принималось равным М=0.6, число Прандтля Рг = 0.7, отношение теплоемкостей к = 1.4.

Симметричные потоки реализуются при малых величинах чисел Рейнольдса Яе. Симметричный поток получен при числе Яе = 50, но уже при 11е = 150 поток, хотя и остается стационарным, но оказывается несимметричным. Об эволюции IV (трехмерного возмущения, внесенного в начальный момент расчета) можно судить, анализируя рис. И, на котором показана зависимость IV от х и у в плоскости симметрии {2 =0) в различные моменты времени. С ростом времени третья компонента IV вектора скорости эволюционирует, и, хотя её пространственная конфигурация

л ....... ..... ,1 ■ •■• ■•■ •• • ,« ............:........ "^-лл'А^и У д ..............................

и »0 И 11» 10? 110 11< Ш 11« ио и< 1-Ц 11« 150 1.« 1«

1, . ! ! ; ; • | : ЩЩЩ „ ;л|. ¡1. . ' ;

сохраняется, крутизна поверхности IV(х, у) и ее максимальная величина только уменьшаются. Для (>20 третья компонента вектора скорости исчезает.

Рис. 11. Эволюция компоненты Ж вектора скорости потока во времени, Яе = 50: а - / = 3.4, б - / = 8, в - г = 14.2, г - ? = 19.6

На рис. 12 для чисела Рейнольдса, равного 50, представлено поле векторов скорости движения газа. В окрестности левой границы канала видна центральная часть потока и отрывные зоны. С ростом числа 11е отрывные зоны вытягиваются вниз по потоку. Между зонами и центральной частью струи формируются двумерные поля движения газа. С ростом числа 11е эти части струи распространяются дальше.

В условиях дозвукового потока температура, давление и плотность меняются незначительно. Наиболее существенно (до 10%) изменяется давление в окрестности левой границы канала. Сначала оно растет, на расстоянии х-х., зависящем от Ле, проходит через максимум, а затем стремится к единице на правой границе. Характер изменения плотности вдоль оси х аналогичен, но она изменяется слабее, чем давление. Разница состоит в том, что давление не изменяется вдоль оси у, тогда как плотность имеет симметричный параболический профиль (рис. 13).

5

Рис. 12. Векторы скорости потока: а - Ке = 40, 6 - Ие = 50, а - Яе = 60

Рис. 13. Поле давления (Р) и поле плотности (р), 11е = 50

Если Re > 90, то при наличии двух одинаковых обратных ступенек на входе в канал в окрестности левой границы поток, оставаясь двумерным, становится несимметричным. В этом случае при ^ > 0 струя отклоняется кверху, а отрывные зоны перестают быть равными. Эволюция в пространстве и времени третьей компоненты вектора скорости ¡^при Re = 200 показана на рис. 14. Как и для симметричного потока наблюдаются две возвышенности, начинающиеся в отрывных зонах ОИ на ее

левой границе. Но в отличие от симметричного случая их максимумы не совпадают. Изменение W(х) не монотонное. Со временем величина компоненты W только убывает. К моменту времени / = 28 (в) она уже на порядок меньше, чем при / = 5.6 (а) и ее влиянием на изменение ГМП можно пренебречь.

На рис. 15 показано изменение вертикальной составляющей вектора скорости потока на оси симметрии канала (7 = 1.5,Z = 0). Асимметричность существенна в окрестности левой границы. Струя отклоняется от первоначального направления сначала вверх, затем вниз. После этого движение стремится к одномерному (р£/ = const) и при Re = 350 становится таковым на расстоянии х=38. В случае Re = 200 одномерный поток имеет место при х >30. Изменение продольной компоненты вектора скорости на оси симметрии показано на рис.16.

Рис. 14. Эволюция компоненты ]У вектора скорости потока во времени, Re = 200: а - ( = 5.6, б- г = 14, е - г = 28

Рис. 15. Изменение компоненты Квек-тора скорости потока по длине канала: 7 - Ле = 120,2 - Яе = 200,3- Яе = 350

Рис. 16. Изменение компоненты и вектора скорости потока по длине канала: У- Яе = 120,2- Яе = 200,5- Яе = 350

На рис. 17 показаны линии тока струи для различных чисел Рейнольдса. Ввиду асимметричности потока в окрестности левой границы отрывная зона сверху (до х = 4) значительно меньше по протяженности нижней отрывной зоны (до л: = 15). Рост числа Ле особенно сильно сказывается на размерах третьей отрывной зоны.

Рис. 17. Линии тока установившегося течения: а - Яе = 120, б- Яе = 200, е - Яе

На рис. 18 показаны поля давления и плотности установившегося течения в плоскости (х,у) для числа Яе = 200. В окрестности отрывных зон изменение параметров более выражено, заметны локальные максимумы и минимумы, тогда как в окрестности правой границы конфигурация полей соответствует одномерному потоку.

Рис. 18. Поле давления (Р) и поле плотности (р), Яе = 200

В окрестности числа Рейнольдса, равного =400, стационарный поток в плоском канале с внезапным расширением на входе теряет устойчивость и становится нестационарным. На рис. 19 приведена третья компонента й7 вектора скорости потока при Яе = 800. Передний фронт, все сильнее смещаясь к правой границе, в итоге выходит за нее, а возмущение в остальной ОИ полностью затухает. Поэтому даже для Яе = 800 поток в двумерной области интегрирования (без боковых стенок) становится двумерным. Это указывает на то, что диапазон изменения ГМП в такой по-

становке задачи - ламинарный, поскольку трехмерность - один из признаков турбулентных потоков.

Рис. 19. Эволюция компоненты IV вектора скорости потока во времени, Р.е = 800: а-/ = 28,б- ( = 60

Интенсивность нестационарных явлений по длине канала уменьшается. Об этом свидетельствуют данные рис. 20, где для различных чисел Яе приведены графики изменения продольной С/ и поперечной V компонент вектора скорости вдоль оси х на оси симметрии канала в момент времени г = 400. Продольная компонента и с ростом х стабилизируется и стремится к определенному достаточно узкому диапазону изменения (а). Поперечная компонента V вектора скорости потока при у = \,5;г = 0 является колеблющейся функцией координаты х. С ростом числа Т1е амплитуда возрастает, однако, с ростом х амплитуды колебаний К уменьшаются (б). Тем не менее, при х = 60 и числе Ле = 600 эти колебания еще значительны.

„ |=Ке.«ю...........к^оо........-к^тго! На рис. 21 представ-

лены векторы скорости и линии тока в момент времени г = 440 для чисела Рейнольдса, равного 700. Движение газа нестационарное, с образованием возвратных течений не только в окрестности входа в канал, но и далее вниз по потоку.

Рис. 20. Изменение компонент вектора скорости потока по длине канала для разных чисел Р.е: а - и ,6-V

Рис. 21. Векторы скорости и мгновенные линии тока, Яе = 700

В первую очередь нестационарные процессы зародились в окрестности второй > верхней отрывной зоны. Вместе с тем, начинает терять устойчивость и нижняя отрывная зона. С ростом числа Рейнольдса нестационарные процессы нарастают, в области нижней зоны располагается все больше вихрей, размер которых все меньше. 1 Вихри дальше проникают вглубь канала. Начинает разрушаться первая верхняя отрывная зона.

