Прямые и обратные задачи взаимодействия гидродинамических особенностей со свободной поверхностью весомой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ой

2 о £ЕК 21)

На правах рукописи

Савин Александр Сергеевич

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ

01,02,05- механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва-2000

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана

Официальные оппонент:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор БарминА.А., доктор физико-математических наук, профессор Кравчук A.C., доктор технических наук- Носов В.Н.

ЦНИИ "Комета"

Защита состоится 30 2000 г. в 15 часов на заседании

диссертационного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, просп. Вернадского 101-1, ИПМРАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан 26 сМ1&$р912000 г.

Учений секретарь

диссертационного совета Д 002.87.01 кандидат физико-математических наук

Сысоева Е.Я.

вг^з.з^сз^оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию стационарного и нестационарного взаимодействия гидродинамических особенностей и толще весомой жидкости с ее свободной поверхностью. Рассматривается как прямая задача, состоящая в нахождении поверхностных волн от заданных особенностей, так и обратная, заключающаяся в определении параметров особенностей по вызываемым ими возмущениям свободной поверхности жидкости. В экспериментальной части работы изучено взаимодействие вихревых колец со свободной поверхностью воды и с границей раздела соленой н пресной воды.

Актуальность темы. В настоящее время в связи с необходимостью создания систем мониторинга окружающей среды совершенствуются технические средства дистанционного зондирования поверхности океана, расположенные на аэрокосмпчсских носителях. Обычно используемые в качестве таких средств радиолокаторы позволяют измерять характеристики свободной поверхности океана, но при этом процессы, протекающие на большой глубине, не доступны для непосредственного наблюдения. Необходимость восстановления физических полей в толще морской среды по данным радиолокационного зондирования свободной поверхности привела к созданию нового научно-технического направления -компьютерной радиотомографгт морской среды. При этом возникла гидродинамическая проблема: получить сведения о внутренней структуре потока по данным о его свободной поверхности.

Существенной частно этой общей ГИДР ОДш 73 М ХГТС С К О И проблемы является обратная задача генерации гравитационных поверхностных волн глубоко погруженными неоднородностями различной природы (например, обтекаемыми преградами, источниками массы, вихревыми структурами), состоящая в определении параметров этих пеоднородностей но вызываемым ими возмущениям свободной поверхности. Это - новое научное направление, имеющее важные практические приложения.

Сравнительно простой и эффективный способ моделирования пеоднородностей в толще потока состоит в их замене некоторым набором гидродинамических особенностей (источников, вихрей, диполей и т.д.).

Если выбранная модель адекватна природе рассматриваемой неоднородности, то и прямая и обратная задачи ее взаимодействия со свободно!! поверхностью жидкости сводится к соответствующей задаче о взаимодействии со свободной поверхностью моделирующих ее гидродинамических особенностей. Целесообразност ь рассмотрения таких задач связана с тем, что они допускают удобную параметризацию, обусловливающую относительную простоту алгоритмов их решений, обеспечивающую возможность получения данных за достаточно короткое время.

Цель работы состоит в разработке методов установления связи между глубоко погруженными псоднородностями и вызываемыми ими возмущениями свободной поверхности жидкости в рамках модели гидродинамических особенностей.

Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты, выносимые на защиту

Выведено уравнение свободной границы плоского потока, стационарно обтекающего заданные гидродинамические особенности. Предложен новый способ быстрого нахождения свободной границы потока, основанный на численном решении этого уравнения.

Предложено обобщение метода М.В. Келдыша на случай произвольного закона движения особенности переменной интенсивности в плоском потоке со свободной поверхностью. Найден комплексный потенциал и профиль свободной границы жидкости.

Показано, что в двумерном случае при равномерном горизонтальном движении точечной особенности, начинающемся из состояния покоя, под свободной поверхностью неподвижной жидкости в системе координат, связанной с особенностью, в бесконечном будущем устанавливается течение, соответствующее решению стационарной задачи обтекания этой особенности.

Получено уравнение самоиндуцированного движения точечного вихря под свободной поверхностью жидкости. Найдены траектории движения вихря при различных начальных условиях.

Поставлена задача определения параметров гидродинамических особенностей в плоском стационарном потоке по данным о его свободной

поверхности. Предложено сс решение, малочувствительное к ошибкам в исходных данных.

Поставлена и решена задача определения текущих координат и интенсивности произвольно движущейся особенности в толще плоского потока но данным, снимаемым с его свободной поверхности.

Экспериментально установлен закон движения турбулентного вихревого кольца после его отражения от свободной поверхности воды. Получен критерий его прохождения через границу раздела сред с различными плотностями.

Найдено возмущение свободной поверхности весомой жидкости при вертикальном движении к ней тонкого вихревого кольца.

Показано, что скорость системы двух одинаковых соосных тонких вихревых колец всегда больше скорости самоиндуцированного движения образующих ее вихрей. Найдены условия различных режимов совместного движения двух соосных вихревых колец.

Поставлена и решена обратная задача стационарного обтекания источника пространственным потоком со свободной поверхностью.

Практическая значимость работы состоит в разработке гидродинамической модели, свойства которой могут быть использованы при создании алгоритмов и технических средств идентификации реальных неод-нородностей в толще водной среды по их проявлениям на свободной поверхности. В частности, полученные результаты могут служить основой создания экспериментальной автоматизированной системы определения параметров буксируемой в жидкости двумерной модели (цилиндра) по фиксируемым возмущениям свободной поверхности (например, в ИПМех РАН па базе установки KMC - 2).

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью математической постановки и решения рассматриваемых задач в рамках общепринятых моделей гидродинамики и подтверждена сравнением с данными лабораторных экспериментов и результатами других авторов.

Апробации работы. Результаты диссертации докладывались на Всероссийской конференции "Взаимодействие подводных возмущений с

поверхностными волнами" (Москва, 1998), международной конференции "Third international workshop on vortex flows and related numerical methods" (Тулуза, Франция, 1998), Российской научной конференции с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1994), международной конференции "10 International lleat Transfer Conference" (Брайтон, Англия, 1994), 16 конференции (стран СНГ) по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1993), международном конгрессе "11 International Congress of Chemical Engineering" (Прага, Чехословакия, 1993), Третьем всесоюзном совещании по физике низкотемпературной плазмы с кондепагрованиой дисперсной фазой (Одесса, 1988), 14 Всесоюзной конференции " Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем" (Одесса, 1986), 5 Всесоюзном научном совещании по теоретическим и прикладным аспектам турбулентных течений (Таллин, 1985), Объединенном научно-исследовательском семинаре "Численное моделирование процессов тепло и массообмсна", "Проявление внутренних движений на свободной поверхности океана", "Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы" (Институт проблем механики РАН, 2000), семинаре кафедры высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (2000), семинаре отдела механики Математического института РАН им. В.А. Стеклова (1999), научно-исследовательском семинаре "Численное моделирование процессов теаю и массообмсна" (Институт проблем механики РАН, 1998), семинаре кафедры физической механики МФТИ (1996).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (144 наименования). Общий объем диссертации составляет 183 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные задачи исследования, по-

казана их актуальность и практическая значимость. Приведено краткое содержание работы по главам.

В нервом главе рассмотрены теоретические основы моделирования различных неоднородностей в потоках гидродинамическими особенно-стялпт.

В §1 содержится обзор литературы и анализ основных результатов исследований возмущений поверхности жидкости локализованными в ее толще гидродинамическими особенностями и погруженными телами, которые моделируются системами особенностей.

В §2 рассмотрены некоторые системы точечных особенностей как модели тел и непроницаемых границ в равномерном плоском потоке. Принято следующее определение. Если комплексный потенциал плоского потока имеет вид \¥ = Cq (г-г0) + р(г), где 2 = х + ¡у,

функция р(г) аполитична в некоторой окрестности точки г0~ х0 + ¡Уо, С - комплексная постоянная, то н точке г0 локализована точечная гидродинамическая особенность порядка п и интенсивности С. Численно найдет,т лилии тока при обтекании уединенного вихреисточника (п = О, С = С> - Д ) с различными соотношениями менаду интенсивностью вихря Г и мощностью источника О, системы "источник-сток", вихревой пары и двух вихреисточников при различных ориентациях осей этих систем. По-лучетше линии тока шггерпретируюгея как непроницаемые границы в потоке, моделируемые этими гидродинамическими особенностями.

В §3 приведены примеры моделирования профиля дна плоского потока линиями тока, возникающими при обтекании непрерывно распределенных источников (стоков) и вихреисточников.

Вторая глава посвящена прямой задаче стационарного обтекания гидродинамических особенностей плоским потоком весомой жидкости со свободной границей, состоящей в нахождении комплексного потенциала и свободной границы потока при заданных гидродинамических особенностях.

(1)

у=5(х) -

.•г^Хц-Нув .■. .■........

Рис. 1

Общая схема обтекания точечной гидродинамической особенности потоком со свободной границей.

В §1, с целью " анализа и

^ дальнейшего

х развития, кратко •' изложен метод М.В. Келдыша решения задачи обтекания уединенной гидродинамической особенности потоком

со свободной границей (рис. 1), состоящий в определении на всей комплексной плоскости функции

<у ч • <1"\У

дХ) = 1--УЛУ,

V-

V2

(2)

путем ее аналитического продолжения на верхнюю полуплоскость по принципу силгмсгрии (\у - возмущение комплексного потенциала, V - невозмущенная скорость потока), и решении дифференциального уравиения (2) с последующим нахождением профиля свободной поверхности в виде

х г _

8(х) = ^ - 2()) (3)

Непосредствешюе использование формул М.В. Келдыша сопряжено с решением достаточно сложной вычислительной задачи, требующим значительных затрат машинного времени, что имеет принципиальное значение в случаях многократного восстановления профиля свободной поверхности. Интересно, что первая и единственная до сих пор, насколько известно автору, работа (Суслов Г.В. Определение формы свободной поверхности за обтекаемыми гидродинамическими особенностями // Асимптотические методы в динамике систем. -Иркутск, 1988.С- 101 - 116.), в которой по формуле (3) численно найдены профили свободной границы потока, обтекающего вихрь, источник и диполь, появилась более чем через 50 лет после создания метода М.В. Келдыша

Излаженный в §2 подход основан на выводе обыкновенного дифференциального уравнения,

/

djS

dx2

+ v S =

i(n + l)

(X-Zo)""2 ' (x-z0)n+l

(4)

J)

которому удовлетворяет свободная граница S(x) потока, обтекающего точечную гидродинамическую особенность порядка п и интенсивности С, локализованную в точке zo. Поскольку гравитационные поверхностные волны затухают вверх по потоку, профиль свободной поверхности S(x) находится как решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям излучения S(- со) = О, S (- <») ~ 0. Показано, что такое решение тождествешю полученному методом М.В. Келдыша. Однако при численном нахождении профиля свободной границы потока предпочтительнее иметь дело с уравнением (4), а не с интегральной формулой (3). Для дифференциального уравнения (4) поставлена задача Коши, данные Коши получены с помощью формулы М.В. Келдыша (3). Например, обтеканию точечного вихря интенсивности Г, локализованного в точке z0 = - ill, соответствует задача

d S Г !

