Прямое численное моделирование турбулентных течений в несимметричном диффузоре тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

КОРОЛЕВА МАРИЯ РАВИЛЕВНА

ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В НЕСИММЕТРИЧНОМ ДИФФУЗОРЕ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2005

Работа выполнена в Институте прикладной механики Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор рКисаров Юрий Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тишкин Владимир Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Тененев Валентин Алексеевич

Ведущая организация: Балтийский государственный технический

университет, г. Санкт-Петербург

Защита состоится « 2005 года в часов

на заседании диссертационного совета ДМ 004.013.01 в Институте прикладной механики Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 426067, г.Ижевск, ул. Т.Барамзиной 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики УрО РАН.

Автореферат разослан ¿•е/^/ЛсГ?^ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совет; кандидат физико-математических

Копысов С.П.

2QQG-4 KS&

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Основным элементом многих технических систем, в которых присутствуют турбулентные течения, являются диффузоры. Диффузоры являются составной частью реактивных двигателей, испытательных установок, в частности аэродинамических труб, они используются в турбинах, насосах, вентиляторах, компрессорах и других машинах. Основное назначение диффузоров - преобразование кинетической энергии, полученной за счет ускорения потока и последующего его расширения, в увеличение статического давления. Необходимость получения высоких коэффициентов восстановления давления в диффузорах часто заставляет использовать геометрические параметры, при которых течение находится либо на грани отрыва, либо при условиях, близких к нему. В этом случае в диффузор действует как самовозбуждающийся генератор колебаний с квазипериодическим образованием и уносом отрывных областей возникает режим, называемый нестационарным отрывным течением. Присутствие отрывных зон сильно затрудняет детальное исследование течений в диффузорах.

Одним из интересных примеров таких течений является течение в плоском несимметричном диффузоре с большим углом раскрытия. Это течение обладает следующими характерными свойствами:

- течение находится на грани отрыва, когда достигаются оптимальные характеристики работы многих технических устройств;

- течение характеризуется сложной физикой - в нем одновременно присутствуют такие явления как отрицательный коэффициент давления, внезапное резкое расширение подводящего канала диффузора, начальный отрыв и повторное присоединение потока в отводящем канале, сопровождающееся значительным повышением давления;

- геометрия диффузора позволяет получить в общем случае двумерную осредненную картину течения при нестационарных трехмерных mi новенных полях потока.

Значительное место в исследовании турбулентных течений занимает прямое численное моделирование на основе разностных схем повышенного порядка точности. В этой области хорошо известны работы по прямому численному моделированию турбулентности с использованием схем высокого порядка точности Липанова A.M., Белоцерковского О.М., Тишкина В.Ф., Кисарова Ю.Ф., Герценштейна С.Я., Никитина Н.В., Янилкина Ю.В., Кима Дж., Мозера Р.Д., Мойна П. и др.

Исследования течения в диффузоре данной геометрии были сосредоточены на получении осредненных параметров течения и не позволяют в полной мере изучить актуальные величины и поля основных параметров турбулентного потока. Таким образом, есть необходимость в построении алгоритма, позволяющего достоверно описывать турбулентные течения в плоских диффузорах.

Цель работы

Целью данной работы является исследование с помощью прямого численного моделирования с использованием методов высокого порядка точности турбулентных течений сжимаемого, вязкого газа в несимметричном диффузоре, для достижения которой необходимо решить следующие задачи:

- разработка математической модели, описывающей трехмерное течение сжимаемого вязкого газа;

- построение эффективных разностных схем повышенного порядка точности, способных решить дифференциальные уравнения, описывающие трехмерные турбулентные течения в каналах различной геометрии;

- анализ точности и устойчивости вычислительного алгоритма;

- проведение численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с получением полной картины течения: мгновенных полей распределения основных параметров потока, средних и пульсационных характеристик течения с использованием разработанного алгоритма.

Научная новизна

В работе предложены схемы повышенного порядка точности по времени и пространству на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений.

Проведены аналитические исследования устойчивости и точности разработанных схем высокого порядка точности в широком диапазоне варьируемых параметров и в сравнении с имеющимися аналитическими, расчетными данными.

Впервые проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре.

Исследование влияние угла раскрытия диффузора на картину течения, в частности на положение и размер зоны отрыва является новым.

Установлено влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на характер течения в диффузоре.

Получена не только осредненная, но и мгновенная картина течения в несимметричном диффузоре. Найдено распределение коэффициента давления и коэффициента сопротивления. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными.

Впервые исследовано мгновенное распределение параметров течения, а также пространственная конфигурация вихревых структур в плоском несимметричном диффузоре.

Достоверность результатов

Достоверность научных положений, выводов и результатов, приведенных в работе, подтверждается следующим:

- использованные математические модели на основе системы полных уравнений Навье-Стокса базируются на фундаментальных законах механики сплошной среды;

- построенные численные схемы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность и работоспособность в широком диапазоне варьируемых параметров;

- полученные численные результаты хорошо согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными.

Практическая значимость

Построенный в работе класс разностных схем высокого порядка точности может использоваться в теоретических исследованиях и инженерных расчетах при моделировании турбулентных течений в различных конструкциях, содержащих диффузоры с целью получения как осредненных, так и мгновенных параметров потока.

На защиту выносятся

- Схема высокого порядка точности по времени и пространству для расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа в несимметричном диффузоре.

- Результаты тестовых расчетов с использованием схем высокого порядка точности при решении одномерной задачи о распаде произвольного разрыва

- Результаты аналитического исследования устойчивости предложенного алгоритма расчета.

- Результаты прямого численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с различными углами раскрытия. Влияние различных граничных условий и ширины диффузора на закономерности течения. Сравнение полученных данных с результатами экспериментальных работ и данными других численных исследований.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на ИТ международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» г. Ижевск, 2001г.;

- на Всероссийской конференции высокопроизводительных вычислений и технологий, г. Ижевск, 2003г.;

- на международной научной конференции по фундаментальным и прикладным вопросам механики, г. Хабаровск, 2003г.,

- на VIII международном конгрессе по математическому моделированию, г. Нижний Новгород, 2004г.;

- на международной конференции «Нелинейные задачи юории гидродинамической устойчивости и турбулентность», г. Москва, 2004г. Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ по грантам № 03-01016151, №01-01-00353.

По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Jf

Личный вклад автора

Личный вклад автора заключается: в детальной постановке задачи, построении численных алгоритмов и их программной реализации, проведении тестовых расчетов и анализе устойчивости и точности метода, выполнении численных расчетов, обработке и описании полученных результатов. Анализ основных результатов проведен совместно с Липановым A.M. и Кисаровым Ю.Ф.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографического списка, включающего 102 наименование. Работа изложена на 121 страницах машинописного текста и содержит 42 иллюстрации и 9 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определены цели и задачи исследования, приведен обзор работ по исследованию и численному моделированию турбулентных течений.

В первой главе работы представлена физическая и математическая постановка задачи, а также описаны начальные и граничные условия.

Рассматривается течение в несимметричном диффузоре с углом раскрытия а (рис. 1).