Все вышеприведенные численные результаты по исследованию ламинарных потоков получены в канале без боковых стенок, на г-гранях которого выполняются периодические граничные условия. Такая постановка задачи позволяет избежать влияния границ, но в то же время рассматривать ограниченную область потока, при- 1 чем свойства течений в этой области не должны зависеть от ее точного положения (используется гипотеза об однородности). Выделение из общего объема потока ко- 1 нечной области с периодическими условиями на гранях дает возможность выявить , некие универсальные свойства течений, не зависящие от конкретных условий. По- | становка в направлении г непроницаемых стенок дает трехмерную область интегрирования, в принципе реализуемую на практике. Однако вид течения и величины ха- | рактерных параметров в данном случае сильно зависят от расстояния Нг. Тем не менее, общие тенденции сохраняются.

Рассмотрим течение в канале, когда расстояние между стенками в направлении координаты г равно размеру зазора по у, входное отверстие имеет форму квадрата с длиной стороны, равной 1. При числах Яе до 1500 течение ламинарное. Внесенное в канал трехмерное возмущение затухает, после чего наблюдается симметричная относительно плоскости 2 = 0 картина течения. При числе Яе>1500 большая отрывная зона перестает быть устойчивой и начинает разрушаться. Третья координата потока уже не затухает, а упорядоченная двумерная струя становится неупорядоченной. Картина течения в плоскостях Х2 и прекращает быть симметричной. На расстоянии х ~ 15 происходит турбулизация потока. Течение становится неупорядоченным трехмерным и носит нерегулярный характер. Все интенсивные г вихревые движения происходят в плоскости перпендикулярной к основному направлению течения (в данном случае к оси х). На рис. 22 представлены векторы скорости в плоскости У2 на различных расстояниях от начала координат для Яе = 1600. Видно, что нестационарность, возникшая на расстоянии х = 8-ь10(а-б) (вихри в верхней части канала, в нижней - симметричная картина течения), усиливается вниз по потоку и, на расстоянии х ~ 15 и далее имеем турбулентное течение.

Рис. 22. Векторы скорости в сечении К? при Яе = 1600,Я2 =0.5: а- Х = Ь,6- Х = Ю, в-Х = \5,г-Х = 20, д - X = 25

Далее рассматривалось течение в канале с боковыми стенками, когда Нг= 1.5. В этом случае входное отверстие имеет форму прямоугольника с шириной 3 и высотой 1. Влияние вязких сил, обусловленных наличием стенок, несколько ослабевает, поэтому нестационарные трехмерные процессы имеют место при более низких числах Яе, чем в канале с Нг =0.5. На рис. 23 представлены векторы скорости в разных плоскостях для числа Яе = 500. Видим упорядоченное течение, симметричное относительно плоскости 2 = 0 (б-<Э). Как и прежде, у входа в канал поток отклоняется кверху с образованием отрывных зон. У-размер большей отрывной зоны в данном случае (а) превосходит соответствующий показатель течения в канале с боковыми стенками, когда Нг =0.5.

I

Рис. 23. Векторы скорости и мгновенные линии тока, Нг= 1.5, Яе = 500 в плоскостях: а - ХУ, г = 0,б- Хг,У = 1.5,в- У2,Х = 10,г- Уг,Х = 15,д- Уг,Х = 20

В канале с данной геометрией нестационарное неупорядоченное течение (вносимые возмущения не затухают) имеет место, когда число Яе превосходит значение 500. Это видно из рис. 24, Т1е = 600. Симметрия в данном случае нарушается в ниж-

ней части канала (в-г). С возрастанием х картина окончательно перестает быть симметричной (б,д-ж), имеем трехмерное турбулентное течение.

г ,) е ж

Рис. 24. Мгновенные векторы скорости течения, Нг = 1.5, 11е = 600 в плоскостях: а-хг,г = о,б-хг,у=1.5, в-гг,л = 8,^уг,х = ю,д-уг, х = 15, е-гг,х = 20, ж~п,х = 25

Оказывается, если прямоугольный канал с вертикальными боковыми стенками имеет один из двух линейных размеров, соответствующим числу Ке>Кеч,, то в таком канале ламинарный нестационарный поток отсутствует. Рост числа Ле, соответствующего второму линейному размеру прямоугольника интенсифицирует нестационарные вихревые турбулентные процессы в канале.

На рис. 25 показано распределение кинетической энергии турбулентности

кт =(м2 + н'2)/2 8 каналах с различными расстояниями между боковыми стенками (7 - Нг=3, 2 - Нг= 4, 3 - Нг=6). Здесь и, у и и> - пульсационные составляющие скорости ([/ = [/ + к, У=У+\>, \У = IV+ кт рассчитывалась от безразмерных скоростей. Видим, что с увеличением Нг растет и кт. Стоит так же отметить, что кинетическая энергия турбулентности за верхней кромкой (в) несколько ниже (поток отклонялся вверх, ^ >0). Основное вихревое движение происходит под струей газа.

Однако достаточно быстро происходит реламинаризация потока Об этом свидетельствует распределение кинетической энергии турбулентности, после х = 20 она не превышает 0.01. Стоит отметить, что как только и второй линейный размер канала с боковыми стенками будет соответствовать турбулентному режиму течения, данное явление исчезнет (поток определенно становится турбулентным).

Рис. 25. Распределение кинетической энергии турбулентности по длине в каналах с различным расстоянием между боковыми стенками

(/- Нг =3,2- Нг =4,3- Нг = 6), Ле = 400:

а - У = 1.5,2 = 0,6-У = 1,2 =0, в-У = 2,2 = 0

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построен метод высокого порядка точности для прямого численного моделирования трехмерных течений в плоском канале с внезапным расширением на основе интегрирования уравнений гидромеханики. Предложен алгоритм расчета производных у стенки по пространственным переменным с высоким порядком точности, используя информацию только из внутренних точек, без ввода в рассмотрение мнимых.

2. Выполнен ряд методических расчетов, показана сходимость метода интегрирования при квантовании области интегрирования на элементарные объемы, картина течения при этом детализируется. Получены осредненные и установившиеся поля течения в канале с обратной ступенькой. Численные результаты сопоставлены с имеющимися расчетными данными и данными физического эксперимента. Наблюдается хорошее соответствие результатов.

3. В канале с обратной ступенькой получено распределение пульсационных характеристик. Показана хорошая согласованность результатов с имеющимися данными физического и численного экспериментов. Стоит отметить, что для повышения качества математической модели необходимо измельчение сетки у стенки.

4. Проведено параметрическое исследование течения сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением. Получен ряд характерных чисел Рейнольдса, когда ламинарный поток перестает быть симметричным, после внесения возмущения, затем, когда ламинарный поток, теряя устойчивость, становится нестационарным, и, наконец, переходит к трехмерному турбулентному режиму течения. Для каждого из диапазонов чисел 11е получено и показано характерное распределение гидромеханических параметров потока. Исследовано влияние линейных размеров канала на характер течения. Показано, что если хотя бы бдин из размеров соответствует Ие>Яе , то течение будет нестационарным и турбулентным. А в канале с одним размером, соответствующим ламинарному режиму, а другим - турбулентному, будет быстро происходить ламинаризация турбулентного потока.