—_ + v*S = —-— -—-dx2 яУ h +x

h -x h2 +x2

л

+ vh

ДО)=evh Ei(vh) ,^(0) = , лУ dx V

где Ез(х) - шггегральная показательная функция. Приведены соответствующие задачи Колш в случаях обтекгпда точечного источника и диполя.

М.В. Келдыш нашел комплексный потенциал потока и его свободную поверхность в результате решения уравнения (2) методом вариации произвольной постоянной. В §3, с использованием свойств преобразования Лапласа, из этого уравнения получены другие интегральные представления этих величин. В частности, для профиля свободной поверхности потока, обтекающего особенность, найдено выражение

S(x) = -

2(50n-n)

Jon Vn!

Re

С

;П+1

i7ivneiv(x-z»

Ч

¡Mx-Zj)

T-v

dX

В случае обтекания цилиндра радиуса К в дипольном приближении из

2

этой формулы при п=1, С = Ув следует известный результат Г. Ламба.

Проведенное в §4 сравнение результатов расчетов профилей свободных границ потока при обтекании вихря, источника и диполя, полученных как решение соответствующих задач Копт для уравнения (4), с данными работы Г.В. Суслова, основанными на численной реализации ншаральной формы М.В. Келдыша (3), показало их практическую неразличимость. Однако при одинаковой точности, время расчета профиля свободной поверхности как решения уравнения (4) методом Рунге - Куг-ты четвертого порядка примерно на порядок меньше времени численной реализации интегральной формулы М.В. Келдыша (3) методом Симпсона.

Экспериментальные исследования профиля поверхностной волны над горизонтально движущимся погруженным цилиндром, выполненные в различных лабораториях показали, что наблюдаемые значения смещений свободной границы в 2 - 3 раза превышают рассчитанные в диполь-ном приближении. Такое различие объясняется неадекватностью схемы дипольного обтекания цилиндра при этих оксперимешальных режимах

3 4

(Ис~ 10 - 10). Осуществлено моделирование цилиндра источником и стоком нулевой суммарной мощности, расположенными друг за другом.

о

-0.002 -0.004 -0 006

Л- \ \ \

¡Í к\\

а

о а о а о о ХЧЧЗ □

□ \ и íl¡ i*

V п / , %

ta

Чту

-150 -100 -50 0 50 100 150 200

х, мм

Рис. 2

Зависимость тангенса S'угла наклона поверхности воды, возмущаемой

движущимся цилиндром, от горизонтальной координаты. На рис. 2 сплошными линиями изображены зависимости тангенса угла наклона свободной поверхности потока (величины S'), обгекакнцего систему "источник — сток", от горизонтальной координаты, найденные путем численного решения уравнения, полученного из (4) дифференцированием

0 0üf>

обеих его частей по х, для случая ширины области, ограниченной замкнутой линией тока, равной диаметру D цилиндра, и длины равной 1.5 D, 2 D, 2.5 D (кривые 1, 2, 3 соответственно). На этом же рисунке представлены экспериментальные точки [11] для случая цилиндра диаметра D=20 мм, движущегося на глубине h=l 03 мм со скоростью V=324 мм/с. Видно, что предложенная схема "источник - сток" обеспечивает лучшее согласование с результатами женеримента, чем дипольное приближение.

В третьей главе рассмотрена задача определения параметров гидродинамических особенностей в плоском стационарном потоке по данным о его свободной поверхности. Впервые обратная задача стационарного обтекания конечной системы точечных особеннос тей плоским потоком со свободной границей была поставлена в соавторстве с И.В. Иси-ченко, А.В. Коноваловым, Е. С. Левченко [9, 10] и было предложено ее решение, основанное на технике аппроксимаций Паде. Изложенный в третьей главе способ определения параметров особенностей имеет принципиально иную основу [14, 16].

В §1 осуществлена редукция обратной задачи стационарного обтекания точечных гидродинамических особенностей плоским потоком со свободной границей к задаче об идентичных особенностях в безграничной неподвижной среде. А именно, показано, что если к отклонению S(x) свободной поверхности потока от ее невозмущенного положения у = 0 приметить преобразование

vi и d - d

А =--<v+H-

+i(±_vlI) , „H-ieass

dx ж J x-x

2 t dx dx J ж J x'-x

-00

(ТГ [S] - преобразование Гильберта функции S), то величина F(x) = AS(x) совпадет с выражением для комплексной скорости, которую бы индуцировали рассматриваемые особенности в безграничной покоящейся среде на прямой у = 0. Поэтому имеет место равенство

¿Dtix-z^-^FCx), (5)

k=l

где zk - точки локализации особенностей, nk - их порадей; параметры Dt определяются следующим образом: если С - интенсивность особенности

11

порядка п, то D = (бол - п)С. Показано, что преобразование А устраняет помехи тина свободных волн S = b sin (vx + а).

В §2 предложен общий метод решения редуцированной задачи в следующей постановке. Пусть известны порядки nk всех особенностей и их общее число N, требуется определить интенсивности особенностей Ск (параметры Dk) и их координаты 'А по известным значениям индуцируемой ими скорости на вещественной прямой. Параметры Dk, входят в левую часть равенства (5) и должны определяться по его известной правой части F(x). Однако нельзя получить удовлетворительный результат, рассматривая равенство (5) как уравнение, которое следует непосредственно разрешить относительно искомых параметров. Это обусловлено тем, что значения функции F(x) известны не с абсолютной точностью всюду на вещественной прямой, а вычисляются с конечной погрешностью на основе данных опыта в некоторых фиксированных точках xi,...,xM. Поэтому выбор значений интенсивностей и координат гидродинамических особенностей должен осуществляться ю условия наибольшего их соответствия всей экспериментально наблюдаемой картине, что сформулировано в виде

= шш

I N

j;Dk(x-zkrk_1-F(x)

k=l

где взята среднеквадратичная норма. Задача (6) сведена к системе

fk^l1_(-»У у

N(n. + Itk+i)! Dk ]

¿ nj (Zj-zk)nk+nj+2 ~~ 2и ¿^„-Zjjf.

(6)

(7)

J+2>

j=l,...,N; Гт=Р(хт), т = 1,...,М. Поскольку параметры 1)к входят в уравнения (7) линейно, а параметры ¿К - нет, поиск их значений как решений системы уравнений (7) представля-

ст собой весьма сложную вычислительную задачу.

В §3 рассмотрены частные случаи уединенной особенности и системы двух вихреисточников, к которым применимы более простые способы нахождения их параметров. Например, в случае уединенного вих-реисточника (гидродинамической особенности, образованной вихрем интенсивности Г и источником мощности локализованными в одной точке /(>"= \(|+ 1у0) получено соотношение

а,х + а0 -Ь1(Ь|х + Ь0) = Ке[2тсР(х)Г1 +11т12тгР(х)Г', (8)

1'де

, _ 0 „ _Гу0-Ох0 Г Гх0 + Оу0

~ д2 + г2' о2 + г2 ' = о2 + г2' = д2 + г2 " (9)

Выбор значений коэффициентов щ, а\, Ьо, Ь[ многочленов, аппроксимирующих действительную и штмую часть функции [2яР(х) | осуществлен методом наименьших квадратов, после чего из системы алгебраических уравнений (9) найдены значения параметров вихреисточника, наилучшим в данном смысле образом отвечающие экспериментально наблюдаемой картине

Аналогично рассмотрены случаи обтекания источника, вихря, гидродинамической особенности общего вида известного порядка п > 1 и двух вихреисточников с иптенсивностями С) = (С> - ¡Г)/(2я), С2 - - ГГред-ложешшй способ определения координат и интенсивностей локализованных в толще потока гидродинамических особеттостей заданного порядка может быть использован для приближенного воссоздания внутреннего течения по данным наблюдений свободной поверхности. Имея априорную информацию о характере присутствующей в штоке неоднородности, можно задаться се моделью в виде небольшого числа гидродинамических особенностей определенного порядка и найти те значения их параметров, при которых достигается наилучшее согласие с экспериментально наблюдаемой картиной на свободной поверхности. Если выбран-

13

пая система особенностей соответствует характеру возмущающей поток неоднородности, то индуцируемое ей течение будет приближенно соответствовать имеющему место в действительности, а линии тока дадут представление о возможной форме обтекаемого препятствия. Приведен пример подбора диполя, в наибольшей степени соответствующего возмущению поверхности потока вихревой парой. Этот пример показал хорошее согласование восстановленной картины внутреннего течения с исходной.

В §4 предложено некоторое упрощение процедуры обработки данных о спободчои поверхности потока, основанное на том, что действительная и мнимая части функции Г(х) выражаются друг через друга с помощью преобразования Гильберта. Приведены примеры применения упрощенной процедуры к случаям обтекания источника и вихря.

В §5 описан метод восстановления рельефа дна потока по данным о его свободной поверхности в рамках модели распределенных источников. Для неизвестной плотности источников q(x):> распределенных на прямой у = -11 получено уравнение

где значения функции С(х) определяются по дашгым наблюдений свободной поверхности потока. Соотношение (10) представляет собой интегральное уравнение первого рода, задача решения которого является некорректно поставленной. С другой стороны, уравнение (10) имеет многочисленные приложения при решении задач продолжения потенциала и зондирования залежей полезных ископаемых, в теории синтеза антенн, в задачах спектроскопии, в теории восстановления сигналов, в теории управления, что стимулировало разработку эффективных численных методов его решения, основанных на различных регудяризирующих алгоритмах. Таким образом, восстановление плотности источников сведено к хорошо изученной задаче, для численного решения которой имеется обширное программное обеспечение.