Течение в диффузоре описывается системой полных трехмерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа:

д1 ск ф & ск ¿к

е=

р4 р» Л

ри ри2 + р р»и ри»!/

р> , F = ри\ ,0 = ру2+р рит

рм р\п V /7И>2 + р

рь. ч(рЕ+р)и/ ¿рЕ+р)»,

/ 0 \ г 0 \

т 1

^ XX 1 юс

Тху V ХУУ

X т

1У2

[Ях + VI" +10 Г \ЯУ+11ГУХ+ХТУУ+'№ТУ1)

/ 0 \

я., =

+ +УТгу

р = рЯТ, д = -ЛУ7\

„ И2+У2+И'2 1 о Е = -+-

2 и(-ди сН>

тхх = - - 2 -------

3 Эх Эу Зг

> г™

2ц '

^ду ди д») ду дх дг

2//[-Зи> ди ду = — I 2 — — 3 I & йс Зу

ди дуУ — +

Зу 3*

^ Эй ЗиЛ

Зу ЭЙ»4 +

& Зу

, дТ ,дТ ,дТ дх ду дг

Здесь .г, г - декартовы координаты, р, р, и, V, ш, ц, Е,т,Т - это плотность, давление, компоненты вектора скорости, тепловой поток, полная энергия, тензор вязких напряжений и температура соответственно, ц -коэффициент динамической вязкости, Л - коэффициент теплопроводности, Л - газовая постоянная, к - показатель адиабаты.

Система уравнений (1) приводится к безразмерному виду. Процедура обезразмеривания проводилась по входной высоте канала И и парам еч рам течения на входе в канал: У0, р0, ри,Т0= р0 /(р0Я), а0 = .¡кр0 /р0. Безразмерные переменные имеют следующий вид:

X х = н> <

и = и у'*' V = — , Ч! = К V ' 'о

р=р Ро я р , р= - . Ро - Т Г = - Т0 «0 Л = — (к к -1)Яел Рг

Характерные числа Рейнольдса и Маха, вычисленные по характерным параметрам потока имеют вид

М

Для моделирования течения в несимметричном диффузоре криволинейная физическая область (рис. 1) была преобразована в прямолинейную расчетную.

В расчетах принимались следующие значения параметров течения: Яел =21000, М0 =0.4, Рг = 0.7, к = 1.4.

При моделировании течений в диффузоре начальное состояние потока определялось двумя различными способами. В двумерных расчетах в качестве начальных данных для расчета использовались условия покоя, т.е. все компоненты вектора скорости принимались равными нулю, плотность и давление являлись постоянными величинами. В трехмерном случае начальными данными являлись компоненты вектора полученные

в результате двумерного расчета. В данном случае на начальное поле параметров накладывалось малое возмущение входного профиля скорости, отклоняющего входной поток по осям у и г. Затем возмущение снималось, и развитие течения происходило самостоятельно.

На непроницаемых границах области ставились условия прилипания с использованием принципа антисимметрии. Стенки канала считались адиабатическими. На проницаемых входной и выходной границах использовались алгоритмы, описанные в работах Федорченко А.Т., с помощью которых обеспечивается эффективное поглощение продольных волн, приходящих к входной границе из области канала, а также компенсируются эффекты на выходной границе при пересечении ее вихрями.

Во второй главе работы изложена процедура построения разностных схем высокого порядка точности по времени и пространству. Построение данных схем основано на интерполяции дискретных данных с использованием полиномов специального вида, построение которых изложено в работах Залесака С.Т. и Шу. Ч.-В.

Для интегрирования уравнений Навье-Стокса (1) по времени использовалась схема Рунге-Кутта третьего порядка точности, которая для уравнения вида:

«-К0. ®

где ¿((2) - пространственный оператор, имеет следующий вид:

4 4 4

ея+, = 5ея + зе<г, + з^-ф(2))-

Для системы уравнений Навье-Стокса (I) в одномерном случае:

дд + дР = дк (4)

д1 дх дх

(5)

разностная схема порядка точности N запишется следующим образом:

Q"l]-Q"_ 1 \_(Fn _F„ \ tFn F„ )]

At~ ~ А* \ '+иг I-V2J V iy+l/2 J IV 1/2Л» где потоки F"U2 определяется следующим выражением:

Kv2 =Км2-\ «Ш 2 ~ Qih ), (6)

где а = max^' qq ■ Величина ^«((Уж/2 -Qn}n) в данном случае играет роль

искусственной вязкости. Размер искусственной вязкости определяется автоматически, в зависимости от гладкости решения в конкретной точке расчетной области.

Потоки F,+]/2h величины Q^ и g' ' на гранях ячеек вычислялись по следующим формулам:

N12

К+112 = S ат + F,-m+l)>

т-1

й+1/2 =

г-0 у=0 /Г-1 £-1

г=0 7-0

Для расчета вязких потоков на гранях ячеек использовался алгоритм, подробно описанный в работе Липанова A.M., Кисарова Ю.Ф., Ключникова И.Г.1

Для того чтобы проанализировать возможности и проверить монотонность построенной схемы повышенного порядка точности была использована задача о распаде разрыва. Основными требованиями, предъявляемыми к разностным схемам повышенного порядка точности,

1 - Липаноп А М, Кисаров Ю Ф, Ключников И Г Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков - Екатеринбург- УрО РАН, 2001 - 161 с

при решении данной задачи являются, прежде всего, минимальное размазывание ударных волн и отсутствие случайных осцилляций решения вблизи разрывов, характерной для схем данного класса.

На рис. 2 представлены графики изменения плотности для схем второго, шестого и десятого порядков точности. Видно, что схема второго порядка точности сильно сглаживает ударную волну и волну разряжения. Сглаживание результатов по схеме шестого порядка точности гораздо меньше, чем у схемы второго порядка. Наиболее близким к точному решению является график плотности, рассчитанный по схеме десятого порядка точности. Следует также отметить, что на графиках, соответствующих схемам повышенного порядка точности не наблюдается осцилляций решения вблизи ударной волны.

Р 1,

Рис. 2. График изменения плотности для схем о - //, 0 - VI, л - X порядка

Рис. 3. Оценка влияния порядка схемы на ударную волну: порядок точности — II,----IV,......VI,---X

На рис. 3 представлены графики, отражающие влияние порядка точности используемого алгоритма и времени счета г на размазывание ударной волны (и - количество узлов сетки, на которые размывается ударная волна). Видно, что схема второго порядка точности достаточно сильно размазывает ударную волну и с течением времени параметр п возрастает почти линейно. Схемы более высоких порядков значительно меньше размазывают ударную волну. При этом количество точек размазывания у схемы десятого порядка точности почти в два раза меньше, чем у схемы четвертого порядка. В этом отношении схема шестого порядка близка к схеме десятого порядка. Кроме этого можно утверждать, что с течением времени величина п для схем повышенного порядка точности выйдет на определенный уровень, и дальнейшего ее роста наблюдаться не будет. Исследования подтвердили, что метод дает хорошие результаты при расчетах на длительные промежутки времени.

В третьей главе работы приведены результаты исследования устойчивости и точности разработанных схем высокого порядка точности. Оценка устойчивости алгоритмов проведена с использованием Фурье анализа методом Неймана при решении уравнений гиперболического и параболического типа. Показано, что для уравнений гиперболического типа схемы всех порядков точности являются устойчивыми в широком диапазоне изменения числа Куранта. В табл. 1 приведены максимальные значения числа Куранта, при которых схема соответствующего порядка точности является устойчивой. Численные исследования коэффициентов перехода при разных числах Куранта показывают уменьшение относительной фазовой ошибки при увеличении порядка точности схем и уменьшении числа Куранта.

Таблица I

Влияние порядка схемы на ее устойчивость

Порядок схемы и IV VI VIII *

Число Куранта 1.73 1.26 1.09 1 0.94

При решении уравнений параболического типа показано, что схемы повышенных порядков точности являются неустойчивыми в областях средних волновых чисел, величины которых зависят от числа Куранта и коэффициента вязкости. При добавлении в исходную разностную схему членов искусственной диссипации заданного порядка точности метод становится устойчивым.