5. На основе статистической теории проведен гармонический анализ распределения пульсаций продольной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности развитого турбулентного течения в канале. Получен спектр распределения энергии по частотам, который хорошо согласуется с известным теоретическим результатом, подтвержденным практическими и численными измерениями. Исследовано влияние ширины канала на распределение кинетической энергии турбулентности. Показано, что максимальное значение кинетической энергии пульсаций с ростом Нг возрастает. Для различных вариантов широты Нг получены спектры распределения процесса колебаний скорости и энергии по частотам.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Липанов A.M. Установление и эволюция параметров симметричного ламинарного потока в плоском канале с внезапным расширением / А.М. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2007. -Т.48. -№ 1. -С. 35-42.

2. Липанов A.M. Исследование установившихся ламинарных потоков, подвергнутых воздействию начального возмущения / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2008.-Т.49.-№3.-С. 11-19.

3. Липанов A.M. О процессах установления и эволюционирования гидромеханических параметров ламинарного симметричного потока в плоском канале / А.М. Липанов, С.А. Карсканов // «Проблемы механики и материаловедения»: III науч.-практ. конф. -Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2006. -С. 4-5.

4. Карсканов С.А. Об установлении и трансформировании ламинарного симметричного потока в плоских каналах / С.А. Карсканов // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов. -Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. -Т. 2. -С. 101.

5. Липанов A.M. Параметрическое исследование ламинарных стационарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // «Численные методы в математике и механике»: Конф. мол. уч. -Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2007. -С. 3-4.

6. Липанов A.M. Параметрическое исследование нестационарных ламинарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ, в печати

7. Липанов A.M. Параметрическое исследование ламинарных и турбулентных дозвуковых течений сжимаемой среды / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // Тез. докл. XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды. -Саратов: Издательство Саратовского университета, 2007.

8. Липанов A.M. Моделирование переходных течений в плоском трехмерном канале, определение критического числа Рейнольдса / A.M. Липанов, С.А. Карсканов И Безопасность критичных инфраструктур и территорий: II Всероссийская конференция и XII Школа молодых ученых. -Екатеринбург: УрО РАН, 2008. -С. 151 -152.

Подписано в печать 22.01.09 Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл.печ.л. 1,2 Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии ИПМ УрО РАН

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ РАСШИРЕНИЕМ.

1.1. Система уравнений гидромеханики.

1.2. Граничные и начальные условия.

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ.

2.1. Метод интегрирования уравнений гидромеханики по времени.

2.2. Метод интегрирования уравнений гидромеханики по пространственным координатам.

2.3. Алгоритм расчета пространственных производных в окрестности стенки.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕТОДИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ.

3.1. Обоснование сходимости процесса вычислений при интегрировании уравнений гидромеханики.

3.2. Точки отрыва и присоединения ламинарных и турбулентных течений за обратным уступом.

3.3. Пульсационные характеристики дозвукового турбулентного течения за обратным уступом.

3.4. Расчет одномерного энергетического спектра.

ГЛАВА 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ РАСШИРЕНИЕМ.

4.1. Условия численного моделирования.

4.2. Симметричные ламинарные стационарные течения.

4.3. Несимметричные ламинарные стационарные течения.

4.4. Нестационарные ламинарные течения.

4.5. Переходные течения в канале с боковыми стенками.

Существование резко различающихся ламинарных и турбулентных режимов течения было замечено еще в первой половине XIX в., но начало теории турбулентности положено лишь в конце того же столетия в работах Осборна Рейнольдса [1—5]. Именем именно этого ученого названо впоследствии число, являющееся общим критерием перехода ламинарного течения в турбулентное.

Наиболее распространенной является интерпретация числа Рейнольдса как меры относительной значимости сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости или газа. Силы инерции, если они существенно превосходят силы вязкости, что соответствует большим числам Re, вызывают перемешивание конечных объемов газа, движущихся с разными скоростями. В результате осуществляется передача энергии от крупномасштабных структур к менее крупным, образующимся за счет потери устойчивости более крупных вихрей [6 - 11]. Поглощая энергию основного потока, эти структуры оказываются сильно анизотропными, завихренными и существенно отличаются от течения к течению. Поэтому возникает необходимость детального изучения потоков газа в технических системах, так как характер течения может сильно повлиять на работоспособность устройства и иные его характеристики. Процесс потери устойчивости и переход к турбулентному течению происходит практически скачкообразно, следовательно, важно знание параметров, при которых наступает этот переход, и где та граница, при превышении которой происходит разрушение существующего течения.

Ламинарные потоки, по сравнению с турбулентными, наверное, наиболее изучены и экспериментально и теоретически. Тем не менее, подробных параметрических исследований особенно для сжимаемых сред проведено не много. Решить уравнения гидромеханики аналитически не представляется возможным из-за их нелинейности. Поэтому все теоретические исследования уравнений основываются на предположениях, значительно упрощающих систему уравнений гидромеханики. Точные решения для течений Пуазейля, между двумя параллельными пластинами, и Куэтта, когда одна из пластин неподвижна, а другая движется с постоянной скоростью, получены при существенном допущении о несжимаемости среды [4, 8, 12]. Кроме того, при всех других более сложных точных решениях предполагается, что потоки среды стационарны. Однако преобладающее большинство течений, с которыми приходится иметь дело на практике, не являются идеализированными. Поэтому целесообразно дальнейшее исследование более сложных вариантов течений, в том числе и ламинарных, а особенно - турбулентных. Тем более, что проблема расчетного предсказания характеристик движения имеющего реальный практический интерес далека от решения и чрезвычайно актуальна.

В настоящее время существует три основных подхода' к численному описанию турбулентной конвекции [13]. Традиционный подход, основанный на решении уравнений, возникающих вследствие применения рейнольдсова осреднения уравнений Навье-Стокса (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS), менее трудоемкий и не требует огромных вычислительных затрат [14- 19]. До сих пор метод RANS остается наиболее распространенным подходом к моделированию турбулентных течений. Вместе с тем, результаты расчетов по методу RANS очень чувствительны к выбору той или иной замыкающей полуэмпирической модели турбулентности, а иногда и просто не способны отразить характерные особенности, присущие термоконвективным течениям. Опыт трехмерных расчетов турбулентной температурной конвекции на основе ряда моделей RANS показал, что свойственная этим моделям генерация высокого уровня турбулентной вязкости препятствует развитию крупномасштабных трехмерных пульсаций, которые в действительности определяют структуру осредненного движения и конвекции в целом [20]. Этот подход не в состоянии обеспечить приемлемую для практики точность описания турбулентных течений при наличии в потоке обширных отрывных зон. Более того, хотя возможности усовершенствования полуэмпирических моделей, в принципе, еще не исчерпаны, существенный прогресс в этой области едва ли возможен. Это объясняется специфическими физическими особенностями отрывных течений, в частности, наличием в них так называемых организованных (когерентных) вихревых нестационарных структур, параметры которых определяются конкретными геометрическими характеристиками рассматриваемого течения и граничными условиями. Ясно, что это делает построение универсальной полуэмпирической модели турбулентности для расчета отрывных течений исключительно сложной, если вообще разрешимой задачей [21].

Метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) предполагает аккуратный расчет переноса импульса и тепла лишь крупными, энергетически важными структурами, что позволяет рассчитывать термоконвективные течения при высоких значениях числа Рейнольдса с привлечением сравнительно простых замыкающих моделей [22 - 26]. Особая привлекательность метода LES применительно к расчетам термоконвективных задач объясняется способностью адекватно воспроизводить эволюцию во времени определяющих конвекцию крупномасштабных вихревых структур. Однако моделирование турбулентных течений в присутствии твердых границ на основе метода LES в чистом виде сопровождается требованиями по сеточному разрешению пристенных областей, в которых присутствуют относительно мелкие вихри

27]. Тем не менее, стоит отметить, что стремление преодолеть ограничения RANS и LES привело к появлению гибридного подхода в 1997г. В работе

28] был сформулирован новый подход к моделированию отрывных течений, получившего название метода Моделирования Отсоединенных Вихрей (Detached Eddy Simulation, DES). Этот метод успешно применяется в расчетах сложных отрывных течений в задачах внешней аэродинамики.

Среди трех подходов к численному описанию турбулентности все возрастающей привлекательностью обладает метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS) [13]. Однако метод DNS обеспечивает надежность результатов расчетов только при полном разрешении всех составляющих движения. Выполнение данного условия налагает жесткие требования к вычислительным ресурсам, быстро возрастающие при желании продвинуться вверх по числу Рейнольдса. Этот подход наиболее точен и универсален, однако полноценное использование прямого численного моделирования в задачах с геофизическими масштабами даже по самым оптимистичным прогнозам будет возможно лишь по прошествии нескольких десятилетий. Поэтому характерной особенностью течений, исследованных до настоящего времени в рамках DNS, является их пространственная ограниченность (течения в канале, пограничный слой) и сравнительно небольшое число Рейнольдса. Хотя появление многопроцессорных вычислительных систем с возможностью распараллеливания вычислительного процесса уже дает то быстродействие, которого достаточно для проектирования технических устройств, функционирование которых связано с турбулентными потоками.

Кроме высокопроизводительной вычислительной системы при проведении расчетов с помощью прямого численного моделирования необходим эффективный численный метод. Существует множество способов численного решения уравнений Навье-Стокса [29]. Но для решения задач с очень маленькими масштабами необходимы высокоточные пространственные методы. С одной стороны, количество узлов, требуемое методами высокого порядка точности обычно в несколько раз меньше, чем для методов первого или второго порядков [30]. При моделировании реальных потоков с мелкими пространственными структурами методами низкого порядка требования к машинной памяти будут огромны, и возникает необходимость в высокоточных схемах. Решение высокой точности достигается с использованием спектральных методов. Эти методы, однако, более трудны в использовании, особенно при наличии сложной геометрии. Основная проблема, которая возникает при применении высокоточных схем, заключается в постановке и обработке граничных условий. Для схем высокого порядка точности вычислительный шаблон становится шире, и выбор численных граничных условий с сохранением точности и устойчивости - не тривиальная задача. С другой стороны, использование схем высокого порядка ведет к увеличению времени обработки каждой точки (узла), особенно если применяется неявная схема по времени. Однако высокий порядок точности по пространству позволяет снизить количество временных шагов, то есть увеличить шаг по времени. Поэтому основными направлениями в рамках DNS являются разработка схем высокого порядка точности и проведение численных экспериментов с использованием качественных математических моделей. Стоит сказать, что методы высокого порядка привлекают в последнее время все больше внимания, так как их теоретические разработки получают широкое применение в разнообразных научных направлениях, включая моделирование глобальных атмосферных явлений, аэродинамику, океанографию, термодинамику, теоретическую химию [31]. Более того, существует специальная конференция International Conference on Spectral Application and High-Order Methods (ICOSAHOM) посвященная проблемам высокоточного моделирования.

Теория турбулентности далека от своего завершения. Появляются все новые подходы к ее изучению. Растет число моделей, предлагаемых для понимания отдельных ее свойств. В работах [32, 33] делается обзор именно таких подходов, которые еще не стали хрестоматийными. Анализ Фурье, теория динамических систем, теория фракталов, вейвлет-анализ - вот далеко не полный перечень областей науки, которые дают новые идеи в исследовании турбулентности.

Далее, проведем обзор работ, ставящих во главу угла высокий порядок дискретизации, так как именно на это делается акцент и в данной работе при прямом численном моделировании гидромеханических потоков.

В работе [34] численно исследуется течение около криволинейного цилиндра с числами Рейнольдса 100 и 500. Вычисления проводятся с использованием спектрального /гр-метода. Данный метод обладает высоким порядком дискретизации, причем одновременно может повышаться число элементов (/г-точность) и порядок полинома разложения в области элемента (р-точность). Метод имеет экспоненциальную сходимость с показателем степени полинома, р. Алгоритм для решения несжимаемых уравнений Навье-Стокса основывается на абсолютно устойчивой схеме расщепления. Нелинейные члены рассчитываются по явной временной схеме, линейные -по неявной. Вычисления на начальной стадии выполняются с использованием полиномов второго порядка, затем порядок повышается до четвертого и, наконец, до шестого. При числе Рейнольдса 100, когда имеет место стационарное течение, разница моделируемых параметров при переходе со второго порядка на четвертый составила приблизительно 4%, а при переходе с четвертого на шестой - менее 0.1%. При числе Рейнольдса 500 авторы получают нестационарное трехмерное течение и методы ниже четвертого порядка не используют.

Похожий алгоритм интегрирования несжимаемых уравнений Навье— Стокса используется в работе [35], в которой моделируется течение за круговым цилиндром. Применяется абсолютно устойчивая схема расщепления по времени высокого порядка, когда линейные и нелинейные члены рассчитываются на разных промежуточных шагах. Дискретизация же по пространству основывается на методе спектральных элементов. Интерполирование внутри элемента осуществляется полиномами Лежандра-Лагранжа восьмого порядка. При интерполировании с десятым порядком разница чисел Струхаля получается в пределах 1%, и авторы делают вывод, что полиномы восьмого порядка дают приемлемое пространственное разрешение.

Спектральный метод коллокации Чебышева используется в работе [36] I при численном исследовании двумерной локальной нестационарности, возникающей в течении Пуазейля. В работе [37] несжимаемые уравнения Навье-Стокса решаются с помощью псевдоспектрального метода: в горизонтальных направлениях вычислительная область дискретизируется с помощью рядов Фурье, а в нормальном к стенке направлении используются полиномы Чебышева. В работе решается задача управления с обратной связью возрастающим погранслоем.

Однако спектральные методы имеют ряд недостатков. Как указывалось выше, они достаточно сложны в использовании, особенно в задачах со сложной геометрией и не применимы, когда нестационарность вызвана движением стенки. Поэтому в последнее время значительное внимание уделяется разработке и применению схем, использующих в своей основе методы конечных разностей и конечных объемов.

Например, в работе [38] используется пространственная схема центральных разностей четвертого порядка точности при моделировании сжимаемого вязкого потока около движущейся каверны в совокупности со схемой Рунге-Кутта второго порядка по времени. Показано, что аналогичная схема второго порядка применима только для низких чисел Рейнольдса (до 300). Кроме того, данные схемы четвертого и второго порядка апробируются при решении уравнения Бюргерса. И, если при числе Рейнольдса, равном 100, ошибки дискретизации сопоставимы, то при числе Рейнольдса 200 и более точность схемы четвертого порядка на порядок выше.