В четвертой главе в приближении малых волн рассматриваются

(10)

прямая, обратная и самосогласованная задачи нестационарного взаимодействия гидродинамических особенностей со свободной границей плоского потока

В §1 изложено обобщение метода М.В. Келдыша на случай точечной гидродинамической особенности порядка п переменной интенсивности С = С© движущейся по произвольному закону zo(t) = x0(t) + iyo(t)

под свободной поверхностью весомой бесконечно

глубокой жидкости (рис.3), суть которого состоит в следующем. Если всюду вне особенности течение

потенциально, то его комплексный потенциал имеет вид W(z,t)=Cq(z -zo)+W,(z,t), где функция q(z -z0) определяется равенством (1), а функция W] аналитична всюду в области течения. Функция

с(») Рис. 3

Движение точечной особенности под свободной поверхностью.

f(z,t) =

1-

а2

;dz

W,

(И)

имеет в точке го известную особенность и принимает на действительной оси только вещественные значения, поэтому она аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость по пргащипу симметрии и на всей комплексной плоскости имеет представление

а

f(z,t)=iilw_

дХ

dz

-W.

W± =cq(z-z0)±cq(z-zo),

в силу которого равенство (11) можно рассматривать как уравнение относительно \У. Его решение, при условии, что в бесконечном прошлом жидкость покоилась, а все последующие возмущения вызваны возникновением в её толще в некоторый момент времетг гидродинамической особенности, имеет вид

W-

+ Jc(x)eiÀ[z"(T>-z3sin-т)dTd).,

для свободной границы жидкости получено выражение

БСхД) = Яе ]хп |с(т)с^^соз^О--х)йхйк .

О -ж

Показано, что при мгновенном возникновении особенности конечной интенсивности в покоящейся жидкости в момент времени ^ для профиля 5(хД) свободной трашщы выполняются условия

из которых видно, что скорость на свободную поверхность передастся мгновенно, а деформация развивается за конечное время.

В §2 для большей достоверности полученных результатов приведено еще одно решите [16] задачи о точечной гидродинамической особенности под свободной поверхностью, не опирающееся на идею аналитического продолжения.

В §3 рассмотрено установление в бесконечном будущем (I —» + со) некоторых режимов течений жидкости со свободной границей, индуцируемых особенностями.

В первом пункте рассмотрен вопрос о том, какой режим обтекания устанавливается в системе координат, движущейся вместе с особенностью постоянной интенсивности, при I —> + если она мгновенно возникает в изначально неподвижной жидкости и сразу же начинает двигаться параллельно невозмущенной свободной поверхности с постоянной скоростью -V, С помощью аппарата обобщенных функций показано, что установившееся поле скорости стационарно в системе координат, сопровождающей особенность, и полностью совпадает с полученным в результате решения стационарной задачи обтекания неподвижной особенности равномерным потоком. В частности, профиль свободной поверхности жидкости пршгимает вид волны постоянной формы, сопровождающей движущуюся особенность. Форма такой волны может быть найдена из решения стационарной задачи. Обычно при постановке стационарной задачи назначается условие затухания возмущений вверх по потоку. Установившееся течение получено без этого допущения, но обладает таким

свойством, следовательно, условие затухания гравитационных волн вверх по потоку не является независимым физическим принципом.

Во втором пункте параграфа показано, что если под свободной поверхностью изначально неподвижной бесконечно глубокой жидкости начинает свою работу точечный источник, локализованный в точке z0=- ih, h > 0, интенсивность которого меняется по гармоническому закону C(t) = (Q/2xc)cos rot, t > 0, то при t —> + да на свободной поверхности жидкости устанавливается стоячая волна вида

00 _ V л ^

с/ A Q® -her 4. Qfi> • * fe cosxA,dÀ, <ал

S(x,t) = —— e coscotcosox--sincot I- , a- —.

g ng J X-o g

Заметим, что это решение отличается от решения Ji.II. Сретенского, который искал установившийся режим в виде волн, расходящихся от источника. Однако асимптотические значения амплитуд волн на больших расстояниях от источника в обоих решениях совпадают.

В §4 рассмотрена обратная задача об особенностях переменных ин-тенсивностей, произвольно движущихся под свободной поверхностью плоского потока в следующей постановке. Пусть известно, что в жидкости с доступной для наблюдений свободной поверхностью в начальный момент времени имеется N точечных особенностей известных порядков k = 1,...,N. Требуется определить интенсивности Сь и координаты zk особенностей в некоторый фиксированный момент времени t. Показано, что если S = S(x,t) - отклонение свободной поверхности от ее невозмущенного положения, D(t) = (80n- n)C(t),

ft f р F(x,t) = -yH[stl+gJsx(x,T)dT+i St-gH Jsx(x,T)d [ о I Lo

H - преобразование Гильберта, то имеет место равенство

¿Dk(t)(x-,k(t))-^+1>=F(x,t). (12)

k-1

Левая часть равенства (12) представляет собой выражение для комплексной скорости, которую бы индуцировали рассматриваемые особенности в безграничной неподвижной жидкости на вещественной прямой у = 0 в

17

momctit времени t, а значения его правой части F(x,t) оиределяегся в тот же момент времени по данным наблюдений свободной поверхности в некоторых точках х,,...,хм. Как и в случае обратной стационарной задачи, выбор значений интенсивностей и координат особенностей осуществляется из условия наилучшего их согласования со всеми эксперименгально полученными данными.

n

£Dk(t)(x-zk(t))^+1>-F(x,t) k=l

= min, t = const,

где, как и в стагщонарном случае, выбрана среднеквадратичная норма. Поскольку в любой фиксированный момент времени I нестационарная редуцированная обратная задача (12) имеет такой же вид, как и стационарная (5), она допускает единственное решение в рамках метода наименьших квадратов для случаев уединешюй особенности и двух вихреи-сточников с нулевой суммой интенсивностей. При этом процедура нахождения параметров особенностей дословно совпадает с соответствующей процедурой в стационарном случае

В §5 рассмотрено самошщуцированное движение точечного вихря под свободной поверхностью жидкости. При этом учтено, что вихрь генерирует поверхностные волны, которые, в свою очередь, оказывают на него обратное влияние. Ранее (Новиков Е.А. Возбуждение поверхностных волн дискретными вихрями //Изв.АН СССР. ФАО.-1981. 17, №9.-С. 956 - 964.) рассматривалась генерация поверхностных волн свободным точечным вихрем и была найдена форма установившейся волны. В настоящей работе, в отличие от статьи Е.А. Новикова, нашедшего равновесное состояние системы "вихрь - поверхность", изучена начальная стадия установления такого равновесия. Показано, что если /.о(0 = х0(1) + 1 у0(1) -точка, в которой находится вихрь интенсивности Г в момент времени I, то его движение под свободной поверхностью описывается уравнением

л. _L_+i к

dt 7! ]4yn(t) J J d^ ^ J

4у0« ; 1

Численно найден приближенный закон движения вихря. На рис 4а пред-

2

ставлены траектории вихрей интенсивностей Г = - 0,1 я м /с, находив-

шихся в начальный момент времени на глубинах 9, 10, 11, 12 см. На

рис. 46 изображены траектории вихрей интенсивностей — 0,08л, - 0,10л, 2

- 0,12л м /с (кривые 1, 2, 3 соответственно), находившихся в начальный момент на глубине 10 см. Выделенные точки на кривых отмечают положение вихрей через каждую секунду. Видно, что после колебаний тем большей амплитуды, чем меньше начальная глубина и больше интенсивность, вихрь выходит на ржим монотонного и весьма медленного всплывший.

Ц"

-J \

>-и

. ! ¿к:, ■iZH

а) Рис.4 б)

Траектории вихрей а) одинаковых интенсивностей, движущихся на разных глубинах, б) разных интенсивностей, находящихся в начальный момент времени на одной глубине. В нятон главе рассмотрены некоторые пространственные задачи. Глава содержит результаты как теоретических, так и экспериментальных исследований.

§1 посвящен экспериментальному изучению взаимодействия вихревых колец с границами раздела сред. Первый пункт параграфа содержит краткий обзор литературы и основных свойств вихревых колец. Второй пункт содержит результаты экспериментальных исследований взаимодействия вихревых колец со свободной поверхностью воды, полученные совместно с Е.Н. Амбарцумян, В.И. Бояршщевым, Т.Е. Бояринце-вой, Д.Г. Коротаевым, Л.К. Ледневым, C.B. Нестеровым, А. О. Руденко, И.В. Савельевой в ИПМех РАИ. Опыты проводились на установке, состоящей из прозрачной кюветы размерами 400 X 400 X 450 мм, в дно которой вмонтирован генератор вихрей. Насадок генератора имел выходное отверстие диаметром 18 мм. Установка позволяла получать вихри с на-

3 4

чаш, ными числами Рейнольдса в диапазоне 4-10 <Rc0< 3,5-10 .Кювета

*

э.

.1

I

Ь • ■ 9

заполнялась водой; вода в генераторе вихрей подкрашивалась. Развитие и движение вихрей фиксировалось фотокамерой на фоне координатной сетки на задней стенке кюветы. Для вертикально движущегося кольцевого вихря получена зависимость абсолютной величины его текущей скорости от временя, которое вошло в безразмерный комплекс т - 4а (У0/Я0Х где Бги, \70 - начальные радиус и скорость вихря, а - коэффициент расширения кольца, определяемый из эксперимента (а ~ 10 ) (рис. 5).

Различно отмеченные точки относятся к различным сериям экспсриметггов. Сплошная кривая отвечает осредненной зависимости, ее обрыв при значении -г ~ 1,6 соответствует выходу вихрей на поверхность воды. Точки при

г > 1,6 относятся к вихрям,

Рис.5 я

, . отраженным свободной

Зависимость модуля относительном

скорости движения вихревого поверхностью и

кольца от безразмерного времени. продолжившим свое движение

4

Неп -■■■ 2,570 . в обратном направлении.