Для количественной оценки результатов расчетов, полученных с использованием разработанных схем высокого порядка точности, было проведено аналитическое исследование точности используемого алгоритма. Точность метода была проверена на линейной одномерной задаче следующего вида

3« ди _

д1 +С>дх= (?)

Начальным условием являлось синусоидальная волна г/(*,0) = I + 5ш(ти) на отрезе 0<х<2. На границах использовались периодические граничные

условия. Расчеты выполнялись на временном отрезке I = 0,1. Для оценки точности алгоритма численное решение задачи сравнивалось с его аналитическим решением, которое имеет вид и(х,{) = 1 + зт(;г(;с - а()).

В результате проведенных исследований было показано, что порядок исследуемых алгоритмов близок к теоретическому.

Также были выполнены исследования погрешности разностных схем в зависимости от частоты колебаний исходной функции. Показано, что с ростом частоты колебаний погрешность существенно возрастает как для схемы II порядка точности, так и для схемы X порядка. Однако при достаточно больших значениях частоты колебаний погрешность для схемы второго порядка сопоставима с самим решением. В то время как для схемы десятого порядка уровень погрешности, в этом случае, остается приемлемым.

В четвертой главе приведен анализ экспериментальных и теоретических работ по исследованию течения в несимметричном диффузоре с углом раскрытия а = 10°. Представлены результаты прямого численного моделирования двумерных и трехмерных течений в диффузоре данной геометрии. Проводится сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными Оби С., Аоки К., Масуда С. и Бюса С.У. и Итона Дж.К., а также данными аналогичных численных исследований, проведенных Фатика М., Калтенбах Х.-Дж., Миталл Р., а также Апслей Д.Д. и Лезингер М. А.

Осредненное течение в несимметричном диффузоре, изображенном на рис. 1 является двумерным и включает в себя отрыв потока от верхней стенки канала, повторное присоединение потока в выходном канале диффузора и зону возвратного течения - рис. 4а.

(I 5 10 15 , 20 25 30 35

•ОП

б)

Рис. 4. Осредненная картина течения в несимметричном диффузоре с углом раскрытия а) а = 10°, б) а = 5°

х/И а)

ъ

о о О о О и и

/о /о /о

>м- "^Г Г"" ** 1-

4 Г /У / У 1 /

_1—1-1 1 и 1 . . .

х/И б)

Рис. 5. Коэффициенты: а) сопротивления, б) давления на верхней стенке диффузора: о - эксперимент Оби С. и др. при а=10°, расчет в диффузоре с углом раскрытия-о= 10°, — а=5°, - • - а=2°

Картина течения соответствует экспериментальной. Присутствует зона отрыва, располагающаяся вдоль отклоненной стенки, а также повторное присоединение потока к верхней стенке выходного канала диффузора.

Кроме этого, проводились расчеты для других углов раскрытия - а = 2' и а = 5°. Показано, что при угле раствора диффузора а = 2° течение является безотрывным. Однако при угле раскрытия а = 5° наблюдается отрыв потока от верхней стенки диффузора - рис. 46. При дальнейшем увеличении угла раскрытия (а = 10°), область рециркуляции потока сдвигается ближе к горловине диффузора, кроме этого увеличивается ее размер в поперечном направлении - рис. 4а.

Для получения более точных данных по местоположению и размеру отрывной зоны и точки повторного присоединения основного потока были построены коэффициенты сопротивления (рис. 5а) и давления (рис. 56) по длине канала на верхней и нижней стенках канала соответственно.

Область возвратного течения определяется отрицательными значениями коэффициента трения Су. Видно, что положение точки отрыва и точки

присоединения потока в расчете располагается ближе к входному каналу, чем в эксперименте.

Видно, что расчетный коэффициент давления вдоль нижней стенки почти по всей длине диффузора превосходит экспериментальный. И эксперимент, и расчет показывают, что наибольший рост давления наблюдается в первой трети расширяющейся части диффузора.

Кроме размеров и положения отрывной зоны в работе было проведено сравнение средних и пульсационных характеристик потока. На рис. 6 представлены экспериментальные и расчетные профили средней продольной компоненты скорости в различных точках по оси х. Видно, что в расширяющейся части канала и в начале выходного канала экспериментальные и расчетные данные хорошо согласуются. На выходе из диффузора расчетный профиль средней скорости отличается от экспериментального. Это может быть связано, прежде всего, с меньшей длиной расчетной области, чем в эксперименте.

На рис. 7 приведены графики пульсаций продольной компоненты скорости потока и напряжений Рейнольдса по длине диффузора. Видно, что в начале расширяющейся части канала результаты расчетов неплохо соответствуют экспериментальным данным. Пульсации продольной составляющей скорости отличаются от результатов эксперимента в начале расширения. Минимальное значение пульсации располагается ближе к нижней с генке диффузора, чем в эксперименте. Далее положение максимумов и минимумов пульсаций совпадает с экспериментальным, однако расчетные профили достаточно неточно описывают характер пульсаций.

Также в работе была получена мгновенная картина течения в несимметричном диффузоре - рис. 8. Видно, что трехмерная мгновенная картина течения имеет сложную структуру, особенно в расширяющейся части диффузора.

х/1г

Рис. 6. Профили продольной компоненты скорости л: +10-и IV, о - эксперимент Оби С. и др.,-расчет

Рис. 7. Профили а) пульсаций скорости х +150 • и'1 / Г02,

б) напряжений Рейнольдса х + 750• и'у'/Уд о - эксперимент Бюс С.У., Итон Дж.К.,-расчет

На рис. 9 приведена мгновенная картина течения. Равномерная структура течения нарушается на некотором расстоянии от входа в расширяющуюся часть диффузора, около верхней наклонной стенки возникают зоны возвратного течения. Течение принимает более регулярный характер движения только в выходном канале диффузора.

Для того чтобы получить представление об интенсивности вихревых образований потока в несимметричном диффузоре, по мгновенным скоростям течения было построено поле завихренности.

На рис. 10 показана картина распределения модуля вектора завихренности, построенного по мгновенным значениям вектора скорости в плоскости 2 = 0. Кроме этого в работе получена мгновенная трехмерная картина распределения вектора завихренности. Наблюдаемая мгновенная вихревая картина очень сложная по структуре и сильно эволюционирует по времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В ходе выполнения данной работы были получены следующие основные результаты:

-Построен класс разностных схем высокого порядка точности по времени и пространству для прямого численного моделирования трехмерных турбулентных течений в плоском несимметричном диффузоре.

- Проведена модификация исходной разностной схемы путем добавления членов искусственной диссипации, построенных на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости решения ддя обеспечения устойчивости и монотонности алгоритма.

- Решена тестовая задача о распаде произвольного разрыва. Показано, что схема хорошо описывает ударные волны, контактные разрывы, волны разряжения и отраженные волны; обладает небольшой схемной вязкостью, не оказывающей существенного влияния на результаты расчетов, и дает хорошие результаты при расчетах на длительные промежутки времени.

- Проведены исследования устойчивости с использованием анализа Фурье методом Неймана. Установлено, что разработанные схемы пространственного порядка точности являются устойчивыми во всем диапазоне исследуемых волновых чисел.

- Проанализирована точность метода. Показано, что точность схем всех рассмотренных порядков соответствует теоретической. Отмечено, что уровень погрешности с ростом частоты колебания исходной функции значительно меньше для схем повышенного порядка точности.

-Проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре. Исследовано влияние угла раскрытия диффузора на положение и размер отрывной зоны.

- Исследовано влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на картину течения в несимметричном диффузоре с углом

раскрытия а = 10°. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и данными других численных исследований.

- Получена и проанализирована пространственная картина течения. Показано, что метод позволяет детально исследовать изменение течения во времени, в частности проследить эволюцию вихревых образований и векторного поля скорости.

Публикации

Основные результаты по теме диссертационной работы изложены в следующих работах:

1. Кисаров Ю.Ф., Кукрякова М.Р. (Королева М.Р.) Схемы высокого порядка точности для решения задач газовой динамики // Материалы Ш Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах". - Ижевск, 2001г. - С. 42-45.

2. Kisarov Yu.F., Kisarova S.Yu., Kukriakova M.R. (Koroleva M.R.) The comparison of 2D and 3D modeling of flows in the plane channels // Proc. of V International Congress on Mathematical Modeling. - Dubna, 2002. - v.l. - P. 257.

3. Lipanov A.M., Kisarov Yu.F., Kisarova S.Yu., Kukriakova M.R. (Koroleva M.R.) The comparison of 2D and 3D modeling of flows in the plane channels at various Re numbers // Proc. of VIII International Symposium on Integrated Application of Environmental and Information Technologies. -Хабаровск, 2002. - С. 27-34.

4. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. (Королева М.Р.). Некоторые результаты теоретического исследования турбулентных дозвуковых потоков // Сб. статей "Современные проблемы механики и физики космоса". - Москва: Наука, 2003. - С. 104-122.

5. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. (Королева М.Р.) Сравнение двухмерного и трехмерного течений в плоских каналах // Сб. сгагей "Газоструйные и импульсные системы". - Ижевск: ИжГТУ, 2003г. - Вып.2. -Т.1.-С. 178-183.

6. Кисаров Ю.Ф., Кукрякова М.Р. (Королева М.Р.) Применение схемы Рунге-Кутта высокого порядка точности для расчет течений в диффузоре // Материалы всероссийская конференция "Высокопроизводительные вычисления и технологии". - Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003г.-С. 286-291.

7. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Королева М.Р., Шмыкова В.Н. Численное моделирование дозвуковых и сверхзвуковых течений с использованием разностных схем высокого порядка точности. // Материалы международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики". - Хабаровск, 2003. - Т.1. - С. 143-157.

8. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Королева М.Р. Численное моделирование дозвуковых турбулентных течений с использованием схем высокого порядка точности // Материалы международной конференции

"Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". - Москва, 2004г.

9. Kisarov Yu.F., Kisarova S.Yu., Koroleva M.R. Direct numerical simulation turbulent channel flow // Proc. Of VI International Congress on Mathematical Modeling. - N.-Novgorod, 2004. - P. 288.

»81 8 83 1

РНБ Русский фонд

2006-4 21586

Издательство Института прикладной механики УрО РАН 426067, г.Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34 Лицензия на издательскую деятельность ИД №04847 от 24.05.2001

Подписано в печать 12.09.2005. Формат 60x84 1/16

Бумага «Хегох». Гарнитура «Times» Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ. f,

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ

J ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА В НЕСИММЕТРИЧНОМ

ДИФФУЗОРЕ.

JU.' 1.1. Основные уравнения газовой динамики и их преобразование для решения поставленной задачи.

1.2. Начальные и граничные условия.

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

ТОЧНОСТИ.

2.1. Применение схем высокого порядка точности для прямого численного моделирования турбулентных течений. р 2.2. Конструирование алгоритма для реализации схем с автоматическим обеспечением гладкости решения.

2.4. Аппроксимация начальных и граничных условий.

2.5. Решение тестовой задачи о распаде произвольного разрыва.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА.

3.1. Исследование устойчивости разностных схем.

3.1.1. Устойчивость схем для уравнений гиперболического типа.

3.1.2. Устойчивость схем для уравнений параболического типа.

3.1.3. Устойчивость схем с искусственной диссипацией.

3.2. Исследование точности разностных схем.

1 ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ДИФФУЗОРЕ.

- у - 4.1. Анализ экспериментальных и теоретических данных по исследованию течения в несимметричном диффузоре.

4.2. Результаты прямого численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с использованием схем высокого порядка точности.

4.2.1. Особенности течения в диффузорах различной геометрии. Влияние постановки граничных условий на картину течения.

4.2.2. Сравнение результатов прямого численного моделирования с данными, полученными с использованием полуэмпирических моделей турбулентности.

На сегодняшний день турбулентность остается одним из приоритетных направлений науки и одним из наиболее сложных объектов исследования гидромеханики [1]. За всю историю ее изучения было предложено много различных методов и подходов [2 - 5], которые представляли наиболее перспективные направления науки соответствующего периода времени. Теория турбулентности продолжает развиваться и по сей день. Появляются все новые подходы к ее изучению [6], растет число моделей, предлагаемых для лучшего понимания ее свойств, а также механизмов ее возникновения и существования.

Необходимость исследования турбулентных течений объясняется тем, что они являются преобладающей формой движения, как в природе, так и в технике. Присутствие турбулентности в технических устройствах оказывает сильное влияние на работоспособность, долговечность и другие важные характеристики конструкций [3, 7]. Поэтому изучение нестационарных явлений, характерных для турбулентных течений может объяснить процессы, происходящие в них и во многом облегчить работы по созданию новых устройств.

Основным элементом многих технических систем, в которых присутствуют турбулентные течения, являются диффузоры - каналы с повышением статического давления в направлении движения потока [8]. Диффузоры являются составной частью реактивных двигателей, испытательных установок, в частности аэродинамических труб, они используются в турбинах, насосах, вентиляторах, компрессорах и других машинах. Основное назначение диффузоров - преобразование кинетической энергии, полученной за счет ускорения потока и последующего его расширения, в увеличение статического давления. Необходимость получения высоких коэффициентов восстановления давления в диффузорах часто заставляет использовать геометрические параметры, при которых течение находится либо на грани отрыва, либо при условиях, близких к нему [9, 10]. В этом случае диффузор действует как самовозбуждающийся генератор колебаний с квазипериодическим образованием и уносом отрывных областей -возникает режим, называемый нестационарным отрывным течением [11, 12], сильно затрудняющий детальное исследование течений в диффузорах. Несмотря на обширный накопленный материал по гидродинамике турбулентных отрывных течений [13, 14], остается потребность в разработке надежных и универсальных методов, способных предсказать гидродинамические параметры течений такого рода.

Диффузоры могут иметь различную геометрию. Самый простой геометрический случай - двухмерный плоский диффузор [15]. Известно большое количество как экспериментальных, так и теоретических работ [8, 9, 11, 15, 16] по исследованию характеристик течения в диффузорах такой формы. В диффузорах данной формы можно наблюдать четыре существенно различных режима течения [15], которые определяются его геометрическими параметрами, а именно углом раскрытия диффузора, высотой входного канала и длиной диффузора вдоль его оси. В зависимости от этих параметров в плоском симметричном диффузоре может возникнуть [17]: а) безотрывное течение (течение без заметного отрыва) при малых углах раскрытия; б) течение с нестационарным отрывом, когда образуется большая переходная область, в которой положение, размеры и интенсивность отрыва изменяются во времени (в этом режиме наблюдаются сильные пульсации течения); в) течение с полностью развитым отрывом, когда область отрыва располагается около одной из стенок диффузора, а основной поток относительно спокойно движется около другой стенки; г) струйное течение, при котором поток отрывается от обеих стенок и больше не присоединяется к стенкам ниже по потоку, такой режим существует только при больших углах раскрытия диффузора.