Компактная схема конечных разностей четвертого порядка так же используется в работе [39] при решении уравнений Навье-Стокса около движущейся каверны. Авторы приходят к выводу, что использование схем с более низким порядком точности допустимо только в задачах при характерных числах Рейнольдса до 100 даже при достаточном насыщении сетки. С возрастанием числа Рейнольдса ошибка схем низкого порядка оказывается около 10%, тогда как метод четвертого порядка имеет погрешность меньше 0,32%, а в сравнении со спектральным методом шестого порядка [40] - 0,45%.

Сравнение схем второго и четвертого порядка точности при моделировании потока около движущейся каверны в паре с явным методом Рунге-Кутта интегрирования по времени делается и в работе [41]. Авторы делают вывод, что схема четвертого порядка более эффективна.

Стационарно — нестационарный переход двумерного отделившегося пузыря исследуется в работе [42] с помощью прямого численного моделирования. Несжимаемые уравнения Навье-Стокса дискретизируются с помощью компактной конечно-разностной схемы четвертого порядка по пространству и явной схемой Рунге-Кутта третьего порядка по времени. Прямое численное моделирование ламинарно- турбулентного перехода течения в плоском канале осуществляется в работе [43]. Авторы используют полуспектральный метод, когда в продольном и поперечном направлениях применяется разложение Фурье, а в нормальном к стенке направлении -компактная конечно- разностная схема четвертого порядка точности. В работе [44] при численном исследовании пограничного слоя на вогнутой поверхности используется классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка при интегрировании по времени и компактная конечно-разностная схема 6 порядка при дискретизации по пространству, за исключением пристенной области, где интегрирование осуществляется с пятым порядком точности.

В работах [45-47] моделируется сжимаемое дозвуковое и сверхзвуковое течение в канале. Уравнения Навье-Стокса записываются в формулировке давление-скорость-энтропия. Компактная противопоточная схема Адамса и Шерифа пятого порядка используется для дискретизации членов уравнения Эйлера, компактная схема Лиля шестого порядка — для молекулярных членов. По времени уравнения интегрируются методом Рунге-Кутта третьего порядка. Кроме того, в работе [45] результаты прямого численного моделирования сравниваются с результатами LES моделирования.

Сравнение результатов DNS и LES моделирования проведено и в работе [48]. Исследовался несжимаемый поток в канале с обратной ступенькой. Для пространственной дискретизации конвективных и диссипативных членов была выбрана компактная схема Эрмита четвертого порядка для неравномерной сдвинутой сетки.

Говоря о схемах высокого порядка точности, возникает вопрос об их эффективности, особенно с точки зрения вычислительных затрат. Именно этой проблеме уделяют внимание авторы работы [49]. Понятия высокая точность и высокий порядок не всегда синонимы. По мнению авторов, главный критерий точности пространственной схемы - возможность минимизировать ошибку для максимальных волновых чисел. Имея в виду данное условие, схемы высокого порядка точности позволяют уменьшить необходимое число расчетных точек, а соответственно и сэкономить машинное время. При решении двумерных задач высокоточные методы позволяют уменьшить объем вычислений на два порядка, для трехмерных расчетов это соотношение еще больше. При моделировании двумерного невязкого потока за цилиндром с использованием метода четвертого порядка точности при интегрировании по пространству, основанном на разложении в ряд Тейлора, авторами показана экономия машинного времени в 98% по сравнению с расчетами, выполненными без использования схем высокого порядка.

Существуют работы, в которых совмещено использование различных методов пространственной дискретизации, например [50]. Авторы используют метод конечных разностей шестого порядка точности для дискретизации в двух направлениях (по потоку и нормальному к стенке), а в третьем направлении (поперечном) используют спектральный метод. Для интегрирования по времени используется схема Рунге- Кутта четвертого порядка точности.

Для эффективной реализации методов прямого численного моделирования турбулентности возникает необходимость в использовании высокопроизводительных вычислительных систем. Наиболее подходящими системами в современных условиях являются многопроцессорные комплексы. Использование таких вычислительных машин требует разработки экономичных алгоритмов, что является самостоятельной достаточно сложной задачей. В работе [51] осуществлена реализация компактных схем высокого порядка (четвертого и выше) на многопроцессорном кластере с использованием технологии MPI для DNS и LES моделирования турбулентных потоков. Авторы используют фильтры высокого порядка для подавления ложных численных осцилляций, возникающих при использовании компактных разностных схем высокого порядка. В работе проводится анализ эффективности численных методов разного порядка точности при расчете на разном числе процессоров.

Одна из проблем, возникающих при использовании разностных методов высокого порядка, - получение монотонных решений, особенно при наличии разрывов. Для решения данной проблемы существуют методы реконструкции решения. Наиболее известные из них ENO (essentially non-oscillatory) и WENO (weighted essentially non-oscillatory) методы с автоматическим анализом гладкости решения. Они позволяют автоматически достигнуть высокого порядка, не приводя к появлению случайных колебаний в окрестностях разрывов, при решении задач, которые содержат ударные волны и другие сложные структуры течения. Подробный анализ методов и примеры применения содержатся в работе [52]. В работах [53, 54] также показана возможность использования ENO-схемы в сочетании с методом Рунге-Кутта третьего порядка интегрирования по времени.

Прямое численное моделирование турбулентных потоков в канале с внезапным расширением на входе выполнено в работе [55]. Приведен алгоритм расчета с высоким требуемым порядком точности, как по времени, так и по пространству. Проведен анализ сходимости решения при аппроксимации производных и устойчивости схем. Там же в работе содержится обзор методов моделирования гидромеханических процессов, имеющих в своей основе высокий порядок точности дискретизации частных производных.

Научная новизна работы заключается в следующем:

-Реализован метод для прямого численного моделирования гидромеханических процессов, основанный на решении полных уравнений гидромеханики, описывающих трехмерные течения вязкого сжимаемого газа, с помощью устойчивых разностных схем высокого порядка точности; показана высокая точность, хорошая работоспособность предложенных схем в сравнении с имеющимися экспериментальными и расчетными данными.

-Проведено численное моделирование трехмерных ламинарных, переходных и турбулентных течений в канале с обратной ступенькой; исследованы структура и параметры течений в зонах отрыва и присоединения потока; получены осредненные и мгновенные картины течения; проведено сравнение с экспериментальными и теоретическими данными.

-Впервые проведены детальные численные исследования структуры и параметров ламинарных, трехмерных переходных и турбулентных течений в канале с резким расширением на входе; исследованы все основные стадии эволюционирования потока: отрыв и связанное с ним образование рециркуляционных зон, установление течения; вихреобразование и зарождение нестационарности; диссипация и переход к развитому турбулентному течению.

-Впервые исследовано влияние линейных размеров прямоугольного канала с внезапным расширением и различных граничных условий на характеристики потока.

-Получены статистические характеристики крупномасштабной турбулентности в ядре потока, найдены распределения пульсационных характеристик скорости по спектрам.