Опыты показали, что при значениях чисел Рейнольдса (по скорости подхода вихрей к поверхности),

4

меньших 0,5-10 , вихри останавливались у поверхности и разрушались. В

4 4

диапазоне 0,5-10 < Ие < 10 вихри отражались от поверхности воды и

4

продолжали движение в обратном направлении (вниз). При Яе > 1,3-10 вихри при ударе о свободную поверхность разрушались. При больших скоростях подхода вихря к свободной поверхности его разрушение носило взрывной характер, в результате чего часть жидкости поднималась над поверхностью поды вертикально вверх. Установлено, что движение отраженных вихрей подчиняется тому же закону, что и их движение до выхода на поверхность. Это подтверждают результаты, представленные на рис. 6, где экспериментальные точки соответствуют тем же реализациям, чго и на рис. 5. Зачерненные точки соответствуют движению отраженных

вихрей, для которых отсчет координаты был продолжен при их движении в обратном направлении. Кривая представляет известный закон движения вихря (Луговцов А.А., Луговцов Б.А., Тарасов В.Ф. О движении турбулентного вихревого кольца // Динамика сплошной среды. - Новосибирск,

талышх исследований прохождения вихревых колец через скачок плот-постп, полученные совместно с В.И. Бояринцевым в ИГТМех РАН. Для создания среды со скачком плотности в кювету предварительно заливался слой воды, а в смесительные баки - соляной раствор. При поступлении раствора через растекатели на дно кюветы происходило постепенное вытеснение менее плотного слоя водьг, граница раздела плотностей при этом поднималась вверх. Отношение плотности воды к плотности соляного раствора составляло 0.99. Во время проведения эксперимента граница раздела сред была резко выраженной, что подтверждалось добавлением небольшого количества красителя в верхний и нижний слои. Размер вихря составлял примерно 3 см. Для вихревого кольца, движущегося к границе раздела сред, из энергетических соображений получено условие его прохождения через скачок плотности уп > 1/(1-р'/р)§Ь, где уп -нормальная к границе раздела сред составляющая скорости вихря, Ь - ха-ракгерный размер вихря, р, р - плотности нижнего и верхнего слоев. На рис. 7 представлен график зависимости от скорости вихревого кольца предельного утла наклона его оси к границе раздела сред, начиная с которого кольцо проходит сквозь границу, полученной на основании сформу-

Рис/>

Влияние отражения от свободной поверхности на закон движения вихря

1969. - Вып. 3. - С. 50-59.), Таким образом, процесс отражения существенно не искажает закон движения кольцевого вихря. В этом смысле можно говорить о, своего рода, "зеркальном" отражении вихря от поверхности воды.

Третий пункт содержит результаты эксперимен-

<pt>

'Л

а ....... .................;.........: • —'

Рис. 7

Зависимость предельного угла наклона оси вихревого кольца к границе раздела сред от скорости кольца

лированного условия. На том же рисунке даны точки, соответствующие предельным углам

наклона, найденным экспериментально. Видно, что при скорости движешш кольца от 0,2 м/с до 0,35 м/с экспериментальные точки лежат ниже теоретической кривой, и тем дальше от нее, чем меньше скорость

движения кольца. При скоростях движения вихревого кольца от 0,35 м/с до 0,45 м/с экспериментальные точки лежат практически на теоретической кривой, причем согласие теории с экспериментом тем лучше, чем больше скорость движения вихря.

В §2 в приближении малых волн найдено возмущение свободной поверхности идеальной бесконечно глубокой весомой жидкости, занимающей в невозмущенном состоянии полупространство z < 0, тонким вихревым кольцом радиуса R и интенсивности Г, движущимся вертикально вверх так, что его центр все время лежит на оси z цилиндрической системы координат {г, a, z} .Показано, что если вихревое кольцо находится на достаточно большой глубине Н, то его радиус R пракгически не меняется (R — Ко) и отклонение S = S(r) свободной поверхности от ее невозмущенного положения имеет вид

S = -™%j„Crp) sin[VgP(t- ©]«№,

Vg 0J 0J H ©

где Jo - функция Бесселя нулевого порядка, V - самоиндуцированная скорость движения вихревого кольца, найденная Максвеллом, Н (t) = Н0 - VL Установлено, что в любой фиксированный момент времени на большом расстоянии г от оси движения вихревого кольца отклонение свободной

поверхности от ее певозмущенного положения уменьшается кагс 1/г . 11а рис. 8 представлены численно найденные профили свободной поверхности при I = 1, 2, 3 сек. (кривые 1, 2, 3 соответственно) для случая вихревого кольца с параметрами: 1?=5см, а =0.1 мм, Г=2,57Г 10 3 м2/с, находившегося в начальный момент времетш па глубине И0 = 1 м.

В §3 рассмотрена система двух тонких соосных вихревых колец в идеальной жидкости интенсивностей Г,, Г2 одного знака, в начальный момент времени отстоящих друг от друга на расстоянии Н0 и имеющих одинаковые радиусы

= 1 и радиусы сечений их

2

вихревых трубок а0 = 10 . Численно показано, что для

Рис.8

Профиль свободной поверхности над вихревым кольцом.

каждого значения у = IV Г2 существует свое критическое значение II, величины |íIo|/Ro такое, что при |IIo|/Ro< Н, кольца объединяются в связанную систему, а при llI0|/Ro> Н, - расходятся неограниченно далеко

друг от друга. График зависимости Н, ~ Н»(у), у > 1 приведен на рис. 9

Рассмотрен случай

одинаковых в начальный момент времени колец равных шггенсивностей (у ~ 1), объединяющихся в связанную систему при любых начальных расстояниях между ними. Скорость U такой системы определена как средняя скорость любого из образующих ее вихрей. График зависимости величины R0U/T от Hq/ Rq приведен на рис.Ю, где через V обозначена скорость самодвижения изолированного вихревого кольца интенсивности Г, большого радиуса R = Ro и

Рис 9

Зависимость величины II* от у.

малого радиуса а = 10 Н(). Видно, что связанная вихревая система движется со скоростью II, большей, чем скорости самодвижения вихрей, ил которых она образована.

В §4 рассмотрена обратная задача

стационарного обтекания точечного источника пространственным потоком со свободной поверхностью, состоящая в определении координат и мощности источника по

JT ' ■

V , \ - .....-

\

RnV/!V0 3 j ----.__.

1 .. 1 !

Рис. 10

Зависимость скорости движения системы двух соосных вихревых колец от начального расстояния между нгши.

вызываемым им возмущениям свободной поверхности. Рассматривается поток, равномерный и плоекопараллсльный далеко вверх по течению от погруженного источника, такой, что каждая его жидкая частица имеет скорость (V, 0, 0) при х = - с». Показано, что если источник неизвестной мощности Q локализован в неизвестной точке (xq, у0, zo), S = S(x, у) - отклонение свободной поверхности потока от ее невозмущенного положения z = 0, то

О

F(x,y),

где

F(x,y) = -V

JJ

as

Эх

;(x',y')dx'dy'

/(х-х')2 + (у-у'):

r + 2jcv

А

Js(x',y)dx'

Как и в рассмотренном в главе 3 случае плоского потока, значения координат и мощности источника определяются из условия наибольшего их соответствия всей экспериментально наблюдаемой картине:

О

^(x-x0)2+(y-y0)2 + zI

F(x,y)

= min,

где используется среднеквадратичная норма. Переходом к равенству квадратов обратных величин задача приведена к в виду

4

]Г«^/Дх,у)=С(х,у),

н

ГДС а -± а а а

1 д2' й2" д2' йз д2' " д2

ij/j = х2 +у2 , V|/2=x, V|/3 = y, v4=l; G(x,y) =

1

Лх,у),

Значения функции 0(х, у) вычисляются но данным наблюдений в узлах некоторой сетки {х;, у^, 1 = 1, |\у = 1, М. Значения коэффициентов я,, а2, а3, ог4, при которых линейная комбинация функций ,, »¡/4 обеспе-

чивает наилучшее среднеквадратичное приближение заданной в узлах сетки {х,, уД функции в, находятся методом наименьших квадратов, после чего однозначно определяются координаты источшпса и его мощность

__«2 „ _ «3 , Л/Ц|Д4-Д2 ~а\ 1

> о -

2а, 2а, " 2] дгд|

VI «1

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Список работ по теме диссертации

1. Боярннцев В.И., Корогаев Д.Г., Леднев А.К., Савин A.C. Движение кольцевого вихря к свободной поверхности жидкости, - Препринт / ИПМех РАН. - М., 1995. - К» 540. - 36 с.

2. Боярннцев В.И., Савин A.C. Исследование движения вихревых колец в однородных и стратифицированных средах. - Препринт / ИПМех At I СССР. - М., 1987. - № 299. - 64с.

3. Боярннцев В.И., Бояринцсва Т.Е., Коротаев Д.Г., Леднев А.К., Ру-денкоА.О., Савин A.C. Движение кольцевых вихрей в однородных и стратифицированных средах // Численные методы в задачах тепло- и массообмена. - М., 1997. - С. 359 - 376.

4. Боярннцев В.И., Бояринцева Т.Е., Коротаев Д.Г., Леднев А.К., Савин A.C. Движение кольцевых вихрей в однородных по плотности средах но нормали к свободной поверхности I/ Изв. РАН. МЖГ. - 1997. — № 3. - С. 125 - 129.

г

5. Бояринцев В.И., Левченко Е.С., Савигг A.C. О движении двух вихревых колец// Изв. АН СССР. МЖГ. - 1985. -№ 5. - С. 176-177.

6. Бояринцев В.И., Савин A.C. Движение вихревого кольца под углом к границе раздела двух сред с различными плотностями // Тез. докл. 14 Всесоюзной конференции " Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем". Т.2. - Одесса, 1986. - С. 236.

7. Бояринцев В.И., Савин A.C., Левченко Е.С. Численное решение задачи о совместном движении двух сооспых вихревых колец И Турбулентные струйные течения.-Таллин, 1985.-Ч. 1С. 222 - 226.

8. Бояринцев В.И., Савин A.C., Савельева И.В. Моделирование всплываняя вихревого кольца в стратифицированных средах // Тез. докл. Третьего всесоюзного совещания по физике низкотемпературной плазмы с конденсированной дисперсной фазой, 8-10 сентября 1988J-. - Одесса, 1988. -С.89.

9. Исиченко И.В., Коновалов A.B., Левченко Е.С., Савин A.C. Обратная задача обтекания особенностей плоским потоком идеальной жидкосги со свободной i-раницей // ПМТФ,-1989,- № 6- С. 86 - 91.

10. Коновалов A.B., Левченко Е.С., Савин A.C. Восстановление плоского течения тяжелой идеальной жидкости по форме се свободной поверхности // Докл. AI 1 СССГ. - 1989,- 305, № 2. - С. 294 - 296.

11. Нестеров С. В., Амбарцумян E.H., Бояринцев В.И., Коротасв Д.Г., Леднев А.К., Савин A.C. Исследование экспериментальными методами эволюции возмущений, возникших в толще воды // Методы, процедуры и средства аэрокосмичсской компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли- М.: Научный мир, 1996.-С. 46-76.

12. Савин A.C. Генерация поверхностных волн всплывающим вихревым кольцом // ПММ. -1992. - № 3. - С.542 - 544.

13. Савин A.C. Гидродинамические особенности в потоках со свободной границей // ПММ. - 1991. - 55, № 3. - С. 369 - 400.