Для исследования данных режимов течения в симметричных плоских диффузорах было разработано достаточно большое количество методов [15, 9]. Однако все эти подходы не являлись универсальными, а разрабатывались для одного конкретного режима течения и не были пригодны для расчета других видов течения.

Другим интересным примером является течение в плоском несимметричном диффузоре с большим углом раскрытия [18 — 20]. Это течение имеет несколько характерных свойств:

• в этом случае течение находится на грани отрыва, когда достигаются оптимальные характеристики работы многих технических устройств;

• течение обладает богатой физикой - в нем одновременно присутствуют такие явления как отрицательный коэффициент давления, внезапное резкое расширение подводящего канала диффузора, начальный отрыв и повторное присоединение потока в отводящем канале, сопровождающееся значительным повышением давления;

• геометрия диффузора позволяет получить в общем случае двумерную осредненную картину течения при нестационарных трехмерных мгновенных полях потока.

Первые экспериментальные работы по исследованию течения в диффузоре данной геометрии были проведены Оби С. и др. в 1993г. [21]. Затем в 19961997гг. Бюс С.У. и Итон Дж.К. провели аналогичный эксперимент [19]. Оба эксперимента использовали для исследования течения методику лазерной доп-леровской анемометрии (ЛДА) [22]. В то же время появились первые работы по численному моделированию течения в диффузоре данной геометрии [18, 20, 23

- 2$]. Результаты этих исследований, показали, что все модели имеют недос-% татки, которые не позволяют адекватно описывать внутренние процессы течения в несимметричном диффузоре и в полной мере изучить актуальные величины и поля основных параметров турбулентного течения.

Исходя из всего сказанного выше, можно сделать вывод, что есть необходимость в построении алгоритма, позволяющего достоверно описывать как средние, так и пульсационные характеристики течений в плоских диффузорах.

Существует большое количество подходов к моделированию турбулентности. Один из наиболее известных подходов - это использование полуэмпирических моделей [26 - 28], который основан на использовании гипотезы Рей-нольдса [29] о локальном осреднении по времени гидромеханических параметров течения. Данные модели используют для замыкания решаемой системы уравнений различные алгебраические или дифференциальные модели турбулентной вязкости [27, 28, 30], содержащие ряд эмпирических констант, значениями которых приходится варьировать в каждом конкретном случае. Большой объем численных исследований, проведенных с использованием такого подхода, позволил существенно уточнить картину протекающих процессов в турбулентном потоке. Данные модели турбулентности продолжают развиваться и в настоящее время.

В работе [31] отмечаются эволюционные одноточечные модели с Рей-нольдсовыми напряжениями, которые пока вводятся в основном в одномерные и двумерные численные методики; методы, основанные на многофазном подходе; работы, основанные на двухточечной модели турбулентности. Также упоминаются попытки моделирования турбулентных течений с использованием молекулярной динамики.

В последнее время для расчета турбулентных течений интенсивно используется LES (Large Eddy Simulation) моделирование [32 - 34] - моделирование больших вихрей. Идея данного метода заключается в том, чтобы произвести расчет трехмерного нестационарного крупномасштабного турбулентного течения с использованием процедуры пространственного фильтрования, которая выделяет крупные вихревые образования. Данный подход не учитывает влияние мелкомасштабной турбулентности на картину течения, поэтому его часто применяют вместе с подсеточной моделью турбулентности (Sub Grid Scale model) [35,36].

Одним из приоритетных на сегодняшний день направлений расчета турбулентных течений является численное моделирование [37], основанное на построении разностных методов расчета [38 - 41]. Значительное место в современных исследованиях занимает прямое численное моделирование (ПЧМ) [42 -45], то есть моделирование прямыми трёхмерными расчётами по программам, решающим уравнения Эйлера или Навье-Стокса, без использования каких-либо специальных моделей турбулентности. Сложность прямого численного моделирования обусловлена, прежде всего, тем, что нестационарные турбулентные течения характеризуются широким диапазоном пространственных и временных масштабов. Поэтому для проведения расчетов требуется высокопроизводительная вычислительная система и эффективный численный метод, позволяющий получать достоверные численные результаты. При этом следует отметить, что методы, имеющие низкий порядок аппроксимации пространственных производных обладают значительной схемной диссипацией и для получения достоверных результатов с помощью таких схем требуется измельчение разностной сетки и как следствие увеличение машинных и временных затрат. Для того чтобы избежать этого при расчете турбулентных течений используют методы повышенного порядка точности [46 — 49]. Среди которых хорошо известны спектральные методы, основанные на разложения функций в ряд Фурье [50 — 53].

Основная проблема при построении разностных методов высокого порядка точности — это одновременно с заданным порядком аппроксимации производных обеспечить получение монотонных численных решений при наличии разрывов [54]. Большинство работ на эту тему заключается в создании разнообразных нелинейных механизмов, которые обеспечивают непрерывный переход от немонотонной разностной схемы высокого порядка аппроксимации к монотонной разностной схеме первого порядка аппроксимации [55]. При этом разностные формулы с повышенным порядком аппроксимации используются в точках, в которых численное решение является гладким, а в точках, в которых решение терпит разрыв, используются монотонные схемы низкого порядка точности.

К таким работам относятся работы Ван-Лира по созданию "монотонизи-рованных" разностных схем повышенного порядка точности [56]. Большую популярность также приобрёл алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков (метод FCT), разработанный Борисом и Буком [57 - 59].

Также широко распространен метод, разработанный Хартеном, получивший название TVD-метод или метод невозрастания полной вариации решения [60, 61]. Позже Залесак [57] показал, что методы TVD имеют основные черты, подобные методам Годунова и методам линейной гибридизации, куда входит метод нелинейной коррекции потоков.

Общим во всех методах подобного класса, является использование разнообразных "монотонизирующих" ограничителей потоков с переключателями, зависящими от локальных свойств численных решений. Известно очень много различных ограничителей потоков, среди которых встречаются как простые ограничители, например, ограничитель Ван-Лира, так и довольно сложные, например, ограничитель "Superbee". Все эти монотонные методы дают большое улучшение результатов по сравнению с классическими методами.

Кроме техники ограничителей потоков, при построении "монотонизиро-ванных" разностных схем повышенного порядка аппроксимации широко используется техника монотонной или квазимонотонной интерполяции сеточных решений, получившая название методов реконструкции численных решений [31]. Наиболее популярный метод реконструкции численного решения — это кусочно-параболический метод [31, 57], получивший название РРМ-метод (piece-wise parabolic method). В РРМ-методе, наряду с требованием непоявления новых экстремумов, в алгоритм реконструкции добавлен механизм, позволяющий уменьшить численную диффузию, на контактных разрывах, не являющихся ударными волнами.

К методам реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений можно отнести ENO метод (essentially non-oscillatory method), предложенный в работе [62]. Идея данной алгоритма заключается в использовании адаптивных шаблонов в процедуре построения интерполяционных полиномов, которая основана на локальной гладкости численного решения. Это позволяет автоматически достигнуть высокого порядка точности, хорошо разрешать монотонные переходы не приводя к появлению случайных колебаний вблизи разрывов. Данный метод можно применять при решении задач, которые содержат как ударные волны, так и сложные гладкие структуры течения, как это встречается при моделировании турбулентности, где происходит взаимодействие ударных волн с вихревыми структурами [63, 64].