Достоверность результатов подтверждается следующим:

-Построенная математическая модель основывается на системе полных уравнений гидромеханики и базируется на фундаментальных законах механики сплошной среды.

-Разработанные численные алгоритмы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность в широком диапазоне варьируемых параметров.

-Полученные численные результаты согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными.

Лнчный вклад автора состоит в разработке математической модели и создании алгоритма для проведения численного исследования гидромеханических процессов. Проведено сравнение полученных численно результатов с известными расчетными и экспериментальными данными. Автором исследованы симметричные [88 - 90] и асимметричные [91, 92] ламинарные стационарные потоки газа, ламинарные нестационарные и переходные течения [93 — 95]. Все указанные исследования выполнены на основе анализа численных результатов, полученных лично автором. Анализ выполнен совместно с академиком A.M. Липановым.

На защиту выносится:

-Алгоритм метода высокого порядка точности по времени и пространству для расчета течений вязкого сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением на входе.

-Результаты тестовых расчетов с использованием метода высокого порядка точности интегрирования уравнений гидромеханики при решении задачи о течении газа в канале с обратной ступенькой

-Результаты спектрального анализа колебаний компоненты вектора скорости во времени.

-Результаты прямого численного моделирования течения в плоском канале с расширением. Влияние характерного числа Рейнольдса на закономерности течения. Исследование влияния линейных размеров канала на характер течения и изменение гидромеханических параметров.

По главам содержание работы распределено следующим образом. В первой главе описывается математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в плоском канале с расширением на входе, приводится система уравнений гидромеханики, определяются начальные и граничные условия.

Во второй главе описывается численный метод решения системы уравнений гидромеханики, алгоритм интегрирования по времени, конечно-разностная схема применительно к внутренним и граничным точкам, реализация граничных условий.

В третьей главе анализируются выполненные методические расчеты, приводятся результаты численного моделирования течения газа в канале с обратной ступенькой. Проводится сравнение результатов с известными экспериментальными и расчетными данными. Приводятся расчеты турбулентного течения газа в канале с внезапным расширением на входе. Спектральное распределение энергии продольной компоненты вектора скорости сравнивается с теоретической кривой.

Четвертая глава посвящена детальному исследованию течения в канале с внезапным расширением. Исследуется зависимость от числа Рейнольдса режима течения. Показывается влияние линейных размеров расчетной области (канала) на параметры потока. Строятся распределения пульсаций скорости по спектрам.

Результаты докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г., на III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», г. Ижевск, 2006 г., на конференции молодых ученых «Численные методы в математике и механике», г. Ижевск, 2007 г., на международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды», г. Саратов, 2007 г., на II Всероссийской научно-технической конференции «Безопасность критичных инфраструктур и территорий», г. Екатеринбург, 2008 г.

Основные результаты опубликованы в работах [88-95]. Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках гранта молодых ученых и аспирантов УрО РАН и стипендии президента Удмуртской Республики 2006-2007 гг.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ х, у, z - декартовые координаты; t — время; h — расстояние между обтекаемыми поверхностями на входе в канал; Н2 - расстояние между боковой стенкой и осью симметрии канала; р - плотность газа;

U,V,W - компоненты вектора скорости потока в направлениях x,y,z, соответственно; Р - давление; Г - температура; Е - полная энергия; R — газовая постоянная;

СР,СУ — изобарная и изохорная теплоемкости газа, к — отношение теплоемкостей;

S0 - энтропийная функция в ядре потока;

1/л - максимальная величина продольной компоненты вектора скорости потока на входе в канал;

Д,рл — величины давления и плотности на входе в канал, соответствующие U сЛ - скорость звука; Re - число Рейнольдса; М - число Маха; Рг - число Прандтля; кт - кинетическая энергия турбулентности; N - порядок аппроксимирующего выражения; fi - коэффициент молекулярной вязкости; X — коэффициент теплопроводности;

8[/, 8Т - толщины динамического и теплового пограничных слоев.

ГМП - гидромеханические параметры; ОИ - область интегрирования.

При нумерации формул и рисунков используется десятичная система, первой цифрой указывается глава, в которой находится формула либо рисунок, второй цифрой после точки - номер по порядку в этом разделе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

1. Построен метод высокого порядка точности для прямого численного моделирования трехмерных течений в плоском канале с внезапным расширением на основе интегрирования уравнений гидромеханики. Предложен алгоритм расчета производных у стенки по пространственным переменным с высоким порядком точности, используя информацию только из внутренних точек, без ввода в рассмотрение мнимых.

2. Выполнен ряд методических расчетов, показана сходимость метода интегрирования при квантовании области интегрирования на элементарные объемы, картина течения при этом детализируется. Получены осредненные и установившиеся поля течения в канале с обратной ступенькой. Численные результаты сопоставлены с имеющимися расчетными данными и данными физического эксперимента. Наблюдается хорошее соответствие результатов.

3. В канале с обратной ступенькой получено распределение пульсационных характеристик. Показана хорошая согласованность результатов с имеющимися данными физического и численного экспериментов. Стоит отметить, что для повышения качества математической модели необходимо измельчение сетки у стенки.

4. Проведено параметрическое исследование течения сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением. Получен ряд характерных чисел Рейнольдса, когда ламинарный поток перестает быть симметричным, после внесения возмущения, затем, когда ламинарный поток, теряя устойчивость, становится нестационарным, и, наконец, переходит к трехмерному турбулентному режиму течения. Для каждого из диапазонов чисел Re получено и показано характерное распределение гидромеханических параметров потока. Исследовано влияние линейных размеров канала на характер течения. Показано, что если хотя бы один из размеров соответствует Re > Re , то течение будет нестационарным и турбулентным.

А в канале с одним размером, соответствующим ламинарному режиму, а другим - турбулентному, будет быстро происходить ламинаризация турбулентного потока.

5. На основе статистической теории проведен гармонический анализ распределения пульсаций продольной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности развитого турбулентного течения в канале. Получен спектр распределения энергии по частотам, который хорошо согласуется с известным теоретическим результатом, подтвержденным практическими и численными измерениями. Исследовано влияние ширины канала на распределение кинетической энергии турбулентности. Показано, что максимальное значение кинетической энергии пульсаций с ростом Hz возрастает. Для различных вариантов широты Hz получены спектры распределения процесса колебаний скорости и энергии по частотам.

1. Лапин Ю.В. Статическая теория турбулентности: прошлое и настоящее (краткий очерк идей) / Ю.В. Лапин // Научно технические ведомости. СПб: Изд-во Политехнического ун-та, 2004, - №2 (36).-С. 7-20.

2. Reynolds О. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion / O. Reynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A -1895. Vol. 186. -P. 123-161.

3. Кочин H.E. Теоретическая гидромеханика / H.E. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. -М.:Физматгиз, 1963. -Т. 1-2.

4. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение / П.Брэдшоу. -М.: Мир, 1974. -278 с.

5. Гольдштейн С. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости / С. Гольдштейн. -М.: ИЛ, 1948. -Т. 1-2.

6. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. -1941. -Т.30. -№4, -С. 299-303.

7. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом. -М.: Наука, 1965, 1967. -Т. 1-2.

8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е / Л.Г. Лойцянский. -М.: Наука, 1970. 904 с.

9. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой / Л.Г. Лойцянский. -М.: Физматгиз, 1962. -479 с.

10. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. -М.: Наука, 1970. -Т. 1-2.

11. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учебное пособие в 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1986. -Т. 6. Гидродинамика. -736 с.

12. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях / А.Дж. Рейнольде -М.: Энергия, 1979. -408 с.

13. Турбулентность. Принципы и применения / под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. -М.: Мир, 1980. -536 с.

14. Белов И.А. Модели турбулентности: учебное пособие / И.А. Белов. -СПб.: ЛМИ, 1986.-100 с.

15. Белов И.А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие / И.А. Белов, С.А. Исаев. -СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2001. -108 с.

16. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD / D.C. Wilcox. La Canada, California: CDW Industries Inc., 1998. -537 p.

17. Методы расчета турбулентных течений / под ред. В. Колльмана. -М.: Мир., 1984. -464 с.

18. Smirnov Е.М. Recent advances in numerical simulation of 3D unsteady convection controlled by buoyancy and rotation / E.M. Smirnov // Proc. of the 12th Int. Heat Transfer Conf., Grenoble, France, 18-23 August 2002, CD-ROM Proceedings. -P. 1-12.

19. Стрелец M.X. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения / М.Х. Стрелец, А.К. Травин, М.Л. Шур,

20. Ф.Р. Спаларт // Научно технические ведомости. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2004. -№2 (36). -С. 22-33.

21. Berselli L.C. Mathematical analysis for the Rational Large Eddy Simulation Model / L.C. Berselli, G.P. Galdi, T. Uiescu, W.J. Layton // Math. Models Methods Appl. Sci. -2002. -№12. -P. 1131-1152.

22. Hughes T.J.R. Large eddy simulation of turbulent channel flows by the variational multiscale method / T.J.R. Hughes, A.A. Oberai, L. Mazzei // Phys. of Fluids. -2001. -№13. -P. 1784-1799.

23. Rembold B. Large-eddy simulation of compressible rectangular duct flow / B. Rembold, L. Kleiser // PAMM. -2003. -Vol. 2, -P. 352-353.

24. Черный С.Г. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе (к — £)-моделей / С.Г. Черный, П.А. Шашкин, Ю.А. Грязин // Вычисл. технологии. -1999. -№ 2. -Т. 4. -С. 74-94.

25. Кузьминов А.В. Метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе двухслойной (к — £)- модели / А.В. Кузьминов, В.Н. Лапин, С.Г. Черный // Вычисл. технологии. -2001. -№5. -Т. 6, -С. 73-86.

26. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulations / P.R. Spalart // Int. J. Heat and Fluid Flow. -2000. -Vol. 21. -P. 252.

27. Kress W. High Order Finite Difference Methods in Space and Time: Doctoral thesis/ Kress W. Uppsala: Uppsala University, 2003. -28 p.

28. Jameson L. High order schemes for resolving waves: Number of points per wavelength / L. Jameson // J. Sci. Comput. -2000. №15. -P. 417-439.

29. Deville M.O. High-Order Methods for Incompressible Fluid Flow / M.O. Deville, P.F. Fischer, E.H. Mund. -New York: Cambridge University press, 2004. -490 p.

30. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы: курс лекций в 2-х частях / П.Г. Фрик. -Пермь: ПГТУ, 1998. -244 с.

31. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели / П.Г. Фрик. -Москва -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -292 с.

32. Miliou A. Wake Topology of curved cylinders at low Reynolds Numbers / A. Miliou, S.J. Sherwin, J.M.R. Graham // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. Vol. 71. -P. 147-160.

33. Blackburn H.M. Two- and three-dimensional simulations of vortex-induced vibrations of a circular cylinder / H.M. Blackburn, G.E. Karniadakis // Proc. 3rd Intnl. Offshore & Polar Engng. Conf. —Singapore, 1993.-Vol.3.-P. 715-720.

34. Robinet J.-C. Two-dimensional local instability: complete eigenvalue spectrum / J.-C. Robinet, C. Pfauwadel // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 181- 188.

35. Chevalier M. Feedback control in spatially growing boundary layers / M. Chevalier, J. Hoepffner, E. Akervik, D.S. Henningson // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 243 248.

36. Bao W. High-order I-stable centered difference schemes for viscous compressible flows / W. Bao // J. of Comput. Math. -2003. -Vol. 21, -№1. -P. 101-112

37. Zhang J. Numerical simulation of 2D square driven cavity using fourth order compact finite difference schemes / J. Zhang // Computers and Mathematics with Applications. -2003. -Vol. 45. -P. 43-52.

38. Nishida H. Higher-order solution of square driven cavity flow using a variable- order multigrid method / H. Nishida, N. Satofuka // Int. J. Numer. Methods Eng. -1992. -Vol. 34. -P. 637-653.

39. Kampanis N.A. A staggered grid high-order accurate method for incompressible viscous flow / N.A. Kampanis, J.A. Ekaterinaris // AIAA-2004-0432. -2004.

40. Simens M. On fundamental instability mechanisms of nominally 2-D separation bubbles / M. Simens, L. Gonzalez, V. Theofilis, R. Gomez-Bianco // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 89-95.

41. Ji-Sheng L. Inherent mechanism of breakdown in laminar-turbulent transition / L. Ji-Sheng, W. Xin-Jun, Z. Heng // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 267 273.

42. Souza L.F. Non-linear interaction of Goertler vortices and Tollmien Schlichting waves / L.F. Souza, M.T. Mendonca, M.A.F. Medeiros // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 409-414.

43. Ghosh S. DNS and LES of compressible turbulent pipe flow with isothermal wall / S. Ghosh, J. Sesterhenn, R. Friedrich // Direct and Large-Eddy Simulations VI. -Netherlands: Springer, 2006. -Part XVIP. -P. 721728.

44. Foysi H. Compressibility effects and turbulence scalings in supersonic channel flow / H. Foysi, S. Sarkar, R. Friedrich // J. Fluid Mech. -2004. -Vol. 509. -P. 207-216

45. Friedrich R. Turbulent momentum and passive scalar transport in supersonic channel flow / R. Friedrich, H. Foysi, J. Sesterhenn // J. Braz. Soc. Mech. Sci.& Eng. -Rio de Janeiro, 2006. -Vol. 28. -No. 2.

46. Neumann J. DNS and LES of Passively Controlled Turbulent Backward-Facing Step Flow / J. Neumann, H. Wengle // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. Vol. 71. -P. 297-310.

47. Treidler B. Efficient solution algorithms for high-accuracy central difference CFD schemes / B. Treidler, J. A. Ekaterineris, R. E. Childs //

48. AIAA-1999-302 Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 37th. -Reno, NY, 1999.

49. Marxen O. A combined experimental/numerical study of unsteady phenomena in a laminar separation bubble / O. Marxen, M. Lang, U. Rist, S. Wagner // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. -Vol.71. -P. 133-146.

50. Hamed A. Performance Characterization and Scalability Analysis of a Chimera Based Parallel Navier-Stokes Solver on Commodity Clusters /

51. A. Hamed, D. Basu, K. Tomko, Q. Liu // Proc. of the International Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics. -College Park, MD, 2005.