14. Савин A.C. Некоторые обратные задачи генерации поверхностных волн // Материалы Всероссийской конференции "Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами", 15-16 декабря 1998 г. -М., 1999. -С. 15 - 16.

15. Савин А.С. Нестационарный вариант метода М.В. Кеддыша в задаче о точечной особенности под свободной поверхностью // Докл. Акад. Наук. - 1999. - 365, № 5. - С.628 - 629.

16. Савин А.С. Прямая и обратная задачи обтекания для плоских потоков со свободной границей // Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомограф™ приповерхностных областей Земли. - М.: Научный мир, 1996. - С. 77 - 89.

17. Савин А.С., Бояринцев В.И., Коротаев /(.Г.Моделирование движения кольцевою вихря и его взаимодействие с границами раздела сред с различными плотностями И Материалы Всероссийской конференции "Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами", 15-16 декабря 1998 г. - М„ 1999. - С. 31 - 32.

18. Савин А.С., Коротаев Д.Г. Моделирование взаимодействия всплывающих вихревых структур с поверхностью жидкости // Тез. докл. Российской научной конференции с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", 28 - 30 июня 1994 г. -Тверь, 1994. - С. 31.

19. Ambartsoumian E.N., Boyarintsev V.I., Korotaev D.G., Lednev A.K., Savin A.S. Hydrodynamic effects at the interface of media with distinct densities. Preprint / Inst, for problems in mechanics Rus. Acad. Sci. -M., 1994.-№541,-38p.

20. Boyarintsev V. I., Boyarintseva Т.Е., Korotaev D.G., Lednev A.K., Savin A.S. Motion of vortex riags in media with homogeneous density along the normal to the free surface // Fluid Dynamics. - 1997. - 32, № 3,-P. 420-423.

21. Boyarintsev V. I., Boyarintseva Т.Е., Korotaev D.G., Savin A.S. Motion of turbulent vortex rings in stratified fluids // Third international workshop on vortex flows and related numerical methods (1WVF3), August 24 - 27, 1998. - Toulouse, France, 1998. - P. 17 - 19.

22. Savin A.S. The generation of suface waves by a buoyant vortex ring // J. Appl. Math. Mech. - 1992. - 56, № 3. - P 453 - 455.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В ПОТОКАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ.

§1. Основные результаты исследований возмущений поверхности жидкости гидродинамическими особенностями, моделирующими погруженные тела.

§2. Некоторые системы точечных особенностей как модели непроницаемых границ в плоском потоке.

§3. Моделирование рельефа дна непрерывно распределенными особенностями

Глава 2. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ПЛОСКИМ ПОТОКОМ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Метод М.В. Келдыша

§2. Уравнение профиля свободной границы

§3. Новое интегральное представление решения.

§4. Сравнение результатов вычислительных и лабораторных экспериментов

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ПЛОСКОМ СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ПО ДАННЫМ О ЕГО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

§1. Редукция к задаче об особенностях в безграничной неподвижной среде.

§2. Общий метод нахождения параметров особенностей

§3. Случаи, допускающие определение параметров особенностей методом наименьших квадратов

3.1. Уединенная особенность .g

3.2. Два вихреисточника .g'

3.3. Пример сравнения исходной и восстановленной неод-нородностей.g

§4. Упрощение процедуры обработки данных наблюдений свободной поверхности при известном типе особенностей

§5. Восстановление рельефа дна в рамках модели распределенных источников

Глава 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Обобщение метода М.В. Келдыша на нестационарный случай.

1.1. Определение комплексного потенциала и профиля свободной границы

1.2. Начальные условия при мгновенном возникновении особенности.

1.3. Связь с решением стационарной задачи. ^

§2. Другой способ определения потенциала скорости

§3. Некоторые предельные режимы течений

3.1. Равномерно движущаяся особенность.

3.2. Неподвижный пульсирующий источник. \

§4. Определение текущих координат и интенсивностей особенностей по наблюдаемым возмущениям свободной поверхности

§5. Самоиндуцированное движение вихря под свободной поверхностью жидкости.

Глава 5. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ.

§1. Взаимодействие вихревых колец с границами раздела сред.

1.1. Основные свойства вихревых колец.

Гидродинамические особенности широко используются при моделировании возмущений жидкой среды различными неоднородностями, локально нарушающими потенциальность течения. К числу таких неод-нородностей относятся, например, движущиеся в жидкости тела, вихревые структуры, источники (стоки) массы, обтекаемые потоком преграды. Обычно принимается, что основное течение потенциально, а неоднородность, с той или иной точностью, заменяется некоторой системой гидродинамических особенностей (вихрей, источников, диполей и т.д.). При этом можно рассматривать как дискретные, так и непрерывные распределения особенностей.

Присутствие гидродинамических особенностей в потоке со свободной границей ведет к образованию поверхностных волн. Расчет возмущений поверхности жидкости при известных особенностях, локализованных в ее толще, составляет содержание задачи, которую назовем прямой. Прямая задача генерации поверхностных волн гидродинамическими особенностями привлекала внимание многих исследователей. Еще Л.Н. Сретенский отмечал: " .для решения наиболее интересных задач теории волн надо рассматривать волновые потоки с особенностями " [97]. Однако следует сказать, что многие из полученных решений трудно проанализировать из - за сложности их аналитической структуры, кроме того, их форма представления часто не является удобной для проведения численных расчетов.

В данной работе прямые задачи генерации волн рассматриваются в основном с целью приведения их решений к виду, в котором возможно достаточно быстрое определение характеристик свободной поверхности численными методами. Кроме того, получен ряд новых результатов. Для плоского потока со свободной поверхностью, стационарно обтекающего заданную гидродинамическую особенность, найдено новое интегральное представление комплексной скорости, выведено уравнение профиля свободной границы. Дано обобщение метода М.В. Келдыша на случай произвольно движущейся особенности переменной интенсивности, с помощью которого, в частности, показано, что при длительном равномерном движении особенности из состояния покоя под свободной поверхностью плоского потока над ней устанавливается волна постоянной формы, которая может быть найдена из решения соответствующей стационарной задачи.

С другой стороны, возмущения свободной поверхности потока несут информацию о породивших их неоднородностях, что приводит к постановке обратной задачи: получить сведения о внутренней структуре потока (в первую очередь - о локализованных в нем неоднородностях) по данным, снятым с его свободной поверхности. Наиболее существенные трудности решения такой задачи позволяет увидеть следующий пример. Пусть плоский стационарный поток весомой жидкости со свободной поверхностью обтекает некоторую неоднородность в его толще. Поставим задачу найти способ обработки данных измерений свободной поверхности жидкости, который бы позволил судить о параметрах обтекаемого объекта. При этом отметим, что если о характере этого объекта заранее ничего не известно, то однозначное восстановление его параметров и полной картины внутреннего течения только по данным о свободной поверхности потока заведомо невозможно. Это обусловлено хотя бы тем, что всякая твердая граница, совпадающая с одной из линий тока, огибающей обтекаемую неоднородность сверху, гидродинамически эквивалентна ей и вызывает при обтекании потоком такое же возмущение его свободной поверхности. Поэтому следует искать целое семейство линий тока, соответствующих заданной свободной границе жидкости. В принципе это можно сделать с помощью аналитического продолжения скорости течения со свободной поверхности вглубь потока. Формулы, по которым может быть осуществлено такое продолжение, вплоть до ближайшей особенности, известны и приводятся, например, в книге [43]. Однако там же сказано, что эти выражения дают строгое решение, если мы располагаем точными и непрерывными значениями измеряемых величин на наблюдаемой линии (поверхности), а попытка численной реализации этих формул при непосредственном применении их к экспериментальным данным, известным лишь в дискретной последовательности точек и с некоторой погрешностью, не может дать удовлетворительного результата. Это связано с тем, что задача аналитического продолжения функций в сторону их особенностей является некорректно поставленной [104], поэтому сколь угодно малые вариации исходных данных могут приводить к сколь угодно сильно отличающимся друг от друга решениям.

Впервые обратная задача стационарного обтекания конечной системы точечных особенностей плоским потоком со свободной границей была рассмотрена автором с соавторами [52, 58]. Решение этой задачи, основанное на технике аппроксимаций Паде, позволяет восстановить систему обтекаемых особенностей по известному профилю свободной поверхности потока. Однако, как показали дальнейшие исследования, предложенная процедура применима лишь в случае абсолютно точного задания исходных данных. Позже автором [85, 87] был предложен способ решения обратной задачи обтекания неоднородностей, свободный от этого недостатка в силу малой его чувствительности к отдельным ошибкам в задании профиля свободной поверхности, применимый как к плоским, так и к трехмерным потокам.

Существенной частью этого подхода является решение следующей модельной задачи. Пусть имеем данные наблюдений свободной поверхности потока, обтекающего известное число точечных гидродинамических особенностей заданного типа. Для определенности будем говорить об отклонении 8 свободной поверхности от ее невозмущенного положения. Требуется определить координаты и интенсивности особенностей.

С одной стороны, отклонения свободной границы от ее невозмущенного положения известны из опыта в некоторых точках наблюдения, с другой - величину 8 можно найти, решив прямую задачу, в виде функции точки наблюдения, зависящей от координат и интенсивностей особенностей как от параметров. Поэтому в качестве решения рассматриваемой модельной обратной задачи следует взять те значения искомых параметров, при которых достигается наилучшее согласие решения прямой задачи с данными наблюдений. В случае присутствия в потоке реального объекта можно привлечь следующие соображения.

Один из способов описания обтекания потоком неоднородности состоит в её замене эквивалентной системой гидродинамических особенностей- вихрей, источников, диполей и так далее. Например [59], при поперечном обтекании цилиндра идеальной жидкостью его можно рассматривать как диполь; источник и сток нулевой суммарной интенсивности, расположенные друг за другом вдоль потока, моделируют тело овоидной формы. Обычно такая замена осуществляется приближенно, исходя из соображений простоты модели, поскольку чрезмерная детализация реального процесса обтекания часто является излишней. Например [97], цилиндр, движущийся под свободной поверхностью жидкости, заменяется диполем тем более точно, чем глубже он находится.

В соответствии с широко распространенными схемами [62], подтвержденными данными многочисленных экспериментов [21], стационарное обтекание тела реальной жидкостью сопровождается развитием вихревого движения в некоторой области, непосредственно прилегающей к телу, и практически безвихревым течением вне её. В силу этого, влияние обтекаемого тела на свободную поверхность потока можно описать в рамках модели потенциального течения идеальной жидкости, если вместо него рассматривать тело, занимающее всю вихревую область. В этом смысле можно говорить об эффективной форме обтекаемого тела. При этом граница между вихревой и потенциальной областями проходит по линии (поверхности) тока весьма простого вида [21].