На основе данного алгоритма в работах Шу Ч.-В. [65, 66] был разработан метод WENO (weighted essentially non-oscillatory method). В отличие от метода ENO, в котором используется только один разностный шаблон из множества возможных, в процедуре WENO используется комбинация всех допустимых шаблонов. Метод более устойчив, обладает более быстрой сходимостью решения и обеспечивает лучшую гладкость. Алгоритм хорошо зарекомендовал себя при расчете как дозвуковых, так и сверхзвуковых течений [67, 68].

Целью данной работы является исследование с помощью прямого численного моделирования с использованием методов высокого порядка точности турбулентных течений сжимаемого, вязкого газа в несимметричном диффузоре, для достижения которой необходимо решить следующие задачи:

- разработка математической модели, описывающей трехмерное течение сжимаемого вязкого газа;

- построение эффективных разностных схем повышенного порядка точности, способных решить дифференциальные уравнения, описывающие трехмерные турбулентные течения в каналах различной геометрии;

- анализ точности и устойчивости вычислительного алгоритма;

- проведение численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с получением полной картины течения: мгновенных полей распределения основных параметров потока, средних и пульсационных характеристик течения с использованием разработанного алгоритма.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- В работе предложены схемы повышенного порядка точности по времени и пространству на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений.

- Проведены аналитические исследования устойчивости и точности разработанных схем высокого порядка точности в широком диапазоне варьируемых параметров и в сравнении с имеющимися аналитическими, расчетными данными.

- Впервые проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре.

- Исследование влияние угла раскрытия диффузора на картину течения, в частности на положение и размер зоны отрыва является новым.

- Установлено влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на характер течения в диффузоре.

- Получена не только осредненная, но и мгновенная картина течения в несимметричном диффузоре. Найдено распределение коэффициента давления и коэффициента сопротивления. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными.

- Впервые исследовано мгновенное распределение параметров течения, а также пространственная конфигурация вихревых структур в плоском несимметричном диффузоре.

Достоверность научных положений, выводов и результатов, приведенных в работе, подтверждается следующим:

- использованные математические модели на основе системы полных уравнений Навье-Стокса базируются на фундаментальных законах механики сплошной среды;

- построенные численные схемы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность и работоспособность в широком диапазоне варьируемых параметров; полученные численные результаты хорошо согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными. Построенный в работе класс разностных схем высокого порядка точности может использоваться в теоретических исследованиях и инженерных расчетах при моделировании турбулентных течений в различных конструкциях, содержащих диффузоры с целью получения как осредненных, так и мгновенных параметров потока.

Автор данной работы выносит на защиту:

Схему высокого порядка точности по времени и пространству для расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа в несимметричном диффузоре.

Результаты тестовых расчетов с использованием схем высокого порядка точности при решении одномерной задачи о распаде произвольного разрыва

Результаты аналитического исследования устойчивости предложенного алгоритма расчета.

Результаты прямого численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с различными углами раскрытия. Влияние различных граничных условий и ширины диффузора на закономерности течения. Сравнение полученных данных с результатами экспериментальных работ и данными других численных исследований.

По главам содержание работы распределено следующим образом. Первая глава включает в себя математическую модель моделирования турбулентных течений вязкого сжимаемого газа в каналах сложной формы, а также постановку граничных и начальных условий.

Во второй главе описан численный метод решения поставленной задачи, используемая конечно-разностная схема и численная реализация граничных условий, а также приведены результаты решения тестовой задачи о распаде произвольного разрыва с помощью схемы высокого порядка точности.

Третья глава посвящена анализу устойчивости и точности используемого численного метода.

В четвертой главе работы описаны экспериментальные и теоретические работы по исследованию течения в несимметричном диффузоре. Приведены результаты численного моделирования течения в несимметричном диффузоре. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и данными других моделей, используемых для расчета аналогичного случая.

Результаты исследования докладывались на III международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» г.Ижевск, 2001г., на Всероссийской конференции высокопроизводительных вычислений и технологий, г.Ижевск, 2003г., на международной научной конференции по фундаментальным и прикладным вопросам механики, г.Хабаровск, 2003г., на VIII международном конгрессе по математическому моделированию, г.Нижний Новгород, 2004г., на международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», г.Москва, 2004г.

Основные результаты опубликованы в работах [43, 44, 46 — 48, 67, 95

97].

Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ по грантам № 03-01016151, №01-01-00353.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной работы были получены следующие основные результаты:

1. Построен класс разностных схем высокого порядка точности по времени и пространству для прямого численного моделирования трехмерных турбулентных течений в плоском несимметричном диффузоре. Для обеспечения устойчивости и монотонности представленных алгоритмов заданного порядка точности, в исходную разностную схему были добавлены члены искусственной диссипации, построенные на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений. Это позволило достаточно точно разрешать как ударные волны, так и сложные гладкие структуры течения, не снижая при этом порядка точности метода и не контролируя размер искусственной вязкости.

2. Проведены исследования устойчивости разработанных алгоритмов с использованием анализа Фурье методом Неймана при решении уравнений гиперболического и параболического типа. Показано, что разработанные схемы повышенного порядка точности без членов искусственной диссипации при решении уравнений гиперболического типа являются устойчивыми в большом диапазоне изменений чисел Куранта. Проведенные исследования показали сокращение размеров области, в которой наблюдается фазовый сдвиг решения, при увеличении порядка точности схемы и уменьшении числа Куранта. Исследования устойчивости разностного алгоритма при решении уравнения параболического типа показали, что в рамках исследуемых значений числа Куранта, схемы всех представленных порядков точности являются неустойчивыми в об

•» ласти больших волновых чисел. Размер области неустойчивости зависит от порядка разностной схемы. Когда в исходную разностную схему добавляются члены искусственной диссипации, данные области неустойчивости исчезают, и методы всех порядков остаются устойчивыми во всем диапазоне исследуемых волновых чисел.

3. Проведено аналитическое исследование точности используемого алгоритма для количественной оценки результатов расчетов, полученных с использованием разработанных схем высокого порядка точности, было. Показано, что точность схем всех порядков точности соответствует теоретической. Также было выполнено исследование погрешности разностных схем в зависимости от частоты колебаний исходной функции. Показано, что с ростом частоты колебаний погрешность существенно возрастает как для схемы второго порядка точности, так и для схемы повышенного порядка точности. При увеличении частоты колебания погрешность для схемы второго порядка сильно растет и впоследствии становится сопоставима с самим решением. В то время как для схемы высокого порядка уровень погрешности, при данном значении частоты, остается приемлемым.

4. С помощью построенной схемы восьмого порядка точности была решена тестовая задача о распаде разрыва, чтобы проанализировать возможности и проверить монотонность построенного алгоритма. Показано, что разработанные схемы хорошо описывают такие явления, как ударные волны, контактные разрывы, волны разряжения и отраженные волны, а также обладают достаточно небольшой схемной вязкостью, величина которой не оказывает существенного влияния на результаты численных расчетов. Метод дает хорошие результаты при расчетах на длительные промежутки времени.

5. С использованием построенных в работе схем высокого порядка точности впервые было проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре. Исследовано влияние угла раскрытия диффузора на положение и размер отрывной зоны. Показано, что при угле раскрытия а = 2° осредненное течение в диффузоре является безотрывным. При угле раскрытия а = 5° возникает отрыв потока от верхней стенки диффузора. Зона отрыва располагается вдоль верхней наклонной стенки диффузора. При дальнейшем увеличении угла раскрытия (а = 10°) длина зоны отрыва существенно не меняется, а сама рециркуляционная область смещается к горловине диффузора. При этом размеры вихря в поперечном направлении увеличиваются.