52. Королева M.P. Прямое численное моделирование турбулентных течений в несимметричном диффузоре: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Королева Мария Равилевна. -Ижевск, 2005. -121 с. -Библиогр.: с. 111-121.

53. Stemmer С. Investigation of hypersonic flat-plate boundary-layer transition by direct numerical simulation/ C. Stemmer, N.A. Adams // In High Performance Computing in Science and Engineering. -Berlin: Springer Verlag, 2004. -Vol. 4. -P. 155-162.

54. Stemmer C. Transition investigation on hypersonic flat-plate boundary layers flows with chemical and thermal non-equilibrium / C. Stemmer // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 363 368.

55. Ключников И.Г. Прямое численное моделирование дозвуковых турбулентных течений газа: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Ключников Игорь Геннадьевич. -Ижевск, 1997. -230 с. -Библиогр.: с. 215-230.

56. Липанов A.M. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников. -Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001.

57. Липанов A.M. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников//Мат. моделирование. -1994. -Т. 6. -№10. -С. 13-23.

58. Липанов A.M. Математическое моделирование турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников //Мат. моделирование. -1997. -Т. 9. -№ 2. -С. 113-116.

59. Федорченко А.Т. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчетной области нестационарного дозвукового потока / А.Т. Федорченко //ЖВМ и МФ. -1986. -Т. 26. -№ 1. -С. 114-129.

60. Федорченко А.Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале / А.Т. Федорченко // МЖГ. -1988. -№ 4. -С. 32-41.

61. Федорченко А.Т. О расчетных моделях взаимодействия вихрей с проницаемой границей области дозвукового потока / А.Т. Федорченко // Докл. АН СССР. -1983. -Т. 273. 1. -С. 66-70.

62. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1973. -832 с.

63. Hsu C.-H. Transient mixed convection of a second-grade fluid past a backward-facing step / C.-H. Hsu, Y.-P. Chang, B.-C. Chen // Int. J. of Non-Linear Mechanics. -1999. -Vol. 34. -P. 881-893.

64. Yu K.F. Numerical simulation of gas-particle flow in a single-side backward-facing step flow / K.F. Yu, K.S. Lau, C.K. Chan // J. of Сотр. and Applied Math. -2004. -Vol. 163. -P. 319-331.

65. Elizarova T.G. Theoretical and numerical investigation of quasi-gasdynamic and quasi-hydrodynamic equations / T.G. Elizarova, Yu.V. Sheretov // J. Comput. Mathem. and Mathem. Phys. -2001. -Vol. 41. -P. 219-234.

66. Elizarova T.G. Simulation of separating flows over a backward-facing step / T.G. Elizarova, I.S. Kalachinskaya, Yu.V. Sheretov, E.V. Shilnikov // Сотр. Math, and Modeling. -2004. -Vol. 15. -№ 2. -P. 167-193.

67. Iwai H. The effects of duct inclination angle on laminar mixed convective flows over a backward-facing step / H. Iwai, K. Nakabe, K. Suzuki, K. Matsubara // Int. J. of Heat and Mass Transfer. -2000. -Vol.43. -P. 473 -485.

68. Chun K.B. Visualization of a locally-forced separated flow over a backward-facing step / K.B. Chun, H.J. Sung // Exp. in Fluids. -1998. -Vol.25. -P. 133-142.

69. Yoshioka S. Turbulence statistics of periodically perturbed separated flow over backward-facing step / S. Yoshioka, S. Obi, S. Masuda // Int. J. of Heat and Fluid Flow. -2001. -Vol. 22. -P. 393 401.

70. Hsu C.-H. Unsteady flow of a second-grade fluid past a backward-facing step / C.-H. Hsu, T.-Y. Chou // Int. J. Non-Linear Mechanics. -1997. -Vol.32. -№ 5. -P. 947-960.

71. Lee I. Three-dimensional coherent structure in a separated and reattaching flow over a backward-facing step / I. Lee, S.K. Ahn, H.J. Sung // Exp. in Fluids. -2004. -Vol. 36. -P. 373-383.

72. Jovic S. Reynolds number effect on the skin friction in separated flows behind a backward-facing step / S. Jovic, D. Driver // Exp. Fluids. -1995. -Vol.18. -P. 464-467.

73. Driver D.M. Features of a reattaching turbulent shear layer in divergent channel flow / D.M. Driver, H.L. Seegmiller // AIAA J. -1985. -Vol. 23.-P. 163-171.

74. Vogel J.C. Combined heat transfer and fluid dynamic measurement downstream of a backward-facing step / J.C. Vogel, J.K. Eaton // J. Heat Transfer. -1985. -Vol. 107. -P. 922-927.

75. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. -М.: Наука, 1974. -712 с.

76. Jacob М. Heat transfer / М. Jacob. -John Wiley, New York, 1957. -Т. 1 -2.

77. Armaly B.F. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow / B.F. Armaly, F. Durst, J.C.F. Pereira, B. Schonung // J. Fluid Mech. -1983. -Vol. 127. -P. 473-496.

78. Barton I.E. Laminar flow over a backward-facing step with a stream of hot particles / I.E. Barton // Int. J. Heat and Fluid Flow. -1997. -Vol. 18. -P. 400-410.

79. Tihon J. Near-wall investigation of backward-facing step flows / J.

80. Tihon, J. Legrand, P. Legentilhomme // Experiments in Fluids. -2001. -Vol. 31.-P. 484-493.

81. Abbott D.E. Experimental investigation of subsonic turbulent flow over single and double backward-facing steps / D.E. Abbott, S.J. Kline // J. Basic Eng. -1962. -Vol. 84. -P. 317-325.

82. Kasagi N. Three-dimensional particle-tracking velocimetry measurement of turbulence statistics and energy budget in a backward-facing step flow / N. Kasagi, A. Matsunaga // Int. J. Heat Fluid Flow. -1995. -Vol. 16. -P. 477-485.

83. Otugen M.V, Expansion ratio effects on the separated shear layer and reattachment downstream of a backward-facing step / M.V. Otugen // Exp. Fluids. -1991.-Vol. 10. -P. 273-280.

84. Otugen M.V. Study of separated shear layer in moderate Reynolds number plane sudden-expansion flows / M.V. Otugen, G. Muckenthaler // AIAA J. -1992. -Vol. 30. -P. 1808-1813.

85. Комаров П.Л. Исследование характеристик турбулентности и теплообмена за обратным уступом в щелевом канале / П.Л. Комаров, А.Ф. Поляков // Препринт ИВТАН № 2. -М., 1996.

86. Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизмы и теория / И.О. Хинце. -М.: Физматгиз, 1963. 680 с.

87. Липанов A.M. Установление и эволюция параметров симметричного ламинарного потока в плоском канале с внезапным расширением / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2007. -Т.48. -№ 1. -С. 35-42.

88. Липанов A.M. Исследование установившихся ламинарных потоков, подвергнутых воздействию начального возмущения / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2008. -Т.49. -№3. -С. 11-19.127

89. Липанов A.M. Параметрическое исследование ламинарных стационарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // «Численные методы в математике и механике»: Конф. мол. уч. -Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2007. -С. 3-4.

90. Липанов A.M. Параметрическое исследование нестационарных ламинарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ, в печати.

91. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. / П. Роуч. -М.:«Мир», 1980.