Похожие линии (поверхности) тока возникают при обтекании некоторых комбинаций небольшого числа гидродинамических особенностей потенциальным потоком идеальной жидкости. Если задаться системой с фиксированным числом и известным типом гидродинамических особенностей как моделью обтекания некоторого препятствия и выбрать координаты и интенсивности особенностей так, чтобы соответствующее возмущение свободной поверхности потока было в определенном смысле наиболее близким к наблюдаемому, то соответствующие линии (поверхности) тока дадут представление о возможных эффективных формах обтекаемого объекта.

Таким образом, в рамках предлагаемого подхода выбор конкретной модели обтекаемой неоднородности производится из некоторого заранее определенного класса систем гидродинамических особенностей. Очевидно, что из разных классов будут выбраны, вообще говоря, разные модели обтекания одного и того же реального объекта. Выбор класса моделей должен быть обусловлен дополнительными соображениями. Так, хорошей моделью продольного обтекания осесимметричного тела может быть система "источник - сток" нулевой суммарной интенсивности, тогда задача сводится к оптимальному выбору координат источника и стока и их интенсивностей.

В ряде случаев выбор класса моделей может быть непосредственно обусловлен самой постановкой задачи. Например, известно, что в потоке локализован единственный точечный источник и требуется определить его координаты и интенсивность по данным о свободной поверхности. Таким образом, в соответствии с одной из концепций общей теории обратных задач [104], в каждом фиксированном классе моделей ищется свое решение (квазирешение).

Такой же подход применяется к решению нестационарной обратной задачи генерации поверхностных волн, что, при осуществлении постоянного наблюдения за состоянием свободной поверхности и соответствующей обработке его результатов, позволяет вести непрерывное определение текущих координат и интенсивностей гидродинамических особенностей, приближающих скрытую в толще потока нестационарную неоднородность.

Насколько известно автору, обратная задача генерации поверхностных волн в приведенной постановке другими исследователями не рассматривалась. Это - новое научное направление, имеющее важные практические приложения. Кроме чисто научного интереса, его развитие стимулируют и следующие обстоятельства.

В настоящее время в связи с расширением сферы деятельности человека и ухудшением климатической и экологической ситуации в масштабе всей планеты все более возрастающее значение приобретает изучение и освоение Мирового океана, оказывающего огромное влияние на общее состояние всей природной среды и, кроме того, являющегося объектом многоплановой хозяйственной деятельности человека [ 42, 49, 51, 64, 74].

Следует отметить, что наряду с традиционными видами такой деятельности - мореплаванием и рыболовством в последнее время интенсивно развиваются и принципиально новые. Например, с конца 60-х годов ведутся работы по добыче на шельфе нефти (Персидский залив, Северное море), угля (Англия, Япония), алмазов (ЮАР). Разрабатываются планы добычи других полезных ископаемых (железо, марганец, сульфиды), в том числе - с больших глубин. В недалеком будущем важнейшее значение может приобрести добыча планктона - ценного белкового сырья. Идет интенсивное освоение Мирового океана и в военных целях. Наиболее развитые страны непрерывно увеличивают объемы таких работ, а борьба за овладение океанскими ресурсами постепенно обостряется.

Вследствие большой технической сложности широкомасштабных работ в океане эта деятельность требует серьезного информационного обеспечения, связанного с анализом динамики поверхности и толщи морской среды. При этом количество и качество поставляемой информации должны существенно превосходить требуемые ранее для нужд мореплавания и рыболовства, что возможно только на основе создания новых методов получения и обработки данных о протекающих в морской среде процессах.

Наиболее эффективно сбор информации с больших площадей поверхности океана осуществляется с помощью средств дистанционного зондирования, расположенных на аэрокосмических носителях. В основном в качестве средств зондирования используются радиолокаторы, осуществляющие обзор морской поверхности на нескольких несущих частотах, что позволяет измерять ее характеристики с высокой точностью. При этом явления, происходящие в толще океана, совершенно недоступны для непосредственного наблюдения с помощью радиосигналов.

Необходимость восстановления физических полей в толще морской среды по данным радиолокационного зондирования свободной поверхности привела к созданию нового научно-технического направления - компьютерной радиотомографии морской среды [113 — 115], в основе концепции которого лежит единая модель информационного тракта радиотомографического комплекса, включающая в себя гидрофизические, электродинамические блоки, блоки классификации и распознавания подводных явлений. Упрощенно такой тракт можно представить в виде следующей схемы.

Развернутое изложение концепции компьютерной радиотомографии морской среды и результаты первой попытки увязки всех элементов информационного тракта, показанного на схеме, содержатся в монографии [70], написанной при участии автора в составе большого коллектива.

В свете изложенного видны актуальность рассматриваемых в настоящей работе проблем и их место в общей концепции компьютерной радиотомографии морской среды, обусловленные необходимостью установления связи между первыми двумя блоками представленного на схеме информационного тракта: различными неоднородностями в морской толще и их поверхностными проявлениями. Следует заметить, что такая связь прослеживается здесь в предположении, что развитие поверхностных возмущений целиком обусловлено локализованными в толще жидкости неоднородностями, а действие факторов иной природы, например, влияние ветра на свободную поверхность, не учитывается. Иными словами, рассматривается единственный канал передачи возмущений на свободную поверхность от погруженных неоднородностей через посредство несжимаемой жидкой среды при отсутствии ветрового волнения. Указанное допущение обычно принимается при исследовании прямых задач генерации поверхностных волн погруженными источниками. В этих же рамках естественно рассматривать и соответствующие обратные задачи, которые даже при такой идеализации представляют значительный практический интерес, поскольку методы их решения могут лечь в основу алгоритмов идентификации реальных объектов. Учет других механизмов возмущений свободной поверхности (ветер и т.д.) должен составить предмет дальнейших исследований.

Выбор гидродинамических особенностей в качестве элементов моделей неоднородностей в жидкой среде связан с тем, что такие модели допускают удобную параметризацию, а это обусловливает как принципиальную разрешимость рассматриваемых обратных задач, так и сравнительную простоту алгоритмов их решений, обеспечивающую возможность получения данных за достаточно короткое время.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

В первой главе содержится обзор работ по генерации поверхностных волн гидродинамическими особенностями. Приводятся некоторые примеры моделирования обтекаемых потоком тел и непроницаемых границ системами гидродинамических особенностей.

Вторая глава посвящена прямой задаче стационарного обтекания гидродинамических особенностей плоским потоком со свободной поверхностью. Выведено уравнение для свободной границы потока, стационарно обтекающего заданные особенности. Приведены примеры профилей свободных границ потоков, полученных численным решением этого уравнения. Произведено сравнение такого метода нахождения свободной границы потока с методом М.В. Келдыша. Предложена модель обтекания цилиндра, движущегося под свободной поверхностью, обеспечивающая хорошее согласование расчетного профиля свободной границы с наблюдаемым в эксперименте. Найдено новое интегральное представление решения задачи обтекания особенностей стационарным потоком со свободной границей.

В третьей главе рассмотрена обратная задача возмущения свободной поверхности плоского стационарного потока точечными особенностями, локализованными в его толще. Предложены способы определения координат и интенсивностей особенностей по данным о свободной границе потока. Описана процедура восстановления рельефа дна по известной свободной поверхности жидкости в рамках модели распределенных источников.

Четвертая глава содержит обобщение метода М.В. Келдыша на случай произвольного движения особенностей переменной интенсивности под свободной поверхностью весомой жидкости. Найдены комплексный потенциал и профиль свободной границы. Получены некоторые предельные режимы течений в бесконечном будущем. Рассмотрена обратная задача генерации поверхностных волн нестационарными особенностями. Исследовано самоиндуцированное движение точечного вихря под свободной границей жидкости.

В пятой главе рассмотрены некоторые вопросы взаимодействия вихревых колец с границами раздела сред и между собой. Изложение основано на материале серии экспериментальных работ, выполненных с соавторами. Изучен закон движения вихревого кольца при подходе к свободной поверхности жидкости и при отражении от нее. Сформулирован критерий, позволяющий судить о способности вихревого кольца проходить через границу раздела сред. Рассмотрено движение двух соосных вихревых колец и установлены некоторые новые свойства такой системы. Найдено возмущение свободной поверхности бесконечно глубокой весомой жидкости, вызываемое вертикально движущимся вихревым кольцом. Поставлена и решена обратная задача стационарного обтекания точечного источника пространственным потоком со свободной поверхностью. Предложенный метод ее решения пригоден и в случае неточного задания исходных данных.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

По теме диссертации опубликованы работы [6-13, 52, 58, 79, 83-89, 117-119, 138]

Результаты работы были представлены на Всероссийской конференции "Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами" (Москва, 1998), международной конференции "Third international workshop on vortex flows and related numerical methods" (Тулуза, Франция, 1998), Российской научной конференции с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь,

16

1994), международной конференции "10 International Heat Transfer Conference" (Брайтон, Англия, 1994), 16 конференции (стран СНГ) по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1993), международном конгрессе "11 International Congress of Chemical Engineering" (Прага, Чехословакия, 1993), Третьем всесоюзном совещании по физике низкотемпературной плазмы с конденсированной дисперсной фазой (Одесса, 1988), 14 Всесоюзной конференции " Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем" ( Одесса, 1986), 5 Всесоюзном научном совещании по теоретическим и прикладным аспектам турбулентных течений (Таллин, 1985), Объединенном научно-исследовательском семинаре "Численное моделирование процессов тепло и массообмена", "Проявление внутренних движений на свободной поверхности океана", "Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы" (Институт проблем механики РАН, 2000), семинаре кафедры высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (2000), семинаре отдела механики Математического института РАН им. В.А. Стеклова (1999), научно-исследовательском семинаре "Численное моделирование процессов тепло и массообмена" (Институт проблем механики РАН, 1998), семинаре кафедры физической механики МФТИ (1996).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы.

1. Получено уравнение свободной границы плоского потока, стационарно обтекающего заданные гидродинамические особенности. Предложен новый способ быстрого нахождения свободной границы потока, основанный на численном решении этого уравнения. Сделаны расчеты профилей свободной поверхности потоков, наблюдаемых в экспериментах. Проведено сравнение результатов расчетов с данными опыта.