6. Исследовано влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на картину течения в несимметричном диффузоре с утлом раскрытия а = 10°. Картина течения соответствующая экспериментальной была получена при ширине диффузора 8h и использовании периодических граничных условий. Рассчитанные осредненные и пульсационные профили скорости хорошо согласуются с экспериментальными данными. Построенные коэффициенты восстановления давления и сопротивления на наклонной стенке диффузора соответствуют эксперименту. Получена и проанализирована пространственная картина течения в несимметричном диффузоре. Показано, что используемый в работе метод высокого порядка точности позволяет детально исследовать изменение течения во времени, в частности проследить эволюцию вихревых образований и векторного поля скорости.

1. фон Карман Г Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии. — Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 208 с.

2. Гостей А.Д., Халил Е.Е., Уайтлоу Дж.Г. Расчет двумерных турбулентных рециркуляционных течений // Турбулентные сдвиговые течения. -М.: Машиностроение, 1982. С. 247-269.

3. Нестационарные явления в турбомашинах / В.Г. Августинович, А.А. Иноземцев, Ю.Н. Шмотин и др.; Под ред. В.Г. Августиновича. -Екатеринбург Пермь: УрО РАН, 1999. - 280 с.

4. Рейнольде АДж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. — М: Энергия, 1978. 408 с.

5. Брэдшоу П. Турбулентность. М.: Машиностроение, 1980 - 343 с.

6. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы: Курс лекций. В 2-х. ч. Пермь: ПГТУ, 1998. - 244 с.

7. Ранстадлер В., Дин Р. С. Характеристики плоского диффузора с прямолинейными стенками при высоких числах Маха на входе // Теоретические основы инженерных расчетов 1968. — № 3. — С. 71-98.

8. Эшджажи Дж., Джонстон Дж.П. Неустойчивый отрыв потока и максимальное восстановление давления в двумерных диффузорах с прямолинейными стенками // Теоретические основы инженерных расчетов. 1980. - Т. 102. -№ 3. - С. 97-106.

9. Рено Л.Р., Джонстон Дж.П. Метод определения характеристик плоских безотрывных диффузоров // Теоретические основы инженерных расчетов. 1967. - № 3 - С. 216-229.

10. Смит P. Турбулентное течение при симметричном внезапном расширении плоского канала // Теоретические основы. 1978. - Т. 100. -№ 3. - С. 200-206.

11. Смит С.Р., Клайн С.Дж. Экспериментальное исследование нестационарного отрывного течения в плоских диффузорах // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1973. № 1. - С. 103-108.

12. Амано Р.С. Турбулентное течение при резком расширении трубы // Аэрокосмическая техника. 1986. — № 6. — С. 41-47.

13. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. — . М.: Наука, 1979.-368 с.

14. Рестиво А., Уайтло Дж.Х. Характеристики турбулентного течения за симметричным плоским внезапным расширением // Теоретические основы инженерных расчетов. 1978. - Т. 100. - № 3. - С. 163-166.

15. Були P.JI., Клайн С.Дж. Методика расчета течения с развитым отрывом в плоских каналах // Теоретические основы инженерных расчетов. -1978.-Т. 100.-№2.-С. 152-159.

16. Бардина Дж., Лирио А., Клайн С.Дж, Ферзигер Дж.Х., Джонстон Дж.П. Метод расчета течений в плоских диффузорах // Теоретические основы инженерных расчетов. 1981. - Т. 103. - № 2. - С. 260-267.

17. Чжен П. Отрывные течения / Пер. с англ. Т. 1-3. - М.: Мир, 1972.

18. Apsley D.D., Leschziner М.А. Advanced turbulence modeling of separated flow in a diffuser // Flow, turbulence and combustion. 1999. - v. 63. -Pp. 81-112.

19. Buice C.U., Eaton J.K. Experimental investigation of flow through an asymmetric plane diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1996. - Pp. 243-248.

20. Fatica M., Kaltenbach H.-J., Mittal R. Validation of large-eddy simulation in a plane asymmetric diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1997. - Pp. 23-36.

21. Obi S., Aoki K, Masuda S. Experimental and computational study of turbulent separating flow in an asymmetric plane diffuser // IX Symposium on Turbulent Shear Flows. Kyoto, Japan. - 1993. - Paper P305-1.

22. Комаров П.Л., Поляков А.Ф. Исследование характеристик турбулентности и теплообмена за обратным уступом в щелевом канале. — М., 1996. 70 с. (Препринт ИВТАН № 2-396).

23. Fatica М., Mittal R. Progress in the large-eddy simulation of an asymmetric plane diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. -1996.-Pp. 249-255.

24. Kaltenbach H.-J. Towards a near-wall model for LES of a separated diffuser flow // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1998. - Pp. 255-265.

25. Kaltenbach H.-J. Large-eddy simulation of flow through a plane, symmetric diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1994. -Pp. 175-184.

26. Loens W.R., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // International journal heat and mass transfer. 1972.-v. 15.-Pp. 301-314.

27. Секундов A.H. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости и анализ плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. - № 5. - С. 114-127.

28. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. - v. 32, - Pp. 1598-1605.

29. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Пер. с англ. Т. 1-2. - М.: Мир, 1990.

30. Козлов В.Е., Секундов АЛ. Смирнова И.П. Модели турбулентности для описания течения в струе сжимаемого газа // Известия АН СССР, МЖГ. -, 1986. № 6. - С. 38-44.

31. Бондаренко Ю.А. и др. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. / Ю.А. Бондаренко, В.В. Башуров, Ю.В. Янил-кин. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003. - 53 с.

32. Ferziger J.H. Large eddy simulation // ICASE, Oxford University Press, New York. 1996. Pp. 109-154

33. Gullbrand J., Bai X.S., Fuchs L. Large eddy simulation of turbulent reacting flows, using Cartesian grid and boundary correction // AIAA Paper № 983317.

34. Vasilyev О. V., Lund T.S. A general theory of discrete filtering for LES in complex geometry // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1997.-Pp. 67-82.

35. Adams N.A., Stolz S. A SGS deconvolution approach for shock capturing // Journal of computational physics. 2002. v. 178. - Pp. 391-426.

36. Yang, K.-S., Ferziger, J.H. Large-eddy simulation of turbulent obstacle flow using a dynamic subgrid-scale model // AIAA. 1993. - v. 31(8). - 1406.

37. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Физматлит, 1994. 448 с.

38. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002. - 848 с.

39. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 152 с.

40. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1984. - 152 с.

41. Никитин Н.В., Павельев А.А. Турбулентные течения в канале с проницаемыми стенками. Результаты прямого численного моделирования и трехпараметрической модели // Изв. РАН, МЖГ. — 1998. — № 6. — С. 18-26.

42. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. Некоторые результаты теоретического исследования турбулентных дозвуковых потоков. // Сб. статей "Современные проблемы механики и физики космоса". М.: Наука, 2003. - С. 104-122.

43. Kisarov Yu.F., Kisarova S. Yu., Koroleva M.R. Direct numerical simulation turbulent channel flow // Proc. of VI International Congress on Mathematical Modeling. N.-Novgorod, 2004. - P.288.

44. Тишкин В.Ф., Никишин В.В., Попов И.В., Фаворский А.П. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задач о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Математическое моделирование. — 1995. Т.7. — № 5. - С. 15-25

45. Кисаров Ю.Ф., Кукрякова М.Р. Схемы высокого порядка точности длярешения задач газовой динамики. // Материалы III Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах". Ижевск, 2001. - С. 42-45.

46. Zalesak S.T. A physical interpretation of the Rychtmyer two-step Lax-Wendroff scheme and its generalization to higher spatial order // Advances in computer methods for partial differential equations. 1984. - № 5. — Pp. 491-496.

47. Хуссейни М.И., Коприва Д.А., Сейлас М.Д., Цанг Т.А. Спектральныеметоды решения уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. 1986. -Ч. 1. № 2. - С. 39-57.

48. Никитин Н.В. Турбулентное течение в канале с искусственным двумерным пристенным слоем // Изв. РАН, МЖГ. 2003. — № 6. -С. 32-40.

49. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование трёхмерных турбулентных течений в трубах круглого сечения // МЖГ. 1994. -№ 6. - С. 14-26.

50. Пинчуков В.И. Нелинейные сеточные фильтры и их использование в схемах высоких порядков для задач аэродинамики // Математическое моделирование 1999. - Т. 10. - № 11. - С.11-115.

51. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. Новосибирск: СО РАН, 2000. - 232с.

52. Van Leer В. Flux-vector splitting for the Euler equation. // Lecture notes in physics. 1982. - v. 170. - Pp. 507-512.

53. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков / Пер. с анг. М.: Мир, 1990. - 660 с.

54. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // Journal of computation physics. 1979. -№31. — Pp. 335-362.

55. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport, 1. SHASTA, a fluid transport algorithm that works // Journal of computation physics. 1973. - v. 11. — № 1.-Pp. 38-69.

56. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA New-York. 1985. - № 85-0363.

57. Йи Г.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 11. -С. 11-35.

58. Ilarten A., Engquist В., Osher S., Chakravarthly S.R. Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory scheme // Journal of computational physics. 1987. - v. 71. -№ 2. - Pp. 231-303.

59. Harten A. ENO scheme with subsell resolution // Journal of computational physics. 1989. - v. 83. -№ 1. - Pp. 148-184.

60. Shu C.-W. High order ENO and WENO schemes for computational fluid dynamics // Computational science and engineering. 1999. - v. 9. — Pp. 439-582.

61. Shu C.-W. High order finite difference and finite volume WENO schemes and discontinuous Galerkin methods for CFD // ICASE Report № 2001-11. -2001.- 16 p.

62. Shu C.-W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // ICASE Report №97-65.-1997.-78 p.

63. Jianxian Q., Shu C.-W. On the construction, comparison, and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes // Journal of computational physics, 2002. № 183. - pp. 187-209.

64. Седое Л.И. Механика сплошной среды. 6-е изд., стер. - Т.2.- СПб.: Лань, 2004г. - 560 с.

65. Лойщнский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904с.

66. Кайзер КФ. Макдональд А. Т. Влияние неравномерности профилей скорости на входе типа течения в следе за телом на начало заметного отрыва в диффузорах с плоскими стенками // Теоретические основы инженерных расчетов 1980. - Т. 102. - № 3. - С. 106-113.

67. Гоуз С., Клайн С.Дж. Расчет максимального восстановления давления в плоских диффузорах // Теоретические основы. 1978. — Т. 100. — №4.-С. 130-138.

68. Вольф С., Джонстон Дж.П. Влияние неравномерного входного профиля скорости на режимы течения и характеристики плоских диффузоров // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1968. — №3.-С. 141-155.

69. Gullbrand J. An evaluation of a conservative fourth order DNS code in turbulent channel flow // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs.-2000.-Pp. 211-218.

70. Sandham N.D., Yee, H.C. Entropy splitting for high order numerical simulation of compressible turbulence // RIACS Technical report 00.10, Proceeding of the 1st international conference on CFD. July. Japan, 2000.

71. Федорченко A.T. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчетной области нестационарного дозвукового потока // ЖВМ и МФ. 1986. - Т. 26. - № 1. - С. 114-129.

72. Федорченко А. Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале // МЖГ.- 1988.-№4. -С. 32-41.

73. Липанов A.M. и др. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - 161 с.

74. Fluent Inc. FLUENT 5 User's Guide. 1998. - v. 1-4.

75. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // Journal of computational physics. — 1979. —№ 31. — Pp. 335-362.

76. Половко A.M., Бутусов П.Н. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации. — Спб.: БХВ-Петербург, 2004. — 320 с.

77. Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. — СПб.: БГТУ, 1996. 191с.

78. Kennedy С.А., Carpenter М.Н., Lewis R.M. Low-storage, explicit Runge-Kutta schemes for the compressible Navier-Stokes equations // ICASE Report № 99-22. 1999. - 52 p.

79. Gottlieb S., Shu C.-W., Tadmor E. Strong stability preserving high-order time discretization methods // ICASE Report № 2000-15. 2000. - 23 p.

80. Роуч П. Вычислительная гидромеханика / Пер. с англ. М.:Мир, 1980. -616 с.

81. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие. изд. 3-е, доп. - М.: Наука, 1992. -424 с.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1953. — 795с.

83. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Эдиториал УРСС, 2005. 384с.

84. Эббот Д.Е., Клайн С.Дж. Экспериментальное исследование дозвукового турбулентного течения при обтекании одинарных и двойных уступов // Техническая механика — 1962. — Т. 84. — № 3. — С. 20-28.

85. Ким Дж., Клайн СДж, Джонстон Дж.П. Исследование присоединения турбулентного сдвигового слоя: обтекание обратного уступа // Теоретические основы инженерных расчетов 1980. — Т. 102. -№ 3. - С. 124-132.

86. Крюков В.Н. Исследование турбулентного отрыва за уступом, расположенным по потоку // Отдельные задачи тепло- и массообмена между потоками и поверхностями. М., 1986. - С. 24-28.

87. Launder В.Е., Sharma B.I. Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Heat and mass transfer.- 1974.-№ 1.-Pp. 131-138.

88. Apsley D.D., Leschziner M.A. A new low-Renolds-number non-linear two-equation turbulence model for complex flows // Journal heat fluid flow. — 1998. № 19. - Pp. 209-222.

89. Speziale C.G. Sarkar S., Gatski T.B. modeling the pressure-strain correlation of turbulence: An invariant dynamical system approach // Journal fluid mechanics. 1991. - № 227. - Pp. 245-272.

90. Kisarov Yu.F., Kisarova S.Yu., Kukriakova M.R. The comparison of 2D and 3D modeling of flows in the plane channels // Proc. of V International Congress on Mathematical Modeling. Dubna, 2002. — vol. 1. - P. 257.

91. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. Сравнение двухмерного и трехмерного течений в плоских каналах. // Сб. статей "Газоструйные и импульсные системы". Ижевск: ИжГТУ, 2003г. -Вып.2. - Т.1. - С. 178-183.

92. Шляжс Р.Б. Турбулентный перенос импульса и тепла в пограничном слое за препятствием: Дис. канд. тех. наук. Каунас, 1984.

93. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. — 744 с.

94. Адаме Э.В., Джонстон Дж.П. Структура течения в пристеночной зоне турбулентного отрывного течения // Ракетная техника и космонавтика. — 1981.-№5. —С. 3-13.

95. Мое с В.Д, Бэкер С., Бредбери Л.Дж.С. Измерения средней скорости и рейнольдсовых напряжений в некоторых областях рециркуляционных течений // Турбулентные сдвиговые течения. М.: Машиностроение,1982.-С. 203-213.

96. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях // Математическое моделирование. 1994. - Т. 6. - № 10. - С. 13-23.