2. Найдено новое интегральное представление решения задачи о стационарном обтекании гидродинамических особенностей плоским потоком со свободной границей.

3. Предложено обобщение метода М.В. Келдыша на случай произвольного закона движения особенности переменной интенсивности в плоском потоке со свободной поверхностью. Найден комплексный потенциал и профиль свободной границы жидкости.

4. Показано, что в двумерном случае при равномерном горизонтальном движении точечной особенности, начинающемся из состояния покоя, под свободной поверхностью неподвижной жидкости в системе координат, связанной с особенностью, в бесконечном будущем устанавливается течение, соответствующее решению стационарной задачи обтекания этой особенности.

5. Получено уравнение самоиндуцированного движения точечного вихря под свободной поверхностью жидкости. Найдены траектории движения вихря при различных начальных условиях.

6. Поставлена задача определения параметров неоднородно-стей в плоском стационарном потоке по данным о его свободной поверхности. В рамках модели точечных особенностей предложено ее решение, малочувствительное к ошибкам в исходных данных.

7. Поставлена и решена задача определения текущих координат и интенсивности движущейся особенности по данным, снимаемым со свободной поверхности плоского потока.

8. Экспериментально установлен закон движения вихревого кольца после его отражения от свободной поверхности воды.

9. Получен критерий прохождения вихревого кольца через границу раздела сред с различными плотностями.

10. Найдено возмущение свободной поверхности весомой жидкости при вертикальном движении к ней вихревого кольца.

11. Показано, что два одинаковых соосных вихревых кольца образуют связанную систему, скорость которой больше скорости самоиндуцированного движения образующих ее вихрей. Найдены условия различных режимов совместного движения двух соосных вихревых колец.

12. Поставлена и решена обратная задача стационарного обтекания точечного источника пространственным потоком со свободной поверхностью.

1. Амромин Э.Л., Вальдман H.A., Иванов А.Н. К нелинейной теории плоских волн на поверхности жидкости // Асимптотические методы. Задачи механики. - Новосибирск, 1988. - С. 169 - 175.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959. 915с.

3. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. -Харьков: ХГУ, 1984. 120 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

5. Бояринцев В.И., Леднев А.К., Фрост В.А. Движение погруженного цилиндра под поверхностью жидкости. Препринт / ИПМех АН СССР. - М., 1988. - № 332. - 39 с.

6. Бояринцев В.И., Коротаев Д.Г., Леднев А.К., Савин A.C. Движение кольцевого вихря к свободной поверхности жидкости. Препринт / ИПМех РАН. - М., 1995. - № 540. - 36 с.

7. Бояринцев В.И., Савин A.C. Исследование движения вихревых колец в однородных и стратифицированных средах. Препринт / ИПМех АН СССР. - М., 1987. - № 299. - 64с.

8. Бояринцев В.И., Бояринцева Т.Е., Коротаев Д.Г., Леднев А.К., РуденкоА.О., Савин A.C. Движение кольцевых вихрей в однородных и стратифицированных средах // Численные методы в задачах тепло- и массообмена. М., 1997. - С. 359 - 376.

9. Бояринцев В.И., Бояринцева Т.Е., Коротаев Д.Г., Леднев А.К., Савин A.C. Движение кольцевых вихрей в однородных по плотности средах по нормали к свободной поверхности // Изв. РАН. МЖГ. 1997. -№ 3. -С.125 - 129.

10. Бояринцев В.И., Левченко Е.С., Савин A.C. О движении двух вихревых колец // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. - № 5. -С. 176-177.

11. Бояринцев В.И., Савин A.C. Движение вихревого кольца под углом к границе раздела двух сред с различными плотностями // Тез. докл. 14 Всесоюзной конференции " Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем". Т.2. Одесса, 1986. - С. 236.

12. Бояринцев В.И., Савин A.C., Левченко Е.С. Численное решение задачи о совместном движении двух соосных вихревых колец // Турбулентные струйные течения. Таллин, 1985. - 4.1. -С. 222-226.

13. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 336 с.

14. Брикман М.С. Интегральные модели в современной теории управления. Рига: Зинатне, 1974. -224 с.

15. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. - 287 с.

16. Бузуков A.A. Особенности образования и движения кольцевых вихрей в воде // ПМТФ. 1971. - № 2. - 153 - 160.

17. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. -760 с.

18. Вальдман H.A. Метод решения плоских нелинейных задач теории корабельных волн // Гидродинамика высоких скоростей. — Л.: Судостроение, 1987. С. 17 -28.

19. Вальдман Н.А. Решение плоской задачи о движении вихря вблизи поверхности весомой жидкости методом малого параметра // Тр. Ленингр. кораблестр. ин та. - Л., 1985. - Сб. «Математические модели и САПР в судостроении». - С. 18-24.

20. Ван Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. - М.: Мир, 1986.-181 с.

21. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М.: Сов. радио, 1979. - 272 с.

22. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. — 544 с.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976. 280 с.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.-512 с.

25. Войткунский Я.И. Обтекание гидродинамических особенностей, расположенных над поверхностью раздела жидкостей различной плотности // Инженерный журнал. 1963. - 3, № 2. -С. 262 - 270.

26. Волков Е.А. Численные методы — М.: Наука, 1987. 248 с.

27. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. 640 с.

28. Гласко В.Б., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии // Некорректные задачи естествознания. М.: Изд. МГУ, 1987. - С. 89 - 102.

29. Гогиш Л.В., Нейланд В.Я., Степанов Г.Ю. Теория двумерных отрывных течений // Гидромеханика. Итоги науки и техники. -М., 1975.-Т.8.-С.5-59.

30. Головченко В.В. Движение вихря вблизи границы раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ. 1975. - № 5. - С. 78 - 82.

31. Гоман О.Г., Карплюк В.И. О формулах для потенциала кольцевого вихря // Мат. методы мех. жидк.и газа. Днепропетровск, 1984.-С. 65-70.

32. Гончаров В.П. Волновые взаимодействия в системе океан атмосфера в рамках метода гамильтоновского формализма // Изв. АН СССР. ФАО. - 1980. -16, № 5. - С. 473 - 482.

33. Гончаров В.П., Павлов В.И. О генерации поверхностных волн движущимся источником // Изв. АН СССР. ФАО. 1982. - 18, № 8. - С. 887-889.

34. Горлов С.И. Нелинейная задача об обтекании системы вихрей установившимся потоком весомой жидкости, ограниченным свободной поверхностью // ПМТФ. 1999. - 40, № 6. -С. 63-68.

35. Гошев Г.А. Общая задача о движении источника вблизи поверхности воды // Тр. Ленингр. ин-та водного трансп. — Л., 1968. Вып. 98. «Гидромеханика судна». - С. 15 - 23.

36. Градштейн И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

37. Гуревич М.И. Вихрь вблизи свободной поверхности // ПММ. -1963. 27, № 5. - С. 899 - 902.

38. Гуржий A.A., Константинов М.Ю. О столкновении двух коаксиальных вихревых колец в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. - № 4. - С. 60 - 64.

39. Доброхотов С.Ю., Жевандров П.Н. Волны на поверхности жидкости переменной глубины, возбуждаемые движущимся погруженным источником // Колебания и волны в жидкости. Горький, 1988.-С. 32-41.

40. Долина И.С., Ермаков С.А., Пелиновский E.H. Смещение свободной поверхности жидкости при обтекании цилиндра // ПМТФ. 1988. - №4. - С. 48 - 51.

41. Дрейк Ч., Имбри Д., Клаус Д. и др. Океан сам по себе и для нас.- М.: Прогресс, 1982. 470 с.

42. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984. - 326 с.

43. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Шерыхалин О.И. Исследование закритических режимов в нелинейной задаче о движении вихря под свободной поверхностью весомой жидкости // ПМТФ. 2000. - 41, № 1. - С.70 - 76.

44. Зайцев A.A. Движение вибратора под поверхностью жидкости конечной глубины // Морские гидрофиз. исслед. 1971. -№5(55). -С. 167-180.

45. Зайцев A.A. Волны на поверхности потока конечной глубины, возбуждаемые подводным источником // Докл. АН СССР. -1971.-201, №5.-С. 1070-1073.

46. Заславский Б.И. О формировании и движении всплывающих вихревых колец в однородных и стратифицированных средах // Современные вопросы механики сплошной среды. М.; МФТИ, 1985.-С.21 -30.

47. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: Изд. Ин. лит., 1954.-486 с.

48. Иванов А. Введение в океанографию. М.: Мир., 1978. - 574 с.

49. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений.- JL: Судостроение, 1980. 237с.

50. Иванов М.Ф., Кеонджян В.П. Информатика и Мировой океан. -М.: Знание, 1988.-48 с.

51. Исиченко И.В., Коновалов A.B., Левченко Е.С., Савин A.C. Обратная задача обтекания особенностей плоским потоком идеальной жидкости со свободной границей // ПМТФ. -1989. -№ 6 С.86 -91.

52. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

53. Келдыш М.В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости // М.В. Келдыш. Избранные труды. Механика. — М.: Наука, 1985. -С. 100- 103.

54. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // М.В. Келдыш. Избранные труды. Механика. М.: Наука, 1985. - С. 120 -151.

55. Киселев О.М. Вихрь под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. - № 3. - С. 45 - 52.

56. Киселев О.М. Источник под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. - № 3. - С. 87 - 91.

57. Коновалов A.B., Левченко Е.С., Савин A.C. Восстановление плоского течения тяжелой идеальной жидкости по форме ее свободной поверхности // Докл. АН СССР. 1989 - 305, № 2. -С. 294-296.

58. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т.1. Л.; М.: Гостехиздат, 1948. - 535 с.

59. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

60. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Цаука, 1987. - 688 с.

61. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. - 407с.

62. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л., Гостехиздат, 1947. - 928 с.

63. Лебедев В.JI., Айзатуллин Т.А., Хайлов K.M. Океан как динамическая система. — Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 205 с.

64. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

65. Луговцов A.A., Луговцов Б.А., Тарасов В.Ф. О движении турбулентного вихревого кольца // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1969. Вып. 3. - С. 50 - 59.

66. Луговцов Б.А. Турбулентные вихревые кольца // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1979. Вып. 38. - С. 71 - 88.

67. Маклаков Д.В. Обтекание препятствия с образованием нелинейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы // Изв. РАН. МЖГ. 1995. - № 2. - С. 108 - 117.

68. Мартыненко О.Г., Ватутин И.А., Лемеш Н.И., Храмцов П.П. К вопросу о движении системы последовательных соосных вихревых колец в однородной жидкости // Инж. физ. журн. — 1989.-56, № 1. -С.26-28.

69. Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли / Под ред. C.B. Нестерова, A.C. Шамаева, С.И. Шамаева. М.: Научный мир, 1996. - 272 с.

70. Милн Томпсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. - М.: , Мир, 1964.-655 с.

71. Минкович Б.М., Яковлев В.П. Теория синтеза антенн. М.: Сов. радио, 1969. - 328 с.

72. Моисеев H.H. О неединственности возможных форм установившихся течений тяжелой жидкости при числах Фруда, близких к единице // ПММ. 1957. - 21, № 6. - С.860 - 864.

73. Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. -Д.: Гидрометеоиздат, 1985. 375 с.

74. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968.-511 с.

75. Мэтьюз Д., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972. - 398с.

76. Наугольнов В.И., Фаддеев Ю.И. О пульсациях источника под свободной поверхностью жидкости конечной глубины // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. Л. 1982. - Сб. «Ходкость и мореходные качества судов». — С. 89 - 93.

77. Некрасов А.И. О точечном вихре под поверхностью тяжелой жидкости в плоскопараллельном потоке // Некрасов А.И. Собр. соч. Т.2. М.: Физматгиз, 1962. - С. 351 - 370.

78. Новиков Е.А. Возбуждение поверхностных волн дискретными вихрями// Изв. АН СССР. ФАО. 1981. - 17, №9.-С. 956-964.

79. Онуфриев А.Т. Теория движения вихревого кольца под действием силы тяжести. Подъем облака атомного взрыва // ПМТФ. 1967. — №2. - С. 3 - 15.

80. Петров П.А. Механизм образования вихревых колец // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. - № 2. - С. 19 - 26.

81. Савин A.C. Генерация поверхностных волн всплывающим вихревым кольцом // ПММ. 1992. - № 3. - С.542 - 544.

82. Савин A.C. Гидродинамические особенности в потоках со свободной границей // ПММ. 1991. - 55, № 3. - С. 369 - 400.

83. Савин A.C. Некоторые обратные задачи генерации поверхностных волн // Материалы Всероссийской конференции "Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами", 15-16 декабря 1998 г.-М., 1999.-С. 15-16.

84. Савин A.C. Нестационарный вариант метода М.В. Келдыша в задаче о точечной особенности под свободной поверхностью // Докл. Акад. Наук. 1999. - 365, № 5. - С.628 - 629.

85. Савин A.C. Прямая и обратная задачи обтекания для плоских потоков со свободной границей // Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли. М.: Научный мир, 1996. - С. 77 - 89.

86. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд. МГУ, 1993. - 352 с.

87. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.2. М.: Наука, 1970. -568 с.

88. Селезов И.Т. Распространение и трансформация поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1990.-Т. 24.-С. 3-76.

89. Сретенский Л.Н. Движение вибратора под поверхностью жидкости // Тр. Моск. мат. общ. 1954. - 3. - С. 3 - 14.

90. Сретенский Л.Н. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости // Тр. ЦАГИ. М., 1938. - Вып. 346. - С. 1 -27.

91. Сретенский Л.Н. Периодические волны, создаваемые источником, находящимся над наклонным дном // Докл. АН СССР. -1963. 151, № 5. - С. 1050- 1052.

92. Сретенский Л.Н. Периодические волны, создаваемые источником, находящимся над наклонным дном // ПММ. 1963. - 27, № 6. - С.1012 - 1025.

93. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.-815с.

94. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1987. -Т. 21.-С. 93-179.

95. Стурова И.В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн. Препринт / Вычислит. Центр. СО АН СССР.- Красноярск, 1990. - № 5. - 48 с.

96. Суслов Г.В. Определение формы свободной поверхности за обтекаемыми гидродинамическими особенностями // Асимптотические методы в динамике систем. Иркутск, 1988.1. С 101 - 116.

97. Тарасов В.Ф. Оценка некоторых параметров турбулентного вихревого кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1973.-Вып. 14.-С. 120-127.

98. Тер — Крикоров A.M. Точное решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости // Изв. АН СССР Сер. Матем. -1958.-22, №2.-С. 177-200.

99. Тихонов А.И. Плоская задача о движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. отд. Технич. наук АН СССР. 1940. - № 4. - С.57 - 78.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука, 1979. - 286 с.

101. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987. -318 с.

102. Уиднелл Ш. Структура и динамика вихревых нитей // Вихревые движения жидкости. М.: Мир, 1979. - С. 126 - 159.

103. Федорова H.A. Волновое сопротивление движущихся точечных особенностей при учете сил капиллярности // Тр. Ленингр. ко-раблестроит.ин-та. Л., Вып 120. - С. 64 - 69.

104. Федорова H.A. Движение точечных особенностей в жидкости с учетом сил поверхностного натяжения // Тр. Ленингр. кораб-лестр. ин та. - Л., 1976. - Вып. 107 - С.59 - 64.

105. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. - 544с.

106. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977. - 368 с.

107. Филиппов И.Г. О движении вихря под поверхностью жидкости // ПММ. 1961. - 25, № 2 - С. 242 - 247.

108. Филиппов И.Г. Решение задачи о движении вихря под поверхностью жидкости при числах Фруда, близких к единице // ПММ. 1960.-24, №3.

109. Шамаев С.И. Многочастотная компьютерная радиотомография областей подводных течений // Вопросы радиоэлектроники. АСУПР. М.: ЦНИИ « Комета », 1994. - № 2. - С. 3 - 12.

110. Шамаев С.И. Физические основы многочастотной радиотомографии // Материалы XLVI Всесоюзной научной сессии ВНТО им. A.C. Попова. — М.: Радио и связь, 1991.

111. Шамаев С.И., Старков П.Н., Трофимов A.M. Методы и результаты исследования явлений, происходящих в водной среде, с помощью обработки РЛ изображений морской поверхности // Вопросы радиоэлектроники. АСУПР. - М.: ЦНИИ « Комета », 1993.-№ 1-2.-С. 82-86.

112. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.-344 с.

113. Ambartsoumian E.N., Boyarintsev V.l., Korotaev D.G., Lednev A.K., Savin A.S. Hydrodynamic effects at the interface of media with distinct densities. Preprint / Inst, for problems in mechanics Rus. Acad. Sei. -M., 1994. № 541. - 38p.

114. Boyarintsev V. I., Boyarintseva T.e., Korotaev D.G., Lednev A.K., Savin A.S. Motion of vortex rings in media with homogeneous density along the normal to the free surface // Fluid Dynamics. 1997. -32,№3.-P. 420-423.

115. Boyarintsev Y. I., Burago N.G., Lednev A.K., Frost V.A. Application of reflected grid method for examination of small surface deformation of moving fluid // J. of Flow Visualizat. and Image Processing. 1993 -1, № 3-P. 235 - 238.

116. Dagan G., Miloh T. Free- surface flow past oscillating singularities at resonant frequency // J. Fluid Mech. 1982. - 120. P. 139 - 154.

117. Didden N. On the formation of vortex rings: rolling-up and production of circulation // ZAMP. 1979. - 30, № 1. - P. 101 - 116.

118. Glezer A. . The formation of vortex rings // Phys. of Fluids. 1988. -31, № 12.-P. 3532-3541.

119. Havelock T.H. The forces on a circular submerged in a uniform stream // Proc. Roy. Soc. London.- 1936. A 157, № 892.1. P. 526-534.

120. Havelock T.H. The wave pattern of a doublet in a stream // Proc. Roy. Soc. London.- 1928 A 121. - P.515 - 523.

121. Hicks W.M. On the mutual threading of vortex rings // Proc. Roy. Soc. London. 1923. - A. 102, № 715. - P.lll - 131.

122. Lamb H. On come cases of wave-motion on deep water // Ann. mat. pura ed appl. 1913. - V. 21, № 237. - P. 237 - 250.

123. Liao S.J. A general numerical method for solution of gravity wave problems // Intern. J. Numer. Methods Fluids. 1992. - 14, № 10. -P. 1173-1191.

124. Magarvey C.S., Maclathy C.S. The formation and structure of vortex rings // Canad. J. of Phys. 1964. - 42. - P. 678 - 683.

125. Maxworthy T. Some experimental studies of vortex rings // J. Fluid Mech. 1977. - 81, № 2. - P. 465 - 495.

126. Maxworthy T. The structure and stability of vortex rings // J. Fluid Mech. 1972. - 51, Pt. 1.-P. 15-32.

127. Maxworthy T. Turbulent vortex rings // J. Fluid Mech. 1974. - 61, №2.-P. 227-240.

128. Maxworthy T., Hopfinger E.J., Redekopp L.G. Wave motions of vortex cores // J. Fluid Mech. 1985. -151. - P. 141 - 165.

129. Mekias H., Vanden-Broeck J. Subcritical flow with a stagnation point due to a source beneath a free- surface // Phys. Fluids. 1991. -A, 5, № 11. - P. 2652-2663.

130. Oshima Y. The game of passing — through of a pair of vortex rings // J. Phys. Soc. Jap. 1978. - 45, № 2. - P. 660 - 664.

131. Salvesen N., Kerczek C. Comparison of numerical and perturbation solutions of two-dimensional nonlinear water-wave problems // J. Ship Res. 1976. - 20, № 3. - P. 160 - 170.

132. Salvesen N., Kerczek C. Non- linear aspect of subcritical shallow-water flow past two- dimensional obstructions // J. Ship Res. 1978. - 22, № 4. - P. 203-211.

133. Savin A.S. The generation of suface waves by a buoyant vortex ring // J. Appl. Math. Mech. 1992. -56, № 3. -P 453 -455.

134. Sullivan J.P., Widnall S.E., Ezekiel A. A study of vortex rings using a laser doppler velocimeter // AIAAJ. 1973. -117. - 1384 - 1389.183

135. Tayler A.B., Van Den Driessche P. Small amplitude surface waves due to a moving source // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1974. -27, №3.-P. 317-345.

136. Telste J. G. Potential flow about two counter-rotating vortices approaching a free surface // J. Fluid Mech. 1989. — 201. -P. 259 - 278.

137. Tuck E.O. Ship- hudrodynamics free- surface problems without waves // J. Ship Res. 1991. - 35, № 4. - P. 277 - 287.

138. Yamada H., Matsui T. Preliminary study of mutual slip through of a pair of vortices // Phys. Fluids. - 1978. - 21, № 2. - P. 292 - 294.

139. Yeung R.W. Numerical methods in free- surface flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1982. - 14. - P. 395 - 442.